2012春季高等数学机考复习题库

2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）试题及参考答案试 题 一、选择题：1—10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．ｌｉｍx→３ｃｏｓ（x－２）x－２＝（ ）．Ａ．１ Ｂ．ｃｏｓ１ Ｃ．０ Ｄ．π２２．设函数y＝x２＋１，则ｄyｄx＝（ ）．Ａ．１３x３Ｂ．x２Ｃ．２xＤ．１２x３．设函数f（x）＝ｃｏｓx，则f′π２＝（ ）．Ａ．－１Ｂ．－１２Ｃ．０Ｄ．１４．下列区间为函数f（x）＝ｓｉｎx的单调增区间的是（ ）．Ａ．０，π２Ｂ．π２，πＣ．π２，３π２Ｄ．（０，２π）５．∫x２ｄx＝（ ）．Ａ．３x３＋CＢ．x３＋CＣ．x３３＋CＤ．x２＋C ６．∫１１＋xｄx＝（ ）．Ａ．ｅ１＋x＋CＢ．１１＋x＋CＣ．x＋CＤ．ｌｎ｜１＋x｜＋C７．设函数z ＝ｌｎ（x ＋y ），则抄z 抄x（１，１）＝（ ）．Ａ．０Ｂ．１２Ｃ．ｌｎ２Ｄ．１８．曲线y ＝４－x ２与x 轴所围成的平面图形的面积为（ ）．Ａ．２Ｂ．４Ｃ．２πＤ．４π９．设函数z ＝ｅx＋y ２，则抄２z抄x２＝（ ）．Ａ．２y Ｂ．ｅx＋２yＣ．ｅx＋y ２Ｄ．ｅx１０．设事件A ，B 互不相容，P （A ）＝０．３，P （B ）＝０．２，则P （A ＋B ）＝（ ）．Ａ．０．４４Ｂ．０．５Ｃ．０．１Ｄ．０．０６二、填空题：11—20小题，每小题4分，共40分．１１．ｌｉｍx →１x ２＋x ＋２x ２－３＝．１２．ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x３x＝．１３．设函数f （x ）＝x ２＋１，x ＜０，a ＋x ，x ≥０在x ＝０处连续，则a ＝．１４．曲线y ＝x ３＋３x 的拐点坐标为．１５．设函数f （x ）＝ｃｏｓx ，则f ″（x ）＝．１６．曲线y ＝ｓｉｎ（x ＋１）在点（－１，０）处的切线斜率为．１７．∫２x ｅx ２ｄx ＝．１８．∫１０ｃｏｓx ｄx ＝．１９．∫＋∞０ｅ－xｄx ＝．２０．设函数z ＝x ２ｅy，则全微分ｄz ＝．三、解答题：21—28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．２１．（本题满分８分）计算ｌｉｍx →０ｅx－１x．２２．（本题满分８分）设函数y ＝ｌｎ（x ２＋１），求ｄy ．２３．（本题满分８分）计算∫ｌｎxxｄx ．２４．（本题满分８分）计算∫x ｃｏｓx ｄx ． ２５．（本题满分８分）已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是０．９，记X为他两次独立投篮投中的次数．（１）求X的概率分布；（２）求X的数学期望EX．２６．（本题满分１０分）求函数f（x）＝x３－３x－２的单调区间和极值．２７．（本题满分１０分）已知函数f（x）＝－x２＋２x．（１）求曲线y＝f（x）与x轴所围成的平面图形的面积S；（２）求（１）中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．２８．（本题满分１０分）求二元函数f（x，y）＝x２＋y２＋２y的极值．参考答案 一、选择题１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ａ ５．Ｃ６．Ｄ７．Ｂ８．Ｃ９．Ｄ１０．Ｂ二、填空题１１．－２ １２．２３１３．１１４．（０，０）１５．－ｃｏｓx１６．１１７．ｅx２＋C１８．ｓｉｎ１１９．１２０．２xｅyｄx＋x２ｅyｄy三、解答题２１．解　ｌｉｍx→０ｅx－１x＝ｌｉｍx→０ｅx１＝１．２２．解　y′＝１x２＋１（x２＋１）′＝２x x２＋１，ｄy＝２x x２＋１ｄx．２３．解　∫ｌｎx xｄx＝∫ｌｎxｄ（ｌｎx）＝１２（ｌｎx）２＋C．２４．解　∫xｃｏｓxｄx＝∫xｄ（ｓｉｎx）＝xｓｉｎx－∫ｓｉｎxｄx＝xｓｉｎx＋ｃｏｓx＋C．２５．解　（１）X可能的取值为０，１，２．P｛X＝０｝＝０．１×０．１＝０．０１，P｛X＝１｝＝２×０．９×０．１＝０．１８，P｛X＝２｝＝０．９×０．９＝０．８１，因此X的概率分布为X０１２P０．０１０．１８０．８１ （２）数学期望EX＝０×０．０１＋１×０．１８＋２×０．８１＝１．８０．２６．解　函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）．f′（x）＝３x２－３，令f′（x）＝０，得驻点x１＝－１，x２＝１．x（－∞，－１）－１（－１，１）１（１，＋∞）f′（x）＋０－０＋f（x）赤极大值０尺极小值－４赤 因此f（x）的单调增加区间为（－∞，－１），（１，＋∞）；单调减少区间为（－１，１）． f（x）的极大值为f（－１）＝０，极小值为f（１）＝－４．２７．解　（１）由y＝－x２＋２x，y＝０得交点坐标为（０，０），（２，０）．S＝∫２０（－x２＋２x）ｄx＝－x３３＋x２２０＝４３．（２）V＝∫２０πf２（x）ｄx＝∫２０π（－x２＋２x）２ｄx＝π∫２０（x４－４x３＋４x２）ｄx＝π１５x５－x４＋４３x３２０＝１６１５π．２８．解f′x（x，y）＝２x，f′y（x，y）＝２y＋２． 令f′x（x，y）＝０，f′y（x，y）＝０，得驻点（０，－１）． 因为f″x x（x，y）＝２，f″xy（x，y）＝０，f″y y（x，y）＝２，所以A＝f″x x（０，－１）＝２，B＝f″x y（０，－１）＝０，C＝f″yy（０，－１）＝２． 由于A＞０且AC－B２＞０，故f（x，y）在点（０，－１）处取得极小值，极小值为f（０，－１）＝－１．。

