2011-12学年上学期◆初二 9 月 19 日 班级 姓名 第二章 勾股定理

2020年初中数学八年级上册《探索勾股定理》精品版北师大版初中数学八年级上册《探索勾股定理》精品教案【学情分析】勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。

本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。

此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。

【教学目标】（一）知识与技能掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。

学生在经历用数格子与割、补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

（二）过程与方法通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

（三）情感态度与价值观通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感。

使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美和探究之趣。

【教学重点】用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

【教学难点】计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。

【教学方法】教法：选择引导探索法，采用“问题情境→建立模型→解释、应用与拓展”的模式进行教学。

学法：自主探索—合作交流的研讨式学习，乐于创新—参与竞争的积极性学习。

【课前准备】为了更好地体现本节课课堂评价的主题，课前将全班学生划分为6个小组，每个小组的同学推举一位组长和副组长，在黑板上展示出以组长名字划分的6个小组的竞技台，由班长和数学课代表一起完成本节课的记分任务。

另外，老师加以说明，本节课同学们积极参与课堂评价，我们将评选出1～2个优胜小组获得老师准备的奖品，评选出5～6位表现突出的同学获得老师赠与的礼物。

【教学过程】（一）故事引入，引发思考图1图2图3相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。

在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。

勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．一、勾股定理已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为A．5 B C或5 D二、勾股定理的证明勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，若AC b =，BC a =．请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明222a b c +=；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求()2a b +的值．三、勾股定理点的应用利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m ，高8 m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m /s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？习题1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =5，b =12，则c 的长为 A ．119 B ．13 C ．18D ．1692．如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1，2k （k >1），那么它的斜边长是 A ．2kB ．k +1C ．k 2-1D ．k 2+13．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为A ．4米B ．8米C ．9米D ．7米4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m 处折断，树顶端落在离树底部4 m 处，则树折断之前高A ．5 mB ．7 mC ．8 mD ．10 m5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________； （2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ； （2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积； （3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ； （5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：22222()AB AC BD AD +=+．13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．14．如图，一个圆桶，底面直径为16 cm ，高为18 cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）A ．50 cmB ．40 cmC ．30 cmD ．20 cm15．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A ．22B ．32C ．62D ．8216．如图，AC 是电线杆的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =60°，则AB 的长为A ．12米B ．3米C ．6米D ．317．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =__________．18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了__________m．19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm（如图）．请部：水深多少？20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。

勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。

勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。

例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。

解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。

解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。

例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。

勾股定理的历史及证明勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理：英文译法：Pythagoras' Theorem在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。

夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。

既方其外，半之一矩，环而共盘。

得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。

在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。

据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。

故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。

除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。

但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。

比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。

我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。

”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-勾股定理的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；②学会已知两边求第三边的长度；③会求最短路径。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的判定直角三角形的判定：若三角形的三边满足222a b c+=，则这个三角形是直角三角形。

2、勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边3、勾股定理的实际应用体系搭建在实际问题中，借助勾股定理求直角三角形的三边长。

4、立体图形的最短路径问题在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。

在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，而是应该将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。

