福建省罗源第一中学高三数学5月校考试题文(2021年整理)

福建省罗源第一中学2018届高三数学5月校考试题文
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罗源一中2018届高三5月校考
数学（文) 科试卷
完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

1．已知集合{N |24}A x x =∈-<<，1
{|
24}2
x B x =≤≤，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{1,2} D ．{0,1,2} 2.已知()12=++i z z （i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数的模为（ ）
A 。

23
B 。

1
2
C 。

3
D 。

210
3．已知角θ的终边经过点()3,2-,将角θ的终边顺时针旋转
4
3π
后得到角β,则=βtan ( ) A 。

5 B. 51- C. 5
1
D 。

5-
4.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
332
16π
-
B ．33416π-
C ．3348π-
D ．33
28
π-
5。

已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列1
1
{}n n a a +⋅的前6项和为( ）
A ．
215 B ．415 C.511 D ．1011
6．已知实数y x ,满足20,
270,1,x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪⎩
≥≤≥则y x 32+的最大值为（ ）
A 。

1
B 。

11 C. 13 D 。

17
7．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，恒有(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，
()e 1x f x =-，则(2017)(2018)f f -+=（ )
A ．0
B ．e
C ．e 1-
D ．1e -
8．将周期为π的函数ππ()3sin()cos()(0)66
f x x x ωωω=+++>的图象 向右平移π3
个单位后，所得的函数解析式为( ）
A ．π2sin(2)3
y x =- B ．2cos(2)3y x π
=-
C ．2sin 2y x =
D ．2π2cos(2)3
y x =-
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）
A. 43+π
B. 44+π
C. 46+π D 。

48+π
10．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法， 其内容如下:“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也,以等数约之。

” 下图是该算法的程序框图，如果输入102a =, 238b =， 则输出的a 值是（ )
A. 68 B 。

17 C 。

34 D 。

36
11．已知12,F F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在点A ，
使1230F AF ∠=,且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是( ） A.
23
B 。

3
C 。

23+ D. 23 12．设F E ,分别是正方体1111
D C B A ABCD -的棱DC 上两点，且1,2==EF AB ,给出下列四个命题： ①三棱锥EF B D 11-的体积为定值； ②异面直线11B D 与EF 所成的角为045; ③⊥11B D 平面EF B 1； ④直线11B D 与平面EF B 1所成的角为060. 其中正确的命题为（ ）
A. ①②
B. ②③ C 。

①②④ D. ①④
二. 填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分,请把答案填在答题卡的相应位置。

13。

若向量,2,2,()a b a b a b a ==-⊥ 满足,则向量a 与b
的夹角等于 ．
14．已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ,焦点坐标为()5,0±，则双曲线的方程为 15．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时,()322f x x x =-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程为______________。

16．菱形ABCD 边长为6, 60BAD ∠=，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，且22cos cos B C -=2sin 3sin sin A A B -。

（1）求角C ； （2）若6
A π
∠=
,ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长。

18．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[)50,60，[)60,70,…，[]90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）。

(1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
19.在四棱锥P ABCD -中，90ADC BCD ∠=∠=，1AD CD ==，2BC =,PAC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABCD 。

（Ⅰ）证明：PC PB ⊥;
（Ⅱ）若点E 在线段PC 上，且3PC PE =，求三棱锥A EBC -的体积.
20．已知点M 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1. (1）求点M 的轨迹C 的方程;
（2）设直线l : 240x y +-=,交轨迹C 于A 、B 两点， O 为坐标原点,
试在轨迹C 的AOB 部分上求一点P ，使得ABP ∆的面积最大，并求其最大值。

21．已知函数()2ln f x m x x =-，()2
3e 3
x g x x
-=（R m ∈，e 为自然对数的底数）。

(1）试讨论函数()f x 的极值情况;
（2）证明：当1m >且0x >时，总有()()30g x f x '+>.
选做题
22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐
标方程为)0(sin 2cos 2>=a a θθρ ，过点)2,1(--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
2222
1（t 为参
数）,l 与C 交于B A ,两点.
(1) 求C 的直角坐标方程和l 的普通方程； （2） 若PB AB PA ,,成等差数列,求a 的值.
23．选修4-5:不等式选讲
已知函数35)(+--=x x x f . (1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ;
(2）记函数)(x f 的最大值为m ,若m ab b a e e e b a -=⋅>>44,0,0，求ab 的最小值.
罗源一中2018届高三5月校考 数学（文) 科参考答案
一、
选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
题
号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
D
D B B A C D A B C C A
二、填空题：
13. 4
π
14．191622=-y x 15．740x y --= 16．84π
详解:
3．A 【解析】由三角函数的定义可得
,又
，
所以。