山东省2019年普通高校招生（春季）考试数学试题1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。

考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。

卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出．并填涂在答题卡上）1.已知集合M={0,1}，N={1,2}，则M ∪N 等于（）A. {1}B. {0,2}C. {0,1,2}D.∅ 2. 若实数a ，b 满足ab>0，a+b>0，则下列选项正确的是（）A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<03.已知指数函数y=a x ，对数函数y=log b xA. 0<a<b<1B. 0<a<1<bC.0<b<1<aD. a<0<1<b4.已知函数f(x)=x 3+x ，若f(a)=2，则f(-a)的值是（）A. -2B. 2C. -10D. 10 5.若等差数列{a n }的前7项和为70，则a 1+a 7等于（）A. 5B. 10C. 15D. 206.如图所示，已知菱形ABCD 的边长是2，且∠DAB =60°，则AB AC ⋅u u u r u u u r的值是（）A. 4B. 4+C. 6D.4-y第3题图B第6题图7.对于任意角α，β，“α=β”是“sin α=sin β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 8.如图所示，直线l ⊥OP ，则直线l 的方程是（） A. 3x －2y=0 B. 3x+2y －12=0 C. 2x －3y+5=0D. 2x+3y －13=0 9.在（1+x ）n 的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（）A. 15x 3B. 20x 3C. 15x 2D. 20x 210. 在Rt V ABC 中，∠ABC =90°，AB=3，BC=4，M 是线段AC 上的动点. 设点M 到BC 的距离为x ，V MBC 的面积为y ，则y 关于x 的函数是（）A. y=4x ，x∈(0,4]B. y=2x ，x∈(0,3]C. y=4x ，x∈(0,)+∞D. y=2x ，x∈(0,)+∞ 11. 现把甲、乙等6位同学排成一排，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种树是（）A. 360B. 336C. 312D. 240 12.设集合M={-2，0，2，4}，则下列命题为真命题的是（） A. ,a M ∀∈a 是正数 B. ,b M ∀∈b 是自然数 C. ,c M ∃∈c 是奇数 D.,d M ∃∈ d 是有理数 13. 已知sinα=12，则cos2α的值是（） A.89 B. 89- C. 79 D.79- 14. 已知y=f(x)在R 上是减函数，若f(|a |+1)<f(2)，则实数a 的取值范围是（）A. （－∞，1）B. （－∞，1）∪（1，+∞）C. （－1，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞） 15. 已知O 为坐标原点，点M 在x 轴的正半轴上，若直线MA 与圆x 2+y 2=2相切于点A ，且|AO|=|AM|，则点M 的横坐标是（） A. 2B.C.D. 4A. 平行B. 相交C. 异面D.重合17. 如图所示，若x，y满足线性约束条件2 01x yxy-+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，则线性目标函数z=2x-y取得最小值时的最优解是（）A. （0，1）B. （0，2）C. （-1，1）D.（-1，2）18. 箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取得黑色卡片的概率是（）A. 16B. 13C. 25D.3519. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M（-2，4），则其标准方程是（）A. y2=-8xB. y2=－8x 或x2=yC. x2=yD. y2=8x 或x2=－y20. 已知V ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=6，sinA=2cosBsinC，向量m =(,3)a b, 向量n=(－cosA，sinB)，且m∥n，则V ABC的面积是（）A. 183B. 93C. 33D.3卷二（非选择题共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分。

Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。

绝密★启用前2012年成人高等学校招生全国统一考试数 学（文史财经类）考生注意：本试题分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共85分）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，讲所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点．．．．．．．．．．．上。

