2020版高考数学(人教版)理科一轮复习课时作业49直线的交点与距离公式含解析

第二节两条直线的交点与距离公式2019考纲考题考情JICHU WE1SHUJ I1. 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线11、12，其斜率分别为k 「k 2,则有11 /门2? k 1 土。

特别地，当直线1「12的斜率 都不存在时，11与12平行与Ax + By + C = 0平行的直线，可设为Ax + By + m = 0(m ^ C) (2)两条直线垂直：如果两条直线 11、12斜率存在，设为 匕、k 2，贝V 11丄12? k 1_k 2=- 1。

特别地，当一条直线斜率为零，另一 条直线斜率不存在时，两直线垂直与Ax + By + C = 0垂直的直线可设为 Bx -Ay + n = 0。

2. 两直线相交(1)交点：直线 11: A 1X + B 〔y + C 1 = 0 和 12: A2X + B 2y + C 2= 0考纲姜求琴題举例1考向标遷1.惟用卅用理剽角h 肚衆冋集朗殳l'l线附处点节标T 折点刑也此两BT 馬处代.：:求两T3. tn m 据阿壬宜規的斜屮讥W 这两ft 肯线平打成乖it2C18 *」匕京禹岑•点封直掘距陽的載艾值)4用鶴n 点別总线的即离|机15 •广康豪奇* T,(平就EQ2514 *懈建楣占* 丁注两条直捷塞直》 命SS 阳AG1*两果注舞的Afijig2-R^直慢的交点与即宮何團 乱对称问老-基础微楡理-微知识•小题练教村［■叫|也础⑵相交？方程组有唯二解，交点坐标就是方程组的解。

(3) 平行？方程组无解。

(4) 重合？方程组有无数个解。

3. 三种距离公式(1)点 A (X 1, y 1)、B (X 2, yj 间的距离为 |AB|= "\1［乂2—xj 2 + y ^J 2。

的公共点的坐标与方程组A 〔x +B 〔y +C 1 = 0,A 2X +B 2y +C 2 = 0的解 对应⑵点P(X o, y o)到直线l: Ax+ By+ C= 0的距离为|Ax o + By o+ C|=-A2+ B2 Od⑶两平行直线11: Ax + By + C i = 0 与 S: Ax + By + C2 =0(C i M C2)间的距离为d=量2囂4. 对称问题(1) 点P(x o, y o)关于点A(a, b)的对称点为P(2a-x o,2b-y0)⑵设点P(X0, y。

课时作业直线的交点与距离公式一、选择题．点(，－)到直线－＋＝的距离是( )解析：由点到直线的距离公式，得＝＝.答案：．当<<时，直线：－＝－与直线：－＝的交点在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：由且<<，得两直线的交点坐标为.因为<<，所以<，>，故两直线的交点在第二象限．答案：．直线：＋－＝关于点(，)对称的直线的方程为( )．＋－＝．＋－＝．－－＝．－－＝解析：在所求直线上任取一点(，)，则点关于点对称的点′(′，′)必在直线上．由得′(－，－)，所以(－)＋(－)－＝，即＋－＝.答案：．直线－＋＝关于直线－＝对称的直线方程是( )．－＋＝．－＋＝．＋－＝．－－＝解析：设所求直线上任一点的坐标为(，)，它关于－＝对称点的坐标为(，)，则，得对称点的坐标为(－，＋)，且点(－，＋)在直线－＋＝上，所以－－(＋)＋＝，化简得－＋＝，故选.答案：．已知，两点分别在两条互相垂直的直线－＝与＋＝上，且线段的中点为，则线段的长为( )．．．．解析：由两直线互相垂直，得－·＝－，解得＝，所以中点的坐标为(，)，则＝，在直角三角形中，斜边＝＝×＝，所以线段的长为.答案：．已知平面内两点(，)，(，)到直线的距离分别是，－，则满足条件的直线的条数为( )．．．．解析：由题知满足题意的直线在线段两侧各有条，又因为＝，所以还有条为过线段上的一点且与垂直的直线，故共条．答案：．已知点(，)，(，)．若点在函数＝的图象上，则使得△的面积为的点的个数为( )．．．．解析：设点(，)，直线的方程是＋－＝，＝，且△＝.则△中边上的高满足方程×＝，即＝.由点到直线的距离公式得＝.∴＋－＝或者＋－＝－，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点有个．答案：。

