行程问题--追及问题(一)

行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧一、行程问题、相遇问题和追及问题的核心公式：行程问题最核心的公式“速度=路程÷时间〞。

由此可以演变为相遇问题和追及问题。

其中：相遇时间=相遇距离÷速度和，追及时间=追及距离÷速度差。

速度和=快速+慢速速度差=快速-慢速二、相遇距离、追及距离、速度和〔差〕及相遇〔追及〕时间确实定第一：相遇时间和追及时间是指甲乙在完成相遇〔追及〕任务时共同走的时间。

第二：在甲乙同时走时，它们之间的距离才是相遇距离〔追及距离〕分为：相遇距离——甲与乙在一样时间走的距离之和；S=S1+S2 甲︳→S1→∣←S2←︳乙A C B追及距离——甲与乙在一样时间走的距离之差甲︳→S1←∣乙→S2 ︳A B C在一样时间S甲=AC，S乙=BC距离差AB=S甲- S乙第三：在甲乙同时走之前，不管是甲乙谁先走，走的方向如何.走的距离是多少.都不影响相遇时间和追及时间，只是引起相遇距离和追及距离的变化，具体变化都应视情况从开场相距的距离中加减。

简单的有以下几种情况：三、例题：〔一〕相遇问题〔1〕A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。

假设两车从A、B两地同时开出，相向而行，T小时相遇，则可列方程为T=1000/〔120+80〕。

甲︳→S1 →∣←S2 ←︳乙A C B解析一：①此题为相遇问题；②甲乙共同走的时间为T小时；③甲乙在同时走时相距1000千米，也就是说甲乙相遇的距离为1000千米；④利用公式：相遇时间=相遇距离÷速度和根据等量关系列等式T=1000/〔120+80〕解析二：甲乙相距的距离是由甲乙在一样的时间共同走完的。

相距的距离=甲车走的距离+乙车走的距离根据等量关系列等式1000=120*T+80*T〔2〕A、B两地相距1000千米，甲车从A地开出，每小时行120千米，乙车从B地开出，每小时走80千米。

作业
相遇问题
1.两辆汽车从相距450公里的两地相对开出，3小时后相遇，一辆汽车的速度是
每小时80公里，求另一辆汽车的速度？
2.小明和小红家相距14千米,今天早上小明和小红同时从自家出发向对方家走去,
小明每小时走3千米,小红每小时走4千米,经过几小时两人在途中相遇?
3.甲车每小时行50千米,乙车每小时行60千米,两车从两地相对开出,3小时后两
车相遇,问两地距离多少千米?
追及问题
1.甲乙两人，分别从相距300米的两村同时出发，同向而行，甲每分钟走60米
乙每分钟走45米，问：出发后几分钟甲追上乙?
2.小明从学校步行回家,每分钟走60米,走了10分钟后,李老师从学校骑车追小明,
在离学校900米的地方追上小明,问老师每分钟行多少米?
3.两辆卡车为农场送化肥,第一辆卡车以每小时30千米的速度由仓库开往农场,第
二辆卡车晚12分钟出发,以每小时40千米的速度行驶,结果两车同时到达农场.
仓库到农场的路程有多远?。

行程问题-追及问题基本知识-1星题追及问题基本知识•追及问题的特征基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题。

主要分为两种情况：一种是后面的人速度快，经过一段时间追上另外一个人；另外一种是前面的人速度快，两人的距离越来越远。

例：有两个人同时行走，甲走得快，乙走得慢，当乙在前，甲过了一些时间就能追上他．这就产生了“追及问题”．实质上，要算甲在某一段时间内，比乙多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程），那么在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间．•追及问题的基本数量关系（追及问题中两人是同向而行，关键考虑的是“路程差”和“速度差”。

