四川省成都市高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

一、单选题
1．函数f （x ）=1+sinx ，其导函数为f （x ），则f （）=（ ）
''3
π
A ．
B ．
C ．
D
1
212
-32
【答案】A
【分析】先求导，再代值计算即可．
【详解】函数f （x ）=1+sinx ，其导函数为f′（x ）=cosx ，∴，
1cos 332f ππ⎛⎫
== ⎪'⎝⎭
故选A.
【点睛】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．
2．设点，，.若，则点的坐标为（ ） ()1,1,1M ()2,1,1A -()0,0,0O OM AB =
B A ． B ．
C ．
D ．
()1,0,2-()3,2,0()1,0,2()3,2,0-【答案】B
【分析】根据向量的相等求解即可.
【详解】设，则，
(,,)B x y z (2,1,1)AB x y z =--+
而，则有，
()1,1,1OM = OM AB = 213
112110x x y y z z -==⎧⎧⎪⎪
-=⇒=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩所以. (3,2,0)B 故选：B
3．函数的单调递增区间是（ ）
()2
ln 2f x x x =-A ．
B ．
11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
10,2⎛⎫
⎪⎝⎭C ．，
D ．
1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大于零，可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，
()f x (0,)+∞由，得，
()2
ln 2f x x x =-()2
1144x f x x x x
-'=-=令，得， ()0f x ¢>1
02
x <<所以函数的单调递增区间为，
10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
故选：B.
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6π8π10π12π【答案】A
【分析】由三视图可知几何体为一个圆锥体和圆柱体组合而成，利用圆锥体、圆柱体的体积公式即可求几何体体积.
【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：
该几何体由一个底面半径为1，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为3的圆锥组成； 故这个零件的体积.
22
1231263
V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=
故选：A
5． （ ）
π
0sin d x x =⎰A ． B ． C ． D ．
1-12-2【答案】D
【分析】求出被积函数的原函数即可求解. 【详解】∵，
()cos sin x x '-=∴，
π
π
00
sin d cos cos π+cos0=2x x x =-=-⎰故选：.
D 6．函数的导函数等于（ ）
()()2e ln 1x
f x x =-()f x '
A ．
B ． ()21e 2ln 11x x x ⎡
⎤-+⎢⎥-⎣⎦
212e 1x
x +
-C ．
D ． 21e 2ln(1)1x x x ⎡
⎤-+⎢-⎣⎦212e 1
x
x +
-【答案】A
【分析】利用导数的求导法则及其复合函数的求导法则求解. 【详解】由导数的乘法运算法则得
， ()()222e 1()2e ln 1e 2ln 111x x
x f x x x x x '=--=----⎡⎤⎢⎥⎣⎦
()21e 2ln 11x x x -+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故选：.
A 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小()y f x =()y f x '=()y f x =(),a b 值点的个数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1234【答案】A
【分析】结合导函数图象确定正确选项.
【详解】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，
0x ()'00f x =()'
0f x <()'0f x >由图可知，一共有个点符合. 1故选：A
8．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ）．
()32
3f x x x a =-+a A ． B ． ()(),04,-∞+∞ ()(),80,-∞-+∞ C ． D ．
[]0,4()8,0-【答案】A
【解析】由解析式知，即可判断的单调性并确定极值：极大值，极小2()36f x x x '=-()f x (0)f a =值，由有且仅有一个零点知或，即可求的取值范围. (2)4f a =-()f x (0)0f <(2)0f >a 【详解】由题意知：，
2()36f x x x '=-∴时，得或；时，得. ()0f x '>2360x x ->0x <2x >()0f x '<2360x x -<02x <<∴在上递增，上递减，上递增，
()f x (,0)-∞(0,2)(2,)+∞
当时，有极大值，当时，有极小值， 0x =(0)f a =2x =(2)4f a =-∴只有当或时，函数有且仅有一个零点， (0)0f a =<(2)40f a =->()f x ∴或， a<04a >故选：A
【点睛】关键点点睛：利用导数讨论的单调区间，进而确定极值，根据有且仅有一个零点()f x ()f x 列不等式求参数范围.
