2014陕师大四模考试数学试题及答案

铁一中模拟考试 数学〔文科〕试题第I 卷 选择题〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1.集合2{|20}A x x x =--≤，{|ln(1)}B x y x ==-，如此A B = A.(0,2]B.(,1)(2,)-∞-+∞ C. [1,1)- D. (1,0)(0,2)-2.α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，如此“α//β是“l//β〞的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3．复数1z ai =+()a ∈R 〔i 是虚数单位〕在复平面上表示的点在第四象限，且5z z ⋅=，如此a =A. 2B. 2-D.4，再将图A5．如下命题中，真命题是A ．01,2>--∈∀x x R x B ．βαβαβαsin sin )sin(,,+<+∈∀RC ．01,2=+-∈∃x x R x D ．βαβαβαcos cos )sin(,,+=+∈∃R6． 等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯〔即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积〕，8∏，9∏，10∏，中值为正数的个数是A ．B ． 2C ． 3D ．47．某几何体的三视图如右图所示，如此其侧面积为A ． 3+2+62B ．2+3+62C ．6+2+32D ．3+228．阅读右侧程序框图，输出的结果s 的值为A.0 B .23C.3D.23-9．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 如此方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为A ．12B ．1532C ．1732D ．313210．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，假设互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，如此123x x x ++的取值范围是开始 s= 0 ,n= 1 是 否n n = +1输出 s 完毕31 02 ≤ n n π3 = s + s sinA.]6311(，B ．），（326320C ．2026]33（， D.），（6311第2卷 非选择题〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分．11.假设53sin =θ，θ为第二象限角，如此tan2θ= ；12．在斜二测画法中，一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，如此其面积为______； 13.向量()()1,2,1,0a b ==-，假设()a b a λ+⊥，如此实数λ等于 ；14. 直线:l 20x y +-=和圆:C 221212540x y x y +--+=,如此与直线l 和圆C 都相切且半径最小的圆的标准方程是_________．15．〔请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，如此按所做的第一题评阅记分〕A.〔坐标系与参数方程〕直线l 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 如此圆心C 到直线l 的距离为_________．B. (几何证明选讲) 如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，如此=PC _________．C.〔不等式选讲〕假设不等式a a x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，如此实数a 的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.〔本小题总分为12分〕DPA B CoPM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．古城西安地区2013年3月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．〔Ⅰ〕计算这10天PM2．5数据的平均值并判断其是否超标;〔Ⅱ〕小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;[来源:ZXXK]〔III〕小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．PM2.5日均值〔微克/立方米〕2 1 63 75 96 0 38 5 610 4 717.〔本小题总分为12分〕某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位n mile h 角为45，距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h的速度前去营救. 〔注：方位角定义:的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/从某点的正北方向起,顺时针方向旋转到目标方向的角〕〔I〕求舰艇靠近渔轮所需的时间；〔II〕设舰艇的航向与AC的夹角为α，求α的正弦值．18．(此题总分为12分) 数列}{n a 的前n 项和为nS ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. 〔I 〕求数列}{n a 的通项公式；〔II 〕求数列{}nna 的前n 项和nT.19.〔本小题总分为12分〕 如下列图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．〔I 〕求证：EF //平面11ABC D ；〔II 〕求证：1CF B E ⊥；〔III 〕求三棱锥1C B FEV -的体积．20.〔本小题总分为13分〕圆C ：22(1)5x y +-= ，直线L ：10mx y m -+-=. 〔I 〕求证：对m ，直线L 与圆C 总有两个交点；〔II 〕设直线L 与圆C 交于点A 、B ，假设|AB|=17 ，求直线L 的倾斜角；〔III 〕设直线L 与圆C 交于A 、B ，假设定点P(1,1)满足2AP PB = ,求此时直线L 的方程.21．〔本小题总分为14分〕在函数xmxxf-=3)(的图象上以N〔1，n〕为切点的切线的倾斜角为.4π〔I〕求m、n的值；〔II〕是否存在最小的正整数k，使得不等式()2013[1,3]f x k x≤-∈-对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；〔III〕求证：)0,(),21(2|)(cos)(sin|>∈+≤+txttfxfxf R.铁一中模拟考试数学〔文〕参考答案与评分标准一、选择题CABAD BACBD16、 二、填空题11、 247 12、、5 14、22(2)(2)2x y -+-= 15、A、 B 、 (-∞，0)∪{2} C 、2三、解答题 16.此题总分为12分事件B ，事件B 包含8个根本事件，…………………………10分 P 〔B 〕=815.……………………………………12分17.解：1433sin 120sin 21sin 9=⇒︒=ααt t ，……………………3分 ()219022181100cos 22-=⋅⋅-+=t t t α……………………………6分2369100t t ∴--=……………………………………………9分23t ⇒=或125-=t 〔舍〕…………………………………11分∴舰艇靠近渔轮的时间为h 32，3143sin =α………………12分18.〔I 〕解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 或11-=a . …………… 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分8∴=1a 1. ∴12-=n n S . …………… 6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a . …………… 8分〔II 〕解：∵12n n na n -=，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++.①21231222322n nT n =⨯+⨯+⨯++.②………… 9分①-②得2112222n n n T n --=++++-………… 11分12212nnn -=-- =()121nn --.∴. …………… 12分 19. 解〔I 〕连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D，DB 的中点，如此∵EF 为中位线…………2分1//EF D B∴而1D B ⊂面11ABC D ，EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D …………4分〔II 〕等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点BD CF ⊥∴①…………5分正方体1111ABCD A B C D -ABCD 1面⊥∴DD ，ABCD 面⊂CF CF DD ⊥∴1②…………7分综合①②，且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴，而111B E BDD B ⊂面，E B CF 1⊥∴…………………………………………………8分〔III 〕由〔2〕可知11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 即CF 为高，CF BF ==10分112EF BD ==，1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B …………12分11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅…………12分20.解：〔I 〕直线l 恒过定点P(1,1).……………………2分 由于12-(1-1)2<5知点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个交点；………………4分(II)圆心到直线的距离2d ==，又d = (6)分所以，2=解得m=8分所以，l 的倾斜角为233ππ或……………10分〔3〕解法一、设A 11(,)x y ,B22(,)x y .由2AP PB =得：11222(1,1)(1,1)x y x y --=--从而，CD=2，设直线AB方程为10mx y m-+-=，2d==，解得1m=±，故所求直线L的方程为020x y x y-=+-=或………………………13分21. 〔本小题总分为14分〕解:〔1〕,13)(2-='mxxf依题意，得∴,31)1(,),1(,32)(3-==-=fnnNxxxf得代得把∴31,32-==nm…………………………………………………〔4分〕〔2〕令,22,0)22)(22(2)(±==-+='x x x x f 则 当)(,012)(,2212x f x x f x >-='-<<-时在此区间为增函数 当)(,012)(,22222x f x x f x <-='<<-时在此区间为减函数 当)(,012)(,3222x f x x f x >-='<<时在此区间为增函数22)(-=x x f 在处取得极大值………………………………………6分 又15)3(,32)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f 因此，当,15)(32,]3,1[≤≤--∈x f x 时…………………………8分要使得不等式()2013[1,3],1520132028f x k x k ≤-∈-≥+=对于恒成立则 所以，存在最小的正整数k=2028，使得不等式()2013[1,3]f x k x ≤-∈-对于恒成立. ………………10分〔3〕〔方法一〕=-+-=+|)cos cos 32()sin sin 32(||)(cos )(sin |33x x x x x f x f|]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin ||)cos (sin )cos (sin 32|2233-+-+=+-+x x x x x x x x x 3211|sin cos ||sin cos ||sin cos |333x x x x x x =+⋅+=+322|)4sin(2|313≤+=πx ………………………………………12分又∵0>t∴12t t +≥由〔2〕知()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数，12()223f t f t ∴+≥=综上可得:)0,)(21(2|)(cos )(sin |>∈+≤+t R x t t f x f x f ……………14分〔方法2〕由〔2〕知，函数]22,22[;]22,1[)(---在上是增函数在x f 上是减函数，在[22，1]上是增函数 又31)1(,32)22(,32)22(,31)1(-=-==-=-f f f f 所以，当]1,1[-∈x 时，－32|)(,32)(32≤≤≤x f x f 即 ]1,1[cos ,sin -∈x x .32|(cos)|,32|)(sin |≤≤∴f x f 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+∴x f x f x f x f ………12分又t>0，1221>≥+∴t t ，且函数],1[)(+∞在x f 上是增函数， 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+∴f t t f综上可得:1|(sin )(cos )|2()(,0)2f x f x f t x R t t +≤+∈>………………14分。

某某省某某市第八十三中学2014届高三数学下学期第四次模拟考试文（含解析）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．()3=（ ）A ．8-B ．8C ．8i -D ．8i 【答案】A 【解析】()()()()()323i1+3i 1+3i 213i 1+3i 8==-=-。

2．若向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π【答案】C【解析】因为()a a b ⊥+，所以22()0,+=+cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅+=⋅⋅=即，所以2cos ,2a b =-，所以a 与b 的夹角为34π。

3．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内的概率为（ ）A ．12π B ．1π C ．14 D ．24ππ-【答案】A【解析】根据题意可得集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤16}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合B={（x ，y ）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB，S △AOB =14482⨯⨯=， 根据几何概率的计算公式可得P= 81162ππ=。

故选A ． 4.把函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数xy e =的反函数图像重合，则f (x )=（ ）A.ln 1x -B. ln 1x +C. ln(1)x -D. ln(1)x + 【答案】D【解析】函数xy e =的反函数为ln y x =，函数ln y x =项左平移一个单位得到函数ln(1)y x =+的图像，所以函数f (x )=ln(1)x +。

陕西师大附中2013-2014学年下学期初三年级第四次模拟考试物理与化学试卷第Ⅰ卷（选择题共30分）可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 N-14 Cl-35.5 Mn-55一、选择题（本题包括15小题，每小题只有1个正确选项。

每小题2分，共计30分）1．下列描述与实际相符的是（）A．匀速托起2个鸡蛋的力约1NB．一个苹果的质量约500gC．光在真空中传播的速度约340m/sD. 将掉在地面上的物理书捡起来放在课桌上，对课本所做功接近于20J2．2013年12月2日，嫦娥三号由长征三号乙改进型运载火箭成功发射。

火箭中选用了纯度极高的液氢做燃料，是因为液氢的( )A．热值大 B．比热容大 C．密度小 D．沸点低3.下列流程图是用来说明单缸四冲程汽油机的一个工作循环及涉及到的主要能量转化情况。

下列对图中①②③④的补充正确的是( )A．①做功冲程②内能转化为机械能③压缩冲程④机械能转化为内能B．①做功冲程②机械能转化为内能③压缩冲程④内能转化为机械能C．①压缩冲程②机械能转化为内能③做功冲程④内能转化为机械能D．①压缩冲程②内能转化为机械能③做功冲程④机械能转化为内能4．关于电磁波的说法正确的是（）A. 可见光不是电磁波B. 电磁波的波长越短则频率越低C.红外线和可见光在真空中传播速度相同D.电磁波、声波都可以在真空中传播5．电源电压恒定，当闭合开关S后，向右移动变阻器R 2的滑片过程中，电流表示数、电压表示数的变化情况是( )A.电流表示数变小、电压表示数变大B.电流表示数变小、电压表示数不变C .电流表示数变大、电压表示数不变D .电流表示数变大、电压表示数变大6．如图所示是一些人在生活用电中的几种做法，其中正确的是( )7．如图甲所示是一手压电筒，按压手柄，塑料齿轮带动线圈内磁性飞轮高速旋转，使灯泡发光。

图乙四个实验中与手压电筒产生电流的工作原理相同的是( )8．甲、乙两个圆柱形容器盛有相同深度的液体，放置于水平桌面上，如图所示。

陕师大附中高第四次模拟考试 数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1-，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为（ ）A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{1-，2，4}D ．{1-，2，3，4} 【答案】C【解析】因为集合A ＝{1，2，3}，所以∁U A ={-1,4}，所以(∁U A )∪B={1-，2，4}。

2．如果复数z ＝2－1＋i，则（ ）A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－ 1D ．z 的共轭复数为1＋i 【答案】C【解析】z ＝2－1＋i ()()()21111i i i i --=---+--，所以2z =，z 的实部为-1，z 的虚部为－1，z 的共轭复数为-1＋i ，因此选C 。

3．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．224515x y -= B ．22154x y -=C ．22154y x -=D ．225514x y -= 【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，所以c=1，又因为双曲线的离心率等于5，所以5c a =，所以a= 55,所以22245b c a =-=，所以该双曲线的方程为225514x y -=。

4．已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ）A ．5B ．40C ．20D ．10【答案】D【解析】令x=1，得232n=，所以5n =，()52103551rrrr rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由1034,2r r -==得，所以展开式中4x 的系数为2510C =。

