2012江苏高考数学19题-的几种解法及巧解。
19．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
2
2
2
2
1(0)x y
a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1
(0)F c -，，2
(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭
，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1
AF
与直线2
BF 平行，2
AF 与1
BF 交于点P ． （i ）若126AF BF -=，求直线1
AF 的斜率；
（ii ）求证：1
2
PF PF +是定值．
这题难度较大，全省得分率不高，不过并没有像网上说的那样，有多变态。本题体现了江苏关于解析几何命题的一贯特点，求定值。这已延续了几年。值得我们思考。
今年解析几何题一个大的变化时题位后移，难度自然有所增加。这是否代表今后高考命题的一个方向呢。还是像09年的应用题那样，
A
B P O 1
F 2
F x y （第19
只是一个特例，这也值得我们思考。
另外，高考之前，有很多人猜测今年可能考圆。结果却有些出乎意料。其实无论考圆还是椭圆，思想方法都是一样的，没必要再这方面纠结。应该抓住问题的核心，而不是投机取巧。
现在就题论题。
首先看看命题组给出参考答案。
解(1)由题设知a
c
e c b a =+=,222. 由点(1,e)在椭圆上，
得11222
2=+b
a c a 解得12=
b ，于是122-=a
c ，
又点）（23
,e 在椭圆上，所以143222=+b a e ，即143142=+-a a ，解得22=a
因此，所求椭圆的方程是12
22
=+y x .
(2)由(1)知)0,1(),0,1(21F F -,又直线1AF 与2BF 平行,所以可设直线1AF 的方程为
my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1.设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+11
2
121112my
x y x 得012)2(1212
=--+my y m ,解得2222
21+++=m m m y
故K 2
1
)1(2)()1(2
222
12
1212
11++++=
+=++=m m m m y my y x AF ① 同理, K 2
1
)1(22222++-+=
m m m m BF ②
(ⅰ)由①②得26
2
122
221=++=-m m m BF AF 解得22=m ， 因为0>m ，故2=m ，所以直线1AF 的斜率为
2
2
1=m （ⅱ）因为直线1AF 与2BF 平行,所以
1
2
1AF BF PF PB =,于是1
1
211AF AF BF PF PF PB +=+ 故12
11
1BF BF AF AF PF +=
.由点B 在椭圆上知2221=+BF BF
从而)22(22111BF BF AF AF PF -+=
.同理)22(12
12
2AF BF AF BF PF -+=
因此)22()22(12
12
221121AF BF AF BF BF BF AF AF PF PF -++-+=
+
2
121222BF AF BF AF +⋅-
=
又由①②知2
1
,2)1(2222212221++=⋅++=+m m BF AF m m BF AF
所以2
23222221=-
=+PF PF .因此21PF PF +是定值. 第一问的难度不大，得分率也很高。难点是在第问的两题。命题组给出的答案中规中矩，不过中规中矩中含有智慧。例如2问中的I ，直线方程设的就比较好，因为过定点，所以设了直线1
AF 的方
程为my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1，这样就减少了很多计算量。而且这与下一问结合的很好。
下面我展示一下我在阅卷时，一位数学功底很好的学生的解法。代表了很多完成这题考生的解法。
（1）
∵椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，(1)e ，和3e ⎛ ⎝
⎭
，都在椭圆上
∴带入椭圆的方程得：
2
222
22
21131e a b e a b ⎧+=⎪⎪⎪⎨
⎪⎝
⎭⎪+=⎪⎩
由c e a =及2
22
a b c =+解得： 22
a =，2
1
b
=，2
1
c
=
∴椭圆的方程为2
212
x y +=
（2） （i ）
设直线1
AF 的斜率为k
∵直线1
AF 与直线2
BF 平行
∴直线2
BF 的斜率也为k