课时作业54 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1， 其中a 2＝3m ，b 2＝3， 故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1m x ，化成一般式即为x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点， ∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1， 故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②.联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)， 不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上， 由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16， 即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B. 6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2， 圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点， 得|ab |a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)， 即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 (0,2) .解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8， 则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±22x .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为4|OF |＝|AF |＋|BF |， 所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2， 即y 1＋y 2＝p .① 由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2.② 由①②可得b a ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于 4 .解析：由题意知a ＝1，如图，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2， |BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4， |BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576 .解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ， 作Q 关于原点对称的点S ，如图， 连接PS ，RS ，SF 1.因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ， 则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义， 有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ， 所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|. 所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2， 即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c2b 2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1B ．62 C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1B ．12 C.13D ．23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 53 .解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2| ＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a＝178－98e 2， 即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53，综上，e 的最大值为53.16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. 所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1k x ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. 因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0. 所以m ＜－2 2.所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。

课时作业49直线的交点坐标与距离公式时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由A1B2－A2B1＝(a2－a)－2＝0得a＝2或a＝－1当a＝－1时，两直线平行；当a＝2时，两直线也平行∴a＝2是两直线平行的充分不必要条件．答案：A2．已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件为(a－2)＋a(a－2)＝0解得a＝－1或a＝2，故“a＝－1”是l1⊥l2的充分不必要条件，故选A.答案：A3．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)解析：设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋(－1)2＝2，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，∴x ＝1或x ＝2，∴P (1,2)或(2，－1)．答案：C4．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是( )A ．2x －y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x －2y －1＝0解析：设所求直线上任一点的坐标为(x 1，y 1)，它关于y －x ＝1对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 1－y 0x 1－x 0＝－1y 1＋y 02－x 1＋x 02＝1，得对称点的坐标为(y 1－1，x 1＋1)，且点(y 1－1，x 1＋1)在直线x －2y ＋1＝0上，所以y 1－1－2(x 1＋1)＋1＝0，化简得2x 1－y 1＋2＝0，故选A.答案：A5．(2013·辽宁卷)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a |＝0解析：由题意可知a ≠0；若△OAB 为直角三角形，则有∠A ＝90°或∠B ＝90°.若∠A ＝90°，则由图可知y A ＝y B ，即b ＝a 3；若∠B ＝90°，则有k OB ·k AB ＝－1，即a 3a ·a 3－b a ＝－1，整理得b －a 3－1a ＝0.综述选C.答案：C6．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，且S △ABC ＝2.则△ABC 中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2. 由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2. ∴t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．过两直线7x ＋5y －24＝0与x －y ＝0的交点，且与点P (5,1)的距离为10的直线的方程为________．解析：设所求的直线方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0. ∴|(7＋λ)×5＋(5－λ)－24|(7＋λ)2＋(5－λ)2＝10，解得λ＝11. 故所求直线方程为3x －y －4＝0.答案：3x －y －4＝08．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.答案： 59．已知1a ＋1b ＝1(a >0，b >0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b )(1a ＋1b )＝15(3＋2b a ＋a b )≥15(3＋22)＝35＋2105. 当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号． 答案：35＋2105三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等．∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．(20分)已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.——创新应用——12．(20分)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.。

