当前位置：文档之家 › 第二章 复变函数(余家荣2014)资料

第二章 复变函数(余家荣2014)资料

  • 格式：ppt
  • 大小：2.44 MB
  • 文档页数：87

下载文档原格式

  / 87

合集下载

复变函数（第五版）课后答案余家荣版课后习题答案高等教育出版社第一章课后题答案与解析

复变函数（第五版）课后答案余家荣版课后习题答案高等教育出版社第一章课后题答案与解析

复变函数（第五版）课后答案余家荣版课后习题答案⾼等教育出版社第⼀章课后题答案与解析复变函数（第五版）课后答案 余家荣 版 课后习题答案 ⾼等教育出版社 第⼀章 课后题答案与解析复变函数（第五版）课后答案 第⼀章课后答案复变函数 余家荣 版 课后习题答案复变函数 ⾼等教育出版社 课后题答案与解析引⾔第⼀章 复数及复平⾯ 课后习题答案§ 1.复数及其⼏何表⽰§ 2.复平⾯的拓扑习题⼀第⼆章 复变函数 课后题答案§ 1.解析函数§ 2.初等函数习题⼆第三章 复变函数的积分 答案与解析§ 1.柯西定理§ 2.柯西公式习题三第四章 级数 习题答案与解析§ 1.级数和序列的基本性质§ 2.泰勒展式§ 3.洛朗展式习题四第五章 留数 课后题答案§ 1.⼀般理论§ 2.留数计算的应⽤习题五第六章 保形映射 课后习题答案§ 1.单叶解析函数的映射性质§ 2.分式线性函数及其映射性质§ 3.黎曼定理习题六第七章 解析开拓 课后答案§ 1.解析开拓概念§ 2.多⾓形映射公式习题七第⼋章 调和函数§ 1.调和函数及其性质§ 2.狄利克雷问题习题⼋附录⼀ 集与逻辑记号1.集的初步概念2.函数与映射3.逻辑记号习题附录⼆ 若尔当定理附录三 同调与同伦形式的柯西定理1.链与闭链·指标2.同调形式的柯西定理3.同伦形式的柯西定理附录四 整函数的⽆穷乘积展式与亚纯函数的部分分式展式1.⽆穷乘积2.整函数的⽆穷乘积展式3.亚纯函数的部分分式展式附录五 黎曼映射定理与边界对应定理的证明1.正规族2.黎曼映射定理续证3.边界对应定理的证明附录六 多复变函数1.解析函数2.幂级数3.柯西公式与泰勒展式4.幂级数的值分布部分习题答案及说明。

复变函数第二章第三节

复变函数第二章第三节

对于复平面上某一固定 点z来说，其幅角Argz的具体数值无法确定。
但若z沿某一条不包含原点的 闭合曲线C1环绕一周回到原来的位 置， z的幅角不变，因而二次 根式的值也保持不变。
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
z 0 wk
k 2k
n
n

n
z
k
n re
i
2 k
(1) 当 b 为整数时,
b bLna
2. 一般幂函数w z b e bLnz
a 具有单一的值 .
b
a e e b ln a b (ln a iarg a ) 2 kbi e , e
b[ln a i ( arg a 2 k )]
p ( 2) 当 b ( p与q为互质的整数, q 0)时, q

i
2 k
n
k 0,1,
n1
下面以二次根式函数为 例，简单介绍多值函数 的特点。
设z re i (0 2 ), w z r e iArgz / 2 ,
若z沿某一条闭合曲线C环绕原点一周回到原来 的位置，z值虽然不 变，但其幅角却变为 2，从而w将由 r e i / 2连续变为 r e i ( 2 ) / 2 .
1. 根式函数 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为： n n w z 为幂函数z=wn 的反函数. , 根式函数 w z (1) 根式函数的多值性. z 0 w n 0 0
z 0 wk n z n | z |e k arg z z的主辐角
则从e
m ln z1 n
e
m （ln| z1 | i 1 ) n m ln z1 n

