2020年湖南省永州市中考数学试题及答案

2020年湖南省永州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−2020的相反数为()A. −12020B. 2020 C. −2020 D. 120202.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A. 注意安全B. 水深危险C. 必须戴安全帽D. 注意通风3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是()A. 6.353×105人B. 63.53×105人C. 6.353×106人D. 0.6353×107人4.下列计算正确的是()A. a2b+2ab2=3a3b3B. a6÷a3=a2C. a6⋅a3=a9D. (a3)2=a55.已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是()A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是()A. SASB. AASC. SSSD. ASA7.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在△ABC中，EF//BC，AEEB =23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是()A. 913B. 25C. 35D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A. 4B. 2C. √3D. 2√310. 已知点P(x 0,y 0)和直线y =kx +b ，求点P 到直线y =kx +b 的距离d 可用公式d =|kx 0−y 0+b|√1+k 2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为y =−2x +6，P 是直线l 上的动点，Q 是⊙C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A. 3√55B. 3√55−1 C. 6√55−1 D. 2二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 函数y =1x−3中自变量x 的取值范围是______． 12. 方程组{x +y =42x −y =2的解是______ ．13. 若关于x 的一元二次方程x 2−4x −m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩(百分制)，整理样本数据，得到下表： 成绩 90≤x ≤100 80≤x <90 70≤x <8060≤x <70x <60人数25155 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有______人．15. 已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是______平方分米．16. 已知直线a//b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1=25°，则∠2=______．17. 如图，正比例函数y =−x 与反比例函数y =−6x 的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△ABD 的面积为______．18. ∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB =60°，在∠AOB 内有一点P(4,3)，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则△PMN 周长的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：20200+√83sin30°−(12)−1．20. 先化简，再求值：(1a+1−a+2a 2−1⋅a 2−2a+1a 2+4a+4)⋅(a +2)，其中a =2．21. 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90<S ≤100，B ：请结合图中所给信息，解答下列问题：(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中m=______，n=______，B等级所占扇形的圆心角度数为______．(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生(用A1，A2表示)，两名女生(用B1，B2表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65)(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．(1)求证：CE是⊙O的切线．(2)已知BD=3√5，CD=5，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB=4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关②已知Q(1,−32于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．(3)设平移的距离为xcm(0<x≤6+6√2)，两张纸条重叠部分的面积为scm2.求s 与x的函数关系式，并求s的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−2020的相反数为：2020．故选：B．直接利用相反数的定义进而分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3.【答案】C【解析】解：635.3万=6353000=6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．本题考查了科学记数法−表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4.【答案】C【解析】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3=a3≠a2，故选项B错误；a6⋅a3=a9，故选项C正确；(a3)2=a6≠a5.故选项D错误．故选：C．本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，=5，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1+2+6+8+85×[(1−5)2+(2−5)2+(6−5)2+2×(8−5)2]=8.8，方差为15故选：A．将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6.【答案】A【解析】解：∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)，故选：A．根据全等三角形的判定方法即可解决问题．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA=PB，所以①正确；∵OA=OB，PA=PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，则可对④进行判断．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE=2125S△ABC是解题的关键.由EF//BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE=21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2=(AEAE+EB)2=425，∴S△AEF=425S△ABC．∵S四边形BCFE =S△ABC−S△AEF=21，即2125S△ABC=21，∴S△ABC=25．故选：B．9.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC=2，∴AD=1，AB=AD=2，∴BD=√3，∵左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为2√3．故选：D．过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.【答案】B【解析】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C(1,1)到直线l的距离d=√1+(−2)2=3√55，.∵⊙Q的半径为1，∴PQ=3√55−1，故选：B．求出点C(1,1)到直线y=−2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．11.【答案】x≠3【解析】解：根据题意得，x −3≠0，解得x ≠3．故答案为：x ≠3．根据分母不等于0列式进行计算即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】{x =2y =2【解析】解：{x +y =4①2x −y =2②， ①+②得：3x =6，即x =2，把x =2代入①得：y =2，则方程组的解为{x =2y =2， 故答案为：{x =2y =2方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13.【答案】m >−4【解析】解：由已知得：△=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−m)=16+4m >0，解得：m >−4．故答案为：m >−4．由方程有两个不相等的实数根可知，b 2−4ac >0，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．14.【答案】480【解析】解：600×25+1550=480(人)，即该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有480人，故答案为：480．根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生人数．本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15.【答案】π4【解析】解：圆锥的侧面积=12×π2×1=π4平方分米．故答案为π4．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16.【答案】35°【解析】解：过点B作EF//a．∵a//b，∴EF//a//b．∴∠1=∠ABF，∠2=∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC=60°．∵∠ABF+∠CBF=60°，∴∠2=60°−25=35°．故答案为：35°．过点B作EF//a.利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17.【答案】6【解析】解：正比例函数y=−x与反比例函数y=−6x的图象交点坐标A(−√6,√6)，C(√6,−√6)，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB=AB=OD=CD=√6，∴S△ABD=12BD⋅AB=12×2√6×√6=6，故答案为：6．根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB=AB=OD= CD=√6，再根据三角形的面积公式求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18.【答案】5√3【解析】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P(4,3)，∴OP′=OP=OP″=√42+32=5，且∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，∴∠P′OP″=120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q=P″Q，∠OP′Q=∠OP″Q=30°，∴OQ=52，P′Q=P″Q=5√32，∴P′P″=2P′Q=2×5√32=5√3，则△PMN周长的最小值是5√3．故答案为：5√3．分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′=OP″=OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．此题考查了轴对称−最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．19.【答案】解：原式=1+2×12−2=1+1−2=0．【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]⋅(a+2)=[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]⋅(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a=2时，原式=32+1=1．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】15 5 252【解析】解：(1)∵被调查的总人数为4÷10%=40(人)，∴C等级人数为40−(4+28+2)=6(人)，补全图形如下：(2)m%=640×100%=15%，即m=15，n%=240×100%=5%，即n=5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，故答案为：15，5，252°；(3)画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．(1)先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；(2)根据(1)种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；(3)分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22.【答案】解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB=∠ADC=90°，由题意得：AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，∴BD=12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；(2)由(1)得：BD=30，AD=30√3，∵BC=3×30=90，∴DC=BC−BD=90−30=60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50(海里)；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【解析】(1)作AD⊥BC于D，由题意得AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，则BD= 12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，即可得出结论；(2)由(1)得BD=30，AD=30√3，求出DC=BC−BD=90−30=60，由勾股定理求出AC即可．本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23.【答案】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x=2，经检验，x=2是原方程的解，x+10=2+10=12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【解析】(1)可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；(2)可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24.