（1）设集合M={0,1,2,3,4,5},N={0,2,4,6},则M ∩N= (A) {0,1,2,3,4,5,6} (B) {1,3,5} (C) {0,2,4} (D) Ø （2）已知a >0,a ≠0，则0a +a a log =(A) a (B) 2 (C) 1 (D) 0（3） π67cos =(A) 23 (B) 21 (C) 21- (D) 23-（4） 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 （A)π6 (B) π2 （C) 2π (D) 4π （5） 设甲：1=x ，乙：0232=+-x x ， 则（A) 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件（B) 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 （C) 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 （D) 甲是乙的充分必要条件 （6） 下列函数中，为偶函数的是（A) 132-=x y （B ） 33-=x y （C ） xy 3= （Ｄ） x y 3log =（7） 已知点A （—4，2），B （0，0），则线段AB 的垂直平分线的斜率为 （A ） —2 （B ） 21- （C ） 21（D ） 2（8） 设函数xx x f 2)1()(+=，则)2(f =(A) 12 (B) 6 （C ） 4 （D ） 2 （9） 如果函数b x y +=的图像经过点（1，7），则b =(A) —5 (B) 1 (C) 4 (D) 6 （10） 若向量a ),1(m =，b )4,2(-=，且10-=⋅b a ，则=m(A) —4 (B) —2 (C) 1 (D) 4 （11） 设角a 的顶点在坐标原点，始边为x 非负半轴，终边过点)2,2(-， 则=a sin(A) 22 (B) 21 (C) 21- (D) 22-（12） 已知一个等差数列的首项为1，公差为3，那么该数列的前5项和为(A) 35 (B) 30 (C) 20 (D) 10 （13） 函数)1lg(2-=x y 的定义域是(A) （∞-，—1]∪[1，∞+） (B) （—1，1） (C) （∞-，—1）∪（1，∞+） (D) [—1，1] （14） 使27log log 32>a 成立的a 的取值范围是(A) （0，∞+） (B) （3，∞+） (C) （9，∞+） (D) （8，∞+） （15） 设函数4)3()(34+++=x m x x f 是偶函数，则m =(A) 4 (B) 3 (C) —3 (D) —4 （16） 从5位同学中任意选出3位参加公益活动，不同的选法共有(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 （17） 将3枚均匀的硬币各抛掷一次，恰有2枚正面朝上的概率为(A)41 (B) 31 (C) 83 (D) 43 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

感谢你的观看全国2012年1月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列函数中为奇函数的是（ ） A.()2x xe ef x -+= B.()2x x e e f x --= C.3()cos f x x x =-D.5()sin f x x x = 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ ） A.1e xB.ln xC.x sin 1xD.1sin x x3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥⎧⎨<⎩则f (x )在点x =0处（ ） A.左导数存在，右导数不存在B.左导数不存在，右导数存在C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在4.曲线yx =1处的切线方程为（ ）A.x -3y-4=0B.x -3y +4=0C.x +3y -2=0D.x +3y +2=05.函数f (x )=x 2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ=（ ）A.1B.65 C.54 D.32 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.函数f (x_________. 7.设函数f (x )=2(1), 0cos , 0x x x a x x ⎧⎪+>⎨⎪≤⎩在点x =0处连续，则a =_________.感谢你的观看8.微分d (e -2x 9.设某商品的需求函数为Q =16-4p ，则价格p =3时的需求弹性为_________.10.函数f (x )=x -2cos x 在区间[0,2π]上的最小值是_________. 11.曲线y =22231x x x ---的铅直渐近线为_________. 12.无穷限反常积分402d 1x x x+∞+⎰=_________. 13.微分方程xy ′-2y =0的通解是_________.14.已知函数f (x )连续，若Φ(x )=x 1x⎰ f (t )d t ，则Φ′(x )=_________.15.设函数z=sin(xy 2)，则全微分d z =_________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.求数列极限221lim(62)sin .31n n n →∞++17.设函数f (x 21x +x -ln(x 21x +)，求导数f ′(1).18.求极限3011x x →+-.19.求不定积分3ln d x x x ⎰. 20.设z =z (x ，y )是由方程xz +y 2+e z =e 所确定的隐函数，求偏导数(0,0)z x ∂∂. 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.确定常数a,b 的值，使得点(1,12)为曲线y =32114x ax bx +++的拐点. 22.计算定积分I =320cos cos d .x x x π-23.计算二重积分I =41Dx +d x d y ，其中D 是由曲线y =x 3， x =l 及x 轴所围成的区域，如图所示.五、应用题（本题9分）24.设D 是由曲线y =e x ，y =e -x 及直线x =l 所围成的平面区域，如图所示.(1)求D 的面积A .(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x .六、证明题（本题5分）25.证明：当x>0时，e2x>1+2x. 感谢你的观看。

