7向量证明垂直、求角
- 格式:doc
- 大小:156.89 KB
- 文档页数:4
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道,向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用,尤其是在立体几何求角和距离时,若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果,也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时,不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等,有时是互补,那么,什么时候相等,什么时候互补,如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性,当一个向量在空间的某一位置时,可以自由移动,只要满足其方向不变,其无论移动到任何位置,向量都是相等的。
根据这一性质,当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后,把它的起点放到坐标原点,然后确定其向量的方向的指向,从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系,在确定了法向量的夹角与二面角的关系后,再利用向量的数量积求出二面角的大小,下面就来具体阐述一下这一做法。
一.规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指,如:图1中的向量。
1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指,如:图1中的向量。
2n 二.法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量,二面角的大小为,向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为,当两个法向量的方向都向里或都向外指时,则有21,n n ϕ(图2);πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时(图3)ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量,从而确定法向量的方向指向1.已知二面角,若平面的法向量,由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知,坐标是(4,4,3)的向量有无数多个,根据向量的自由性,我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可,如图4所示,从而,我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向,是指向二面角的里面。
α2.若平面法向量,同理可做出从原点出发的法向量,如图5α)1,3,4(--=n 所示,显然,方向是指向二面角的外面。
§7.6空间向量的概念与运算考试要求 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(或平行向量)共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=x a+y b.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x a+y b+z c,{a,b,c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积a·b a1b1+a2b2+a3b3共线a=λb a1=λb1,a2=λb2,(b ≠0,λ∈R )a 3=λb 3 垂直 a ·b =0 (a ≠0,b ≠0)a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0模 |a |a 21+a 22+a 23夹角余弦值 cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |(a ≠0,b ≠0)cos 〈a ,b 〉= a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a 21+a 22+a 23·b 21+b 22+b 234.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合,则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量:直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,则向量a 为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示 直线l 1,l 2的方向向量分别为n 1,n 2 l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1=λn 2(λ∈R ) l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0 直线l 的方向向量为n ,平面α的法向量为m ,l ⊄αl ∥α n ⊥m ⇔n ·m =0 l ⊥α n ∥m ⇔n =λm (λ∈R ) 平面α,β的法向量分别为n ,m α∥β n ∥m ⇔n =λm (λ∈R ) α⊥βn ⊥m ⇔n ·m =0常用结论1.在平面中,A ,B ,C 三点共线的充要条件是:OA →=xOB →+yOC →(其中x +y =1),O 为平面内任意一点.2.在空间中,P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件是:OP →=xOA →+yOB →+zOC →(其中x +y +z =1),O 为空间中任意一点. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行,则a ∥α.( × )(3)在空间直角坐标系中,在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0,b ,c ).( √ ) (4)若a ·b <0,则〈a ,b 〉是钝角.( × )教材改编题1.若{a ,b ,c }为空间向量的一个基底,则下列各项中,能构成空间向量的一个基底的是( ) A .{a ,a +b ,a -b } B .{b ,a +b ,a -b } C .{c ,a +b ,a -b } D .{a +b ,a -b ,a +2b } 答案 C解析 ∵λa +μb (λ,μ∈R )与a ,b 共面. ∴A ,B ,D 不正确.2.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →=a ,AD →=b ,AA 1—→=c ,则下列向量中与BM →相等的向量是( )A .-12a +12b +cB.12a +12b +c C .-12a -12b +cD.12a -12b +c 答案 A解析 由题意,根据向量运算的几何运算法则, BM →=BB 1—→+B 1M —→=AA 1—→+12(AD →-AB →)=c +12(b -a )=-12a +12b +c .3.设直线l 1,l 2的方向向量分别为a =(-2,2,1),b =(3,-2,m ),若l 1⊥l 2,则m =________. 答案 10解析 ∵l 1⊥l 2,∴a ⊥b , ∴a ·b =-6-4+m =0,∴m =10.题型一 空间向量的线性运算例1 如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AA 1—→=a ,AB →=b ,AD →=c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量:(1)AP →;(2)A 1N —→;(3)MP →+NC 1—→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点, ∴AP →=AA 1—→+A 1P —→=AA 1—→+A 1D 1—→+D 1P —→ =AA 1—→+AD →+12DC →=a +c +12AB →=a +c +12b .(2)∵N 是BC 的中点, ∴A 1N —→=A 1A —→+AB →+BN → =-a +b +12BC →=-a +b +12AD →=-a +b +12c .(3)∵M 是AA 1的中点, ∴MP →=MA →+AP →=12A 1A —→+AP →=-12a +(a +c +12b )=12a +12b +c . 又NC 1—→=NC →+CC 1—→=12BC →+AA 1—→=12AD →+AA 1—→=12c +a . ∴MP →+NC 1—→=⎝⎛⎭⎫12a +12b +c +⎝⎛⎭⎫12c +a=32a +12b +32c . 教师备选如图,在三棱锥O -ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量OA →,OB →,OC →表示OG →,则下列表示正确的是( )A.14OA →+12OB →+13OC →B.12OA →+12OB →+12OC → C .-16OA →+13OB →+13OC →D.13OA →+13OB →+13OC → 答案 D解析 MG →=MA →+AG →=12OA →+23AN →=12OA →+23(ON →-OA →)=12OA →+23⎣⎡⎦⎤12(OB →+OC →)-OA →=-16OA →+13OB →+13OC →.OG →=OM →+MG →=12OA →-16OA →+13OB →+13OC →=13OA →+13OB →+13OC →.思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练1 (1)(2022·宁波模拟)如图,在三棱锥O -ABC 中,点P ,Q 分别是OA ,BC 的中点,点D 为线段PQ 上一点,且PD →=2DQ →,若记OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,则OD →等于( )A.16a +13b +13cB.13a +13b +13cC.13a +16b +13cD.13a +13b +16c 答案 A解析 OD →=OP →+PD →=12OA →+23PQ →=12OA →+23(OQ →-OP →) =12OA →+23OQ →-23OP → =12OA →+23×12(OB →+OC →)-23×12OA → =16OA →+13OB →+13OC → =16a +13b +13c . (2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点F 是侧面CDD 1C 1的中心,若AF →=xAD →+yAB →+zAA 1—→,则x -y +z 等于( )A.12 B .1 C.32 D .2 答案 B解析 AF →=AD →+DF →=AD →+12(DD 1—→+D 1C 1—→)=AD →+12(AA 1—→+A 1B 1—→)=AD →+12(AA 1—→+AB →)=AD →+12AB →+12AA 1—→,则x =1,y =12,z =12,则x -y +z =1.题型二 空间向量基本定理及其应用例2 已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,若点M 满足OM →=13(OA →+OB →+OC →).(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面; (2)判断点M 是否在平面ABC 内. 解 (1)由题知OA →+OB →+OC →=3OM →, 所以OA →-OM →=(OM →-OB →)+(OM →-OC →), 即MA →=BM →+CM →=-MB →-MC →, 所以MA →,MB →,MC →共面.(2)方法一 由(1)知,MA →,MB →,MC →共面且基线过同一点M , 所以M ,A ,B ,C 四点共面,从而点M 在平面ABC 内. 方法二 因为OM →=13(OA →+OB →+OC →)=13OA →+13OB →+13OC →, 又因为13+13+13=1,所以M ,A ,B ,C 四点共面,从而M 在平面ABC 内. 教师备选如图所示,已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →=kAC 1—→,BN →=kBC →(0≤k ≤1).判断向量MN →是否与向量AB →,AA 1—→共面.解 因为AM →=kAC 1—→,BN →=kBC →, 所以MN →=MA →+AB →+BN →=kC 1A —→+AB →+kBC →=k (C 1A —→+BC →)+AB →=k (C 1A —→+B 1C 1—→)+AB → =kB 1A —→+AB →=AB →-kAB 1—→=AB →-k (AA 1—→+AB →) =(1-k )AB →-kAA 1—→,所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1—→共面. 思维升华 证明空间四点P ,M ,A ,B 共面的方法 (1)MP →=xMA →+yMB →;(2)对空间任一点O ,OP →=OM →+xMA →+yMB →;(3)对空间任一点O ,OP →=xOM →+yOA →+zOB →(x +y +z =1); (4)PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A .|a |-|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 B .若AB →,CD →共线,则AB ∥CDC .A ,B ,C 三点不共线,对空间任意一点O ,若OP →=34OA →+18OB →+18OC →,则P ,A ,B ,C四点共面D .若P ,A ,B ,C 为空间四点,且有P A →=λPB →+μPC →(PB →,PC →不共线),则λ+μ=1是A ,B ,C 三点共线的充要条件 答案 CD解析 由|a |-|b |=|a +b |,可得向量a ,b 的方向相反,此时向量a ,b 共线,反之,当向量a ,b 同向时,不能得到|a |-|b |=|a +b |,所以A 不正确;若AB →,CD →共线,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,所以B 不正确; 由A ,B ,C 三点不共线,对空间任意一点O , 若OP →=34OA →+18OB →+18OC →,因为34+18+18=1,可得P ,A ,B ,C 四点共面,故C 正确; 若P ,A ,B ,C 为空间四点, 且有P A →=λPB →+μPC →(PB →,PC →不共线), 当λ+μ=1时,即μ=1-λ, 可得P A →-PC →=λ(PB →+CP →), 即CA →=λCB →,所以A ,B ,C 三点共线,反之也成立,即λ+μ=1是A ,B ,C 三点共线的充要条件,所以D 正确.(2)已知A ,B ,C 三点不共线,点O 为平面ABC 外任意一点,若点M 满足OM →=15OA →+45OB →+25BC →,则点M ________(填“属于”或“不属于”)平面ABC . 答案 属于解析 ∵OM →=15OA →+45OB →+25BC →=15OA →+45OB →+25(OC →-OB →)=15OA →+25OB →+25OC →,∵15+25+25=1, ∴M ,A ,B ,C 四点共面. 即点M ∈平面ABC .题型三 空间向量数量积及其应用例3 如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算:(1)EF →·BA →.(2)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. 解 设AB →=a ,AC →=b ,AD →=c . 则|a |=|b |=|c |=1,〈a ,b 〉=〈b ,c 〉=〈c ,a 〉=60°, (1)EF →=12BD →=12c -12a ,BA →=-a ,EF →·BA →=⎝⎛⎭⎫12c -12a ·(-a ) =12a 2-12a ·c =14. (2)AG →=12(AC →+AD →)=12b +12c ,CE →=CA →+AE →=-b +12a ,cos 〈AG →,CE →〉=AG →·CE →|AG →||CE →|=⎝⎛⎭⎫12b +12c ·⎝⎛⎭⎫-b +12a ⎝⎛⎭⎫12b +12c 2·⎝⎛⎭⎫12a -b 2=-1232×32=-23,由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0,π2, 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.教师备选已知MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则PM →·PN →的取值范围为( )A.[]0,4B.[]0,2C.[]1,4D.[]1,2 答案 B解析 设正方体内切球的球心为O , 则OM =ON =1,PM →·PN →=()PO →+OM →·()PO →+ON →=PO →2+PO →·()OM →+ON →+OM →·ON →, ∵MN 为球O 的直径,∴OM →+ON →=0,OM →·ON →=-1,∴PM →·PN →=PO →2-1, 又P 在正方体表面上移动,∴当P 为正方体顶点时,||PO →最大,最大值为3;当P 为内切球与正方体的切点时,||PO →最小,最小值为1, ∴PO →2-1∈[]0,2,即PM →·PN →的取值范围为[]0,2.思维升华 由向量数量积的定义知,要求a 与b 的数量积,需已知|a |,|b |和〈a ,b 〉,a 与b 的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b 计算准确. 跟踪训练3 如图所示,在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,底面为平行四边形,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长; (2)求证:AC 1⊥BD ;(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解 记AB →=a ,AD →=b ,AA 1—→=c , 则|a |=|b |=|c |=1,〈a ,b 〉=〈b ,c 〉=〈c ,a 〉=60°, ∴a ·b =b ·c =c ·a =12.|AC 1—→|2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a ) =1+1+1+2×⎝⎛⎭⎫12+12+12=6, ∴|AC 1—→|=6,即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1—→=a +b +c ,BD →=b -a ,∴AC 1—→·BD →=(a +b +c )·(b -a ) =a ·b +|b |2+b ·c -|a |2-a ·b -a ·c =0. ∴AC 1—→⊥BD →,∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1—→=b +c -a ,AC →=a +b , ∴|BD 1—→|=2,|AC →|=3, BD 1—→·AC →=(b +c -a )·(a +b ) =b 2-a 2+a ·c +b ·c =1.