）路程差=速度差×追及时间追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间•多人追及问题即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的追及问题．所有行程问题都是围绕“路程=速度×时间”这一条基本关系式展开的，追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下关系式：路程差=速度差×追及时间多人追及问题虽然较复杂，但只要抓住这条公式，逐步分析题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解精选例题追及问题基本知识1. 甲、乙两车从A地开往B地分别需要用10小时和15小时，若乙车先出发3小时，则甲车出发小时后能追上乙车．【答案】6【分析】设数法．假设A、B两地之间的距离是30千米，那么甲的速度是30÷10=3（千米/小时），乙的速度是30÷15=2（千米/小时），甲开始追乙时两者的距离是3×2=6（千米），追及时间为6÷(3−2)=6（小时）．2. 甲每小时行4千米，乙每小时行3千米．两人从同一地点出发．甲动身时，乙已经走出了9千米，甲追乙3小时后，改以每小时5千米的速度追乙，再经小时甲能追上乙．【答案】3【分析】甲每小时行4千米，乙每小时行3千米，则甲每小时比乙多行走1千米，甲追乙3小时后，则甲追近3千米，甲现在距乙9−3=6（千米）．甲现在每小时行5千米，每小时比乙多走2千米，则甲6÷2=3（小时）即可追上乙．3. 地震时，地震中心同时向各个方向传播纵波与横波，纵波的传播速度每秒是3.96千米，横波的传播速度每秒是2.58千米．在汶川地震中，地震监测点用地震仪接收到地震的纵波后，隔了6.9秒接收到这个地震的横波，那么地震的中心距离监测点千米．【答案】51.084【分析】地震监测点接收到纵波时，横波距离监测点还有2.58×6.9=17.802(千米)，纵波每秒比横波多走3.96−2.58=1.38(千米)，那么纵波从地震中点到监测点所用的总时间为17.802÷1.38=12.9(秒)，那么可以知道地震中心距离监测点3.96×12.9=51.084(千米)．4. 在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车制动突然失控，向前冲去（车速不变）．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距米．【答案】25【分析】90×1000÷3600=25（米/秒），108×1000÷3600=30（米/秒），(30−25)×5=25（米）．5. 亮亮骑着自行车，以每分钟400米的速度，从46路汽车的始发站出发，沿46路车的线路前进．当他骑出1400米时，一辆46路车从始发站出发．已知这辆车每分钟行600米，每4分钟到达一站并停车1分钟．那么汽车开出分钟后能追上亮亮．【答案】13【分析】以5分钟为1个周期：在这段时间内，亮亮骑了400×5=2000（米），46路车行驶了600×4=2400（米），两者的距离减少了400米．那么两个周期后，两者的距离是1400−400×2=600（米），600÷(600−400)=3（分钟），所以，在第三个周期内，汽车追上了亮亮，共用时5×2+3=13（分钟）．6. 有80米环形走廊，弟弟在环形走廊上行走，速度为1米/秒，哥哥奔跑速度为5米/秒．现在哥哥和弟弟在环形跑道上的同一点，同时向同一方向出发，哥哥第二次追上弟弟的时候，用了秒．【答案】40【分析】第二次追上时，两人的路程差是2个全程，即160米，所以追及时间是160÷(5−1)=40（秒）．7. 甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米．出发一段时间后，两人在距中点100米处相遇．如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，两人将在距中点250米处相遇．那么甲在途中停留了分钟．【答案】12【分析】两人在距中点100米处相遇，那么两人行走的路程差是100×2=200(米)．由“路程差=速度差×时间”可以得到两人的相遇时间是200÷(70−50)=10(分钟)，那么A、B两地相距为10×(70+50)=1200(米)．两人在距中点250米处相遇，乙走了1200÷2+250=850(米)，费时850÷50=17(分钟)；甲走了1200−850=350(米)，费时350÷70=5(分钟)．那么甲在途中停留了12分钟．8. 小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？【答案】74【分析】5分钟后小新比正南多走了50×2+30=130(米)，所以每分钟多走：130÷5=26(米)，所以正南每分钟走：100−26=74(米/分)9. 龟、兔赛跑，龟比兔先出发100分钟，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米．请问：兔出发后多久追上乌龟？【答案】10分钟．【分析】乌龟先出发100分钟，速度是30米/分，所以乌龟爬行的路程是30×100=3000米．兔子从出发到追上乌龟，路程差就是3000米，速度差是330−30=300米/分，追及时间是3000÷300=10分钟．10. 小猪在小兔前面20千米处以每小时10千米的速度逃跑，同时小兔在后面以每小时15千米的速度去追小猪．那么经过多长时间可以追上？【答案】4小时．【分析】小兔与小猪的距离是20千米，也就是在相同时间里追及的路程差，小兔、小猪的路程差为15−10=5(千米/小时)，所以经过20÷(15−10)=4(小时)小兔追上小猪．11. 下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家．5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）．【答案】10【分析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200(米)；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷(60−40)=200÷20=10(分钟)，哥哥10分钟可以追上弟弟．12. 甲、乙二人都要从北京去天津，乙行驶10千米后甲才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：甲经过多长时间能追上乙？【答案】2小时．【分析】甲出发时甲、乙二人相距10千米，两人的速度差是15−10=5(千米/时)，所以需要10÷5=2(小时)．13. 小李骑自行车以每小时13千米的行车速度从甲地前往乙地，小李出发后2小时后，小王从丙地出发，丙地在甲、乙两地之间，甲、丙两地之间的距离为6千米，10小时后小王追上小李，那么小王的骑车速度是多少？【答案】15千米/小时．【分析】小李2小时走：13×2=26(千米)，小王从丙地出发，那么两人的路程差是26−6=20(千米)，小王、小李的骑车速度差为20÷10=2(千米/小时)，所以小王的骑车速度为13+2=15(千米/小时)．14. 甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）【答案】8．【分析】追及路程差即为两地距离240千米，速度差90−60=30(千米/时)，所以追及时间240÷30=8(小时)．15. 解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？【答案】1小时．【分析】通讯员出发时，与先遣队的距离是6×12=72(千米)，速度差是：78−6=72(千米/时)，追及时间为：72÷72=1(小时)．16. 甲、乙两车分别从A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离．【答案】160千米．【分析】由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：5−1=4(小时)，追及路程为：(96−80)×4=64(千米)，A、B两地间的距离为：96×1+ 64=160(千米)．17. 甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？【答案】6【分析】平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走17−14=3(千米)，要求兵兵几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用6÷3=2(小时)．