【答案】证明：(1)如图，连接OC，OE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵E为BD的中点，∴BE=CE=DE，∴∠ECB=∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD=90°，∴∠OBC+EBC=90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠OCE=90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；(2)∵∠D=∠D，∠BCD=∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2=AD⋅CD，∴(3√5)2=5AD，∴AD=9，∵E为BD的中点，AO=BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得BE=CE=DE，可得∠ECB=∠EBC，由切线的性质可得∠ABD=90°，可证OC⊥CE，可得结论；(2)通过证明△BCD∽△ABD，可得BDAD =CDBD，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB=4，∴OA =OB =OC =2， ∴A(−2,0)，B(2,0)，C(0,−2)， ∴{4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；(2)①设直线l 的解析式为y =kx ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=−4， ∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴当k =0时2√k 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点P(m,12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP =OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2， 解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3=1，m 4=−1， ∵m 3=1，m 4=−1不合题意，舍去， 当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴1+√32k =−1，∴k =1−√3，∴直线l 的表达式为：y =(1−√3)x ， 当m 2=−√3时，点P(−√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1−√32,−1)， ∴1−√32k =−1，∴k =1+√3，∴直线l的解析式为y=(1+√3)x．综上，直线l的解析式为y=(1−√3)x或y=(1+√3)x．【解析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l的解析式为y=kx，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组求得|x1−x2|，再由三角形的面积公式求得结果；m2−2)，使得点P与点Q关于直线l对称，由OP=OQ列②假设抛物线上存在点P(m,12出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26.【答案】解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，(2)分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC=∠DFC=90°，∵两纸条等宽，∴BE=DF=6，∵∠BCE=∠DCF=45°，∴BC=CD=6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB//CD，BC//AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC=DC，∴四边形ABCD是菱形；(3)①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，x2，∴s=12∵0<x≤6，∴当x=6时，s取最大值为s=18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=12(x+x−6)×6=6x−18，当x=6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x<6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形=s菱形−s三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x−(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S五边形<36√2；④当x=6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求，∴S菱形=36√2cm2，综上，s与x函数关系为：s=12x2(0<x≤6)，或s=6x−18(6<x≤6√2)，或s=−12[x−(6+6√2)]2+36√2(6√2<x<6+6√2)，或s=36√2(x=6+6√2).故s的最大值为36√2cm2．【解析】(1)通过操作画出图形便可得出结果；(2)由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD 于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB=CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；(3)分四种情况：0<x≤6；6<x≤6√2；6√2<x<6+6√2；x=6+6√2.分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第(3)题的解题关键是分情况讨论．。

2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9 6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．。

2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C3D．2310．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90100x 8090x < 7080x < 6070x <60x <人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人． 15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)scm．求s与x的函xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2数关系式，并求s的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．12020解：2020-的相反数为：2020． 故选：B ．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风解：根据轴对称图形的定义可知： 选项A 、B 、C 中的图形是轴对称图形， 选项D 不是轴对称图形． 故选：D ．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人． 故选：C ．4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减； 6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误； 639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8， 所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=，方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=，故选：A ．6．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法： ①PA PB =； ②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆； ④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PA PB∴=，所以①正确；OA OB=，PA PB=，OP∴垂直平分AB，所以②正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OA PA∴⊥，OB PB⊥，90OAP OBP∴∠=∠=︒，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30APO∠=︒时，2OP OA=，此时PM OM=，M∴是不一定为AOP∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A ．913B．25C．35D．63解：//EF BC，AEF ABC∴∆∆∽，∴224()()25AEFABCS AE AES AB AE EB∆∆===+，425AEF ABCS S∆∆∴=．21ABC AEFBCFES S S∆∆=-=四边形，即212125ABCS∆=，25ABCS∆∴=．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C．3D．23解：如图，过点B作BD AC⊥于点D，此正三棱柱底面ABC∆的边AB在右侧面的投影为BD，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==， 3BD ∴=，左视图矩形的宽为2， ∴左视图的面积为23．故选：D ．10．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2解：过点C 作CP ⊥直线l ，交圆C 于Q 点，此时PQ 的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C 到直线l 的距离2351(2)d ==+-． Q 的半径为1， 351PQ ∴=-， 故选：B ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 3x ≠ ． 解：根据题意得，30x -≠， 解得3x ≠． 故答案为：3x ≠．12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩ ．解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人． 解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4平方分米．解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠． ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C ，6)-， AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，6OB AB OD CD ∴====，11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯⨯=， 故答案为：6．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+=，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''，60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''=532253P P P Q ∴'''='==， 则PMN ∆周长的最小值是3． 故答案为：53三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．解：原式11222=+⨯-112=+- 0=．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时， 原式3121==+． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒； （3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 作AD BC ⊥于D ，如图： 则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒， 1302BD AB ∴==，330351.950AD BD ==≈>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD = 33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC =+=+=≈（海里）； 答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解， 1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元； （2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有 212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，E 为BD 的中点， BE CE DE ∴==， ECB EBC ∴∠=∠，BD 与O 相切于点B ， 90ABD ∴∠=︒， 90OBC EBC ∴∠+=︒， 90OCB ECB ∴∠+∠=︒， 90OCE ∴∠=︒OC CE ∴⊥，又OC 为半径，CE ∴是O 的切线；（2）D D ∠=∠，BCD ABD ∠=∠，BCD ABD ∴∆∆∽， ∴BD CD AD BD =， 2BD AD CD ∴=，2(35)5AD ∴=，9AD ∴=，E 为BD 的中点，AO BO =，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m2m =，31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，∴1=-，∴1k =-，∴直线l 的表达式为：(13)y x =-， 当23m =-时，点(3P -，1)2-， 线段PQ 的中点为13(2-，1)-， ∴1312k -=-， ∴13k =+，∴直线l 的解析式为(13)y x =+．综上，直线l 的解析式为(13)y x =-或(13)y x =+．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x <+，两张纸条重叠部分的面积为2scm ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE CD⊥于点F，如图，⊥于点E，DF CB∴∠=∠=︒，BEC DFC90两纸条等宽，BE DF∴==，6BCE DCF∠=∠=︒，45∴==，62BC CD两纸条都是矩形，//∴，//BC AD，AB CD∴四边形ABCD是平行四边形，又BC DC=，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当06x <时，重叠部分为三角形，如图所求，212s x ∴=， 06x <，∴当6x =时，s 取最大值为218s cm =；②当662x <时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm ，上底为(6)x cm -，1(6)66182s x x x ∴=+-⨯=-， 当62x =时，s 取最大值为2(36218)cm -；③当62662x <<+时，重叠部分为五边形，如图所求，(2211626(62)[62]222s s s x x ∴=-=-+-=--++五边形三角形菱形，此时，36218362S -<<五边形； ④当662x =+时，重叠部分为菱形，如图所求，∴2362S cm =菱形， 综上，s 与x 函数关系为：21(06)2s x x =<，或618(662)s x x =-<，或21[(662)]362(6262)2s x x =--++<<+，或362(62)s x ==+． 故s 的最大值为2362cm ．。

【解析版】2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A ．B ．25C ．35D ．63【解答】解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴＝（）2＝（）2＝，∴S △AEF ＝S △ABC ．∵S 四边形BCFE ＝S △ABC ﹣S △AEF ＝21，即S △ABC ＝21，∴S △ABC ＝25．故选：B ．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A ．4B ．2C ．D ．2【解答】解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，此正三棱柱底面△ABC 的边AB 在右侧面的投影为BD ，∵AC ＝2，∴AD ＝1，AB ＝AD ＝2，∴BD ＝，∵左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为2．故选：D ．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．（4分）方程组的解是．【解答】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．【解答】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．【解答】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，＝BD•AB＝×2×＝6，∴S△ABD故答案为：6．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【解答】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【解答】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m 3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s ＝（x+x ﹣6）×6＝6x ﹣18，当x ＝6时，s 取最大值为（36﹣18）cm 2；③当6＜x ＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s 五边形＝s 菱形﹣s 三角形＝＝，此时，36；④当x ＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s 与x 函数关系为：s ＝（0＜x≤6），或s ＝6x ﹣18（6＜x≤6），或s ＝（6＜x ＜6+6），或s ＝36（x ＝6+6）．故s的最大值为36．。