考点一：解直角三角形例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12mC．13m D．18m【解析】故选D．例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）A．200m B．20mC．40m D．50m【解析】故选C．例3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5 米．【解析】在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC==2米，在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，∴CE==1.5米，∴AE=2米﹣1.5米=0.5米．答案为：0.5．例4、一个零件的形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的长．【解析】在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=42+32=25，在 Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2=25+122=169，∴CD=13（cm）．答：CD的长为13cm．考点二：勾股定理的实际应用例1、如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米．【解析】在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．则AA′=8﹣6=2m．例2、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在沿海高速路（盐城到上海段）上的行驶速度不能低于米/秒不得超过米/秒，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了3秒后，测得小汽车与车速检测仪问的距离变为100米．这辆小汽车行驶速速度符合规定吗？（①符合；②不符合）符合．【解析】由勾股定理得：BC===80（米），80÷3=米/秒，∵＜＜，∴这辆小汽车行驶速速度符合规定；故答案为：符合．例3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？【解析】（1）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，∵ED==70（km），∴EF=140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20=7（小时），答：台风影响该海港持续的时间为7小时．考点三：立体图形的最短路径问题例1、如图，一圆柱高8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cmC．10cm D．12cm【解析】底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故选C．例2、葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（）m．A．3 B．2.6C．2.8 D．2.5【解析】∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，如图所示：AC==1.3m，∴这段葛藤的长=2×1.3=2.6m．故选B．例3、如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．20cm B．30cmC．40cm D．50cm【解析】展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===30cm．故选B．例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为125cm ．【解析】展开图为：则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB==125cm．所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故答案为：125cm．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1.如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cmC．205cm D．210cm【解析】如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB===195cm．故选A．2.如图，字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．144C．13 D．194【解析】故选B．3.如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cm B．11cmC．10cm D．9cm【解析】将长方体展开，连接A、B′，则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′==10cm．故选C．4.如图，圆柱的底面半径是40，高为30π，一只蚂蚁在圆柱的侧面爬行，请问蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是（）A．50π B．50C．500πD．500【解析】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AC=×2×40π=40π，∠C=90°，BC=30π，由勾股定理得：AB==50π．故选：A．5.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为96 m2．【解析】如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，∴AC=15m，又∵AC2+BC2=152+202=252=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×15×20﹣×9×12=96（平方米）．6.你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 1.5 m长．【解析】由图可知这条木板的长为==1.5m．7.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，则BB′的长为1m （梯子AB的长为5m）．【解析】由题意可得出：AO=3m，A′O=4m，AB=5m，∴在Rt△AOB中，BO2===4（m），在Rt△A′OB′中，B′O2==3（m），∴BB′的长为：4﹣3=1（m）．故答案为：1m．8.如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm ．【解析】将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则AD=24×=12cm．又因为AC=5cm，所以AB==13cm．即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故答案为13 cm9．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【解析】（1）AO==4米；（2）OD==4米，BD=OD﹣OB=4﹣3=1米．10.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，∵AC=60m，AB=100m，且AB为斜边，根据勾股定理得：BC=80（m）；（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵80÷5=16（m/s），平均速度为：16m/s，16m/s=57.6km/h，57.6＜70，∴这辆小汽车没有超速．➢课后反击1.如图，从电线杆离地面3米高处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有（）米．A．2 B．3 C．4 D．5【解析】故选：C．2.如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米）A．2 B．4 C．5 D．6【解析】选：B．3.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在高竹子底端3尺处，则折射处高地面的高度为（）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）A．3尺B．4尺C．4.55尺D．5尺【解析】1丈=10尺，设折射处高地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10﹣x）2，解得：x=4.55．答：折射处高地面的高度为4.55尺．故选：C．4．如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）A．10 B．8C．5 D．4【解析】底面周长的一半为：2π≈6，∴高等于8，∴最短路程为：=10，故选：A．5．已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．8 B．10C．12 D．16【解析】将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB==10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．故选B．6．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．【解析】==68cm，故这个桌面合格．7．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为234m2．【解析】连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，在Rt△ABC中，AC为斜边，则AC===25（m），在Rt△ACD中，AC为斜边则AD==═24（m），四边形ABCD面积S=AB×BC+AD×CD=×20×25+×7×24=234（m2）．答：此块地的面积为234平方米．故答案为：234m2．8．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是20m/s．【解析】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：BC==40（m），故小汽车的速度为v==20m/s．故答案为：20．9．如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需420元．【解析】如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC==4米．地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．地毯的总价=40×10.5=420元．故答案为：420元．10．如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是10cm．【解析】如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，其中AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，AB==10cm．故答案为：10．11．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．直击中考1．【2016•台州】如图，一圆柱高为8cm，底面周长为30cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．15cm B．17cmC．18cm D．30cm【解析】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AC=×30=15（cm），∠C=90°，BC=8cm，由勾股定理得：AB==17（cm）．故选：B．2．【2016•云溪】如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．（1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？【解析】（1）由题意得：AB=2.5米，BE=0.7米，∵AE2=AB2﹣BE2，∴AE==2.4米；（2）由题意得：EC=2.4﹣0.4=2（米），∵DE2=CD2﹣CE2，∴DE==1.5（米），∴BD=0.8米．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的判定直角三角形的判定：若三角形的三边满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形。

勾股定理小论文范例篇一、勾股定理小论文范例在初二上学期我们学习了一种很实用并且很容易理解的定理——勾股定理。

勾股定理就是把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。

我脑海中印象最深的就是那棵毕达哥拉斯树，它是由勾股定理不断的连接从而构成的一个树状的几何图形。

两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。

它看起来非常别致、漂亮，因为勾股定理是数学史上的一颗明珠，它将会使人们再算一些问题时变得更方便。

你如果把勾股定理倒过来，它还是勾股定理逆定理，它最大的好处就在于它能够证明某些三角形是直角三角形。

这一点在我们几何问题中是有很大价值的。

我国古代的《周髀算经》就有关于勾股定理的记载：：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，而且它还记载了有关勾股定理的证明：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。