复变函数论第2章第3节

复变函数论第2章第3节

arg z 依赖于起点的初值和辐 角改变量 .
多值函数应用起来很不 方便，总希望能将 Argz
分解为若干单值连续函 数. 由
arg z arg z0 L Argz
可知 ， 即使固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 由于 L Argz
在 C {0} 内与 L 的形状有关 , 对于任意 一 z C {0} , arg z 都不是惟一的. 因此， C {0} 内 arg z 是不能分 在 解为单值连续函数的. 这样自然会想到， 缩小区域是
y
z1
z
L
z0
0
在 L 上的改变量 , 简称 辐角改变量 ,
x
记作 L Argz .
例如 , 对下图中的三条具有相 同起点
y
z1
z
L
L Argz
z0
x
和终点简单曲线, 有
y
1 i
L1
0
y
L2
1 i
y
1 i
o
1 i
x
o
1 i
x
o
1 i
x
L3
π 3π 5π L1 Argz ; L2 Argz ; L3 Argz . 2 2 2
否可行呢 ? 而问题的关键在于寻找 这样的区域， 使得 辐角改变量只与起点、 终点位置有关而与曲线 的形
状无关 .
由辐角改变量
0 ， z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部 可知 , 只要能使区域内任一简 单闭曲线都不围绕原
点z 0 , 辐角改变量在这个区域 内就与区域的形状
的射线φ φ0 变成 z 平面上从原点发出的射 θ nφ ， 线

复变函数第二章

复变函数第二章
C
C D
说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.
证明 根据 定理2.1
f (z)dz C
C ud定x 理 v2d.1y设Ci是C分vd段x光 滑ud(或y.可求长)的有
因为f (z)解析, 所曲以线u，(x,fy()z和) vu(x( x,y,)y在) Div内( x可, y)微在, C且上连续
并记作C f (z)dz, 即
n
C
f (z)dz
lim 0 k1
f ( k )zk .
如果C是闭曲线，经常记作 C f (z)dz.
当C是实轴上的区间a,b, 方向从a到b, 并且
f (z)为实值函数，那么这个积分就是定积分.
2.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理2.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
定理2.2 设光滑曲线
C : z z(t) x(t) iy(t) ( t ),
z( ) 是起点, z( ) 是终点，则

C f (z)dz f [z(t)]z(t)dt



u[
x(t
),
y(t
)]

iv[
x(t
),
y(t
)]
x(t
)

iy(t
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
从形式上可以看成
C f (z)dz C (u iv)(dx idy) C udx ivdx iudy vdy C udx vdy iC vdx udy.

复变函数第二章(第四讲)

复变函数第二章(第四讲)

对数的表达式
Lnz ln z iArgz ln z i(argz 2k ), k Z。
证明
令w u iv z re i e
u iv i
那么
re u ln r , v 2k , k Z。
w Lnz ln r i ( 2k )， k Z。
zi 例1 求 Im(e );
Im(e iz ) Im(e y ix ) e y sinx。
例2
求e
1 (1 i ) 4
1 1 i 4
;

e
24 e (cos i sin ) e 1 i 。 4 4 2
4
例3 解方程e 1。
z
z 2k i
幂函数的性质
单值性和多值性 ① 当 n(n为整数 时 )
w=zn 在整个复平面上或去掉原点的复平 面是单值解析函数. 1 ② 当 ( n为 正 整 数时 ) n
e
1 Lnz n
e
1 (ln n
z i arg z 2 ki )
e
1 ln n
z
e
i
a rgz 2 k n

正弦与余弦函数的性质
(1) sinz及 cos z是单值函数；
( 2) sinz及 cos z在复平面 上处处解析，且 C (sinz )' cos z , (cosz )' sinz; iz iz e e (sin z ) 2i
证明 :
1 iz e iz e iz ( ie ie iz ) cos z。 2i 2 (3) 三角恒等式 : sin(z z 2 ) sinz cos z2 sinz2 cos z1 , 1 1 cos(z z 2 ) cosz1 cos z2 sinz1 sinz2 ; 1

