《1.8函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质》公开课PPT课件

2
3
1 π 2、 y 2 sin( x ) 3 6
函数 y A sin(x )的图象（3）
教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 归纳总结 巩固作业
变 式 训 练
1 2π )的图象为C，为了得到函数 1、已知函数 y sin( 4 x 52π 3 y 2 sin( 4 x ) 的图象，只需把C的所有点（ ） 3
3
例：画出函数y=3sin(2x+ 周期—振幅—平移 ),x∈R的简图。 周期—平移—振幅),x∈R的简图。 例：画出函数y=3sin(2x+ 3 3
4
振幅
3
振幅
3
振幅
2
2
2
1
1
1
振幅 振幅
平移点(pi/3)
-2
平移点2
2
3
平移点(pi/6)
周期
4
-2
6
2 3
平移点2
8
平移点
2
周期
反馈式评价
观察发现
合作交流
归纳总结
教学手段： 结合多媒体网络教学环境， 构建学生自主探究的教学平台。
函数 y A sin(x )的图象（3）
教材分析 教学目标 教学方法 教学程序 教学评价 创设情境 建构数学
以问题为载体， 以学生活动为主线
知识运用 归纳总结 巩固作业
函数 y A sin(x )的图象（3）
函数 y A sin(x )的图象（3）
教材分析 教学目标 教学方法 教学程序 教学评价
1、学生在小组活动中实现自我评价他人评 价；
2、观察学生自主探究、合作交流中的表现， 给予指导，肯定和鼓励； 3、通过课堂设问和练习及时反馈学生学习 情况，进行补偿性教学。

x ：相位 x 0时的相位称为初相
例2:图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动y/cm 的振幅、周期与 2-
频率各是多少？ O
A
E
0.4 0.8
B
D
C
1.2 F x/s
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示
完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)求这个简谐运动的函数表达式.
例3：已知函数y Asin( x )( 0, 0)的图像
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
y
平移||/个单位
sin
(x
)
sin(
x
)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
例2：为了得到y sin x的图像，可由
函数y 3sin(2x )如何变换得到？
5
变式：函数y sin x可由y cos x如何变换得到
2
4
然后将图像上各点的纵坐标伸长到原来的6倍(横坐标不变)
得到函数y f ( x)的图像，求函数f ( x)的值域和单调区间
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:(按 ,ω, A顺序变换)
向左>0 (向右<0)
y=sinx
y=sin(x+)
平移||个单位
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
纵坐标不变
y=sin(x+)
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

定有ymax=A+B,ymin=-A+B. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像
【例 1】
用“五点法”作函数 y=2sin
2������-
π 4
,x∈R 的图像.
思路分析:按“五点法”的作图步骤进行.
解:列表.
������
y=2sin x 的图像
y=-2sin 2x 的图像
y=-2sin 2x-π6 的图像 y=-2sin 2x-π6 +1 的图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(方法二)y=sin x 的图像
y=sin x-π6 的图
像
y=sin 2x-π6 的图像
y=-sin 2x-π6 的图像
y=-2sin 2x-π6 的图像
y=-2sin 2x-π6 +1 的图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟三角函数图像的变换方法 1.对函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,φ≠0,b≠0),其图像的基本变换 有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A>1时伸长; 当A<1时缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.当 ω>1时缩短;当ω<1时伸长.(3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变 化引起的.当φ>0时左移;当φ<0时右移.(4)上下平移(纵向平移变换): 是由b的变化引起的.当b>0时上移;当b<0时下移.可以使用“先伸缩 后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换. 2.若相应的变换函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化相同, 再利用相应的变换得到结论.

