电信概率复习

2012-2013学期概率论与数理统计复习重点
第一章：概率的性质（尤其两个事件的和，差公式和对立事件公式，独立和互不相容的关系），全概率公式和贝叶斯公式（大题），独立性。

第二章：离散型随机变量的分布律的性质，连续性随机变量的概率密度的性质， 分布函数的性质，随机变量的函数的分布（大题）。

第三章：给定联合概率密度求未知参数，求边缘概率密度，判断独立性，求落在某区域内的概率（大题）。

独立的正态分布的线性组合仍然服从正态分布。

第四章：期望的性质，方差的性质，协方差和相关系数的性质，独立不相关的关系，六个基本分布的期望方差，切比雪夫不等式做估计，离散型二维分布求相关系数（大题）。

第五章：中心极限定理近似计算（Laplace 中心极限定理）（大题） 第六章：三个抽样分布的构造，正态总体均值和方差的分布 第七章：点估计（尤其矩估计）（大题），单个正态总体均值的区间估计（大题），估计量的评选标准（无偏性，有效性）
第八章：区分第一类、第二类错误，单个正态总体均值的假设检验（大题）。

一、概念
B A ,互斥(互不相容)：φ=AB
相互独立：)()()(B P A P AB P =
条件概率：)
()
()|(A P AB P A B P =
X 的分布函数：}{)(x X P x F ≤=
(1)R ∈∀x ,1)(0≤≤x F . (2))(x F 为单调不减函数.
(3)0)(lim =-∞
→x F x ,1)(lim =+∞
→x F x 。

(4))(x F 为右连续函数
性质(1)0≥k p (2)
11
=∑∞
=k k
p
. X 数学期望:∑=k
k k p x EX
连续型X 的概率密度函数)(t ϕ：若⎰∞
-=
x
dt t x F )()(ϕ
性质(1)0)(≥t ϕ (2) 1)(=⎰
+∞
∞
-dt t ϕ. X 数学期望:=
EX ⎰+∞
∞
-dx x x )(ϕ.
二维连续型),(Y X 的概率密度函数),(y x ϕ：若⎰⎰∞-∞
-=
x y
dudv v u y x F ),(),(ϕ
边缘分布：
⎰+∞
∞
-=dy y x x X ),()(ϕϕ , ⎰+∞
∞
-=dx y x y Y ),()(ϕϕ
X 与Y 相互独立⇔)()(),(y x y x Y X ϕϕϕ=
X 的方差:2)(EX X E DX -=. 22)(EX EX DX -=
X 与Y 的协方差:))((),cov(EY Y EX X E Y X --=. EY EX XY E Y X ⋅-=)(),cov( X 与Y 的相关系数:DY
DX Y X XY )
,cov(=
ρ.
契比雪夫不等式：2
}|{|ε
εDX
EX X P ≤
≥- 或 2
1}|{|ε
εDX
EX X P -
≥<-.
2()n χ分布：22212n X X X +++ ,样本),,,(21n X X X 来自总体)1,0(N
()t n
, )1,0(~N X ,)(~2
n Y χ独立 12(,)F n n 分布：
12
//X n Y n , )(~12n X χ,)(~22
n Y χ独立 样本均值：∑==n
i i X n X 1
1.
样本方差：21
2
)(11X X n S n
i i --=∑=. 二、公式
B A AB A B A =-=-
若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-.
()1()P A P A =-
)()()()(AB P B P A P B A P -+= )|()()(A B P A P AB P =
全概率公式：∑=
i
i
i
A B P A P B P )|()()(.
贝叶斯公式：∑=
k
k k i i i A B P A P A B P A P B A P )
|()()
|()()|(.
)()(}{a F b F b X a P -=≤<
),(~2σμN X ,则⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<σμσμa b b X a P }{.
()[()]|()|Y X y h y h y ϕϕ'=，βα<<y .
∑∑===m
i i i m
i i i EX c X c E 1
1
)(
EY EX XY E ⋅=)(,若X 与Y 独立.
22)(EX EX DX -=
DY b DX a bY aX D 22)(+=±,若X 与Y 独立.
),cov(2)(Y X DY DX Y X D ±+=± ),cov(),cov(X Y Y X =.
),cov(),cov(Y X kl lY kX =,l k ,为常数. ),cov(),cov(),cov(Z X Y X Z Y X ±=±. EY EX XY E Y X ⋅-=)(),cov(
∑==k
k k p x f X Ef EY )()(. )(X Ef EY =⎰+∞
∞
-=
dx x x f )()(ϕ.
∑==j
i ij j i p y x f Y X Ef EZ ,),(),(. ),(Y X Ef EZ =⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-=
dxdy y x y x f ),(),(ϕ.
中心极限定理近似计算),(~p n B Y n
: {}n P a Y b ⎛⎫⎛⎫
<≤≈Φ-Φ
)1,0(~/N n
X σμ
-.
)1(~/--n t n
S X μ
.
)1(~)1(22
2
--n S n χσ.
三、常用分布:
两点分布(01;)p -:1(1)
k
k
k p p p -=-. EX p =,(1)DX p p =-
二项分布),(p n B :k
n k k
n k p p C p --=)1(. np EX =,)1(p np DX -=
泊松分布) (λP :λλ-=
e k p k
k !
. λ=EX ,λ=DX
均匀分布],[b a U :⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=. ,0,
1)(其他，b t a a b t ϕ . 2b a EX +=,12)(2a b DX -=
指数分布) (λExp : ⎩⎨⎧≤>=-.
0 ,0,
0 )(t t e t t ，λλϕ. λ/1=EX ,2/1λ=DX
正态分布),(2
σμN :2
22)(21
)(σμσ
πϕ--
=t e t . μ=EX ,2σ=DX
四、例
1、设A,B,C 为三个事件，试将下列事件用A,B,C 表示出来: (1) 三个事件都发生； ABC
(2) 三个事件都不发生；
C B A
(3) 三个事件至少有一个发生； C B A (4) A 发生，B,C 不发生； C B A
(5) A,B 都发生，C 不发生；
C AB
(6) 三个事件中至少有两个发生；
CA BC AB (7) 不多于一个事件发生；
CA BC AB
(8) 不多于两个事件发生。