故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。

既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所生也。

”同时发现勾股定理的还有古希腊的毕达哥拉斯。

但是从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的。

由此可见古代的人们是多么的聪明、细心和善于发现！法国和比利时称勾股定理为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，所以它又叫勾股弦定理。

勾股定理流长深远，我们不能败给古人，我们一定要善于发现，将勾股定理灵活地运用在生活中，将勾股定理发扬光大！常见的.勾股数按“勾股弦”顺序：3，4，5 ；6，8，10；5，12，13 ；7，24，25；8，15，17 ；9，40，41……经过计算表明，勾、股、弦的比例为1：√3：2 。

八年级数学(上)第二章勾股定理与平方根第9课时近似数与有效数字（附答案）1．一个近似数的有效数字，是指从______________________数字起，到_________________ _____________数字止，其中所有的数字．2．(1)近似数是0．005 016，这个近似数有_________个有效数字，用科学记数法表示为_________．(2)0．87万精确到_________位，有___________个有效数字．3．一箱雪梨的质量为20．95 kg，按下列的要求分别取值：(1)精确到10 kg是__________kg，有_________个有效数字，它们是__________；(2)精确到1 kg是_________kg，有_________个有效数字，它们是_________；(3)精确到0．1 kg是_________kg，有_______个有效数字，它们是________．4．判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数．(1)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万两千人参加；( )(2)一双没洗过的手估计带有各种细菌80000万个；( )(3)张明家里养了5只鸡；( )(4)最近的一次人口普查，我国的人口总数为14亿；( )(5)小王身高为1．53米；( )(6)月球与地球相距约为38万千米．( ) 5．按括号内要求对下列各数取近似值：(1)0．0301(精确到千分位)；(2)478000(保留2个有效数字)；(3)300799(精确到千位)；(4)4．95×105(保留2个有效数字)．6．下列各数中，不能按四舍五入得到近似数39．5的数是( ) A．39．53 B．39．56001 C．39．549 D．39．50997．下列说法正确的是( ) A．近似数3和3．0的精确度一样B．近似数3和3．0的有效数字一样C．近似数3 000万和3千万的精确度一样D．近似数6．25和6．250不相等8．小亮量得某人三级跳的距离是12．954 6 m，按下列要求取这个数的近似数：(1)精确到0．1：_________；(2)精确到0．01：________；(3)精确到0．001：________．9．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数．(1)25．95万(精确到千位)=________；(2)53．49(保留整数)=__________；(3)53．396(精确到百分位)=_______；(4)12．408 5亿(精确到十万位)=________．10．判断下列各数据，哪些是准确数，哪些是近似数．(1)一本小说有200页；( )(2)小明的步长有l m；( )(3)长江三峡水库容量为390亿立方米；( )(4)上海金茂大厦有88层；( )(5)英才中学师生共有4 356人．( )11．求下列各数的近似值，并指出有效数字：(1)2．953(保留两位小数)；(2)2．953(精确到0．1)；(3)2．953(保留整数)．12．计算：(1)3保留2个有效数字)；精确到0．01)．13．用四舍五入法，按要求取近似值，并用科学记数法表示．(1)地球上七大洲的面积约为149 480 000 km2(保留2个有效数字)．(2)某人一天饮水l 900 mL (精确到l L)．(3)小明身高1．595 m(保留3个效数字)．(4)人的眼睛可以看见的红光的波长为0．000 077 cm(精确到0．000 01)．14．甲、乙两人的身高都是1．7 m，但甲却说他比乙要矮整整5 cm，你认为可能吗?如果可能，请说明理由．参考答案1．左边第一个不为0的末位2．(1)4 5．016×10－3(2)百 2 3．略4．(1)近似数(2)近似数(3)准确数(4)近似数(5)近似数(6)近似数5．(1)0．030 (2)4．8×105 (3)301 000 (4)5．0×1056．B 7．D 8．(1)13．0 m (2)12．95m (3)12．955m 9．(1)26．0万(2)53 (3)53．40 (4)12．409亿10．(1)准确数(2)近似数(3)近似数(4)准确数(5)准确数11．(1)2．95 有效数字2、9、5 (2)3．0 有效数字3、0 (3)3有效数字 3 12．(1)2．7 (2)0．77 13．(1)1．5×108 km2(2)2 L (3)1．60 m(4)0．000 08 cm 14．可能理由：甲的身高可能为1．69 m，而乙的身高可能为1．74 m，两人身高精确到0．1后均是1．7 m，但甲比乙矮5 cm。