2012年山东春季高考数学模拟试题(含答案)一、选择题（本大题共25个小题，每小题3分，共75分）1、已知集合P={（x ，y ）|y = x+1}，Q={（ x ，y ）| x 2+y 2=1}，则集合P ∩Q 的子集的个数是（ A ）A 、2B 、4C 、6D 、82、设命题p ：a 2+b 2=0，则 p 的充分且必要条件是（ A ）A 、a=0且b=0，B 、a ≠0且b ≠0，C 、a ≠0或b ≠0，D 、a=0或b=0 3、已知a ＝x -x 2，b ＝1-x ，则a ，b 间大小关系为( D )A 、a ＞bB 、a ＜bC 、a ＝bD 、a ≤b4、已知奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，偶函数g(x)在（0，∞）上是减函数，则在（－∞，0）上，有（ C ）奇函数在单调性的定义域是一致的，偶函数是相反的。

A 、f(x)为减函数，g(x)为增函数；B 、f(x)为增函数，g(x)为减函数；C 、f(x)、g(x)都是增函数；D 、f(x)、g(x)都是减函数 5、如果函数y=2x 2+(2a-b)x+b ，当y ＜0时，有1＜x ＜2，则a 、b 的值为（ D ） A 、a=-1,b=-4 B 、a=-12 ,b=2 C 、a=-1,b=4 D 、a=1,b=-4 6、已知f （e x ）= x ，则f （5）=（ C ）A 、e 5B 、5C 、ln5D 、log 5 e 7、已知tan θ=2，则sin θcos θ=（ B ）A 、53B 、52C 、±52D 、±538、把函数y=sin x 图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，A 、y=cos 2xB 、y= -sin 2xC 、y=sin(2x-4)D 、y=sin(2x+4) 9、我国轿车进入家庭是时代发展的必然，随着车价的逐年降低，购买轿车将不是一件难事，如果每隔3年车价将降低13 ，那么现价为18万元的小轿车6年后的车价是（ C ） 18×﹙1－1/3﹚²=8 三年看成一个周期，则6年2周期A 、2万元B 、4万元C 、8万元D 、16万元 10、在△ABC 中，已知AB=，∠B=30°，则∠A=（ D ）A 、45°B 、15°C 、45°或135°D 、15°或105° 11、若与都是单位向量，则下列式子恒成立的是（ B ）单位向量指的是模式1的向量，所以选BA 、·=0；B 、||=||，C 、-=0；D 、·=1 12、数列{}n a 满足,,11n S a n ==则=2012a （ A ）A 、1B 、2010C 、2011D 、201213、从五名学生中选出四人分别参加语文、数学、英语和专业综合知识竞赛，其中学生甲不参加语文和数学竞赛，则不同的参赛方法共有（ C ） A ．24 B.48 C.72 D.12014、某校二年级有8个班，甲，乙两人从外地转到该年级插班，学校让他们各自随机选择班级，他们刚好选在同一个班的概率是（ B ）因为有八个班级，假设把我A 、B 都分到5班，概率是1/8A ． 14 B. 18 C. 116 D. 16415. 某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m 3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m 3的住户的户数为 C A.10 B.50 C.60 D.14016、二项式()n x +1展开式中有9项，则展开式中的第5项的系数为（ A ）A 、70 B 、-70 C 、126 D 、24017．已知正方体ABCD A BC D ''''-，则A C ''与B C '所成的角为（ A ）A ．45︒B ．60︒C ．30︒D ．90︒ 18、已知直线m ，n 和平面α，下面四个命题中，正确的是（ ） A 、m ⊥α，m ∥n ⇒n ⊥α B 、 m ⊥α，n ∥α⇒m ∥n C 、m 、n 与α所成的角相等⇒m ∥n D 、m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α 19. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，,m n αβ⊂⊂，有两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥;那么 A ．“p 或q ”是假命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“非p 或q ” 是假命题 D ．“非p 且q ”是真命题20.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+.0,0,042＞y y x y x 则y x 2-的最大值为( B )A 、2B 、4C 、6D 、821、对任意实数k,直线(k+1)x －ky －1＝0与圆x 2+y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是 （ A ）直线恒过圆心，直线与圆相交A.相交B.相切C.相离D.与k 的值有关 22、圆x 2+y 2-4x+2y+F=0与y 轴相交于A 、B 二点，圆心为C ，若∠ACB=90º，则F 等于( D ) A 、22- B 、22 C 、3 D 、-323、若抛物线()220y px p =>过点M )(4,4,则点M 到准线的距离d=（ ） A 、 5 B 、 4 C 、3 D 、224、12222=-by a x 与2222a y b x -＝1(a ＞b ＞0)的渐近线( )A ．重合B ．不重合，但关于x 轴对称C ．不重合，但关于y 轴对称D ．不重合，但关于直线y ＝x 对称25、已知AB 为经过椭圆12222=+by a x (a>b>0)的中心的弦, F(c, 0)为椭圆的右焦点,则△ABF 的面积的最大值为( )A. b 2B. abC. acD. bc二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 26、2和3的等比中项是__1.86______. (精确到0.01)28、若直线m x y +=2经过第一、二、三象限，则方程1322=+my x 表示的曲线是____________.29、函数y =的定义域为__1≤X ＜2__30、某商品计划提价，现有四种方案：①先提价m%，再提价n%；②先提价n%，再提价m%；③分两次提价，每次都提价(m+n2)%；④一次性提价(m+n)%，已知m ＞n ＞0，那么四种提价方案中，提价最多的方案是___③___. (只填序号) 三、解答题(本大题共5个小题，共55分) 31、（8分）在4与64之间插入三个正数a 1,a 2,a 3，使4，a 1,a 2及a 2,a 3，64依次成等比为数列，而a 1,a 2,a 3依次成等差数列，求a 1,a 2,a 3. 31．（10分）某服装厂生产某种风衣，日销售量x （件）与售价P （元/件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本为50030R x =+元。