ABC
2、设P(A)=1/3，P(B)=1/2， (1) A 与B 互斥，求)(A B P 解：由于φ=AB ,那么
2/1)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P
(2) 若A ⊂B,求)(A B P
解：由于B A ⊂⇒A AB =,那么
6
13121)()()()()(=-=
-=-=A P B P AB P B P A B P (3) A 与B 独立，求)(A B P
解：3
16121)()()()()()(=-=
-=-=B P A P B P AB P B P A B P
3、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15，刮风(用B 表示)的概
率为7/15，既刮风又下雨的概率为l/10，求)|(B A P 、)|(B A P 、)(B A P 。

解：已知 154)(=
A P ,157)(=
B P ,10
1)(=AB P , 那么 14
315/710/1)()()|(===
B P AB P B A P )375.0( 8
3
15/410/1)()()|(====
A P A
B P A B P 30
19101157154)()()()(=-+=
-+=AB P B P A P B A P
4、已知在l0晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率: (1) 两只都是正品；
解：设 i A ={第i 次取正品}
45
2897108)|()()(12121=⨯=
=A A P A P A A P
(2) 两只都是次品；
解：45
191102)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P
(3) 一只是正品，一只是次品；
解：)|()()|()()(1211212121A A P A P A A P A P A A A A P +=+
45
16
9810292108=
⨯+⨯=
(4) 第二次取出的是次品。

解：)|()()|()()()(12112121212A A P A P A A P A P A A A A P A P +=+=
5
14599110292108==⨯+⨯=
5、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, (1) 求取到的是次品的概率;
(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
解：记事件:1A “该产品是次品”, 事件:2A “该产品为乙厂生产的”, 事件:3A “该产品为丙厂生产的”, 事件:B “该产品是次品”. 由题设, 知
%,45)(1=A P %,35)(2=A P %,20)(3=A P %,4)|(1=A B P %,2)|(2=A B P %,5)|(3=A B P
(1) 由全概率公式得)(B P )|()(3
1
i
i i
A B P A P ∑==
%.5.3=
(2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得
)|(1B A P )()(1B P B A P =
)
()
|()(11B P A B P A P =%.4.51=
6、已知随机变量多只能取-1、0、1、2四个值，相应概率依次为c 21，c 43
，c 85，c
167，确定常数c 并计算}0|1{≠<X X P 。