直线的交点与距离公式知识点一 两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．2．两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2＝－1.1．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( D ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3.2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：法1：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5.知识点二 两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．3．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为23.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，代入y ＝ax －2得a ＝23. 4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是(－b －1，－a －1)． 解析：设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－bx 0－a＝1，a ＋x 02＋b ＋y2＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)． 知识点三 两种距离1．点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 2．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析：先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.6．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为12或－4.解析：由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点在直线ax ＋y ＋1＝0上，所以a ＝12或－4.1．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．考向一 两条直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.【解析】 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13， 解得a ＝－1或2.(2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2. 【答案】 (1)D (2)－2(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.(1)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( D )A.12B.32C.14D.34(2)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为25.解析：(1)由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.(2)由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba ≥13＋26ab ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 考向二 两条直线的交点【例2】 (1)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．(2)已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【解析】 (1)解法1：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3， 所以直线l 的斜率k ＝－43， 所以直线l 的方程为y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.解法2：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.因为l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.(2)直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．【答案】 (1)4x ＋3y －6＝0 (2)(2，－2)(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)过定点问题把直线方程整理成m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0的形式，由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0可求定点坐标．(1)经过两直线2x ＋y ＋4＝0和x －2y －3＝0的交点P (－1，－2)，且斜率是直线x －2y ＋5＝0的斜率的2倍的直线l 的方程为x －y －1＝0.(2)不论k 为何实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标是(2,3)．解析：(1)由题意得，两直线的交点P (－1，－2)，直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1，即x －y －1＝0.(2)直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，即k (2x －y －1)＋(－x －3y ＋11)＝0，根据k 的任意性可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴不论k 取什么实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0都经过定点(2,3)．考向三 距离问题【例3】 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______________________．【解析】 (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0， 由已知及点到直线的距离公式可得 |－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 【答案】 (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等.(1)若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：(1)方法1：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．方法2：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)依题意知，线段AB 的中点M 在到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线(设为l )上，则M 到原点的距离的最小值为原点到直线l 的距离．设点M 所在直线l 的方程为x ＋y ＋m ＝0.根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 考向四 对称问题【例4】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′(－3313，413)．(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′(613，3013)．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法1：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)．再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法2：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32， 解得C ＝－9.∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法3：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．(1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(C)A．3 3 B．6C．210 D．2 5解析：(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P 的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.。