9．B 【解析】分析:由三视图可知该组合体为个球和半个圆柱,计算各面面积求和即可。

详解：由三视图易知，该组合体为:上面是个球,下面是半个圆柱。

表面积为：.
10。

C 【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当102,238a b == 时, ,136a b b b a <=-=， 此时102,136a b ==,则,34a b b b a <=-=；这时102,34a b ==， ,68a b a a b >=-=， 此时68,34a b ==, ,34a b a a b >=-=，这时34a b ==,输出34a =，运算程序结束。

11．C 【解析】分析:因为线段1AF 的中点在y 轴上，在12AF F ∆中, 由三角形中位线性质可得到
2AF y 轴，进而得到2AF x ⊥轴。

在直角12AF F ∆中， 1230F AF ∠=， 12||2F F c =,用边角关系推
出112|AF |=2|FF |=4c , 212|AF |=3|FF |=23c ，再由双曲线定
12|AF |-|AF |2a =，得到,a c 关系，进而可求离心率。

详解：因为线段1AF 的中点在y 轴上，又因为点O 为线段12F F 的中点，由三角形中位线性质可知2AF //y 轴，所以2AF x ⊥轴，所以21AF F =90︒∠.因为1230F AF ∠=，所以
112|AF |=2|FF |=4c ，212|AF |=3|FF |=23c 。

因为点A 在双曲线右支上，由双曲线定义可得12|AF |-|AF |2a =所以(4232,23c c a c a -=∴=，所以
()()
12323232323
c e a +=
===+--+. 12．A 【解析】 由题意得,如图所示， ①中，三棱锥的体积的为，所以体积为定值；②中，在正方体中，
，所以异面直线与所成的角就是直线
与
所成的角，
即
，所以这正确的；
③中，由②可知,直线与不垂直，所以
面
不成立,
所以是错误的；
④中,根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，
即为,所以不正确．
16【解析】
如图,点12,O O 分别为,BAD CBD ∆∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形
ABCD
边长为6, 60BAD ∠=，所以
113163,3tan60323O G OO =⨯
⨯==⨯=， 13
6233
AO =⨯=, 222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===,故答案为84π。

三、解答题(共70分)
17．解:(1)由22cos cos B C -=2sin 3sin sin A A B -， 得22sin sin C B -=2sin 3sin sin A A B -.
由正弦定理，得2223c b a ab -=-,即2223c a b ab =+-.
又由余弦定理,得222cos 2a b c C ab +-=3322ab ab ==.因为0C π<∠<，所以6
C π∠=。

（2）因为6
A C π
∠=∠=，所以ABC 为等腰三角形,且顶角23
B π
∠=。

故2
1sin 2
ABC
S
a B =
=23434a =，所以4a =。

在MBC 中，由余弦定理，得 222CM MB BC =+-2cos MB BC B ⋅=4162++⨯1
24282
⨯⨯
=.解得27CM =. 18．解：(1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.3---0.10.2-=， 故0.02x =。

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
(550.01650.03⨯+⨯750.03850.02+⨯+⨯+)950.011074⨯⨯=（分）.
由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=，故中位数在第
3组中。

设中位数为t 分,则有()700.030.1t -⨯=，所以1733t =,即所求的中位数为1
733
分.
（2)由（1）可知,50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6++=， 由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200⨯=。

（3)由（1）可知,后三组中的人数分别为15,10,5,故这三组中所抽取的人数分别为3，2,1。

记成绩在[)70,80这组的3名学生分别为a ,b ，c ，成绩在[)80,90这组的2名学生分别为d ,e ,成绩在[]90,100这组的1名学生为f ,则从中任抽取3人的所有可能结果为(),,a b c ，(),,a b d ，
(),,a b e ，(),,a b f ，(),,a c d ，(),,a c e ,(),,a c f ，(),,a d e ，(),,a d f ，(),,a e f ，(),,b c d ，(),,b c e ，(),,b c f ，(),,b d e ，(),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f 共20种.其中后
两组中没有人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种, 故后两组中至少有1人被抽到的概率为11912020
P =-
=。

