六校联合体2020届高三年级一模联考试卷
数学Ⅰ试题
2019.12
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上）
1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12
++=i
z ，则复数z 的共轭复数为__________． 答案为：1i -
3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 答案为：80．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．
答案：模拟演示： 答案为：15．
5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．
答案为：13
．
6．若抛物线2
10y x =的焦点到双曲线22
2116
x y a -
=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．
答案为：5
3
7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则
f (－4)的值是__________． 答案为：2-．
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，
77b a =，则
4
2
T T 的值为__________． 答案为：3
9．已知()sin(2)3
f x x π
=+，若)2
0)((π
ϕϕ<
<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．
答案为：
512
π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －
ABC 的体积是__________． 答案为
245
． 11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 答案为：27．
12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:2
2
=+y x O 上存在点C ，使得ABC
∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________． 答案为：3[-，3
]．
13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：22
4x y +=上的任意一点，过点(1,0)
B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．
解：由中线长公式可得2221
2()2
PO PA PB AB =
+-22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3
cos P PA PB
=⋅
在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA
=
所以9
23221862PA PT PA PA
+=+≥=（当且仅当32PA =时取等）
14．已知函数4)(,)(2
2
-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为
奇函数，函数⎩⎨
⎧>≤=t
x x h t
x x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．
解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…
恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，
则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，
画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：
若函数()()
()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩
„恰有两个零点，
结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）
已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3
tan 4
A =． （1）若6
5
a =
，2b =，求边c 的长； （2）若(
)sin A B -=
，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =
可知(0,)2
A π
∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 由余弦定理得2
2
2
2cos a b c bc A =+-，
得2
226422255c c ⎛⎫
=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，即216640525c c -+=，
解得8
5
c =
． （2）由(0,)2A π
∈且(0,)B π∈，得(,)2
A B π
π-∈-， 又(
)sin 010A B -=
>，则(0,)2
A B π
-∈，则()cos 0A B ->， 所以(
)cos A B -==
， 所以()sin()1
tan cos()3
A B A B A B --=
=-，
所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3
143
A A
B B A A B A A B -
--=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证： （1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．
B 1
A 1
C 1