课时作业49 直线的交点与距离公式一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( C ) A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.2．已知两直线l1：2x－y＋3＝0，l2：mx＋2y＋1＝0平行，则m的值是( A )A．－4 B．－1C．1 D．4解析：由两直线l1：2x－y＋3＝0，l2：mx＋2y＋1＝0平行可得，＝2且3≠－，解得m＝－4，故选A．3．如果直线l与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称，那么直线l 的方程为( B )A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：因为直线l与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称，所以直线l的斜率与直线3x－4y＋5＝0的斜率相反，所以可设直线l 的方程为3x＋4y＋b＝0，又因为两直线在x轴上的截距相等，所以b＝5，所以直线l的方程为3x＋4y＋5＝0，故选B．4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D )A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0解析：法1：由得则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.法2：设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.5．(2020·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝( B )A．7 B．C．14 D．17解析：直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为所以＝，求得m＝. 6．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( A )A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0解析：由直线与向量a＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．7．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是( B )A．B．2C．3 D．4解析：点(0,0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为＝2.8．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线l：x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是( C )A．(1，－1) B．(－1,1)C．D．(－2,2)解析：如图所示，点A(3，－1)关于直线l：x＋y＝0的对称点为C(1，－3)，直线BC的方程为＝，即x－4y－13＝0，与x＋y ＝0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为.|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|，由图可知，当点P的坐标为时，|PB|＋|PC|取得最小值，即|PA|＋|PB|取得最小值，故选C．二、填空题9．若直线l1：y＝kx＋2－k与直线l2关于直线y＝x－1对称，则直线l2恒过定点(3,0)．解析：∵直线l1：y＝kx＋2－k与直线l2关于直线y＝x－1对称，∴直线l2的方程为x－1＝k(y＋1)＋2－k，即x－ky－3＝0，显然直线l2经过定点(3,0)．10．已知直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当直线l1平行于l2时，m＝3.解析：由直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，可得l2的斜率为＝－.因为直线l1平行于l2，所以直线l1的斜率也是－，即＝－，解得m＝3.11．已知A(2,0)，l：x＋y－3＝0，若一条光线从点A出发，经过l反射到y轴结束，则这条光线经过的最短路程是3.解析：设点A关于直线l的对称点为B(m，n)，则解得即B(3,1)．因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程，所以最短路程是3.12．(2020·泰州中学质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(2k－1)x＋ky＋1＝0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为.解析：(2k－1)x＋ky＋1＝0可化为(1－x)＋k(2x＋y)＝0，由解得x＝1，y＝－2，即直线l过定点P(1，－2)．由于直线(2k－1)x＋ky＋1＝0经过定点P(1，－2)，又|OP|＝＝，所以原点到直线l的距离的最大值为.三、解答题13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－A．若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1. ①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. ②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－A．③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝B．④联立③④，解得或∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴解得故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，∴|PQ|<4，故所证成立．15．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是②③.(填上所有正确答案的序号)①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.解析：根据题意，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．对于①，d＝＝3>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”；对于②，d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于③，d＝＝4，所以直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于④，d＝＝>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”．16．(2020·成都市诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为d(A，B)＝x1－x2||＋|y1－y2|.已知点O(0,0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，则的取值范围是[，1]．解析：根据定义有：d(O，C)＝|0－x|＋|0－y|＝1，即|x|＋|y|＝1，该方程等价于或或或画出图形如图所示，＝表示点(x，y)与点(0,0)的距离，所以∈[，1]．课时作业49 直线的交点与距离公式一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( C )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.2．已知两直线l1：2x－y＋3＝0，l2：mx＋2y＋1＝0平行，则m的值是( A )A．－4 B．－1C．1 D．4解析：由两直线l1：2x－y＋3＝0，l2：mx＋2y＋1＝0平行可得，＝2且3≠－，解得m＝－4，故选A．3．如果直线l与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称，那么直线l的方程为( B )A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：因为直线l与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称，所以直线l的斜率与直线3x－4y＋5＝0的斜率相反，所以可设直线l的方程为3x＋4y＋b＝0，又因为两直线在x轴上的截距相等，所以b＝5，所以直线l的方程为3x＋4y＋5＝0，故选B．4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D ) A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0解析：法1：由得则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.法2：设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.5．(2020·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m ＝( B )A．7 B．C．14 D．17解析：直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为所以＝，求得m＝.6．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( A )A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0解析：由直线与向量a＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．7．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是( B )A．B．2C．3 D．4解析：点(0,0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为＝2.8．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线l：x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是( C )A．(1，－1) B．(－1,1)C．D．(－2,2)解析：如图所示，点A(3，－1)关于直线l：x＋y＝0的对称点为C(1，－3)，直线BC的方程为＝，即x－4y－13＝0，与x＋y＝0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为.|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|，由图可知，当点P的坐标为时，|PB|＋|PC|取得最小值，即|PA|＋|PB|取得最小值，故选C．二、填空题9．若直线l1：y＝kx＋2－k与直线l2关于直线y＝x－1对称，则直线l2恒过定点(3,0)．解析：∵直线l1：y＝kx＋2－k与直线l2关于直线y＝x－1对称，∴直线l2的方程为x－1＝k(y ＋1)＋2－k，即x－ky－3＝0，显然直线l2经过定点(3,0)．10．已知直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当直线l1平行于l2时，m＝3.解析：由直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，可得l2的斜率为＝－.因为直线l1平行于l2，所以直线l1的斜率也是－，即＝－，解得m＝3.11．已知A(2,0)，l：x＋y－3＝0，若一条光线从点A出发，经过l反射到y轴结束，则这条光线经过的最短路程是3.解析：设点A关于直线l的对称点为B(m，n)，则解得即B(3,1)．因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程，所以最短路程是3.12．(2020·泰州中学质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(2k－1)x＋ky＋1＝0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为.解析：(2k－1)x＋ky＋1＝0可化为(1－x)＋k(2x＋y)＝0，由解得x＝1，y＝－2，即直线l过定点P(1，－2)．由于直线(2k－1)x＋ky＋1＝0经过定点P(1，－2)，又|OP|＝＝，所以原点到直线l的距离的最大值为.三、解答题13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－A．若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1. ①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. ②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－A．③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝B．④联立③④，解得或∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴解得故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，∴|PQ|<4，故所证成立．15．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是②③.(填上所有正确答案的序号)①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.解析：根据题意，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．对于①，d＝＝3>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”；对于②，d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于③，d＝＝4，所以直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于④，d＝＝>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”．16．(2020·成都市诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为d(A，B)＝x1－x2||＋|y1－y2|.已知点O(0,0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，则的取值范围是[，1]．解析：根据定义有：d(O，C)＝|0－x|＋|0－y|＝1，即|x|＋|y|＝1，该方程等价于或或或画出图形如图所示，＝表示点(x，y)与点(0,0)的距离，所以∈[，1]．。