∴cos 〈BD 1—→,AC →〉=BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|=66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.题型四 向量法证明平行、垂直例4 如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC 的中点.证明:(1)BE ⊥DC ; (2)BE ∥平面P AD ; (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意,以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1).(1)BE →=(0,1,1), DC →=(2,0,0),故BE →·DC →=0, 所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ,又P A ⊥平面ABCD , AB ⊂平面ABCD ,所以AB ⊥P A ,P A ∩AD =A ,P A ,AD ⊂平面P AD , 所以AB ⊥平面P AD ,所以AB →=(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量, 而BE →·AB →=(0,1,1)·(1,0,0)=0, 所以BE ⊥AB , 又BE ⊄平面P AD , 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →=(1,0,0), PD →=(0,2,-2), DC →=(2,0,0),设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →=0,n ·DC →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2y -2z =0,2x =0,令y =1,可得n =(0,1,1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB →=(0,1,1)·(1,0,0)=0, 所以n ⊥AB →.所以平面P AD ⊥平面PCD . 教师备选如图,已知AA 1⊥平面ABC ,BB 1∥AA 1,AB =AC =3,BC =25,AA 1=7,BB 1=27,点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点.(1)求证:EF ∥平面A 1B 1BA ; (2)求证:平面AEA 1⊥平面BCB 1.证明 因为AB =AC ,E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC . 因为AA 1⊥平面ABC ,AA 1∥BB 1,所以以过E 作平行于BB 1的垂线为z 轴,EC ,EA 所在直线分别为x 轴、y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB =3,BE =5, 所以AE =2,所以E (0,0,0),C (5,0,0), A (0,2,0),B (-5,0,0),B 1(-5,0,27). A 1(0,2,7),则F ⎝⎛⎭⎫52,1,72. (1)EF →=⎝⎛⎭⎫52,1,72,AB →=(-5,-2,0),AA 1→=(0,0,7).设平面AA 1B 1B 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →=0,n ·AA 1—→=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧-5x -2y =0,7z =0,取⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =5,z =0,所以n =(-2,5,0).因为EF →·n =52×(-2)+1×5+72×0=0,所以EF →⊥n .又EF ⊄平面A 1B 1BA , 所以EF ∥平面A 1B 1BA . (2)因为EC ⊥平面AEA 1,所以EC →=(5,0,0)为平面AEA 1的一个法向量. 又EA ⊥平面BCB 1,所以EA →=(0,2,0)为平面BCB 1的一个法向量. 因为EC →·EA →=0,所以EC →⊥EA →, 故平面AEA 1⊥平面BCB 1.思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.跟踪训练4 如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面P AD ⊥底面ABCD ,且P A =PD =22AD ,设E ,F 分别为PC ,BD 的中点.求证:(1)EF ∥平面P AD ;(2)平面P AB ⊥平面PDC .证明 (1)如图,取AD 的中点O ,连接OP ,OF .因为P A =PD ,所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,PO ⊂平面P AD , 所以PO ⊥平面ABCD .又O ,F 分别为AD ,BD 的中点, 所以OF ∥AB .又四边形ABCD 是正方形, 所以OF ⊥AD . 因为P A =PD =22AD , 所以P A ⊥PD ,OP =OA =a2.如图,以O 为坐标原点,OA ,OF ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则A ⎝⎛⎭⎫a 2,0,0,F ⎝⎛⎭⎫0,a2,0, D ⎝⎛⎭⎫-a 2,0,0,P ⎝⎛⎭⎫0,0,a 2, B ⎝⎛⎭⎫a 2,a ,0,C ⎝⎛⎭⎫-a2,a ,0. 因为E 为PC 的中点, 所以E ⎝⎛⎭⎫-a 4,a 2,a4. 易知平面P AD 的一个法向量为 OF →=⎝⎛⎭⎫0,a 2,0, 因为EF →=⎝⎛⎭⎫a 4,0,-a 4,OF →·EF →=⎝⎛⎭⎫0,a 2,0·⎝⎛⎭⎫a4,0,-a 4=0.且EF ⊄平面P AD ,所以EF ∥平面P AD . (2)因为P A →=⎝⎛⎭⎫a2,0,-a 2, CD →=(0,-a ,0),所以P A →·CD →=⎝⎛⎭⎫a2,0,-a 2·(0,-a ,0)=0, 所以P A →⊥CD →, 所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ,PD ∩CD =D ,PD ,CD ⊂平面PDC ,所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ,所以平面P AB ⊥平面PDC .课时精练1.已知a =(2,1,-3),b =(0,-3,2),c =(-2,1,2),则a ·(b +c )等于( ) A .18 B .-18 C .3 2 D .-3 2 答案 B解析 因为b +c =(-2,-2,4), 所以a ·(b +c )=-4-2-12=-18.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →=xOA →+yOB →+zOC →(x ,y ,z ∈R ),则“x =2,y =-3,z =2”是“P ,A ,B ,C 四点共面”的( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 B解析 由x +y +z =1,得P ,A ,B ,C 四点共面,当P ,A ,B ,C 四点共面时,x +y +z =1,显然不止2,-3,2.故“x =2,y =-3,z =2”是“P ,A ,B ,C 四点共面”的充分不必要条件. 3.已知空间向量a =(1,0,1),b =(1,1,n ),且a·b =3,则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 A解析 由题意,a ·b =1+0+n =3, 解得n =2, 又|a |=1+0+1=2,|b |=1+1+4=6,所以cos 〈a ,b 〉=a·b |a ||b |=32×6=32,又〈a ,b 〉∈[0,π], 所以a 与b 的夹角为π6.4.直线l 的一个方向向量为(2,1,1),平面α的一个法向量为(4,2,2),则( ) A .l ∥α B .l ⊥α C .l ∥α或l ⊂αD .l 与α的位置关系不能判断 答案 B解析 直线l 的一个方向向量为(2,1,1),平面α的一个法向量为(4,2,2), 显然它们共线,所以l ⊥α.5.(多选)已知空间三点A (1,0,3),B (-1,1,4),C (2,-1,3),若AP →∥BC →,且|AP →|=14,则点P 的坐标为( ) A .(4,-2,2) B .(-2,2,4) C .(-4,2,-2) D .(2,-2,4)答案 AB解析 因为B (-1,1,4),C (2,-1,3), 所以BC →=(3,-2,-1), 因为AP →∥BC →,所以可设AP →=λBC →=(3λ,-2λ,-λ), 因为|AP →|=(3λ)2+(-2λ)2+(-λ)2=14,解得λ=±1,所以AP →=(3,-2,-1)或AP →=(-3,2,1), 设点P (x ,y ,z ),则AP →=(x -1,y ,z -3), 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x -1=3,y =-2,z -3=-1或⎩⎪⎨⎪⎧ x -1=-3,y =2,z -3=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =4,y =-2,z =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =2,z =4.所以点P 的坐标为(4,-2,2)或(-2,2,4).6.(多选)已知空间中三点A (0,1,0),B (2,2,0),C (-1,3,1),则下列结论正确的有( ) A.AB →与AC →是共线向量B .与AB →共线的单位向量是(1,1,0) C.AB →与BC →夹角的余弦值是-5511D .平面ABC 的一个法向量是(1,-2,5) 答案 CD解析 对于A ,AB →=(2,1,0),AC →=(-1,2,1),不存在实数λ,使得AB →=λAC →, 所以AB →与AC →不是共线向量,所以A 错误;对于B ,因为AB →=(2,1,0),所以与AB →共线的单位向量为⎝⎛⎭⎫255,55,0或⎝⎛⎭⎫-255,-55,0,所以B 错误;对于C ,向量AB →=(2,1,0),BC →=(-3,1,1), 所以cos 〈AB →,BC →〉=AB →·BC →|AB →||BC →|=-5511,所以C 正确;对于D ,设平面ABC 的法向量是n =(x ,y ,z ), 因为AB →=(2,1,0),AC →=(-1,2,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →=0,n ·AC →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =0,-x +2y +z =0.令x =1,则n =(1,-2,5),所以D 正确.7.已知a =(x ,1,1),b =(-2,2,y ),a ·b =0,则2x -y =________. 答案 2解析 因为a =(x ,1,1),b =(-2,2,y ),a ·b =0,所以-2x +2+y =0,2x -y =2.8.已知点A (-1,1,0),B (1,2,0),C (-2,-1,0),D (3,4,0),则AB →在CD →上的投影向量为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32,32,0解析 由已知得AB →=(2,1,0),CD →=(5,5,0), ∴AB →·CD →=2×5+1×5+0=15, 又|CD →|=52,∴AB →在CD →上的投影向量为AB →·CD →|CD →|·CD →|CD →|=1552×CD →52=310CD →=⎝⎛⎭⎫32,32,0. 9.如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB =1,∠BCA =90°,棱AA 1=2,M ,N 分别是A 1B 1,A 1A 的中点.(1)求BN →的长;(2)求cos 〈BA 1—→,CB 1—→〉的值; (3)求证:A 1B ⊥C 1M .(1)解 以C 为坐标原点,CA ,CB ,CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图.B (0,1,0),N (1,0,1), ∴BN →=(1,-1,1),∴|BN →|=12+(-1)2+12= 3.(2)解 ∵A 1(1,0,2),B (0,1,0),C (0,0,0), B 1(0,1,2),∴BA 1—→=(1,-1,2),CB 1—→=(0,1,2), ∴BA 1—→·CB 1—→=3,|BA 1—→|=6,|CB 1—→|= 5. ∴cos 〈BA 1—→,CB 1—→〉=BA 1—→·CB 1—→|BA 1—→||CB 1—→|=3010.(3)证明 ∵C 1(0,0,2),M ⎝⎛⎭⎫12,12,2, ∴A 1B —→=(-1,1,-2),C 1M —→=⎝⎛⎭⎫12,12,0, ∴A 1B —→·C 1M —→=-12+12+0=0.∴A 1B —→⊥C 1M —→, ∴A 1B ⊥C 1M .10.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD =DC ,E ,F 分别是AB ,PB 的中点.(1)求证:EF ⊥CD ;(2)在平面P AD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB .(1)证明 如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设AD =a ,则D (0,0,0),A (a ,0,0),B (a ,a ,0), C (0,a ,0),E ⎝⎛⎭⎫a ,a2,0,P (0,0,a ), F ⎝⎛⎭⎫a 2,a 2,a 2.EF →=⎝⎛⎭⎫-a 2,0,a 2,DC →=(0,a ,0). 因为EF →·DC →=0,所以EF →⊥DC →,即EF ⊥CD . (2)解 设G (x ,0,z ), 则FG →=⎝⎛⎭⎫x -a 2,-a 2,z -a 2, CB →=(a ,0,0),CP →=(0,-a ,a ), 若使GF ⊥平面PCB ,则需FG →·CB →=0, 且FG →·CP →=0,由FG →·CB →=⎝⎛⎭⎫x -a 2,-a 2,z -a 2·(a ,0,0) =a ⎝⎛⎭⎫x -a 2=0,得x =a2, 由FG →·CP →=⎝⎛⎭⎫x -a 2,-a 2,z -a 2·(0,-a ,a ) =a 22+a ⎝⎛⎭⎫z -a 2=0,得z =0. 所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a2,0,0, 即G 为AD 的中点时,GF ⊥平面PCB .11.(多选)(2022·山东百师联盟大联考)下面四个结论正确的是( ) A .向量a ,b (a ≠0,b ≠0),若a ⊥b ,则a·b =0B .若空间四个点P ,A ,B ,C ,PC →=14P A →+34PB →,则A ,B ,C 三点共线C .已知向量a =(1,1,x ),b =(-3,x ,9),若x <310,则〈a ,b 〉为钝角D .任意向量a ,b ,c 满足(a·b )·c =a·(b·c ) 答案 AB解析 由向量垂直的充要条件可得A 正确; ∵PC →=14P A →+34PB →,∴14PC →-14P A →=34PB →-34PC →, 即AC →=3CB →,∴A ,B ,C 三点共线,故B 正确;当x =-3时,两个向量共线,夹角为π,故C 错误; 由于向量的数量积运算不满足结合律,故D 错误.12.(多选)(2022·重庆市第七中学月考)给出下列命题,其中为假命题的是( ) A .已知n 为平面α的一个法向量,m 为直线l 的一个方向向量,若n ⊥m ,则l ∥α B .已知n 为平面α的一个法向量,m 为直线l 的一个方向向量,若〈n ,m 〉=2π3,则l 与α所成角为π6C .若两个不同的平面α,β的法向量分别为u ,v ,且u =(1,2,-2),v =(-2,-4,4),则α∥βD .已知空间的三个向量a ,b ,c ,则对于空间的任意一个向量p ,总存在实数x ,y ,z 使得p =x a +y b +z c 答案 AD解析 对于A ,由题意可得l ∥α或l ⊂α,故A 错误; 对于B ,由图象可得,∠CAD =2π3,则∠DAB =π3,所以∠ADB =π6,根据线面角的定义可得,l 与α所成角为π6,故B 正确;对于C ,因为u =-12v =-12(-2,-4,4)=(1,2,-2),所以u ∥v ,故α∥β,故C 正确;对于D ,当空间的三个向量a ,b ,c 不共面时,对于空间的任意一个向量p ,总存在实数x ,y ,z 使得p =x a +y b +z c ,故D 错误.13.(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为A 1D 1,BB 1的中点,则cos ∠EAF =________;EF =________.答案 25 62解析 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,∵正方体棱长为1,则E ⎝⎛⎭⎫0,12,1,F ⎝⎛⎭⎫1,0,12, ∴AE →=⎝⎛⎭⎫0,12,1,AF →=⎝⎛⎭⎫1,0,12, EF →=⎝⎛⎭⎫1,-12,-12,cos 〈AE →,AF →〉=AE →·AF →|AE →||AF →|=1252×52=25,∴cos ∠EAF =25,EF =|EF →|=12+⎝⎛⎭⎫-122+⎝⎛⎭⎫-122=62. 14.如图,已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1为平行四边形,E 为棱AB 的中点,AF →=13AD →,AG →=2GA 1—→,AC 1与平面EFG 交于点M ,则AM AC 1=________.答案213解析 由题图知,设AM →=λAC 1—→(0<λ<1),由已知AC 1—→=AB →+AD →+AA 1—→=2AE →+3AF →+32AG →,所以AM →=2λAE →+3λAF →+3λ2AG →,因为M ,E ,F ,G 四点共面,所以2λ+3λ+3λ2=1,解得λ=213.15.已知O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA →=(1,2,3),OB →=(2,1,2),OP →=(1,1,2),且点Q 在直线OP 上运动,当QA →·QB →取得最小值时,OQ →的坐标是______. 答案 ⎝⎛⎭⎫43,43,83解析 因为点Q 在直线OP 上,所以设点Q (λ,λ,2λ), 则QA →=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB →=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA →·QB →=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6⎝⎛⎭⎫λ-432-23. 即当λ=43时,QA →·QB →取得最小值-23,此时OQ →=⎝⎛⎭⎫43,43,83.16.(2022·株州模拟)如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由.(1)证明 设BD 与AC 交于点O , 则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,所以A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·AO cos 60°=3, 所以AO 2+A 1O 2=AA 21,所以A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD , 且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD =AC , A 1O ⊂平面AA 1C 1C ,所以A 1O ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点,OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3). 由于BD →=(-23,0,0),AA 1—→=(0,1,3), AA 1—→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0, 所以BD →⊥AA 1—→,即BD ⊥AA 1. (2)解 假设在直线CC 1上存在点P , 使BP ∥平面DA 1C 1, 设CP →=λCC 1—→,P (x ,y ,z ), 则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3).从而有P (0,1+λ,3λ),BP →=(-3,1+λ,3λ). 设平面DA 1C 1的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1—→=0,n 1·DA 1—→=0,又A 1C 1—→=(0,2,0),DA 1—→=(3,0,3),则⎩⎪⎨⎪⎧2y 1=0,3x 1+3z 1=0,取n 1=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1,所以n 1⊥BP →, 即n 1·BP →=-3-3λ=0,解得λ=-1, 即点P 在C 1C 的延长线上,且|CP →|=|CC 1—→|.。