2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为( )A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )A ．223323a b ab a b +=B ．632a a a ÷=C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP 交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）（2020•永州）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A ．4B ．2C ．3D ．2310．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351-C 651-D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）（2020•永州）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ． 13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90100x 8090x < 7080x < 6070x < 60x < 人数 25 15 5 4 1根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人．15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-． 20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）（2020•永州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2scm．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为()A．12020-B．2020C．2020-D．12020【考点】14：相反数【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：2020-的相反数为：2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【考点】3P：轴对称图形【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为10n a ⨯，n 为整数位数减1．【解答】解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人．故选：C ．【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )A ．223323a b ab a b +=B ．632a a a ÷=C ．639a a a =D ．325()a a =【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减；6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误；639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9【考点】7W ：方差；5W ：众数；4W ：中位数；1W ：算术平均数【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=， 方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=， 故选：A ．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA【考点】KB ：全等三角形的判定【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB =；②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆；④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】MC ：切线的性质；MA ：三角形的外接圆与外心【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，则可对④进行判断．【解答】解：PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，PA PB ∴=，所以①正确；OA OB =，PA PB =，OP ∴垂直平分AB ，所以②正确；PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥， 90OAP OBP ∴∠=∠=︒，∴点A 、B 在以OP 为直径的圆上， ∴四边形OAPB 有外接圆，所以③正确；只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，M ∴是不一定为AOP ∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理． 8．（4分）（2020•永州）如图，在ABC ∆中，//EF BC ，23AE EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC ∆的面积是( )A ．913B ．25C ．35D ．63【考点】9S ：相似三角形的判定与性质【分析】由//EF BC 可得出AEF ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得出425AEF ABC S S ∆∆=，结合21BCFE S =四边形即可得出关于ABC S ∆的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：//EF BC ， AEF ABC ∴∆∆∽，∴224()()25AEF ABC S AE AE S AB AE EB ∆∆===+， 425AEF ABC S S ∆∆∴=． 21ABC AEF BCFE S S S ∆∆=-=四边形，即212125ABC S ∆=， 25ABC S ∆∴=．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出2125ABC BCFE S S ∆=四边形是解题的关键． 9．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是( )A ．4B ．2C 3D ．23【考点】1U ：简单几何体的三视图；3U ：由三视图判断几何体【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案． 【解答】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==，3BD ∴=，左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为23．故选：D ．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 10．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2【考点】8F：一次函数图象上点的坐标特征；5F：一次函数的性质【分析】求出点(1,1)C到直线26y x=-+的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C到直线l的距离d==．Q的半径为1，1PQ∴=-，故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）（2020•永州）函数13yx=-中，自变量x的取值范围是3x≠．【考点】4E：函数自变量的取值范围【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，30x-≠，解得3x≠．故答案为：3x≠．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）（2020•永州）方程组422x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是22xy=⎧⎨=⎩．【考点】98：解二元一次方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：422x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x=，即2x=，把2x=代入①得：2y=，则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 【考点】AA ：根的判别式【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，240b ac ->，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 90100x 8090x < 7080x < 6070x <251554根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人．【考点】5V ：用样本估计总体；7V ：频数（率)分布表【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4π平方分米． 【考点】MP ：圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积=底面周长⨯母线长2÷． 【解答】解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米．故答案为4π． 【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型． 16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．【考点】JA ：平行线的性质【分析】过点B 作//EF a ．利用平行线的性质，把1∠、2∠集中在ABC ∠上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．【点评】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键． 17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出6OB AB OD CD ===，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C 6)，AB x ⊥轴，CD x ⊥轴， 6OB AB OD CD ∴===11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯=， 故答案为：6．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．【考点】PA ：轴对称-最短路线问题；5D ：坐标与图形性质【分析】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长，连接OP '，OP ''，OP ，利用垂直平分线定理得到OP OP OP '=''=，由P 坐标确定出OP 的长，在三角形OP P '''中求出P P '''的长，即为三角形PMN 周长的最小值．【解答】解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''， 60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''532253P P P Q ∴'''='== 则PMN ∆周长的最小值是3 故答案为：53【点评】此题考查了轴对称-最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-．【考点】5T ：特殊角的三角函数值；6F ：负整数指数幂；6E ：零指数幂；2C ：实数的运算【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式11222=+⨯-112=+-0=．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =．【考点】6D ：分式的化简求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时，原式3121==+． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【考点】VC ：条形统计图；VB ：扇形统计图；6X ：列表法与树状图法【分析】（1）先由A 等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C 等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C 、D 人数，利用百分比概念求解可得m 、n 的值，用360︒乘以B 等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．3 1.73≈5 2.247 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．【考点】TB ：解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由题意得60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，则1302BD AB ==，330351.950AD BD ==≈>，即可得出结论； （2）由（1）得30BD =，303AD =903060DC BC BD =-=-=，由勾股定理求出AC 即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD BC ⊥于D ，如图：则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，1302BD AB ∴==，330351.950AD BD =>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD =33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC ++（海里）；答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【考点】9C ：一元一次不等式的应用；7B ：分式方程的应用【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y 只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解，1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）（2020•永州）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =，5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【考点】5M ：圆周角定理；ME ：切线的判定与性质；MA ：三角形的外接圆与外心；9S ：相似三角形的判定与性质【分析】（1）由等腰三角形的性质可得OBC OCB ∠=∠，由圆周角定理可得90ACB ∠=︒，由直角三角形的性质可得BE CE DE ==，可得ECB EBC ∠=∠，由切线的性质可得90ABD ∠=︒，可证OC CE ⊥，可得结论；（2）通过证明BCD ABD ∆∆∽，可得BD CD AD BD=，可求AD 的长，由三角形中位线定理可求解． 【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC=，OBC OCB∴∠=∠，AB是直径，90ACB∴∠=︒，E为BD的中点，BE CE DE∴==，ECB EBC∴∠=∠，BD与O相切于点B，90ABD∴∠=︒，90OBC EBC∴∠+=︒，90OCB ECB∴∠+∠=︒，90OCE∴∠=︒OC CE∴⊥，又OC为半径，CE∴是O的切线；（2）D D∠=∠，BCD ABD∠=∠，BCD ABD∴∆∆∽，∴BD CDAD BD=，2BD AD CD∴=，2(35)5AD∴=，9AD∴=，E为BD的中点，AO BO=，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD 的长是本题的关键．25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m =2m =31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，。

