第二章 复变函数(余家荣2014)资料

复变函数（第五版）课后答案余家荣版课后习题答案⾼等教育出版社第⼀章课后题答案与解析复变函数（第五版）课后答案 余家荣 版 课后习题答案 ⾼等教育出版社 第⼀章 课后题答案与解析复变函数（第五版）课后答案 第⼀章课后答案复变函数 余家荣 版 课后习题答案复变函数 ⾼等教育出版社 课后题答案与解析引⾔第⼀章 复数及复平⾯ 课后习题答案§ 1.复数及其⼏何表⽰§ 2.复平⾯的拓扑习题⼀第⼆章 复变函数 课后题答案§ 1.解析函数§ 2.初等函数习题⼆第三章 复变函数的积分 答案与解析§ 1.柯西定理§ 2.柯西公式习题三第四章 级数 习题答案与解析§ 1.级数和序列的基本性质§ 2.泰勒展式§ 3.洛朗展式习题四第五章 留数 课后题答案§ 1.⼀般理论§ 2.留数计算的应⽤习题五第六章 保形映射 课后习题答案§ 1.单叶解析函数的映射性质§ 2.分式线性函数及其映射性质§ 3.黎曼定理习题六第七章 解析开拓 课后答案§ 1.解析开拓概念§ 2.多⾓形映射公式习题七第⼋章 调和函数§ 1.调和函数及其性质§ 2.狄利克雷问题习题⼋附录⼀ 集与逻辑记号1.集的初步概念2.函数与映射3.逻辑记号习题附录⼆ 若尔当定理附录三 同调与同伦形式的柯西定理1.链与闭链·指标2.同调形式的柯西定理3.同伦形式的柯西定理附录四 整函数的⽆穷乘积展式与亚纯函数的部分分式展式1.⽆穷乘积2.整函数的⽆穷乘积展式3.亚纯函数的部分分式展式附录五 黎曼映射定理与边界对应定理的证明1.正规族2.黎曼映射定理续证3.边界对应定理的证明附录六 多复变函数1.解析函数2.幂级数3.柯西公式与泰勒展式4.幂级数的值分布部分习题答案及说明。