因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了17×2=34(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有40−34=6(千米)18. 军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？【答案】20【分析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米(=1000×10)．又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400米(10000米−600米)即可开炮射击．所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间：(1000×10−600)÷(1470−1000)=(10000−600)÷470=9400÷470=20(分钟)经过20分钟可开炮射击“敌”舰．19. 京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发同向而行，客车在前，货车在后．已知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米．那么出发后多长时间货车追上客车？【答案】6小时．【分析】从出发到追上，甲、乙的路程差是京、津两地的距离120千米，速度差是120−100=20千米/时，所以追及时间是120÷20=6小时．20. 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？【答案】148【分析】方法一：根据题意，画出线段示意图：从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差．先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即65×4−28×4=260−112=148(千米)．方法二：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程（速度差），再求出两地相距的路程，即：(65−28)×4=37×4=148(千米)．21. 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米，小轿车在后，每小时行60千米．请问：（1）经过2小时后两车相距多少千米？（2）出发几个小时后小轿车会领先公共汽车100千米？【答案】（1）60千米；（2）10小时．【分析】（1）两车的速度差是60−40=20千米/时，2小时内两车的路程差是20×2=40千米，此时小轿车还没有追上公车，两车相距100−40=60千米；（2）小轿车领先公共汽车100千米，两车的路程差是100+100=200千米，两车的速度差是60−40=20千米/时，追及时间是200÷20=10小时．22. 甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程．【答案】646【分析】根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程．追及路程为：34×2=68(千米)追及时间为：68÷(38−34)=17(小时)A、B两地的路程为：38×17=646(千米).23. 有一条100米的街道，王大爷和黄大爷在散步，他们从街道的两端同向出发（王大爷在前面黄大爷在后面），王大爷一分钟走10米，黄大爷一分钟走15米，黄大爷什么时候追上王大爷？【答案】20分钟．【分析】他俩的追及路程差就是街道的长度100米，两人的速度差：15−10=5(米/分钟)，时间：100÷5=20(分钟)，所以经过20分钟黄大爷追上王大爷．24. 爸爸和小明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步．爸爸每分钟跑150米，小明每分钟跑120米，如果跑道全长900米，问至少经过几分钟爸爸从小明身后追上小明？【答案】30【分析】900÷(150−120)=30(分).25. 甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发同向而行，乙车在前，甲车在后，20小时后甲车追上了乙车．已知乙车每小时行50千米，那么甲车每小时行多少千米？【答案】80千米．【分析】甲从相距乙车600千米到最后追上，用了20小时，那么甲每小时追上乙600÷20=30千米，乙每小时行50千米，那么甲每小时行50+30=80千米．26. 甲骑车，乙跑步，二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路方向进行晨练．出发后10分钟，甲便从乙身边追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙二人的速度各是多少？【答案】甲：550；乙：150．【分析】第一次追上，他们的路程差是1圈也就是4000米．他们的速度差是4000÷10=400(米/分),甲的速度是550，乙的速度是150．27. 阿呆和阿瓜沿着同一条路线跑步上学，阿呆每秒跑3米，阿瓜每秒跑7米，现在阿瓜落后阿呆50米．那么再过多长时间阿瓜会领先阿呆50米？【答案】25秒．【分析】阿瓜从落后阿呆50米到领先50米，两人的路程差是50+50=100米，两人的速度差是7−3=4米/秒，追及时间是100÷4=25秒．28. 甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发同向而行，乙车在前，甲车在后，甲车每小时行60千米，乙车每小时行30千米．那么出发多长时间后，甲车会领先乙车300千米？【答案】20小时．【分析】甲车从落后乙车300千米到领先乙车300千米，两车的路程差是600千米，速度差是60−30=30千米/时，追及时间是600÷30=20小时．29. 学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？【答案】1【分析】追及时间为：3÷(15−12)=1(小时)，此时距部队驻地还有：16−15×1=1(千米)．30. 快车长182米，每秒行20米，慢车长1034米，每秒行18米．两车同向并行，当快车车尾接慢车车尾时，求快车穿过慢车的时间？【答案】91秒【分析】本题属于两列火车的追及情况，182÷(20−18)=91(秒)31. 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米？【答案】102【分析】李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米)．由已知李明每小时比王亮多走18−16=2(千米)，李明比王亮多行6千米需要6÷2=3(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：(18+16)×3=102(千米)．32. 甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米．上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处与乙相遇．求A、B两地相距多少千米？【答案】48【分析】路程差是24×2=48(千米).时间是48÷8=6(时).甲2小时走了24千米，AB距离是甲4个小时走的距离，也就是48千米．33. 姐妹两人骑车从相距10千米的甲地去乙地，妹妹比姐姐早出发10分钟．结果两人同时到达，姐妹两人骑车速度比是5:4，那么姐姐骑车的速度是多少千米每小时？【答案】15千米/时．【分析】姐妹两人所行路程相等，速度比为5:4，所用时间比为4:5,10分钟对应1份，姐姐行全程用时40分钟，即23小时，姐姐的速度为10÷23=15千米/时．34. 慢车车身长137米，车速19米/秒，快车车身长113米，车速24米/秒．慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多长时间？【答案】50秒．【分析】本题中两列火车追及的路程是两车车身之和，所以完全超过需要(137+113)÷(24−19)=50(秒)．35. 快车长192米，每秒行30米，慢车长228米，每秒行24米．两车同向并行．（1）当两车车头齐时，快车几秒可越过慢车？（2）当两车车尾齐时，快车几秒可越过慢车？【答案】（1）32；（2）38【分析】（1）车头对齐：路程差是快车车长，所以需要192÷(30−24)=32(秒)；（2）车尾对齐：路程差是慢车车长，所以需要228÷(30−24)=38(秒)．