陕西师大附中高级第四次模拟考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．请把答案填在答题卷上）1.（理）设a 是实数，且211ai i+++是实数，则a =（ ）A .1- B .12 C .1 D .32（文）已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合2{|980}M x Z x x =∈-+<，则U M =（ ）A .{0,9}B .{0,1,8,9}C .{2,3,4,5,6,7}D .{1,2,3,4,5,6,7,8}2.（理）设集合{|3,(,0)}tP m R m t =∈=∈-∞,13{|log ,(0,1)}Q m R m t t =∈=∈,则（ ）A .P Q ⊆B .Q P ⊆C .P Q =D .P Q =∅（文）已知α是第三象限角，并且4sin 5α=-，则tan α等于( ) A .34B .43C .34-D .43-3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+,则53a a 的值为( )A .16 B .13 C .35 D .564．已知条件p ：3k =，条件q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p 是q 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件5．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为（ ）A .180B .400C .450D .20006．若()f x 在0x =处连续，且0x ≠时，311()11x f x x +-=--，则(0)f =（ ）A .1B .23-C .0D .32-（文）设函数2)(+=ax x f ，且)(1x fy -=的图象过点)1,2(-，则=-)(1a f（ ）A ．23B ．34C ．43 D ．32 7.已知函数2()2||f x x x =-，方程|()|f x a =有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A .1a <-B .10a -<<C .01a <<D .1a >8．双曲线12222=-b y a x 与椭圆22221(0,0)x y a m b m b+=>>>的离心率之积大于1，则以,,a b m 为边长的三角形一定是（ ）A .等腰三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .钝角三角形9．若向量(,),(,)a m n b p q ==，且5,3m n p q +=+=，则||a b +的最小值为（ ）A .4B .42C .62D .810．在正三棱锥S ABC -中，E 为SA 的中点，F 为ABC ∆的中心，2SA BC ==，则直线EF 与平面SAB 所成角的正弦值为（ ）A .364 B .63C .63D .26911.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有（ ）A .12种B .48种C .90种D .96种12．（理）给定*(1)log (2)()n n a n n N +=+∈，定义使乘积12k a a a ⋅⋅⋅为整数的()k k N *∈叫做理想数，则区间[1,2009]内的所有理想数的和为 ( )A .2026B .2016C .2009D . 2008（文）设函数()||f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根；③函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称；④方程()0f x =至多有两个实根．其中正确命题的个数为（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．请把答案填在答题卷上） 13．函数2()12cos 2f x x =-的最小正周期为 .14．已知满足条件25020x y y a x x ⎧-+≥⎪≥⎨⎪-≤⎩的平面区域的面积是5,则实数a = .15．设n a 为1*(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 项的系数，则数列{}n a 的前12项和为 .16．P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，且2AP =，则动点P 的轨迹的长度为________________.三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知(2,0),(0,2),(cos ,sin A B C θθ），O 为坐标原点.（Ⅰ）13AC BC •=-，求sin 2θ的值； （Ⅱ）若||7,OA OC +=且(,0)θπ∈-，求OB OC 与的夹角.18. ( 本小题满分12分)某地机动车驾照考试规定：每位考试者在一年内最多有3次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第三次为止，如果小王决定参加驾照考试，设他一年中三次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8. （理）（Ⅰ）求小王在一年内领到驾照的概率；（Ⅱ）求在一年内小王参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的数学期望. （文）（Ⅰ）求小王在第三次考试中通过而领到驾照的概率； （Ⅱ）求小王在一年内领到驾照的概率． 19.（本小题满分12分）如图，等腰梯形12ABPP 中，21AB P P ，12BC PP ⊥于C ，12AD PP ⊥于D ，2AB BC ==，26AP 2P AD ∆和1P BC ∆分别沿着AD 和BC 折起，使21,P P 重合于一点P ，AC 与BD 交于M 点,折起之后：（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求异面直线PD 和AC 所成的角； （Ⅲ）（理）求二面角A PM B --的大小.20. （本小题12分）（理）已知函数tx e x f x-+=)1ln()(. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当01t <<时，记min ()f x =)(t ϕ，求()t ϕ的最大值. （文）已知函数32()4()f x x ax a R =-+-∈.（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点(1,(1))P f 处的切线的倾斜角为4π，求a 的值； （Ⅱ）设()f x 的导函数是()f x '，在（Ⅰ）的条件下，若[],1,1m n ∈-，求()()f m f n '+的最小AABP 1 P 2 CDBCDPM值．21. （本小题12分）已知数列{n a }的前n 项的和为n S ,对一切正整数n 都有22n n S n a =+.（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）（理）当n N *∈,证明:111172122212n n n aa a ++++≥++. （文）若*21()3nn a n b n N -=∈，证明：1213n b b b +++≥.22．(本小题满分14分)过双曲线1:22=-y x C 的右焦点2F 的直线与右支交于,A B 两点，且线段22,AF BF 的长度分别为,,m n m n ≥.（Ⅰ）求证：1mn ≥；（Ⅱ）当直线AB 的斜率5,3]k ∈时，求nm的取值范围.陕西师大附中高级第四次模拟考试数学答题纸一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（每小题4分，共16分）13． ； 14． ；15． ； 16． .三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.解：18. 解：19.解：AA B P1P2 CDB CDPM20. 解21．22.陕西师大附中高级第四次模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）题号12345 6 7 8 9 10 11 12答案 ()C B ()A B D A C ()D A C D B D B ()A C 二、填空题（每小题4分，共16分）13．2π 14．72 15．364 16．34π三、解答题17．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵(cos 2,sin )AC θθ=-，(cos ,sin 2)BC θθ=-由13AC BC •=-，得2cos sin 3θθ+=两边平方：1sin 2θ+=49，∴sin 2θ=59- ………………6分 （Ⅱ）∵(cos 2,sin )OA OC θθ+=+，||7,OA OC +=∴22(cos 2)sin 7θθ++=，解得1cos 2θ=，又∵(,0)θπ∈-， ∴3sin 2θ=-，∴13(,)22OC =-，3OB OC •=-，设OB OC 与的夹角为α，则cos α=32=-，∴56πα=即OB OC 与的夹角为56π. …………… 12分18. (本小题满分12分)解：（理）（Ⅰ）小王在一年内领到驾照的概率为:1(10.6)(10.7)(10.8)0.976P =----=………………………（ 4分）（Ⅱ）ξ的取值分别为1，2，3.(1)0.6P ξ==，(2)(10.6)0.70.28P ξ==-⨯=(3)(10.6)(10.7)0.12P ξ==-⨯-=………………………（ 8分）所以小王参加考试次数ξ的分布列为：ξ 1 2 3 P0.60.280.12所以ξ的数学期望为 1.52E ξ= ……………………12分（文）（Ⅰ）小王在第三次考试中通过而领到驾照的概率为：(10.6)(10.7)0.80.096P =-⨯-⨯=………………………6分 （Ⅱ）小王在一年内领到驾照的概率为:1(10.6)(10.7)(10.8)0.976P =----=………………12分19．(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：由已知得2,2PC PD CD ===，所以090CPD ∠=，即PC PD ⊥，又PD AD ⊥，||AD BC ，∴PD BC ⊥， PD ⊥平面PBC∴平面PBC ⊥平面PAD .……………………………4分（文6分）（Ⅱ）解：设PB 的中点为N ，连接MN ，则PD ∥NM ，∴CMN ∠是异面直线PD 和AC 所成的角或其补角 由（Ⅰ）知MN CN ⊥，在Rt CMN ∆中，2CM =22MN =， ∴60OCMN ∠=.所以异面直线PD 和AC 所成的角为060.…………………8分（文12分）（Ⅲ）（解法一）由已知得四边形ABCD 是正方形，∴,CM DM =又PC PD =，∴PMC PMD ∆≅∆， 过点C 做CE PM ⊥于E ，连接DE ，则DE PM ⊥， 则CED ∠即二面角A PM B --的平面角， 在PMC ∆中，2PM PC CM ===，所以62CE DE ==， 又2CD =，由余弦定理得1cos 3CED ∠=-， 所以二面角A PM B --的大小为1arccos 3π-．……………12分 （解法二）向量法设O 为CD 的中点，则PO CD PO OM ⊥⊥，，以O 为坐标原点，OM OC OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，则(001)(010)P C ，，，，，，(100)(210)(210)M B A -，，，，，，，，， (110)(101)MB MP ==-，，，，，，设平面PMB 的法向量1(1,,),n y z =由10,n MB ⋅=得1,y =-由10,n MP ⋅=得1,z =所以1(1,1,1),n =- 同理得平面PMA 的法向量2(1,1,1),n =1212121cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-，所以所求二面角的大小为1-arccos3π．………………12分 20．(本小题满分12分)解：（理）（Ⅰ）(1)()11x x x xe t e tf x t e e--'=-=++ 当0t ≤时，()0f x '>，∴()f x R 的递增区间为.当),1(ln ,1ln0)(10+∞-∴->>'<<t tt t x x f ，t 递增区间为得令时 )1ln ,(1ln 0)(tt，t t x x f --∞∴-<<'递减区间为得令R x f x f ，t 的递减区间为时当)(,0)(1∴<'≥……………6分（Ⅱ）当(0,1)t ∈时，由（Ⅰ）的讨论可知()(ln )ln(1)ln()111t t tt f t t t tϕ==+---- 即1()ln[ln ln(1)]ln (1)ln(1)1t t t t t t t t tϕ=---=-+--- ∴()(1)ln(1)ln (01)t t t t t t ϕ=---<<11()ln(1)(1)ln 1ln1tt t t t t tϕ--'=-+---=-得 1()02t t ϕ'==令得 110()0,()(0,)22t t t ϕϕ'<<>∴当时,在上递增111()0,()(,1)22t t t ϕϕ'<<<∴当时,在上递减 ∴max 11111()()ln ln ln 222222t ϕϕ==--=………………12分（文）（Ⅰ）∵2()32f x x ax '=-+据题意，(1)tan 14f π'==，∴321,2a a -+==即 ………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()24f x x x =-+-,∴32()24f m m m =-+-则2()34f m m m '=-+ m 1- (1,0)- 0(0,1) 1 ()f m ' 7- - 0+ 1()f m 1- 4- 3-∴对于[]1,1m ∈-，()f m 最小值为(0)4f =- ………………… 8分∵2()34f n n n '=-+的对称轴为23x =，且抛物线开口向下， ∴[]1,1n ∈-时，)(x f '最小值为(1)f '-与(1)f '中较小的，∵(1)1,(1)7f f ''=-=-，∴当[]1,1n ∈-时，()f n '的最小值是-7.∴()()f m f n '+的最小值为-11. ………………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵221112222n n n n a a n n S S +++=+=+（），， ∴11112121222n n n n n n n a a n a S S a a n +++++=-=+-+=+，即 ∴11n n a n a n +-+=--（）（）令n n b a n =-，则1n n b b +=-，∴11(1)n n b b -=-11111122a a S a ==+=又得，∴1110b a =-= ∴0n n b a n ==，即．……………6分（Ⅱ）（理）证明：111()(*)122f k k N k k k=+++∈++构造 111111(1)()()()2322122f k f k k k k k k k +-=+++-++++++++ 1102122k k =->++ ∴()f k k 关于是递增的,又∵22(*)n n N ≥∈，∴(2)(2)n f f ≥ ∴1111117(2)(2)212223412n n n n f f +=+++=+=++的最小值为 ∴111121222n n n ++++≥++712．………………12分 （文）证明：由（Ⅰ）知：*21()3n n n b n N -=∈ 记1223135213333n n n n S b b b -=+++=++++ 用错位相减法求和得：113n n n S +=- 令13n n n c +=， ∵1112210333n n n n n n n n c c +++++-=-=> ∴数列{}n c 是递减数列，∴123n c c ≤=， ∴12111333n n n S +=-≥-=. 即1213n b b b +++≥.………………………12分 （由111133n n n S +=->>证明也给满分） 22．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）①当直线AB x ⊥轴时，则2,1),2,1)A B -，此时1m n ==，∴1mn =.（不讨论扣1分）②当直线AB 不垂直于x 轴时，m n >，设双曲线的右准线为l ， 作1AA l ⊥于1A ，作1BB l ⊥于1B ，作1BK AA ⊥于K 且交x 轴于M根据双曲线第二定义有：1122||,||22AA m BB n ==， 而2F 到准线l 的距离为22. 由22||||||||BF MF BA KA =，得：22222222n m n m n =+-， ∴22mn m n mn =+≥，∴1mn ≥，∵此时m n ≠，∴1mn > 综上可知1mn ≥．………………………………………7分（Ⅱ）设AB ：2x ty =+22(1)2210t y ty -++= ∴11,122221221-=-=+t y y t t y y 令λ=nm ，则1>λ，且12y y λ=-代入上面两式得： 2222(1)1t y t λ-=-- ① 22211y t λ-=- ② 由①②消去2y 得22218)1(tt -=-λλ 即2221862181t t t -+-=+-=+λλ ③ 由5,3]k ∈有：22111[,]95t k =∈，综合③式得134λλ≤+≤ 由1λ>得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-01401322λλλλ，解得35[,23]2λ+∈+ ∴m n 的取值范围为35[23]+…………………………14分。

陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16AB =，则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4 2.命题“对任意x ∈R ，都有2240x x -+≤”的否定为( )A .对任意x ∈R ，都有2240x x -+≥B .对任意x ∈R ，都有2240x x -+≤C .存在0x ∈R ，使得200240x x -+>D .存在0x ∈R ，使200240x x -+≤3.已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若4m +a b 与2-a b 共线，则m 的值为( ) A .12 B .2 C .12- D .2- 4.对于函数22()sin ()cos ()44f x x x ππ=+-+，下列选项中正确的是( )A .()f x 在(,)42ππ上是递增的 B .()f x 的图像关于原点对称C .()f x 的最小正周期为2πD .()f x 的最大值为25.如图，若5N =时，则输出的数等于( )A .54 B .45 C .65 D .566.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长 度：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮 的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A .2100(3cm +B .2200(3cmC .2300(3cmD .3002cm7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售 额为( )A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元8.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .则“10a >，1q >”是“{}n a 为递增数列” 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个 三位数，它是渐升数的概率为( ) A .1425 B .775 C .760 D .71010.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()f x ax =有且只有一个实数解，则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .(,0]-∞C .(,0][1,2]-∞D . (,2]-∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设复数11z i =+，22()z x i x =+∈R ，若12z z 为纯虚数，则x = .12.设x 、y 满足约束条件：10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是 .13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线22116x y m-=的右焦点F ，且双曲线的右顶 点A 到点F 的距离为1，则p = . 14.已知()xx f x e=，定义1()()f x f x '=，21()[()]f x f x '=，…，1()[()]n n f x f x +'=，*n ∈N .D经计算11()x xf x e -=，22()x x f x e -=，33()x x f x e-=，…，照此规律，则()n f x = . 15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A .(不等式选做题) 已知x 、y 均为正数，且1x y +=，的最大值为 . B .(几何证明选做题)如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，1BC =， 30BCD ∠=︒，则圆O 的面积为 .C .(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若过点(1,0)且与 极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = . 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB =，9AC =，30BCA ∠=︒， 45ADB ∠=︒.（Ⅰ）求sin ABC ∠；（Ⅱ）求BD 的长度.17.（本题满分12分）已知{}n a 是正项数列，11a=，且点1)n a +（*n ∈N ）在函数21y x =+的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若列数{}n b 满足11b =，12n a n n b b +=+，求证：221n n n b b b ++<.18.（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛” 活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数， 满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生 参加“中国谜语大会”，设随机变量X 表示所抽取的3名学生中得分在[80,90)内的学生yx人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19.（本题满分12分）如图，已知菱形ACSB 中，60ABS ∠=︒.沿着对角线SA 将菱形ACSB 折成三棱锥S ABC -，且在三棱锥S ABC -中，90BAC ∠=︒，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求平面ASC与平面SCB 夹角的余弦值．20.（本题满分13分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点、 上顶点分别为点A 、B ，且|||AB BF . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若点162(,)1717M -在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交 椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. 求直线l 的方程及椭圆C 的方程. 21.（本题满分14分）已知函数2()x f x e x a =-+，x ∈R 的图像在点0x =处的切线为y bx =．（2.71828e ≈）.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，讨论函数()g x 的单调性与极值； （Ⅲ）若k ∈Z ，且21()(352)02fx x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值.BC陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）答题纸一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本题满分12分）17.（本题满分12分）18.（本题满分12分）19.（本题满分12分）20.（本题满分13分）CBC21.（本题满分14分）陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB ACBCA ABC=∠∠， sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………………6分（Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，∴95sin sin AB BADBD ADB⨯∠===∠.…………………………………………12分17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得11n n a a +=+，即11n n a a +-=，又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，故1(1)1n a n n =+-⨯=.…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a n =，从而12n n n b b +-=. 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+121222212112nn n n ---=++++==--.………………………………………8分因为221221(21)(21)(21)n n n n n n b b b ++++-=---- 222225212421n n n n ++=-⋅+-+⋅- 20n =-<∴ 221n n n b b b ++<.……………………………………………………………………12分18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，分数在[90,100]内的学生有2人， 共7人.抽取的3名学生中得分在[80,90)的人数X 的可能取值为1，2，3，则12523751(1)357C C P X C ====，215237204(2)357C C P X C ====，305237102(3)357C C P X C ====. 所以X 的分布列为…………………………………………………………………………………………10分 所以142151237777EX =⨯+⨯+⨯=.………………………………………………12分 19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设AB AC SB SC SA ====， 连结OA，ABC ∆为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且AO BC ⊥， 又SBC ∆为等腰三角形，故SOBC ⊥，且SO =， 从而222OA SO SA +=．所以SOA ∆为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC .………………………………………6分（Ⅱ）以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(1,0,0)B ，则(1,0,0)C -，(0,1,0)A ，(0,0,1)S (0,1,1)SA =-，(1,0,1)SC =--.设平面SAC 的法向量1(,,)x y z =n ，由1100SA y z y x z x SC x z ⎧⋅=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=--=⎩⎪⎩n n ，令1x =，得1(1,1,1)=--n ；由（Ⅰ）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量2(0,1,0)OA ==n .……10分 设平面ASC 与平面SCB的夹角为θ，则1212||cos ||||θ⋅==n n n n .…………………12分 20.（本题满分13分）解：（Ⅰ）由已知|||AB BF=，，222445a b a +=， 222244()5a a c a +-=，∴ c e a ==…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b +=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22112214x y b b +=，22222214x y b b +=，可得222212122204x x y y b b--+=， 即1212121222()()()()04x x x x y y y y b b +-+-+=， 即121232()417()0417x x y y --+-=，从而12122PQ y y k x x -==-， 进而直线l 的方程为2162[()]1717y x -=--，即220x y -+=.…………………9分 由22222222204(22)4014x y x x b x y bb -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2217321640x x b ++-=.22321617(4)0b b ∆=+⨯->⇔>.123217x x +=-，21216417b x x -=. ∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=. 从而25(164)128401717b --+=，解得1b =， ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………………………………………13分 21.（本题满分14分）解：（Ⅰ）2()x f x e x a =-+，()2x f x e x '=-.由已知(0)101(0)11f a a f b b =+==-⎧⎧⇒⎨⎨'===⎩⎩， 2()1x f x e x =--.………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(),0f x g x x x=>， 则2222()()(2)(1)(1)(1)()x x x xf x f x x e x e x x e x g x x x x '--------'===. 令1x y e x =--，10x y e '=->在(0,)x ∈+∞恒成立，从而1x y e x =--在(0,)+∞上单调递增，0010y e >--=.令()0g x '>，得1x >；()0g x '<，得01x <<.∴ ()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).极小值为(1)0g =，无极大值.……8分 （Ⅲ）21()(352)02f x x x k +--≥对任意x ∈R 恒成立， 2151022x e x x k ⇔+---≥对任意x ∈R 恒成立， 215122x k e x x ⇔≤+--对任意x ∈R 恒成立. ………………………………………10分 令215()122x h x e x x =+--， 5()2x h x e x '=+-，易知()h x '在R 上单调递增， 又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121()202h e '=-<，3334423777771() 2.56 1.6204444444h e '=->-=-=>-=>， ∴ 存在唯一的013(,)24x ∈，使得0()0h x '=，………………………………………12分 且当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>.即()h x 在0(,)x -∞单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 02min 00015()()122x h x h x e x x ==+--，又0()0h x '=，即00502x e x +-=，0052x e x =-. ∴ 220000005151()1(73)2222h x x x x x x =-+--=-+， ∵ 013(,)24x ∈，∴ 0271()(,)328h x ∈--.215122x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立， 0()k h x ⇔≤，又k ∈Z ，∴ max 1k =-.………………………………………14分。

2014年陕西省高考模拟联考数学试卷 有答案（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列几个式子化简后的结果是纯虚数的是（ ）A ．ii-1 B ．2(1)i +C ．4iD ．11ii-+ 2.已知集合{}(){}23,0,ln 2.xA y y xB x y x x==>==-则M N ⋂=（ ）A ．()1,2B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞3．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥,且l b ⊥”是“l α⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知命题p 是真命题，命题q 是假命题，那么下列命题中是假命题的是（ ）A ．q ⌝B ．p 或qC ．p 且qD ．p 且q ⌝5．比较sin150,tan 240,cos(120)-三个三角函数值的大小，正确的是（ ） A ．sin150tan 240cos(120)>>- B ．tan 240sin150cos(120)>>- C ．sin150cos(120)tan 240>->D ．tan 240cos(120)sin150>->6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ）A ．16B ．12+．20 D ．16+7.点P 在边长为1的正方形ABCD 内部运动，则点P 到此正方形中心点的距离均不超过12的概率为( )A.12B.14C .π4D ．π 8.若实数,x y 满足条件01y xx y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则12()4xy ⋅的最小值是（ ）A ．18 B ． 14 C ．12D ．1 9.已知对于正项数列{}n a 满足(),m n m n a a a m n N *+=⋅∈，若29a =，则3132312log log log a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=（ ）A ． 40B ．66C ．78D ．156 10.2a <，则函数()2f x x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． 11．已知直线x - y +c =0与圆(x - 1)2+y 2=2有且只有一个公共点，那么c =__________. 12. 执行图所示的程序框图，则输出的S 值为.13．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-=()()，，，满足//p q ，则C ∠= ．14 . 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3-，则PF ；15．选做题（请在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） （A ）（不等式选讲）已知函数()51f x x x =-+-，存在实数x ， 使得2()24f x a a ≤-++有解，则实数a 的取值范围为 ;（B ）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C 的方程是4sin ρθ=，过点4,6π⎛⎫⎪⎝⎭作曲线C 的切线，则切线长为 ;（C ）(几何证明选讲）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C , 点B 在圆O 上，2,30BC BCD ︒=∠=，则圆O 的面积为 .三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

2024年陕西师范大学附属中学中考四模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．−13的倒数是（）A．3 B．−3C．13D．−132．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．3．如图，将含30°角的直角三角板ABC放在平行线α和b上，∠C＝90°，∠A＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．在平面直角坐标系中，将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（）A．34B．94C．32D．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB:BD=2:3，则cos∠BAC的值为（）A．34B．35C．74D．756．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E=40°，则∠ABC的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°7．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线y=kx+m经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是直线x=1；②a−b+c=0；③−1<x<3时，ax2+bx+c>0；④若a=−1，则k=−1．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题8．比较大小：420（填“＞”“＜”或“＝”）．9．计算：−2x⋅x=．10．如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若AB=5，则圆弧三角形的周长为．11．如图，点A在双曲线y=4x 上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为．12．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC至E，使CE=2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为．三、解答题13．计算：12+1−3−2tan60°．14．解关于x的不等式组3x>x−4 4+x3>x+215．先化简．再求值：a−1a−2⋅a2−4a2−2a+1−2a−1，其中a=13．16．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点D，使得△BCD 的周长等于AB+BC．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，CE=CF，∠BAF=∠DAE，∠B=∠D．求证：AE=AF．18．如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A1,2、B3,1、C2,3．(1)将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；(3)连接A1A2，A1B2，A2B2，求△A1A2B2的面积．19．不透明的袋子里装有2个标有数字−1的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字．2的小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字−1的概率为25(1)袋子里标有数字2的小球有个；(2)丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标、再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率．20．某“综合与实践”小组开展测量某建筑物AB高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下．建筑物AB正前方有一根高度是17米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是9米，梯坎坡度i=2:5．请根据以上测量结果，求建筑物AB 的高度．21．某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．(1)求每张游板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；(2)在营销过程中，已知出售一张边长为40cm 的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价． 22．某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：A 58≤t ≤60 ，B 54≤t <58 ，C 50≤t <54 ，D t ≤50 ，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次抽样的样本容量为 ；(2)补全条形统计图；(3)扇形统计图中a 的值为，圆心角β的度数为 ；(4)若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 为AD 上一点，连接CF ，交AB 于点P ，连接AC,AF，若PE=BE．(1)求证：∠BAF=2∠BAC；(2)延长CD交AF延长线于点G，若AB=6，CD=42，求GF的长．24．已知抛物线L1:y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,−3，对称轴为直线x=1．(1)求此二次函数表达式和点A、点B的坐标；(2)点P为第四象限内抛物线L1上一动点，将抛物线L1平移得到抛物线L2，使得抛物线L2的顶点为点P，抛物线L2与y轴交于点E，过点P作y轴的垂线交y轴于点D．是否存在这样的点P，使得以点P、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，请你写出平移过程，并说明理由．25．（1）如图1，已知⊙O半径是4，A是⊙O上一动点，OP=9，则PA的最大值是．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC上一动点，连接DB，过点A作AF⊥BD于点F，连接CF，求CF的最小值．（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC=60米，∠ABC=90°，∠ACB=60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上区确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．。