2012年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工本)试题课程代码：00023考生答题注意事项：1. 本卷所有试卷必须在答题卡上作答。

答在试卷和草稿纸上的无效。

2. 第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。

3. 第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号，使用0.5毫米黑色字迹笔作答。

4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将基代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为 A.211123x y z ++-==-- B.112103x y z -+-==- C.211123x y z --+==- D. 112103x y z +-+==- 2.设函数f (x ,y )=x y ，则f y (x ,y )为A.yx y -1B.x y ln xC.x y ln yD.x y 3.下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为 A.(2)d (2)d Lx y x x y y -+-⎰B. (2)d (2)d Lx y x y x y ++-⎰C.(2)d (2)d L x y x x y y +++⎰D.(2)d (2)d Lx y x x y y ++-⎰4.微分方程d e d x y yx x=+是 A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程5.已知幂级数()n11n n a x ∞=+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.已知向量a ={2,-1,3},b ={1,-1,2},则（-2a ）×(3b )=______. 7.已知函数g (x ,y )=x +y +f (x -y ),且g (x ,0)=x 2，则f (x -y )=______. 8.二次积分()21100d ,d x I x f x y y -=⎰⎰交换积分次序后I=______.9.微分方程 的一个特解y *=______.10.无穷级数11!n n ∞=∑的和为______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.设函数z=ln(x +y ),证明22z z x y xy∂∂+=∂∂. 24.求函数f (x ,y )=2xy -x 2-4y 2+y 3-1的极值. 25.将函数f (x )=21x 展开为(x +1)的幂级数.。

2012年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）（2012•上海）已知集合A={1，2，k}，B={2，5}．若A∪B={1，2，3，5}，则k=3．2．（4分）（2012•上海）函数y=的定义域是[﹣2，+∞）．，3．（4分）（2012•上海）抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．4．（4分）（2012•上海）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．5．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．T=2x+）T=6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1=0的解为x=1．7．（4分）（2012•上海）若，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．8．（4分）（2012•上海）若f（x）=为奇函数，则实数m=﹣2．=为奇函数，9．（4分）（2012•上海）函数y=的最大值为5．的导函数在的最大值为=5的最大值为10．（4分）（2012•上海）若复数z满足|z﹣i|≤（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为2π．为圆心，，为半径的实心圆，=2为圆心，11．（4分）（2012•上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）则其概率为；故答案为12．（4分）（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2]．=1+x13．（4分）（2012•上海）已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．当b k是数列{b n}的最大项时，k=1006．，由，根据（，（14．（4分）（2012•上海）若矩阵满足a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有8个．可以是、、二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。

高数上机题库及答案详解在高等数学的学习过程中，上机题库和答案详解是帮助学生深入理解和掌握知识点的重要工具。

以下是一份高数上机题库及答案详解的内容，供学生参考。

一、极限的概念与性质1. 极限的定义求极限是高等数学中的基础概念。

例如，求函数\( f(x) =\frac{x^2 - 1}{x - 1} \)在\( x \to 1 \)时的极限。

通过代数变换，我们可以得到\( \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \)。

2. 无穷小的比较在求极限的过程中，我们经常需要比较不同无穷小的阶数。

例如，\( \sin x \)与\( x \)在\( x \to 0 \)时的阶数比较，可以得出\( \sin x \)是\( x \)的高阶无穷小。

3. 夹逼定理的应用夹逼定理是求解某些复杂极限问题的有效工具。

例如，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)，可以利用\( -1 \leq\sin x \leq 1 \)，得到\( -1 \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 \)，从而得出极限为1。

二、导数与微分1. 导数的定义导数是描述函数在某一点处变化快慢的量。

例如，函数\( f(x) = x^3 \)的导数为\( f'(x) = 3x^2 \)。

2. 基本导数公式掌握基本的导数公式是解决导数问题的关键。

例如，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，\( (\sin x)' = \cos x \)，\( (\ln x)' =\frac{1}{x} \)等。