第七篇 立体几何与空间向量 专题7.05 用向量法证明平行与垂直【考纲要求】1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义.2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 【命题趋势】空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具,解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题. 【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a =0,n·b =0. 2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .(2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ⊂α⇔ 存在两个实数x ,y ,使v =x v 1+y v 2 .(3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ⊂α⇔ v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β ⇔ u 1∥u 2 . 3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2, 则l 1⊥l 2⇔ v 1⊥v 2 ⇔ v 1·v 2=0 . (2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u , 则l ⊥α⇔ v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β ⇔ u 1⊥u 2 ⇔ u 1·u 2=0 .【基础检测题】一、选择题1.若直线l ∥平面α,直线l 的方向向量为s ,平面α的法向量为n ,则下列结论可能正确的是( ) A .s =(-1,0,2),n =(1,0,-1) B .s =(-1,0,1),n =(1,2,-1) C .s =(-1,1,1),n =(1,2,-1) D .s =(-1,1,1),n =(-2,2,2) 【答案】C【解析】由已知需s ·n =0,逐个验证知,只有C 项符合要求,故选C. 2.(2019·邢台期末)已知AB →=(2,2,1),AC →=(4,5,3),则平面ABC 的单位法向量为( ) A .(13,-23,23) B .(-13,23,-23) C .±(13,-23,23) D .(23,13,-23) 【答案】C【解析】设平面ABC 的法向量n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n =0,AC →·n =0, 即⎩⎪⎨⎪⎧2x +2y +z =0,4x +5y +3z =0.令z =1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =-1.所以n =(12,-1,1).所以平面ABC 的单位法向量为±n|n|=±(13,-23,23). 3.直线l 的方向向量s =(-1,1,1),平面α的法向量为n =(2,x 2+x ,-x ),若直线l ∥平面α,则x =( ) A .-2 B .- 2 C. 2 D .±2【答案】D【解析】 由已知得s ·n =0,故-1×2+1×(x 2+x )+1×(-x )=0,解得x =±2. 4.(2019·合肥八中月考)已知平面α内有一个点M (1,-1,2),平面α的一个法向量是n =(6,-3,6),则下列点P 在平面α内的是( )A .P (2,3,3)B .P (-2,0,1)C .P (-4,4,0)D .P (3,-3,4) 【答案】A【解析】 因为n =(6,-3,6)是平面α的法向量,所以n ⊥MP →,在选项A 中,MP →=(1,4,1),所以n ·MP →=0. 5.(2019·南阳期末)若两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1=(1,0,-1),v 2=(-2,0,2),则l 1与l 2的位置关系是( )A .平行B .相交C .垂直D .不确定 【答案】A【解析】v 2=-2v 1,所以l 1∥l 2.6.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =2a3,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A .斜交B .平行C .垂直D .不确定 【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由于A 1M =AN =2a 3,则M ⎝⎛⎭⎫a ,2a 3,a 3,N ⎝⎛⎭⎫2a 3,2a 3,a ,MN →=⎝⎛⎭⎫-a 3,0,2a 3,又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ,所以C 1D 1→=(0,a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量.因为MN →·C 1D 1→=0,所以MN →⊥C 1D 1→,所以MN ∥平面BB 1C 1C ,故选B.二、填空题7.若直线l 的方向向量e =(2,1,m ),平面α的法向量n =⎝⎛⎭⎫1,12,2,且l ⊥α,则m =________.【答案】4【解析】因为l ⊥α,所以e ∥n ,即e =λn (λ≠0),亦即(2,1,m )=λ⎝⎛⎭⎫1,12,2,所以⎩⎪⎨⎪⎧λ=2,m =2λ.则m =4.8.已知AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →=(x -1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为________. 【答案】407,-157,4【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3+5-2z =0,x -1+5y +6=0,x -+y -3z =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =407,y=-157,z =4.9.已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 【答案】平行【解析】由已知得,AB →=(0,1,-1),AC →=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AB →,m ⊥AC →,得⎩⎪⎨⎪⎧ y -z =0,x -z =0.得⎩⎪⎨⎪⎧x =z ,y =z ,令z =1,得m =(1,1,1). 又n =(-1,-1,-1),所以m =-n ,即m ∥n ,所以α∥β. 三、解答题10.如图,四棱锥P -ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,且PA =AD =2,E ,F ,H 分别是线段PA ,PD ,AB 的中点.求证: (1)PB ∥平面EFH ; (2)PD ⊥平面AHF.【答案】见解析;【解析】:证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.所以A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),H (1,0,0). (1)因为PB →=(2,0,-2),EH →=(1,0,-1),所以PB →=2EH →, 所以PB ∥EH .因为PB ⊄平面EFH ,EH ⊂平面EFH , 所以PB ∥平面EFH .(2)PD →=(0,2,-2),AH →=(1,0,0),AF →=(0,1,1),所以PD →·AF →=0×0+2×1+(-2)×1=0,PD →·AH →=0×1+2×0+(-2)×0=0,所以PD ⊥AF ,PD ⊥AH ,又因为AF ∩AH =A ,所以PD ⊥平面AHF .11.如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G 分别为A 1B 1,B 1C 1,C 1D 1的中点. (1)求证:AG ∥平面BEF ;(2)试在棱长BB 1上找一点M ,使DM ⊥平面BEF ,并证明你的结论.【答案】见解析;【解析】:(1)以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴和z 轴建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (1,1,0),E ⎝⎛⎭⎫1,12,1,F ⎝⎛⎭⎫12,1,1,G ⎝⎛⎭⎫0,12,1,因为EF →=⎝⎛⎭⎫-12,12,0,BF →=⎝⎛⎭⎫-12,0,1,而AG →=⎝⎛⎭⎫-1,12,1,所以AG →=EF →+BF →,故AG →与平面BEF 共面,又因为AG 不在平面BEF 内,所以AG ∥平面BEF .(2)设M (1,1,m ),则DM →=(1,1,m ),由DM →·EF →=0,DM →·BF →=0,所以-12+m =0⇒m =12 ,所以M 为棱BB 1的中点时,DM ⊥平面BEF .12.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点E 在AA 1上,点F 在CC 1上,且AE =FC 1=1. (1)求证:E ,B ,F ,D 1四点共面;(2)若点G 在BC 上,BG =23,点M 在BB 1上,GM ⊥BF ,垂足为H ,求证:EM ⊥平面BCC 1B 1.【答案】见解析;【解析】:证明 (1)以B 为原点,以BA ,BC ,BB 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ,则B (0,0,0),E (3,0,1),F (0,3,2),D 1(3,3,3),则BE →=(3,0,1),BF →=(0,3,2),BD 1→=(3,3,3),所以BD 1→=BE →+BF →.由向量共面的充要条件知E ,B ,F ,D 1四点共面.(2)设M (0,0,z 0),G ⎝⎛⎭⎫0,23,0,则GM →=⎝⎛⎭⎫0,-23,z 0, 而BF →=(0,3,2),由题设得GM →·BF →=-23×3+z 0·2=0, 得z 0=1.故M (0,0,1),有ME →=(3,0,0).又BB 1→=(0,0,3),BC →=(0,3,0),所以ME →·BB 1→=0,ME →·BC →=0,从而ME ⊥BB 1,ME ⊥BC . 又BB 1∩BC =B ,故ME ⊥平面BCC 1B 1.13.如图,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直.AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =2CD =2BC ,EA ⊥EB . (1)求证:AB ⊥DE ;(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值;(3)线段EA 上是否存在点F ,使EC ∥平面FBD ?若存在,求出EFEA ;若不存在,请说明理由.【答案】见解析;【解析】:(1)证明:取AB 的中点O ,连接EO ,DO .因为EB =EA ,所以EO ⊥AB . 因为四边形ABCD 为直角梯形.AB =2CD =2BC ,AB ⊥BC ,所以四边形OBCD 为正方形,所以AB ⊥OD . 因为EO ∩DO =O ,所以AB ⊥平面EOD ,所以AB ⊥ED . (2)因为平面ABE ⊥平面ABCD ,且EO ⊥AB , 所以EO ⊥平面ABCD ,所以EO ⊥OD .由OB ,OD ,OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 因为三角形EAB 为等腰直角三角形, 所以OA =OB =OD =OE ,设OB =1,所以O (0,0,0),A (-1,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),E (0,0,1). 所以EC →=(1,1,-1),平面ABE 的一个法向量为OD →=(0,1,0). 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ,所以sin θ=|cos 〈EC →,OD →〉|=|EC →·O D →||EC →||OD →|=33,即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. (3)存在点F ,且EF EA =13时,有EC ∥平面FBD . 证明如下:由EF →=13EA →=⎝⎛⎭⎫-13,0,-13,得F ⎝⎛⎭⎫-13,0,23,所以FB →=⎝⎛⎭⎫43,0,-23,BD →=(-1,1,0). 设平面FBD 的法向量为v =(a ,b ,c ),则有⎩⎪⎨⎪⎧v ·BD →=0,v ·FB →=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧-a +b =0,43a -23c =0,取a =1,得v =(1,1,2).因为EC →·v =(1,1,-1)·(1,1,2)=0,且EC ⊄平面FBD ,所以EC ∥平面FBD ,即点F 满足EF EA =13时,有EC ∥平面FBD .【高考真题解密】1. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)5. 【解析】(1)连结B 1C ,ME .因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点, 所以ME ∥B 1C ,且ME =12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点,所以ND =12A 1D . 由题设知A 1B 1=DC ,可得B 1C =A 1D ,故ME =ND ,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED .又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE . (2)由已知可得DE ⊥DA .以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ,则(2,0,0)A ,A 1(2,0,4),2)M ,(1,0,2)N ,1(0,0,4)A A =-,1(12)A M =--,1(1,0,2)A N =--,(0,MN =.设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量,则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,所以2040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩,.可取=m .设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量,则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,.n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩,.可取(2,0,1)=-n .于是cos ,||5⋅〈〉===‖m n m n m n , 所以二面角1A MA N --【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型.2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图,长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,点E 在棱AA 1上,BE ⊥EC 1.(1)证明:BE ⊥平面EB 1C 1;(2)若AE =A 1E ,求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)2. 【解析】(1)由已知得,11B C ⊥平面11ABB A ,BE ⊂平面11ABB A , 故11B C ⊥BE .又1BE EC ⊥,所以BE ⊥平面11EB C .(2)由(1)知190BEB ∠=︒.由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △,所以45AEB ∠=︒, 故AE AB =,12AA AB =.以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,||DA 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ,则C (0,1,0),B (1,1,0),1C (0,1,2),E (1,0,1),(1,0,0)CB =,(1,1,1)CE =-,1(0,0,2)CC =.