十字相乘法导学案

十字相乘法
一、学习目标
（1）了解“二次三项式”的特征；
（2）理解“十字相乘”法的理论根据；
（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。

二、导学问题
1、请直接填写下列结果
（x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。

把上述式子左右对调，你有什么发现？
2、概念：由多项式乘法（x+a ）（x+b ）=X 2+（a+b ）x+ab ，反过来，就得到 。

这就是说，对于二次三项式X 2+px+q ，如果能够把常数项q 分解成q=a ×b ，且a+b=p ，那么X 2+px+q= X 2+（ + ）x+ × =（x+ ）（x+ ）
运用这个公式，我们就可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，这是二次项系数为1的“十字相乘法”:
（左边）1×1为二次项的系数； （右边） a ×b 为常数项；
（交叉）1×a+1×b 为一次项的系数；
则“横向和，两因式”，如上式可分解为 （x+a ）（x+b ）
3、（1）把x 2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项
(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数
---------- 十字交叉线
解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

（2）按（1）中的方法把下列多项式进行因式分解。

①x 2＋7x ＋6 ②x 2－5x －6
x x 12
1
× × a b 1
4.在横线上填+ ，－ 符号
(1) x 2+4x+3=(x 3)(x 1); (2) x 2－2x －3=(x 3)(x 1);
(3) y 2－9y+20=(y 4)(y 5); (4) t 2+10t －56=(t 4)(t 14)
(5) m 2+5m+4=(m 4)(m 1) (6) y 2
－2y －15=(y 3)(y 5)
归纳：
（1）常数项是正数时，它分解成两个 号因数，它们和一次项系数符号
（2）常数项是负数时，它分解成两个 号因数，其中绝对值较 的因数和一次项系数符号相同。

三、典例精讲
例1 用十字相乘法分解因式
① x 2＋7x ＋6 ② x 2－5x －6
巩固练习
① x 2－7x ＋6 ② m 2＋4m －12
③ x 4＋5x 2－6 ④ -x 2-6x+16
例2 用十字相乘法分解因式
① 2384a a -+ ② 12x 2-29x+15
巩固练习
① 2576x x +- ② 261110y y --
③ 2ax 2
+6ax+4a ④ 362132++x x
四、课堂演练
1、填空：
（1）x 2 + 4x +3 = X 2+（ + ）x+ × =（x+ ）（x+ ）
（2）y 2－7y +12 = y 2+（ + ）y+ × =（y+ ）（y+ ）
（3）m 2 +7m －18 = m 2+（ + ）m+ × =（m+ ）（m+ ）
2、若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。

、
3、把下列各式因式分解：
（1）a 2 + 7a +10 （2）2x 2+5xy+3y 2
（3）4)(3)(2-+-+b a b a （4）m 4－6m 2
＋8
五、课后作业
A 组
1、填空
①=--652a a ___ ____. ②=-+6524a a ___ ____.
③=--a a a 6523__ _____. ④=-+a a a 6535___ ____.
⑤=--6522ab b a ___ ____. ⑥=+-+-2)()(536b a b a __ _____.
2、已知))(5(42n x x m x x --=--，则m 、n 的值是（ ）
（A ）1,5==n m ；（B ）1,5=-=n m ；（C ）1,5-==n m ；（D ）1,5-=-=n m .
3、多项式222y x xy --分解因式的正确结果是（ ）
（A ） ))((2y x y x xy -+-；（B ）2)(y x -；（C ）2)(y x +-；（D ）2)(y x --.
4、将下列各式因式分解 2243n mn m -- y xy y x 25102++
111024-+x x 42243613y y x x +-
B 组
5、试一试，用十字相乘法分解
20322--x x ； 20)(3)(22-+-+y x y x ；
2222()3()20x x x x ----.
6、 阅读：由))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，令1=x ，则
)1)(1()(1b a ab ab b a ++=++++.
练习：（1）、将xy y x +++)(1因式分解；（2）、求0=++xy y x 的整数解.
7、若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。

8、已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--2
4。

说明a b b c -=-。