3. 复合函数的求导法则复合函数的导数可以通过链式法则求解。

例如，\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。

三、积分的概念与计算1. 不定积分不定积分是求原函数的过程。

大学数学(理) 分类试题第一章 函数、极限、连续1. 662421lim23x x x x x →∞+-=++____ 2 ____。

2. 下列函数中当+→0x 时为无穷小量的是（ B ）A ．xx 1sin , B.x xsin 1, C ．x ln , D. x e 1.3. 11lim (1)lim sinxx x x x x-→→∞++ 等于（ D ）A. e ,B. 1e -, C. 1e +, D. 1e1-+4. 设函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)(2x f 的定义域为 [-1,1] .5. =⋅∞→xx x 31sinlim -1/3 .6. 函数231)(22+--=x x x x f 的第一类间断点是（ D ）A. 1=x ,B. 1-=x ,C. 2-=x ,D. 1-=x ，2-=x . 7. 求极限 2cos 1limxxx -→; 1/28. 设函数22(1cos ), 0() 21, 0ax x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪++≤⎩当时当时，在(,)-∞+∞上处处连续，求a 的值。

29. 证明方程⎪⎭⎫⎝⎛-=++2,20sin 1ππ在区间x x 内至少有一个根. 10. 极限 32322lim 2x x x →+-=- 4 .11. 2arctan limx x x→∞=__ _0_____。

12. 设n nn n x 1)321(++=，求：n n x ∞→lim ．313. 411lim1x x x →-=-___ _2 ____。

14. 数列有界是数列收敛的（ A ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件 15. 当0x →时，1x e -是 (D )A. 较x 高阶的无穷小B. 较x 低阶的无穷小C. 无穷大量D. 与x 等价的无穷小16. 设1)(2+=t t f ，则=+)1(2t f t ^4+2t ^2+3 .17. =⋅→xx x 1sin2lim 00 .18. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,2)(x x a x e x f x 在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .19. 求极限 145lim1---→x xx x ; 220. 函数()f x 在0x x =处有定义，是()f x 在0x x =处连续的 必要不充分 条件. 21. 求极限123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭.lim(x→∞) [(2x+3)/(2x+1)]^(x+1)=lim(x→∞) [1+2/(2x+1)]^(x+1)=lim(x→∞) [1+2/(2x+1)]^{[(2x+1)/2]*[2(x+1)/(2x+1)] =e^lim(x→∞)[2(x+1)/(2x+1)] =e^1 =e 22. 函数12ln(5)3y x x x =-++--的定义域为[2,3)u(3,5) 。

湖北省高职技能考试数学试题――2012年一、选择题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.未选、错选或多选均不得分.）1. 若集合A={x ︱3≤x ≤9}与B={3，5，7，9}，则下列关系中正确的是（ ）A B ∈A B A ∈B C B ⊆A D A ⊆B2. 不等式x+12x-1<的解集是（ ） A （1，3） B （-3，-1）C （-∞，-3)⋃(-1，+∞）D （-∞，1)⋃(3，+∞）3. 下列函数中两个函数表示同一函数的是（ ）A 12y=x B y=x ，y=xC 3x y=x，2y=x D y=x 4. 与角870º终边相同的角α是（ ） A =+2k k 6Z πααπ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， B 5=+2k k 6Z πααπ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， C =+k k 6Z πααπ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， D 5=+k k 6Z πααπ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， 5. 若角32παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且2tan =3α，则α为（ ） A 43π B 76π C 3π D 6π 6. 若直线过点P(-3，2)与Q(-2，1)，则该直线的倾斜角θ及斜率k 分别为（ ） A 4π，-1 B 34π，-1 C 4π，1 D 34π，1 二、填空题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）7. ()()21111123233-40.125+0.2539=⎛⎫ ⎪⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ .8. 函数1y=的定义域是 （用区间表示）.9. 已知集合A={x ︱x ＜-2或x ＞3}，B={x ︱x ＜-3或x ＞1}，则A ⋂B= （用区间表示）.三、解答题：(本大题共3小题，每小题12分，共36分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10. 解答下列问题：（1）设tan α=2，求42222cos +sin cos 3cos -sin ααααα⋅的值；（5分）（2）设角32παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3sin(+)=5πα，求()()21+tan 1-sin 11-cos ααα⋅的值.（7分）11. 已知直线l 1过点P(1，-4)且斜率为2，求解下列问题：（1）直线l 1的一般式方程；（4分）（2）过直线l 1与x 轴的交点M 且与垂直l 1的直线l 的一般式方程.（4分）（3）直线l 1与l 及y 轴围成的三角形的面积.（4分）12. 为了加强公民的节水意识，某市制定居民用水收费标准为：每户月用水量不超过10吨时， 按3元/吨的标准计费；每户月用水量超过10吨时，超过10吨的部分按5元/吨的标准 计费.设某用户月用水量为x （吨），应缴水费为y （元）.求解下列问题：（1）老王家某月用水15吨，他应缴水费多少元？（2分）（2）建立y 与x 之间的函数关系式；（4分）（3）设小赵家1月份用水不超过10吨，1月份与2月份共用水21吨，两个月共缴水费 69元，求其1月份与2月份各用水多少吨.（6分）。