36. A、B两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发同向而行（乙在前，甲在后），甲每秒走5米，乙每秒走3米．那么甲出发多长时间后可以追上乙？【答案】130秒．【分析】从出发到追上，甲、乙的路程差是A、B两地的全程即260米，速度差是5−3=2米/秒，所以追及时间是260÷2=130秒．37. 甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离．【答案】3400米．【分析】相遇时甲比乙多行300×2=600(米)相遇时共用了600÷(100−70)=20(分)A、B两地之间的距离为(100+70)×20=3400(米).38. 甲、乙两镇相距100千米，上午7点，一辆汽车和一辆马车分别从甲、乙两镇同时出发同向而行，马车在前，汽车在后，汽车的速度是每小时行50千米，马车的速度是每小时行30千米．那么经过多长时间汽车会追上马车？【答案】5小时．【分析】两车的路程差是100千米，速度差是50−30=20千米/时，追及时间是100÷20=5小时．39. 树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行18千米，月亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点5千米．问全程长多少千米？【答案】170【分析】树叶走了全程的一半多5千米，月亮走了全程的一半少5千米，树叶比月亮实际多走了5×2=10(千米)．已知树叶每小时比月亮多走18−16=2(千米)，那么树叶比月亮多行10千米需要10÷2=5(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求了．全程：(18+16)×5=170(千米)．40. 六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发在9分钟内追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？【答案】192．【分析】同学们15分钟走72×15=1080(米)，即为李老师和同学们的路程差．根据速度差＝路程差÷追及时间，李老师和同学们的速度差是1080÷9=120(米/分钟)，同学们的速度是每分钟72米，李老师的速度即120+72=192(米/分钟)．41. 墨莫步行上学，每分钟行75米．墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸爸追上墨莫所需要的时间．【答案】3分钟．【分析】墨莫先出发了12分钟，速度是75米/分，所以墨莫行的路程是75×12=900米．所以爸爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是900米，速度差是375−75=300米/分，追及时间是900÷300=3分钟．42. 小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强一共走了多少米？【答案】2940【分析】两人相背运动的总路程：(60+70)×3=390(米)，这个是小强掉头去追小季的路程差，追及时间为：390÷(70−60)=39(分钟)，小强走的总路程为：70×(39+3)=2940(米)．43. 有两列火车，一列长102米，每秒行20米；一列长120米，每秒行17米．两车同向而行，从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒？【答案】74【分析】根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况，(102+120)÷(20−17)= 74(秒)44. 小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米．小李出发后2小时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？【答案】10【分析】小李2小时走：13×2=26(千米)，又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人的路程差是26−6=20(千米)．每小时小王追上小李15−13=2(千米)，则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：20÷2=10(小时)．45. 甲、乙两人分别从A,B两地同时出发相向而行，相遇地点距离AB的中点10千米．已知甲每小时走4千米，乙每小时走6千米．则AB两地相距多少千米？【答案】100【分析】由“相遇地点距离AB的中点10千米”可知，乙比甲多走了20千米，两人共走了20÷(6−4)=10(小时),A，B两地相距(4+6)×10=100(千米).46. 哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远？【答案】520米．【分析】哥哥出发的时候弟弟走了：40×5=200(米)，哥哥追弟弟的追及时间为：200÷(65−40)=8(分钟)，所以家离学校的距离为：8×65=520(米)．47. 龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？【答案】乌龟胜利了．【分析】乌龟胜利了．方法一：因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40÷10=4(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．方法二：乌龟跑到终点还要40÷10=4(分钟)，而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100×1=100(米)．48. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？【答案】400秒．【分析】第一个过程，战士与排头兵相距一个队伍的长，也就是450米，排头兵的速度就是队伍的速度，即每秒1.5米．这个追及过程共用时：450÷(3−1.5)=300(秒)．第二个过程，战士与队尾兵也相距450米，队尾兵的速度也是每秒1.5米．这个相遇过程共用时：450÷(3+1.5)=100(秒)．整个过程一共用时300+100=400(秒)．49. 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？【答案】6米/秒；4米/秒．【分析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：10÷5×4÷2=4(米/秒)，甲的速度为：10÷5+4=6(米/秒)50. 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过4小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米．慢车每小时行多少千米？【答案】24【分析】他们的路程差是(25+7)×2=64(千米).慢车速度40−64÷4=24(千米/时).51. 明明和东东进行100米赛跑，明明到达终点时，东东离终点还有10米，那么在起跑线上，明明向后退10米，然后两人一起跑，谁先到达终点？【答案】明明【分析】相同的时间，明明跑了100m，东东跑了90m，明明的速度大于东东的速度．明明由起点后退10m，东东在原地，同时起跑，明明跑完100m和东东跑完90m的时间相同，离终点明明和东东都分别剩下10m，因为明明的速度大于东东的速度，而明明用时间少，所以明明先到达终点．52. 甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米．那么乙出发多长时间后追上了甲？【答案】50分钟．【分析】甲早出发30分钟，当乙出发时，甲已经走了30×50=1500米．乙每分钟走80米，乙每分钟追上甲80−50=30米，那么经过1500÷30=50分钟，乙会追上甲．53. 甲、乙两船的船速分别为每小时17千米和每小时13千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发3小时，如果水速是每小时3千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？【答案】12【分析】顺水时，乙船先出发3小时的路程为：(13+3)×3=48(千米)，也就是两船的路程差。