问题3：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像是否有对称性？ 提示：有，既是中心对称又是轴对称．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域 值域
周期性
R
[－A，A]
2π T＝ |ω|
奇偶性 φ＝ kπ(k∈Z) 时是奇函数；φ＝π2＋kπ(k∈Z) 时是 偶函数；当 φ≠k2π(k∈Z)时是 非奇非偶 函数
[精解详析] ∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π. ∴π4≤2x＋π4≤54π. ∴－ 22≤sin2x＋π4≤1. ∴－1≤ 2sin2x＋π4≤ 2，即－1≤y≤ 2. 所以函数 y＝ 2sin2x＋π4，x∈0，π2的值域为[－1， 2]．
[一点通] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的 值域的步骤：
函数的图像
()
A．关于点π3，0对称
B．关于直线 x＝π4对称
C．关于点π4，0对称
D．关于直线 x＝π3对称
解析：由题意知 ω＝2，所以 f(x)＝sin2x＋π3，经验证可 知它的一个对称中心为π3，0. 答案：A
[例 3] (12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图像关于点 M(34π，0)对称，且在区 间[0，π2]上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
(3 分) (7 分)
又 f(x)在[0，π2]上是单调函数，
所以 T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2.又 ω>0， (10 分)
∴当 k＝1 时，ω＝23；
当 k＝2 时，ω＝2.
∴φ＝π2，ω＝2 或23
(12 分)
5．已知 f(x)＝sin(ωx＋π3)(0<ω<5)，f(π6)＝f(π3)，且 f(x)在区间 (π6，π3)上有最小值，则 ω＝________.

6
, =Байду номын сангаас −

3
呢？
1 探索φ对y=sin(x+φ)图象的影响
y
M
x
φ
Q1
y=sin(x+φ)
-φ
x-φ x
y=sinx
x
一般地，当动点的起点位置所对应的角为φ时，对应的函数
是
y=sin(x+φ) (φ≠0) 把正弦曲线上的所有点向 左 (当φ>0时)或
向 右 (当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到 y=sin(x+φ) 的图象.
2 探索( > )对y=sin(x+φ)图象的影响
2 探索( > )对y=sin(x+φ)图象的影响
取A=1，得到函数y=sin(x+φ)
思考：类比参数对函数y=sin(x+φ)图象的影响的研究过程，你能
能得出( > )的变化对函数y=sin(x+φ)图象的影响吗？
2 探索( > )对y=sin(x+φ)图象的影响
5.6.2 函数 = + 的图象
回顾
= sin + + ℎ
= + (其中 > , > )
思考
（1）能否借助我们熟悉的函数 = 的图象与性质研究参数, , 对函数
= ( + )的影响呢？
函数 = 就是 = + 在 = 1, = 1, = 0时的特殊情况.
则 的解析式为 = +
，

6
=


.
= sin 的图象，

到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx

1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再


把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)

7
B、 = sin(2 − 12 )


D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)

试一试
一般地

2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）

A、向左平移个单位长度

B、向右平移个单位长度
探索“”

C、向左平移个单位长度

D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)

系？
A 1, 1, 0
第一章 高中数学 必修4
创设情境
探索新知
动手实践
合作交流
当堂训练
问题3：回忆函数y=sinx的作图步骤、方法？
归纳总结
步骤：列表、描点、连线
五点法：（0,0），（ ,1），（，0），（3 ,1），（2 ,0）
2
2
高中数学 必修4
创设情境
探索新知
动手实践
y sin（x ） 横坐标伸长或缩短
y Asin（x ）
到原来的A倍，横坐标不变
方法二：先相位后周期变换
向左（右）平移
y sin x
个单位
y

sin（x

）
横坐标伸长或缩短
1
到原来的 倍，纵坐标不变
y sin（x ）纵坐标伸长或缩短 y Asin（x ） 到原来的A倍，横坐标不变
第一章 三角函数
§ 8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
创设情境
动手实践
观看视频
合作交流
当堂训练 归纳总结
高中数学 必修4 第一章
创设情境
动手实践
合作交流
当堂训练
归纳总结
问题1：沙摆在做简谐振动时，离开平衡位置的位 移与时间成什么关系？图像是什么？
y Asin(x )
问题2：函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y=sinx有什么关
创设情境
动手实践
合作交流
当堂训练
归纳总结
总结由函数y sin x到函数y Asin(x ) ( A 0, 0)图像的变换方法？
y sin x
y sin（x ） y sin（x ）

