2020年高考数学新冠病毒疫.情考点及题型预测

教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析2020年高考数学全国卷试题评析（考试中心权威解析）2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。

试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。

试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。

试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。

1发挥学科特色，“战疫”科学入题一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。

用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。

二是展现中国抗疫成果。

全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。

新高考Ⅱ卷（供海南省使用）第9题以各地有序推动复工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。

三是体现志愿精神。

如全国Ⅱ卷理科第3题（文科第4题）是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。

2突出理性思维，考查关键能力理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用。

数学科高考突出理性思维，将数学关键能力与“理性思维、数学应用、数学探究、数学文化”的学科素养统一在理性思维的主线上，在数学应用、数学探究等方面突出体现了理性思维和关键能力的考查。

2020年全国新高考II卷数学试卷试题及答案世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。

在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型 $I(t)=e^rt$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率$r$ 与 $R$、$T$ 近似满足 $R=1+rT$。

有学者基于已有数据估计出 $R=3.28$，$T=6$。

据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 $\ln2\approx0.69$ 天。

已知 $P$ 是边长为2的正六边形 $ABCDEF$ 内的一点，则 $AP\cdot AB$ 的取值范围是 $\mathrm{(B)}$ $(-6,2)$。

若定义在 $\mathbb{R}$ 的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，且 $f(2)=0$，则满足 $xf(x-1)\geq0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\mathrm{(D)}$ $[-1,0]\cup[1,3]$。

已知曲线 $C:mx+ny=1$。

mathrm{(A)}$ 若 $m>n>0$，则 $C$ 是椭圆，其焦点在$y$ 轴上；mathrm{(B)}$ 若$m=n>0$，则$C$ 是圆，其半径为$n$；mathrm{(C)}$ 若 $mn<0$，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y=\pm\frac{mx}{n}$；mathrm{(D)}$ 若 $m=0$，$n>0$，则 $C$ 是两条直线。

下图是函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的部分图像，则$\sin(\omega x+\varphi)=\mathrm{(C)}$ $\cos(2x+\frac{\pi}{2})$。

已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=1$，则$\mathrm{(B)}$ $2a-b>\frac{1}{2}$。

高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解排列组合的综合运用考点一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【举一反三】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考点二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【举一反三】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A =种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.A ．24B ．120C ．240D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考点三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【举一反三】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A AC ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．14种C ．5种D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.A ．24B ．36C ．72D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考点四 分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【举一反三】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A ．24B ．14C ．12D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ）A ．60B ．90C ．150D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法，若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C ApC C AA==.故选：B.考向五几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON∠的边OM上有四点1A、2A、3A、4A，ON上有三点1B、2B、3B，则以O、1A、2A、3A、4A、1B、2B、3B中三点为顶点的三角形的个数为（）A．30B．42C．54D．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C--=.故选：B.【举一反三】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D.2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）A ．21B ．28C ．42D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六 方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【举一反三】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个，故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A ．6种B ．9种C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C.【举一反三】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( )A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C=种，故选：A．2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（）A．312个B．1560个C．2160个D．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不同的选取方法有（ ）A ．55种B ．61种C ．64种D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种．综上所述，不同的选取方法有55种， 故选：A ．。

