河南省洛阳市2018届高三上学期第一次统一考试(12月)数学(文)试卷(含答案)

洛阳市2017—-2018学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷（文）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R ，集合 A = {x | (x —6)(x+ 2) < 0} ,B ={x|x —1〉0}， 则A ∩C U B 等于
A. (1,6)
B. (-2,1)
C. [1,6)
D. (-2,1] 2.已知a ∈ R ，i 为虚数单位，若
i
i
a +-1为纯虚数，则a 的值为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3.已知a 是不共线的向量，
),(,R n m nb a AC b ma AB ∈+=+=，若A ，B ，C 三
点共线，
则m ，n 的关系一定成立的是 A. m=n B. m=-n
C. nm=-1
D. nm= 1
4.已知)＞b )()(()(a b x a x x f --=的图像如图所示，则函数b a x g x
+=)(的图像是
5.在明朝程大位《算法统宗》中
有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯这首歌谣中描述的这个宝塔总共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？ A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
6.在区间（0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≥-≥0002a x y y x y 的点(y x ,)所围成区域的面积大于1
的概率是 A.
81 B. 41 C. 21 D. 4
3 7.已知圆C: 2
2
2
)1(r y x =+- (r > 0)，设p :0 < r≤3，q:圆上至多有两个点到直线x -3y + 3 = 0的距离为l ，则p 是q 的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 A.求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和 B.求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和 C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和 D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和
9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c,若a,b,c 成等比数列，且a 2
= c 2
+ac-bc ，则
B
b c
sin
A.
3
3
2 B.
23 C. 2
1 D. 3
10.已知函数)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=,先将)(x f y =的图象上所有点的横坐 标缩短到原来的
3
1
倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为
A.
9
π B.
18
5π C.
3
π
D.
3
2π
11.过椭圆14
92
2=+y x 上一点H 作圆：222=+y x 的两条切线，点A ，B 为切点。

过A 、B 的直线l 与x 轴,y 轴分别交于点P ，Q 两点，则△P0Q(0为坐标原点）的面积的最小值为
A. 21
B. 32
C. 1
D. 3
4 12.已知函数k x
x x f -=|
cos |)(在(0, +∞)上有两个不同的零点βα, (α<β），则下列结论正确
的是 A. 11)4
tan(-+=
+ααπ
α B. 1
1
)4tan(+-=+ααπα C. 11)4
tan(-+=
+
ββπ
β D. 1
1
)4tan(+-=+ββπβ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空題：本大题共4小埋，毎小题5分，共20分。

13.已知 2
5
cos sin =
+αα，则 α2sin = . 14.若曲线C: 12
2
=+y x λ的离心率为2,则λ = . 15.若函数ax e x f x
++-)1ln()(为偶函数，则实数a = .
16.正方形和等腰直角三角形DC£组成如图所示的梯形，M ，N 分别是AC ，DE 的中点，将三角形DCE 沿CD 折起（点E 始终不在平而ABCD 内），则下列说法一定正确的是 . (写出所有正确说法的序号）
①MN//平面BCE ；
②在折起过程中，一定存在某个位置，使MN 丄/AC ； ③MN 丄AE ；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使DE 丄AD.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17.(本小题满分12分）
已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=4，a n+1= 3S n + 4(n ∈N). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }满足a n b n = log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜9
8. 18.(本小题满分12分）
某校高三（1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的髙；
(3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的 试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率。

19. (本小题满分12分）
如图，在四棱锥E —ABCD 中,△EAD 为等边三角形，底面 ABCD 为等腰梯形，满足AB // CD,AD = DC =
2
1
AB ，且AE 丄 BD. （1）证明：平面EBD 丄平面EAD
（2）若AEAD 的面积为3，求点C 到平面EBD 的距离. 20.(本小题满分12分）
已知抛物线E: px y 22
= (p>0)的焦点坐标为（1，0)，过点P(2,0)的直线1l 与抛物线E 交于A （x 1，y 1）,B(x 2，y 2)两点，直线2l 过点P 且与抛物线E ：交于C ，D 两点(A 、C 在x 轴的同一侧），过点P 作x 轴的垂线与线段AC 和BD 分别交于M ，N. (1)已知 a = (1，y 1)= (8，y 2），求b a ⋅的值；
(2)求证：当1l , 2l 斜率存在时，点P 始终为线段MN 的中点. 21.(本小题满分12分）
已知函数x
e m x x x
f )44()(2
++-=（其中m∈R 为自然对数的底数）. (1)讨论函数)(x f 的单调性；
(2)设曲线)(x f y =在(m ，)(m f )处的切线为l ，当m ∈ [0,1]时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答題卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分10分）选修4 一 4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧+==t m y t
x , (t 为参数，m∈R)，以原点O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
θ
2
cos 233
2-=
p (1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值. 23.(本小题满分10分）选修4 — 5:不等式选讲
已知函数)(|,|3
1
)(R a a x x f ∈-= (1)当a =2时，解不等式1)(|3
1
|≥+-x f x ；
(2)设不等式x x f x ≤+-)(|31|<1的解集为M ，若[M ⊆]2
1
,31[，求实数a 的取值范围。