陕西师范大学附中中考数学四模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．54．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定7．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6m2 B．增加9m2C．减少9m2D．保持不变8．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．请给出一元二次方程x2﹣8x+ =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．12．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为米．13．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．三、解答题（共11小题，计78分）第17题图aAB15．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．16．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．17．如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）18．为了推动课堂教学改革，打造“贵生课堂”，我县某中学对该校八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的八年级部分学生共有名；请补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有540人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？19．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB=PC．20．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．21．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．22．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE 的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．24．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．25．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作▱PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．2016年陕西师范大学附中中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．【考点】实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，首先求出|﹣2|，20，2﹣1的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即可．【解答】解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5，∵，∴，∴在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是|﹣2|．故选：A．2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，故选：B．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．5【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D．4．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），因为正比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，2），所以2=﹣k，解得：k=﹣2，所以y=﹣2x，把这四个选项中的点的坐标分别代入y=﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y=﹣2x的图象上，所以这个图象必经过点（1，﹣2）．故选D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．6．在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答．【解答】解：y=x+1的图象过一、二、三象限；函数的中，k＞0时，过一、三象限．故有两个交点．故选：C．7．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6m2 B．增加9m2C．减少9m2D．保持不变【考点】平方差公式．【分析】根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论．【解答】解：设正方形草坪的原边长为a，则面积=a2；将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a﹣3，面积为a2﹣9．故减少9m2．故选C．8．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理，即可求得AD，BD的长，然后由勾股定理，可求得OD 的长，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，∵弦AB=2，∴AD=BD=AB=，AC=AB=，∴CD=AD﹣AC=，∵⊙O的半径为2，即OB=2，∴在Rt△OBD中，OD==1，在Rt△OCD中，OC==．故选D．9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC=a，则CN=2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x，由勾股定理得出x2+x2=（2a）2，求出x=a，得出CD=a，代入求出即可．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，设OC=a，则CN=2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，x=a，即CD=CM=a，∴==，故选C．10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可．③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可．④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∵b2﹣4ac=8a，∴4a2﹣4ac=8a，∴a=c+2，∵c＞0，∴a＞2，∴结论③正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c+2＞2，∴4a﹣2b+c＞0．∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是2个：③④．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．请给出一元二次方程x2﹣8x+ 12（答案不唯一）=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于c的不等式，求出c的取值范围．【解答】解：由题意知，△=64﹣4c＞0，∴c＜16，即当c取小于16时就能满足题意．比如c=12满足方程有两个不相等的实数根．12．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为0.5米．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OD即可．【解答】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD==2（米），∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；故答案为0.5．13．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．【解答】解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=，故答案为：．三、解答题（共11小题，计78分）第17题图aAB15．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣1+2﹣+4×=5+．16．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．【解答】解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．17．如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】作图—复杂作图．【分析】先画线段AB=a，再作AB的垂直平分线得到其中点D，接着过B点作l⊥AB，然后再l上截取BC=BD，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．18．为了推动课堂教学改革，打造“贵生课堂”，我县某中学对该校八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的八年级部分学生共有54名；请补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有540人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据喜欢的人数是18人，根据对应的圆心角即可求得所占的比例，利用18除以所占的比例即可求得总人数，进而求得非常喜欢的人数，从而补全条形统计图；（2）利用总人数540乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）本次调查的八年级部分学生共有18÷=54（人），“非常喜欢”的人数为：54﹣18﹣6=30（人），补全条形统计图如图：（2）×540=480（人），答：估计该校八年级有480名学生支持“分组合作学习”方式．故答案为：（1）54．19．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB=PC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据AE=AF，AB=AC，∠A=∠A即可证明三角形全等；（2）根据（1）结论可证∠ABF=∠ACE，即可证明∠PBF=∠PCE，即可解题．【解答】证明：（1）在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS）；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF=∠ACE，∴∠PBF=∠PCE，∴BP=CP．20．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE﹣AE求出AC的长度即可．【解答】解：在Rt△BAE中，∵BE=162米，∠BAE=68°，∴AE===64.8（米），在Rt△DCE中，∵DE=176.6米，∠DCE=60°，∴CE===≈102.1（米），则AC=CE﹣AE=102.1﹣64.8=37.3（米）．答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．21．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）利用列表法展示所有有12种等可能的选派方案；（2）找出恰有一男一女参赛的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）列表如下：甲乙丙丁甲乙甲丙甲丁甲乙乙甲乙丙乙丁丙丙甲丙乙丙丁丁丁甲丁乙丁丙共有12种等可能的选派方案；（2）恰有一男一女参赛共有8种可能，所以P（一男一女）==．22．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B（15，300），当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），当y=10x+150=600，解得：x=45，则y=600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更划算．23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE 的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OC，只要证明OC∥BD即可．（2）在Rt△ABF中，根据BH=计算即可．【解答】证明（1）连接OC．∵C是中点，AB是○O的直径∴OC⊥AB，∵BD是○O切线，∴BD⊥AB．∴OC∥BD．∵AO=BO，∴AC=CD（2）∵E是OB中点，∴OE=BE在△COE与△FBE中，∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE△COE≌△FBE（ASA）∴BF=CO∵OB=2，∴BF=2∴AF===2，∵AB是直径∴BH⊥AF∴AB•BF=AF•BH∴BH===．24．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）求出A、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先证明△FHG是等腰直角三角形，构建二次函数利用函数性质解决问题即可．（3）分两种情形①如图2中，若AP为对角线，利用相似三角形性质求出点T坐标．②如图3中，若AQ为对角线，利用相似三角形性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），点C坐标（0，3），∵抛物线对称轴x=1，D、C关于对称轴对称，∴点D坐标（2，3），设直线AD为y=kx+b．则解得；∴直线AD解析式为：y=x+1．（2）如图1中，∵OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为．（3）①如图2中，若AP为对角线作PS⊥对称轴于于S，对称轴与x轴的交点为R，∵∠PMS+∠MPS=90°，∠PMS+∠AMR=90°，∴∠MPS=∠AMR，∵∠PSM=∠MRA，∴△PMS∽△MAR可得=，∴=，∴SM=，∴点P坐标（0，）由点的平移可知Q（﹣2，）故Q点关于直线AM的对称点T为（0，﹣）．②如图3中，若AQ为对角线，作AR∥y轴，MR∥x轴，AS∥y轴，PS∥AB，同理可证△ARM∽△PSA，∴=，∴AS=∴点P坐标（0，﹣），由点的平移可知Q（2，），故Q点关于直线AM的对称点T为（0，）．25．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作▱PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，得出∠DPC=90°，由勾股定理得出DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，由勾股定理得出方程，方程无解，得出对角线PQ与DC不可能相等．（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，由AAS证明△ADP≌△HCQ，得出AD=HC求出BH=4，当PQ ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（3）设PQ与DC相交于点G，由平行线得出=，得出G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，证明Rt△ADP∽Rt△HCQ，得出=，求出CH=2得出BH=BG+CH=5，当PQ⊥AB时，PQ 的长最小，即为5．（4）设PQ与AB相交于点G，由平行线得出=，作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK ⊥CD，交QH的延长线于K，证明△ADP∽△BHQ，得出=，求出BH=n+1，得出CH=BH+BC=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，得出BM=AD=1，DM=AB=2，证出∠KCH=45°，由三角函数得出CK=CH•cos45°=（n+4），即可得出结果．【解答】解：（1）对角线PQ与DC不可能相等，理由如下：∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，∴∠DPC=90°，∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2﹣x）2+12=（2）2，整理得：x2﹣2x+3=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．（2）存在，理由如下：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AD⊥AB，∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS），∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（3）存在，理由如下：如图3，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴=，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同（2）得：∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，∴=，∴CH=2，∴BH=BG+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．（4）存在，理由如下：如图4，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴=，作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ADP=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∴=，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．。

陕西师大附中2014届高三毕业班第四次模拟考试—英语1高考英语2014-04-04 1351陕西师大附中高2014级第四次模拟考试英语试题注意事项：本试题卷分第1卷(选择题) 和第II卷 (非选择题) 两部分, 总分150分, 考试时间120分钟.第I卷(选择题；共95分)第一部分英语知识运用(共三节，满分50分)第一节. 语音知识(共５小题；每小题１分，满分５分)从Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个选项中，找出其划线部分与所给单词的划线部分读音相同的选项，并在答题卡上将该项涂黑。

1. gather A. method B. maths C. thorough D. smooth2. Asia A. carriage B. stadium C. official D. radium3. parent A. glare B. measure C. failure D. capital4. watched A. filled B. recognized C. whispered D. practised5. trunk A. language B. strange C. thunder D. twentieth第二节. 语法与词汇知识(共15小题；每小题1分，满分15分)从Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡将该项涂黑。

6. Apples are usually sold by _____ weight and eggs are sometimes sold by ____ dozen.A. the; theB. /;aC. /; theD. the; a7. I _____ often go fishing when I lived in the countryside.A. shouldB. wouldC. couldD. might8. She had no money ____ a birthday present for her children.A. to buy withB. buyingC. boughtD. with which to buy9. Information has been put forward ____ more middle school graduates will be admitted into universities.A. whileB. thatC. whenD. as2014. He ______ articles for our wall-newspaper these three years, and he ______ about forty articles.A. has been writing; has writtenB. has been writing; wroteC. is writing; has been writingD. has written; has written11. We would like to drop in at your house if ____.A. you are convenientB. it is convenient of youC. it is convenient to youD. you will be convenient12. --- Have you decided already?--- Yes. I ____ at once.A. have decidedB. had decidedC. will decideD. decided13. — The education system rather than the teachers _____ to answer for the heavy burden on the students.—I agree. I hope the reform being carried out in our country at present will bring about the ______ results.A. are; desiredB. is; desiredC. are; desiringD. is; desiring14. The reasons for our decision are _________in my report.A. set offB. set inC. set outD. set about15. —Did you see who the driver was?—No, so quickly_________ that I couldn’t gat a good look at his face.A．did the car speed by B．the car sped byC．does the car speed by D．the car speeds by16. Reality is not the way you wish things to be, nor the way they appear to be, ________the way they actually are. A. as B.or C. but D. and17. _____, we have the correct leadership of the Party.A. To start withB. To beginC. To startD. At begin18. I never dreamed of there ____ such a quiet place in the noisy city.A. wasB. had beenC. beingD. to be19. ---Go for a picnic this weekend, OK?--- _____. I love getting close to nature.A. I couldn't agree moreB. I'm afraid notC. I believe notD. I don't think so20. The book is _____ boring. It is, in fact, rather exciting and fascinating.A. anything butB. nothing butC. no more timeD. all but第三节. 完型填空(共20小题；每小题1. 5分，满分30分)阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

【解析】陕西省西工大附中2014届高三上学期第四次适应性训练数学（文）试题1．复数151i（i 为虚数单位）的值为（ ）A.iB. 1C.i -D.1-【答案】A【 解析】153111i i i i==-=.2．已知{},01|2>-=x x A {}1,0,1,2--=B ，则()R C A B ⋂= （ ）A.{}2,1--B. {}2-C. {}1,0,1-D. {}0,1【答案】C【 解析】因为{}{}2|10|11,A x x x x x =->=><-或{}1,0,1,2--=B ，所以()R C A B ⋂={}1,0,1-.3．1x =是2320x x -+=的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C.充要D.既不充分又不必要 【答案】A【 解析】因为方程2320x x -+=的根为1和2，所以1x =是2320x x -+=的充分不必要条件。

4．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A. 1sin 2y x =B. 1sin()22y x π=-C. 1sin()26y x π=-D. sin(2)6y x π=-【答案】C【 解析】将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin()23y x π=-的图像，再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是11sin sin()23326y x x πππ⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

5. 某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）A. B ． C. D ．【答案】C【 解析】当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，高为1，则体积是4π；当俯视图是C 时，该几何体是直三棱柱，故体积是1111122V =⨯⨯⨯=；当俯视图是D 时，该几何体是圆柱切割而成，其体积是21144V ππ=⨯⨯=。