课时作业49 直线的交点与距离公式一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( C )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( B )A.85B.32 C ．4 D ．8解析：因为直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，所以直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，且0<k <12，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0<k <12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故两直线的交点在第二象限． 4．已知b >0，直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( B )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3解析：因为直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂直，所以(b 2＋1)－b 2a ＝0，即a ＝b 2＋1b 2，所以ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋1b 2b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b ≥2(当且仅当b ＝1时取等号)，即ab 的最小值等于2.5．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( C )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2， 即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．6．(2019·西安一中检测)若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2) 解析：由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B.7．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( B )A ．2 3B.10C.14 D ．215解析：由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0， 可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.二、填空题8．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1，1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为(0,3)．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．9．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是12x ＋8y －15＝0.解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x －y －6＝0.解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′.所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，∴NM ′的斜率为6－02－1＝6， ∴反射光线所在直线的方程是y ＝6x －6.三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b (1－a )＝－1. ①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. ②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a b ＝1－a . ③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b . ④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( C )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2， ∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)， 即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 则C (2,4)．故选C.14．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是5.解析：易知A (0,0)，B (1,3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.当且仅当|P A |＝|PB |时，等号成立．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，且|Ax 1＋By 1＋C |>|Ax 2＋By 2＋C |，则( C )A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交解析：由题可知，(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0表示两点在直线的同侧． 因为|Ax 1＋By 1＋C |>|Ax 2＋By 2＋C |， 所以|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2>|Ax 2＋By 2＋C |A 2＋B2， 所以P 1到直线的距离大于P 2到直线的距离，所以直线l 与线段P 1P 2的延长线相交，故选C.16．已知x ，y 为实数，则代数式1＋(y －2)2＋9＋(3－x )2＋x 2＋y 2的最小值是41.解析：如图所示，由代数式的结构可构造点P (0，y )，A (1,2)，Q (x,0)，B (3,3)，则1＋(y －2)2＋9＋(3－x )2＋x 2＋y 2＝|P A |＋|BQ |＋|PQ |.分别作点A 关于y 轴的对称点A ′(－1,2)，点B 关于x 轴的对称点B ′(3，－3)，则1＋(y －2)2＋9＋(3－x )2＋x 2＋y 2≥|A ′B ′|＝41，当且仅当P ，Q 为A ′B ′与坐标轴的交点时，等号成立，故最小值为41.。