解：(1) c
c c c p k k 167
85432114
+
++=
=
∑=⇒1637=c 于是
(2) 因 3725
371}0{1}0{=
-==-=≠X P X P , 37
8}1{}0,1{=-==≠<X P X X P , 所以 25
8
37/2537/8}0{}0,1{}0|1{==≠≠<=≠<X P X X P X X P
7、设随机变量X 在[0,10]上服从均匀分布，求方程012=++Xx x 有实根的概率。

解：已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=
. ,0 ,100 ,101 )(~其他t t X ϕ 方程有实根条件：042≥-=∆X ,即2≥X ，其概率为
⎰⎰+∞
-∞
-+=
≥+-≤=≥2
2
)()(}2{}2{}2{dt t dt t X P X P X P ϕϕ
54
10810110
2
===⎰dt .
8、一厂生产的电子管的寿命X (以小时计)从参数为160=μ，2σ的正态分布．若要求
8.0 } 200120 { ≥≤<X P ,允许σ最大为多少?
解：已知 ),160(~2σN X ,那么
1)40
(
2}40
160
{
}200120{ 8.0-Φ=<
-=≤<≤σ
σ
σ
X P X P
⇒ 9.0)40
(
≥Φσ⇒
29.140
≥σ
⇒ 0.3129
.140
=≤
σ 答: 允许σ最大为31.0.
9、设随机向量(X ,Y )的概率密度为： ⎩⎨
⎧<<<<=
. , 0 ,
0 , 10 , 3 ),(其它x y x x y x ϕ
试求：
(1)(X ,Y )的边缘分布密度；
解： ① ⎪⎩
⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞
+∞-.
,0 ,10 33 ),()(02其他，
x x xdy dy y x x x
X ϕϕ
② ⎪⎩
⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞
+∞-.
,0 ,10 )1(233 ),()(12
其他，
y y xdx dx y x y y Y ϕϕ (2) X 与Y 是否独立? )()(),(y x y x Y X ϕϕϕ≠， ∴X 与Y 不独立.
10、设),(Y X 的概率密度是
(34)
0,0(,)0
x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨
⎩其它
（1）确定常数c ;
(2) 求X 与Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X （3）X 与Y 是否独立?
解 （1）由
⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-=1),(dxdy y x f ，得
⎰
⎰+∞+∞
+-0
)
43(dxdy ce y x =∞+-∞+---0403)41()31(y x e e c =c 121=1，所以，12=c （2）)(x f X =⎰+∞
∞-dy y x f ),(=⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎰+∞
--00012043x x dy
e e y x =⎩⎨
⎧≤>-0
0033x x e x
)(y f Y =⎰+∞
∞-dx y x f ),(=⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎰+∞--0
0120
43y y dx
e e y
x =⎩⎨
⎧≤>-0
044y y e y
(3) (,)()()X Y x y x y ϕϕϕ=， ∴X 与Y 独立.
11、设()k
k X P X 2/1}{~==， ,3,2,1=k ，)2
sin(
X Y π
=，求Y 的概率分布.
解: 显然Y 的可能取值为1,0,1-.由已知条件知:
∑∑∞
=+∞=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=+===01
4021}14{}1{n n n n X P Y P
∑∞==-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=015
8
161112116121n n
∑∑∑∞=-∞
=∞
==-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛====11
1213
14
11141414121}2{}0{n n n n
n n X P Y P , 15
2
}0{}1{1}1{==-=-=-=Y P Y P Y P . 所以
的概率分布为:
12、设)1,0(~N X ，求随机变量函数X
e Y =的分布密度：
解：x
e x
f y ==)(,0)(=-∞=f α,+∞=+∞=)(f β,
y y h ln )(=，y
y h 1
)(=
'，所以 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>='=-.0 ,0 ,
0 ,21
|)(|)]([ )(2ln 2
y y e y
y h y h y y X Y πϕϕ
13、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=-000
2)(2
3x x e x x f x X ,
求32+=X Y 的概率密度.
解：由32+=X Y ,有32+=x y ,23
-=y x ,2
1='x
⎪
⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--30
323)(2
233y y e y y f y Y
14
求：(1) EX ；(2) DX ；(3) )3(2
X X E +。