2021年第4期（下）中学数学研究45高考数学三类情境下的试题评析及教学建议——以2020年高考数学试题为例四川省成都市玉林中学（610041）刘太涛郑传远摘要2020年高考数学情境试题，素材新颖、背景公平、试题简洁、反映当下热点问题、导向意图明确、彰显数学的育人价值，本文将从三类情境视角，即现实情境、数学情境、科学情境评析2020年高考数学情景化试题，以期教师和学生积累解决情景化试题的经验.关键词高考数学;情境;试题;评析;建议1情境的认识情境是高考实现价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的综合考查的载体.2020年高考数学情境试题设计上遵循了真实性、公平性、一致性、简洁性的原则,取材上真实、贴近生活、富有浓厚的文化底蕴、反映当下热点问题、彰显了数学育人价值.2020年高考数学试题的命制依然是注重对学生数学学科核心素养的考查，而选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体.因此，情境是高考试题命制的核心要素，对测试学生信息提取能力，理论迁移能力,学生数学素养以及对数学教学引导等方面具有重要的应用价值.22020年高考数学情境试题评析2.1现实情境数学源于现实世界,数学是对现实世界中的数量关系和空间形式的抽象.离开现实世界，数学便失去了育人的价值,现实世界中的生产关系,社会活动等都可以为数学创造出丰富的题材，高考现实情境问题也更能让学生感受到真实，激发学生研究的兴趣，由现实世界到数学问题,本质上就是培养学生数学抽象和数学建模核心素养.例1（2020年全国新高考I卷第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC丄DG,垂足为C,tan/ODC= 5,BH//DG,EF=12cm,DE=2c m,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分面积为—•评析：本题以开展劳动实习，学生加工制作零件为情境,背景真实可信，取材贴近生活,充分彰显了立德树人的教育理念.学生加工制作零件旨在培养学生的劳动意识和劳动能力，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动、学会劳动，树立劳动光荣的思想.本题属于解三角形问题,求解过程培养了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,答案为5,2n+4cm.2同样,2020年全国II卷理科14题考查了当下宣传的垃圾分类的问题，旨在培养学生形成垃圾分类的意识，引导学生主动参与垃圾分类，共建文明城市.2.2数学情境2.2.1数学审美情境《普通高中数学课程标准＞（2017年版）指出：学会审美不仅可以陶冶情操，而且能够改善思维品质.数学以其图形的对称美,符号的简单美，理论的统一美,逻辑的和谐美，激发了学生对美的追求与向往.美育本就是让学生感受美、发现美、欣赏美，以美修身，以美促思的过程.例2（2020年全国II卷文科第3题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a i,a2,...,a i2.设1W i<j<k W12.若k-j=3且j-i=4,则称a i,a j,a k为原位大三和弦;若k—j=4且j—i=3,则称a i,a3,a k为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15评析：本题一出现,便引起了热议，音乐的要素一音高、音响、音色、节拍、乐音、等都与数学相关，特别是音的律制与数学的关系十分密切•该题以音乐为情境，引导学生更加理性的理解音乐，鉴赏音乐的美,提升有志于从事音乐事业学生的数学修养，增强理性思维能力.本题根据题意可知，原位大三和弦满足：k—j=3,j—i=4,.i=1,j=5,k=8;46中学数学研究2021年第4期(下)i=2,j=6,k=9;i=3,j=7,k=10;i=4,j=8,k= 11;i=5,j=9,k=12,原位小三和弦满足：k—j=4, j—i=3,.i=1,j=4,k=8;i=2,j=5,k=9;i= 3,j=6,k=10，i=4,j=7,k=11;i=5,j=8,k=12，故个数之和为10,故选C.该题对于有音乐经验的同学特别是学习过钢琴的同学,凭经验很容易选岀答案,进而提升了这类学生继续从事音乐事业的信心，对于没有音乐经验的同学，通过简单的分类讨论，也可以很容易选岀答案，该题也充分考查了学生数学阅读能力、信息提取能力、数学应用能力以及学生逻辑推理、数学原酸等核心素养.无独有偶,2020年全国I卷文理第3题考查的古代世界 建筑奇迹之一的埃及胡夫金字塔,形状可视为一个正四棱锥,全国II卷理科第4题考查的古代祭天的场所北京天坛的圜丘坛，这些建筑艺术体现在数学上的对称美,进一步提升了学生感受美,发现美，欣赏美的审美情趣，这也对引导教师将 美育融入数学课堂有积极意义.2.2.2数学史情境《新课标》指岀，数学承载思想和文化，是人类文明的重要组成部分.让学生了解中国古代数学成就,能够增强学生的民族自豪感与民族自信心，激发爱国情感,真正落实立德树人的根本任务.