课时作业第49讲两直线的位置关系时间/30分钟分值/80分■基础热身1.[2018 •烟台一模]两条平行线12x-5y+10=0与12x-5y-16 = 0的距离是()A. 4B.6C.2D.52•已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l：ax+y+l=0的距离相等,则实数a的值等于( )A. -B.--C.-一或-一D-或-3. 已知两直线l1：2x-y+3=0,b：mx+2y+1=0平行则m的值是()A.-4B.-1C.1D.44. ________________________________________________________________________ 已知直线l1 :y=kx+2k与b:x+y=5的交点在第一象限，则实数k的取值范围为 ___________________ .5. _____________ 一条光线从A(3,2)发出到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(-1,6),则反射光线所在直线的斜率为.■能力提6. [ 2018 •上饶二模]a=-3”是"直线:ax-(a+1)y+1=0 与直线b:2x-ay-1=0 垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. [ 2018 •襄阳调研]已知倾斜角为0的直线l与直线x+2y-3=0垂直贝U cos 2 0的值为( )A.-B.--C.—D.-一8. 如果直线I与直线3x-4y+5=0关于x轴对称，那么直线I的方程为()A. 3x+4y-5=0B. 3x+4y+5=0C. -3x+ 4y-5=0D. -3x+ 4y+5=09. [2018 •包头联考]已知A(3,-1),B(5,-2),点P在直线l:x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则点P的坐标是()A.(1,-1)B.(-1,1)C. 一-一D.(-2,2)10. [2018 •凯里一模]将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n的值为()A.5B.6C.—D.711. __________________________________________________________________ 若直线l i:y=kx+2-k与直线12关于直线y=x-1对称,则直线12恒过定点______________________ .12. 已知直线l i经过点A(m,1),B(-3,4),直线12经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l i平行于12 时,m= .13. 已知A(2,0),l:x+y-3=0，若一条光线从点A出发,经过I反射到y轴结束，则这条光线经过的最短路程是.14. _______________________________________[2018 •泰州中学质检]在平面直角坐标系xOy中，直线l:(2k-1)x+ky+1=0,则当实数k变化时，原点0到直线l的距离的最大值为.难点突破15. _____________________________ (5分)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为"切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是.(填上所有正确答案的序号)① y=x+1 :② y=2;③ y=-x ④ y=2 x+1.K49-116. (5分)[2018 •北京西城区模拟]如图K49-1，矩形ABCD的边AB与x轴重合,C(2,2),D(-1,2). 从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上的点E处，再经CD反射到AD上的点Q处.①若OP的斜率为-,则点Q的纵坐标为 __________ ;②若点Q恰为线段AD的中点，则OP的斜率为_________ .。

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核心素养提升练四十八直线的交点坐标与距离公式（25分钟50分）一、选择题（每小题5分,共35分)1。

直线2x+(m+1）y+4=0与直线mx+3y-2=0平行，则m等于（)A。

2 B。

-3C。

2或-3 D。

-2或-3【解析】选C.直线2x+（m+1)y+4=0与直线mx+3y—2=0平行，则有=≠，所以m=2或-3。

2。

直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( ）A。

-24 B.24 C.6 D。

±6【解析】选A。

直线2x+3y—k=0和直线x—ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为（a，0),则即3.点P到点A(1，0）和到直线x=-1的距离相等,且点P到直线y=x的距离等于,这样的点P 共有( ）A.1个B.2个C。

3个 D.4个【解析】选 C.设点P(x,y）,由题意知=|x+1｜，且=,所以即①或②解①得或解②得因此,这样的点P共有3个。

4.若直线l1：x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y—3=0的距离为，则m= （)A。

课后限时集训(四十九)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A ．12B ．22 C ．32D ．55C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C ．]3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .] 4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16A [由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，故选A ．]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．553[由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①，x 22a 2＋y 22b2＝1②， ①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.] 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB→的取值范围是________．[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.B 组 能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程．图①[解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上． 所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，得k 2＞34.图②x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，① x 1x 2＝121＋4k2.② 又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝ ⎛⎭⎪⎫满足k 2＞34，所以直线l 的斜率为k ＝±1，所以直线l的方程为y ＝±x ＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1·x 2＝3k 2＋14， 由Δ＝(4k )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－32.①又∠AOB 为锐角，∴cos∠AOB ＞0， ∴OA →·OB →＞0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0，即k 2＜4，∴－2＜k ＜2.② 由①②得，－2＜k ＜－32或32＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.。