解：(1) 30
7
30112151151061)1(51)2(=
⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯
-=EX ;
(2) 2
5307530112151151061)1(51)2(222222==⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=EX ; 900
2201
)307(3075)(222=
-=-=EX EX DX ; (3) 15
116
3023230753307)(3)()3(22=
=⨯+=+=+X E X E X X E .
15、若X 与Y 是两个互相独立的随机变量，且~(2)X P ，~(1,3)Y N ,则
2()E X Y - 的值是(C )。

（A ）14 （B ）12 （C ）6 （D ）10
16、已知随机变量X ,Y 分别服从)3,1(2
N ，)4,0(2
N ，2
1-=XY ρ， 设2
3Y
X Z +=。

求：(1) Z 的数学期望和方差；(2) X 与Z 的相关系数。

解：(1) 已知 1=EX ,9=DX ,0=EY ,16=DY ,2
1
-=XY ρ,于是
310211312131=⨯+⨯=+=EY EX EZ ,
),cov(21
3122131)23X (22Y X DY DX Y D DZ ⋅⋅++=+=
DY DX DT DX XY ρ3
1
4191++=
316921311641991=⨯⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯+⨯+⨯=. (2) ),cov(2
1
),cov(31)23X ,
cov(),cov(Y X X X Y X Z X +=+= 03316921219312131=-=⨯⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯+⨯=+=
DY DX DX XY ρ 0)
,cov(==DZ
DX Z X XZ ρ.
17、设),(Y X 的概率分布为
求XY ρ. 解: (1) ∑=⨯-+⨯==
∙i
i i p x EX 2141)1(431；(2)∑=⨯+⨯==∙j j
j p y EY 47
432411； (3) ∑=⨯-+⨯==
∙
i
i i p x EX 141)1(4312
222
(4)∑=⨯+⨯==
∙j
j
j p y EY 4134324112
222
； (5) 43211)(2
2
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=EX EX DX ；
(6) 16
3
47413)(2
2
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=EY EY DY ；
(7) ∑=⨯-+⨯-+⨯+⨯==
j
i ij
j i p y x XY E ,43
41)2(0)1(212411)(； (8) 8
1
876472143)(),cov(-=-=⨯-=
⋅-=EY EX XY E Y X ； 3116
3
438
1)
,cov(-=-
=
=
DY
DX Y X XY ρ.
18、已知离散型随机向量),(Y X 的概率分布为
求(1)XY 解 容易求得X 的概率分布为41}1{=
=X P ,21}2{==X P ,4
1}3{==X P Y 的概率分布为41}1{==Y P ,21}2{==Y P ,4
1
}3{==Y P
2413212411)(=⨯+⨯+⨯
=X E , 24
1
3212411)(=⨯+⨯+⨯=Y E E(XY) = ij j i
j
i p y x ∑∑ =61612136166146121213612⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6
23=
)(2X E 413212411222⨯+⨯+⨯==29 )(2Y E 413212411222⨯+⨯+⨯==2
9
21229)]([)()(222=-=-=X E X E X D 2
1
229)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y D
6
1
22623)()()(),cov(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X
312
1
216
1)
()(),cov(-=-=
=
Y D X D Y X XY ρ
19、EY EX XY E ⋅=)(,若X 与Y 独立.
证明：⎰⎰⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-+∞∞-+∞
∞-==
dy y x xy dx dxdy y x xy XY E Y X
)()(),()(ϕϕ
ϕ
EY EX dy y y dx x x Y X
⋅=⋅=
⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-)()(ϕϕ.
20、以下各命题是等价的：
① 0),cov(=Y X ；② 0=XY ρ；③ X 与Y 不相关； ④ EY EX XY E ⋅=)(；⑤ DY DX Y X D +=±)(. 证明:①⇔②因DY
DX Y X XY )
,cov(=
ρ；②⇔③定义；
①⇔④因EY EX XY E Y X ⋅-=)(),cov(； ①⇔⑤因),cov(2)(Y X DY DX Y X D ±+=±.
21、独立与不相关的关系: 独立⇒不相关；不相关未必独立．
证明：若X 与Y 独立,则EY EX XY E ⋅=)(，于是X 与Y 不相关．
22、若在每次试验中，A 发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，利用切比雪夫不等式估计A 发生在 400～600 次之间的概率.
解： 设X 为1000次独立试验中事件发生的次数, 则X ～B(1000, 0.5)，E(X)=500，D(X)=250.
所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 },
由切比雪夫不等式 2
)
(1}|)({|ε
εX D X E X P -≥<- 得4039
100
2501)
(1}100|500{|2
2
=-
=-
≥<-εX D X P
23、已知某城市男性身高中,平均身高为173cm, 均方差是7cm. 利用切比雪夫不等式估计
此城市男性身高数在152cm~194cm 之间的概率.
解 设某城市某男性身高为X cm ， 依题意有, ,173=μ,722=σ所求概率为
}194152{≤≤X P }173194173173152{-≤-≤-=X P }2121{≤-≤-=μX P }21|{|≤-=μX P
由切比雪夫不等式
22)21/(1}21|{|σμ-≥≤-X P 2)21/7(1-=,9/89/11=-=
即此城市男性身高数在152cm~194cm 之间的概率不小于8/9.
24、 一万人参加保费为18元的医疗保险.已知一年内一人患病的概率为006.0,保险赔偿费为2500元,求保险公司保本的概率.
解：已知10000=n ，0006.0=p ，60=np ，723.7)1(=-p np ,
一年内患病人数),(~p n B Y n ,则保本的概率为 }7225000{}1825000{≤≤≈≤≤n n Y P n Y P
⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=723.7600723.76072)1(0)1(72p np np p np np ()()9394.0119394.076.7155.1=+-=Φ+-Φ=.
25、 显像管生产正品率为8.0,为至少保证以997.0的概率生产一万台电视机，问至少生产多少只显像管？
解：已知8.0=p ，n np 8.0=，n p np 4.0)1(=-,
生产n 只显像管中正品数),(~p n B Y n .
至少保证以997.0的概率使一万台用上正品显像管，那么
⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--Φ-≈>≤n n p np np Y P n 4.0100008.0)1(100001}10000{997.0, 查表得：
75.24.010000
8.0≥-n
n ⇒68.12654≥n .
取 12655=n 即可.
《概率论与数理统计》试卷
一、判断题(每小题2分,共10分)
1、设A ，B 是两事件，则()A B B A -= 。