9．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D
-11,AB BC AA ===1AD 1DB 为（ ） A
B
C ．
D ．
15
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可.
【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则
1
A 11A
B x 11A D y 1AA z ,,,
,
(00A ,()10,1,0
D (D ()11,0,0B
∴,,
(10,1,AD = (11,1,
DB =-
∴11cos ,AD DB
= 故选：.
A
10．在三棱锥中，平面，
，，.三棱锥-P ABC PA ⊥ABC AB BC ⊥1==PA AB AC
=-P ABC 的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ） O O A
B ．
2C D
【答案】D
【分析】根据几何体的垂直关系，找到球心，再求球的半径. O 【详解】平面，平面，
PA ⊥ ABC BC ⊂ABC ，
PA BC ∴⊥又，且，
AB BC ⊥ PA AB A = 平面，
BC ∴⊥PAB 又平面，
PB ⊂PAB ，
BC PB ∴⊥所以是两个直角三角形和的斜边，取的中点，
PC PAC PBC PC O 点到四点的距离相等，即点是三棱锥的外接球的球心，
O ,,,P A B C O -P ABC
PC ==
即球. O 故选：D.
11．函数，是函数的极大值点，则a 的取值范围是（ ）
()211e 2e 22
x x
f x x ax ax a =⋅-+-+1x =A ． B ．
C ．
D ．
(),e -∞-(),2e -∞-()2,e -∞-()2
,2e
-∞-【答案】A
【分析】对函数求导得，然后分，，和讨论函数()(1)(e )x f x x a '=-+0a ≥e a <-a e =-0e a >>-的极值，从而可求出a 的取值范围
【详解】由，得
()211e 2e 22
x x
f x x ax ax a =⋅-+-+， ()e e 2e e e (1)(e )x x x x x x f x x ax a x ax a x a '=+-+-=-+-=-+当时，，
0a ≥e 0x a +>所以当时，，当时，， 1x >()0f x '>1x <()0f x '<所以是函数极小值点，不合题意，
1x =
当时，由，得或，
a<0()0f x '=1x =ln()x a =-当，即时，当或时，，当时，，所ln()1a ->e a <-1x <ln()x a >-()0f x '>1ln()x a <<-()0f x '<以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
1x =ln()x a =-当，即时，，则在上递增，所以函数无极值，
ln()1a -=a e =-()0f x '≥()f x R 当，即时，当或时，，当时，，ln()1a -<0e a >>-ln()x a <-1x >()0f x '>ln()1a x -<<()0f x '<所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，不合题意， ln()x a =-1x =综上，a 的取值范围是， (),e -∞-故选：A
12．已知函数，则函数的零点个数为（ ） ()e ,0
ln ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
()()()211e =--⎡⎤⎣⎦F x f f x f x A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
【答案】C
【分析】令，将问题转化为，结合图象判断出直线与的图象()f x t =()2
11e
f t t =
+21
1e y t =+()f t 的交点个数，再由的函数图象即可判断零点个数. ()f x 【详解】令，则由可得．作出的函数图象如图()f x t =()()21
10e F x f t t =--=()2
11e f t t =+()f x 所示：
当直线与相切时，切点为，，则，解得；
1y kx =+e x
y =()00,x y e x
y '=000e e 1x
x k
kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
00,1x k ==当直线与相切时，切点为，则，解得，
1y kx =+ln y x =()11,x y 1111
1ln k x kx x
⎧=⎪⎨⎪+=⎩2
121e e x k ==,∴直线与的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为，且， 2
1
1e y t =
+()f t 1234,,,t t t t 1234t t t t ＜＜＜由图象可知，由的函数图象可知无解，有1解，
2
12340001e t t t t <<<==,,,()f x ()1f x t =()2f x t =有3解，有2解． ()3f x t =()4f x t =∴有6个零点．
()F x
故选：C ．
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为________. (1,1,1)A xOy B 【答案】
(1,1,1)-【分析】利用关于平面对称的点的特征求出答案即可.
xOy 【详解】点关于平面对称的点的坐标满足坐标不变，坐标变成相反数， xOy ,x y z 即点关于平面的对称点的坐标为. (1,1,1)A xOy B ()1,1,1-故答案为：.