例3(2020年全国新高考I卷第4题)日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的维度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一 个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°评析：日晷的早期历史尚不清楚，最早的可靠记载是《隋书•天文志》中提到的袁充于隋开皇十四年(594)发明的短影平仪(即地平日晷).该题通过介绍日晷,对学生进行数学文化教育和爱国主义教育，进而增强民族自信心；该题考查学生将生活的实物图形通过信息提取还原成数学几何图形的思维过程,进而学生想图、画图、用图等空间想象能力解决问题，发展了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.2.2.3数学问题情境数学问题情境主要是以数学知识为载体，考查学生的“四基”、“四能”.例4(2020年全国m卷理科第16题)关于函数f(x)=sin x+^^有如下四个命题:sin x①f(x)的图像关于y轴对称.①f(x)的图像关于原点对称.①f(x)的图像关于直线x=—对称.①f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是—.评析：本题属于准多选题，以三角函数为背景，但又不同于平时练习的三角函数题型，该题以类似“双勾函数”的类型构造，情境新颖，首先明确函数定义域为{x|x=kn,k e Z},关于原点对称，这也是多数学生会忽略的，其次寻找f(x)与f(-x)之间的关系就可以很容易判断是该函数为奇函数，故命题①正确，对于命题①，划归到函数关于某条直线对称的本质上，即验证f (—+x)是否等于f(2-x)，便可明确命题①正确与否，通过验证，命题①是正确的；对于命题①,学生很容易联想到基本不等式,直接运用基本不等式认为命题①是正确的，这是很多学生容易岀现的错误，对于基本不等式使用的原则是“一正二定三相等”，当-n<x<0时,sin x<0,此时f(x)=sin x+<0<2,故正确的命题sin x只有①2①3.该题设计背景新颖，考查函数定义域、奇偶性、对称性的本质以及基本不等式的使用条件等非常到位,问题解决过程中考查了数形结合思想，划归思想，培养了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.2.3科学情境自然科学的发展依赖于数学.而数学的发展又推动自然科学的发展，数学的发展也有赖于自然科学给数学提岀的新问题和新挑战.数学已经渗透到各门学科,如物理、化学、生物学、经济学、流行病学、信息学等学科.因此,创设恰当的科学情境，有利于加强各学科之间的联系，提升学生的核心素养.2.3.1信息技术情境随着时代的发展，计算机已经普及，国家正进入信息化时代，数学为信息技术的发展提供了强有力的支持,信息技术又促进了数学的进一步发展.例5(2020年全国II卷理科第12题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2...a”...满足a-t e{0,1}(i=1,2,...),且存在正整2021年第4期(下)中学数学研究47数m ,使得a i +m = g(i = 1,2,...)成立，则称其为0 — 1 周期序列，并满足a i+m = a i (i = 1,2,...)的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0 - 1序列1 ma i a 2 , ... , a n . . ., C (k ) =a i a i+k (k = 1 ? 2, . . . m — 1)m i=i是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0 - 1的序列中, 满足 C (k ) W 1(k = 1,2, 3, 4)的序列是()5A. 11010 ...B. 11011 ...C. 10001...D. 11001...评析：该题以信息技术为情境，信息量大，对学生数学阅读能力以及信息提取能力的要求高，通过对该 题题干的分析，结合选项，很容易验证A 选项：C (2)=12-x (0+ 1 + 0 + 1+ 0)=三,故A 选项不符合题意;B 选项 5513C (1) = - x (1+0 + 0 + 1 + 1)=-,故 B 选项不符合题5512意;D 选项：C (1) = - x (1 + 0 + 0 + 0 + 1)=三,故 D 选项55不符合题意，故选C.通过该题求解过程的分析，解决问题的过程比较简单，难点依然是信息的提取与整合，问题解决过 程中重点发展了学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养，是一道很好的题目2.3.2生物情境生物实验情境，将数学与生物学联系起来，具有启发学 生思考和联系数学知识在生物中的广泛应用的作用例6 (2020年全80% J ...国I 卷理科第5题)/率・某校一个课外学习小组为研究某作物 » ———L种子的发芽率y 和温度x (单位：。

