《数值计算方法》复习试题
四、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T
)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(4
1)
1(2)1(1)1(3
)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x
2、求A 、B 使求积公式
⎰-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
⎰
=2
1
1dx
x I (保留四位小数)。
答案：2
,,1)(x x x f =是精确成立，即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为
)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=⎰-
当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4
)(x x f =时，左=52，右=31
。所以代
数精度为3。
69286.0140
97
]
3
21132/11[98]311311[9131111322
1
≈=
+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t
3、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)45)(35)(15()
4)(3)(1(4
)54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)4)(3)(1(41
)3)(1()1(22)()(33---+
----+==x x x x x x x N x P
5.5)2()2(3=≈P f
4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题
⎩⎨
⎧=+='1)0(32y y
x y )10(≤≤x
答案：解：
⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y
即 04.078.152.01++=+n n n y x y
5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解：
正规方程组为 ⎪⎩⎪
⎨
⎧=+==+41
34103101510520120a a a a a
1411,103,710210===
a a a
221411103710)(x x x p ++= x
x p 711
103)(2+=' 103
)0()0(2
='≈'p f
6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差
|)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈，
且
4
1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!
31
596274
.063891.0sin -⨯≤----≤
-
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛
性，并将根求出来，4
110||-+<-n n x x 。
答案：解：令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈∀，
对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为
)e 2(101
x x -=
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
ϕ，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ϕ
故迭代格式
)e 2(101
1n x n x -=
+
收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：