江苏省涟水县徐集中学八年级数学上册第二章勾股定理与平方根
2.1 勾股定理教案苏科版
教学方法
中你所熟悉的图形。

、让学生谈谈对直角三角形的认识。

年希腊发行的一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成，它
是用来纪念古希腊的一个学派以及他们的贡献。

邮票上的图案是对数学上一个非
常重要定理的说明，它是初等几何中最精彩的，也是最著名和有用的定理之一。

（鼓励学生先独立完成问题，
猜想：由实验得出的多组数据猜想直角三角形三边之间的数量关系。

的直角三角形都有这个性质呢？请动手验证：在纸上任意作一个
验证结论的正确性。

此在国外人们通常称勾股定理
）求梯子上
）
）一块长约
一议：如图，正方形教学反思。

赣州一中2011—2012学年度第二学期初二数学导学案18. 1 勾股定理（第一课时）【学习目标】1.经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的简单应用；2.经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程，体会形数结合、化归的思想． 【学习重点】探索和证明勾股定理，勾股定理的简单应用． 【学习难点】勾股定理的证明． 【学习过程】 一．情境引入：美丽的勾股树 赵爽弦图（2002国际数学家大会会标） 二．自主学习、合作交流，探索新知：（课本第64-66页）1.【探究一】：观察图1，（1）你能找出图中正方形A 、B 、C 面积之间的关系吗？（2）图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？2.【探究二】：如图2，每个小方格的边长均为1， （1）计算图中正方形A 、B 、C 面积． 【讨论】如何求正方形C 的面积？（2）图中正方形A 、B 、C 面积之间有何关系？（3）图中正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三边之间有什么特殊关系？【猜想】：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 ． 3．【探究三】：如图3，如何证明上述猜想？ 【温馨提示】：用两种方法表示出大正方形的面积．4．【探究四】：如图4，如何证明上述猜想？5.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 ． 文字叙述： ．6．【探究五】：已知在Rt △ABC 中，∠C =90， （1）若5,12,a b 则c === ； （2）若10,8,c b a 则=== ； （3）若25,24,c a b ===则 ． （4）若35a :=:c ,2b =a =则 ，c = ．【勾股定理结论变形】： ． 7．【探究六】：若一个直角三角形的三边长为8，15，x ，则x = ．三．当堂检测：（另附） 四．课堂小结：（1）勾股定理及其简单应用；（2）面积法证题与数形结合思想． 五．作业：1.必做题：《书》第69页1、2、3;《课堂内外》第32页1-9题。

1、填空
在RtΔABC中,∠C=900.
①若a=6,c=10 ,则b=____.
②若a:b=3:4,c=10,则a=____,b=____.
③若a=6,b=8,则斜边c上的高h=______.
2、选择：
①若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为
（）
A.6
B.8
C.10
D.以上答案均不对
②如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）
A．1 B．3 C．4 D．5
③如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜
边AC上,折痕为AD,则BD的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
3、①如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积之和是______。

②如图4,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。

3解答题
1、如图 ,以ΔABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系?请你说明理由。

2、如图，正方形ABCD的边长为6，F是DC边上的一点，且DF∶FC=1∶2，E为BC的中点，连结
AE、AF、EF。

（1）求△AEF的周长；（2）求△AEF的面积
B
A
C
图4
A
D
7cm
C
B
图3。

第8讲 勾股定理（）一、知识要点1、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.2、勾股定理的证明：常用面积法3、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边平方和等于等三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.4、勾股定理的逆定理的证明：作两条直角边对应相等的直角三角形，再证明它与原三角形全等.5、遇有直角三角形或是有关三角形的计算时，一般需要用到勾股定理.6、常见的勾股数：①3、4、5系列；②5、12、13系列；③7、24、25系列；④8、15、17系列。