19.（Ⅰ）证明:取BC ，AC 的中点分别为M ,N ，连接AM ，PN 。

∵PAC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形,
∴PN AC ⊥.
∵平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =, ∴PN ⊥平面ABCD ，而AB ABCD ⊂， ∴PN AB ⊥①
又∵90ADC BCD ∠=∠=，1AD CD ==，2BC =， ∴四边形AMCD 为正方形，且2AC AB ==， ∴90BAC ∠=,即AB AC ⊥② 由①②及PN
AC N =得：AB ⊥面PAC ，
又∵PC ⊂面PAC ，∴AB PC ⊥, 又∵PA PC ⊥,PA AB A =，
∴PC ⊥面PAB ,而PB ⊂面PAB ,∴PC PB ⊥.
（Ⅱ）过E 点作EF AC ⊥于F ，则EF ⊥面ABCD 且22
3EF PN =
=
， 29A EBC E ABC V V --==
（或由(Ⅰ)得AB ⊥面PAC ，12
39
A EBC
B EA
C AEC V V S AB --∆==⋅=） 20.【解析】（1）因为点M 到点F （1，0） 的距离比到y 轴的距离大1，
所以点M 到点F(1,0)的距离等于它到直线m ：x ＝－1的距离
由抛物线定义知道，点M 的轨迹是以F 为焦点，m 为准线的抛物线或x 轴负半轴 设轨迹C 的方程为: 22y px = ，
12
p
= ， 轨迹C 方程为： 24y x =， 或()00y x =≤ .
(2）设A （x 1，y 1),B （x 2,y 2）， P （x 0,y 0），
直线l 化成斜截式为 1
22
y x =-+，当直线l 的平行线与抛物线相切时△ABP 的面积最大，
由图知P 点在第四象限。

抛物线在x 轴下方的图象解析式: ()2y f x x ==-，所以
()f x x '=-, ()00
12f x x '=-=-，解得04x =， 04y =-,所以P 点坐标()4,4-，P 点到l 的距离84455d -+-==， A ，B 两点满足方程组24{ 122
y x y x ==-+ 化简得224160x x -+=。

x 1，x 2 为该方程的根。

所以121224,?16x x x x +== ,
()()()22
212121141244168104AB k x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯= ⎪⎣⎦⎝⎭
, 11810322225
ABP S AB d ∆∴==⨯⨯= 21．（1）解：()f x 的定义域为()0,+∞，
()21m f x x '=-=2x m x
--。

①当0m ≤时，()0f x '<,故()f x 在()0,+∞内单调递减，()f x 无极值; ②当0m >时，令()0f x '>，得02x m <<；
令()0f x '<，得2x m >.
故()f x 在2x m =处取得极大值，且极大值为()()22ln 22f m m m m =-，()f x 无极小值.
（2）当0x >时，()()30g x f x '+>⇔23e 3630x m x x
-+->⇔23e 3630x x mx -+->。

设函数()23e 3x u x x =-63mx +-,则()()3e 22x u x x m '=-+。

记()e 22x v x x m =-+， 则()e 2x v x '=-. 当x 变化时，()v x '，()v x 的变化情况如下表:
由上表可知()()ln 2v x v ≥，而()ln2ln3e 2ln 22v m =-+=22ln 22m -+=()2ln 21m -+, 由1m >，知ln 21m >-,所以()ln 20v >，所以()0v x >，即()0u x '>。

所以()u x 在()0,+∞内为单调递增函数。

所以当0x >时,()()00u x u >=.
即当1m >且0x >时，23e 3x x -630mx +->.所以当1m >且0x >时，总有()()30g x f x '+>。

22．【解析】：（1）由，两边同乘，得 化为普通方程为将消去参数，得直线的普通方程为
（2）把代入，整理得 ，，由 ,得或， ，∴，，,成等差数列，PB PA AB +=∴2 由的几何意义得21212t t t t +=-且021>t t ，即21212t t t t +=- 21212
214)(2t t t t t t +=-+∴ ，即011032=--a a ，解得37
25±=a
又，37
25+=∴a
23．【解析】（1)当时，由,得,所以；
当时,由，得,所以；
当时，由,得，无解.
综上可知,，即不等式的解集为.
(2)因为，所以函数的最大值.
因为，所以。

又，，
所以，
所以，即.
所以有。

又，所以,，即的最小值为.。