2020高考全国二卷数学试题分析解析解读2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。

2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。

试题主要呈现以下特点：一、试题稳中有变，大题结构动态调整2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。

尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。

若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。

此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。

全国Ⅱ卷的理科和文科试题，对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。

其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。

大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。

对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。

新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。

第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。

单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。

这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。

②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。

在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。

过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。

第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。

弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。

近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。

第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

新冠肺炎疫情相关的数学高考模拟题13新冠肺炎疫情发生以来，关于核酸检测假阴性率过高的话题，一直是各方关注的焦点。

有报道称，以灵光定量总边作为检测手段的新冠病毒检测的阳性率目前仅有30%-δ0%,导致奇高的假阴性率。

，现对某小区中随机抽取50名中，统计他们的设荧光定蚤RT-PCR值,已知这50名居民的竞赛荧光定量RT-PCR均在［50, 100］内，得到如下的频数分布表:(1)设荧光定量Rl=改K,值》70为确诊赭例，请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“是否为确诊病洌”与“是否有湖北接触史”有关？(2)在(1)的前提下，按“是否为确诊病例”进行分层抽样，从这30名居民中抽取5名，再从这5名居民中随机抽取2名学生，求这2名居民均为确诊病例的概率• 参考公式及数据：KGE鬻躺y,其中…+ * + d.命题者：深圳外国语汪举平【解答】（1）补充完整的2x2列联表如下:（2分）,50x（12x6-14x18）2 225 ,, k =—— - ------------- =——≈ 4.327 >3.841则F的观测值30×20×24×26 52 ,（4分）所以有95%的把握认为“是否为确诊病例”与“是否有湖北接触史”有关.（6分）30×-= 3 ,（2）抽取的5名居民中确诊病例的有50 名学生，记为abc ,20×-= 2非确诊病例的的有50 名学生，记为加,“，（8分）从这5名居民中随机抽取2名居民的基本事件有：^aC,bc,a m,an,h m,hn,c m,cn,mn .共κ,种, （10 分）这2名居民均为确诊病例基本事件有：abgbc ,共3种，（11分）P =丄所以这2名均为确诊病例的概率为1°. （12分）。