()1,1,1-14．已知，，且，则向量与的夹角为__________ ()1,0,1a = (),1,2b x =r 3a b ⋅= a b
【答案】
6
π
【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角.
x 【详解】因为，，， ()1,0,1a = (),1,2b x =r 3a b ⋅=
所以，解得；
23x +=1x =
cos ,a b a b a b
⋅===
因为，所以.
[],0,a b π∈ ,6
a b π
= 故答案为：
.
6
π
15．若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________. ()ln m
f x x x
=-[)1,+∞m 【答案】
[1,)-+∞【分析】根据单调性与导数正负的关系，即可求导求解. 【详解】由得，
()ln m f x x x
=-221()m x m f x x x x +'=+=由于在上是单调增函数，故在上恒成立，故()ln m
f x x x
=-
[)1,+∞0x m +≥[)1,+∞，
101m m +≥⇒≥-故答案为：
[1,)-+∞16．若，则实数的最大值为________.
()e 1ln ln 0x
a x x a ----≥a 【答案】
e
【分析】将不等式化为，令，即，利用导数
ln e e ln x ax x ax +≥+()()e 0x
f x x x =+>()()ln f x f ax ≥分析函数单调性，即可得到，即恒成立，令，利用导数ln x ax ≥ln ln a x x ≤-()()ln 0
g x x x x =->分析函数单调性，进而求得，进而求解.
()min g x 【详解】由，
()()e 1ln ln 00x
a x x a x ----≥>则，
ln e ln e ln x ax x ax ax ax +≥+=+令，即，
()()e 0x
f x x x =+>()()ln f x f ax ≥所以，
()e 10x
f x '=+>所以函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+由，可得， ()()ln f x f ax ≥ln ln ln x ax a x ≥=+即恒成立， ln ln a x x ≤-所以， ()min ln ln a x x ≤-令， ()()ln 0
g x x x x =->则， ()111x g x x x
-'=-
=令，则；令，则， ()0g x '>1x >()0g x '<01x <<所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()g x ()0,1()1,+∞所以， ()()min 11g x g ==所以，即， ln 1a ≤0e a <≤所以实数的最大值为. a e 故答案为：.
e
三、解答题
17．已知函数在处取得极大值.
()32
2f x x ax bx a =+++=1x -1(1)求的值；
,a b (2)求曲线过点的切线方程. ()y f x =()0,1【答案】(1)，
1a =1b =
(2)或 10x y -+=1y =
【分析】（1）由题意得到关于，的方程组，求解方程组即可求解； a b （2）根据导数的几何意义求解即可.
【详解】（1）由，则，
()322f x x ax bx a =+++()2
34f x x ax b '=++因为函数在处取得极大值， ()f x =1x -1所以，
()()13401121f a b f a b a ⎧-=-+=⎪⎨-=-+-+='⎪⎩
解得，，
1a =1b =此时，
()()()2
341311f x x x x x '=++=++令，则或；令，则，
()0f x ¢>1x <-1
3x >-()0f x '<113x -<<-所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
()f x (),1-∞-1,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭11,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭故在处取得极大值，满足题意. ()f x =1x -综上，，.
1a =1b =（2）由（1）得，，，
()32
21f x x x x =+++()2341f x x x '++=当为切点时，， ()0,1()01f '=即切线斜率为1，
所以切线方程为，即.
1y x -=10x y -+=当不为切点时，设切点为，，
()0,1()32
0000,21x x x x +++00x ≠则，
()32200000
00211
3410
x x x f x x x x +'++-=++=-解得（舍去）或， 00x =01x =-即切点为，切线斜率为0， ()1,1-所以切线方程为.
1y =综上所述，曲线过点的切线方程为或.