复变函数第二章 学习要点导学

复变函数第二章 学习要点导学

支函数 （可以是单值的也可以是多值的， 视具体问题确定） ， 若已知 arg f ( z ) 在某一点 z0 G 的值为 arg f ( z0 ) ，则此分支函数在另一点 z1 G 的值 arg f ( z1 ) 要按下面的公式计算：
arg f ( z1 ) arg f ( z0 ) C arg f ( z)
● f ( z ) c （常函数） ；多项式函数 P( z ) a0 z a1 z
nn Biblioteka 1 an ；指数函数 e z ；正
上解析（即都是
弦和余弦函数 sin z 和 cos z ；双曲正弦和余弦函数 cosh z 和 sinh z 都在 整函数，所谓整函数是指在 上解析的函数） ． ● 有理函数 R( z )
f ( z )
u v u u v v v u i i i i ． x x x y y x y y
理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用， 并能熟练地运用柯西—黎曼条 件判别给定的函数的可导性和解析性． 5．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并达到下面的目的： ● 通过体验这些等价条件的证明进一步体会柯西— 黎曼条件在讨论解析函数性质中的 作用． ● 通过这些等价条件，利用逆向思维的思想（反证法） ，简洁的判断某些函数的不解析 性，例如， z ， Re z ， Im z ， e ， sin z 等都在复平面
a0 z n a1 z n 1 b0 z m b1 z m1
an ；正切、余切、正割和余割函数（即 tan z 、 bm
cot z 、 sec z 和 csc z ）都在其自然定义域内解析．
4．熟练掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数 来计算的计算公式：函数 f ( z ) u iv 在点 z x iy 可微，则

复变函数(第二章)

命题 设 则
当且仅当 证明 则 如果 使得当 时，
所以
反之，若
则
当
时，
所以, 当
时
四.复变函数极限的四则运算法则
设 lim f ( z ) A, lim g ( z ) B, 那么
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
故 f ( z ) 在 z0 连续.
例3 求证：f ( z ) arg z ( z 0) 在整个复平面除去原点和负实数轴的区
域上连续，在负实数轴上不连续。
解： 当 z0 在负实数轴上时, 有
z z0 Im z 0
lim arg z , lim arg z
z z0 Im z 0
(3) 双曲线 x y 4;
2 2
解 令 z x iy , w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi ,
y
u x2 y2 ,
x
x y 4
2 2
w z
2
v o
4
u 4,
2
o
2
u
平行于 v 轴的直线.
例2.考虑映射 w z 的性质。
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 x y x 2 ( kx )2 y kx y kx
x 1 lim , 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k 随 k 值的变化而变化, 所以 lim u( x , y ) 不存在,
π (2) 扇形域 0 , 0 r 2. 4

复变函数第二章 解析函数

f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 如果极限 z 0 存在，则称函数 z
f (z)在点z0处可导, 称此极限值为f (z)在z0的导数，
dw 记作 f ' ( z0 ) dz
z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
记作 z f 1 ( w ) 当反函数单值时z f 1 [ f ( z )] z E 一般z f 1[ f ( z )]) (
当 函数(映 射)w f ( z )和 其反 函数 逆 映射) ( z ( w )都 是单 值的 ， 则 称函 数 射)w f ( z ) (映 是 一一 对应 的。
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z E ( z平面) w f w G ( w平面）的映射变换). (z) (
定义域 y
值域
称w为z的象，而 称为w的原象。 z
(z)
w=f(z) v
(w)
G
z
o
E
w=f(z)
w
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
z z0 z z0
f ( z ) lim f ( z ) A z z0 lim ( lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0 B
z z0

以上定理用极限定义证!
例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限 .
( z z )2 z 2 lim z 0 z
lim ( 2 z z ) 2z .