2.3 直线的交点及距离公式【题组一 直线的交点】1.（2020·无锡市第一中学高一期中）若三条直线2380x y ++=,10x y --=和102x ky k +++=相交于一点,则k =（ ） A ．2- B ．12-C ．2D ．12【正确答案】B【详细解析】联立238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,即直线2380x y ++=与直线10x y --=交于点()1,2--A ,将点A 的坐标代入直线102x ky k +++=的方程中,得102k --=,解得12k =-.故选:B.2．（2020·江苏海陵.泰州中学高一期中）过两直线1l :310x y -+=,2l :260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ）A ．310x y -+=B ．370x y ++=C ．3110x y --=D ．3130x y ++=【正确答案】D【详细解析】两直线1l :310x y -+=,2l :260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩ 解得41x y =-⎧⎨=-⎩,即()4,1--; 设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=则3(4)(1)0m ⨯-+-+=解得13m = 所求的直线方程为3130x y ++=.故选:D3．（2020·河北运河.沧州市一中高一月考）过直线30x y +-=和20x y -=的交点,且与直线250x y +-=垂直的直线方程是（ ）A ．4230x y +-=B ．4230x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y -+=【正确答案】D【详细解析】由题意得:3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,直线250x y +-=的斜率是2-,故其垂线的斜率是:12,∴所求方程是:()1212y x -=-,即230x y -+=,故选:D 4．（2019·浙江温州.高二期中）若P ,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ |的最小值为( ) A ．95B ．185C ．2910D ．295【正确答案】C 【详细解析】因为3412=685≠-,所以两直线平行,将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0, 由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离,2910,所以|PQ |的最小值为2910.故选:C.5．（2018·四川仁寿一中高二期中（理））在直线2350x y -+=上求点P ,使点P 到()2,3A则P 点坐标是（ ） A ．()5,5 B ．()1,1-C ．()5,5或()1,1-D ．()5,5或()1,1-【正确答案】C【详细解析】设(),P x y ,所以PA ==即22460x y x y +--=,又因为点P 在直线2350x y -+=上,所以2350x y -+=,两式联立解得55x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=⎩,所以P 点坐标是()5,5或()1,1-.故选:C 【题组二 三种距离问题】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）点(1,2)到直线3410x y +-=的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【详细解析】1025d === ,正确答案为B 2．（2019·浙江台州.高二期中）两平行直线340x y +-=与2650x y +-=的距离是______.【详细解析】方程2650x y +-=化为5302x y +-=,所以所求距离为d ==．故正确答案为．3．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行,则它们之间的距离是（ ） ABCD【正确答案】D【详细解析】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行,则4m =, 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=,则两条平行直线之间的距离d ,d＝26.故选:D ． 4．（2020·上海高二课时练习）过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行,则||AB 的值为_______．【详细解析】直线50x y -+=的斜率为1,过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行 所以145AB a bk -==-,即1a b -=-所以||AB ===5．（2019·天水市第一中学高二月考（理））设()()2,3,1,2A B -,若直线10ax y +-=与线段AB 相交,则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】C【详细解析】由题意,直线10ax y +-=,即1y ax =-+,所以直线经过定点()0,1P ,又由斜率公式,可得31120PA k -==---,21110PB k -==-．∵直线10ax y +-=与线段AB 相交,∴1a -≥或1a -≤-,则a 的取值范围是(][),11,-∞-⋃+∞．故选:C ． 【题组三 对称问题】1．（2020·沙坪坝。