()y f x =()0,110x y -+=1y =18．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ，M 为PC 中点．
P ABCD -PA ⊥
(1)求证：平面MBD ；
//PA (2)若，求直线BM 与平面AMD 所成角的正弦值． 2AB AD PA ===【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD 的法向量，由向BM
量夹角的计算公式，可得答案.
【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ， 由四边形ABCD 为矩形，
可知O 为AC 中点，M 为PC 中点， 所以，
//OM PA 又平面，平面， OM ⊂MBD PA ⊄MBD 所以平面MBD.
//PA （2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， A ,,AB AD AP ,,x y z 则 ，
()()()()0,0,0,2,0,0,1,1,1,0,2,0A B M D 所以， ()()()1,1,1,1,1,1,0,2,0BM AM AD =-==
设平面的法向量为，
AMD (,,)n x y z =
则，
00n AM x y z n AD y ⎧⋅=++=⎪
⎨⋅==⎪⎩
令，则，
1x =()1,0,1n =-
设直线与平面所成角为，则
BM AMD θ
sin cos BM θ=
〈
所以直线与平面 BM AMD
19．函数.
(),x f x e ax a R =-∈（1）当时，求的极值；
1a =()f x （2）当时，恒成立，求实数的最大值.
0x >()0f x ≥a 【答案】（1）极小值为：，无极大值；（2）．
()f x ()01f =e 【分析】（1）将a 的值带入，求出函数的导数，根据导函数的符号可确定函数的单调
()f x ()f x 性，根据极值定义求出函数的极值即可；（2）利用分离变量的方法，构造函数，通过导()x
e g x x =数求得最小值，则，从而求得所求的最大值．
()g x ()min a g x ≤【详解】（1）时，，则
1a =()x f x e x =-()1x f x e '=-令，解得
()0f x '=0x =当时，，单调递减；当时，，单调递增
0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x ¢>()f x 极小值为：，无极大值
()f x \()01f =（2）当时，由得： 0x >()0f x ≥x
e a x
≤
令，则 ()x e g x x =()()221x x x x e xe e g x x x --'==令，解得：
()0g x '=1x =当时，，单调递减；当时，，单调递增
01x <<()0g x '<()g x 0x >()0g x '>()g x
()()min 1g x g e ∴==a e ∴≤
实数的最大值为
∴a e 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方法将问题转变为参数与函数最值之间的关系，通过求解函数的最值得到结果. 20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x 万件，还需投入万
0.1x 元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月()p x 21() 4.112
p x x x =-++产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全8()13ln 0.1p x x x x
=--
+部售完．
(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个y x 月生产口罩所获得的利润；
(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到） 0.1参考数据：． ln 20.69≈【答案】(1)；7.5万元 214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
(2)当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元
【分析】（1）利润等于销售收入减去固定成本减去原材料费（2）分段函数的最值，先分段求，再比较，较大的是最大值
【详解】（1）当时； 05x <<22114.1110.1422
y x x x x x =-++--=-+当时， 5x ≥8813ln 0.110.112ln y x x x x x x
=--+--=--故月利润y 关于月产量x 的函数关系式为 214,05,2812ln , 5.x x x y x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
当时， 3x =19437.52
y =-⨯+⨯=故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．
（2）当时，， 05x <<22114(4)822
y x x x =-+=--+故当时，y 取得最大值，最大值为8万元；
4x =当时，， 5x ≥812ln y x x
=--
． 22188x y x x x
'-=-+=当时，，当时，，
58x ≤<0'>y 8x >0'<y 所以在上单调递增，在上单调递减， 812ln y x x
=--[5,8)(8,)+∞故当时，y 取得最大值，且．
8x =max 12ln81113ln 28.9y =--=-≈因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为
8.98>8.9万元．
21．如图，在三棱柱中，，． 111ABC A B C -1
1222AC AA AB AC BC ====160BAA ∠=︒
(1)证明：平面平面．
ABC ⊥11AA B B (2)设P 是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
1CC 1A BC 11PA B 【答案】(1)证明见解析
.