山东省2012年春季高考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共75分）一．选择题（本大题25个小题，每小题3分，共75分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1.已知全集{1,2,3}U=，集合{1,2}M =，则U M ð等于.A {1} .B {3} .C {1,2} .D {1,2,3}2.若均为实数，且ab >，则下列关系正确的是.A b a ->- .B 22a b > .C > .D a b>3.已知函数()y f x =的定义域是不等式组1020x x +≥⎧⎨-<⎩的解集，则函数()y f x =的图像可以是.A .B .C .D4.已知1和4的等比中项是3log x ，则实数x 的值是.A 2或12 .B 3或13 .C 4或14.D 9或195.已知函数()()yf x x R =∈是偶函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则下列关系正确的是.A (1)(2)(3)f f f ->>- .B (2)(1)(3)f f f >->- .C (3)(2)(1)f f f ->>- .D (3)(1)(2)f f f ->->6.已知角α的终边经过点(1,3)P -，则sin α的值是.A 13- .B 310 .C 10-.D 107.如图所示，已知,P Q 是线段的两个三等分点，O是线段AB 外的一点，设，,OA a OB b ==uu r uur rr ，则OP uur 等于.A 1133a b +r r .B 1233a b +r r .C 2133a b +r r .D 2233a b +r r8.如果p ⌝是真命题，p q ∨也是真命题，那么下列说法正确的是.A ,p q 都是真命题 .B p 是真命题，q 是假命题.C ,p q 都是假命题 .D p 是假命题，q 是真命题9.若直线230ax y --=与直线410x y ++=互相垂直，则实数a 的值是.A 8 .B 8- .C 12 .D 12-10.已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是.A 26y x = .B 26y x =- .C 23y x = .D 23y x =-11.已知二次函数2()(1)1f x x m x m =+++-的图像经过原点，则使()0f x <的x 的取值集合是.A (0,2).B (2,0)-.C (,0)(2,)-∞+∞U.D (,2)(0,)-∞-+∞U12.已知lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()x f x a =与()xg x b=的图像.A 关于坐标原点对称 .B 关于x 轴对称.C 关于y 轴对称 .D 关于直线y x =对称AO13.椭圆22198x y +=的离心率是 .A 13 .B 3 .C 4 .D 3 14.编排一张由4个语言节目和2个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使2个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是.A 120 .B 240 .C 360 .D 48015.若M N 、表示两个集合，则MN M =I 是M N ⊆的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不是充分条件也不是必要条件16.若αβ、为任意实数，则下列等式恒成立的是.A 555αβαβ⨯=.B 555αβαβ++=.C (5)5αβαβ+=.D 555ααββ-=17.已知二次函数243y x x =-+图像的顶点是A ，对称轴是直线l ，对数函数2log yx =的图像与x 轴相交于点B ，与直线l 相交于点C ，则ABC ∆的面积是.A 1 .B 2 .C 3 .D 418.已知平行四边形OABC ，(4,2),(2,6)OA OC ==uu r uu u r ，则OB uur 与AC uu u r夹角的余弦值是.A 2 .B 2- .C 5 .D 5- 19.函数()sin )f x x x π=+-的单调递增区间是A 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈B 5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ C 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ D 2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈20.若()na b +展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有.A 8项 .B 9项 .C 10项 .D 11项21.如图所示，若图中阴影部分所表示的区域是线性目标函数3zx y =+的可行域，则z 的最小值是.A 2 .B 3 .C 4 .D 1522.从5名男生和2名女生中任选3人参加某项公益活动，其中至少有1名女生的概率是.A 35 .B 57.C 1021 .D 1742 23.已知空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，给出下列四个命题：①AC 与BD 是相交直线； ②//AB DC ； ③四边形EFGH 是平行四边形； ④//EH 平面BCD 。

高等数学（一）机考复习题一．单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内.)1.函数y=x 1-+arccos 21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x≤1C. (-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x≤1}矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。