3.4(13)--追及问题（行程问题）一．【知识要点】1.追及问题：快行距－慢行距＝原距二．【经典例题】1.实验中学学生步行到郊外旅行。

(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班学生组成后队，速度为6千米/时。

前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。

（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？2.某班学生列队以每小时6km的速度去甲地,小李从队尾以每小时10km的速度赶到队伍的排头后,又以同样的速度返回队尾,一共用了7.5min,求此队伍的长.3.在某次环城自行车比赛中,速度最快的运动员出发后35min第一次遇到速度最慢的运动员,已知最快的运动员的速度是最慢的运动员的速度的1.2倍, 环城一周为7km,求两名运动员的速度各是多少.三．【题库】【A】1.姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。

在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追妹妹。

问：多少分钟后能追上？2.甲、乙两人从同地出发前往某地。

甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？3.一列慢车从A地出发，每小时行60千米，慢车开出1小时后，快车也从A地出发，每小时速度为90千米，快车经过几小时可追上慢车？4.敌我两军相距25千米，敌军以5千米/时的速度逃跑，我军同时以8千米/时的速度追击，并在相距一千米处发生战斗，问战斗是在开始追击几小时发生的？5.AB两站相距448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米，一列快车也从A站出发，每小时行驶80千米，要使两车同时到达B站，慢车应先出发几小时？6.甲乙两人在400米的环形跑道上练习长袍，他们同时同地出发，甲的速度是6米每秒，乙的速度是4米每秒，多长时间后甲追上乙？7.甲乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？8.几名同学约好一起去动物园，到学校集合后，一部分同学以每小时5千米的速度步行，0.5小时后，另一部分同学骑自行车上学，20分钟后，他们同时到达动物园，骑自行车的同学的速度是多少？9.某市举行环城自行车赛，最快者在35分钟后遇见最慢者，已知最快者的速度是最慢者的7/5，环城一周是6千米，则最快者和最慢者的速度各是多少？10.父子两人晨练，父亲从家到公园跑步需要30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需要多少分钟？11. 我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔. 如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1千米时，以101米/分的速度奋起直追，而乌龟仍然以1米/分的速度爬行，那么小白兔大概需要_________分钟就能追上乌龟.12.一队学生去校外参加劳动,以4km/h的速度步行前往,走了半小时,学校有紧急通知要传给队长,通讯员以14km/h的速度按原路追上去,则通讯员追上学生队伍所需的时间是( )A.10minB.11minC.12minD.13min13.东西两村相距20千米，甲骑自行车从西村出发往东走，每小时走13千米，同时乙步行从东村出发，沿同一条路也往东走，每小时走5千米，经过几小时后，甲可以追上乙？14.A、B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车出发1.5小时后B车再出发。

追及问题含义：两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

数量关系： 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间例题1 当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先 米.解析1：依题意,画出线段图如下:1）相同时间内,速度之比等于路程之比2）乙到终点还有 米，所以,根据上述速度之比，乙到达终点还需 时间。

3）乙到达时，丙离终点 米。

解析2：相同时间内,速度之比等于路程之比，乙丙的速度之比相同时间，路程之比等于速度之比，乙到达终点时,丙的行程为 例题2 从时针指向4点开始,再经过 分钟,时钟与分针第一次重合.解析：1 设钟面一周的长度为1，则在4点时，分钟落后与时针是钟面周长的 即为追及距离。

2 分针和时针的速度之差为3 两针第一次重合，即为分针第一次追上时针，所用时间 例题3 骑车人以每分钟300米的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,骑车人离开出发地2100米时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行500米,行5分钟到达一站并停车1分钟.那么需要多长时间,电车追上骑车人？解析：1 假设电车不停站时，电车追及距离为 ；骑车人和电车的速度之差为 米/分钟，则追及时间为2 实际上，电车要停站，那么电车要停 站，共停 分钟。

3 电车停的时间内，骑车人不停，继续前进，前进 米，这便是电车 还得追及的距离，这部分追及时间为4 电车追上骑车人的时间为 例题4甲、乙二人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8米,乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速· · · · · 丙 乙 甲 起点 10 20 30 40 50 60度每秒增加0.5米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?解析：1 甲追上乙一圈时，所用时间为；甲跑了2 甲第一次追上乙时，甲的速度米/秒；乙的速度为米/秒3 甲再次追上乙一圈时，所用时间为；此时甲跑了4 甲第二次追上乙时，甲的速度米/秒；乙的速度为米/秒5 乙第一次追上甲时，所用时间为；此时甲跑了乙跑了6 乙第一次追上甲时，甲的速度米/秒；乙的速度为米/秒7 乙跑到终点还需时间8 乙到达终点时，甲距终点的距离小试牛刀1小明步行上学，每分钟行70米，离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明。

专题十五行程问题——追及问题知识概要基本训练1．东西两镇相距54千米，一辆汽车从东镇出发，每小时行52千米；同时一辆农用小四轮从西镇出发，每小时行34千米。

两车同向行驶，汽车在农用车后面，经过几小时汽车可以追上农用车？2．一条长400米的环形跑道，欣欣在练习自行车，她每分钟行560米；彬彬在练长跑，他每分钟跑240米。

两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人可以相遇？3．在400米长的圆形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，如果两人同向而跑，那么出发后多少秒钟第一次相遇？4．好马每天走240千米，劣马每天走150千米，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？5．我骑兵以每小时22千米的速度追击敌兵，当到某站时，得知敌人已于2小时前逃跑，已知敌人逃跑的速度是每小时12千米，问我骑兵几小时可追上逃兵？6．有一条长80米的圆形走廊，兄弟两人同时从同一处同一方向出发，沿着走廊弟弟以每秒1米的速度步行，哥哥以每秒5米的速度奔跑。