课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。

通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。

为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。

对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。

本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。

二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。

2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。

基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。

要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。

）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。

3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。

重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。

要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。

2、熟练掌握初等解析函数的运算。

复变函数论数学与信息科学学院罗仕乐第二章解析函数§1 解析函数的概念与C-R方程§2 初等解析函数§3 初等多值函数§1. 解析函数的概念与柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件一 复变函数的导数与微分(形式上与数学分析一元函数的导数定义一致)定义2.1 设函数w=f(z)在点z 0的邻域内或包含z 0的区域D 内有定义.考虑比值)0()()()()(000≠∆∆-∆+=--=∆∆z zz f z z f z z z f z f z w z ∆如果z 按任意方式趋于z 0时,即当 按任意方式趋于0 时,上述比值的极限都存在,且其值有限(为同一个数),则称此极限为函数f(z)在点z 0的导数,记为).('0z f 0000)()(lim lim )('0z z z f z f z w z f z z z --=∆∆=→→∆即 (2.1)此时,称函数f(z)在点 z 0可导. 0lim ,)('0=+=∆∆→∆ηηz z f z w ε+∆=∆z z f w )('||||z ∆⋅=ηε||z ∆设w=f(z)在z 可导,由极限与无穷小的关系及(2.1),可得.其中, 为比 高阶的无穷小.z z f ∆)('dz z f z z f dw )(')('=∆=称 为w=f(z)在点z 的微分,记为dw 或df(z). (2.2)也称f(z)在点z 可微.即可见: f(z)在点z 可导与f(z)在点z 可微是等价的.如果函数f(z)在区域D 内处处可微,则称f(z)在区域D 内可微. 显然,f(z)在点z 可微,则f(z)在点z 连续;反之不然. 甚至即使f(z)处处连续,但f(z)可以处处不可微.如函数 z z f =)(但在z 平面处处不可微.在z 平面处处连续,例1 证明:f(z)=z n (n 为正整数)在z 平面上处处可微,且.1-=n n nz z dzd (与数分的形式一样) z z z z z w nn z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00.])()([lim 112210----→∆=∆++∆+=n n n n n z nz z z z C nz .1-=n n nz z dzd 证明: 设z 为复平面上任意一点.有所以, f(z)=z n (n 为正整数)在z 平面上处处可微,且二解析函数及其简单性质定义2.2如果函数w=f(z)在区域D内可微,则称f(z)为区域D内的解析函数,或称f(z)在区域D内解析.解析,注: 说函数f(z)在某点z的某一邻域内解析;是指f(z)在点zD D说f(z)在闭域上解析,是指f(z)在包含的某区域内解析.这是复变函数的可微性与解析性的不同之处.(即复变函数在某区域内可微与在某区域解析是等价的, 但在某点可微,不能推得在该点解析).区域D 内的解析函数也称为D 内的全纯函数或正则函数. 定义2.3 若f(z)在点z 0不解析,但在z 0的任一邻域内 总有f(z)的解析点,则称z 0为f(z)的奇点.如 z z f 1)( 在z 平面上以z=0为奇点.数学分析中的一元函数的求导(微)法则可以推广 到复变函数中来.如和,差,积,商的解析性,以及复合函数的求导法则等.(列出)三 柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann)(简称C.-R.方程) 设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy 可微,且设)(')()(lim 0z f z z f z z f z =∆-∆+→∆ (2.3)vi u z f z z f y i x z ∆+∆=-∆+∆+∆=∆)()(,),(),(),,(),(y x v y y x x v v y x u y y x x u u -∆+∆+=∆-∆+∆+=∆)('lim 00z f y i x v i u y x =∆+∆∆+∆→∆→∆又设 其中 则(2.3)变为 (2.4)yi x z ∆+∆=∆0,0→∆=∆x y 0,0→∆=∆y x )('z f x v i x u =∂∂+∂∂)('z f y v y u i =∂∂+∂∂-注意到(2.4)式中 无论按什么方式趋于零时,总是成立的,可以设 及设 分别得到 (2.5)(2.6)由(2.5)与(2.6)可得Cauchy-Riemann 方程.即有定理2.1(可微的必要条件)设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 区域D 内有定义,且在D 内一点z=x+iy 可微,则必有(1)偏导数u x ,u y ,v x ,v y 在点(x,y)存在;(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足C.-R.方程..,xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂即 但定理中的条件不是充分的.如,函数 ||)(xy z f =(按定义证它在z=0不可微).在z=0满足定理条件,但在z=0不可微..0),(,||),(==y x v xy y x u )0,0(0)0,0()0,(lim )0,0(0y x x v xu x u u ==∆-∆=→∆).0,0(0)0,0(),0(lim )0,0(0x x y v yu y u u -==∆-∆=→∆||)(xy z f =.||||y x w ∆∆=∆.01||)()(||||lim ||||lim 22200)(≠+=∆+∆∆∆=∆∆→∆=∆→∆=∆kk y x y x z w x k y x k y ||)(xy z f =证明： 所以，函数 但, 所以, 函数 在z=0不可微.在z=0满足定理条件.定理2.2(可微的充要条件)设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域D 内有定义.