【精编】高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2-精心整

2＝4， 13
∴kOB＝kAC，即 OB∥AC. ∴四边形 OACB 是平行四边形．
垂直条件的运用
判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否垂直： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(1，2)，l2 经过点 M(－2，－1)， N(2， 1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10，2)，B(20，3)； (3)l1 经过点 A(3，4)，B(3，100)，l2 经过点 M(－10，40)，N(10， 40)． (链接教材 P69 例 11)
①当 a＝4 时，l1 的斜率不存在，k2＝－43，不符合题意；
②当
a≠4
时，l1 的斜率存在，此时
k1＝2a－ －
a . 4
由
k1·
k2＝－
1，得－a3·2a－ －
a＝－ 4
1，
解得 a＝3 或 a＝－4.
∴当 a＝3 或 a＝－4 时，l1⊥l2.
利用一般式方程研究平行与垂直问题
已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0，求直线 l′的方程，
平行条件的运用
行：
根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8， － 7)；
(2)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (3)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (4)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3，4)，H(2， 3)．
法二：∵l′∥l， ∴设直线 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0， 又∵点(－1，3)在直线 l′上， ∴把点(－1，3)代入 3x＋4y＋m＝0，可得 m＝－9. ∴直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)法一：直线 l 的斜率为 k＝－3，且 l′⊥l，
4
由 k·k′＝－1 可得直线 l′的斜率 k′＝4， 3
2．垂直直线的求法 (1)求与直线 y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂 直的条件可巧设为 y＝－1kx＋m(k≠0)，然后通过待定系数法， 求参数 m 的值．
(2)求与直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)垂直的直线时， 可巧设为 Bx－Ay＋m＝0(A，B 不同时为零)，然后用待定系数 法，求出 m.
得 x＝－n，令 x＝0 得 y＝n.
4
3
由12·－n4 ·n3 ＝4.
得 n2＝96，即 n＝±4 6，
∴直线 l′的方程为 4x－3y±4 6＝0. 方法归纳
1．平行直线的求法 (1)求与直线 y＝kx＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行 的条件可巧设为 y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求 参数 m 的值． (2)求与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程时，可设方程为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出 m 即可． 其中对于斜率为零 及不存在的情形要单独讨论．
2．经过两点A(2，3)，B(－1，0)的直线l1，与经过点P(1，0)
且斜率为1的直线l2的位置关系为( A )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．以上都不对
解析： l1 的斜率 k1＝2－3（－－01）＝1，
直线 l2 的斜率 k2＝1，又两直线不重合，
所以两直线平行．
3．若过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－
方法归纳 两条斜率存在的直线若垂直，则必有k1k2＝－1.若一直线无斜 率，另一直线和它垂直，则其斜率一定为0.
2.已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过点 C(1， 2)，D(－2，a＋2)．若 l1⊥l2，求 a 的值． 解：设直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2，则 k2＝ 21－－（（a－＋22））＝－a3.
(链接教材 P68 例 9)
[解] (1)由题意知，
k1＝－5－3－12＝－45，
k2＝－8－7＋33＝－45， ∵k1＝k2 且 A，B，C，D 四点不共线， ∴ l1∥ l2 .
(2)由题意知，k1＝tan 60°＝ 3，
k2＝－－2
3－ 2－1
3＝
3，
∵ k1＝ k2，
∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存 在，恰好是 y 轴，
(3)在两直 线斜率都 存在且相 等的情况 下，应注 意两直 线是否 重合 (如本例第 (4)题 )．
1.已知A(1，2)，B(3，4)，C(4，6)，O为原点，试判断四
边形OACB的形状．
解：∵
kOA＝21＝
2，
kBC＝64－ －
4＝ 3
2，
∴kOA＝kBC，即 OA∥BC.
又∵
kOB＝43，
kAC＝64－ －
1.两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2， 倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下：
前提条件 α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2
l1∥l2⇔两直线斜率都不存 在
图示
2.两条直线垂直
对应 关系
直l线1分⊥l1别l与2⇔为l2_的kk_11_·斜，__k率k_22＝，_都_－则_存_1_在，不直则存线l1在l与1与，l2l的另2l中1⊥位一的l置条2一关斜条系率斜是为率0，
设直线 l′的方程为 y＝4x＋b， 3
令 y＝0 得 x＝－3b，令 x＝0 得 y＝b， 4
由12·－34b·|b|＝4，得
b2＝32，∴ b＝ ±4
3
3
6，
∴直线 l′的方程为 y＝4x±4 6，即 4x－3y±4 6＝0. 33
法二：∵l′⊥l，∴设直线 l′的方程为 4x－3y＋n＝0，令 y＝0
(2)若 AD 是直角梯形的直角边，则 AD⊥AB，AB∥CD.
∵
kAD＝y－x
3，
kCD＝x－y
， 3
kAB＝
3，
∴y－x 3×3＝－1，x－y
＝ 3
3.