哥哥在第2次追上弟弟时，所用的时间是多少秒？7．队伍以每小时6千米的速度前进，2小时后，通讯员骑自行车以每小时12千米的速度去追，他需多少时间才能追上队伍？8．甲、乙二人分别在相距50千米的地方同向出发，乙在甲的前面，甲每小时走16千米，乙每小时走18千米，问甲走多少小时后二人相距60千米？9．兄妹二人同时离家去学校，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180米处与妹妹相遇，那么他们家离学校有多少米？10．师徒二人制作机器零件，师傅每小时制作20个，徒弟每小时制作15个，师傅有事外出时徒弟已制作了10个，再共同制作几小时，师徒二人制作的零件数相等？11．小明步行去学校，速度是每小时6千米，他离家半小时后，哥哥骑自行车追他，速度是小明的2倍，哥哥几小时能追上小明？12．一艘敌舰在离我海防哨所6千米处，以每分钟400米的速度逃走，我快艇立即从哨所出发，11分钟后在离敌舰500米处开炮击沉敌舰。

行程问题(一) 相遇问题(异地相向而行)三个基本数量关系:路程=相遇时间*速度和(1) 甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米，乙每小时走4千米.两人几小时后相遇?(2)甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇.两地间的水路长多少千米?(3)一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米.8小时后两车相距多少千米?(4)甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时.两车出发后多少小时相遇?(5) 甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米，两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米?(6) 东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍, 3小时后两人相距56千米.两人的速度各是多少?(7)快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲Z 两地的路程?(二)追击问题(同向异速而行相遇)同向追及问题的特点是:两个物体同时沿同一方向运动，慢者在前面，快者在后面。

他们之间的距离不断缩短，直到快者追.上慢者。

设V1< V2甲的速度为V1乙的速度为V2甲乙相距△S,甲在乙前若同时同向而行当甲乙相遇即乙刚好追上甲时用时T则:△S+ V1*T=V2*T它有三个基本的数量:追及时间、速度差以及路程差。

其基本的数量关系式是:追及时间=路程差(即相隔路程) /速度差(快行速度慢行速度) 速度差=路程差/追及时间路程差=速度差*追及时间(1)小强和小英从相距80米的两地同时同向行走,小英在前面每分钟.走50米，小强在后面每分钟走70米。

两分钟后小强和小英还相隔多少米?(2)甲、乙两艘轮船从相距60千米的码头同时出发相向而行，甲轮船每小时行驶25千米，乙轮船在后每小时行38千米，几小时后两轮船还相距21千米?(3)娟子和小平从相距140 米的两地同时同向而行，小平在前每分钟走45米,娟子在后每分钟走65米,即分钟后娟子可以追上小平?(4) - -辆汽车从甲地出发,速度是每小时50千米,在汽车开出1小时后，一辆摩托车以每小时75千米的速度从同一地点出发沿同--行驶路线去追这辆汽车，几小时可以追上?追.上时距出发地的距离是多少?(5)甲、乙两车同时、同地出发去货场运货。

行程问题中的追及问题两辆车从相距100米的地点同时出发，沿同一方向行驶，车A每小时行驶50千米，车B每小时行驶70千米。

问几小时后车B追上车A？思路导航：车B比车A快20千米/小时，每小时可以追上车A20千米。

因此，需要用车B的速度减去车A的速度，即70-50=20，然后用相距的距离除以速度差，即100/20=5，所以车B需要5小时才能追上车A。

练2甲骑自行车从A地到B地，每小时行15千米，1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。

A、B两地相距多少千米？思路导航：假设A、B两地相距x千米，甲骑车需要x/15小时到达B地，乙骑车需要(x-15)/20小时到达B地。

因为两人同时到达B地，所以x/15=(x-15)/20+1，解得x=60，所以A、B两地相距60千米。

例题3甲骑车，乙跑步，二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路方向进行晨练。

出发10分钟，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米。

求甲、乙二人的速度。

思路导航：设甲的速度为x，乙的速度为y，则有x+y=700.因为甲在出发10分钟后追上了乙，所以甲比乙多跑了10分钟，即多跑了1/6个环形公路的长度，因此有4=x(1+1/6)+y，即24x+6y=24.将这个方程组和x+y=700联立解得x=400，y=300，所以甲的速度是400米/分钟，乙的速度是300米/分钟。

练1爸爸和___同时从同一地点出发，在环形跑道上跑步，爸爸每分钟跑200米，___每分钟跑120米，如果跑道全长1200米，他们第一次相遇在起点的后面多少米？思路导航：设他们第一次相遇的时间为t分钟，则爸爸跑了200t米，___跑了120t米，因为他们在环形跑道上跑步，所以他们第一次相遇时，爸爸比___多跑了一圈，即200t=1200+120t，解得t=6，所以他们第一次相遇在起点的后面多跑了200×6-120×6=480米。