复变函数第二章第三节1


得区域 G ，则在此区域内 w = Argz 可分出无穷多个单值 连续分支函数，求满足条件 arg1 = 0 的那个单值连续分支 f ( z ) = arg z 在点 z = −1和 z = −4处的值．
z −1 例2 设 f1 ( z ) = z ( z − 1)( z − 2) ，f 2 ( z ) = ， z−2
z−a Δ C arg = Δ C arg( z − a ) − Δ C arg( z − b) z −b
n III 设 C 为一条简单曲线，为正整数，则
Δ C arg n z = 1 Δ C arg z n
例1 在复平面 ^上作割线
K = {z z + 1 = 1, Im z ≥ 0} ∪ (−3, −2) ∪ {z z + 4 = 1, Im z ≤ 0} ∪ (−∞, −5)
设 w = f ( z ) 是定义在区域 D 内的一个多值函数的分支函数， z0 为复平面（或扩充复平面）上的一点，如果在 z0 的一个 充分小的邻域内，存在一条仅围绕 z0 的简单闭曲线 C ， 使得当动点从 C 上某一点 z1 出发，沿 C 的正向或负向连续 w = f ( z )的值会发生改变，即 变化一周又回到 ( z ) 是辐角函数单值化后得到的单值函数，f ( z ) 要满 足
z → z0
lim ( f ( z ) − f ( z0 )) = 0
lim Δf ( z ) = 0
即
z → z0
Δf ( z ) 表示的是 z0变化成 z 的过程中辐角的改变量.
( w) k = arg z + 2kπ
其中 k 为任意确定的整数.
分支函数 第 k 分支函数
一般的区域内如何将辐角函数 w = Argz 单值化 设 G 为复平面 ^上的一个区域，若 G 是不包含原点的单连通 区域，此时无须对 G 作任何处理，已经是单值函数； 否则可用连接 0 和 ∞ 的连线作为支割线将 G割破，则在 割破的区域内, w = Argz 就可以单值化）. 注意： 1 辐角函数的支割线有无穷多条，任何一条从原点出发 无限延伸的曲线都可以作为支割线． 2 支割线的两侧，习惯上也称为两沿（或两岸），按照 位置关系支割线的两沿分别称为上沿和下沿(或者左岸和 右岸)．可以补充辐角函数的各单值分支函数在上，下沿处 的函数值就可使各单值分支函数延拓成直到支割线两沿 的连续函数．

复变函数第二章


引理1 复变函数 f ( z ) 在点 z 0可导的充分必要 条件是 f ( z ) 在 z 0 点可微，且 A f ( z0 ). 证明 若 f ( z0 ) 存在，设 A f ( z0 )，则
f ( z0 z ) f ( z 0 ) lim A. z 0 z f ( z0 z ) f ( z 0 ) A, 则 令 z
令 z 0, 则 f ( z0 ) A 存在. 这个引理表明, 函数 f ( z ) 在 z0 可导与在
z 0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z 0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
若存在复常数A, 使得
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) A z z ,
其中 lim 0, 则称 f ( z )在 z 0 点可微.
z 0
复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数 的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数 可微与可导的关系？
第二章 解析函数
本章重点研究解析函数的概念及其判
别方法，接着介绍一些常用的初等解析函
数. 2.1 解析函数的概念 2.2 初等函数的解析性
2.1 解析函数的概念
2.1.1 2.1.2 复变函数的导数与微分 解析函数的概念
2.1.3
2.1.4
函数解析的充分必要条件
解析函数与调和函数的关系
也称 z 0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k 0
k0
目录 上页 下页 返回 结束
(二). 极限与连续(自学) １. 极限 (1). De1.2: 设 w f ( z ) 在E上确定,z0是E上的一个聚点,
C (常数),如果 0, ( ) 0, 使得当
z E and 0 | z z0 | 时 | f ( z ) | 恒成立，
z
w z
解：令 w u iv, z x iy, a ib
u x a v 作在同一个平面上， 它表示 z 平面内的一个平移，平移了 α 。
目录
上页
下页
返回
结束
【例2】考虑映射 w z ( 0 C ).
第一次课
1. De1.1: 设E是复数 z 的集合, 如果存在一个法则 f , 使得 z x iy E, w u iv C 与之对应，则称
（其中 x, y, u, v R ） w 是 z 的复变函数, 记为 w f ( z ). 说明：① 以前理解函数总是单值的,实际上复变函数既有 单值函数，也有多值函数。 ② 如不特别声明，以后所提到的函数为单值函数。
③ 约定 E 表示简单曲线、区域、或闭区域。
目录 上页 下页 返回 结束
2. 将 z x iy, w u iv 代入 w f ( z ) 中得：
w f ( x iy) Re f ( z) i Im f ( z) ( x, y) i ( x, y) u ( x, y ) w u iv v ( x, y )
目录 上页 下页 返回 结束
【例4】考虑映射 w z 2 . 2 2 2 解: w ( x iy ) u( x, y) x y , v( x, y) 2 xy
(1) 当 x2-y2 = k 时, u = k, 所以将双曲线映成直线. y v
1 23
x
1 23
u
(2) 当 2xy = k 时, v = k, 所以将双曲线映成直线.
w z r
i 解: 令 re , 则 w rei z r