2020年湖南省永州市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．解析：直接利用相反数的定义进而分析得出答案．参考答案：解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．点拨：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风解析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．参考答案：解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．点拨：本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人解析：绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n 为整数位数减1．参考答案：解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．点拨：本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5解析：根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．参考答案：解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．点拨：本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9解析：将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．参考答案：解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．点拨：本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA解析：根据全等三角形的判定方法即可解决问题．参考答案：解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．点拨：本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4解析：利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．参考答案：解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．点拨：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．63解析：由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．参考答案：解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．2解析：过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB 在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案．参考答案：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．点拨：本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2解析：求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ 的最小值．参考答案：解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ 的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．点拨：本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．解析：根据分母不等于0列式进行计算即可求解．参考答案：解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．点拨：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）方程组的解是．解析：方程组利用加减消元法求出解即可．参考答案：解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：点拨：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．解析：由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．参考答案：解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．点拨：本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤80≤x＜70≤x＜60≤x＜x＜60100908070人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．解析：根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．参考答案：解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．点拨：本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．解析：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．参考答案：解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．点拨：本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．解析：过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．参考答案：解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．点拨：本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为6．解析：根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．参考答案：解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．点拨：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．解析：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．参考答案：解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．点拨：此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．参考答案：解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．点拨：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．参考答案：解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．解析：（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．参考答案：解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．点拨：本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．解析：（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．参考答案：解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．点拨：本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解析：（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．参考答案：解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．点拨：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．解析：（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．参考答案：证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．点拨：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解析：（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．参考答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．点拨：本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．解析：（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，参考答案：解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x ≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．点拨：本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第（3）题的解题关键是分情况讨论．。

2020年湖南永州中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）A. B. C. D.1.的相反数为（ ）．A.注意安全B.水深危险C.必须戴安全帽D.注意通风2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）．A.人B.人C.人D.人3.永州市现有户籍人口约万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（ ）．4.下列计算正确的是（ ）．A.B.C.D.5.已知一组数据，，，，，对这组数据描述正确的是（ ）．A.众数是B.平均数是C.中位数是D.方差是6.如图，已知，．能直接判断≌ 的方法是（ ）．A.B.C.D.7.如图，已知，是⊙的两条切线，，为切点，线段交⊙于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（ ）．A.B.C.D.8.如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是（）．A.B.C.D.9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）．正三棱柱主视图俯视图A.B.C.D.10.已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是⊙上的动点，则的最小值是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.函数中自变量的取值范围是 ．12.方程组的解是 ．13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩人数根据抽样调查结果，估计该校七年级名学生中，分（含分）以上的学生有 人．15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16.已知直线，用一块含角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则．17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ．xyO18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，、分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是 ．xyO三、解答题（本大题共8小题，共78分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中．（1）（2）（3）21.今年月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动、赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，：，：，：，：．并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：等级人数请把条形统计图补充完整．扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．22.一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛海里的处出发，以每小时海里的速度沿正南方向航行，已知在海岛周围海里水域内有暗礁．（参考数据：，，）北（1）（2）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．渔船航行小时后到达处，求，之间的距离．（1）（2）23.某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？该药店计划再次购进两种口罩共只，预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？（1）（2）24.如图，内接于⊙，是⊙的直径，与⊙相切于点．交的延长线于点，为的中点，连接．求证：是⊙的切线．已知，，求，两点之间的距离．25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过、，三点，如图所示．（1）12（2）图求抛物线所表示的二次函数表达式．过原点任作直线交抛物线于，两点，如图所示．图求面积的最小值．已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．（1）（2）26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．当重叠部分的形状为如图所示的四边形时，求证：四边形是菱形．【答案】解析:的相反数为：．故选．解析:现有户籍人口数万人，用科学记数法表示为．故选：．解析:将数据按大小顺序排列为：，，，，．选项：出现次数最多，故众数是，故正确；选项：，∴平均数是，故错误；选项：中位数是，故错误；（3）设平移的距离为（），两张纸条重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．B1.D2.C3.C4.A5.选项：．∴方差是，故错误．故选．解析:∵，，，∴≌．故选．解析:∵、是⊙的切线，∴，，且，在和中，，，，∴≌，∴．故①正确；∵≌，∴，且，∴．故②正确；∵，，A 6.C 7.∴，∴四边形有外接圆．故③正确；无法证明点是外接圆的圆心．故④错误．综上所述正确的为①②③．故选．解析:∵，∴，∵，∴，∴，∵，设，则，则，解得，∴．故选．解析:如图，过点作于点，∵，∴，，∴，B 8.四边形四边形D 9.∴左视图面积为．故选．解析:如图，过点作直线，直线与⊙交于点，与直线交于点，此时，的值最小．∵直线解析式为：，点坐标为，∴点到直线的距离即，又∵⊙的半径即，∴．故选．解析:根据题意得，，解得．解析:解方程组：，①②，得，∴，将代入①，得，B 10.11.12.①②∴，∴原方程组的解为．故答案为：．13.解析:由已知得：，解得：．14.解析:由题意得：（人）．故答案为：．15.解析:圆锥的侧面是扇形，圆锥的侧面积，故答案为：．16.解析:过点作直线的平行线，∵，∴，∴，，∵为直角三角形且，∴，∴．17.解析:联立解析式，得，解得或，∴点坐标为，点坐标为．又∵轴，轴，∴点坐标为，点坐标为，∴，，∴的面积．故答案为：．18.解析:分别作点关于，的对称点，，连接交于点，交于点，连接，，，yxO则，，，∴，，则的周长最小值为的长度，过点作于点，∵点坐标为，∵，，，∴，∴，又∵，∴，在中，，在等腰三角形中，为边上的高线，∴，∴，即周长最小值为．故答案为：．解析:．解析:，当时，原式．．19.，．20.（1）画图见解析．（2）; ;21.（1）（2）（3）（1）解析:由题可知：占，占有人，∴总人数：人，∴：人，故条形统计图如图所示：等级人数由（）可知：总人数为人，，∴，，∴，：．故答案为：，，．树状图：开始一共有种，一男一女有种，∴（男，女），故抽到男女的概率为．解析:过点作于点，（3），画图见解析．（1）没有触礁的危险．（2）海里．22.（2）（1）（2）北∴，由题意可得，∴在中，∴渔船在航行过程中没有触礁的危险．在中，，∵，∴，在中，，即，之间的距离为海里．解析:设一次性医用外科口罩单价为元，则口罩的单价为元，由题意可知，，解方程得：．经检验是原方程的解，当时，．答：一次性医用外科口罩和口罩的单价分别是元，元．设购进一次性医用外科口罩只根据题意得，解不等式得：．答：药店购进一次性医用外科口罩至少只．（1）一次性医用外科口罩和口罩的单价分别是元，元．（2）至少只．23.（1）（2）解析:连接，∵，∴．∵是⊙的直径，∴，则，∵是斜边上的中线，∴．∴．∵与⊙相切，∴，即．∴，即．∴，∴是⊙的切线．∵，，∴．∴，即．∴，∵是的中位线，∴．（1）证明见解析．（2）．24.（1）．1（2）．25.（1）12（2）解析:设抛物线的解析式为，在等腰中，垂直平分且，∴，∴，，，，解得：，∴抛物线的解析式为．设直线的解析式为，，，由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴当时取最小值，∴的最小值是．2存在，当时，点，直线的表达式为：，当时，点，直线的表达式为：．（1）假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，∴，即，解得，，，，∵，不合题意，舍去，当时，点，线段的中点为，∴，，∴直线的表达式为：．当时，点，线段的中点为，∴，，∴直线的表达式为：．解析:①如图，图重叠部分是等腰直角三角形；②如图，（1）等腰直角三角形；梯形；菱形；五边形．（2）证明见解析．（3）；的最大值为．26.（2）图重叠部分是梯形；③如图，图重叠部分是菱形；④如图，图重叠部分是五边形．分别过点，作于点，于点，如图，图∴，∵两张纸条等宽，∴．（3）在和中，，∴，∵两张纸条都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是菱形．①当时，重叠部分为三角形，如图所示，图∴，．最大值为．②当时，重叠部分为梯形，如图所示，图梯形的下底为，上底为，∴，当时，取最大值，③当时，重叠部分为五边形，如图，图，此时 ．④当时，重叠部分为菱形，如图，五边形菱形三角形五边形图∴．菱形∴，的最大值为．。