2.下列函数中为奇函数的是（ ） A.y=cos3x B.y=x2+sinxC.y=ln(x2+x4)D.y=1e 1e xx +-3.设f(x+2)=x2-2x+3,则f[f(2)]=( )A.3B.0C.1D.24.y=的反函数是xx323+( ) A.y=233x x +-- B.y=xx332+ C.y=log3x 1x 2- D.y=log3x2x1-5.设n n u ∞→lim =a,则当n→∞时，un 与a 的差是（ ）A ．无穷小量 B.任意小的正数C ．常量 D.给定的正数6.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ）A ．-1 B.0 C.1 D.不存在7.当0x →时,x cos x sin 21是x 的( )A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量 8.x21sinx 3lim x •∞→=( )A.∞B.0C.23D.329.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( )A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在C.)x (f lim 1x +→不存在 D.)x (f lim 1x →不存在10.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( )A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义 11.设y=2cosx,则y '=( )A.2cosxln2B.-2cosxsinxC.2cosx(ln2)sinxD.-2cosx-1sinx 12.设f(x2)=)x (f ),0x (x11'≥+则=( ) A.-2)x 1(1+ B.2x 11+C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+13.曲线y=1x x132=在处切线方程是( )A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-5 14.设y=f(x),x=et,则22dt y d =( )A.)x (f x 2''B.)x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D.)x (f x ''+xf(x) 15.设y=lntg x ，则dy=( ) A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d16.下列函数中，微分等于xln x dx的是( ) A.xlnx+c B.21ln2x+c C.ln(lnx)+c D.xxln +c17.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )A.y=|x|,[-1,1]B.y=x1,[1,2] C.y=32x ,[-1,1] D.y=2x1x-,[-2,2]18.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是( )A.22B.0C.-πD.π 19.下列曲线有水平渐近线的是（ ）A.y=exB.y=x3C.y=x2D.y=lnx 20.⎰-2x xdee =( )A.-c e 21x 2+ B. -c e 2x+C-c e 212x+- D.c e 412x+-21.⎰=dx 2x 3( )A.c 2ln 231x3+ B.31(ln2)23x+cC. 3123x+c D.c 2ln 2x3+22.⎰+πdx )14(sin =( )A.-cos 4π+x+cB.-c x 4cos 4++ππC.c 14sin x ++πD. c x 4sin x ++π23.⎰-)x cos 1(d =( ) A.1-cosx B.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c 24.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=( )A.4⎰axf(x)dx B.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dxC.0D.以上都不正确25.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lim a x +→=( )A.0B.aC.af(a)D.不存在26.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )A.⎰+1xe1dxB.⎰π40tgxdx C.dx x1x12⎰+ D.⎰π40ctgxdx27.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=( )A.3B.23C.1D.2 28.当x>2π时，⎰π'x2dt )ttsin (=( ) A.x x sin B. x xsin +c C x x sin -π2 D. xx sin -π2+c29.下列积分中不是广义积分的是( )A.⎰-21022)x 1(dx B.⎰e1xln x dxC.⎰-113xdxD.⎰+∞-0x dx e30.下列广义积分中收敛的是( )A.⎰+∞xdx sin B.⎰-11xdxC.⎰--012x 1dx D.⎰∞--0x dx e31.下列级数中发散的是( ) A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B. ∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1(C.∑∞=-1n nn1)1( D.∑∞=-1n )n 1( 32.下列级数中绝对收敛的是( ) A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1( C. ∑∞=-3n nn ln )1( D.∑∞=--1n 321n n)1(33.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+-( ) A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 34.设幂级数∑∞=-0n n n)2x (a在x=-2处绝对收敛，则此幂级数在x=5处 ( )A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定35.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，则函数f(x2,y3)的定义域为( )聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则该函数的对称轴为：A. $x = 2$B. $x = -2$C. $y = 2$D. $y = -2$2. 若$a^2 + b^2 = 1$，则$ab$的最大值为：A. $1$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{1}{2}$D. $0$3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线$y = x$的对称点为：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, -2)D. (-2, 3)4. 下列函数中，奇函数是：A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = |x|$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = x^3$5. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的通项公式为：A. $a_n = a_1 + (n-1)d$B. $a_n = a_1 - (n-1)d$C. $a_n = a_1 + nd$D. $a_n = a_1 - nd$6. 若$sin\alpha + cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin2\alpha$的值为：A. $1$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{1}{2}$D. $-1$7. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$和$b$的关系为：A. $k^2 + b^2 = 1$B. $k^2 + b^2 = 2$C. $k^2 + b^2 = 0$D. $k^2 + b^2 = -1$8. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 0$B. $x = 1$C. $x = -1$D. $x = 3$9. 在三角形ABC中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\cos A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{4}$D. $\frac{3}{4}$10. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则$z$位于：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限二、填空题（每题5分，共20分）11. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$的定义域为______。

大学,高等数学,历年考题一。

偏导数的几何应用1.[2012]求曲面在点处的切平面和法线方程解令，则从而切点的法向量为从而切平面为法线方程为3、[07]曲线在点的切线方程为.4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。

解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为5.[2006]已知直线和平面则（B）A、在内B、与平行，但不在内C、与垂直D、不与垂直，不与平行6.[2006]曲面在点处的法线方程是7.[2006]（化工类做）已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。

证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以所求方程为二。

多元函数1.【2012】设，则02.【2012】设,则3.【2012】函数在点处沿指向点方向的方向导数4.【2012】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数解因为与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又，或，或于是函数在点存在有一阶偏导数。

5.【2012】设,求解令，则，于是用公式得6.[2012]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解设点为，则等价于求在约束之下的最小值。

令且由解得驻点，最短距离为（令计算起来更加方便，舍去驻点，）7.[2011]8.[2011]9.【2011】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数.10.【2011】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快沿哪个方向的值不变11.【2011】求函数的极值.12.[2010]13.[2010]14.[2010]15.[2010]16.[2009]17.[2009]18.[2009]设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：19.[2009]求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点当时，是条件极值，考虑函数，解方程组可得所求最大值为，最小值为。