设平面EBC 的法向量为n =(x ,y ,x ),则 0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =(x ,y ,z ),则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =(1,1,0). 于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m . 所以,二面角1B EC C --【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定,考查了利用空间向量求二角角的余弦值,以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力.3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.(1)证明:图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ;(2)求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【答案】(1)见解析;(2)30.【解析】(1)由已知得AD BE ,CG BE ,所以AD CG ,故AD ,CG 确定一个平面,从而A ,C ,G ,D 四点共面.由已知得AB ⊥BE ,AB ⊥BC ,故AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面BCGE .(2)作EH ⊥BC ,垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ,平面BCGE ⊥平面ABC ,所以EH ⊥平面ABC . 由已知,菱形BCGE 的边长为2,∠EBC =60°,可求得BH =1,EH以H 为坐标原点,HC 的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ,则A (–1,1,0),C (1,0,0),G (2,0CG =(1,0AC =(2,–1,0).设平面ACGD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =(3,6,).又平面BCGE 的法向量可取为m =(0,1,0),所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m . 因此二面角B –CG –A 的大小为30°.【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题,首先是多面体折叠问题,考查考生在折叠过程中哪些量是不变的,再者折叠后的多面体不是直棱柱,最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题,突出考查考生的空间想象能力.4.【2019年高考北京卷理数】如图,在四棱锥P –ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ⊥CD ,AD ∥BC ,PA =AD =CD =2,BC =3.E 为PD 的中点,点F 在PC 上,且13PF PC =. (1)求证:CD ⊥平面PAD ;(2)求二面角F –AE –P 的余弦值;(3)设点G 在PB 上,且23PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)(3)见解析. 【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD .又因为AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD .(2)过A 作AD 的垂线交BC 于点M .因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AM ,PA ⊥AD .如图建立空间直角坐标系A −xyz ,则A (0,0,0),B (2,-1,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为E 为PD 的中点,所以E (0,1,1).所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=. 所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设平面AEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1,则1,1y x =-=-.于是=(1,1,1)--n .又因为平面PAD 的法向量为p =(1,0,0),所以cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知,二面角F −AE −P(3)直线AG 在平面AEF 内.因为点G 在PB 上,且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--, 所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由(2)知,平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n . 所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内.【名师点睛】(1)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;(2)建立空间直角坐标系,结合两个半平面的法向量即可求得二面角F −AE −P 的余弦值;(3)首先求得点G 的坐标,然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内.5.【2019年高考浙江卷】如图,已知三棱柱111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒,1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ,A 1B 1的中点. (1)证明:EF BC ⊥;(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)35.【解析】方法一:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E 平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E EG由于O 为A 1G的中点,故12A G EO OG === 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅. 因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 方法二:(1)连接A 1E ,因为A 1A =A 1C ,E 是AC 的中点,所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ,所以,A 1E ⊥平面ABC .如图,以点E 为原点,分别以射线EC ,EA 1为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E –xyz .不妨设AC =4,则A 1(0,0,B,1,0),1B,3,2F ,C (0,2,0).因此,33(,2EF =,(BC =. 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥.(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得1=(310)=(02BC A C --,,,,,. 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =,,, 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 取n (11)=,故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅,n n n |,因此,直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35. 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.【考法拓展•题型解码】考法一 利用空间向量证明平行问题解题技巧(1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【例1】 如图所示,平面PAD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA =AD =2,E ,F ,G 分别是线段PA ,PD ,CD 的中点.求证:PB ∥平面EFG .【答案】见解析;【解析】:证明 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为正方形,所以AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).所以PB →=(2,0,-2),FE →=(0,-1,0),FG →=(1,1,-1),设PB →=sFE →+tFG →,即(2,0,-2)=s (0,-1,0)+t (1,1,-1),所以⎩⎪⎨⎪⎧ t =2,t -s =0,-t =-2,解得s =t =2.所以PB →=2FE →+2FG →,又因为FE →与FG →不共线,所以PB →,FE →与FG →共面.因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG .考法二 利用空间向量证明垂直问题解题技巧证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直;证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可,当然,也可证直线的方向向量与平面的法向量平行;证明面面垂直:①证明两平面的法向量互相垂直;②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.【例2】 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析;【解析】:证明 如图所示,取BC 的中点O ,连接AO .因为△ABC 为正三角形,所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1,连OO 1,以O 为原点,分别以OB →,OO 1→,OA →所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (-1,1,0),A (0,0,3),A 1(0,2,3),B 1(1,2,0).设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),BA 1→=(-1,2,3),BD →=(-2,1,0).因为n ⊥BA 1→,n ⊥BD →,故⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA 1→=0,n ·BD →=0,⇒⎩⎨⎧-x +2y +3z =0,-2x +y =0,令x =1,则y =2,z =-3,故n =(1,2,-3)为平面A 1BD 的一个法向量,而AB 1→=(1,2,-3),所以AB 1→=n ,所以AB 1→∥n ,故AB 1⊥平面A 1BD .【例3】 (2019·四川绵阳中学模拟)在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为棱AD ,PB 的中点,且PD =AD .求证:平面CEF ⊥平面PBC .【答案】见解析;【解析】:证明 建立如图所示空间直角坐标系,令PD =1,则A (1,0,0),P (0,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0),E ⎝⎛⎭⎫12,0,0,F ⎝⎛⎭⎫12,12,12,设平面CEF 的一个法向量为n 1=(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·EF →=0,n 1·EC →=0,得⎩⎨⎧ 12y +12z =0,-12x +y =0,取x =1,则n 1=⎝⎛⎭⎫1,12,-12. 同理求得平面PBC 的一个法向量为n 2=⎝⎛⎭⎫0,12,12.因为n 1·n 2=1×0+12×12-12×12=0,所以n 1⊥n 2.所以平面CEF ⊥平面PBC .考法三 利用空间向量解决探索性问题归纳总结对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是先根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.【例4】 如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1.若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由.【答案】见解析;【解析】:(1)证明:设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,由余弦定理得A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·AO cos 60°=3,所以AO 2+A 1O 2=AA 21, 所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分別为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3). 则BD →=(-23,0,0),AA 1→=(0,1,3),AA 1→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0,所以BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1.(2)假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →=λCC 1→,P (x ,y ,z ),则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3).从而有P (0,1+λ,3λ),BP →=(-3,1+λ,3λ).设n 3=(x 3,y 3,z 3)为平面DA 1C 1的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→,n 3⊥DA 1→,又A 1C 1→=(0,2,0),DA 1→=(3,0,3), 则⎩⎨⎧2y 3=0,3x 3+3z 3=0,取n 3=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n 3⊥BP →, 即n 3·BP →=-3-3λ=0,得λ=-1, 即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C =CP . 【规范解答】关键点 坐标系建立要恰当、点的坐标要写准确【典例】 如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.【规范解答】:以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0), P (0,0,λ),M (2,1,2),N (1,0,2),BC 1→=(-2,0,2), FP →=(-1,0,λ),FE →=(1,1,0),MN →=(-1,-1,0), NP →=(-1,0,λ-2).(1)证明:当λ=1时,FP →=(-1,0,1),因为BC 1→=(-2,0,2),所以BC 1→=2FP →,即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n =0,FP →·n =0,可得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,-x +λz =0.于是可取n =(λ,-λ,1). 同理可得平面PQMN 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成二面角为直二面角,则m·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0, 即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22.故存在λ=1±22,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角. 答题模板1.建立适当的空间直角坐标系,让一些点、线段尽量与坐标轴重合. 2.写准点的坐标是关键,要利用中点、向量共线、相等来确定点的坐标.3.利用a =λb 证明直线平行需强调两直线不重合,证明直线与平面平行仍需强调直线在平面外. 【跟踪训练】 (2019·河北衡水中学检测)如图所示,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面PAC ,则侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC .若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,请说明理由.【答案】见解析;【解析】:连接BD ,设AC 交BD 于点O ,则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图空间直角坐标系.设底面边长为a ,则高|SO |=62a . 于是S ⎝⎛⎭⎫0,0,62a ,D ⎝⎛⎭⎫-22a ,0,0, B ⎝⎛⎭⎫22a ,0,0,C ⎝⎛⎭⎫0,22a ,0.(1)证明:OC →=⎝⎛⎭⎫0,22a ,0,SD →=⎝⎛⎭⎫-22a ,0,-62a , 则OC →·SD →=0.故OC ⊥SD ,从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .理由如下:由已知条件知DS →是平面PAC 的一个法向量,且DS →=⎝⎛⎭⎫22a ,0,62a ,CS →=⎝⎛⎭⎫0,-22a ,62a ,BC →=⎝⎛⎭⎫-22a ,22a ,0. 设CE →=tCS →,则BE →=BC →+CE →=BC →+tCS →=错误!, 而BE →·DS →=0, 所以错误!·错误!=0, 解得t =13,即当SE ∶EC =2∶1时,BE →⊥DS →. 又BE ⊄平面PAC ,故BE ∥平面PAC . 【递进题组】1.如图,在四面体ABCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD =2,BD =22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ =3QC .证明:PQ ∥平面BCD .