【典型题】高中必修五数学上期末一模试题(及答案)

【典型题】高中必修五数学上期末一模试题(及答案)
一、选择题
1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则21
2
a a
b -的值是 ( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
1
2或12
- D ．
1
4
2．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足
（ ） A ．()1n
n T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-
D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨
-⎩
为偶数，
为奇数
3．已知正数x 、y 满足1x y +=，且
22
11
x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．
163
B ．
13
C ．2
D ．4
4．已知数列{}n a 的通项公式是2
21
sin
2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110
B ．100
C ．55
D ．0
5．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
6．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
7．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140
B ．280
C ．168
D ．56
8．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为
（ ） A ．9-
B ．12
C ．12-
D ．9
9．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩
，则22
(2)x y -+的最小值为（ ）
A
．
2
B
C ．5
D ．
92
10．已知数列{}n a 中，()111,21,n n n
a a a n N S *
+==+∈为其前n 项和，5
S
的值为
（ ） A ．63
B ．61
C ．62
D ．57
11．已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．(1,4)
D ．(0,4)
12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A
B
C
D
．
10
二、填空题
13．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.
14．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 1
1b a a +=，则数列
{}n b 的前n 项和n S 为______．
15．观察下列的数表： 2 4 6
8 10 12 14
16 18 20 22 24 26 28 30 …… ……
设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．
16．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不等式11
2020|1|13n n
T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．
17．设,x y 满足约束条件0
{2321
x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .
18．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________
19．设122012(1)(1)(1)n n
n x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且
2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____
20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11
a c
c a
+++的最小值为_____．
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141
n n n b T S =
-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，
()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25
cos C ∠=
点D 是AB 的中点, 求
（1）边AB 的长；
（2）cos A 的值和中线CD 的长
23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为
R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.
（1）求A ∠；
（2）若tan 2tan A B =，求
sin 2sin 2sin b C
a b B c C
+-的值.
24．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 25．已知点（1，2）是函数()(0,1)x
f x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和
是()1n S f n =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T
26．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－1
4
. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC u u u v u u u v
的值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.
∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.
则
212211
22
a a
b --==. 本题选择A 选项.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据2
n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
解:∵2
n S n =,∴当1n =时,111a S ==;
当2n ≥时,()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()
()1121n
n
n n b a n =-=--,
∴()()()()
()12
3
113151121n
n T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,
∴()()()()
()2
3
4
1
113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,
①-②,得()()()()()()2341
2121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣
⎦
()
()()
()()()
2
11111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯
--⨯-=---,
∴()1n
n T n =-,
∴数列{}n b 的前n 项和()1n
n T n =-.
故选:A . 【点睛】
本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件得()()113x y +++=，对代数式22
11x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出22
11
x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】
正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，
()()()()()()22
2
2
2
2
2
2
1212111111111111
y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+
++++++++444444
141465
111111
y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝
⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12
x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则1
3m ≤. 因此，实数m 的最大值为1
3
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．C
解析：C
【解析】 【分析】
由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 1
2+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】
∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝2
2,,n n n n ⎧-⎨⎩
是奇数是偶数，
∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552
故选C ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×
1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×
2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．
6．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】
由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为
()
110101028
1402
2
a a +⨯=
=，故选A. 8．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】
作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，
联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则
()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，
联立0x y y k
-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，
max 24412z =⨯+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.
9．C
解析：C 【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.
10．D
解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：
1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，
分组求和有：(
)5
521255712
S ⨯-=-=- .
本题选择D 选项.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
先判断函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.
【详解】
可知函数()f x 为减函数，由2
(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，
整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =
+=，同理可得225AC AB BC =+=，
在ACD ∆中，由余弦定理得2222310
cos 210252
AC AD CD DAC AC AD +-∠===
⋅⨯⨯， 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849
【解析】 【分析】
直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】
数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()
()
*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，
所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()100100134663118492
2
S +⨯=
+⨯
+=，
故答案为：1849 【点睛】
本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.
14．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n 项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达 解析：
4n
n 1
+ 【解析】 【分析】
运用等差数列的求和公式可得()n 11n
a n n 1n 122
=
⋅+=+，可得()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】 解：()n 12n 11n
a n n 1n 1n 1n 1n 122
=
++⋯+=⋅+=++++，
则()n n n 11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭
， 可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛
⎫=-
+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 14n 41n 1n 1
⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 故答案为
4n n 1
+． 【点睛】
本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 15．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行 解析：4980
【解析】
【分析】
表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.
