(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b
a b
+--的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2
u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的最大值是（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．1
3．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为
（ ） A ．32-
B ．28-
C ．2
D ．3
4．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
5．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
6．已知α，β满足11
123
αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）
A ．[1,7]
B ．[5,13]-
C ．[5,7]-
D ．[1,13]
7．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．1
2a a
+≥
B ．222(1)a b a b +≥+- C
≥D ．3322a b ab +≥
8．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩
时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．3
D ．
32
9．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．
11a b
< B ．a 2＞b 2
C ．a 3＞b 3
D ．
a b b a
> 10．函数()2
1f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()()
,b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A
．B
C ．1
D ．2
11．已知集合{
}
2
4120A x x x =--≤，{
}
440B x x =->，则A
B =（ ）
A ．{}12x x <≤
B ．{}2x x ≥-
C ．{}16x x <≤
D ．{}6x x ≥-
12．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且22
11
x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．
163
B ．
13
C ．2
D ．4
二、填空题
13．0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b
+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.
14．正实数,x y 满足1x y +=，则
12
y x y
++的最小值为________． 15．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
则2z x y =-的最大值为___．
16．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且
3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.
17．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.
18．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则z x 2y =-的最大值为______．
19．在下列函数中， ①1y x x
=+
②1123212y x x x ⎛
⎫=+
+< ⎪-⎝⎭
③()2
114141
x y x x x x ⎛⎫=
++> ⎪+⎝⎭ ④2
2
221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫
⎛⎫=+
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
其中最小值为2的函数是__________.
20．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：21
3201x y x y k y -≥-⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，若z 的最大值为
11，则k 的值为______.
三、解答题
21．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.
（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值.
22．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x =
22
2
3(1)43b x ax a a b
+-+--，22||11
()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22
a b ab
+的最大值.
23．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若[1,)x ∈+∞时，2
()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.
24．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.
25．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．
（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 26．已知关于x 的一元二次不等式()2
2600kx x k k -+<≠.
（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 化简得出441
511a b a b b a +=+---，将代数式14a b
+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得
411a b a b +--的最小值. 【详解】
已知正数a 、b 满足1a b +=，则
()414141511b a b
a a
b b a b a
--+=+=+---()4144524a b a b a b b a b a b a ⎛⎫
=++-=+≥⋅= ⎪⎝⎭
，
当且仅当2b a =时，等号成立，
因此，
411a b
a b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．B
解析：B 【分析】 化简2
2211()44u mn v
m n mn
=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，正数m ，n ，2
m n
u +=
，222v m n mn =++， 则2
222222222(
)12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn
+++===+⨯
++++++ 2111111111444444213
()11m
n
m m m n n n n m
=
+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2
u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的最大值是为13.
故选：B . 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．D
解析：D 【分析】
作出x ，y 满足约束条件20
030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形
结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z＝3x-4y得
3
44
z y
x
=-，它表示斜率为
3
4
纵截距为
4
z
-的一系列直线，
当直线经过点A时，直线的纵截距
4
z
-最小，z最大.
由
3
x y m
x
+-=
⎧
⎨
=
⎩
，解得A(3，m－3)，
故()
max
33439
z m
=⨯--=，解得3
m=.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量,x y；
（2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)
z f x y
=；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系()(
y f x z
=为参数).
4．C
解析：C
【分析】
画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2
y x z
=-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2
y x z
=-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2
y x z
=-+过点A时截距最大，因此，解出A点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.
【详解】
画出满足约束条件
20
20
35
x y
x y
x y
-≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+≤
⎩
的目标区域，如图所示:
由2z x y =+,得2y x z =-+，
要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，
联立20
350x y x y -=⎧⎨
+-=⎩
,解得(1,2)A ， 所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C. 【点睛】
方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．A
解析：A 【分析】
根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122z
y x =-，通过平移直线法可求出2
z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】
作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将目标函数2z x y =-变形为122z
y x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2
z -最大，
所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
6．A
解析：A 【解析】
分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决． 详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β） =（λ+v ）α+（λ+2v ）β． 比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨
+=⎩
，
从而解出λ=﹣1，v=2．
分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6， 两式相加，得1≤α+3β≤7． 故α+3β的取值范围是[1，7]． 故选A
点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．
7．D
解析：D
【解析】
分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：3
3
2
2
2
2()()a b ab a b a ab b +-=-+-， 当
51
b a b -<<有3322a b ab <+， 故D 项错误，其余恒成立：111
222,a a a a a a
+
≥⋅=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-
当a b ≥时2220a b a b ab a b a b b a b a b ---+≥---+=⇒-≥-，
当a b <时
0a b a b ->>-，选D ．
点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.
8．B
解析：B 【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点
(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，
本题选择B 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
9．C
解析：C 【解析】
根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，1
1
a b
>
，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a b
b a
=
，故D 错误；故选C.
10．D
解析：D 【分析】
先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】
11()2()2f x x b k f b b x b ''=
+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】
利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
11．C
解析：C 【分析】
根据不等式的解法，求得集合{}
26A x x =-≤≤，{}
1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
412026A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}4401B x x x x =->=>，
根据集合交集的概念与运算，可得{}
16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.
