立方根-2020-2021学年七年级数学下册通关训练(人教版)(解析版)

6.2 立方根
知识梳理
一、立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3
x a =，
那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 三、立方根的性质
3
3a a -=-
3
3a a =
()
3
3
a
a =
四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，
3
0.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝.
通关训练
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ） A 38-38-B ．1
8
-
没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0 D ．8-的立方根是2±
【答案】A 【解析】
直接利用立方根的定义分别分析得出答案．解：A 382-=-，38-38-38，故此选项正确；
B 、1
8-
的立方根为：12
-，故此选项错误； C 、立方根等于本身的数是0，±1，故此选项错误； D 、-8的立方根是-2，故此选项错误； 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了立方根，正确把握相关定义是解题关键． 2．下列语句正确的是（ ）
A ．一个数的平方等于它本身，则这个数是0，1，﹣1
B ．平方根等于本身的数是1
C ．立方根等于本身的数是1
D ．算术平方根等于本身的数是0和1 【答案】D 【解析】
根据平方根、立方根及算术平方根的定义即可求解．解：A 、平方等于它本身的数是0，1，故A 错误； B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误； C 、立方根等于本身的数是0，±1，故C 错误； D 、算术平方根等于本身的数是0和1，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查平方根、立方根以及算术平方根的定义，解题的关键熟练掌握上述有关知识点．
3．若a =b =-，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>
【答案】D 【解析】
根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．解：
∵3a =-，b =，()22c ==--=，
∴c b a >>， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．
4=x ，y 的关系是（ ）
A ．x y =
B ．x y =±
C ．x y =-
D ．无法确定
【答案】C 【解析】
根据立方根的定义化简，再判断．解：=，
∴x y =-， 故选C ． 【点睛】
本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握=
．
5．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（ ）倍．
A B ．64
C ．8
D ．2
【答案】D 【解析】
设正方体棱长为a ，变化后的棱长为n a ，分别按照正方体体积公式写出关系式，然后利用变化前后的体积关系列出方程即可求解．设正方体棱长为a ，变化后的棱长为na
由题意得：变化前正方体的体积：3a ，变化后的正方体的体积：33n a
∵333
8n a a
=，解得n=2 ∴它的棱长变为原来的2倍 故选D ． 【点睛】
本题考查了正方体的体积公式，立方根的实际应用，关键是根据题意找出体积关系然后求解．
6．若a ，b 互为倒数，且c ，d 互为相反数，则1的值是（）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】
根据a 、b 互为倒数，c 、 d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．解：∵a 、b 互为倒数，c 、d
互为相反数， ∴ab ＝1，c +d ＝0，
∴1=1=-1+0+1=0．
故选：B 【点睛】
此题考查倒数、相反数的定义，以及求一个数的立方根，算术平方根等知识，正确把握相关定义是解题关键．
7．下列说法：①±3都是27的立方根；②
116的算术平方根是±1
4
；③2；±
4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A 【解析】
根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．①3是27的立方根，原来的说法错误； ②
116的算术平方根是1
4
，原来的说法错误；
③是正确的；
，4的平方根是±2，原来的说法错误； ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误． 故其中正确的有1个． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个． 8．下列语句正确的是（ ）
A ．若一个数的立方根是这个数本身，则这个数一定是零
B ．负数没有立方根
C ．一个数的立方根不是正数就是负数
D ．一个非零数的立方根必与这个数同号 【答案】D 【解析】
由题意根据立方根的性质与定义对各个选项依次进行判断即可；解：A. 一个数的立方根是这个数的本身的数有：1、0、-1，故选项A 错误；
B. 负数有一个负的立方根，故选项B 错误；
C. 0的立方根是0，故选项C 错误；
D. 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，故选项D 正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查立方根定义和性质等知识，注意掌握负数没有平方根，任何实数都有立方根．
9 ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3
【答案】C 【解析】
1.3331013.33==≈⨯=．
故答案为：C ． 【点睛】
本题考查了立方根的定义，正确变形、熟练掌握立方根的概念是关键．
10．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ）
A ．A
B > B ．A B =
C ．A B <
D ．A B ≥
【答案】D 【解析】
根据算术平方根的定义得出A 是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，解：∵A =∴A 是一个非负数，且m-3≥0， ∴m≥3，
∵B = ∵3-m≤0， 即B≤0， ∴A≥B ，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度． 11．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ） A ．4 B 2
C ．2
D 32【答案】B 【解析】
64，是有理数，8的立方根是2，是有理数，22．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1232211a a -=-，则a 的值为(
)
A ．2±
B ．0或±1
C ．0
D ．0，±1或2±
【答案】D 【解析】
根据已知推导出一个数的立方根是它本身这个条件，进而得出这样的数有0，﹣1，1三个，求解即可.32