2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是96．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d ＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60成绩90≤x≤100人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP ＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A．B．25C．35D．63【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．△ABC【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．2【分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．（4分）方程组的解是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60100人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．【分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．【分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD ＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m 3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．【分析】（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．。

永州市2020年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是96．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．639．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．210．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．方程组的解是．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答过程】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答过程】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答过程】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答过程】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答过程】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．63【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．2【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答过程】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答过程】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答过程】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【总结归纳】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．方程组的解是．【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答过程】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答过程】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【总结归纳】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答过程】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．【总结归纳】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答过程】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD ＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答过程】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答过程】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．【总结归纳】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答过程】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答过程】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答过程】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，。

2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9 6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．参考答案：解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．参考答案：解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．参考答案：解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．参考答案：解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．参考答案：解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．参考答案：解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．参考答案：解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．参考答案：解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．9．参考答案：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．10．参考答案：解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．参考答案：解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．参考答案：解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．参考答案：解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．参考答案：解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．参考答案：解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．参考答案：解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．参考答案：解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．18．参考答案：解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．参考答案：解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．参考答案：解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．参考答案：解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．参考答案：解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．参考答案：解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．参考答案：证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．参考答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．参考答案：解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x ≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．。

湖南省永州市2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.-2020的相反数为（）A. B. 2020 C. -2020 D.2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. B. C. D.3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A. 人B. 人C. 人D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（）A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知．能直接判断的方法是（）A. B. C. D.7.如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：① ；② ；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（）A. B. 25 C. 35 D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A. 4B. 2C.D.10.已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D. 2二、填空题（共8题；共9分）11.在函数中，自变量x的取值范围是________．12.方程组的解是________．13.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人．15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．16.已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则________．17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为________．18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是________．三、解答题（共8题；共76分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中．21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中________，________，B等级所占扇形的圆心角度数为________．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求面积的最小值．②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】-2020的相反数为－（-2020）=2020．故答案为：B．【分析】直接利用相反数的定义求解．2.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．3.【解析】【解答】635.3万= ，故答案为：C.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.4.【解析】【解答】A、与不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；B、，故该项不符合题意；C 、，故该项符合题意；D、，故该项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则依次判断即可.5.【解析】【解答】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8，∴中位数为6，众数为8，平均数为，方差为：=8.8，正确的描述为：A，故答案为：A .【分析】求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可.6.【解析】【解答】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故答案为：A.【分析】根据三角形全等的判定定理解答.7.【解析】【解答】解：如图，是的两条切线，故①符合题意，故②符合题意，是的两条切线，取的中点Q，连接，则所以：以Q为圆心，为半径作圆，则共圆，故③符合题意，M 是外接圆的圆心，与题干提供的条件不符，故④不符合题意，综上：正确的说法是个，故答案为：C．【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．8.【解析】【解答】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故答案为：B．【分析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．9.【解析】【解答】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，∵底面等边三角形的高= ，∴它的左视图的面积是，故答案为：D.【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.10.