为偶函数，其它时为非奇非偶函数。
二、
1、y=sinx图象上每个点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0<A<1)到原来的A倍可得y=Asinx得图象； 2、 将y=Asinx的图象上每个点的横坐标缩短（或伸长） 到原来的 倍可得y=Asin x得图象； >0向左， <0向
3、 将y=Asin x的图象课堂练习
利用y=sinx的图象作出 的图象，并讨论其性质。
性质：
1、定义域为：R; 2、值域为：[-3，3]，当
三、课堂练习
利用y=sinx的图象作出 的图象，并讨论其性。
性质：
3、周期T= 4、单调性：在 ;
5、奇偶性：
谢谢莅临指导！ •再见！
课题名称：
函数y=Asin(x+φ)的图象和性质
山西沁源中学 郑建军
一、复习正弦线的概念 二、教学过程
三、小结 四、练习
小结：一、函数 图象和性质：
• 1、定义域为 R； • 2、值域为[-A,A]；当
即
的
即
• • ； • 3、周期 T=
；
4、单调性：
在
上为增函数，
在 5、奇偶性： 当
上为减函数，

像.(难点)
探究点1 振幅A对三角函数图像的影响
例1 作函数 y = 2sin x 和 y = 1 sin x 的简图，并
2
说明它们与函数y=sinx的关系.
解:（1）列表.
x
0
2
3 2
2
y= sin x 0
1
0
-1
0
y=2sin x 0
2
y= 1 sin x 2
0
1 2
0
-2
0
0
-1
0
2
（2）画图 y
探究点2 参数对函数y=Asin(x+)的影响
例2 画出函数y sin（x ）和y sin(x )的简图，并说明
4
6
它们与函数y sin x的关系.
采用类比法
解:(1)列表
（2）画图
1y
4
O
1 6
y sin(x ) 6
2
x
y sin(x π ) 4
从函数图像和解析式可以看出，把函数y sin x的图像向左平移 个单位长 4
上的简图向左、右延拓就可以得到函数y 2sin x, y 1 sin x在R上的图像.
2
（4）讨论性质.
从图像上可看出，在区间0,
2上，函数y
2
sin
x在
0,
2
和
3 2
,
2
上是增加的，在
2
,
3 2
上是减少的；
函数y 2sin x与x轴交点的横坐标是0, ，2;
函数y 2sin x的值域是 2, 2，最大值是2，最小值是 2.
2
像上每个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的1 ，
2

当 k＝2 时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或 2.
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用 与正弦函数 y＝sinx 比较可知， 当 ωx＋φ＝2kπ±π2(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函 数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出， 其对称中心横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为kπω－φ，0(k∈Z)． 同理 y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由 ωx ＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用 例 3 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108 米，直径长是 98 米，匀速 旋转一圈需要 18 分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时， 那么：
(1)当此人第四次距离地面629米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于59＋492
3米时可以看
又函数 f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，
(2)将 f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数 fx－π6的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f4x－π6的图象，
所以 g(x)＝f4x－π6＝2cos24x－6π＋1 ＝2cos2x－π3＋1. 当 2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)， 即 4kπ＋23π≤x≤4kπ＋83π(k∈Z)时，g(x)单调递减． 所以函数 g(x)的单调递减区间是4kπ＋23π，4kπ＋83π(k∈Z)．
的 ωx＋φ 的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π； “第五点”为 ωx＋φ＝2π.

∴π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
∵－π<φ<0，
∴φ＝－34π.
32
【变式训练】
设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线 x＝π8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调递增区间； (3)画出函数 y＝f(x)在[0，π]上的图像．
(2)由(1)知，φ＝－34π，因此 y＝sin2x－34π.由题意得 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ ＋π2(k∈Z)，∴kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z)，
－
3π 4
≤
3π 2
＋
2kπ(k∈Z)
，
得
原
函
数
的
单
调
增
区
间
为
58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)．
即函数 y＝sin34π－2x的单调减区间是π8＋kπ，58π＋kπ(k∈Z)，
单调增区间是58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)．
22
规律方法
1. 关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将 ωx＋φ 看作整体，代入到 y＝sin x 的对称中心、对称轴的表 达式可以求出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求 φ 值． (2)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则 φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝π2＋kπ，k∈Z，函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．
37
又∵函数图像过点(0， 2)，0<φ<π2， ∴2sin φ＝ 2，∴φ＝π4， ∴函数解析式为 y＝2sin13x＋π4. 由－π2＋2kπ≤13x＋π4≤π2＋2kπ， 得－94π＋6kπ≤x≤34π＋6kπ(k∈Z)，