2014年陕西省师大附中中考数学模拟试卷（四）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）去年“五一”期间我市共接待海内外游客24.1万人次，将24.1万用科学记数法可表示为（）A．2.41×106 B．2.41×107 C．2.41×104 D．2.41×1052．（3分）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）A．B．C．D．3．（3分）该试题已被管理员删除4．（3分）开元商场把进价为1875元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为（）A．2000元B．2500元C．2800元D．3000元5．（3分）如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜26．（3分）对于数据组3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．这组数据的平均数与众数分别为（）A．4，3 B．3，3 C．4.5，2 D．5，67．（3分）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）8．（3分）分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．39．（3分）在边长为的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE 所在直线翻折后得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是（）A．B．C．1 D．10．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2=．12．（3分）已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为，标准差为．13．（3分）“明天的太阳从西方升起”这个事件属于事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．14．（3分）高为2米的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距3米，上午的太阳和煦灿烂，樟树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，此时人的影子恰好是人身高的两倍，那么，请你计算这棵樟树的高约为米．15．（3分）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=的表达式为．16．（3分）在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，且⊙O可以将△ABC完全盖住（△ABC 的所有顶点都不在⊙O的外），则⊙O半径的最小值为．三、解答题（共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．18．（6分）在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．求证：△ABC≌△EAD．19．（7分）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是人和人；（2）该校参加航模比赛的总人数是人，空模所在扇形的圆心角的度数是°，并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？20．（8分）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知老王种植水果的成本是2 800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？21．（8分）如图，某人在山脚A处测得一座塔BD的塔尖点B的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点B的仰角为45°，已知坡面AP=40米，坡角∠PAC=30°，且D、A、C在同一条直线上，求塔BD的高度（测角仪的高度忽略不计，结果用根号表示）22．（8分）有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．23．（8分）如图．正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，延长BA到E，使AE=AB，连结ED．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．24．（10分）如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．（1）求A′点的坐标；（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角（相对的两个角）互补．下面我们来研究它外角的性质．（1）在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？（3）如图③，点D是圆上一点，弦AB=，DC是∠ADB的平分线，∠BAC=30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？2014年陕西省师大附中中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）去年“五一”期间我市共接待海内外游客24.1万人次，将24.1万用科学记数法可表示为（）A．2.41×106 B．2.41×107 C．2.41×104 D．2.41×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：24.1万用科学记数法可表示为2.41×105，故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2013•鄂州）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．（3分）该试题已被管理员删除4．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）开元商场把进价为1875元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为（）A．2000元B．2500元C．2800元D．3000元【分析】设标价为x元，则售价为90%x，根据获利20%，可得出方程，解出即可．【解答】解：设该商品的标价为x元，则售价为0.9x元，根据题意得：0.9x﹣1875=1875×20%，解得：x=2500，即标价为2500元．故选：B．【点评】此题考查一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5．（3分）（2010•烟台）如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2【分析】求使y1＜y2的x的取值范围，即求对于相同的x的取值，直线y1落在直线y2的下方时，对应的x的取值范围．直接观察图象，可得出结果．【解答】解：由图象可知，当x＜1时，直线y1落在直线y2的下方，故使y1＜y2的x的取值范围是：x＜1．故选C．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．6．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）对于数据组3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．这组数据的平均数与众数分别为（）A．4，3 B．3，3 C．4.5，2 D．5，6【分析】根据平均数和众数的定义及计算公式分别进行解答，即可求出答案．【解答】解：数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2的平均数是（3+3+2+3+6+3+10+3+6+3+2）÷11=4，3出现了6次，出现的次数最多，则众数分别是3；故选A．【点评】此题考查了平均数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，难度不大．7．（3分）（2016•陕西校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，将点（2，﹣3）代入y=kx求得k值，求出函数解析式，然后再判断点是否在函数图象上．【解答】解：∵正比例函数y=kx经过点（2，﹣3），∴﹣3=2k，解得k=﹣；∴正比例函数的解析式是y=﹣x；A、∵当x=﹣3时，y≠2，∴点（﹣3，2）不在该函数图象上；故本选项错误；B、∵当x=时，y≠﹣1，∴点（，﹣1）不在该函数图象上；故本选项错误；C、∵当x=时，y=﹣1，∴点（，﹣1）在该函数图象上；故本选项正确；D、∵当x=时，y≠1，∴点（1，﹣2）不在该函数图象上；故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征．解答此题时，利用正比例函数y=kx中的k是定值来确定函数的图象一定的点．8．（3分）（2011•齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3【分析】根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．【解答】解：∵分式方程=有增根，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3，当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，当m=0时，分式方程无解，并没有产生增根，故选：D．【点评】本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．9．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）在边长为的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是（）A．B．C．1 D．【分析】由图可知：阴影部分面积=S△ABB′﹣S△COB′﹣S△ABE，由此求得各部分面积得出答案即可．【解答】解：在边长为的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，故AE=1，由折叠易得△ABG为等腰直角三角形，∴S△ABB′=BA•AB′=1，S△ABE=，∴CB′=B′E﹣EC=1﹣（﹣1）=2﹣，∵AB∥CD，∴∠OCB′=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B′=∠B=45°，∴CO=OB′=﹣1．∴S△COB′=（﹣1）（﹣1）=﹣，∴重叠部分的面积为1﹣﹣（﹣）=﹣1．故选：A．【点评】此题考查菱形的性质以及翻折变换，解决此类问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．10．（3分）（2007•福州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣＞﹣1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0．①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．故选D．【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）（2011•齐齐哈尔）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣3（x﹣y）2．【分析】根据分解因式的方法，首负先提负，放进括号里的各项要变号，再提取公因式3，括号里的剩下3项，考虑完全平方公式分解．【解答】解：﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣（3x2﹣6xy+3y2）=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2，故答案为：﹣3（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，注意符号问题，分解时一定要分解彻底．12．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为2，标准差为．【分析】根据1，2，3，4，5的每个数都加10即可得出11，12，13，14，15，所以波动不会变，方差不变即可得出答案．【解答】解：∵数据1，2，3，4，5的方差为2，∴11，12，13，14，15的方差为2，标准差为．故答案为；2，．【点评】此题考查了方差，掌握每个数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变是本题的关键．13．（3分）（2012•崇左）“明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．【分析】必然事件是一定发生的事件；不可能事件就是一定不会发生的事件；不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．【解答】解：“明天的太阳从西方升起”这个事件是一定不可能发生的，因而是不可能事件．【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、不确定事件的概念．注意一定不会发生的事件是不可能事件．14．（3分）（2006•仙桃）高为2米的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距3米，上午的太阳和煦灿烂，樟树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，此时人的影子恰好是人身高的两倍，那么，请你计算这棵樟树的高约为4米．【分析】根据相似三角形对应线段成比例求解即可．【解答】解：利用投影知识解题，按此时人的影子恰好是人身高的两倍，即墙的影子当地为4米，而树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，即树影子全长为（3+4+1）=8米而树高为树影子的一半，即4米．故填4．【点评】在某一时刻影子和实际高度之比为定值，这在相似形中是很重要的一个知识点，此题就主要考查了本知识．15．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=的表达式为y=．【分析】设A的坐标是（3，a），利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则C的坐标可求得，进而得到B的坐标，根据E是OB的中点，则E的坐标利用a可以表示出来，代入反比例函数解析式即可求解．【解答】解：设A的坐标是（3，a），则3a=k，即a=，设直线AC的解析式是y=mx+b，则，解得：，则直线AC的解析式是：y=x+6，令y=0，解得：x=，即OC=，则B的横坐标是：3+，则E的坐标是（+，），∵E在y=上，则（+）=k，又∵a=，∴（+）=k，解得：k=12，则反比例函数的解析式是：y=．故答案是：y=．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的性质，正确表示出E的坐标是关键．16．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，且⊙O可以将△ABC完全盖住（△ABC的所有顶点都不在⊙O的外），则⊙O半径的最小值为4．【分析】利用已知得出当BC为直径时，⊙O半径的最小，进而得出答案．【解答】解：如图所示：当BC为直径，连接AO，∵AB=AC=5，BC=8，∴BO=CO=4，AO⊥BC，∴AO==3，∵3＜4，∴A在⊙O内部，则⊙O半径的最小值为4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出以BC为直径的圆是解题关键．三、解答题（共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）（2011•重庆）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．【分析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2﹣x﹣1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．【解答】解：原式=×，=×=，∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，将x2=x+1代入化简后的式子得：==1．【点评】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．18．（6分）（2016•陕西校级模拟）在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．求证：△ABC≌△EAD．【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AB=AE，∴∠AEB=∠B．∴∠B=∠DAE．∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD（SAS）．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．19．（7分）（2010•义乌市）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人和6人；（2）该校参加航模比赛的总人数是24人，空模所在扇形的圆心角的度数是120°，并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？【分析】（1）由图知参加车模、建模比赛的人数；（2）参加建模的有6人，占总人数的25%，根据总人数=参见海模比赛的人数÷25%，算出空模比赛的人数，再算出所占的百分比×360°；（3）先求出随机抽取80人中获奖的百分比，再乘以我市中小学参加航模比赛的总人数．【解答】解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；（每空（1分），共2分）（2）6÷25%=24，（24﹣6﹣6﹣4）÷24×360°=120°（每空（1分），共2分），（3）32÷80=0.4（1分）0.4×2485=994答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人．（3分）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（8分）（2011•无锡）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知老王种植水果的成本是2 800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据函数图象得出分段函数解析式，注意x的取值范围；（2）利用函（1）中函数解析式表示出w，进而利用函数性质得出最值．【解答】解：（1）根据图象可知当0＜x≤20时，y=8000（0＜x≤20），当20＜x≤40时，将B（20，8000），C（40，4000），代入y=kx+b，得：，解得：，y=﹣200x+12000（20＜x≤40）；（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2 800元/吨，由题意得：当0＜x≤20时，W=（8000﹣2800）x=5200x，W随x的增大而增大，当x=20时，W最大=5200×20=104000元，当20＜x≤40时，W=（﹣200x+12000﹣2800）x=﹣200x2+9200x，∵a=﹣200，∴函数有最大值，当x=﹣=23时，W最大==105800元．故张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用图象分段求出解析式以及掌握利用二次函数解析式求最值是解决问题的关键．21．（8分）（2014•雁塔区校级模拟）如图，某人在山脚A处测得一座塔BD的塔尖点B的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点B的仰角为45°，已知坡面AP=40米，坡角∠PAC=30°，且D、A、C在同一条直线上，求塔BD的高度（测角仪的高度忽略不计，结果用根号表示）【分析】过P点作PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，设BD=x，则AD=，解方程求出x的值即可得到塔BD的高度．【解答】解：过P点作PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，在Rt△APE中，∵AP=40，∠PAC=30°，∴PE=40sin30°=20，AE=40cos30°=，设BD=x，则AD=，∵DE=PF=BF=BD﹣FD，DE=AD+AE，∴，解得，∴塔BD的高度为（）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22．（8分）（2015•青岛模拟）有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．【分析】（1）由题意可得有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及恰好匹配的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵从手机中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，∴P（恰好匹配）==；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好匹配的有4种情况，∴P（恰好匹配）==．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2014•雁塔区校级模拟）如图．正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，延长BA 到E，使AE=AB，连结ED．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．【分析】（1）首先根据题意得出∠EDA=45°，∠ODA=45°，进而得出∠ODE的度数，求出即可；（2）利用O为正方形的中心，则M为AB中点，求出==2，进而得出答案．【解答】证明：（1）连结DO，∵四边形ABCD为正方形，AE=AB，∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，∴直线ED是⊙O的切线；（2）作OM⊥AB于点M，∵O为正方形的中心，∴M为AB中点，∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴==2，∴EF=2FO．【点评】此题主要考查了切线的判定以及比例的性质，得出==2进而求出是解题关键．24．（10分）（2007•泰安）如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB 绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．（1）求A′点的坐标；（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，∠A′OA的度数和旋转角的度数相同，可过A′作x轴的垂线，在构建的直角三角形中可根据OA′的长和∠A′OA的度数求出A′的坐标；（2）已知了C，A′，A三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）本题要分三种情况进行讨论：①以O为直角顶点，OA=OP=4，而OC=4，那么此时C点和P点重合，因此P点的坐标即为C点的坐标．②以A为直角顶点，那么P点的坐标必为（4，4）或（4，﹣4）．可将这两个坐标代入抛物线的解析式中判定其是否在抛物线上即可．③以P为直角顶点，那么P点在OA的垂直平分线上，且P点的坐标为（2，2）或（2，﹣2）然后按②的方法进行求解即可．【解答】解：（1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB′A′D为矩形．在△A′DO中，A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2，OD=A′B′=AB=2，∴点A′的坐标为（2，2）；（2）∵C（0，4）在抛物线上，∴c=4，∴y=ax2+bx+4，∵A（4，0），A′（2，2），在抛物线y=ax2+bx+4上，∴，解之得，∴所求解析式为y=+（2﹣3）x+4；（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点P（0，4）为满足条件的点．②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，﹣4），代入抛物线解析式中知此两点不在抛物线上．③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，﹣2），代入抛物线解析式中知此两点不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、等腰直角三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．25．（12分）（2014•雁塔区校级模拟）数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角（相对的两个角）互补．下面我们来研究它外角的性质．（1）在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？（3）如图③，点D是圆上一点，弦AB=，DC是∠ADB的平分线，∠BAC=30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论；（2）先根据四边形ABCD是圆内接四边形得出∠2=∠ABC，再根据∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB得出∠1=∠ACB，由DE平分∠FDC可知∠1=∠2所以∠ABC=∠ACB，由此可得出结论；（3）根据DC平分∠ADB可知∠ADC=∠BDC，再由∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，得出∠ABC=∠BAC，进而AC=BC，由直角三角形的性质得出AC=BC=1，由于S四边形DACB=S +S△DAB△ABCS△ABC为定值，当S△DAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大，此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC=90°，根据∠ADC=∠BAC=30°可知DC=2AC=2，由此可得出结论．【解答】解：（1）画图如图，∠DCE=∠A．证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠BCD=180°∠DCE=∠A；（2）AB=AC，证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠2=∠ABC，∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∴∠1=∠ACB，∵DE平分∠FDC，∴∠1=∠2，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，又∵∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC，∴AC=BC，∵AB=，∠BAC=30°，∴AC=BC=1，∵S四边形DACB=S△ABC+S△DABS△ABC为定值，当S△DAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC=90°∵∠ADC=∠BAC=30°，∴DC=2AC=2，∴四边形DACB的最大面积=××2=．【点评】本题考查的是圆的综合题，熟知圆内接四边形的性质、直角三角形的性质等知识是解答此题的关键．第21页（共21页）。