（ ）
2、若X 与Y 不独立，则EY EX XY E ⋅≠)(。

（ ）
3、若随机变量X 的取值个数为无限个，则X 一定是连续型随机。

（ ）
4、若),,,(21n X X X 来自总体)1,0(~N X , 则)1,0(~N X n 。

（ ）
5、接受了实际上为假的原假设所犯的错误称为第一类错误。

（ ）
二、选择题(每小题3分,共15分
)
6、设A 、B 为随机事件，则（B ）
（A ）()()()P A B P A P B ⋃≥+ （B ）()()()P A B P A P B -≥- （C ）()()()P AB P A P B ≥ （D ）()()
(),()0()
P A P A B P B P B ≥
> 7、已知1()f x 、2()f x 分别是某个随机变量的概率密度，则(,)f x y =
12()()(,)f x f x h x y +为某个二维随机变量概率密度的充分必要条件是（D ）
（A ）(,)0,h x y ≥且(,)1h x y dxdy +∞
+∞
-∞-∞=⎰
⎰
（B ）(,)0,h x y ≥且(,)0h x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
（C ）12(,)()(),h x y f x f y ≥-且(,)1h x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
（D ）12(,)()(),h x y f x f y ≥-且(,)0h x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
8、设随机变量~()(1)X t n n >，2
1
Y X =
,则（C ） （A ）2~()Y n χ （B ）2~(1)Y n χ- （C ）~(,1)Y F n （D ）~(1,)Y F n
9、设总体2~(,)X N μσ, ()12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体的容量为10的一个样本，2,X S 分别
为样本均值和方差，若0.05P k ⎫
=⎪⎭
，则k 的值是（B ） （A ）0.95(9)t - （B ）0.95(9)t （C ）0.05(10)t （D ）0.95(10)t -
10、总体均值μ的置信度为%95的置信区间为()
21,θθ
，其含义是（C ）
（A ）总体均值μ的真值以%95的概率落入区间()
21,θθ。