211a a -=-，即一个数的立方根是它本身，
∴这样的数有0，﹣1，1三个，
∴211a -=，211a -=﹣，210a -=， ∴01a a ==±，或2a = 故答案为：D 【点睛】
本题考查了立方根的综合应用，根据已知条件推导出一个数的立方根是它本身这个条件是解题的关键. 二、填空题
13．4-是数a 的立方根，则a =________． 【答案】-64 【解析】
根据立方根的定义即可得出a 的值解：∵4-是数a 的立方根， ∴()3
a=4=-64- 故答案为：-64 【点睛】
本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，属于基础题
14=________． 【答案】13
- 【解析】
13==-， 故答案为：1
3
-． 【点睛】
本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键．
15．计算：6-=____．
【答案】5 【解析】
先化简绝对值、求立方根和算术平方根，再加减即可．解：6-，
=6(5)4+-+， =5，
故答案为：5． 【点睛】
本题考查了绝对值、立方根、算术平方根的运算，准确运用法则是解题关键．
16．已知a 是64的立方根，23b -是a 的平方根，则11
44
a b -的算术平方根为___________． 【答案】3或1 【解析】
根据立方根的定义得到a 值，再根据平方根的定义得到b 值，求出11
44
a b -，从而可得结果．解：∵a 是64的立方根， ∴a=4，
∵23b -是a 的平方根， ∴23b -=±2， ∴b=1
2或52
， ∴
11
44a b -=9或1， ∴1144
a b -的算术平方根为3或1， 故答案为：3或1． 【点睛】
本题考查了立方根，平方根和算术平方根，解题的关键是掌握各自的定义与求法．
17．下列等式：12，2，③＝2，，⑤＝﹣2；其中正确
的有________．只填序号） 【答案】②③④⑤ 【解析】
根据平方根的性质、立方根的性质解答.，故该项错误；
，故该项正确；
=2，故该项正确；
，；
⑤=-2，故该项正确；
故答案为：②③④⑤. 【点睛】
此题考查平方根的性质、立方根的性质，掌握各性质并运用解题是关键.
18．一个正方体的木块的体积是3343cm ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________． 【答案】73.5cm 3． 【解析】
先根据正方体的体积求出正方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积．解：∵一个正方体的木块的体积是3343cm ， ∴正方体的棱长为3343=7（cm 3），
要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm 3）， ∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm 3）． 故答案为73.5cm 3． 【点睛】
本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块． 19．实数a 在数轴上的位置如图所示，则
()
()2
3
3210a a -+-化简后为___________．
【答案】8 【解析】
先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．由数轴的定义得：48
a <<，
则20,100a a -<->， ()
()2
3
32102108a a a a --=-+-=，
故答案为：8． 【点睛】
本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 20．填空：
（13
3
0)b a a
<=_________．
（2=x y +=__________．
【答案】b
a
- 0 【解析】
（1）根据绝对值和立方根的性质进行化简；
（2）根据立方根的性质得到x y =-．解：（1）∵0a <， ∴
a a =-，
原式=b
a
=-；
（2）=
∴
3
3
=
，即x y =-，
∴0x y +=． 故答案是：b
a
-；0． 【点睛】
本题考查立方根和绝对值的性质，解题的关键是掌握立方根和绝对值的性质．
210.3984≈， 1.260≈0.5414≈ 1.166≈聪明的同学你能不用计算器得出．
（1≈______．
（2）≈______． 【答案】3.984 -0.1166 【解析】
根据题意，利用小数点运动规律得到结果即可．（1）0.3984≈，
10100.3984 3.984==≈⨯=．
（2） 1.166≈，
∴=
10 1.166100.1166=≈-÷=-．
本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解本题的关键．
22．请仔细阅读材料并完成相应的任务．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？
（1）由3101000=，31001000000=，11000593191000000<<______位数；
（2）由59319的个位数字是9______；
（3）如果划去59319后面的319得到数59，而3327=，3464=______．
【答案】（1）两 （2）9 （3）3．
【解析】
（1）根据题意可以确定为两位数；
（2）只有9的立方的个位数字才是9，据此可判断；
（3）33＜59＜34，据此可判断．解：（1）∵103=1000，1003=1 000 000，而1000＜59319＜1000000，
∴10100，
因此结果为两位数；
故答案是：两；
（2）因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9，
故答案是：9；
（3）∵33＜59＜343．
故答案为：3．
【点睛】
考查实数的意义，立方根的意义以及立方的尾数特征等知识，理解题意是关键．
三、解答题
23．解方程：
（1）2（x ﹣1）2﹣49＝1；
（2）3（2x ﹣1）3＝﹣81．
【答案】（1）x ＝4或﹣6；（2）x ＝﹣1．
（1）依据平方根的定义，即可得到x的值；
（2）依据立方根的定义，即可得到x的值．解：（1）2（x﹣1）2﹣49＝1，
∴2（x﹣1）2＝50，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x+1＝±5，
解得：x＝4或﹣6；
（2）3（2x﹣1）3＝﹣81，
∴（2x﹣1）3＝﹣27，
∴2x﹣1＝﹣3，
解得：x＝﹣1．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行计算．
24．已知（2m﹣1）2＝9，（n+1）3＝27．求出2m+n的算术平方根．
【答案】0或．
【解析】
第一个方程依据平方根的定义求解即可；第二个方程依据立方根的定义可求得n+1=3，然后再解方程即可；最后分别代入计算即可．解：（2m-1）2=9，
3，
2m-1=3或2m-1=-3，
∴m=-1或m=2，
（n+1）3=27，
n+1=3，
当m=-1，n=2时，2m+n=-2+2=0，
∴2m+n 的算术平方根是0；
当m=2，n=2时，2m+n=4+2=6，
∴2m+n 的算术平方根是6； 故2m+n 的算术平方根是0或6．
【点睛】
此题考查了立方根与平方根的定义，此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，不要丢解．
25．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2．