行程问题之追及问题1、追及问题的基本等量关系:追及时间=追及路程÷速度差速度差=追及路程÷追及时间追及路程=追及时间×速度差2、追及问题分类:(1)同时不同地(假设甲的速度快)甲的时间=乙的时间;原来甲乙相距路程(路程差)=甲走的路程-已走的路程(2)同地不同时(假设甲的速度快)甲的时间=乙的时间-时间差;甲的路程=乙的路程例1、小彬与小明每天早晨坚持跑步,小彬每秒跑4米,小明每秒跑6米、如果小明站在百米跑道的起点处,小彬站在她前面10米处,两人同时同向起跑,几秒后小明能追上小彬？练习:1、甲乙两人赛跑,甲的速度就是8米/秒,乙的速度就是5米/秒,如果甲从起点往后退20米,乙从起点处向前进10米,问甲经过几秒钟追上乙？2.两辆汽车相距120千米,甲车在乙车前面,甲车每小时行70千米,乙车每小时行90千米,乙车追上甲车需要几个小时？3.甲车每小时行50千米,走3小时后,乙车以每小时80千米的速度去追,几小时能追上？例2. 一辆汽车与一辆摩托车同时从甲乙两城出发,向一个方向前进,汽车在前,每小时40千米;摩托车在后,每小时75千米。

经过3小时摩托车追上了汽车。

甲乙两地相距多少千米？练习1、已知甲骑自行车追赶前面步行的乙,乙的速度就是每分钟60米,甲的速度就是每分钟150米,甲出发8分钟追上乙,甲乙最初相距多少米？例3、小兰与小松同时从学校去少年宫,小兰每分钟走60米,小松每分钟走70米,小松比小兰早到2分钟,学校到少年宫一共有多少米？练习1.甲、乙两人由A地到B地,甲每分钟走60米,乙每分钟走45米,乙比甲早走4分钟,两人同时到达B地,A、B两地相距多少米？2.小明与小华从学校到电影院去瞧电影,小明每分钟行40米,她出发3分钟后小华才以每分钟行50米的速度出发,结果在学校与电影院的中点处小华追上了小明,学校到电影院有多少米？例4、甲、乙两沿运动场的跑道跑步,甲每分钟跑290米,乙每分钟跑270米,跑道一圈长400米。

行程问题（一）相遇问题追及问题【基本公式】1、路程=速度×时间2、相遇问题：相遇路程=速度和×相遇时间3、追及问题：相差路程=速度差×追及时间行程问题（一）-----相遇问题1、甲、乙两辆车同时从相距675千米的两地对开，经过5 小时相遇。

甲车每小时行70千米，求乙车每小时行多少千米？2、快、慢两车同时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米处相遇。

已知快车每小时行70千米，问慢车每小时行多千米？3、甲、乙两车同时从相距1313千米的两地相向开出，3小时后还相距707千米，再经过几小时两车相遇？4、两城相距564千米，两列火车同时从两城相对开出，6小时相遇，已知第一列火车的速度比第二列火车的速度每小时快2千米，两列火车的速度各是多少？5、小斌骑自行车每小时行15千米，小明步行每小时行5千米。

两人同时在某地沿同一条线路到30千米外的学校去上课。

小斌到校后发现忘了带钥匙，就沿原路回家去拿，在途中与小明相遇。

问相遇时小明共行了多少千米？6、A、B两地相距380千米。

甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，原计划甲每小时行36千米，乙每小时行40千米，但开车时，甲改变了速度，也以每小时40千米的速度行驶。

这样相遇时乙车比原计划少走了多少千米？7、东、西两地相距90千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。

甲每小时行的路程是乙的2倍。

5小时后两人相遇，两人的速度各是多少？8、甲、乙两车从相距360千米的两地相向而行，甲车时速70千米，乙车时速50千米，几小时后两车相距120千米？9、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行54千米，问A、B两地相距多少千米？10、甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，问A、B两地相距多少千米？11、A大学的小李和B大学的小孙分别从自已的学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。

行程（一）相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。

同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。

（一）典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。

追及问题BA乙甲路程差（原始距离）BA相遇问题乙甲路程和（原始距离）（二） 多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律 这部分内容涉及以下几个方面：1 求相遇次数2 求相遇地点3 由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

举个例子：假设A 、B 两地相距6000米，甲从A 地出发在AB 间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B 出发，在AB 间往返运动，速度为4千米/小时。

我们可以依次求出甲、乙每次到达A 点或B 点的时间。

为了说明甲、乙在AB 间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。

GF E D C时间行程乙甲2400米6小时6小时5小时4.5小时4小时3小时1.5小时2小时1小时第六次相遇第五次相遇第四次相遇第三次相遇第二次相遇第一次相遇72分钟72分钟72分钟72分钟72分钟36分钟0BA折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。

行程问题公式如下：
1、相遇问题：路程和=速度和×相遇时间。

2、追及问题：路程差=速度差×追及时间。

3、流水行船：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速—水速。

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

4、多次相遇：线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1。

环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数。

其中甲共行路程=甲在单个全程所行路程×共行全程数。

5、环形跑道。

6、行程问题：中正反比例关系的应用。

路程一定,速度和时间成反比。

速度一定,路程和时间成正比。

时间一定,路程和速度成正比。

7、列车过桥问题：车长+桥长=速度×时间。

车长甲+车长乙=速度和×相遇时间。

车长甲+车长乙=速度差×追及时间。

列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题。

车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间。

小学奥数行程问题之追及问题奥数第七讲行程问题（一）——追及问题四年级奥数教案第七讲行程问题（一）——追及问题解决追及问题的基本关系式是：路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。

大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。

就像刚才的例子，“追及距离”为150米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米）二、新授课：【例1】甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式：追及时间=路程差÷速率差150÷（75-60）=10（分钟）答：10分钟后乙追上甲。