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角的余弦值.
【详解】（1）设，在四边形中，∵，，连接，
2AB =11AA B B 124AA AB ==160BAA ∠=︒1A B
∴由余弦定理得，即 2221112cos6012A B AA AB AA AB =+-⋅︒=1A B =∵，∴
22211A B AB AA +=1A B AB ⊥又∵，∴，
22211A B BC A C +=1A B BC ⊥AB BC B ⋂=∴平面，
1A B ⊥ABC ∵平面，
1A B ⊂11AA B B ∴平面平面
ABC ⊥11AA B B
（2）取AB 中点D ，连接CD ，∵，∴
AC BC =CD AB ⊥由（1）易知平面，且
CD ⊥11AA B B CD =如图，以B 为原点，分别以射线BA ，为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz 1BA
则，，，，，，
(2,0,0)
A 1
A
C 1(
B
-1(
C -P ，，,， 1
1(2,0,0)A B
=-
1(0,A P = ()
10,BA = (BC = 设平面的法向量为，则 ，得， 11PA B (,,)n x y z = 11100n A B n A P ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
200x -=⎧⎪⎨=⎪⎩令，则，即取，
1y =1z =(0,1,1)n = 设平面的法向量，则，得， 1A BC (,,)m x y z '''= 100BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=
⎪⎩
00
x ''⎧=='⎪
⎨⎪⎩令，即取，
x '=1z '=-)
1m =-
所以
cos ,n m ==
所以平面
A 1BC 与平面11PA B
22．已知函数其中，为的导函数. 2()(2)ln 2,f x ax a x x
=-+-
+R a ∈()f x '()f x (1)讨论函数的单调性； ()f x (2)若，试讨论函数在上的零点个数．
0a >()f x ()1,e 【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数的两个零点的大小关系结合导数的正负即可求解，
（2）由（1）单调性的结果，分别求解函数的最值，结合最值即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
()f x (0,)+∞
2222(2)2(2)(1)22()ax a x ax x a f x a x x x x '-++--+=-+==①当时，令得；令得.
0a ≤()0f x '<1x >()0f x '>01x <<②当时，令得；令得. 02a <<()0f x '<21x a
<<()0f x '>201x x a <或③当时，在恒成立.
2a =()0f x '≥x ∈R ④当时，令得；令得. 2a >()0f x '<21x a
<<()0f x '>201x x a <或综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
0a ≤()f x (0,1)(1,)+∞当时，在上单调递增，在上单调递减； 02a <<()f x ()20,1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
和，2(1,a 当时，在上单调递增；
2a =()f x (0,)+∞当时，在上单调递增，在上单调递减. 2a >()f x ()20,1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
和2(,1)a （2）①当时，在上单调递增，，故在上没有零点；2a ≥()f x (1,e)()()12f x f a >=≥()f x (1,e)
②当，即时，在上单调递减，要使在上有零点，则 20e a <≤2e a
≥()f x (1,e)()f x (1,e) ，解得； ()()102e e 0e f a f a a ⎧=>⎪⎨=--<⎪⎩
20e(e 1)a <<-③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 22e a <<21e a <<()f x 2(1,a 2(,e)a 由于， . (1)0f a =>()()()2224e e 1e 120e e e e
f a =-->--=->令 ， ()()()()2222ln 22ln 1ln242ln2
g a f a a a a a a a ⎛⎫==-+-+=+-++- ⎪⎝⎭
令， 2()()ln ln 2h a g a a a
'==+-则 ，所以在上单调递减 ()220a h a a -'=<()h a 2(,2)e 故，即，
()()21h a h >=()0g a '>所以在上单调递增，， ()g a 2(,2)e ()2420e e g a g ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭
所以在上没有零点.
()f x (1,e)综上所述，当时，在上有唯一零点；
20e(e 1)a <<-()f x (1,e)当时，在上没有零点.
2e(e 1)a ≥-()f x (1,e)【点睛】本题考查了导数的综合运用，含参求解单调性时，要注意分类讨论，不重不漏.用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。