陕西师大附中2023-2024学年度初三年级第四次适应性训练数学试题一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.的倒数是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是一个数的倒数，根据两个数乘积为1，则这两个数互为倒数即可得到答案．【详解】解：的倒数是，故选：B ．2. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方13-3-1313-13-3-形，故选：A ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．3. 如图，将含30°角的直角三角板ABC 放在平行线α和b 上，∠C ＝90°，∠A ＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数等于（ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°【答案】B【解析】【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等可得∠4，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论．【详解】解：∵∠A ＝30°，∠1＝20°，∴∠ 1= ∠ 3，∠4 = ∠3 + ∠A =20°+30°=50°，∵a ∥b ，∴∠2 =∠ 4=50° ．故选 B ．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质．能正确识图是解题关键．4. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（）21y x =+A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x 、y 轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：将直线的图象向上平移2个单位，得到，令，得，令，得，∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是，故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出平移后直线的解析式及与两坐标轴的交点．5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O ，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；先由菱形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案．熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵四边形是菱形，且，设，，∴，，34943221y x =+23y x =+0x =3y =0y =32x =-1393224⨯⨯=ABCD AC BD :2:3AB BD =cos BAC ∠34351322OB BD x ==AC BD ⊥OA =ABCD :2:3AB BD =2AB x =3BD x =1322OB BD x ==AC BD ⊥∴，∴，故选：C ．6. 如图，内接于，是的直径，过点C 作的切线交的延长线于点E ．若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接、，则，根据切线的性质可得，进而得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可求解．【详解】解：连接、，则，∵与相切于点C ，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B ．．【点睛】本题主要考查了切线的定义，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的切线经过半径外端且垂直于半径，圆的内接四边形对角互补，等腰三角形等边对等角．OA x ===cos OA BAC AB ∠==ABC O AD O O AD 40E ∠=︒ABC ∠110︒115︒120︒125︒OC DC OC OD =90OCE ∠=︒9050COE E ∠=︒-∠=︒65ADC OCD ∠=∠=︒OC DC OC OD =CE O CE OC ⊥90OCE ∠=︒40E ∠=︒90904050COE E ∠=︒-∠=︒-︒=︒()118050652ADC OCD ∠=∠=⨯︒-︒=︒180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒7. 抛物线与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），交y 轴于点C ，直线经过点C ，点B （3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是直线；②；③时，；④若，则．其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意易得点A 、B 关于对称轴对称，则有抛物线的对称轴为直线，把点A 代入抛物线解析式可判断②，然后由函数图形可判断③，进而把，点A （－1，0），点B （3，0）代入可求抛物线解析式，然后可得点C 的坐标，最后可判断④．【详解】解：由题意得：点A 、B 关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线，故①正确；把点A （－1，0）代入解析式得：，故②正确；由图象可知当时，，故③正确；由，点A （－1，0），点B （3，0）可设二次函数解析式为，∴，∴当x =0时，则，∴点，把点B 、C 的坐标代入一次函数解析式得：，2y ax bx c =++y kx m =+1x =0a b c -+=13x -<<20ax bx c ++>1a =-1k =-1x =1a =-1312x -+==0a b c -+=13x -<<20ax bx c ++>1a =-()()13y x x =-+-223y x x =-++3y =()0,3C 303k m m +=⎧⎨=⎩解得：，故④正确；综上所述：正确的个数有4个，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质及一次函数是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8. 比较大小：（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】【解析】【分析】先求出【详解】解：∵16＜20，∴．故答案为：＜．【点睛】本题考查实数大小比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．9. 计算：______．【答案】【解析】【分析】本题考查单项式乘以单项式，直接利用相关法则计算即可．【详解】解：；故答案为：．10. 如图，分别以等边三角形的顶点A ，B ，C 为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若，则圆弧三角形的周长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，根据弧长公式计算出每段弧的长度，即可求出圆弧三的13k m =-⎧⎨=⎩<4=4=4<()2x x -⋅=22x -()222x x x -⋅=-22x -AB 5AB =5π角形的周长．理解题意求出一段弧的长度是解题的关键．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵半径都为的长，∴这三段弧的长度相等，∴每段弧的长度为：，∴圆弧三角形的周长为，故答案为：．11. 如图，点A 在双曲线y=上，点B 在双曲线y=（k≠0）上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴 于D ．连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC=2CD ，则k 的值为____．【答案】12【解析】【详解】解：设点A 的坐标为（a ，），则点B 的坐标为（，），∵AB ∥x 轴，AC=2CD ，∴∠BAC=∠ODC ，∵∠ACB=∠DCO ，∴△ACB ∽△DCO ，∴，∵OD=a ，则AB=2a ，∴点B 的横坐标是3a ，∴3a=，解得：k=12.故答案为12.ABC 60∠=∠=∠=︒A B C AB 60551803ππ⨯=5353ππ⨯=5π4xk x 4a ak 44a AB AC 2DA CD 1==ak 412. 如图，在正方形中，，延长至E ，使，连接平分交于F ，连接，则长为_______．【解析】【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是过点作于，作于点N ，首先证明为正方形，再设,则，然后证明，由相似三角形的性质求出a ，进而在中由勾股定理即可求出．【详解】如图，过点 作于，作于点N ．∵四边形为正方形，，，∴四边形为矩形，又∵平分，，∴四边形为正方形，，设,则，，，，的ABCD 3AB =BC 2CE =AE CF ，DCE ∠AE DF DF F FM CE ⊥M FN CD ⊥CMFN CM a =FM FN CN a ===EFM EAB ∽Rt DFN DF F FM CE ⊥M FN CD ⊥ABCD 3AB =，90,3B DCB BC AB CD ∴∠=∠=︒===,,18090FM CE FN CD DCE DCB ⊥⊥∠=︒-∠=︒ CMFN CF DCE ∠FM FN ∴=CMFN FM FN CM CN ∴===CM a =FM FN CN a ===2CE = 5,BE BC CE EM CE ∴=+==-2CM a =-90,B FM CE ∠=︒⊥，，，即，解得 ， ，，在中, ，由勾股定理得，三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程）13.．【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值．代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算的法则计算即可求解．．14. 解关于x 的不等式组【答案】-2<x <-1【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．FM AB ∴EFM EAB ∴∽FM MEAB BE ∴=235a a -=34a =FN CN ∴==3439344DN CD CN ∴=-=-=Rt DFN 9,4DN =34FN =DF ==tan 60︒1-tan 60︒1=+--1=-34423x x x x >-⎧⎪+⎨>+⎪⎩【详解】解：，解①得：x >-2，解②得：x <-1，∴-2<x <-1．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键．15. 先化简．再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【详解】解： ；当时，原式．16. 如图，已知在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D ，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）34423x x x x >-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②221422211a a a a a a --⋅---+-13a =1a a -12-221422211a a a a a a --⋅---+-()()()22212211a a a a a a +--=⋅----2211a a a +=---1a a =-13a =13113=-12=-ABC 90ACB ∠=︒AB BCD △AB BC +【答案】见解析【解析】【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，∴的周长为，则点即为所求．17. 如图，在四边形中，，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据线段之间和差关系，角度之间和差关系证得，，利用即可证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【详解】证明：∵，，则，AC AB D CD D AC AB D CD CD AD =BCD △BC BD CD BC BD AD BC AB ++=++=+D ABCD BC CD =CE CF =BAF DAE ∠=∠B D ∠=∠AE AF =BE DF =BAE DAF ∠=∠AAS BC CD =CE CF =BC CE CD CF -=-∴，∵，则，∴，在和中，，∴，∴．18. 如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，的三个顶点为、、．（1）将向下平移5个单位长度得到，请画出；（2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）连接，，，求的面积．【答案】（1）图见解析（2）图见解析，点的坐标为 （3）2【解析】【分析】本题考查平移作图、旋转作图、利用网格求三角形面积：（1）将三个顶点分别下平移5个单位长度，得到对应点，顺次连接即可；（2）将和分别绕点逆时针旋转，得到对应点，顺次连接即可；（3）利用三角形面积公式求解．BE DF =BAF DAE ∠=∠BAF EAF DAE EAF ∠∠∠∠-=-BAE DAF ∠=∠ABE ADF △BAE DAF B D BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABE ADF ≌△△AE AF =ABC ()1,2A ()3,1B ()2,3C ABC 111A B C △111A B C △111A B C △1C 90︒221A B C △2A 12A A 12A B 22A B 122A A B 2A ()33-，ABC 1A 1B 1C 90︒【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求，点的坐标为；【小问3详解】解：如图，，即的面积为2．19. 不透明的袋子里装有2个标有数字的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的小球，这111A B C △221A B C △2A ()33-，12212222A AB S =⨯⨯= 122A A B 1-些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字的概率为．（1）袋子里标有数字2的小球有 个；（2）丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的横坐标、再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M 落在坐标轴上的概率．【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】本题考查已知概率求数量，列表或画树状图法求概率：（1）根据标有数字的小球的个数及概率求出总数，即可求解；（2）通过列表列出所有等可能的情况，从中找出满足条件的情况，再利用概率公式求解．【小问1详解】解：袋子里小球的总数为：（个），袋子里标有数字2的小球有：（个），故答案为：2；小问2详解】解：由题意列表如下： 丽丽静静02222由表可知，共有25种等可能的情况，其中，，，，在坐标轴上，共有9种情况，【1-259251-2255÷=5212--=1-1-1-()1，1--()1，1--()01-，()21-，()21-，1-()1，1--()1，1--()01-，()21-，()21-，()10-，()10-，()00，()20，()20，()12-，()12-，()02，()22，()22，()12-，()12-，()02，()22，()22，()10-，()00，()20，()01-，()02，因此出点M 落在坐标轴上的概率为．20. 某“综合与实践”小组开展测量某建筑物高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下．建筑物正前方有一根高度是17米的旗杆，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角为，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是9米，梯坎坡度．请根据以上测量结果，求建筑物的高度．【答案】建筑物的高度约为37.7米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，如图，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．根据题目的已知925AB AB ED 45︒DC BC 25i =:AB AB E EG AB ⊥G AB DC H AH DH ⊥EG DH =17ED GH ==45FAE ∠=︒AF EG ∥45FAE AEG ∠=∠=︒2BH x =CH =Rt BCH △BH CH DH Rt AEG △AG条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，，，∴，∵梯坎坡度∴∴设米，则米，在中，（米），∵米，∴，解得：，∴米，米，∵米，∴米，在中，米，∴（米），∴建筑物的高度约为37.7米．21. 某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．E EGAB ⊥G AB DC H AH DH ⊥EG DH =17ED GH ==45FAE ∠=︒AF EG ∥45FAE AEG ∠=∠=︒BC 2i=BH CH =2BH x =CH =RtBCH △3BC x ===9BC =39x =3x =6BH =CH =20DC =(20EG DH CH DC ==+=+Rt AEG △(tan 4520AG EG =⋅︒=+2017637.7AB AG GH BH =+-=++-≈AB薄板的边长x （）2030出厂价y （元/张）4565（1）求每张游板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；（2）在营销过程中，已知出售一张边长为的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价．【答案】（1） （2）59元【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．（1）根据题意和表格中的数据，可以求出每张薄板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；（2）将代入（1）中的函数关系式，求出出厂价，然后用出厂价减利润，即可得到成本价．【小问1详解】解：每张游板的边长为，基础价为元，浮动价为元，则出厂价，由表格可得，，解得，即每张游板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；【小问2详解】当时，，（元），答：这张薄板得成本价是59元．22. 某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．cm 40cm 25y x =+40x =x b kx y kx b =+20453065k b k b +=⎧⎨+=⎩25k b =⎧⎨=⎩25y x =+40x =240585y =⨯+=852659-=()5860A t ≤≤()5458B t ≤<()5054C t ≤<()50D t ≤根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a 的值为 ，圆心角的度数为 ；（4）若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？【答案】（1）60 （2）图见解析（3）20， （4）306名【解析】【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，能看懂统计图是解题的关键．（1）根据D 组的人数和百分比即可求出样本容量；（2）根据C 组所占的百分比即可求出C 组的人数；（3）根据A 组的人数即可求出A 组所占的百分比，根据C 组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（4）算出成绩少于54分的学生的比例，利用样本估计总体．【小问1详解】解：D 组的人数为6，占比，故本次抽样的样本容量为：，故答案为：60；【小问2详解】解：C 组的人数为：，补全后的条形统计图如下所示：β72︒10%610%60÷=6040%24⨯=【小问3详解】解：扇形统计图中a 的值为：，圆心角的度数为：，故答案为：20，；【小问4详解】解：（名）答：估计测试成绩少于54分的学生有306名．23. 如图，是的直径，弦于点E ，点F 为上一点，连接，交于点P ，连接，若．（1）求证：；（2）延长交延长线于点G ，若，，求的长．【答案】（1）见解析 （2）10【解析】【分析】（1）连接，易得，进而得到，垂径定理得到，圆周角定理，得到，，即可得出结论；126010020÷⨯=β20%36072⨯︒=︒72︒24661230660+⨯=AB O CD AB ⊥AD CF AB ,AC AF PE BE =2BAF BAC ∠=∠CD AF 6AB=CD =GF BC BC CP =BCD FCD ∠=∠ BCBD =BAC DCB ∠=∠FAB FCB ∠=∠（2）连接，等弧对等弦，得到，圆周角定理结合勾股定理求出的长，垂径定理，求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长，根据，求出的长，再用求出的长即可．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∴，∵为直径，，∴，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】连接，BF BF CD =AF CE AEC CEB ∽BE AE cos AE AFFAB AG AB∠==AG AG AF -FG BC ,CE BP PE BE ⊥=BC CP =12FCD DCB FCB ∠=∠=∠AB AB CD ⊥ BCBD =BAC DCB ∠=∠22FCB DCB BAC ∠=∠=∠FAB FCB ∠=∠2FAB BAC ∠=∠BF由（1）可知：，∴，∴，∵为直径，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，解得：或（不合题意，舍去）；∴，∴，∵，∴，∴，∴．BCBD DF ==»»CDBF =BF CD ==AB AB CD ⊥90AFB ACB ∠=∠=︒12CE CD ==90CEA CEB ∠=∠=︒2AF ==90CAB BCE ACE ∠=∠=︒-∠AEC CEB ∽AE CE CE BE=()26CE AE BE BE BE =⋅=-⋅2BE =4BE =2BE =4AE =cos AE AF FAB AG AB∠==426AG =12AG =10GF AG AF =-=【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧，弦，角之间的关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．24. 已知抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点，对称轴为直线．（1）求此二次函数表达式和点A 、点B 的坐标；（2）点P 为第四象限内抛物线上一动点，将抛物线平移得到抛物线，使得抛物线的顶点为点P ，抛物线与y 轴交于点E ，过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D ．是否存在这样的点P ，使得以点P 、D 、E 为顶点的三角形与相似，请你写出平移过程，并说明理由．【答案】（1），（2）存在，先向左平移个单位，再向上平移个单位【解析】【分析】（1）根据对称轴公式求出的值，将代入求出的值，进而求出抛物线的解析式，令，求出的坐标即可；（2）设，顶点式写出的解析式，进而求出点坐标，分，两种情况，进行求解即可．【小问1详解】∵抛物线的对称轴为直线，∴，把代入解析式，得：，∴抛物线的解析式为：，令，解得：，∴；【小问2详解】存在，设， ∵平移，抛物线的开口方向和大小不发生改变，∴，21:L y x bx c =++()0,3C -1x =1L 1L 2L 2L 2L AOC 2=23y x x --()()1,0,3,0A B -2349b ()0,3C-c 0y =,A B ()()2,2303P m m m m --<<2L ,D E PDE AOC △∽△EDP AOC ∽12b x =-=2b =-()0,3C -3c =-2=23y x x --2230y x x =--=123,1x x ==-()()1,0,3,0A B -()()2,2303P m m m m --<<()222:23L y x m m m =-+--∴当时，，∴，∵过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，∴，，∴，，∵，∴，当点P 、D 、E 为顶点的三角形与相似时，分两种情况，①当时，则：，即：，解得：（舍去）或（舍去）；②当时，则：，即：，解得：（舍去）或；∴，∵，∴顶点坐标为，∴平移方向为：先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移，综合性强，难度较大，掌握相关知识点，利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解是解题的关键．25. （1）如图1，已知半径是4，A 是上一动点，，则的最大值是 ．（2）如图2，在中，，，，点D 是边上一动点，连接DB ，过点A 作于点F ，连接，求最小值．（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要的0x =2223y m m =--()20,223E m m --()20,23D m m --90PDE AOC ∠=︒=∠22222323DE m m m m m =---++=PD m =()(),1,00,3A C -1,3OA OC ==AOC PDE AOC △∽△PD DE OA OC =213m m =0m =3m =EDP AOC ∽PD DE OC OA =231m m =0m =13m =132,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭()221:2314L y x x x =--=--()1,4-12133-=324499-=O O 9OP =PA ABC 90ABC ∠=︒6AB =8BC =AC AF BD ⊥CF CF ABC BC 60BC =90ABC ∠=︒60ACB ∠=︒求，在半圆上区确定一点E ，沿修建小路，并在中点F 处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．【答案】（1）13；（2；（3）元【解析】【分析】（1）点A 位于直线与的左侧交点时，取最大值；（2）根据可得点F 在以为直径的半圆上，设的中点为E ，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值；（3）连接，，取中点为M ，中点为N ，连接，，，证明，推出点F 在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．【详解】解：（1）如图，当点A 位于直线与的左侧交点时，取最大值，最大值为：，故答案为：13；（2），，点F 在以为直径的半圆上，如图，设的中点为E ，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．AE AE CF CF 3-()16500-OP O PA AF BD ⊥AB AB CE F 'CF 'CF EC EB AC AB MN MF FN 90MFN CEB ︒∠=∠=MN CO F 'CF 'CF OP O PA 4913OA OP +=+= AF BD ⊥∴90AFB ∠=︒∴AB AB CE F 'CF 'CF，中点为E ，，又，，，，即．（3），，，，，．如图，连接，，取中点为M ，中点为N ，连接，，，点E 在以为直径的半圆上，，中点为M ，中点为F ，中点为N ，为的中位线，为的中位线，为的中位线，，，，，，， 6AB =∴132EB AB == 90ABC ∠=︒8BC =∴CE ===∴3CF CE EF ''=-=-CF 3- 60BC =90ABC ∠=︒60ACB ∠=︒∴30CAB ∠=︒∴2120AC BC ==∴AB ===EC EB AC AB MN MF FN BC ∴90CEB ∠=︒ AC AE AB ∴MF ACE △FN ABE MN ABC ∴MF EC ∥NF EB ∥MN BC ∥1302MN BC ==∴MFA CEA ∠=∠NFA BEA ∠=∠，，点F 在以为直径的左侧半圆上，取中点为O ，作于点K ，得矩形，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．，中点O ，中点为N ，，，，，在中，，，又，，的最小值为．仿古长廊造价高达1100元/米，（元），建造仿古长廊的最低费用为元．【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F 的运动轨迹是解题的关键．为∴MFA NFA CEA BEA ∠+∠=∠+∠∴90MFN CEB ︒∠=∠=∴MN MN OKBC ⊥ONBK CO F 'CF 'CF 1302MN BC ==MN AB =AB ∴1152ON MN ==12BN AB ==∴15KB ON ==OK BN==∴601545CK BC KB =-=-=Rt CKO222CK OK OC +=∴OC === 15OF ON '==∴15CF OC OF ''=-=∴CF 15 ()151********⨯=-∴()16500。

