高考数学复习第7讲基本不等式-

涉及三种转化 (和和、和积、实际问题与数学问题) 核心：类比构造，配式转化
应用数学思想
思想：方程与函数思想 数形结合思想 等价转换思想 分类讨论思想等
基础知识回想
1、算术平均数：如果a,b R ，那么
正数的算术平均数。
ab 2
叫做这两个
2、几何平均数：如果 a,b R ，那么 ab 叫做这两个
2 2a b
2
( 2 1)(b a ) 1 ( 4b a 4) 4
a b 2 2a b
(当且仅当a=2b即a=4,b=2时取=)
3)由 2 1 1 ab
则
2
1
(
2 a
1 b
)2
1
ab
2
4
(当且仅当a=2b即a=4,b=2时取=)
2 1 ab 4
即ab 8 S
1 ab 4 2
法二 : 设直线方程:y 1 k(x 2) (k 0)
题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题， 求实数 a 的取值范围.
2、解：命题 p 为真命题 函数 f (x) lg(ax2 x 1 a) 16
的定义域为 R ax2 x 1 a 0 对任意的 x 均成立 16
a 0 时， x >0 解集非 R ，即 a≠0；
a 0
1
，
x2 1
令u 2 x2 1 1 ， x2 1
则 u 2v 1 (v x2 1) ，由函数的单调性知 u 的最小值为 3， v
故 a 3 。 答案选 C。
例 2．命题 p:函数 f (x) lg(ax2 x 1 a) 的定义域为 R ； 16
命题 q:不等式 2x 1 1 ax 对一切正实数均成立.如果命
2x 2
5.0 x 1 ,当x _____, 4
y x(1 4x)有最大值为____
6 已知 x , y∈R+，且 x+y=1，
则 1 + 2 的最小值为 xy
0<x<1，则 y= 1 + 2 的最小值为____ x 1 x
【例 2】若正数 a , b 满足 ab=a+b+3，
则 ab 的取值范围是
当x 0时有 : y 1 2k
当y 0时有 : x 2 1 k
S 1 (1 2k)(2 1 ) 1 (4 1 4k) 4
2
k2 k
(当且仅当-
1 k
4k即: k
1 时取 2
)
【例 4】当 x∈[0 , 1]时，不等式 x2 ax a 1 ＞0
恒成立，求 a 的取值范围
【变式 4】（2006 江苏卷）设 a、b、c 是互不相等的正数，
不等式性质
解不等式 证明不等式
不等式的基本性质
绝对值不等式的性质
整式不等式
一元一次不等式 一元二次不等式 简朴的高次不等式
可化为整式不 等式的不等式
绝对值不等式 分式不等式 无理不等式
指数不等式
超越不等式
对数不等式
三角不等式 作差法
比较法
作商法
综正当 重要不等式
反证法
分析法
放缩法
其它证明办法
换元法
2010高三数学第二轮复习课件
一、基础知识
1、算术平均数：如果 a,b R，那么 a b 叫做这两个
正数的算术平均数。
2
2、几何平均数：如果 a,b R ，那么 ab 叫做这两个
正数的几何平均数。
3、定理：如果 a,b R ，那么 a 2 b2 2ab（当且仅当
a=b时取“=”号）
4、推论：如果 a,b R ，那么 a b ab （当且仅当
【变式训练】
1．对于 x R,不等式 2x2 a x2 1 3 0 恒成立，
则实数 a 的取值范围是（
）
A． a 2 2 B. a 2 2 C. a 3 D. a 3
2．若 x、y 均为正实数，且 x y a x y
恒成立，则 a 的最小值是___
__
解析： 由 2x2 a x2 1 3 0 可得 a 2 x2 1
不等式
不等式的应用
求最值 解实际应用题
构造函数法 几何法
b
a
2
解：设流出的水中杂质的质量分数为y，
得y k (k 0), ab
又2 2b 2ab 2a 60(a 0,b 0),
y
k ab
k 30a
a2
2a
又 30a a2 34 (a 2 64 ) 18.
2a
a2
由a 2 64 得a 6,则b 3. a2
课堂 算术平均数与几何平均数的关系及变形 小结 重点：基本形式与均值定理
根据题意知，命题 p 与 q 为有且只有一个为真命题. 当命题 p 为真命题且命题 q 为假命题时 a 不存在； 当命题 q 为真命题且命题 p 为假命题时 a 的取值范围是[1，2] 综上，命题 p 或 q 为真命题，命题 p 且 q 为假命题， 实数 a 的取值范围是[1，2].
例 3．已知 f (x) 是定义在[1,1] 上的奇函数，且 f (1) 1， 若 a 、 b [1,1]， a b 0 ，有 f (a) f (b) 0 ；
0
m
2
或
m
2
或
m
0
.