【答案】见解析;【解析】:证明 如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD ,OP 所在射线分别为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知,A (0,2,2),.B (0,-2,0),D (0,2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0).因为AQ →=3QC →,所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0,24+34y 0,12.因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1).又P 为BM 的中点,故P ⎝⎛⎭⎫0,0,12,所以PQ →=⎝⎛⎭⎫34x 0,24+34y 0,0.又平面BCD 的一个法向量为a =(0,0,1),故=0PQ a ⋅,又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD .2.如图所示,已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D ,E ,F 分别为B 1A ,C 1C ,BC 的中点,求证: (1)DE ∥平面ABC ; (2)B 1F ⊥平面AEF .【答案】见解析;【解析】:证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz ,令AB =AA 1=4,则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B 1(4,0,4) .取AB 中点为N ,连接CN ,则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2),所以DE →=(-2,4,0),NC →=(-2,4,0), 所以DE →=NC →,所以DE ∥NC ,又因为NC ⊂平面ABC ,DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →=(-2,2,-4),EF →=(2,-2,-2),AF →=(2,2,0). B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4) ×(-2)=0, B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.所以B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF , 又因为AF ∩EF =F ,所以B 1F ⊥平面AEF .3.如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC =2,在四边形ABCD 中,∠B =∠C =90°,AB =4,CD =1,点M 在PB 上,PB =4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角. (1)求证:CM ∥平面PAD ; (2)求证:平面PAB ⊥平面PAD .【答案】见解析;【解析】:证明 (1)以C 为坐标原点,分别以CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,因为PC ⊥平面ABCD ,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角,所以∠PBC =30°.因为PC =2,所以BC =23,PB =4.所以D (0,1,0),B (23,0,0),A (23,4,0),P (0,0,2),M ⎝⎛⎭⎫32,0,32, 所以DP →=(0,-1,2),DA →=(23,3,0),CM →=⎝⎛⎭⎫32,0,32, 令n =(x ,y ,z )为平面PAD 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n =0,DA →·n =0,即⎩⎨⎧-y +2z =0,23x +3y =0,所以⎩⎨⎧z =12y ,x =-32y ,令y =2,得n =(-3,2,1).因为n ·CM →=-3×32+2×0+1×32=0, 所以n ⊥CM →,又CM ⊄平面PAD ,所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ,则E (3,2,1),BE →=(-3,2,1).因为PB =AB ,所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →=(-3,2,1)·(23,3,0)=0, 所以BE →⊥DA →,所以BE ⊥DA ,又PA ∩DA =A ,所以BE ⊥平面PAD ,又因为BE ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .4.(2019·济南调研)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)在线段BC 1上是否存在点D ,使得AD ⊥A 1B ?若存在,试求出BDBC 1的值.【答案】见解析;【解析】:(1)证明:在正方形AA 1C 1C 中,A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ,AA 1⊂平面AA 1C 1C .所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB ,在△ABC 中,AC =4,AB =3,BC =5,所以BC 2=AC 2+AB 2,所以AB ⊥AC .所以以A 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A (0,0,0),A 1(0,0,4),B (0,3,0),C 1(4,0,4),于是A 1B→=(0,3,-4),BC 1→=(4,-3,4).假设存在点D (x ,y ,z )是线段BC 1上一点,使AD ⊥A 1B ,且BD →=λBC 1→(λ∈[0,1]).所以(x ,y -3,z )=λ(4,-3,4),解得x =4λ,y =3-3λ,z =4λ,所以AD →=(4λ,3-3λ,4λ),又AD ⊥A 1B ,所以0+3(3-3λ)-16λ=0,解得λ=925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,此时BD BC 1=925.。
1第二课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件课标要求素养要求1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直.2.能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直.通过学习向量的数量积表示两向量的垂直,重点培养学生数学运算及逻辑推理素养.教材知识探究平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也不同.向量的坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极大方便. 问题 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).如何用向量的坐标来表示a ⊥b? 提示 a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0,通过向量的坐标表示可以实现向量问题的代数化.设两非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不可混淆,可以对比学习记忆.,教材拓展补遗[微判断]1.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.(×) 提示 只有a 与b 为非零向量时才正确. 2.已知a =(7,1),b =(-2,14),则a ⊥b .(√) 3.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5),则AB →⊥AC →.(√) [微训练]21.已知OA →=(-1,2),OB →=(3,m ),若OA →⊥OB →,则m =________. 答案 322.已知a =(1,2),b =(2,-2),若a +λb 与a 垂直,则λ=__________. 答案 523.在△ABC 中,AB →=(2,3),AC →=(1,k ),若A =90°,则k =__________. 答案 -23 [微思考]已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),当a 与b 平行或垂直时,需满足什么条件?提示 当a ∥b 时,有x 1y 2-x 2y 1=0;当a ⊥b 时,有x 1x 2+y 1y 2=0,这两种情况对应的公式差不多,在使用的过程中一定要分清.题型一 向量的夹角及垂直问题向量的夹角问题隐藏了许多陷阱,常因忽视“两向量夹角的概念及其范围”而出错例1 (1)已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(c -b )·a =152,则a 与c 的夹角为( ) A .30°B .60°C .120°D .150°(2)已知向量a =(1,2),b =(2,3),若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),求c 的坐标.(1)解析 ∵a ·b =-2-8=-10, ∴(c -b )·a =c ·a -b ·a =c ·a +10=152,3∴c ·a =-52.设a 与c 的夹角为θ, 则cos θ=a ·c |a |·|c | =-525×5=-12.∵0°≤θ≤180°, ∴θ=120°. 答案 C(2)解 设c 的坐标为(x ,y ), 则a +c =(1+x ,2+y ). ∵(a +c )∥b ,∴(1+x )×3-2×(2+y )=0, 即3x -2y =1.①又a +b =(3,5),且(a +b )⊥c , ∴3x +5y =0.②联立①②得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y =1,3x +5y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =521,y =-17.故c =⎝ ⎛⎭⎪⎫521,-17.规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出向量的数量积a ·b 以及|a ||b |,再由cos θ=a ·b |a ||b |4求出cos θ,也可由坐标表示cos θ=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时,应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)要注意cos θ<0有两种情况:一是θ为钝角,二是θ=π;cos θ>0也有两种情况:一是θ为锐角,二是θ=0.训练1 已知平面向量a =(3,4),b =(9,x ),c =(4,y ),且a ∥b ,a ⊥c . (1)求b 与c ;(2)若m =2a -b ,n =a +c ,求向量m ,n 的夹角的大小. 解 (1)∵a ∥b ,∴3x =4×9,∴x =12. ∵a ⊥c ,∴3×4+4y =0,∴y =-3. ∴b =(9,12),c =(4,-3).(2)m =2a -b =(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n =a +c =(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m ,n 的夹角为θ, 则cos θ=m ·n|m ||n | =-3×7+(-4)×1(-3)2+(-4)2·72+12=-25252=-22. ∴θ∈[0,π],∴θ=3π4,即m ,n 的夹角为3π4. 题型二 向量垂直的坐标表示 注意垂直的结论例2 已知在△ABC 中,A (2,-1),B (3,2),C (-3,-1),AD 为BC 边上的高,求|AD→|及点D 的坐标.解 设D 点坐标为(x ,y ),5则AD →=(x -2,y +1),BC →=(-6,-3), BD→=(x -3,y -2), ∵D 在直线BC 上,即BD →与BC →共线,∴-6(y -2)+3(x -3)=0, 即x -2y +1=0.① 又∵AD ⊥BC , ∴AD →·BC→=0, 即(x -2,y +1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x -2)-3(y +1)=0. 即2x +y -3=0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,∴|AD→|=(1-2)2+(1+1)2=5,∴|AD→|=5,点D 的坐标为(1,1). 规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来,然后坐标化,运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.【训练2】 已知a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,OA →=a -b ,OB→=a +b ,若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形,求向量b . 解 设向量b =(x ,y ).根据题意得OA →·OB →=0,|OA →|=|OB →|.∴(a -b )·(a +b )=0,|a -b |=|a +b |, ∴|a |=|b |,a ·b =0.6又∵a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,即⎝⎛x 2+y 2=1,-12x +32y =0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x =32,y =12,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-32,y =-12.∴b =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12或b =⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12.题型三 用平面向量求解平面几何问题例3 已知正方形ABCD 中,E ,F 分别是CD ,AD 的中点,BE ,CF 交于点P .求证: (1)BE ⊥CF ; (2)AP =AB .证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设AB =2,则A (0,0),B (2,0).(1)BE→=(-1,2),CF →=(-2,-1).∴BE →·CF →=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ∴BE→⊥CF →,即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ,y ),则FP →=(x ,y -1),FC→=(2,1), ∵FP→∥FC →, ∴x =2(y -1),即x =2y -2,7同理,由BP →∥BE →得y =-2x +4, 由⎩⎪⎨⎪⎧x =2y -2,y =-2x +4,得⎩⎪⎨⎪⎧x =65,y =85,∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65,85.∴|AP→|=⎝ ⎛⎭⎪⎫652+⎝ ⎛⎭⎪⎫852=2=|AB →|,即AP =AB . 规律方法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系;④把几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找出相应关系;④把几何问题向量化.【训练3】 已知在△ABC 中,C 是直角,CA =CB ,D 是CB 的中点,E 是AB 上一点,且AE =2EB ,求证:AD ⊥CE . 证明 建立如图所示的直角坐标系,设A (a ,0),则B (0,a ),E (x ,y ). ∵D 是BC 的中点,∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2.又∵AE →=2EB →,即(x -a ,y )=2(-x ,a -y ),8∴⎩⎪⎨y =2a -2y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =a 3,y =23a ,∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,23a .∵AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2-(a ,0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-a ,a 2, OE →=CE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,23a ,∴AD →·CE→=-a ×a 3+a 2×23a =-13a 2+13a 2=0, ∴AD→⊥CE →,即AD ⊥CE .一、素养落地1.通过学习本节内容,重点培养学生的数学运算及逻辑推理素养.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0,a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 二、素养训练1.已知A (1,2),B (-5,8),C (-2,-1),求证:AB →⊥AC →. 证明 AB→=(-6,6),AC →=(-3,-3),∴AB →·AC →=-6×(-3)+6×(-3)=0. ∴AB→⊥AC →. 2.已知|a |=213,b =(-2,3),且a ⊥b ,求向量a 的坐标. 解 设a =(x ,y ),9则⎩⎪⎨-2x +3y =0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =4.或⎩⎪⎨⎪⎧x =-6,y =-4.∴a =(6,4)或a =(-6,-4).3.求证:对任意实数k (k ≠0),向量m =k (-y ,x )与向量n =(x ,y )垂直. 证明 m =k (-y ,x )=(-ky ,kx ). 则(-ky ,kx )·(x ,y )=-kxy +kxy =0, ∴m =k (-y ,x )与n =(x ,y )垂直.4.已知A (3,1),向量OA→绕原点O 逆时针旋转π2后等于OB →,求点B 的坐标. 解 设B (x ,y ),由题意|OB →|=|OA →|,OA→⊥OB →, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=32+12,3x +y =0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =3.∴点B 的坐标为(-1,3).10基础达标一、选择题1.