（B ）样本均值X 以%95的概率落入区间()
21,θθ。

（C ）区间()21,θθ
含总体均值μ的真值的概率为%95。

（D ）区间(
)
21,θθ
含样本均值X 的概率为%95。

三、填空题(每小题3分,共15分)
11、射手在三次独立射击中全不命中的概率为0.027，率为_________。

12、设X 服从参数为λ的泊松分布，且(0)(1)P X P X ===,则(1)P X >=_________。

13、设1210,,,X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2
(0,)N σ的简单随机样本，102
21110i i Y X ==∑，则1X
Y
～
_________。

14、设随机变量X 0
12~1/21/31/6⎛⎫ ⎪⎝⎭
,X 的分布函数为()F x ，则(1.5)F =___________。

15、已知随机变量Y X ,相互独立且()2,()3D X D Y ==,则(2)_____D X Y -=。

四、计算题(共60分
)
16、（6分）设随机变量X 服从(0,5)上的均匀分布，求方程
24420x Xx X +++= 有实根的概率。

17、（6分）设随机变量X 的概率密度函数为
1()0 1 x f x x
<=≥⎩。

试求：（1）系数A ；（2）1
()2
P X <。

18
、（8分）已知（Y X ,）的联合概率密度函数为 ()2, 0(,)0, x y e x y
f x y -+⎧<<=⎨⎩
其他. （1） 求关于Y X ,的边缘密度(),()X Y f x f y ；
（2） 试判断Y X ,是否独立；
（3） 求111
(),(,)224
P X P X Y >>>。

19、（
8分）设随机变量X 服从区间(0,1)上的均匀分布，求 2ln Y X =-的密度函数。

20、(8分)一批产品，每箱装20件，已知每箱不含次品的概率为80%，含一件次品的概率为20%。

在购买时，随意选一箱，从中随意逐个选出产品进行检查，如果发现次品就退回，如果检查2个还未发现次品就买下。

试求： （1）顾客买下该箱产品的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。

21、(8分)设某种商品每周的需求量X 服从区间[]10,30上的均匀分布，而经销商的进货量为区间[]10,30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获
利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从
外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望不少于9280元，试确定最少进货量。

22、(8分)设总体X 的概率密度为()2()2, (;),00, x e x f x x θθ
θθθ
--⎧>=>⎨
≤⎩，
12,,,n X X X ⋅⋅⋅为X 的一个样本，试求θ的矩估计。

23、(8分) 某厂生产的一种产品的质量指标为~(12,1)X N 。

改革加工工艺后，从新生产的产品中随机抽取了100件，测得12.5x =，设方差没有改变，问：改革工艺后该产品的质量指标是否有明显变化（0.10α=，
()1.6450.95Φ=）？
一.判断题(5210⨯=分分)
× × × √ × 二.选择题(5315⨯=分分)
B D
C B C
三.填空题(5315⨯=分分) 11、0.7 12、21e - 13、t(10) 14、5
6
. 15、11 四.计算题(共60分)
16. 解:因为1
,05
()50,
x f x 其他⎧<<⎪=⎨⎪⎩, (2分)
又当且仅当2(4)16(2)0X X ∆=-+≥即2X ≥或1X ≤-成立时，方程2
4420x Xx X +++=
有实根,因此该方程有实根的概率为
{}{}5
213
02155
p P P X X dx ∆或=≥=≥≤-==⎰。

或由几何概率也可求得3
5p =。

(4分) 17. 解：（1）
11()sin (())122f x dx Aarc x A A π
ππ
π+∞
-∞
=
===--=-⎰
⎰
1
A π
=
(3分)
（2
）11
111
2sin 1232
P X arc x π⎧⎫<==⎨⎬⎩⎭-⎰＝。