解得 x＝18，y＝9，
5
5
∴D 点坐标为(18，9)． 55
∴D 点坐标为(3，3)或(18，9)． 55
[感悟提高] (1)若 ABCD 为直角梯形，则必有一边垂直于与 它相邻的两边，且这一边与它相 对的边不平行，因此可设出点 D(x， y)，将 各边的斜率表 示出来之后， 建立斜率之间 的关系 即可．
图 示
1．判断下列命题．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)互相平行的两条直线斜率相等．( × ) (2)若直线l1，l2互相垂直，则其斜率满足k1·k2＝－1.( × ) (3)斜率都为0的两条直线平行．( × ) (4)两直线垂直时，无论直线的斜率存在不存在，它们的倾斜 角α1，α2满足|α1－α2|＝90°.( √ )
1)，D(2a＋1，2)，问 a 为何值时，直线 AB 和直线 CD 的位置
关系满足：
(1)平行；(2)垂直． [解] 当 a＝0 或 a＝1 时，① 两直线既不平行也不垂直.2 分 当 a≠0 且 a≠1 时，①
kAB＝
a－ 2
1，
kCD＝1a.4
分
(1)当a－ 1＝1时 ， 2a
解得 a＝－1 或 a＝2，6 分 经检验，a＝－1 或 a＝2 时，直线 AB 和直线 CD 不重合，两 直线平行．②8 分 (2)当a－1·1＝－1 时，
[解]
(1)k1＝12－－（（－－12））＝
2，
k2＝12－ －（ （－ －
1）＝1， 2） 2
∵k1k2＝1，∴l1 与 l2 不垂直．
(2)k1＝－
10，
k2＝230－ －
2 ＝1， 10 10
∵ k1k2＝ － 1，∴ l1⊥ l2. (3)l1 的倾斜角为 90°，则 l1⊥x 轴，

k2＝10－40（－－4010）＝0，则 l2∥x 轴，∴l1⊥l2.
1 5，0)的直线平行，则m＝___2_____．
解析：若 AB∥PQ，则 kAB＝kPQ，
即1m－＋m1＝13，解得
m＝1. 2
4．若过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－ 5，0)的直线垂直，则m＝___－__2___． 解析：若 AB⊥PQ，则 kAB·kPQ＝－1， 即1m－＋m1·13＝－1，解得 m＝－2.
∴ l1∥ l2 .
(4)由题
意知，
－ k1＝－
1－ 2－
1＝ 0
1，
k2＝32－ －
4＝ 3
1，虽然
k1＝ k2，但是
E， F， G，H
四点共线，
∴l1 与 l2 重合．
方法归纳 (1)判断两 直线的平 行，应首 先看两直 线的斜率 是否存 在，即 先看两点的横坐标 是否相等．教材中的平行条件 只有在斜率都 存在的情况下方可 使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特 殊判断． (2)判断斜 率是否相 等实际是 看倾斜角 是否相等 ，归根 结底是 充分利用两直线平 行的条件：同位角相等，则两直线平 行．
2a 解得 a＝1，10 分
3
所以 a＝1时，两直线垂直.12 分 3
制作不易 尽请参考
[规范与警示] 解答本题需规范两个关键步骤： (1)注意对参数 a 进行分类讨论，即分为 a＝0 或 a＝1 和 a≠0 且 a≠1 两种情况．如①处是失分点．
(2)在利用斜率相等求参数时，求得结果要进行检验，在确保 两直线不重合时，才能下结论，同时要注意解末总结，漏掉总 结导致解答不完整、不规范．如②处也是失分点.
(2)有关 斜率的问 题，首先 应考虑斜 率是否存 在，若 不能断 定斜率一定存在时，则要对斜率是否存在加以讨论；有 关 平面几 何图形 的形 状问题 ，要考 虑到图 形的各 种可能 的情 况，也需分情况讨 论解决．
规范解答
利用平行或垂直求参数的值
(本题满分 12 分)已知 A(2，a＋1)，B(4，2a)，C(a＋1，
数学思想
分类讨论思想在平行和垂直问题中的应用
已知点 A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点 D 的坐 标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向 排列) [解] 设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图所示．
由于 kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即 AB 与 BC 不 垂直，故 AB，BC 都不可作为直角梯形的直角边． (1)若 CD 是直角梯形的直角边， 则 BC⊥CD，AD∥BC. ∵kBC＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有 x＝3. 又 kAD＝kBC，∴y－x 3＝0，即 y＝3，此时 AB 与 CD 不平行， 故所求点 D 的坐标为(3，3)．
第二章 解析几何初步
1．3 两条直线的位置关系
第二章 解析几何初步
学习导航 1.理解利用斜率之间关系判断两直线平行、垂
学习目 直．(重点) 标 2.掌握由直线的平行或垂直求字母参数的值．( 难点) 1.在学习两条直线平行或垂直与斜率关系时， 一定要考虑全面，特别是斜率不存在这种特殊
学法指 情况，解题一定不能忽略. 导 2.通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转 化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运 用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合 的能力.
满足：
(1)l′与 l 平行， 且过点(－1，3)；
(2)l′与 l 垂直，且 l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4.
(链接教材 P68 例 10、P69 例 12) [解] (1)法一：∵直线 l 的斜率为
k＝－3，
4
且 l′∥l，∴直线 l′的斜率 k′＝－3， 4
∴由点斜式得 y－3＝－3(x＋1)，即 3x＋4y－9＝0. 4