【小结】提醒学生闇练掌握追及问题的三个公式。

【例2】骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？【思路阐发】这道问题，是同时动身的同向而行的追及问题，请求其中某个速率，就必须先求出速率差，按照公式：速率差=路程差÷追及时间：速度差：450÷3=150（千米）自行车的速度：150+60=210（千米）答：骑自行车的人每分钟行210千米。

【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。

【例3】两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？【思路阐发】按照题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才动身，画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路程差，即54×2=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用追及时间=路程差÷速率差。

行程问题辶追及问题解题方法摘要：一、行程问题概述二、追及问题解题方法1.基本公式2.分类讨论a.直线追及b.曲线追及c.多人追及3.解题步骤4.实例分析正文：一、行程问题概述行程问题是指在一定时间内，物体之间的相对位置和速度发生变化的问题。

它主要包括直线行程问题和曲线行程问题两大类。

行程问题中的关键是理解速度、时间和距离之间的关系，以及掌握恰当的解题方法。

二、追及问题解题方法1.基本公式在追及问题中，常用的基本公式有：（1）追及时间= 追及距离/ 相对速度（2）追及距离= 追及时间× 相对速度2.分类讨论（1）直线追及当两个物体在同一直线上运动时，追及问题的解题思路如下：a.判断追及情况：若初始位置满足追及条件，则追及成功；否则，追及失败。

b.计算追及时间：根据公式计算追及时间。

c.计算追及距离：根据公式计算追及距离。

（2）曲线追及当两个物体在曲线轨道上运动时，追及问题的解题思路如下：a.分析物体运动轨迹，找出相对速度最大和最小的位置。

b.在相对速度最大和最小的位置，分别计算追及时间。

c.根据追及时间，计算追及距离。

（3）多人追及当多个物体之间发生追及时，解题方法如下：a.分析各物体之间的相对速度和位置关系。

b.确定第一个追及对象，按照直线追及或曲线追及的方法计算追及时间。

c.计算第一个追及距离，然后依次计算其他追及距离。

三、解题步骤1.分析题目，确定物体运动类型（直线或曲线）。

2.计算相对速度：分析物体间的速度关系，找出相对速度。

3.判断追及情况：根据相对速度和初始位置，判断追及可能性。

4.计算追及时间：根据公式计算追及时间。

5.计算追及距离：根据公式计算追及距离。

6.实例分析：将解题步骤应用于具体问题，进行实例分析。

通过以上方法，我们可以轻松解决行程问题中的追及问题。

在实际解题过程中，关键是掌握基本公式，灵活运用分类讨论方法，并遵循解题步骤。

行程问题之追及问题
例题二：（追及问题）小明每天早上要在7：50之前赶到距离他家1km的学校上学。

他以80m/min的速度出发，5min后，爸爸发现他忘了带数学书，于是以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。

（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
练习1、甲、乙两人练习短距离赛跑，测得甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒，那么几秒钟后甲可以追上乙？
练习2、当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米？
练习3、小王步行到县城去，每分钟行80米，5分钟后老王发现小王忘了带文件，立即骑车去追小王，2分钟后追上，求老王骑车的速度？
练习4、甲乙两匹马在相距70米的地方同时出发，出发时甲马在前，乙马在后，如果甲马每秒跑8米，乙马每秒跑14米，多少秒后乙马超过甲马50米？。

路程问题之追及问题（一）基本追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了"追及问题".实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程），如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内∶追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间.追及问题基本公式追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间路程差=速度差×追及时间1.一天在上学的萱萱发现田田在她前面150米处，于是以每分钟80米的速度向他追去，已知田田每分钟走50米，问：萱萱多长时间能追上田田呢？2.A、B两地相距200米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行（甲是往B方向行进的）.已知甲每秒钟走5米，乙每秒钟走3米，那么甲出发多长时间后可以追上乙?3.北京，天津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而行，客车在前，货车在后，已知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米，那么出发后多长时间货车追上客车?4.甲、乙两架飞机同时从同一机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米，乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？5.四年级同学从学校出发到园博园秋游，每分钟走72米。

15分钟以后，学校有急事要通知学生，派高老师骑自行车从学校出发用9分钟追上同学们，乐乐老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？6.萱萱每小时行12千米，小明每小时行15千米，他俩同时同起点同向出发，5小时后他们之间的距离是多少千米？7.乌龟在兔子前面几百米处，同时出发，同向而行，兔子每分钟跑60米，乌龟每分钟爬10米，10分钟后兔子追上了乌龟，开始时乌龟距兔子多少米?8.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆轿车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地，在甲、乙两地的中点处快车追上汽车。

基本的相遇与追及问题例题讲解：【例题1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。

3.5小时两车相遇。

甲、乙两个城市的路程是多少千米？【巩固1】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。

甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【例题2】大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？【巩固2】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？【例题3】A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？【巩固3】甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？【例题4】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．【巩固4】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？【例题5】甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？【巩固5】妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？【例题6】甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？【巩固6】甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？【例题7】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A、B两地间相距多少千米？【巩固7】(全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米；出发后5小时，两车相遇．A、B两地相距多少千米？【例题8】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？【巩固8】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？【例题9】甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？【巩固9】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．【例题10】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发3小时他们相距多少千米？千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米？【例题11】两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？【巩固11】八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？【例题12】两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【巩固12】两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？【例题13】孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？【例题14】(2008年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是l 0千米时，他们走了___________小时．【巩固14】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？【例题15】两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【巩固15】两列火车从相距40千米的两城背向而行，甲列车每小时行35千米，乙列车每小时行40千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米？。