（1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根．
【答案】（1）a=2，b=3；（2）±
4． 【解析】
（1）首先根据4a+1的平方根是±
3，可得：4a+1=9，据此求出a 的值是多少；然后根据3a +b ﹣1的立方根为2，可得：3a +b ﹣1=8，据此求出b 的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a 与b 的值代入2a +4b ，求出它的值，然后根据平方根的定义即可得出答案．解：（1）
∵4a+1的平方根是±
3， ∴4a+1=9，
解得a=2，
∵3a +b ﹣1的立方根为2，
∴3a +b ﹣1=8，
解得：b=3；
（2）由（1）得a=2，b=3，
∴24224316a b +=⨯+⨯=．
它的平方根为：±
4． 【点睛】
本题考查了平方根，立方根，列式求出a 、b 的值是解题的关键．
26．如图，a ，b ，c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．试化简：
()3
23b a b a b b c +--+--．
【答案】-2b-c ．
【解析】
根据数轴上点的位置判断出绝对值里和根号下式子的符号，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．解：根据题意得：b ＜0，a-b ＞0，a+b ＜0，b-c ＜0，
则原式=-b+a-b-a-b+b-c
=-2b-c ．
【点睛】
此题考查了开平方，开立方绝对值化简运算，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
27．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1 1.414≈14.14≈141.4≈，……
0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2 3.873≈ 1.225≈，则≈_____≈______．
（31=10=100=，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4 2.154≈0.2154≈-，则y =______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【解析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．解：（1 1.414≈14.14≈141.4≈，……
0.1732≈ 1.732≈17.32≈，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2 3.873≈ 1.225≈，则12.25≈0.3873≈；
故答案为：12.25；0.3873；
（31=10=100=，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4） 2.154≈0.2154≈-，
0.2154≈，
0.2154≈-，
∴y=-0.01．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
28．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：3100010=100=
1000593191000000<<，10100∴<< 它的立方根是一个两位数．
第二步：59319的个位数是9，39729=．
∴
9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
<<3040<<．
由此确定59319的立方根的十位数是3，∴它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2=______．
【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）44．
【解析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；
（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即
可．解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，
∴10100<<，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：∵110592的个位数是2，38512=，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
，则45，可得4050<<，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：∵ 10=100=，1000851841000000<<，
∴00101<，
∴能确定85184的立方根是个两位数．
第二步：∵85184的个位数是4，3464=，
∴能确定85184的立方根的个位数是4．
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
<45<<，可得0540<，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
44=．
故答案为：44．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键． 29．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：10=100=，1000593191000000<<，
∴10100<<．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，39729=
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<34<<，可得3040<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2=__________．
【答案】（1）48；（2）28
【解析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位
数即可．解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，
10100∴<，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：110592的个位数是2，38512=，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
，则45，可得4050<<，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，
10100∴<，
∴能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：21952的个位数是2，38512=，
∴能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
23<，可得2030<，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
28，
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．。