已知平面向量a =(3,1),b =(x ,-3),且a ⊥b ,则x =( ) A .3B .1C .-1D .-3解析 ∵a ⊥b ,∴a ·b =0, ∴3x -3=0,∴x =1. 答案 B2.已知a =(-3,2),b =(-1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ) A .-17B.17C .-16D.16解析 由a =(-3,2),b =(-1,0), 知λa +b =(-3λ-1,2λ),a -2b =(-1,2). 又(λa +b )·(a -2b )=0, ∴3λ+1+4λ=0, ∴λ=-17. 答案 A3.已知向量a =(1,n ),b =(-1,n ),若2a -b 与b 垂直,则|a |=( ) A .1B. 2C .2D .4解析 ∵(2a -b )·b =2a ·b -|b |2=2(-1+n 2)-(1+n 2)=n 2-3=0,∴n =±3. ∴|a |=12+n 2=2.答案 C4.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( ) A .-4B .-3C .-2D .-111解析 因为m =(λ+1,1),n =(λ+2,2). 所以m +n =(2λ+3,3),m -n =(-1,-1). 因为(m +n )⊥(m -n ),所以(m +n )·(m -n )=0, 所以-(2λ+3)-3=0,解得λ=-3.故选B. 答案 B5.已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79,73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-73,-79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73,79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-79,-73 解析 设c =(x ,y ),则c +a =(x +1,y +2), 又(c +a )∥b ,∴2(y +2)+3(x +1)=0.① 又c ⊥(a +b ),∴(x ,y )·(3,-1)=3x -y =0.② 由①②解得x =-79,y =-73.答案 D 二、填空题6.已知A (7,5),B (2,3),C (6,-7),判断△ABC 的形状为__________. 解析 AB →=(-5,-2),AC →=(-1,-12),BC→=(4,-10), ∴AB →·BC →=-5×4+(-2)×(-10)=0, ∴AB ⊥BC . 答案 直角三角形7.已知a =(2,-1),b =(1,x ),且a ⊥b ,则x =________. 解析 由题意知a ·b =2×1+(-1)×x =0,得x =2. 答案 28.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(m a-b),则m=________.解析由题意得m a-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.答案-1三、解答题9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),|a-b|=4+16=2 5.10.已知a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a与b夹角的余弦值;(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.解(1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,|a|=42+32=5,|b|=(-1)2+22=5,∴cos 〈a,b〉=a·b|a||b|=255=2525.(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),1213又(a -λb )⊥(2a +b ),∴(a -λb )·(2a +b )=7(4+λ)+8(3-2λ)=0, ∴λ=529.能力提升11.已知a ,b ,c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2). (1)若|c |=25,且c 与a 方向相反,求c 的坐标; (2)若|b |=52,且a +2b 与2a -b 垂直,求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c =(x ,y ),由c ∥a 及|c |=25, 可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y -2·x =0,x 2+y 2=20,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-4,因为c 与a 方向相反,所以c =(-2,-4). (2)因为(a +2b )⊥(2a -b ),所以(a +2b )·(2a -b )=0,即2a 2+3a ·b -2b 2=0, 所以2|a |2+3a ·b -2|b |2=0, 所以2×5+3a ·b -2×54=0, 所以a ·b =-52, 所以cos θ=a ·b|a ||b |=-1. 又因为θ∈[0,π],所以θ=π.12.如图,在同一平面内,∠AOB =150°,∠AOC =120°,|OA →|=2,|OB →|=3, |OC→|=4.14(1)用OB →和OC →表示OA →;(2)若AD→=λAC →,AC →⊥BD →,求λ的值. 解 由题意,得∠BOC =90°,以OC所在的直线为x 轴,以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则O (0,0),A (-1,3),B (0,-3),C (4,0). (1)设OA →=λ1OB →+λ2OC →, 则(-1,3)=λ1(0,-3)+λ2(4,0)=(4λ2,-3λ1), ∴λ1=-33,λ2=-14, ∴OA→=-33OB →-14OC →. (2)设D (x ,y ),∵AD→=λAC →,∴(x +1,y -3)=λ(5,-3),∴⎩⎪⎨⎪⎧x =5λ-1,y =-3λ+3,∴D (5λ-1,-3λ+3), BD→=(5λ-1,3-3λ+3). ∵AC →·BD→=0, ∴(5λ-1)×5+(3+3-3λ)×(-3)=0, 解得λ=8+3328.创新猜想13.(多选题)在△ABC 中,AB →=(2,3),AC →=(1,k ),若△ABC 是直角三角形,则k 的值为( )15A .-23 B.113 C.3±132 D.23解析 ∵AB→=(2,3),AC →=(1,k ),∴BC→=AC →-AB →=(-1,k -3). 若A =90°,则AB →·AC→=2×1+3×k =0,∴k =-23;若B =90°,则AB →·BC →=2×(-1)+3(k -3)=0,∴k =113;若C =90°,则AC →·BC →=1×(-1)+k (k -3)=0,∴k =3±132.故所求k 的值为-23或113或3±132. 答案 ABC。
直线平面垂直判定定理向量法证明直线平面垂直判定定理是解决几何问题中常用的一个定理,它判断了一条直线和一个平面是否垂直。
本文将使用向量法来证明这个定理。
我们需要了解一些基本概念和性质。
1. 向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量,用箭头表示。
两个向量可以相加、相减,并且可以与实数相乘。
向量的长度称为模,方向由箭头指示。
2. 内积的定义和性质两个向量u和v的内积定义为:u·v = |u||v|cosθ,其中θ是两个向量之间的夹角。
内积满足交换律:u·v = v·u,并且对于任意实数k,有(ku)·v = u·(kv) = k(u·v)。
3. 垂直的定义和性质两个向量u和v垂直(或正交)当且仅当它们的内积为零:u·v = 0。
如果两个非零向量垂直,则它们互为对方在另一个方向上的单位向量。
4. 平行线与平面一条直线与一个平面垂直当且仅当该线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该直线的方向向量垂直。
根据以上基本概念和性质,我们可以证明直线平面垂直判定定理。
证明如下:【第一部分:平行线与平面的垂直性质】假设有一条直线L和一个平面P,我们需要证明L与P垂直的条件。
1. 设L上有一点A,P上有一点B,并且从A到B的向量为u。
2. 设L的方向向量为v。
3. 设P上任意一点C,并且从A到C的向量为w。
根据定义,我们知道u·v = 0。
现在我们需要证明u·w = 0。
由于P是一个平面,所以AC在该平面上。
w是该平面上任意一点到A的向量。
根据定义,我们知道v与w垂直。
根据内积的性质(交换律),我们可以得到:(u + v)·w = u·w + v·w = 0由于v与w垂直,所以v·w = 0。
(u + v)·w = u·w + 0 = u·w = 0u与w也是垂直的。
第7讲立体几何中的向量方法[考纲解读]1。
理解直线的方向向量及平面的法向量,并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.(重点)2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理,并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看,本讲为高考必考内容.预测2021年高考将会以空间向量为工具证明平行与垂直以及进行空间角的计算.试题以解答题的形式呈现,难度为中等偏上。
1.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔错误!v1∥v2⇔v1=λv2.(2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=错误!x v1+y v2。
(3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔错误!v⊥u⇔错误!v·u=0。
(4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔错误!u1∥u2⇔u1=λu2。
2.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔错误!v1⊥v2⇔错误!v1·v2=0.(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔错误!v∥u⇔错误!v=λu.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔错误!u1⊥u2⇔错误!u1·u2=0。
3.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则4.直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=错误!错误!,φ的取值范围是[0°,90°].5.求二面角的大小(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=□01〈错误!,错误!〉.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=错误!|cos<n1,n2〉|=错误!错误!,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).1.概念辨析(1)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.()(2)两异面直线夹角的范围是(0°,90°],直线与平面所成角的范围是[0°,90°],二面角的范围是[0°,180°].()(3)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(4)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是180°-θ.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.小题热身(1)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交但不垂直答案B解析因为a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),所以n=-2a,所以a∥n,所以l⊥α.(2)已知向量错误!=(2,2,1),错误!=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是()A。
7向量内积的坐标运算与公式在向量代数中,内积是一种向量运算,也称为点积、数量积或标量积。
它是两个向量之间的一种运算,用于计算它们的夹角以及它们在其中一个方向上的投影。
一、7向量内积的定义给定两个7维的向量A=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)和B=(b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7),它们的内积表示为A·B,计算如下:A·B=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7内积也可以用向量的范数表示,范数是一个向量的长度(或大小)的度量。
对于向量A和B,它们的内积等于它们的范数的乘积与夹角的余弦值的乘积:A·B = ,A,,B,cosθ其中,A,和,B,表示A和B的范数,θ表示A和B之间的夹角。
二、坐标运算坐标运算是一种将向量的内积转化为矩阵运算的方法,通过将向量转化为矩阵的列向量,可以将内积计算转化为矩阵乘法运算。
为了进行矩阵乘法运算,需要将向量转换为列矩阵。
下面以两个7维向量A和B为例进行坐标运算。
将向量A和B表示为列矩阵,即:A=[a1][a2][a3][a4][a5][a6][a7]B=[b1][b2][b3][b4][b5][b6][b7]则A·B=[a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7]矩阵乘法运算的规则是:对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B,它们的乘积C是一个m行p列的矩阵。
那么,如果将向量A和B表示为列矩阵,可以使用矩阵乘法的规则进行运算,即:A·B=[a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7]三、内积公式在向量代数中,有一些常见的内积公式,可以用来简化内积的计算。
1.向量A·B等于向量B·A的值,即A·B=B·A。
2.向量A·A的大小等于向量A的范数的平方,即A·A=,A,^23.如果向量A和B是垂直的(夹角为90度),那么它们的内积为0,即A·B=0。
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容,它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示,如\(\vec{a}\)。
3、空间向量的模空间向量\(\vec{a}\)的模(长度)记作\(|\vec{a}|\),其计算公式为\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)(假设\(\vec{a} =(a_1, a_2, a_3)\))。
4、零向量长度为\(0\)的向量称为零向量,记作\(\vec{0}\),其方向是任意的。
5、单位向量模为\(1\)的向量称为单位向量。
若\(\vec{a}\)是非零向量,则与\(\vec{a}\)同向的单位向量为\(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)为两个空间向量,则它们的和向量\(\vec{c} =\vec{a} +\vec{b}\)。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算,\(\vec{a} \vec{b} =\vec{a} +(\vec{b})\)。
3、数乘运算实数\(\lambda\)与空间向量\(\vec{a}\)的乘积\(\lambda\vec{a}\)仍然是一个向量。
当\(\lambda > 0\)时,\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)同向;当\(\lambda < 0\)时,\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)反向;当\(\lambda =0\)时,\(\lambda\vec{a} =\vec{0}\)。
三角形“垂心”定理的7种证法李小飞摘要:用赛瓦定理、作辅助线、三角形外接圆、向量法证明三角形垂心定理,形成典型的一题多解,到达异曲同工之妙,体现数学的内在联系。
关键词:三角形、垂心、垂线、圆、向量目录:三角形“垂心”定理的证法1.1定理---------------------------------------------------------21.2预备定理---------------------------------------------------21.3定理的证法------------------------------------------------21.3.1证法1-----------------------------------------------------21.3.2证法2-----------------------------------------------------21.3.3证法3-----------------------------------------------------31.3.4证法4-----------------------------------------------------31.3.5证法5-----------------------------------------------------41.3.6证法6-----------------------------------------------------41.3.7证法7-----------------------------------------------------5引注和参考资料-----------------------------------------------------------5B'C'FEDCBA图( 1 )三角形“垂心”定理的证法1.1定理:三角形三条高相交于一点,这点叫做三角形的垂心(该定理俗称三角形“垂心”定理). 已知,如图(1)ABC ∆中,AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB 上的高.求证: AD,BE,CF 相交于一点1.2预备定理:1.塞瓦(Ceva)定理:设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边BC 、CA 、AB 上的点,若1=••EACEDC BD FB AF ,则AD,BE,CF 交于一点. 2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做三角形的外心.3. 三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三角形的内心.1.3定理的证法 1.3.1证法1如图(1),由已知可得,CAF ∆∽BAE ∆⇒ABD ABACAE AF ∆=,∽CBF ∆⇒ CB AB BF BD =,ACD ∆∽BCE ∆⇒.AC BCCD CE =三式相乘得:.1.1=••=••=••AECECD BD BF AF AC BC CB AB AB AC CD CE BF BD AE AF 即由塞瓦定理可得AD ,BE ,CF 相交于一点.1.3.2证法2如图(2)分别过A 、B 、C 做它们所在高的垂线,使之相交'''C B A ∆.则AB 'CB AB =∴∴B同理,'',','CB C A C A AB C ABA =∴=∴为平行四边形四边形 可见,CF 为边''B A 的中垂线。