高考数学复习考点题型专题讲解专题50 概率与数列、函数及概率中的证明问题概率与数列、函数的结合题以及概率中的证明问题，是近几年高考出现的热点题型，其中，概率与数列、函数的结合题主要考查概率背景下数列及函数(导数、不等式)知识的应用，而概率证明题主要考查对概率知识的理解和灵活应用.类型一概率与数列利用概率知识建立关于概率数列{P n}的递推式(多为P n＝aP n－1＋b型)，再利用数列知识求P n.例1 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行(达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周)，并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是13，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是23，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是12.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A 航线的第n 次航班被熔断的概率为P n . (1)求P 2；(2)证明：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫P n －35为等比数列；(3)求数列{P n }的前n 项和T n ，并说明T n 的实际意义. (1)解 由题意得P 2＝13×23＋23×12＝59.(2)证明 由题意得P n ＝23P n －1＋12(1－P n －1)＝16P n －1＋12(n ≥2)，所以P n －35＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫P n －1－35，又P 1－35＝13－35＝－415≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫P n －35是以－415为首项，16为公比的等比数列.(3)解 由(2)知P n －35＝－415×⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －1，所以P n ＝－415×⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －1＋35， 从而T n ＝35n －415×1－16n 1－16＝35n －825⎝⎛⎭⎪⎫1－16n .由于P n 可以理解为第n 次航班平均被熔断的次数，所以T n 表示前n 次航班一共被熔断的次数.训练1(2022·淮安模拟)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球.不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，易知p 1＝1，p 2＝0.①试证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫p n －14为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为q n ，比较p 10与q 10的大小. (1)解 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为p ＝13×13×3×12＝16，门将在前三次扑出点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3， 易知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫16k×⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k，k ＝0，1，2，3.X 的分布列为期望E (X )＝3×16＝12.(2)①证明 第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n －1次传球之前球在甲脚下的概率为p n －1，第n －1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－p n －1， 则p n ＝p n －1·0＋(1－p n －1)·13＝－13p n －1＋13，从而p n －14＝－13⎝⎛⎭⎪⎫p n －1－14，又p 1－14＝34，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫p n －14是以34为首项，－13为公比的等比数列.②解由①可知p n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＋14， 所以p 10＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－139＋14<14，q 10＝13(1－p 10)>14，故p 10<q 10. 类型二 概率与函数导数写出关于概率的目标函数，利用函数及导数(或不等式)求解问题.例2 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立. (1)若P (X ＝3)＝P (X ＝97)，求数学期望E (X )；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数θ(0<θ<1)的取值有关.团队A 提出函数模型为p ＝ln(1＋θ)－23θ，团队B提出函数模型为p ＝12(1－e －θ).现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量X i (i ＝1，2，…，10)表示第i 组被感染的白鼠数，现将随机变量X i (i ＝1，2，…，10)的实验结果x i (i ＝1，2，…，10)绘制成频数分布图，如图所示.①试写出事件“X 1＝x 1，X 2＝x 2，…，X 10＝x 10”发生的概率表达式(用p 表示，组合数不必计算)；②在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率P (X 1＝x 1，X 2＝x 2，…，X 10＝x 10)最大，称θ是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出估计值. 参考数据：ln 32≈0.406 5.解 (1)由题知，随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，由P (X ＝3)＝P (X ＝97)， 得n ＝100，E (X )＝50.(2)①设事件A 为“X 1＝x 1，X 2＝x 2，…，X 10＝x 10”，P (A )＝[C 110p (1－p )9]3·[C 210p 2(1－p )8]3·[C 310p 3(1－p )7]2·[C 410p 4(1－p )6][C 610p 6(1－p )4]，P (A )＝(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2p 25(1－p )75.②记g (p )＝ln[(C 110)3(C 210)3(C 310)2(C 410)2]＋25ln p ＋75ln(1－p )， 则g ′(p )＝25p －751－p ＝25－100pp （1－p ），当0<p <14时，g ′(p )>0，g (p )单调递增；当14<p <1时，g ′(p )<0，g (p )单调递减. 当p ＝14时，g (p )取得最大值，即P (A )取得最大值.在团队A 提出的函数模型p ＝ln(1＋θ)－23θ中， 记函数f 1(x )＝ln(1＋x )－23x ，所以f ′1(x )＝11＋x －23＝1－2x 3（1＋x ）， 当0<x <12时，f ′1(x )>0，f 1(x )单调递增；当12<x <1时，f ′1(x )<0，f 1(x )单调递减. 所以当x ＝12时，f 1(x )取得最大值ln 32－13<14，则θ不可以估计.在团队B 提出的函数模型p ＝12(1－e －θ)中，记函数f 2(x )＝12(1－e －x)，f 2(x )单调递增，令f 2(x )＝14，解得x ＝ln 2，则θ＝ln 2是θ的最大似然估计.训练2(2022·海安模拟)我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p (0<p <1)，且各个芯片的生产互不影响.(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，p 1＝133，p 2＝134. ①求p ；②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品(注：合格品不会被误检成次品)的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检.