【解析】【解答】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故答案为：B.【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.二、填空题11.【解析】【解答】∵在函数中，x-3≠0，∴x≠3．故答案是：x≠3．【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．12.【解析】【解答】由①+②得：3x=6，解得x=2，把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为．故答案为：．【分析】直接利用加减消元法求解．13.【解析】【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14.【解析】【解答】（人）故答案为：480.【分析】用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.15.【解析】【解答】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为1分米，根据得，平方分米．故答案为．【分析】根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．16.【解析】【解答】解：如图，标注字母，延长交a于C，由题意得：故答案为：【分析】如图，标注字母，延长交a于C，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．17.【解析】【解答】令,解得,∴A( ),C( )．∴B( ),D( )．则BD= ,AB= ,∴S△ABD= ．故答案为:6．【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．18.【解析】【解答】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：即周长的最小值．故答案为．【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．三、解答题19.【解析】【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．20.【解析】【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．21.【解析】【解答】解：（2），，B等级所占扇形的圆心角度数为，故答案为：，，252°；【分析】(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；(3)列树状图解答.22.【解析】【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.23.【解析】【分析】（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．24.【解析】【分析】（1）连接，先推出，然后根据是斜边上的中线，得出，从而可得，根据与相切，得到，可得，即，即可证明是的切线；（2）连接OE，先证明，可得，可求出AD，根据是的中位线，即可求出OE．25.【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．26.【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分、、和x= 四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．。

2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1. −2020的相反数为（）A.−12020B.2020 C.−2020 D.12020【答案】B【考点】相反数【解析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】−2020的相反数为：2020．2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A.注意安全B.水深危险C.必须戴安全帽D.注意通风【答案】D轴对称图形【解析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．3. 永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A.6.353×105人B.63.53×105人C.6.353×106人D.0.6353×107人【答案】C【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答】635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．4. 下列计算正确的是（）A.a2b+2ab2＝3a3b3B.a6÷a3＝a2C.a6⋅a3＝a9D.(a3)2＝a5【答案】C【考点】合并同类项同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误（1）a6⋅a3＝a9，故选项C正确(2)(a3)2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5. 已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A.众数是8B.平均数是6C.中位数是8D.方差是9A【考点】算术平均数方差众数中位数【解析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，=5，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1+2+6+8+85×[(1−5)2+(2−5)2+(6−5)2+2×(8−5)2]＝8.8，方差为156. 如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≅△DCB的方法是（）A.SASB.AASC.SSSD.ASA【答案】A【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≅△DCB(SAS)，7. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】切线的性质三角形的外接圆与外心【解析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90∘，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．8. 如图，在△ABC中，EF // BC，AEEB =23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A.913B.25C.35D.63【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由EF // BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】∵EF // BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2＝(AEAE+EB)2=425，∴S△AEF=425S△ABC．∵S四边形BCFE ＝S△ABC−S△AEF＝21，即2125S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．9. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A.4B.2C.√3D.2√3【答案】D【考点】简单几何体的三视图【解析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD=√3，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2√3．10. 已知点P(x0, y0)和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d=00√1+k2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为(1, 1)，半径为1，直线l的表达式为y＝−2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ 的最小值是（）A.3√55B.3√55−1 C.6√55−1 D.2【答案】B【考点】一次函数的性质一次函数图象上点的坐标特点【解析】求出点C(1, 1)到直线y＝−2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C(1, 1)到直线l的距离d=√1+(−2)2=3√55，∵⊙Q的半径为1，∴PQ=3√55−1，二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）函数y=1x−3中，自变量x的取值范围是________．【答案】x≠3【考点】函数自变量的取值范围无意义分式的条件分式有意义、无意义的条件【解析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】根据题意得，x −3≠0，解得x ≠3．方程组{x +y =42x −y =2的解是________． 【答案】{x =2y =2【考点】加减消元法解二元一次方程组二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】{x +y =42x −y =2， ①+②得：3x ＝6，即x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝2，则方程组的解为{x =2y =2，若关于x 的一元二次方程x 2−4x −m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．【答案】m >−4【考点】根的判别式【解析】由方程有两个不相等的实数根可知，b 2−4ac >0，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−m)=16+4m >0，解得：m >−4．故答案为：m >−4．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：人．【答案】480【考点】用样本估计总体频数（率）分布表【解析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】600×25+1550=480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含8以上的学生有480人，已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．【答案】π4【考点】圆锥的计算【解析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】圆锥的侧面积=12×π2×1=π4平方分米．已知直线a // b，用一块含30∘角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25∘，则∠2＝________．【答案】35∘【考点】平行线的性质【解析】过点B作EF // a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答】过点B作EF // a．∵a // b，∴EF // a // b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30∘角的直角三角形，∴∠ABC＝60∘．∵∠ABF+∠CBF＝60∘，∴∠2＝60∘−25＝35∘．如图，正比例函数y＝−x与反比例函数y=−6x的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x 轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为________．【答案】6【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD=√6，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】正比例函数y＝−x与反比例函数y=−6x的图象交点坐标A(−√6, √6)，C(√6, −√6)，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD=√6，∴S△ABD=12BD⋅AB=12×2√6×√6=6，∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60∘，在∠AOB内有一点P(4, 3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是________．【答案】5√3【考点】轴对称——最短路线问题坐标与图形性质【解析】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P′与点P ″，连接P′P ″，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时△PMN 周长最小，最小值为P′P ″的长，连接OP′，OP ″，OP ，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP ″＝OP ，由P 坐标确定出OP 的长，在三角形OP′P ″中求出P′P ″的长，即为三角形PMN 周长的最小值．【解答】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P′与点P ″，连接P′P ″，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时△PMN 周长最小，最小值为P′P ″的长，连接OP′，OP ″，OP ，∵ OA 、OB 分别为PP′，PP ″的垂直平分线，P(4, 3)，∴ OP′＝OP ＝OP ″=√42+32=5，且∠POA ＝∠P′OA ，∠POB ＝∠P ″OB ，∵ ∠AOB ＝∠AOP +∠BOP ＝60∘，∴ ∠P′OP ″＝120∘，过O 作OQ ⊥P′P ″，可得P′Q ＝P ″Q ，∠OP′Q ＝∠OP ″Q ＝30∘，∴ OQ =52，P′Q ＝P ″Q =5√32， ∴ P′P ″＝2P′Q ＝2×5√32=5√3，则△PMN 周长的最小值是5√3．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）计算：20200+√83sin 30∘−(12)−1． 【答案】原式＝1+2×12−2 ＝1+1−2＝0．【考点】零指数幂负整数指数幂实数的运算特殊角的三角函数值【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝1+2×12−2＝1+1−2＝0．先化简，再求值：(1a+1−a+2a2−1⋅a2−2a+1a2+4a+4)⋅(a+2)，其中a＝2．【答案】原式＝[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]•(a+2)＝[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]•(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a＝2时，原式=32+1=1．【考点】分式的化简求值【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】原式＝[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]•(a+2)＝[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]•(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a＝2时，原式=32+1=1．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A:90<S≤100，B:80<S≤90，C:70<S≤80，D:S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝________，n＝________，B等级所占扇形的圆心角度数为________．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【答案】∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40−(4+28+2)＝6（人），补全图形如下：15,5,252∘画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．【考点】扇形统计图条形统计图列表法与树状图法【解析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360∘乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40−(4+28+2)＝6（人），补全图形如下：m%=640×100%＝15%，即m＝15，n%=240×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360∘×70%＝252∘，故答案为：15，5，252∘；画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．