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容,它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式:1.向量的加法和减法:对于向量a和b,它们的和可以表示为a+b,差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律:a+b=b+a,a-b≠b-a结合律:(a+b)+c=a+(b+c),(a-b)-c≠a-(b-c)注意:向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现,向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法:对于向量 a 和标量 k,a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律:k(ka) = (k·k)a分配律:k(a + b) = ka + kb乘法单位元:1·a=a注意:向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积(内积):对于向量a和b,它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质:a·b = ,a,b,cosθ其中,a,和,b,分别表示向量a和b的模长,θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是,两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意:向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积(叉积):对于向量 a 和 b,它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于,a,b,sinθ,方向垂直于 a 和 b 所在平面,按右手定则确定。
叉积有以下性质:a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意:向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积:对于向量a、b和c,它们的混合积表示为a·(b×c)。
向量学习的七个结论作者:王晓兵来源:《新教育时代·学生版》2018年第33期摘要:向量具有代数与几何的双重身份,是联结相关数学知识的一个很好的桥梁和纽带,是学生解决几何等数学问题的有力工具。
向量的学习对学生数形结合思想的培养及创新能力的提高具有重要的意义。
向量比较抽象、灵活,本文总结了七个结论,把握好这些结论,梳理和强化基本概念,就可达到事半功倍的效果。
关键词:向量抽象数形结合“四心”在高中数学新课程中,向量被引入高中数学教材是一个了不起的变化。
因为向量具有代数与几何的双重身份,融数与形于一体,这就使其成为联结相关数学知识的一个很好的桥梁与纽带。
在高中数学教学中,我们要利用好这个有力的工具,引导学生探究解决数学问题的新方法和新思路,特别是解决几何问题的方法。
培养学生数形结合的思维模式,激发学生的参与及创新意识,使他们在解决相关问题时有如虎添翼的感觉。
从教学目标和教学要求来看,近两年高考不断加大对向量与三角形“四心”的交汇问题,和其他交汇问题的考查力度。
这说明高中数学教育更加注重了对学生数学思想的培养,而向量的教学正体现了这一教学理念。
本文从向量学习的角度出发,总结了向量学习中出现的有价值的结论和注意事项,希望学生能在此基础上加以理解、应用,指导自己的学习。
也希望能给教师们提供一些教学帮助。
一、向量学习在数学教学中的价值向量的概念是从物理中的位移和力的概念中抽象出来的。
早在19世纪就已成为数学学家和物理学家研究的对象,20世纪初被引入中学数学。
我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。
它的价值和有用性被越来越多的人所关注。
向量与我们原来所学习的数学概念、算术公式有所不同,理解起来比较抽象,运用起来又比较灵活。
它有大小,有方向,却不同于我们所学的数量和长度,它的形式运算是多次抽象的结果。
这就给我们在学习时理解和掌握向量增加了难度。
然而,学习向量并掌握好相关知识,无论在学习方面还是在教学方面又都具有重要的价值。
向量运算垂直
向量运算在数学中是一个非常重要且基础的概念,它在几何、代数以
及物理学等领域都有着广泛的应用。
其中,向量的垂直关系是向量运算中一个非常关键的方面,它在很多实际问题中都扮演着重要的角色。
在二维空间中,两个向量的垂直性可以通过它们的内积来判断。
如果
两个向量的内积为零,那么它们就是垂直的。
这是因为两个向量的内积等于它们的长度乘积再乘以它们夹角的余弦值,当夹角为90度时,余弦值为零,所以内积为零。
这个性质可以帮助我们判断两个向量是否垂直,从而解决实际问题中的几何关系。
在三维空间中,两个向量的垂直性有更多的可能性。
除了通过内积来
判断,我们还可以通过向量的叉积来得到两个向量的垂直向量。
具体来说,两个向量的叉积的结果是一个新的向量,这个向量与原来的两个向量都垂直。
这种垂直性的判断方式在计算机图形学、物理学等领域都有着广泛的应用。
在工程领域中,向量的垂直性也是一个非常重要的概念。
比如,在建
筑设计中,我们需要确保墙体之间的角度是垂直的,这样才能保证建筑的稳定性和美观性;在机械设计中,我们需要确保零件之间的连接方式是垂直的,这样才能确保机器的正常运转。
让我们总结一下本文的重点,我们可以发现,向量运算中的垂直性是一个非常重要且普遍的概念,它在数学、几何、物理等多个领域都有着广泛
的应用。
通过研究和理解向量的垂直性,我们可以更好地解决实际问题,提高我们的工作效率和准确性。
希望未来能够有更多的研究者投入到这个领域,为这一概念的深入发展做出更多的贡献。
平面向量垂直证明平面向量是数学中一个重要的概念,它在几何学和向量运算中扮演着重要的角色。
在平面向量的运算中,有一种特殊的关系叫做垂直关系,也就是两个向量之间的夹角为90度。
本文将介绍如何证明两个平面向量垂直的方法。
首先,我们需要了解平面向量的定义。
平面向量可以用有序数对表示,如(a, b)。
其中,a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
例如,向量A可以表示为(Ax, Ay)。
两个向量之间的夹角可以通过向量的数量积进行计算。
要证明两个平面向量垂直,我们可以使用数量积的性质。
数量积是两个向量的内积,其计算方法为两个向量的对应分量相乘再相加。
设有两个向量A(a1, a2)和B(b1, b2),它们的数量积表示为A·B =a1b1 + a2b2。
如果两个向量的数量积为0,即A·B = 0,那么我们可以得出结论,向量A和向量B垂直。
接下来,我们将使用这个性质来证明两个平面向量垂直的方法。
假设有两个平面向量A和B,我们可以将它们表示为A(Ax, Ay)和B(Bx, By)。
根据数量积的定义,我们可以计算A·B = Ax * Bx + Ay * By。
如果A·B = 0,那么我们可以认为向量A和向量B垂直。
我们可以通过以下两种方法来证明两个平面向量垂直。
第一种方法是使用数量积等于0进行证明。
我们可以设定向量A和向量B的分量满足条件Ax = By和Ay = -Bx。
通过计算向量A·B,我们可以得到A·B = Ax * Bx + Ay * By = (By) * Bx + (-Bx) * (Ax) = 0。
因此,向量A和向量B垂直。
第二种方法是使用向量的投影进行证明。
向量A在向量B上的投影,表示为A在B上的投影的长度。
同样地,向量B在向量A上的投影,表示为B在A上的投影的长度。
如果A在B上的投影长度为0,或者B在A上的投影长度为0,我们可以得出结论,向量A和向量B垂直。
用法向量求二面角和证明两平面垂直之五兆芳芳创作用法向量证明两平面垂直问题要证两平面相互垂直,只需找出这两个平面的两个法向量,证明这两个法向量相互垂直.例1.如右图,△ABC 是一个正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,且CE=CA=2BD ,M 是EA 的中点.求证:(1)DE=DA ;(2)平面BDM ⊥平面ECA ; (3)平面DEA ⊥平面ECA ;阐发(3):成立如图所示右手直角坐标系 ,无妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C (0,0,0),A (3,1,0),B (0,2,0),E (0,0,2),D (0,2,1),()2,1,3-=EA ,()2,0,0=CE ,()1,2,0-=ED , 辨别假定面CEA与面DEA 的法向量是()1111,,z y x n =、()3222,,z y x n =,所以得11111113203200x y z y x z z ⎧⎧+-==⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩,2222222223203202x y z x y y z z y ⎧⎧+-==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩ 无妨取()0,3,11-=n 、()2,1,32=n ,从而计较得021=⋅n n ,所以两个法向量相互垂直,两个平就相互垂直.用法向量求二面角如图,有两个平面α与β,辨别作这两个zyxMCBAED所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角仍是钝角.例2、如下图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AB=a ,AD=3a ,sin ∠PA ⊥平面ABCD ,PA=a ,求二面角P-CD-A 的平面角的余弦值.阐发:依题意,先过C 点CE ⊥AD ,计较得ED=2a ,BC=AE=a,成立如图右角直角坐标系,则P (0,0,a ),D(0,3a,0),取平面ACD PCD 的法向量无妨取,从而计较得易得二面角P-CD-A 的平面角是锐角,所以其角的余弦是z y。
第2课时 空间向量基本定理的初步应用学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.知识点一 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb .(2) 如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a +y b .思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题? 答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转化为向量共面问题. 知识点二 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ,b 的夹角,则cos θ=a ·b|a ||b |. (2)若a ,b 是非零向量,则a ⊥b ⇔a ·b =0.思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题?答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题,解题中要注意角的范围. 知识点三 求距离(长度)问题 ||a =a ·a ( ||AB →=AB →·AB → ). 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题? 答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可以求得.1.四点A ,B ,C ,D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →=DC →.( × ) 2.若AB →=CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线.( × )3.已知两个向量 NM →,MP →的夹角为 60°,则 ∠NMP =60°.( × ) 4.如果OP →=OM →+ON →,则四点O ,P ,M ,N 一定共面.( √ )一、证明平行、共面问题例1 如图,已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′,E ,F 分别为AA ′和CC ′的中点.求证:BF ∥ED ′.证明 BF →=BC →+CF →=BC →+12CC ′——→=AD →+12DD ′——→,ED ′——→=EA ′——→+A ′D ′———→=12AA ′——→+AD →=12DD ′——→+AD →,∴BF →=ED ′——→, ∴BF →∥ED ′——→,∵直线BF 与ED ′没有公共点,∴BF ∥ED ′. 反思感悟 证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.跟踪训练1 如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别在B 1B 和D 1D 上,且BE =13BB 1,DF =23DD 1.求证:A ,E ,C 1,F 四点共面. 证明 因为AC 1—→=AB →+AD →+AA 1—→=AB →+AD →+13AA 1—→+23AA 1—→=⎝⎛⎭⎫AB →+13AA 1—→+⎝⎛⎭⎫AD →+23AA 1—→=AB →+BE →+AD →+DF →=AE →+AF →, 所以AC 1—→,AE →,AF →共面, 所以A ,E ,C 1,F 四点共面. 二、求夹角、证明垂直问题例2 如图所示,在三棱锥 A -BCD 中,DA ,DB ,DC 两两垂直,且DB =DC =DA =2,E 为BC 的中点.(1)证明:AE ⊥BC ;(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值.(1)证明 因为AE →=DE →-DA →=12(DB →+DC →)-DA →,CB →=DB →-DC →,所以AE →·CB →=⎝⎛⎭⎫12DB →+12DC →-DA →·(DB →-DC →) =12DB →2-12DC →2-DA →·DB →+DA →·DC →, 又DA ,DB ,DC 两两垂直, 且DB =DC =DA =2, 所以AE →·CB →=0, 故 AE ⊥BC .(2)解 AE →·DC →=⎝⎛⎭⎫12DB →+12DC →-DA →·DC → =12DB →·DC →+12DC →2-DA →·DC →=12DC →2=2, 由AE →2=⎝⎛⎭⎫12DB →+12DC →-DA →2=14DB →2+14DC →2+DA →2=6,得||AE →= 6.所以cos 〈AE →,DC →〉=AE →·DC →||AE →||DC→=26×2=66 .故直线AE 与DC 的夹角的余弦值为66. 反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos 〈a ,b 〉=a ·b|a ||b |,求〈a ,b 〉的大小,进而求得线线角,两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.跟踪训练2 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,BC =B 1B =1,M ,N 分别是AD ,DC 的中点.求异面直线MN 与BC 1所成角的余弦值.解 MN →=DN →-DM →=12(DC →-DA →),BC 1—→=BC →+CC 1—→=-DA →+DD 1—→ ,所以MN →·BC 1—→=⎝⎛⎭⎫12DC →-12DA →·()-DA →+DD 1—→=12DA →2=12, 又||MN →=12||AC →=52, ||BC 1—→=2, 所以 cos 〈MN →,BC 1—→〉=MN →·BC 1—→||MN →||BC 1—→=1252×2=1010,故异面直线MN 与BC 1所成角的余弦值为1010. 三、求距离(长度)问题例3 已知平面α⊥平面β,且α∩β=l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α ,线段BD ⊂β ,并且AC ⊥l ,BD ⊥l ,AB =6,BD =24,AC =8,则 CD = ________.答案 26解析 ∵平面α⊥平面β,且α∩β=l ,在l 上有两点A ,B ,线段AC ⊂α,线段BD ⊂β, AC ⊥ l ,BD ⊥ l ,AB =6,BD =24,AC =8, ∴CD →=CA →+AB →+BD → , ∴CD →2 =(CA →+AB →+BD → )2=CA →2+AB →2+BD →2 =64+36+576=676, ∴CD =26.反思感悟 求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量,利用基底表示向量,将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.跟踪训练3 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,AM →=12MC 1—→,点N 为B 1B 的中点,则|MN →|等于( )A.216a B.66aC.156a D.153a 答案 A解析 ∵MN →=AN →-AM →=AN →-13AC 1—→=AB →+BN →-13(AB →+AD →+AA 1—→)=23AB →+16AA 1—→-13AD →, ∴|MN →|=49|AB →|2+136|AA 1—→|2+19|AD →|2 =216a .1.(多选)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A ,B ,C 共面”的充分条件是( ) A.OM →=2OA →-OB →-OC →B.OM →=OA →+OB →-OC →C.OM →=OA →+12OB →+13OC →D.OM →=12OA →+13OB →+16OC →答案 BD解析 根据“OM →=xOA →+yOB →+zOC →,若 x +y +z =1,则点M 与点A ,B ,C 共面”, 因为2+(-1)+(-1)=0≠1,1+1+(-1)=1,1+12+13=116≠1,12+13+16=1,由上可知,BD 满足要求.2.设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB →·AC →=0,AC →·AD →=0,AB →·AD →=0,则△BCD 是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定答案 B解析 在△BCD 中,BC →·BD →=(AC →-AB →)·(AD →-AB →)=AB →2>0,∴B 为锐角, 同理,C ,D 均为锐角.3.