已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率；(2)视p 为概率，记从试产的芯片中随机抽取n 个恰含m (n >m )个次品的概率为f (p )，求证：f (p )在p ＝mn时取得最大值. (1)解 ①因为两道生产工序互不影响，所以p ＝1－(1－p 1)(1－p 2)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝117.②记该款芯片自动智能检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ， 且P (A )＝96%，P (AB )＝1－p ＝1617. 则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝161796%＝5051.(2)证明 因为各个芯片的生产互不影响，所以f (p )＝C m n p m (1－p )n －m(0<p <1)， 所以f ′(p )＝C m n [mp m －1(1－p )n －m －(n －m )p m (1－p )n －m －1]＝C m n pm －1(1－p )n －m －1·(m －np ). 令f ′(p )＝0，得p ＝mn.所以当0<p <m n 时，f ′(p )>0，f (p )在⎝⎛⎭⎪⎫0，m n 上单调递增；当m n <p <1时，f ′(p )<0，f (p )在⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ，1上单调递减. 所以，当p ＝mn时，f (p )取得最大值. 类型三 概率中的证明问题关于概率等式的证明是2022年高考出现的新题型，只要理解题意，熟悉有关概率公式，再运用等式证明的一般方法即可推证.例3(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P （B |A ）P （B －|A ）与P （B |A －）P （B －|A －）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R .①证明：R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）；②利用该调查数据，给出P (A |B )，P (A |B －)的估计值，并利用①的结果给出R 的估计值.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.(1)解K2＝200×（40×90－60×10）2 50×150×100×100＝24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)①证明R＝P(B|A) P（B－|A）P（B|A－）P（B－|A－）＝P（B|A）·P（B－|A－）P（B－|A）·P（B|A－），由题意知，只需证明P（B|A）·P（B－|A－）P（B－|A）·P（B|A－）＝P（A|B）·P（A－|B－）P（A－|B）·P（A|B－）即可，上式左边＝P(AB)P(A)·P（A－B－）P（A－）P（AB－）P（A）·P（A－B）P（A－）＝P（AB）·P（A－B－）P（AB－）·P（A－B），右边＝P(AB)P(B)·P（A－B－）P（B－）P（A－B）P（B）·P（AB－）P（B－）＝P（AB）·P（A－B－）P（A－B）·P（AB－）.左边＝右边，故R＝P（A|B）P（A－|B）·P（A－|B－）P（A|B－）.②解 由调查数据可知，P (A |B )＝40100＝25，P (A |B －)＝10100＝110，且P (A －|B )＝1－P (A |B )＝35，P (A －|B －)＝1－P (A |B －)＝910， 所以R ＝2535×910110＝6.训练3(2022·重庆八中调研)已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中p i (i ＝0，1，2，…，n )满足：p i ∈[0，1]，且p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 定义由ξ生成的函数f (x )＝p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋…＋p n x n ，令g (x )＝f ′(x ). (1)若由ξ生成的函数f (x )＝14x ＋12x 2＋14x 3，求P (ξ＝2)的值；(2)求证：随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝g (1)，ξ的方差D (ξ)＝g ′(1)＋g (1)－(g (1))2；(D (ξ)＝∑ni ＝0(i －E (ξ))2·p i ). (3)现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为h (x )，求h (2)的值.(1)解 由ξ生成的函数f (x )＝14x ＋12x 2＋14x 3，∴P (ξ＝2)＝p 2＝12.(2)证明 由于E (ξ)＝0·p 0＋1·p 1＋2·p 2＋…＋n ·p n ，g (x )＝f ′(x )＝p 1＋2p 2x ＋…＋np n x n －1，所以E (ξ)＝g (1). 由ξ的方差定义可知，D (ξ)＝∑ni ＝0(i －E (ξ))2·p i ＝∑ni ＝0i 2·p i ＋∑ni ＝0E 2(ξ)·p i －2E (ξ)∑ni ＝0i ·p i ＝∑ni ＝2i (i －1)·p i ＋∑ni ＝0i ·p i ＋∑ni ＝0E 2(ξ)·p i －2E (ξ)∑ni ＝0i ·p i ＝∑ni ＝2i (i －1)·p i ＋E (ξ)－E 2(ξ) ＝∑ni ＝2i (i －1)·p i ＋g (1)－g 2(1). 由于g (x )＝p 1＋2p 2x ＋…＋np n x n －1，所以有g ′(x )＝2p 2＋3×2p 3·x ＋…＋n (n －1)p n ·x n －2，这样g ′(1)＝2p 2＋3×2p 3＋…＋n (n －1)p n ＝∑ni ＝2i (i －1)p i ， 所以有D (ξ)＝g ′(1)＋g (1)－(g (1))2.(3)解 法一 投掷一枚骰子一次，随机变量ξ生成的函数为f (x )＝16(x ＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)，投掷骰子两次对应的生成函数为：h (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（x ＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6）2，所以h (2)＝212＝441.法二 ξ的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， 则ξ的分布列为则h (x )＝136x 2＋236x 3＋336x 4＋436x 5＋536x 6＋636x 7＋536x 8＋436x 9＋336x 10＋236x 11＋136x 12，则h (2)＝436×(1＋4＋12＋32＋80＋192＋320＋512＋768＋1 024＋1 024)＝441.一、基本技能练1.全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮).在相同的条件下，每轮甲、乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；(2)若经过n 轮投球，用P i 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求P 1，P 2，P 3；②规定P 0＝0，经过计算机计算可估计得P i ＝aP i ＋1＋bP i ＋cP i －1(b ≠1)，请根据①中P 1，P 2，P 3的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{P n }的通项公式. 解 (1)X 的可能取值为－1，0，1. P (X ＝－1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＝13，P (X ＝0)＝12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝12， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝16.∴X 的分布列为(2)①由(1)知，P 1＝16，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分；二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，∴P 2＝16×16＋C 12·12×16＝736，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是一轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，一轮得－1分，∴P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫16⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝43216. ②由P i ＝aP i ＋1＋bP i ＋cP i －1(b ≠1)， 知P i ＝a 1－b P i ＋1＋c1－bP i －1， 将P 0＝0，P 1＝16，P 2＝736，P 3＝43216代入，求得a 1－b ＝67，c 1－b ＝17，∴a ＝67(1－b )，c ＝17(1－b )，∴P i ＝67P i ＋1＋17P i －1，∴P i ＋1＝76P i －16P i －1.