(3分) 18. 解：（1）由联合概率密度得关于Y X ,的两个边缘概率密度为
()22 0<12 0 ()(,)0 0 x y x x X e
dy x e x f x f x y dy +∞
-+-+∞
-∞
⎧⎧<>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它
； (2分)
()02 02(1) 0 ()(,)0 0 y
x y y y Y e
dx y e e y f x f x y dx -+--+∞-∞
⎧⎧>->⎪===⎨⎨
⎩
⎪⎩⎰⎰其它其它。

(2分) （2）因为(,)()()X Y f x y f x f x ≠,所以Y X ,不独立。

(1分)
(3) 21
12
1()22x P X e dx e +∞-->=
=⎰； (1分) ()211122
11
(,)2224x y x x P X Y dx e dy xe dx e +∞+∞+∞-+-->>===⎰⎰⎰。

(2分)
19. 解法1：由于X 服从(0,1)上的均匀分布，则其概率密度函数为
1 01
()0 X x f x <<⎧=⎨⎩
其它 (2分)
而2ln Y X =-在(0,1)上是单调减少函数，其反函数为2
y X e
-
＝，即
2
()y h y e -= (2分)
得[]'
()() 0()0 X Y f h y h y y f y ⎧⋅>⎪=⎨⎪⎩其它＝21 0
20 y e y -⎧>⎪⎨⎪⎩其它
. (4分)
解法2：设2ln Y X ＝－的分布函数为()Y F y ，而X 概率密度函数为
1 01()0 X x f x <<⎧=⎨⎩
其它 (2分)
则当0y ≤时，21y e -≥，()()0Y F y P Y y =≤=； (2分)
当0y >时，2
1y e
-
<，()()(2ln )(ln )2
Y y
F y P Y y P X y P X =≤=-≤=≥-
2212
2
()()11y y y y e
e
P X e
f x dx dx e --+∞--
=≥===-⎰⎰ (2分)
综上得，21 0()0 0y Y e y F y y -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩，故2'
1 0()()20 0y Y Y e y f y F y y -⎧>⎪==⎨⎪≤⎩。

(2分)
20. 解：设{}
0,1i A i i ==选中的一箱产品中有件次品，。

由已知，0()0.8,P A =1()0.2,P A =2
19
01220
(|)1,(|)0.9,C P B A P B A C === (2分)
（1）0011()()(|)()(|)0.810.20.90.98P B P A B A P A B A =+=⨯+⨯= (3分)
（2）000()(|)0.8
(|)()0.98
P A P B A P A B P B ==
(3分) 21. 解: 设进货量为k 个单位，商店获利为()Y g X = ,则k 应使9280EY ≥。

为求k 首先要写出利润
函数Y ，并计算EY 。

由题设知X 的密度函数
1
, 1030
()200, x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
， (1分)
500300(), 30200300, 30
()500100(), 10600100, 10k X k k X k X k X Y g X X k X X k X k X k
+-<≤+<≤⎧⎧===⎨⎨--≤≤-≤≤⎩⎩，(2分)
故()()()EY Eg X g x f x dx +∞-∞==⎰301011
(600100)(200300)2020
k k x k dx k x dx =-++⎰⎰
2
7.53505250k k =-++；
依题意k 应使9280EY ≥，即2
7.535052509280k k =-++≥ (3分)
即27.535040300k k -+≤，解得2
20
263
k ≤≤。

(2分) 所以利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位。

22. 解：解:2()2()()(;)222x x E X xf x dx x e dx x e dx θθθ
θ
μθ+∞
+∞
+∞
-----∞
==
=⋅=⋅⎰
⎰
⎰
2220
1
2()222
t
t
t t e dt t e dt e dt θ
θθθ+∞
+∞
+∞---=+=⋅+=
+⎰
⎰
⎰
，其中t x θ=- 。

(4分) 则12
X θ=
+,解得θ的矩估计1ˆ2X θ
=-。

(4分) 23. 解:按题意需检验假设
00:12H μμ==，1:12H μ≠。

(2分) 检验统计量为~(0,1)X U N
=
，拒绝域为0.05u u >。

(3分)
因为算得12.5,100,1,5
x n u σ====
=。

(1分)
又0.05 1.645u =，比较知0.055 1.645u u =>=，所以拒绝0H ,即认为新工艺下产品的质量指标有明显变。

(2分)。