如图,三棱锥S -ABC 中,SA ⊥底面 ABC ,AB ⊥BC ,AB =BC =2,SA =22,则SC 与AB 所成角的大小为( )A .90°B .60°C .45°D .30°答案 B解析 因为SA ⊥底面ABC ,所以SA ⊥AC ,SA ⊥AB ,所以AS →·AB →=0, 又AB ⊥BC ,AB =BC =2, 所以 ∠BAC =45° ,AC =2 2 .因此AB →·AC →=||AB →||AC →cos 45°=2×22×22=4, 所以SC →·AB →=AC →·AB →-AS →·AB →=4, 又SA =22,所以 SC =SA 2+AC 2=4 , 因此cos 〈SC →,AB →〉=SC →·AB →||SC →||AB→=44×2=12 ,所以SC 与AB 所成角的大小为60° .4.如图,已知▱ABCD 中,AD =4,CD =3,∠D =60°,P A ⊥平面ABCD ,且P A =6,则PC 的长为________.答案 7解析 ∵PC →=P A →+AD →+DC →,∴|PC →|2=PC →·PC →=(P A →+AD →+DC →)2=|P A →|2+|AD →|2+|DC →|2+2P A →·AD →+2P A →·DC →+2AD →·DC → =62+42+32+2|AD →||DC →|cos 120°=61-12=49. ∴PC =7.5.已知a ,b 是空间两个向量,若|a |=2,|b |=2,|a -b |=7,则cos 〈a ,b 〉=________. 答案 18解析 将|a -b |=7化为(a -b )2=7,求得a ·b =12,再由a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉求得cos 〈a ,b 〉=18.1.知识清单: (1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件. (3)向量的数量积及应用. 2.方法归纳:转化化归. 3.常见误区:(1)向量夹角和线线角的范围不同,不要混淆.(2)转化目标不清:表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义.1.已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →+CB →=0,则OC →等于( ) A .2OA →-OB → B .-OA →+2OB → C.23OA →-13OB → D .-13OA →+23OB →答案 A解析 由已知得2(OC →-OA →)+(OB →-OC →)=0, ∴OC →=2OA →-OB →.2.如图,已知空间四边形ABCD 中,AC =BD ,顺次连接各边中点P ,Q ,R ,S ,所得图形是( )A .长方形B .正方形C .梯形D .菱形 答案 D解析 因为PQ →=BQ →-BP →=12BC →-12BA →=12AC →.同理SR →=12AC →,所以PQ →=SR →,所以四边形PQRS 为平行四边形. 又PS →=AS →-AP →=12AD →-12AB →=12BD →,所以|PS →|=12|BD →|,即PS =12BD .又|PQ →|=12|AC →|,故PQ =12AC ,而AC =BD ,所以PS =PQ ,故四边形ABCD 为菱形.3.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2,AD =1,E ,F ,G 分别是DC ,AB ,CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是( )A .0 B.33 C.55D.155答案 A解析 根据题意可得,A 1E —→·GF →=(A 1A —→+AD →+DE →)·(GC →+CB →+BF →) =(-AA 1—→+AD →+12DC →)·(-12AA 1—→-AD →-12DC →)=12AA 1—→2 -AD →2 -14DC →2=12×4-1-14×4=0, 从而得到A 1E →和GF →垂直,故其所成角的余弦值为0.4.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1 中,若AB =2BB 1,则 CA 1 与 C 1B 所成的角的大小是( ) A .60° B .75° C .90° D .105°答案 C解析 设|BB 1→|=m ,CA →=a ,CB →=b ,CC 1—→=c ,则CA 1—→=a +c ,C 1B —→=b -c , CA 1—→·C 1B —→ =(a +c )·(b -c ) =a ·b +b ·c -a ·c -c 2=2m ·2m cos π3+0-0-m 2=0,∴CA 1—→⊥C 1B —→,∴ CA 1 与 C 1B 所成的角的大小是 90°.5.如图,二面角α-l -β等于2π3,A ,B 是棱l 上两点, BD, AC 分别在平面α,β内,AC ⊥l ,BD ⊥l ,且 2AB =AC =BD =2,则CD 的长等于( )A .2 3 B.13 C .4 D .5答案 B解析 ∵二面角α-l -β等于2π3,AC ⊥l ,BD ⊥l ,所以〈CA →,BD →〉=π-2π3=π3,∵CD →=CA →+AB →+BD →,∴CD →2=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →·AB →+2AB →·BD →+2CA →·BD → =22+12+22+0+0+2×2×2×cos π3=13.即CD =13.6.已知向量a ,b 满足条件|a |=32,|b |=4,若m =a +b ,n =a +λb ,〈a ,b 〉=135°,m ⊥n ,则实数λ=________. 答案 -32解析 因为m ·n =0,所以(a +b )·(a +λb )=0, 所以a 2+(1+λ)a ·b +λb 2=0, 所以18+(1+λ)×32×4×⎝⎛⎭⎫-22+16λ=0, 解得λ=-32.7.如图,在空间四边形ABCD 中,∠ABD =∠CBD =π2 ,∠ABC =π4,BC =BD =1,AB =2,则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________.答案 π3解析 依题意可知CD =BC 2+BD 2=2,AB →·CD →=AB →·(BD →-BC →) =AB →·BD →-AB →·BC →=0+BA →·BC →=||BA →·||BC →·cos 45°=1. 设直线AB 与CD 所成角为α,则cos α=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →||AB →·||CD →=12×2=12,故α=π3.8.如图,平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,|AB |=|AD |=|AA 1|=1,∠BAD =∠BAA 1=120°,∠DAA 1=60°,则线段AC 1的长度是________.答案2解析 ∵ AC 1—→=AB →+AD →+AA 1—→,∴ AC 1—→2=AB →2+AD →2+AA 1—→2+2AB →·AD →+2AB →·AA 1—→+2AD →·AA 1—→ =1+1+1+2×1×1×⎝⎛⎭⎫-12+2×1×1×⎝⎛⎭⎫-12+2×1×1×12=2, ∴AC 1= 2.9.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1—→=c ,E ,F 分别是AD 1,BD 的中点.(1)用向量a ,b ,c 表示D 1B —→,EF →;(2)若D 1F →=x a +y b +z c ,求实数x ,y ,z 的值. 解 (1)如图,连接AC ,EF ,D 1F ,BD 1,D 1B —→=D 1D —→+DB →=-AA 1—→+AB →-AD →=a -b -c , EF →=EA →+AF →=12D 1A —→+12AC →=-12(AA 1—→+AD →)+12(AB →+AD →)=12(a -c ). (2)D 1F —→=12(D 1D —→+D 1B —→) =12(-AA 1—→+D 1B —→) =12(-c +a -b -c ) =12a -12b -c , ∴x =12,y =-12,z =-1. 10.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1.(1)求〈CE →,AF →〉的余弦值;(2)求证:BD 1—→⊥EF →.(1)解 AF →=AD →+DF →=AD →+12AA 1—→,CE →=CC 1—→+C 1E —→=AA 1—→+12CD →=AA 1—→-12AB →. 因为AB →·AD →=0,AB →·AA 1—→=0,AD →·AA 1—→=0,所以CE →·AF →=⎝⎛⎭⎫AA 1—→-12AB →·⎝⎛⎭⎫AD →+12AA 1—→=12. 又|AF →|=|CE →|=52,所以cos 〈CE →,AF →〉=25. (2)证明 BD 1—→=BD →+DD 1—→=AD →-AB →+AA 1—→,EF →=ED 1—→+D 1F →=-12(AB →+AA 1—→), 所以BD 1—→·EF →=0,所以BD 1—→⊥EF →.11.在四面体O -ABC 中,G 是底面△ABC 的重心,且OG →=xOA →+yOB →+zOC →,则log 3|xyz |等于( )A .-3B .-1C .1D .3答案 A解析 连接AG (图略),OG →=OA →+AG →=OA →+13(AC →+AB →)=OA →+13(OC →-OA →+OB →-OA →) =13OA →+13OB →+13OC →=xOA →+yOB →+zOC →, ∴x =y =z =13,则log 3|xyz |=log 3127=-3. 12.在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中, AA 1⊥底面ABC, AB =BC =AA 1, ∠ABC =90°, 点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点, 则直线EF 和BC 1所成的角是( )A .30°B .45°C .90°D .60°答案 D解析 因为点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,所以 EF → =BF →-BE →=12(BB 1—→-BA →),BC 1—→=BC →+BB 1—→, 所以EF →·BC 1—→=12(BB 1—→-BA →)(BC →+BB 1—→)=12BB 1—→2 , 设所求异面直线的夹角为 θ,则cos θ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BC 1—→|EF →||BC 1—→|=12,所以θ=60° . 13.如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________.答案 90°解析 不妨设棱长为2,则AB 1—→=BB 1—→-BA →,BM →=BC →+12BB 1—→, cos 〈AB 1—→,BM →〉=(BB 1—→-BA →)·⎝⎛⎭⎫BC →+12BB 1—→22×5=0-2+2-022×5=0, 则〈AB 1—→,BM →〉=90°.14.如图,一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 ,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是________.(填序号)① (AA 1—→+AB →+AD →)2=2(AC →)2 ;②AC 1—→·(AB →-AD →)=0 ;③向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是60°;④BD 1与AC 所成角的余弦值为63. 答案 ①②解析 以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°,可设棱长为1,则AA 1—→·AB →=AA 1—→·AD →=AD →·AB →=1×1×cos 60°=12, (AA 1—→+AB →+AD →)2=AA 1—→2+AB →2+AD →2+2AA 1—→·AB →+2AB →·AD →+2AA 1—→·AD →=1+1+1+3×2×12=6, 而 2(AC →)2=2(AB →+AD →)2=2(AB →2+AD →2+2AB →·AD →)=2⎝⎛⎭⎫1+1+2×12=2×3=6,所以①正确. AC 1—→·(AB →-AD →)=(AA 1—→+AB →+AD →)·(AB →-AD →)=AA 1—→·AB →-AA 1—→·AD →+AB →2-AB →·AD →+AD →·AB →-AD →2=0,所以②正确.向量B 1C —→=A 1D —→ ,显然△AA 1D 为等边三角形,则∠AA 1D =60° .所以向量A 1D —→与AA 1—→的夹角是 120°,向量B 1C —→与AA 1—→的夹角是 120° ,则③不正确. 又BD 1—→=AD →+AA 1—→-AB →,AC →=AB →+AD →,则|BD 1—→|=(AD →+AA 1—→-AB →)2=2, |AC →|=(AB →+AD →)2=3,BD 1—→·AC →=()AD →+AA 1—→-AB →·(AB →+AD →)=1, 所以cos 〈BD 1—→,AC →〉=BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|=12×3=66 , 所以④不正确,故①②正确.15.(多选)在四面体P -ABC 中,以上说法正确的有( )A .若AD →=13AC →+23AB →,则可知 BC →=3BD → B .若Q 为△ABC 的重心,则PQ →=13P A →+13PB →+13PC → C .若P A →·BC →=0,PC →·AB →=0,则 PB →·AC →=0D .若四面体P -ABC 各棱长都为2,M ,N 分别为P A ,BC 的中点,则|MN →|=1答案 ABC解析 对于A, ∵AD →=13AC →+23AB →, ∴3AD →=AC →+2AB →,∴2AD →-2AB →=AC →-AD →,∴2BD →=DC →,∴3BD →=BD →+DC →,即3BD →=BC →,故A 正确;对于B ,若Q 为△ABC 的重心,则QA →+QB →+QC →=0,∴3PQ →+QA →+QB →+QC →=3PQ →,∴3PQ →=P A →+PB →+PC →,即PQ →=13P A →+13PB →+13PC →,故B 正确; 对于C ,∵P A →·BC →=0,PC →·AB →=0,∴P A →·BC →+PC →·AC →+PC →·CB →=0,∴(P A →-PC →)·BC →+PC →·AC →=0,∴CA →·BC →+PC →·AC →=0,∴AC →·()CB →+PC →=0, ∴AC →·PB →=0,故C 正确;对于D ,∵MN →=PN →-PM →=12(PB →+PC →)-12P A → =12(PB →+PC → -P A →),∴|MN →|=12|P A →-PB →-PC →|, ∵|P A →-PB →-PC →|=2 2.∴|MN →|=2,故D 错误,故选ABC .16.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 是DD 1的中点,O 是底面ABCD 的中心.求证:B 1O ⊥平面P AC .证明 如图,连接BD ,则BD 过点O ,令AB →=a ,AD →=b ,AA 1—→=c ,则|a |=|b |=|c |=1,且AC →=AB →+AD →=a +b ,OB 1—→=OB →+BB 1—→=12DB →+BB 1—→=12(AB →-AD →)+BB 1—→=12a -12b +c . ∴AC →·OB 1—→=(a +b )·⎝⎛⎭⎫12a -12b +c =12|a |2+12a ·b -12a ·b -12|b |2+a ·c +b ·c =12-12=0. ∴AC →⊥OB 1—→,即AC ⊥OB 1.又AP →=AD →+12DD 1—→=b +12c , ∴OB 1—→·AP →=⎝⎛⎭⎫12a -12b +c ·⎝⎛⎭⎫b +12c =12a ·b -12|b |2+c ·b +14a ·c -14b ·c +12|c |2 =-12+12=0, ∴OB 1—→⊥AP →,即OB 1⊥AP .又AC ∩AP =A ,AC ,AP ⊂平面P AC , ∴OB 1⊥平面P AC .。
班级: 小组: 姓名: 小组评价: 教师评价:
【使用说明】
1.用15分钟时间仔细研读课本P99-101,红笔勾画然后二次阅读并认真完成课前预习;
2.找好自己的疑点和难点准备课上讨论质疑. 难点:用向量法求两条异面直线所成的角
一、基础知识导航
1.向量法证明两条直线垂直;
2.用向量法求两条直线所成的角;
3.两直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系 二、预习自测
1.1l 的方向向量()2,1,1=,2l 的方向向量()1,,1-=m ,若21l l ⊥,则m 等于( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )
A.45
B. 60
C. 90
D. 30
3.已知三棱锥S ABC -(如图),
90,3,5,4=∠=∠===ASB ASC SB SA SC ,
90,BSC ∠=M 、N 分别是棱,SC AB 的中点。
求:直线MN 与BC 所成的角。
【我的疑问】 C
A
B
S
M
N
班级: 小组: 姓名: 小组评价: 教师评价:
【学习目标】
1.会用向量运法求两异面直线所成的角,提高运算求解能力;
2.探究求两异面直线所成角的规律与方法;
3.激情投入,培养缜密的逻辑思维品质。
重点:用向量法证明两条直线垂直
难点:用向量法求两条异面直线所成的角
1.已知正方体''''D C B A ABCD -中,点M 、N 分别是棱'BB 与对角线'
CA 的中点。
求证:'
BB MN ⊥;C A MN '
⊥.
2.如图,已知正方体'
'
'
'
D C B A ABCD -的棱长为a ,F
E ,分别是棱AB ,'
CC 的中点,求直线EF 与'
BD 所成的角。
A
B
C
D
'
A
'
B '
C '
D M N
E
F
A B
C
D
'
A
'
B '
C 'D
3.已知正四面体OABC,M,N分别是棱OA,BC的中点,求MN与OB所成的角.
【我的收获】
1.知识方面:
2.数学思想方面:
O
A
B
C M
N
NO.37用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角巩固案
班级: 小组: 姓名: 小组评价: 教师评价:
1.已知正方体'
'''D C B A ABCD -中,点F E ,分别是棱/BB 与面对角线//D B 的中点。
求证:
D A EF '⊥.
2.如图,四棱锥S-ABCD 的高SO=3,底面是边长为2、
60=∠ABC 的菱形,O 为底面的中心,E,F 分别为SA 和SC 的中点,求异面直线BF 与DE 所成的角。
B
S
A O
C
D
E F。