【详解】
解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字，
2018是该表的第1009个数字，
由19021100921-<<-，
所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字，
由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置，
即104984980m n =⨯=g
， 故答案为：4980
【点睛】
此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．
16．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考 解析：8
【解析】
【分析】
根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181
a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-
，带入不等式112020|1|13n n
T a -->，解不等式即可. 【详解】
因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，
由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15
181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .
1(1)1323(1)1313
n n n T -
=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.
使不等式成立的最大整数n 为8.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
17．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解 解析：【解析】
.
试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.
【考点】线性规划及其最优解.
18．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求
解析：x c -
【解析】
【分析】
构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质．
【详解】
函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数，
若a c b c +>+，
则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-，
即a b >．
故答案为：x c -
【点睛】
此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．
19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想
解析：9
【解析】
【分析】
记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，
012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】
由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，
021222(12)(21)212n n
n f a a a a -=++++++=-=+L L ， 即1221022n +-=，12
1024,9n n +==
故答案为：9
【点睛】 此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 20．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题
解析：4
【解析】
【分析】
先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
【详解】
由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞，
则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（）， 当且仅当1a c ==时取等号． ∴
11a c c a
+++的最小值为4． 【点睛】 】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.
三、解答题
21．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==
【解析】
【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得
112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩
，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()
2122n n n S n n -=+⨯=，由21
1114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭
，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()
2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>
得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩
， ()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈； （2）()
2122
n n n S n n -=+⨯=， 21
1114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，
若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得22
3412m k m m =+-，
又1k m >>，2
234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩
，
解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，
∴存在2,12m k ==满足题意．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
22．（1）2 （2
【解析】
【分析】
【详解】
（（1
）由cos 0ACB ∠=>可知，ACB ∠是锐角，
所以，sin ACB ∠===由正弦定理sin sin AC AB B ACB =∠
,sin 2sin 2
AC AB ACB B =∠== （2）cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=-
(cos sin ),210
C C =-+=- 由余弦定理:
CD === 考点：1正弦定理；2余弦定理．
23．（1）
6π；（2
）10-. 【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠
可得tan 3A =
，即可求出角A ； （2）由（1
）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理
化简分式得()1tan 2
A B -
+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】 （1
）∵sin sin cos 0A B b A -=，
由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，
即)
sin cos 0B A A -=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，
cos A A =
，tan A =
， ∵()0,A π∈，∴6A π
∠=.
（2）由（1
）知：tan 3A =
，tan 6B =，1sin 2A =， ∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C a b B c C Aa b B c C
=+-+- 222sin ab C
a b c =
+- 由余弦定理得：
()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22
b C C C A B a b B
c C C ===-++-
1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.
24．（1）12n n a =；（2）1211112n n
S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】
【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为12
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}
n b
的前n 项和n T ,再用列项相消法求出
12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可.
【详解】 解:(1)由题意,设11(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩, 解得12
q =或2q =-(舍), ∴1111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即12n n a =. (2)由(1)知12n n a =,∴11122111212
n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-. ∵8n b n =,∴244n T n n =+, ∴2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1
1102n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题.
25．（1）a n ＝2
n －1；（2）T n ＝(n －1)2n
＋1. 【解析】
【分析】
（1）由点（1,2）在()x f x a =图像上求出2a =，再利用n S 法求出n a ． （2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定．
【详解】
(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，
所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2
n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合， ∴a n ＝2n －1.
(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ， 所以a n b n ＝n ·2n －1.
T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①
2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .②
由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，
所以T n ＝(n －1)2n ＋1.
【点睛】
（1）主要考查了n S 法求通项公式，即11(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
26．（1
）
16；（2）32- 【解析】
【分析】
（1
）先求得sin 4
B =,再根据正弦定理求得sin A 即可； （2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可
【详解】
（1）1cos 4
B =-Q ,
sin B ∴=, 根据正弦定理可得,sin sin BC AC A B =,
即3sin A =,
sin 16
A ∴= （2）根据余弦定理可得,2222cos AC A
B B
C AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432
AB AB =++,解得2AB =, 13cos 2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r
【点睛】
本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力。