还有：①1、1、2系列；②1、3、2系列.7、利用勾股定理的面积法和数形结合的思想. 二、例题精选例1.在Rt △ABC 中，已知两边分别为3，5，试求第三边的长.例2.如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90° D 是AB 边上一点，若AD=5，BD=12，求DE 的长.例3如图所示为一株美丽的勾股树，其中所有四边形 都正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ）A. 13B. 26C. 47D. 94例4如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高 为5cm ，若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一 圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径为 cm.例5.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，BC=6+63cm ， （1）求AB ，AC 的长； （2）求△ABC 的面积.AEDC B例2例35cm例4AB C例5例6.如图，图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸， 方格纸中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的 顶点叫做格点.（1）在图1中画出等腰Rt △MON ，使N 点在格点上，且 ∠MON ＝90°.（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD ，使正方形 ABCD 的面积等于（1）中Rt △MON 的4倍，并将正方形 ABCD 分成四个以格点为顶点的的全等的直角三角形和一个 正方形，且正方形ABCD 的面积没有剩余（画出一种）.例7.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB=9，BC=12， AD=8，CD=17.求：（1）AC 的长； （2）四边形ABCD 的面积.例8.如图，等边△ABC 中，AO 是∠CAB 的平分线，点D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ，连接BE. （1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）延长BE 至点Q ，点P 为BQ 上一点，连接CP ，CQ ，使CQ=CP=5， 当BC=8时，求PQ 的长.A DBC例7 AB OCDE P Q例8OM例 6图1图2例9.如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在边AB 和对角线BD 上， EG ∥AD ，F 为GD 的中点，连接FC ，求证：EF ⊥FC （利用勾股定理 的逆定理）.例10.如图①，A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AE=CF ，过点E ，F 分别 作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，且AB=CD.（1）求证：BD 平分EF ；（2）若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动变为图②，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.例11.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m ，8m ，现在要将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形的周长.（4种情况）E GFA DB 例9 BGA E F C 例10图①B DG E A F C例10图②学生练习：1.如果直角三角形两直角边分别为b a ,,斜边为c ,那么_______=2c .即直角三角形________和等于___________的平方.2.已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则斜边长为_________.3.在直角三角形中,一条直角边长为8,斜边长为10,则另一条直角边长为_________.4.如果直角三角形的三边长是三个连续的整数,则这三边长分别为___________.5.已知等腰三角形的腰长为50,底边长为60,则底边上的高为___________.6.已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以c b a ,,为边的三角形是_________.7.在ΔABC 中,AB=17,BC=30,∠A 的角平分线AD=8,则ΔABC 是______三角形.8. ΔABC 的三边为c b a ,,,且满足条件: ,442222b a c b c a -=-试判断三角形的形状.解:因为442222b ac b c a -=-①,))(()(2222222b a b a b a c -+=-②,所以22a c =+2b ③,所以ΔABC 为直角三角形④.上述解答过程中,代码_______出现错误,正确答案应为ΔABC 是______三角形. 9、一帆船先向正西航行120千米,然后向正南航行 350千米,这时它距出发点____千米.10.正方形ABCD 中（如图1）,AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD,点O 平分AC 、BD ，OE 、FG 、HM 都垂直于AD ，EF ，GH ，MN 都垂直于AO ，若ΔAMN 的面积等于1，那么正方形ABCD 的边长等于_____________. 11、小明的爸爸买了一台29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( ) (A)小明认为,指的是荧屏的长度 (B)妈妈认为,指的是荧屏的宽度(C)爸爸认为,指的是荧屏的周长 (D)售货员认为,指的是荧屏对角线的长度 12、如图2,在ΔABC 中,∠ACB=90︒,CD ⊥AB,BC=156, AD=25,CD=60,则AB 的长为( )(A)181 (B)169 (C)85 (D)21613、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍, 则其斜边扩大到原来的( )(A)2倍 (B)3倍 (C)4倍 (D)8倍14、如图3在四边形ABCD 中,AB=4,BC=3,CD=13,DA=12,AB ⊥BC ， 那么以A 、C 、D 为顶点的三角形的形状是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）不能确定 15、一架2.5米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端0.7米, 如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将滑出( )(A)0.9米 (B)1.5米 (C)0.5米 (D)0.8米16、如图4,在一块长4米,宽3米的长方形草地ABCD 的四个顶点处, 各居住着一只蚂蚁,居住在A 处的蚂蚁准备拜访居住在B 、C 、D三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁时，它的行程最少为（ ） （A ）10米 （B ）11米 （C ）13米 （D ）14米 17.如图，AD 是△ABC 的中线，且∠ADC=45°，沿直线AD 将△ADC翻折，点C 落在点C ′处，则BCC B '= .图1AB图2C 图3B图4DBCAC ′B C18、在野外平地上，小李以每秒4米的速度向正东行走，小王以每秒3米的速度在同时同地向正南行走。