则f(z)在D 内一点z=x+iy 可微的充要条件是(1)二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微;(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足C.-R.条件.(证明) 上述条件成立时,f(z)在点z=x+iy 的导数可以表成 下列形式之一:x v i y v y u i x u y u i y v x v i x u z f ∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=)('(2.7)证明： )(z f ).0(0),()('→∆→∆+∆=∆z z z z f f ηη.,,)('v i u f y i x z i z f ∆+∆=∆∆+∆=∆+=βα).())((z y i x i v i u ∆+∆+∆+=∆+∆ηβα),Re()()(z y x u ∆+∆-∆=∆ηβα).Im()()(z x y v ∆+∆+∆=∆ηβα|).(|)Im(|),(|)Re(z o z z o z ∆=∆∆=∆ηη),(),,(y x v y x u ),(y x .,xv y u y v x u ∂∂-=-=∂∂∂∂==∂∂βα (必要性) 设 在D 内一点z 可微,则 令 则 所以, 显然, 所以,在点 可微,且 即满足C-R 方程.),(),,(y x v y x u ),(y x ,)()(1η+∆+∆=∆y u x u u y x .)()(2η+∆+∆=∆y v x v v y x |).(||),(|21z o z o ∆=∆=ηη.,ββα-=∂∂-=-=∂∂∂∂=∂∂=x v y u y v x u v i u f ∆+∆=∆21)()()()(ηαβηβαi y i x i y x +∆+∆++∆-∆=.)())((2121ηηβαηηβαi z i i y i x i ++∆+=++∆+∆+=).0(,0||||||||||||2121→∆→∆+∆≤∆+z z z z i ηηηη)(z f x v i x u i z f ∂∂+∂∂=+=βα)('.x v i y v y u i xu y u i y v ∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=(充分性)由 在点 可微,有 其中, 结合C-R 方程 有 且 所以, 在D 内一点z(x,y)可微,且推论2.3 (可微的充分条件)设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义.若(1)u,u y ,v x ,v y在点(x,y)连续;x(2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处满足C.-R.方程.则f(z)在点z=x+iy可微.(由(1)u,v可微,由定理2.2的充分性) 由解析的定义及定理2.2,即可得函数解析的充要条件:定理2.4函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:(1)二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微;(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.方程.结合推论2.3可得:定理2.5 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D 内解析的充分条件是:(1)u x ,u y ,v x ,v y 在D 内连续; (2)u(x,y),v(x,y)在D 内满足C.-R.方程.并且其导数可由公式(2.7)给出.(2.7)式是求复变函数的导数的方法.例2 讨论f(z)=|z|2的解析性.,0),(,),(22=+=y x v y x y x u 0,0,2,2====y x y x v v y u x u 2||)(z z f =解: 在z 平面连续,但仅在点z=0处满足C-R 方程,所以 只在z=0可微,在z 平面上处处不解析.例3 讨论f(z)=x 2-iy 的可微性和解析性. ,),(,),(2y y x v x y x u -==1,0,0,2-====y x y x v v u x u 21-=x iy x z f -=2)(21-=x 解:在z 平面连续,上满足C-R 方程, 仅在直线 上可微, 但仅在直线 所以, 但在z 平面上处处不解析.)sin (cos )(y i y e z f x +=).()('z f z f =例4 试证 在z 平面上解析,且 ,sin ),(,cos ),(y e y x v y e y x u x x ==y e v y e v y e u y e u xy x x x y x x cos ,sin ,sin ,cos ==-==.,x y y x v u v u -==)sin (cos )(y i y e z f x+=).(sin cos )('z f y ie y e iv u z f xx x x =+=+=证明: 在z 平面上连续,且满足C-R 方程:所以, 在z 平面上解析,且),(),()(,θθθr iv r u z f re z i +==)0(.1,1>∂∂-=∂∂∂∂=∂∂r u r r v v r r u θθ推导极坐标下的C.-R.方程: 设则其C.-R.条件为 .sin ,cos θθr y r x ==,sin 1cos 1θθθθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r r u x u x r r u x u ,cos 1sin 1θθθθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r r u y u y r r u y u ,sin 1cos 1θθθθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v r r v x v x r r v x v ,cos 1sin 1θθθθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v r r v y v y r r v y v 证明：=∂∂-∂∂θθθu r r u sin 1cos 1,cos 1sin 1θθθ∂∂+∂∂v r r v θθθ∂∂+∂∂u r r u cos 1sin 1,sin 1cos 1θθθ∂∂+∂∂-=v r r v .1,1θθ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂u r r v v r r u 由C-R 方程,有解得 即为极坐标下的C.-R.方程.作业：P.90.Ex5.练习题1.(1)试述函数f(z)在z 0解析的定义,并叙述函数在一点z 0 的解析性,可微性,连续性之间的联系与区别.(2)讨论下列函数的连续性,可微性,解析性: ;Re );arg ,arg )2z z b z z a ππ≤<-.Im );)|;|)2z z e z d z c 2.(1)设f(z)=u+iv 在z=x+iy 可微, 试写出用u,v 偏导数表示的导数f'(z)公式.)10()(5)();515)()22y xy i x y x z f b yi x z f a -+--=++=).3(3)()3223y y x i xy x z f c -+-=(2)求下列函数的导数:3.设f(z)=u+iv,试将下列条件叙述出来:(1)关于u,v 的C.-R.条件是: (2) f(z)在D 内解析的必要非充分条件是:(3) f(z)在D 内解析的第一充要条件是:数学与信息科学学院罗仕乐。