2014届高三11月模拟考试试题数学（文科）第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,5}A =，{4,5,6}U C B =，则AB =A.{1,2}B.{5}C.{1,2,3}Ｄ.{3,4,6}2．“0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件3. 等差数列}{n a 中,23=a ,则该数列的前5项和为( ) A.32 B. 20 C.16 D.104．一个几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积是（ ） A.25π B.50π C.12523π D.5023π 5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为（ ） A.54-B.53-C.54D.53 6．已知双曲线)0(14222>=-a y a x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.59B.23 C.35 D.553 7．把函数)||,0)(sin(πφωφω<>+=x y 的图象向左平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为 x sin y =，则（ ） A.62πφω==， B.2,3πωφ==-C.126πωϕ==，D.1,212πωφ== 8．函数221(0)()2(0)x x x x f x ax ⎧+-≤⎪=⎨+>⎪⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值X 围为 （ ）A.()1,0-B.(],1-∞-C.(),1-∞-D.()1,+∞9．定义某种运算S a b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A.13B.11C.8D.4 10．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若12x x <，且123x x +>，则有( )A.12()()f x f x <B.12()()f x f x >C.12()()f x f x =D.不确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．11．为了了解我校2012年高考准备报考“体育特长生”的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考“体育特长生”的学生人数是.12.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则21(21)n n S n a -=-.由类比推理可得：在等比数列{}n b 中，若其前n 项的积为n P ，则21n P -=_________．13、若关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)b a ，则称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式243cos 220x x θ-+<与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且(0,)2πθ∈，则θ=_________． 14. 设()()()1,2,,1,,0,OA OB a OC b =-=-=-（0,0,a b O >>为坐标原点），若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是_________． 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）．A ．（坐标系与参数方程选做题）若直线:20l kx y ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值X 围是 . B.（不等式选讲）不等式43212≥-+-x x 的解集是．C.（几何证明选讲）如右图所示,AB 和AC 分别是圆O 的切线，其中,B C 切点，且3OC =，4AB =,延长AO 与圆O 交于点D ，则ABD ∆的面积是.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数13()sin 2cos 2122f x x x =-+，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若2()log f x t ≥恒成立，求t 的取值X 围.17．（本题满分12分）从1、2、3、4、5、8、9这7个数中任取三个数，共有35种不同的取法（两种取法不同，指的是一种取法中至少有一个数与另一种取法中的三个数都不相同）. （Ⅰ）求取出的三个数能够组成等比数列的概率；（Ⅱ）求取出的三个数的乘积能被2整除的概率. 18．（本题满分12分） 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD是矩形，1PA AB ==，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （Ⅰ）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.19．（本题满分12分）已知32()f x ax bx cx =++在区间()0,1上单调递增,在区间(),0-∞和()1,+∞上单调递减,又13()22f '= ． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若在区间[0,](0)m m >上恒有()f x x ≤成立,求m 的取值X 围．20．(本题满分13分) 已知椭圆14222=+y x 两焦点分别为12,,F F P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足21PF PF ⋅=1，过P 作倾斜角互补的两条直线,PA PB 分别交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求P 点的坐标；（Ⅱ）求直线AB 的斜率． 21．（本题满分14分）数列{}n a 中，212,a t a t ==，其中01,t t x t >≠=且311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列；FC B A P E D（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设log n n t n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．数学（文科）参考答案一、选择题1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B二、填空题11．48 ；12．21n nb -；13．3π；14．8；15 A ．3<4k -；B ．),2[]0,(+∞⋃-∞；C ．485 三、解答题16．解：（1）()sin(2)13f x x π=-+…………………………………1分 ∴函数()f x 最小正周期是T π=…………………………………3分 由222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()f x 单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈…………………6分 （2）由2()log f x t ≥恒成立，得2log sin(2)13t x π≤-+恒成立……………7分 ∵对任意实数x ，sin(2)103x π-+≥恒成立 …………………………9分∴2log 001t t ≤⇒<<≤…………………………11分所以t 的取值X 围为(0,1]…………………………12分17．解：（1）从1、2、3、4、5、8、9这7个数中任取三个数，每一种不同的取法为 一个基本事件，由题意可知共有35个基本事件。

2014年陕西省某校高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设全集I =R ，集合A ={y|y =x 2−2}．B ={x|y =log 2(3−x)}，则∁I A ∩B 等于（ ）A {x|−2≤x <3}B {x|x ≤−2}C {x|x <3}D {x|x <−2} 2. 复数3−i1−i 等于（ ）A 1+2iB 1−2iC 2+iD 2−i 3. (x 2−1x )6的展开式中，常数项等于（ ）A 15B 10C −15D −104. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件5. 采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1, 400]的人做问卷A ，编号落入区间[401, 750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A 12 B 13 C 14 D 156. A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）A 24种B 60种C 90种D 120种7. 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）A 8B 9C 10D 118. 已知抛物线的方程为y 2＝2px(p >0)，焦点为F ，O 为坐标原点，A 是该抛物线上一点，FA →与x 轴的正方向的夹角为60∘，若△AOF 的面积为√3，则p 的值为（ ） A 2 B 2√3 C 2或2√3 D 2或√29. 已知函数f(x)={x +1,(−1≤x ≤0)√1−x 2，(0<x ≤1)，则∫f 1−1(x)dx =( ) A 1+π2B 12+π4C 1+π4D 12+π210. 已知函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数y =(1−x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B 函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1) C 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2) D 函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11. 设x，y满足约束条件{x≥0x≥y2x−y≤1，则z=−5x+2y的最小值是________．12. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是________．13. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．14. 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于S4的概率是________．考生注意：请在以下三个小题中任选一个作答，若多做，则按所做的第一题记分.（不等式选做题）15. 若不等式|x+1|+|x−m|<6的解集为空集，则实数m的取值范围为________．（几何证明选做题）16. AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=2，BC=1，则sin∠DCA=________．（坐标系与参数方程选做题）17. 在极坐标系(ρ, θ)(0≤θ<2π)中，直线θ=π4被圆ρ=2sinθ截得的弦的长是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=−10 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n 2n−1}的前n 项和．19. 已知a →=(√3sinx, cosx)，b →=(cosx, −cosx)，f(x)=a →⋅b →−12(x ∈R)． （1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c =√3，f(C)=0，若sinB =2sinA ，求a ，b 的值．20. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题． (Ⅰ)求分数在[70, 80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40, 70)记0分，在[70, 100]记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC =2AB =2AD =4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD .(1)求证：平面PED ⊥平面PAC ；(2)若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为√55，求二面角A −PC −D 的平面角的余弦值． 22. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值． 23. 已知m ∈R ，函数f(x)=mx −m−1x−lnx ，g(x)=1x +lnx（1）求g(x)的最小值；（2）若y=f(x)−g(x)在[1, +∞)上为单调增函数，求实数m的取值范围；（3）证明：ln22+ln33+ln44+...+lnnn<n22(n+1)(n∈N∗)．2014年陕西省某校高考数学四模试卷（理科）答案1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. C8. A9. B10. D11. −312. 2+√513. n2−n+6214. 3415. (−∞, −7]∪[5, +∞)16. 3517. √218. 解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得{a1+d=02a1+12d=−10，解得：{a1=1d=−1，故数列{a n}的通项公式为a n=2−n；（2）设数列{a n2n−1}的前n项和为S n，即S n=a1+a22+...+a n2n−1①，故S1=1，S n 2=a12+a24+...+a n2n②，当n>1时，①-②得：S n 2=a1+a2−a12+...+a n−a n−12n−1−a n2n=1−(12+14+...+12n−1)−2−n2n=1−(1−12n−1)−2−n2n=n2n，所以S n =n 2n−1，综上，数列{an2n−1}的前n 项和S n =n2n−1．19. 解：（1）∵ a →=(√3sinx, cosx)，b →=(cosx, −cosx)， ∴ f(x)=a →⋅b →−12=√32sin2x −1+cos2x2−12=sin(2x −π6)−1，∴ f(x)的最小值是−2，最小正周期是T =2π2=π；（2）f(C)=sin(2C −π6)−1，则sin(2C −π6)=1， ∵ 0<C <π， ∴ 0<2C <2π， ∴ −π6<2C −π6<11π6，∴ 2C −π6=π2， ∴ C =π3， ∵ sinB =2sinA ， ∴ 由正弦定理，得a b =12，由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcos π3，即a 2+b 2−ab =3， 解得a =1，b =2．20. （1）设分数在[70, 80)内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有 (0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x ＝1，可得x ＝0.3， 所以频率分布直方图如图所示．（2）平均分为：x ¯=45×0.1+55×0.15+65×0.15#/DEL/#+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.#/DEL/#(Ⅲ)学生成绩在[40, 70)的有0.4×60＝24人，在[70, 100]的有0.6×60＝36人，并且X 的可能取值是0，1，2．所以X 的分布列为： P(X =0)=C 242C 602=46295;P(X =1)=C 241C361C 602=144295;P(X =2)=C 362C 602=105295．∴ EX ＝0×46295+1×144295+2×105295=354295=65．21. (1)证明：∵ 平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD =AB ，AB ⊥PA ， ∴ PA ⊥平面ABCD 结合AB ⊥AD ，可得，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系o −xyz ，如图所示，可得A(0, 0, 0)D(0, 2, 0)，E(2, 1, 0)，C(2, 4, 0)， P(0, 0, λ) (λ>0)∴ AC →=(2,4,0)，AP →=(0,0,λ)，DE →=(2,−1,0) 得DE →⋅AC →=4−4+0=0，DE →⋅AP →=0，∴ DE ⊥AC 且DE ⊥AP ，∵ AC 、AP 是平面PAC 内的相交直线，∴ ED ⊥平面PAC ． ∵ ED ⊂平面PED∴ 平面PED ⊥平面PAC .(2)解：由(1)得平面PAC 的一个法向量是DE →=(2,−1,0)， PE →=(2,1,−λ)，设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <PE →，DE →>|=|4−1√5√5+λ2|=√55， 解之得λ=±2，∵ λ>0，∴ λ=2，可得P 的坐标为(0, 0, 2).设平面PCD 的一个法向量为n →=(x 0, y 0, z 0)，DC →=(2,2,0)，DP →=(0,−2,2)， 由n →⊥DC →，n →⊥DP →，得到{2x 0+2y 0=0,−2y 0+2z 0=0.令x 0=1，可得y 0=z 0=−1，得n →=(1, −1, −1)，∴ cos <n →，DE →>=√3×√5=√155， 由图形可得二面角A −PC −D 的平面角是锐角， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角的余弦值为√155． 22. 解：（1）由题意知，4a =8，所以a =2． 因为e =12，所以b 2a2=a 2−c 2a 2=1−e 2=34，所以b 2=3． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设A(x 0, x 0)，B(x 0, −x 0)． 又A ，B 两点在椭圆C 上， 所以x 024+x 023=1，x 02=127．所以点O 到直线AB 的距离d =√127=2√217．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ． 由{y =kx +mx 24+y 23=1消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0．由已知△>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0．所以x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，即(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0． 所以(k 2+1)4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=0．整理得7m 2=12(k 2+1)，满足△>0． 所以点O 到直线AB 的距离d =√k 2+1=√127=2√217为定值． 23. 解：（1）函数g(x)的定义域为(0, +∞)，g′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2．当x ∈(0, 1)，g ′(x)<0，当x ∈(1, +∞)，g ′(x)>0．∴ x =1为极小值点．极小值g(1)=1．… （2）∵ y =mx −m−1x−1x −2lnx =mx −m x−2lnx ．∴ y′=m +mx 2−2x 在[1, +∞)上恒成立，即m ≥2xx 2+1在x ∈[1, +∞)上恒成立． 又2xx 2+1=2x+1x≤1，所以m ≥1．所以，所求实数m 的取值范围为[1, +∞)．…（3）由（2），取m =1，设ℎ(x)=f(x)−g(x)=x −1x−2lnx ≥ℎ(1)=0，则2lnx ≤x −1x ，即lnx x ≤12(1−1x 2)． 于是lnnn ≤12(1−1n 2)(n ∈N ∗)．∴ ln11+ln22+ln33+⋯+lnn n ≤12[n −(112+122+132+⋯+1n 2)]<12[n −(11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n(n+1))]=12[n −(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)]=12(n −1+1n+1)=n 22(n+1)．所以ln22+ln33+ln44+⋯+lnn n<n 22(n+1)(n ∈N ∗)．…。