一艘渔船从位于A海岛北偏东60∘方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【答案】这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90∘，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90∘−60∘＝30∘，∴BD=1AB＝30，AD=√3BD＝30√3≈51.9>50，2∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；由（1）得：BD＝30，AD＝30√3，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC−BD＝90−30＝60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】AB＝30，（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90∘−60∘＝30∘，则BD=12AD=√3BD＝30√3≈51.9>50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30√3，求出DC＝BC−BD＝90−30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答】这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90∘，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90∘−60∘＝30∘，∴BD=1AB＝30，AD=√3BD＝30√3≈51.9>50，2∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；由（1）得：BD＝30，AD＝30√3，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC−BD＝90−30＝60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【答案】设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【考点】一元一次不等式的实际应用分式方程的应用【解析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3√5，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【答案】如图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90∘，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90∘，∴∠OBC+∠EBC＝90∘，∴∠OCB+∠ECB＝90∘，∴∠OCE＝90∘∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；连接OE，∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2＝AD⋅CD，∴(3√5)2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．【考点】圆周角定理相似三角形的性质与判定切线的判定与性质三角形的外接圆与外心【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90∘，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90∘，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得BDAD =CDBD，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】如图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90∘，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90∘，∴∠OBC+∠EBC＝90∘，∴∠OCB+∠ECB＝90∘，∴∠OCE＝90∘∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；连接OE，∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2＝AD⋅CD，∴(3√5)2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q(1, −32)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【答案】设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)，在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4，∴ OA ＝OB ＝OC ＝2，∴ A(−2, 0)，B(2, 0)，C(0, −2)，∴ {4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴ 抛物线的解析式为y =12x 2−2； ①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴ x 1+x 2＝2k ，x 1⋅x 2＝−4，∴ (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16，∴ |x 1−x 2|=2√k 2+4，∴ S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4，∴ 当k ＝0时2√k 2+4取最小值为4．∴ △CMN 面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P(m, 12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴ OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2， 解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3＝1，m 4＝−1，∵ m 3＝1，m 4＝−1不合题意，舍去，当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴ 1+√32k =−1，∴ k =1−√3，∴ 直线l 的表达式为：y ＝(1−√3)x ，当m 2=−√3时，点P(−√3, −12)，线段PQ 的中点为(1−√32, −1)， ∴ 1−√32k =−1，∴ k =1+√3，∴ 直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．综上，点P(√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1−√3)x 或点P(−√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．【考点】二次函数综合题【解析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立方程组求得|x 1−x 2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P(m, 12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP ＝OQ 列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c(a ≠0)，在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4，∴ OA ＝OB ＝OC ＝2，∴ A(−2, 0)，B(2, 0)，C(0, −2)，∴ {4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴ 抛物线的解析式为y =12x 2−2； ①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴ x 1+x 2＝2k ，x 1⋅x 2＝−4，∴ (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16，∴ |x 1−x 2|=2√k 2+4，∴ S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴ 当k ＝0时2√k 2+4取最小值为4．∴ △CMN 面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P(m, 12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴ OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2，解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3＝1，m 4＝−1，∵ m 3＝1，m 4＝−1不合题意，舍去，当m 1=√3时，点P(√3,−12)，线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴ 1+√32k =−1，∴ k =1−√3，∴ 直线l 的表达式为：y ＝(1−√3)x ，当m 2=−√3时，点P(−√3, −12)，线段PQ 的中点为(1−√32, −1)， ∴ 1−√32k =−1，∴ k =1+√3，∴ 直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．综上，点P(√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1−√3)x 或点P(−√3, −12)，直线l 的解析式为y ＝(1+√3)x ．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45∘的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为xcm(0<x ≤6+6√2)，两张纸条重叠部分的面积为scm 2．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．【答案】在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90∘，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45∘，∴BC＝CD＝6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB // CD，BC // AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s=12x2，∵0<x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=12(x+x−6)×6＝6x−18，当x＝6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x<6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形−s三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x−(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S<36√2；④当x＝6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求，∴ S =36√2cm 2， 综上，s 与x函数关系为：s={12x 2(0<x ≤6)6x −18(6<x ≤6√2)−12(x −6−6√2)2+36√2(6√2<x <6+6√2)． 故s 的最大值为36√2cm 2．【考点】四边形综合题【解析】（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD 是平行四边形，分别过B ，D 作BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥CB 于点F ，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB ＝CD ，进而根据菱形的定义得四边形ABCD 是菱形；（3）分四种情况：0<x ≤6；6<x ≤6√2；6√2<x <6+6√2；x ＝6+6√2．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，【解答】在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，分别过B ，D 作BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥CB 于点F ，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90∘，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45∘，∴BC＝CD＝6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB // CD，BC // AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s=1x2，2∵0<x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=1(x+x−6)×6＝6x−18，2当x＝6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x <6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求， ∴ s 五边形＝s 菱形−s 三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x −(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S <36√2；④当x ＝6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求， ∴ S =36√2cm 2，综上，s 与x 函数关系为：s ={12x 2(0<x ≤6)6x −18(6<x ≤6√2)−12(x −6−6√2)2+36√2(6√2<x <6+6√2)． 故s 的最大值为36√2cm 2．。