如图，为解决含有某杂质的污水例，题4
要制造一底宽为2米的无盖长方体沉 淀箱，污水从A孔流入，解决后从B 孔流出，设箱长 a 米，箱高b米，流 出水中该杂质的质量分数与ab成反 比，现有制箱材料60平方米，问a、 b各为多少，可使流出水的质量分数 最小？(AA、B孔面积不计B )
ab a a 3 a2 3a 设:a-1=t(t>0)
a 1 a 1
ab t2 5t 4 t 4 5 4 5 9(t 2时取=)
t
t
2)a b a 3 a a2 3 t2 2t 4
a 1
a 1
t
t 4 2 6当且仅当t=2即a=3时取= t
【例 3】过 P（2，1）的直线 L 分别交 X 轴、 Y 轴正半轴于 A、B 两点，求△AOB 的面积 S 的最小值。
或者
1
1 4
a2
0

a
2.
∴ 命题 P 为真命题 a 2
命题 q 为真命题 2x 1 1 ax 对一切正实数均成立
a 2x 11
2x
2
x
x( 2x 1 1) 2x 1 1
对一切正实数均成立.
x 0, 2x 1 1, 2x 1 1 2, 2 1 2x 11
所以，命题 q 为真命题 a 1.
一“正”、二“定”、三“相等”
【巩固反思】
如果a, b是正数, 那么 a b ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号) 2
如果a、b R,那么a2 + b2 2ab (当且 仅当a＝b 时取“=”号)
应用:“和定积最大, 积定和最 小”.
练习：
1、若 a＞b＞1,P＝ lg a lg b , Q＝ 1 (lga +lgb) , 2
正数的几何平均数。
3、定理：如果 a,b R ，那么 a 2 b2 2ab（当且仅当
a=b时取“=”号）
4、推论：如果 a,b R ，那么 a b ab （当且仅当
a=b时取“=”号）
2
a,b R 5、基本不等式：若
，则
a2 b2 2
ab 2
当且仅当a=b时取“=”号
ab 2 11 ab
ab （1）、判断函数 f (x) 在[1,1] 上的单调性，并证明你的结论； （2）、若 f (x) ≤ m2 2am 1对所有的 x [1,1] 、 a [1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围.
3、解：（1）依题意，令 x1 x2 ，且 x1 、 x2 [1,1] ，则：
f (x1 ) f (x2 ) x1 (x2 )
，
a+b 的取值范围是________
1)ab 3 a b 2 ab ( ab)2 2 ab 3 0
ab 3即: ab 9
2)a b 3 ab (a b)2 4
(a b)2 4(a b) 12 0 a b 6
法二 : b a 3 (a 1) a 1
R＝lg( a b ) P、Q、R 大小关系为 2
2、当 x∈R+时，下列各函数中最小值为 2 的是（C）
A y＝x2－2x＋4
B y＝ x 2 3 x2 2
C y＝x＋ 1 D y＝ 9 －x
x
4 4x
3、下列函数中，最小值为 4 的是 ( C )
(A) y x 4 (B) y sin x 4 (0 x )
正确的结论。我们运用排除法，C 选项 a b 1 2 ， ab
当 a-b<0 时不成立。 【技巧点拔】运用公式一定要注意公式成立的条件
如果 a,b R, 那么a2 b2 2ab(当且仅当 a b时取""号) 如果 a,b 是正数，那么 a b ab(当且仅当a b时取""号).
2
a=b时取“=”号）
2
a,b R 5、基本不等式：若
，则
a2
b2 2
ab 2
当且仅当a=b时取“=”号
ab
1
2
1
ab
基本不等式
如果a, b是正数, 那么 a b ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号) 2
如果a、b R,那么a2 + b2 2ab (当且
仅当a＝b时取“=”号)
用基本不等式求最值的三个必要条件：
x
sin x
(C) y e x 4ex (D) y log 3 x 4 log x 3(x 1)
【例 1】求下列函数的最值：
1)y x 1 x
2) y 1 2x 3 (x 0) x
2) y x2 3x 1 (x 1) x 1
3) 4 x 1， y x2 2x 2
则下列等式中不．恒．成．立．的是（
）
（A） | a b || a c | | b c | （B） a 2 1 a 1
a2
a
（C） | a b | 1 2 （D） a 3 a 1 a 2 a ab
解析：本题主要考查.不等式恒成立的条件，实际上也就是考查 不等式的基本性质，利用基本性质对所给命题进行推理论证。 由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出
0
f (x1 )
f (x2 ) ，
则函数 f (x) 在[1,1]上的单调增.
（2）依题意： f (x) 在[1,1] 上的最大值为 1，
则 m2 2am 1 1对 a [1,1] 恒成立，
g(a) 2ma m2 0 对 a [1,1] 恒成立
g(1)
g(1)
2m m2 2m m2 0
法一
:
设直线方程:x a
y b
1(a,b
0)
过点P(2,1),
则
2 a
1 b
1
1)S 1 ab 1 a a
S 1 ab 2
2 2 a2
1 (t 2)2 1 (t 4) 2 4 2t 2 t
当且仅当t=2即a=4时取=
2)S 1 ab 1 ( 2 1)ab (b a )