∴P i ＋1－P i ＝16(P i －P i －1)，又P 1－P 0＝16，∴{P n －P n －1}是首项和公比都为16的等比数列.∴P n －P n －1＝16n ，∴P n ＝P 0＋(P 1－P 0)＋(P 2－P 1)＋…＋(P n －P n －1)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n 1－16＝15⎝⎛⎭⎪⎫1－16n . 2.(2022·宁波调研)近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲、乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立. (1)若参加的车主有3人，记总得分为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)若有n (n ∈N *)位车主，记总得分恰好为n 分的概率为a n ，求数列{a n }的通项公式； (3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得分为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理. 解 (1)由题意可知，随机变量X 的可能取值有3，4，5，6. P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝4)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝5)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.∴随机变量X 的分布列如下表所示：∴E (X )＝3×18＋4×38＋5×38＋6×18＝92.(2)依题意，总得分恰好为n 分时，得不到n 分的情况是先得(n －1)分，再得2分，概率为12a n －1，∴1－a n ＝12a n －1，即a n －23＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－23.又a 1＝12，a 1－23＝－16，∴a n －23＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，即a n ＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(3)因为a 99＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1298<23，a 100＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1299>23，∴a 100>a 99，∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.3.(2022·扬州模拟)新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2.252.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：(1)是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？(2)假设潜伏期X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性； ②以题目中的样本频率估计概率，设1 000个病例中恰有k (k ∈N *)个属于“长期潜伏”的概率是p (k )，当k 为何值时，p (k )取得最大值？附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3. 解 (1)依题意有χ2＝400×（60×80－220×40）2280×120×100×300≈6.35>3.841＝x 0.05，故有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关. (2)①若潜伏期X ～N (7.2，2.252)，由P (X ≥13.95)＝P (X ≥7.2＋3×2.25)＝1－0.997 32＝0.001 35，得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的. ②由于400个病例中有100个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是14，于是p (k )＝C k 1 000·⎝ ⎛⎭⎪⎫14k·⎝ ⎛⎭⎪⎫34 1 000－k，则p（k）p（k－1）＝C k1 000·⎝⎛⎭⎪⎫14k·⎝⎛⎭⎪⎫341 000－kC k－11 000·⎝⎛⎭⎪⎫14k－1·⎝⎛⎭⎪⎫341 001－k，＝C k1 0003C k－11 000＝13·（k－1）！（1 001－k）！k！（1 000－k）！＝13·⎝⎛⎭⎪⎫1 001k－1，当0<k<1 0014时，p（k）p（k－1）>1.当1 0014<k≤1 000时，p（k）p（k－1）<1.∴p(1)<p(2)<…<p(250)，p(250)>p(251)>…>p(1 000).故当k＝250时，p(k)取得最大值.二、创新拓展练4.(2022·重庆质检)在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4 335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举.重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手.奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树.尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X(单位：mm)的大小分级，其中X∈(70，90]为一级果，X∈(90，110]为特级果，一级果与特级果统称为优品.现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1 000个测量果径，得到频率分布直方图如下：(1)由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ近似为样本标准差s ，已知样本的方差的近似值为100.若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)这批采摘的脐橙按2个特级果和n (n ≥2，且n ∈N *)个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场.质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”. ①试用含n 的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p ；②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为f (p )，求函数f (p )的最大值，及取最大值时n 的值.参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <u ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)≈0.997 3. 解 (1)由频率分布直方图得，x －＝(61×0.01＋71×0.02＋81×0.045＋91×0.02＋101×0.005)×10＝80， 则X ～N (80，100)，在(70，110]内为优品，则P (μ－σ<X <μ＋3σ)＝12×0.682 7＋12×0.997 3＝0.84.(2)①p ＝1－C 22＋C 2n C 2n ＋2＝1－n 2－n ＋2n 2＋3n ＋2＝4nn 2＋3n ＋2.②f (p )＝C 35p 3(1－p )2，且p ＝4nn 2＋3n ＋2＝4n ＋3＋2n，因为n ≥2，且n ∈N *，由对勾函数性质可知：p ＝4n ＋3＋2n在[2，＋∞)上单调递减，当n ＝2时，p ＝23，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，因为f ′(p )＝10p 2(1－p )(3－5p )，且 当p ＝35时，f ′(p )＝0，当0<p <35时，f ′(p )>0，当35<p <1时，f ′(p )<0， ∴f (p )最大值在p ＝35时取得，可求得n ＝3或23，因为n ∈N *，所以n ＝3，求得f (p )max ＝216625.。