z
如果将这一映射作在同一个平面上, 则映射 w z 表示将 z 旋转角度θ，
再乘上比例 r 。
目录
上页
下页
返回
结束
1 【例3】考虑映射 w . z 1 解: w 看成由 z1 1 , w z1 z z
目录 上页 下页 返回 结束
3. 由于 w f ( z ) 反映了两对变量 x, y 与 u, v 之间的关系
因此一般用两个复平面(z 及 w 平面)表示它们的映射.
y
v
o
x
o
u
z 平面: x , y
w 平面: u , v
目录
上页
下页
返回
结束
【例1】考虑映射w z ( C ).
（省去 " z E ")
lim f ( z ) A, lim g ( z ) B （省去 " z E ") (3). 性质: 设 z z z z
0 0
lim[ f ( z ) g ( z )] A B 则 :① . z z
0
lim[ f ( z) g ( z)] A B ②. z z
则称当 z 趋向于 z０时，f (z)以α为极限 ，记为
z z0 , zE
lim f ( z )
（在不产生混淆的情况下，可省去 " z E ")
目录
上页
下页
返回
结束
(2). 设 f ( z ) u( x, y) iv( x, y), a ib 则：
lim u ( x, y ) a z z0 lim f ( z ) z z0 lim v( x, y ) b z z0
z
z1
1
z1
z
1
复合而成，
因此 w
z1 1 是z关于单位圆的对称映射 z1
z
Argz1 Argz | z | 1 1 |z|
w z1
| z | 1 | z | 1
w z1
: 先求 z 关于单位圆的对称映射，再取共轭。
说明：①该映射将单位圆外的点映射到单位圆内，单位圆内的点 映射到单位圆外。 ②如果 z, w 都表示扩充复平面,则将 z 0, 映射成 w ,0
结论：① 一个复变函数 w f ( z ) 等价于两个二元实变函数
u ( x, y), v ( x, y).
② 这两个实变函数是
w f ( z ) 的实部与虚部，因此
( x, y ), ( x, y ) 有密切联系。
③ 研究一个复变函数相当于研究两个有密切联系的二元 实变函数。 ④ 初等复变函数的定义，复变函数的积分、微分等都与 实变函数的定义、微分、积分有很大的不同。
如果f (z)在E上每一点连续，则称f (z)在E上连续。 (2). 设 z x0 iy0 , f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 则：
u ( x, y ) u ( x0 , y0 ) xlim x0 , y y0 lim f ( z ) f ( z0 ) z z0 , zE lim v( x, y ) v( x0 , y0 ) x x0 , y y0
0
f ( z) A ( g ( z ) 0, B 0) ③. lim z z0 g ( z ) B
目录 上页 下页 返回 结束
2. 连续
(1).De1.3:设 w f ( z )在E上确定,z0是E上的一个聚点,如果
z z0 , zE
lim f ( z ) f ( z0 ) ,则称f (z)在z0处连续。
第二章
§1 解析函数
解析函数
一.极限与连续性 二.导数· 解析函数
三.柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件
四.指数函数极限与连续性
五.多值函数导引:辐角函数
§2 初等函数 六.对数函数
七.幂函数
八.三角函数
目录 上页 下页 返回 结束
§1 解析函数
一. 极限与连续性 (一). 复变函数的定义