陕西省西安市西安中学高2014届上学期第四次质量检测数学试题西安中学高2014届第四次质量检测数学答案（3-21班）一、选择题答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CDABCBABDC二、填空题答案： 11、65π， 12、213S S S <<， 13、①②③ , 14、101， 15、23- 三、解答题： 16、（1）3π=B ;(2)∴∈++-=+-=-=)35,3(32),32sin(23)sin 3cos (sin 2)32cos(sin 4cos sin 4πππππA A A A A A A C A Θ范围为]23,23[+-17、证明：（1）ΘAB AS =,SB AF ⊥,AB F 是的中点，又SA E 是Θ的中点，SC G 是Θ的中点，EF 是SAB ∆的中位线，∴EF//AB,EF//面ABC同理FG//面ABC,EFG FG EFG EF 面面⊆⊆,∴平面//EFG 平面ABC ; （2）∵,BC AB ⊥平面⊥SAB 平面,SBC SB AF ⊥，BC AF SBC BC ⊥∴⊆,面∴SA BC SAB SA SAB BC ⊥∴⊆⊥,,面面 18、解：（1）∵a f ax x x f af -=∴-+='-=1)1(,1ln )(,2)1( 切线为12)1(-+-=ax a y（2）∵)(x f 在),0(+∞上单调递减，∴01ln )(≤+-='ax x x f 在),0(+∞上恒成立，∴x x a 1ln +≥在),0(+∞上恒成立.令)(,ln )(,1ln )(2x g xxx g x x x g -='+=在1=x 处取得最大值，∴1≥a ，a 的最小值为1.19、解：（1）设}{n a 的首项为1a ，公差为d ，}{n b 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+162292422111q d a q d a a ∴3,2,21===d q a ∴13-=n a n （2）)23()13(1851521+⋅-++⋅+⋅=n n T n Λ )]231131()8151()5121[(31+--+-+-=n n Λ 61)23121(31<+-=n20、 （1）证明：∵BC AB =，D 是AC 的中点，∴,,1ABC AC AC BD 面面⊥⊥ABC BD AC ABC AC 面面面⊆=,1I ，面1AC BD ⊥∴平面⊥D BC 1平面11A ACC(2)如图建系设BB 1∵=2,则AB=22,∴)2,2,2(),0,2,0(),0,0,22(1D B C ,)2,0,2(),0,2,22(1=-=BD BC设面D BC 1的法向量为),,(1z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01BD n BC n ，即⎩⎨⎧=+=-00222z x y x ，)1,2,1(1--=n ， 又∵面1CBC 的法向量为)1,0,0(2=n ∴两面的夹角θ满足：21||cos 2121==n n n n θ 3πθ=21、设函数)()1()(2R k kx e x x f x∈--= （1）当1=k 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,21k 时，①求证：k k <2ln ;②求函数[]k x f ,0)(在上的最大值.解：(1) 1=k 时，)2(2)(,)1()(2-=-='--=xxxe x x xe xf x e x x f令2ln 0,0)(==='x x x f 或则，增区间为),2(ln ),0,(+∞-∞，减区间为)2ln ,0(；(2)①令)(,01)(,2ln )(k h kkk h k k k h ∴≥-='-=则增，又∵012ln )1(<-=h ∴k k k k k h <<-=2ln ,02ln )( ②∵)2()(k e x x f x -='，),0)(+∞在（x f 有唯一的零点0)(2ln ,0)(2ln 0,2ln >'<<<'<<=x f k x k x f k x k x 时，当时，当∴)()0()(],2[ln ]2ln ,0[)(max k f f x f k k k x f 或增，减，在=,比较)()0(k f f 与的大小得 03)(,1,21,3)()3(3)(,21,1)1()0()()(23<-='⎥⎦⎤⎝⎛∈-=-=-='⎥⎦⎤⎝⎛∈+--=-=k k k k k e k G k k e k G k e k k ke k g k k k e k f k f k g 令 )(k G 减，∵03)1(,023)21(<-=>-=e G e G ，)(k G 有唯一零点k 0,∴当021k k <<时, 0)()()3()(0=>=-='k kG k kG k e k k g k当10<<k k 时, 0)()()3()(0=<=-='k kG k kG k e k k g k上减上增，在在]1,[],21()(00k k k g)(k g 的最小值是)1()21(g g 或0)1(,0847)21(=>-=g e g ，∴0)(≥k g ，)(x f 的最大值为3)1()(k e k k f k --=。

陕师大附中-第二学期高三数学第四次模拟考试（理）一．选择题（本题共10小题，满分共50分）1．设i 是虚数单位，则复数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ 2012313i i （ ）A ．i -B ．-1C ．1D ．i2．右图是一几何体的三视图(单位:cm )，则这个几何体的体积为 （ ） A ．31cmB ．33cmC ．32cmD ．36cm3．下列推理是归纳推理的是 （ ） A ．,A B 为两个定点，动点P 满足AB a PB PA <=-2，()0>a ，则动点P 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线；B ．由13,21-==n a a n，求出321,,S S S 猜想出数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式； C ．由圆222r y x =+的面积2r S π=，猜想出椭圆12222=+by a x 的面积ab S π=；D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇。

4．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数 （ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y B ．⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y C ．⎪⎭⎫⎝⎛+=32cos πx y D ．⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 5．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于,A B 两点，且OB OA OB OA -=+，则实数a 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．6或6-6．若输入数据6n =，12a =-，2 2.4a =-，3 1.6a =，4 5.2a =，5 3.4a =-，6 4.6a = 执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为 （ ） A ．0．6 B ．0．7C ．0．8D ．0．97．已知dx x a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ06cos 2，则二项式52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 的系数为 （ ）A ．10B ．-10C ．80D ．-808．如果对于任意实数x ，][x 表示不超过x 的最大整数． 例如[]3.273=，[]0.60=． 那么”[][]x y =“是”1x y -<“的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件313112左视图俯视图主视图A BA'A'BC'B C BB'A A C9．设直线t x =与函数()2x x f =,()x x g ln =的图像分别交于点N M ,则当MN 达到最小值时t 的值为（ ） A ．1B ．12C ．22D ．5210．设233yx M +=,()xyyx P N 3,3==+（其中y x <<0），则,,M N P 大小关系为 （ ）A ．P N M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．M N P << 二．填空题（本题共5小题，满分共25分） 11．已知⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，且22-+y x 的最大值为3log a ，则a = ．12．已知双曲线1322=-y x 的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则21PF ⋅最小值为 ．13．将一根长为10厘米的铁丝用剪刀剪成两段，再将每一段剪成相等的两段，然后将剪开的4段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6的概率等于 ．14．设函数()x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()D M M x ⊆∈，有x l D +∈，且()()x f l x f ≥+，则称()x f 为M 上的l 高调函数．如果定义域为[1,)-+∞的函数()2x x f =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0x ≥时，()22a a x x f --=且()x f 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A ．(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上的动点()y x P ,到直线l 距离的最大值为 ．B ．（不等式选讲选做题）若存在实数x 满足不等式m m x x -<-+-253，则实数m 的取值范围为 ． C ．（几何证明选讲选做题）如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ． 三． 解答题（本题共6小题，满分共75分）16．（本小题满分12分）已知,,A B C 分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角，向量()B A cos ,sin =，(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=（1）求角C 的大小；（2）若B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长．AD E OCB17． （本小题满分12分） 已知数列{}{},n n a b ，其中112a =，数列{}n a 的前n 项和2()n n S n a n +=∈N ，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意n +∈N ，2n ≥，有121111814n m b b b --+++<恒成立？若存在，求出m 的最小值；18．（本小题满分12分）如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,BC 在线段AD 上，且3AB =，4BC =，作1BB 1AA ，分别交11A D ，1AD 于点1B ，P ，作1CC 1AA ，分别交11A D ，1AD 于点1C ，Q ，将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图所示的三棱柱111ABC A B C -． （1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积； （3）求平面PQA 与平面BCA 所成角的余弦值． C 1B 1A 1D 1C 1B 1A 1CBAQPPQDC B A19．（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是11,32．两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分13分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．（1）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （2）求ANB ∆面积的最小值；（3）当点M 的坐标为(,0)m ，(0m >且1)m ≠．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）： ①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB ∆面积的最小值是多少？21．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．陕师大附中-第二学期高三数学第四次模拟考试（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBBCADACD二、填空题（每小题5分，共25分） 11312．2-13．1514．[2,)+∞，[1,1]-15．A ．10310+B ．(,1)(2,)-∞-+∞C ．94,5三．解答题16． 解：（1）sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+ …………2分,,0ABC A B C C ππ∆+=-<<中 sin()sin A B C ∴+=又sin 2m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，1cos 2C =，3C π= …………6分 （2）由B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+由正弦定理得.2b a c +=18CA CB ⋅=.36,18cos ==∴ab C ab 即………10分 由余弦定理,3)(cos 22222ab b a C ab b a c -+=-+=.6,363422=∴⨯-=∴c c c …………12分17．解（1）因为2()n n S n a n +=∈N ．当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-； 所以2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--． 所以1(1)(1)n n n a n a -+=-．即111n n a n a n --=+． 又112a =，所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211111432(1)n n n n n n n n ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-+． 当1n =时，上式成立．因为112,2n n b b b +==，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n b =； ----- 6分 （2）由（１）知，2n n b =． 则21112111111111122222n n n b b b ---++++=++++=-， 假设存在自然数m ，使得对于任意,2n n +∈N ≥，有121111814n m b b b --++++<恒成立， 即118224n m ---<恒成立，由824m -≥，解得16m ≥， 所以存在自然数m ，使得对于任意,2n n +∈N ≥， 有121111814n m b b b --++++<恒成立，此时，m 的最小值为16． ---- 12分 18．解：（1）在正方形11ADD A 中，因为5CD AD AB BC =--=， 所以三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =．因为3AB =，4BC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥． C 1B 1A 1D 1C 1B 1A 1CBAQPPQDC B A所以1AB BB ⊥，而1BCBB B =，所以AB ⊥平面11BCC B ．----------- 4分（2）因为AB ⊥平面11BCC B ，所以AB 为四棱锥A BCQP -的高． 因为四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=， 所以梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=． 所以四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCQP V S AB -=⨯=．-----------8分（3）由（１）（２）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直． 以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,3A ，()0,0,0B ，()4,0,0C ，()0,3,0P ，()4,7,0Q ，所以AP =（０,３，－３），A =Ｑ（４,７，－３），设平面PQA 的一个法向量为1(,,)x y z =n ． 则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ＡＰＡＱn n ，即3304730y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1x =-，则1y z ==．所以1(1,1,1)=-n ． 显然平面BCA 的一个法向量为2(0,1,0)=n ． 设平面PQA 与平面BCA 所成锐二面角为θ， 则1212123cos cos ,θ⋅===n n n n n n ． 所以平面PQA 与平面BCA 3． ------- 12分 19．解：（1）记”3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A ．由题意，得122()339P A =⨯=答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29………5分 （2）由题意ξ的可能有取值为0，1，2，3，且212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=．1122(2)33327P ξ==⨯⨯=， 1111(3)33327P ξ==⨯⨯=． 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 35 1 2 1 zyxC 1B 1A 1BAQPCξ的数学期望512116012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分20．解：（1）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==．-------3分∴124y y =-，∴()1,0N -1212221212441144NA NBy y y y k k x x y y +=+=+++++()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y y y y y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++． 又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ----------6分（2）()()212121212448NAB S y y y y y y x x ∆=-=+-=++21414k +． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． -----------11分 （3）推测：①NA NB k k =-；②ANB ∆面积的最小值为4m m ． ----------- 13分 21．解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．--------- 4分 （2）由于21()ax f x x +'=． 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a =-∈+∞．当1(0,)x a∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a ∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．----------- 10分（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞． 令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减．又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． ------- 12分即1ln(1)2501x x x ---+-≤． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．--------- 14分。