2020年山东省新高考数学试卷（新课改Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(A B = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<2．（5分）2(12ii-=+ ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒5．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%6．（5分）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天7．（5分）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是( ) A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-8．（5分）若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是( )A ．[1,1][3,)-+∞B ．[3,1][0,1]--C ．[1,0][1,)-+∞D ．[1,0][1,3]-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。

第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。

每小题12分，共60分。

题型题量分值单项选择题840多项选择题420填空题420解答题670单项选择题考点分析：2020新高考全国Ⅰ卷（全国Ⅱ卷①）1集合的基本运算2复数的基本运算3统计与概率-排列组合4日晷模型-立体几何5统计与概率-概率基本公式（积事件）6疫情模型-指数与对数函数7平面向量与平面几何8函数与导数-函数的性质多项选择题考点分析：2020新高考全国Ⅰ卷（全国Ⅱ卷②）9解析几何-双曲线的简单性质10三角函数-三角函数的图像①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同11不等式-基本不等式的应用12信息熵-对数运算及不等式的基本性质新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。

这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。

②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。

在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。

过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。

2020年时事与数学题
将时事与数学题相结合，是一种创新的教学方式，可以帮助学生更好地理解数学在现实生活中的应用。

以下是一个示例，将2020年的时事与数学题相结合：
题目：全球新冠肺炎疫情数据分析
2020年，全球新冠肺炎疫情的爆发对世界产生了深远的影响。

为了更好地了解疫情的传播情况，我们需要对相关的数据进行深入的分析。

1. 数据收集：从可靠的来源收集全球新冠肺炎确诊病例、死亡病例和治愈病例的数据。

确保数据的准确性和及时性。

2. 数据整理：将收集到的数据整理成表格或图形，以便进行进一步的分析。

可以使用条形图、折线图或散点图来表示不同国家或地区的疫情数据。

3. 数据分析：分析整理后的数据，了解全球疫情的传播趋势和变化。

可以计算不同国家或地区的感染率、死亡率等指标，以便更好地了解疫情的严重程度。

4. 数据可视化：使用适当的图表或图形来展示分析结果，帮助人们更好地理解疫情的发展趋势。

可以制作动态图表或使用数据可视化工具来展示数据的变化。

5. 报告撰写：将分析结果整理成一份简洁明了的报告，包括数据收集、整理、分析和可视化的过程。

报告应该突出重要的发现和结论，并提出相关的建议和措施。

通过这个项目，学生们可以学习如何收集、整理、分析和可视化大数据，并了解这些技术在现实问题中的应用。

他们将学会使用数学模型和统计方法来解决问题，并培养批判性思维和团队合作能力。

请注意，这个题目只是一个示例，你可以根据你所在地区的实际情况和教学需求进行调整和修改。

2020年甘肃高考数学试题特点分析（全国II卷）全国Ⅱ卷发挥学科特色，以中国抗击新冠肺炎疫情中的真实素材设计数学试题的问题情境。

理科第3题（文科第4题）以志愿者参加某超市的配货工作为背景设计，疫情防控期间大规模的网购、配货，是考生身边的真实情境，试题考查的知识和方法很基本，考生只要读懂了试题内容，运用概率的基本知识便可求得问题的答案，对考生提高获得感及稳定考试心态都有良好的作用。

试题考查考生分析问题和解决问题的基本能力，体现了对核心素养与关键能力的考查；同时，试题的情境具有时代性，对考生具有积极的教育意义。

理性思维是数学素养的核心。

2020年高考数学全国Ⅱ卷将数学关键能力与理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的学科素养统一在理性思维的主线上，突出体现了理性思维和关键能力的考查。

理科第16题以立体几何基础知识为背景，设置了四个命题，并使用简单的逻辑联结词，构造四个复合命题，要求考生判定这些复合命题的真假。

试题将立体几何的问题与逻辑命题有机结合，考生必须由题中信息，直观想象出相关图形，正确运用所学知识、定理进行判断，必须具有一定的空间想象、逻辑推理等能力才能较快地判定相关命题的真假，可以多侧面、多层次考查考生对立体几何和逻辑知识的掌握情况；进一步地，试题要求对立体几何命题、复合逻辑命题的逐个、双重判定，并且要求选择所有的真命题，不能遗漏、不能有误，较全面地考查了考生的空间想象能力、逻辑思维能力和判断推理能力，对理性思维能力的考查提出了新的、较高的要求。

阅读理解是基于思维的认识活动，直接影响着人们发现问题和解决问题的能力，它既是获取知识的一种能力，同时也是影响思维和认识的一种重要能力。

在数学阅读理解中，要充分发挥逻辑与直觉的作用，从而增强对问题的认识与思考。

2020年高考数学全国Ⅱ卷加强了对数学阅读理解能力的考查，理科第12题以周期序列的自相关性为背景，要求判断试题给出的四个周期序列是否满足题设条件。