第23题水缸中共含多少克盐
一个鱼缸容积为60升。
在养鱼过程中，鱼缸中的水将不断地挥发，所以必须定时加入一定量的新鲜水才能保证鱼的正常生存。
假设每周有10升水挥发，新鲜水中的盐含量为0．1克／升(这些数据不一定符合实际，只是为了教学上计算的方便)。
由于水挥发时，盐分不会挥发掉，所以如果只定时注入与挥发量相同的新鲜水，水缸中的盐含量将迅速增加。
由于水缸开始所含盐分为6克，每周由于注入10升水，所以所含盐分每周将增加1克(见下表)。
这样，过了若干周后，水缸中的盐含量将相当大而使水缸中的鱼全部死亡。
为了保证鱼的正常生存，通常我们还定时从水缸中取出一定量的水，然后注入与挥发量及取出量之和相等的新鲜水，来控制水缸中盐含量的上升速度。
假设养鱼者取放水周期为1周，每次取出10升水，然后注入20升新鲜水，以保持水缸中水量平衡。
问：
(1)养鱼开始第n周后，水缸中共含多少克盐？
(2)对(1)的计算结果加以分析。
分析：我们可以先计算前几周水缸中所含盐分，寻找每周水缸中盐分的变化规律，得出所需的递推关系式，从而求解。
解：(1)刚开始时水缸中共含盐分0.1×60=6克一周后，水缸中
第二周后，水缸中所含盐分为
一般地，设n-1周后(n＞1)，水缸中所含盐分为an-1，则完成第n周取放水过程后，水缸中共有盐
即
因此，数列｛a n｝为等比差数列(此概念见第22题)，于是，其通项为
＝10＋(6.8-10)×0.8n-1
=10-3.2×0.8n－1
因此，养鱼开始第n周后，水缸中共含10-3.2×0.8n-1克盐。
(2)从通项公式an=10-3.2×0.8n-1，我们发现：
1)不论n取何值，an＜10。
因此，水缸中所含盐分总是小于10克。
2)当n越来越大时，0.8n-1的值越来越小，且逐渐接近于0。
因此，水缸中所含盐分将越来越大，且逐渐接近于10克。
回顾：在银行储蓄讨论利息与本金的基本问题时也常遇到递推关系式为
a n-a n-1q+d (n＝1，2，…) (1)
的数列｛a n｝。
当(1)式中，q=1时，(1)式写成
a n=a n-1+d (n=1，2，…) (2)
当a0表示存入银行的本金，a n表示第n年末的本利和(即本金与利息之和)，d表示本金a0存入银行一年所得的年利时，(2)式就是单利的基本公式。
当(1)式中，d=0时，(1)式写成
a n=a n-1q (n＝1，2，…) (3)
如果a0表示存入银行的本金，a n表示第n年末的本利和，再设r表示年利率(按复利计算)，q=1+r，那么第1年末的本利和为
a1=a0 q＝a0 (1＋r)
第2年末的本利和为
a2＝a1q＝a1(1+r)＝a0(1＋r)2
第n年末的本利和为
a n=a n-1q=a n-1(1＋r)＝a0(1＋r)n
于是，(3)式就是复利的基本公式。
当q≠1，d≠0时，(1)式可以成为复利年金终值的一个公式。
下面我们举个例子来加以说明。
设某户每年初都存入银行b元(此每年等额发生的本金简称年金)，r表示年利率，并按复利计算，问第n年末的本利和是多少？
设q=1＋r，d=bq，a0=0，那么第1年末的本利和为
a1=b(1＋r)=a0q+bq=a0q+d
第2年末的本利和为
a2=(a1＋b)(1＋r)=a1q+bq=a1q＋d
第3年末的本利和为
a3＝(a2＋b)(1＋r)=a2q＋d
……
第n年末的本利和为
a n=a n-1q+d
上式恰好是(1)式(即(1)式成为复利年金终值的一个公式)，因此，数列｛a n｝为等比差数列，递推关系式为(1)式的数列，可以按第22题所示的方法，直接写出其通项公式：
因此，第n年末的本利和为
如果某户每年初都存入银行1000元，年利率为10％，并按复利计算，那么第5年末的本利和为
=11000×(1.61051-1)
=6715.61(元)
注：形如
x n=ax n-1+b(其中a，b为常数)
的方程称为线性差分方程，它的解是一个数列
x0，x1，x2，…，x n，…
它满足递推关系式
x n＝ax n-1＋b，n=1，2，3，…
因此，第22题和第23题都可以看作求解线性差分方程的问题。
线性差分方程是一种最简单的差分方程。
差分方程现已成为解决许多科学技术问题不可缺少的工具。
练习23
1.在水缸养鱼问题中，如果在取水过程中改成每次取出20升水，然后注入30升新鲜水，则养鱼开始第n周后，水缸中共含多少克盐？试对计算结果加以分析。
2．假设水缸中水的盐含量超过0．25克／升时，鱼将全部死亡。
那么在每周一次的取水过程中至少取出多少升水，然后再注入适当的新鲜水，才能保持鱼的存活？
3．定期储蓄年息10%，每年初存多少则满5年后可得本利和10000元？(用复利计息)
练习23答案
1．刚开始时水缸中共含盐份 0.1×60=6克，设a0=6，n-1周后(n
盐，再注入30升水，即加入了0.1×30=3克盐，则完成第n周取放水过
程后，水缸中共有盐
因此，数列｛an｝为等比差数列，于是，其通项为
=7.5+(6.6-7.5)×0.6n-1
=7.5-0.9×0.6n-1
所以，养鱼开始第n周后，水缸中共含7.5-0.9×0.6n-1克盐。
从通项公式a n=7.5-0.9×0.6n-1知：
(1)不论n取何值，a n＜7.5，因此水缸中所含盐份总是小于7.5克。
(2)当n越来越大时，0.8n-1的值越来越小，且逐渐接近于0，因此，水缸中所含盐份将越来越大，且逐渐接近于7.5克。
2．设在每周一次的取水过程中至少取出x升水，然后再注入x+10升的新鲜水，则第n周取水过程后，水缸中所含的盐份为
即
所以，在每周一次的取水过程中至少取出5升水，然后再注入15
升的新鲜水，才能保持鱼的存活。
3．设每年初存x元，则满5年后可得本利和
因此，每年初存1489.07元，则满5年后可得本利和10000元。