永州市2020年初中学业水平考试 数学(试题卷)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上)1.2020-的相反数为( )A. 12020-B. 2020C. 2020-D. 12020【答案】B【详解】2020-的相反数为－(-2020)=2020．故选B ．2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A. B. C. D.【答案】D【详解】解：A 、是轴对称图形，故本选项不合题意；B 、是轴对称图形，故本选项不合题意；C 、是轴对称图形，故本选项不合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A. 56.35310⨯人B. 563.5310⨯人C. 66.35310⨯人D. 70.635310⨯【答案】C【详解】635.3万=66.35310⨯，故选：C.4.下列计算正确的是( )A.223323a b ab a b +=B. 632a a a ÷=C. 639a a a ⋅=D. ()235a a =【答案】C 【详解】A 、2a b 与22ab 不是同类项，不能合并，故该项错误；B 、633a a a ÷=，故该项错误；C 、639a a a ⋅=，故该项正确；D 、()236a a =，故该项错误；故选：C.5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是( )A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是9【答案】A【详解】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8，∴中位数为6，众数为8， 平均数为1268855++++=， 方差为：22221(15)(25)(65)2(85)5⎡⎤-+-+-+⨯-⎣⎦=8.8， 正确的描述为：A ，故选：A .6.如图，已知,AB DC ABC DCB =∠=∠．能直接判断ABC DCB △≌△的方法是( )A. SASB. AASC. SSSD. ASA【答案】A 【详解】在△ABC 和△DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABC DCB △≌△(SAS),故选：A.7.如图，已知,PA PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB =；②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆；④M 是AOP 外接圆的圆心，其中正确说法的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【详解】解：如图， ,PA PB 是O 的两条切线，,,PA PB APO BPO ∴=∠=∠ 故①正确，,,PA PB APO BPO =∠=∠,PO AB ∴⊥ 故②正确，,PA PB 是O 的两条切线，90,OAP OBP ∴∠=∠=︒取OP 的中点Q ，连接,AQ BQ ，则1,2AQ OP BQ ==所以：以Q 为圆心，QA 为半径作圆，则,,,B O P A 共圆，故③正确，M 是AOP 外接圆的圆心，,MO MA MP AO ∴===60,AOM ∴∠=︒与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是3个，故选C ．8.如图，在ABC中，2//,3AEEF BCEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是() A.913B. 25C. 35D. 63【答案】B【详解】解：∵//EF BC∴AEF B AFE C∠=∠∠=∠，∴AEF ABC∽∵23AEEB=∴25AEAB=∴255242AEBABCSS⎛⎫==⎪⎝⎭∴421AEBBCFESS=四边形∵21BCFES=四边形∴AEBS=4∴=25ABCS故选：B．9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A. 4B. 2C. 3D. 23【答案】D 【详解】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，∵底面等边三角形的高=32sin 60232⨯=⨯=， ∴ 它的左视图的面积是23，故选：D.10.已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y bd k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A. 355B. 3515-C. 6515-D. 2【答案】B∵点C到直线l的距离()00222116355112kx y bdk-+-⨯-+===++-，C半径为1，∴PQ的最小值是351 5-，故选：B.二、填空题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内)11.在函数13yx=-中，自变量x的取值范围是________．【答案】x≠3【详解】∵在函数13yx=-中，x-3≠0，∴x≠3．故答案是：x≠3．12.方程组422x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是_________．【答案】22 xy=⎧⎨=⎩【详解】422 x yx y+=⎧⎨-=⎩①②由①+②得：3x=6，解得x=2，把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为22 xy=⎧⎨=⎩．故答案为：22x y =⎧⎨=⎩． 13.若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．【答案】m ＞﹣4．考点：根的判别式．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩(百分制)，整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有_________人．【答案】480【详解】251560048050+⨯=(人) 故答案为：480.15.已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米． 【答案】4π 【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为2π分米，扇形的半径等于母线长为1分米，根据1=2S lR 扇得，1=1=224S ππ⋅⋅扇平方分米． 故答案为4π． 16.已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．【答案】35°【详解】解：如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，由题意得：30,90,B DEB∠=︒∠=︒60,BDE∴∠=︒//,a b2,DCA∴∠=∠1,125,BDE DCA∠=∠+∠∠=︒602535,DCA∴∠=︒-︒=︒235.∴∠=︒故答案为：35.︒17.如图，正比例函数y x=-与反比例函数6yx=-的图象交于A，C两点，过点A作AB x⊥轴于点B，过点C作CD x⊥轴于点D，则ABD△的面积为_________．【答案】6【详解】令6xx-=-,解得6x=∴A(6,6-66,．∴B(6,0),6,0)．则BD=26,AB=6,∴S △ABD =11266622BD AD ⋅⋅=⨯⨯=． 故答案为:6．18.AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点()4,3P ，M ，N 分别是,OA OB 边上的动点，连接,,PM PN MN ，则PMN 周长的最小值是_________．【答案】45【详解】解：分别作出点P 关于OA 和OB 的对称点1P 和2P ，则2P (4，-3)，连接1P 2P ，分别与OA 和OB 交于点M 和N ，此时，1P 2P 的长即为PMN 周长的最小值．由60AOB ∠=︒可得直线OA 的表达式为y=2x ，设1P (x,y)，由1P 2P 与直线OA 垂直及1P 2P 中点坐标在直线OA 上可得方程组： 3·214342?22y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩解得：05x y =⎧⎨=⎩则1P (0，5)，由两点距离公式可得：12PP ==即PMN 周长的最小值故答案为三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.计算：01120202-⎛⎫︒- ⎪⎝⎭． 【答案】0 【详解】解：原式11222=+⨯- 112=+-0=20.先化简，再求值：2221221(2)1144a a a a a a a a ⎛⎫+-+-⋅⋅+ ⎪+-++⎝⎭，其中2a =． 【答案】31a +，1 【详解】解：2221221(2)1144a a a a a a a a ⎛⎫+-+-⋅⋅+ ⎪+-++⎝⎭ 2212(1)(2)1(1)(1)(2)a a a a a a a ⎡⎤+-=-⋅⋅+⎢⎥++-+⎣⎦11(2)1(1)(2)a a a a a ⎡⎤-=-⋅+⎢⎥+++⎣⎦2111a a a a +-=-++ 31a =+ 当2a =时，原式3121==+21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90100S <≤，B ：8090S <≤，C ：7080S <≤，D ：70S ≤，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中m =___________，n =_________，B 等级所占扇形的圆心角度数为___________．(3)该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生(用1A ，2A 表示)，两名女生(用1B ，2B 表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【答案】(1)见解析；(2)15，5，252°；(3)23【详解】解：(1)总人数为2870%40÷=(人)，C 等级的人数为：4042826---=(人)，补充统计图：(2)6%100%15%40m =⨯=，2%100%5%40n =⨯=， B 等级所占扇形的圆心角度数为70%360252⨯=，故答案为：15m =，5n =，252°； (3)列树状图如下：共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的有8种，∴P (1男，1女)82123==. 22.一艘渔船从位于A 海岛北偏东60°方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：3 1.73,5 2.24,7 2.65≈≈≈)(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．(2)渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．【答案】(1)没有危险，理由见解析；(2)79.50海里【详解】解：(1)过A 点作AD BC ⊥于点D ，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意可得60B ∠=︒，∴在Rt ABD △中，3sin 606030351.950AD AB =⋅︒=⨯=≈>， ∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；(2)在Rt ABD △中，cos6030BD AB ︒=⋅=，∵33090BC =⨯=，∴903060DC =-=，在Rt ADC 中，2222(303)6030779.50AC AD CD =+=+=≈，即A ，C 之间的距离为79.50海里.23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【答案】(1)一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元；(2)药店购进一次性医用口罩至少1400只【详解】解：(1)设一次性医用口罩单价为x 元，则N95口罩的单价为()10x +元由题意可知，1600960010x x =+， 解方程 得2x =．经检验2x =是原方程的解，当2x =时，1012x +=．答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元．(2)设购进一次性医用口罩y 只根据题意得212(2000)10000y y +-≤，解不等式得1400y ≥．答：药店购进一次性医用口罩至少1400只．24.如图，ABC 内接于,O AB 是O 直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．(1)求证：CE 是O 的切线．(2)已知35,5BD CD ==，求O ，E 两点之间的距离．【答案】(1)见解析；(2)92【详解】(1)证明：连接OC ，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，则90BCD ∠=︒，∵CE 是Rt BCD ∆斜边BD 上的中线，∴CE BE =，∴EBC ECB ∠=∠，∵BD 与O 相切， ∴90ABD ∠=︒，即90OBC EBC ∠+∠=︒，∴90OCB ECB ∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒，∴OC CE ⊥，∴CE 是O 的切线；(2)连接OE ，∵D D BCD ABD ∠=∠∠=∠，，∴BCD ABD ∆∆∽，∴BD CD AD BD=，即2(35)5AD =， ∴9AD =，∵OE 是ABD △的中位线，∴9221OE AD ==． 25.在平面直角坐标系xoy 中，等腰直角ABC 的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN △面积的最小值．②已知31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2122y x =-；(2)①4；②点13,2P ⎫-⎪⎭，(13)y x =或点13,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(13)y x =+ 【详解】解：(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，在等腰Rt ABC 中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，∴2OA OB OC ===．∴(2,0)A - (2,0)B (0,2)C -4204202a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：122abc⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为2122y x=-(2)①设直线l的解析式为y kx=，交点()12,M x y，()22,N x y由2122y xy kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx--=，∴122x x k+=，124x x⋅=-．∴()()2221212124416x x x x x x k-=+-=+，∴21224x x k-=+．∴2121242CMN OCM OCNS S S OC x x k=+=⋅⋅-=+∴当0k=时，224k+4．∴CMNS的最小值是4．②假设抛物线上存在点21,22P m m⎛⎫-⎪⎝⎭，使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP OQ =，即322223112,22m m ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：13m =，23m =-，31m =，41m =-∵31m =，41m =-，(不合题意，舍去．)当13m =时，点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，线段PQ 的中点为13,12⎛⎫+- ⎪⎝⎭． ∴1312k +=-， ∴ 1313k =-=-+． ∴直线l 的表达式为：(13)y x =-．当13m =-时，点13,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，线段PQ 的中点为13,1⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴131k -=-， ∴ 1313k =-=+-． ∴直线l 的表达式为：(13)y x =+综上：点13,2P ⎫-⎪⎭，(13)y x =或点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(13)y x =+． 26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．(1)写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．(3)设平移的距离为cm(062)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．【答案】(1)三角形，四边形(梯形、菱形)，五边形；(2)见解析；(3)221(06)2618(662)1[(662)]362(62662)2362(662)x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<<+⎪⎪=-⎩，s 的最大值为2362cm ．【详解】解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形(梯形、菱形)，五边形；(2)证明：分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ，∴90BEC DFC ∠=∠=︒∵两张纸条等宽，∴6BE DF ==．BCE 和DCF 中45BCE DCF ∠=∠=︒，∴2266=62BC DC ==+∵两张纸条都是矩形，，∴//AB CB //BC AD ．∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵BC DC =，∴四边形ABCD 是菱形；(3)Ⅰ、如图：当06x <≤时，重叠部分为三角形，如图所示，∴212S x =， ∴018S <．最大值为218cm ．Ⅱ、如图：当662x <时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为cm x ，上底为(6)cm x -， ∴()1666182S x x x =+-⋅=-，当62x =时，s 取最大值2(36218)cm -．Ⅲ、当62662x <<+2211=626(662)[(662)]36222S S S x x -=-+-=--++五边形菱形三角形 此时36218362S <<五边形．Ⅳ、当662x=+时，重叠部分为菱形，∴2362cmS=菱形．∴221(06)2618(662)1[(662)]362(62662)2362(662)x xx xsx xx⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩∴s的最大值为2362cm．。