12．B
解析：B 【分析】
根据题意2211x y y x +++＝
22
(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4
411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211
x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】
根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，
则2211x y y x +++＝22
(1)(1)11
--+++y x y x ＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41
x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5， 又由4411+++y x ＝13(441
1+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13 [8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12
时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13
， 即2211x y y x +++的最小值为13
， 所以3m ≤，则m 的最大值为
13
； 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题． 二、填空题
13．【分析】由可得然后利用基本不等式可求出而不等式恒成立等价于小于等于最小值从而可求出的范围【详解】解：因为所以当且仅当即时取等号因为不等式恒成立所以小于等于最小值所以故答案为：【点睛】易错点睛：利用基
解析：32m ≤ 【分析】
由21a b +=可得
1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭322a b b b a b +=+++，然后利用基
本不等式可求出
11322b a b +≥+1102m b a b +-≥+恒成立，等价于m 小于等于112b a b
++最小值，从而可求出m 的范围 【详解】
解：因为21a b +=， 所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭
1122a b b b a b
+=++++ 322a b b b a b
+=+++
333
222
≥+=+=+
当且仅当2a b b b a b
+=+，即1)a b =时，取等号， 因为不等式1102m b a b
+-≥+恒成立， 所以m 小于等于
112b a b ++最小值，
所以32
m ≤，
故答案为：32m ≤
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7
【分析】 根据题中条件，由1222()2212y x y x y y x x y x y x y
++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为正实数x ，y 满足1x y +=，
所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=，
当且仅当y x x y =
，即
1
2
1
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
时，等号成立.
故答案为：7.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z最大由得A（10）代入目标函数z=
解析：1
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【详解】
由z=x-2y得
11
22
y x z
=-，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线
11
22
y x z
=-，，
11
22
y x z
=-，的截距最小，
此时z最大，
由
22
22
x y
x y
-
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，得A（1，0）．
代入目标函数z=x-2y，
得z=1-2×0=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
16．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得
解析：12
【分析】
利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2
A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值．
【详解】
解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得
3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，
又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，
∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+，
∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅
∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，
∴ ,0,2A C π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2
A C =， ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan C A C C A C C C A C C C
-==++++-， 又∵ tan 0C >，
∴
2tan tan 3C C ≥=+
当且仅当23tan tan C C ==
，即tan C =等号成立， ∴ (
)tan tan tan tan tan tan 1tan =
21123A C A C C C A C -≤++-=.
故答案为：
6 12
【点睛】
本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan0
C .
17．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y过点A（20）时z取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条
解析：【解析】
作可行域，如图，则直线z=x+2y过点A（2，0）时z取最小值2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
18．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内
解析：-2
【详解】
根据题意得到如图可行域
是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13
,
22
)（0，2）
目标函数2z x y =-，1,22
z y x =
-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2. 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a ++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可
行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 19．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数 解析：①③
【分析】
结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于①，函数1y x x =+
是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数， 当()0,x ∈+∞时，112x x x x
+≥⋅=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x =+
的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=+
+=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12
x <，所以120x ->，
则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，
所以1124212y x x ⎛⎫=--+-≤ ⎪-⎝⎭
，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意； 对于③，222114144141
x x x y x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭， 因为1x >，所以2104x x
+>，
所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即
2x =
所以()2114141
x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x =+
， 因为π0,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x >，
所以22221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x
=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222
x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x
=+
的最小值不是2，不符合题意； 故答案为：①③.
【点睛】 本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
20．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大 解析：23
【分析】
先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，
即可求解.
【详解】
画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
可得交点(0,1),(7,1)A B ，
又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩
，解得(3,7)C ， 目标函数2z y x =-可化为122
z y x =
+， 当直线122
z y x =+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.
故答案为：23
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力.
三、解答题
21．（1）501010y x =-
-，(0,5)x ∈；（2）75502-【分析】
（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据
AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；
（2）由（1）可得501010y x
=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210
S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】
（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，
因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，
所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，
所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，
所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+， 化简可得501010y x
=--， 因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<， 所以501010y x
=--，(0,5)x ∈； （2）由（1）可得501010y x =-
-，(0,5)x ∈， 所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---， 因为(0,5)x ∈，所以100x -<，
所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=---
当且仅当2505(10)10x x
-=-，即10x =-时等号成立，
此时面积250[5(10)]757510S x x =--+
+≤--
即ADP △面积最大值为75-【点睛】
解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
22．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18.
【分析】
（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；
（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭
，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a
+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1
）由题意，函数233()1b f x b +=-有意义， 则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥，
即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥，
又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.
（2
）由函数233()1b f x b +=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭
， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当1||||
x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a
-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a
+--+∞⊆-+∞， 所以233116b a b a
+--≥-，即13316a b a b +++≤， 又13(3)()103()b a a b a b a b
++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭
， 当且仅当1338a b a b +=
+=时取“=”，
即72a -=
，32b +=
或72a +=
，32b -=时，等号成立，
所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b a ab a b
+=+≤ 所以22
a b ab
+的最大值为18. 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
23．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞.
【解析】
试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛
⎫≤+ ⎪⎝⎭
，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围.
试题
（1）若()2,3a f x =≥
即()()2
230,310x x x x --≥-+≥ 所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥
（2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛
⎫≤+ ⎪⎝⎭
在[)1,x ∈+∞时恒成立， 令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，
又()124h x x x ⎛
⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞.
24．(1)2()1f x x x =-+;(2)()
(),14,-∞-+∞
【分析】
(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）；
(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．
【详解】
(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，
∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，
∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()
2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩
．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．
(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．
化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1．
∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.
25．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭
， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．
【分析】
（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；
（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.
【详解】
解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为
800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭
， 由4080020x x
->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）(
)8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭
2808160648m =-=， 当且仅当1600x x
=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．
【点睛】
本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
26．（1）25-
；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝
⎭，-. 【分析】 （1）由不等式的解集为{}
32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.
（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解
【详解】
（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或
∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25
k =- （2）∵不等式的解集为R
∴0k <且24240k ∆=-<
∴k <
∴k 的取值范围是(6-∞，-
【点睛】
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。