甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试题

甘肃省天水市秦安县第二中学2015—2016学年上学期第二次月考高二月考试卷高二化学相对原子质量：C：12 H：1 O：16一、选择题（1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）1．下列反应中，生成物的总能量大于反应物总能量的是（）A．氢气在氧气中燃烧 B．锌和稀硫酸反应制取氢气C．盐酸和氢氧化钠的中和反应 D．焦炭在高温下与水蒸气反应2．下列有关电池的说法不正确的是（）A．手机上用的锂离子电池属于二次电池B．铜锌原电池工作时，电子沿外电路从铜电极流向锌电极C．甲醇燃料电池可将化学能转化为电能D．锌锰干电池中，锌电极是负极3．在中和热测定的实验中不需要用到的仪器是（）A．量筒 B．温度计 C．环形玻璃搅拌棒 D．托盘天平4．已知25℃、101kPa下，石墨、金刚石燃烧的热化学方程式分别为①C(石墨)+O2(g)==CO2(g) ΔH=-393.51kJ/mol、②C(金刚石)+ O2(g)==CO2(g) ΔH=-395.41kJ/mol据此判断，下列说法正确的是（）A.由石墨制备金刚石是吸热反应；等质量时，石墨的能量比金刚石的低B.由石墨制备金刚石是吸热反应；等质量时，石墨的能量比金刚石的高C.由石墨制备金刚石是放热反应；等质量时，石墨的能量比金刚石的低D.由石墨制备金刚石是放热反应；等质量时，石墨的能量比金刚石的高5．将锌片和铜片用导线连接置于稀硫酸溶液中，下列各叙述错误的是( )A．锌片作负极，锌发生还原反应 B．铜片作正极C．正极反应为：2H＋＋2e－===H2↑ D．溶液中的H＋移向正极6．用铜片、银片、Cu (NO3)2溶液、AgNO3溶液、导线和盐桥（装有琼脂－KNO3的U型管）构成一个原电池。

以下有关该原电池的叙述正确的是（）①在外电路中，电流由铜电极流向银电极②正极反应为：Ag+ + e－=Ag③实验过程中取出盐桥，原电池仍继续工作④将铜片浸入AgNO 3溶液中发生的化学反应与该原电池反应相同A ．②④B ．②③C ．①②D ．③④7. 已知热化学方程式：SO 2(g)+ 12O 2(g)SO 3(g) △H = ―98.32 kJ·mol －1，在容器中充入2molSO 2和1molO 2充分反应，最终放出的热量为（ ）A ． 196.64kJB ．196.64 kJ·mol －1C ．＜196.64kJD ．＞196.64kJ 8．下列关于热化学反应的描述中正确的是（ ）A ．HCl 和NaOH 反应的中和热△H = -57.3 kJ/mol ，则H 2SO 4和Ca(OH)2反应的中和热 △H =2×(–57.3) kJ/molB ．CO(g)的燃烧热是283.0 kJ/mol ，则2CO 2(g) = 2CO(g) + O 2(g)反应的△H =2× 283.0 kJ/molC ．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应D ．1mol 甲烷燃烧生成气态水和二氧化碳所放出的热量是甲烷的燃烧热9．镍镉（Ni —Cd ）可充电电池在现代生活中有广泛应用，它的充放电反应按下式进行：Cd(OH)2+2Ni(OH)2 Cd+2NiOOH+2H 2O 由此可知，该电池充电时在阴极上发生反应的是（ ）A ．Cd(OH)2B ．Ni(OH)2C ．CdD ．NiOOH10．已知热化学方程式：H 2O(g)＝H 2(g) + 12O 2(g) △H = +241.8 kJ·mol －1H 2(g)+ 12O 2(g) ＝ H 2O(1) △H =–285.8 kJ·mol －1当1g 液态水变为水蒸气时，其热量变化是（ ）A ．吸热88kJB ． 吸热2.44kJC ．放热44kJD ．吸热44kJ 11．在一定条件下，可逆反应X(g)十3Y(g)2Z(g)达到平衡时，X 的转化率与Y 的转化率之比为1∶2，则起始充入容器中的X 与Y 的物质的量之比为( ) A ．1∶1B ．1∶3C ．2∶3D ．3∶212．已知反应：①101kPa 时，2C(s)＋O 2(g)===2CO(g) ΔH ＝－221kJ·mol －1②稀溶液中，H ＋(aq)＋OH －(aq)===H 2O(l) ΔH ＝－57.3kJ·mol －1下列结论正确的是（ ）A ．碳的燃烧热大于110.5 kJ·mol －1B ．2C(g)＋O 2(g)===2CO(g) ΔH ＞－221 kJ·mol －1C ．98%的浓硫酸与稀氢氧化钠溶液反应生成1mol 水的中和热为－57.3kJ·mol－1充电 放电D ．稀醋酸与稀氢氧化钠溶液反应生成1mol 水时放出57.3kJ 的热量 13．在一定温度下的某容积可变的密闭容器中，建立下列化学平衡：A(g)＋3B(g)2C(g) ，能确定上述可逆反应在一定条件下已达到化学平衡状态的是（ ）A ．体系的压强不再发生变化B ．3v 正(B)＝2v 逆(C)C ．混合气体密度不再变化D ．消耗1molA 的同时生成2molC14．下列说法中有明显错误的是（ ）A ．对有气体参加的化学反应，增大压强，体系体积减小，可使单位体积内活化分子数增加，因而反应速率增大B ．活化分子之间发生的碰撞一定为有效碰撞C ．升高温度，一般可使活化分子的百分数增大，因而反应速率增大D ．加适宜的催化剂，可使活化分子的百分数大大增加，从而增大反应速率 15．可逆反应:2AB 3(g)A 2(g)＋3B 2(g)；ΔH ﹥0，下列图像正确的是（ ）16．将NO 2装入带活塞的密闭容器中，当反应2NO 2(g)N 2O 4(g)达到平衡后，改变下列一个条件，其中叙述正确的是（ ）A ．升高温度，气体颜色加深，则此反应为吸热反应B ．慢慢压缩气体体积，平衡向右移动，混合气体颜色变浅C ．慢慢压缩气体体积，若体积减小一半，压强增大，但小于原来的两倍D ．恒温恒容时，充入惰性气体，压强增大，平衡向右移动，混合气体的颜色变浅 17．在密闭容器中发生反应：a A(g)c C(g)＋d D(g)，达到平衡后，将气体体积压缩到原来的一半，当再次达到平衡时，D 的浓度为原平衡浓度的1.8倍。

甘肃省天水市秦安二中2015届高三上学期期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=( ) A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2} 考点：并集及其运算． 专题：计算题． 分析：根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q． 解答：解：∵P∩Q={0}， ∴log2a=0 ∴a=1 从而b=0，P∪Q={3，0，1}， 故选B． 点评：此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用． 2．已知命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p是( ) A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx＞1 考点：特称命题；命题的否定． 专题：计算题． 分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1． 解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得， 命题p：?x∈R，sinx≤1的否定是?x∈R，使得sinx＞1 故选B． 点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题 3．已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是( ) A．x3＞y3 B．sinx＞siny C．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞ 考点：指数函数的图像与性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 解答：解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y， A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立， B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立． C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立． D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立． 故选：A． 点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键． 4．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为( ) A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题． 分析：对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k，进而可求切线方程 解答：解：对函数求导可得， 由导数的几何意义可知，曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k=﹣2 曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）即y=﹣2x+1 故选C 点评：本题主要考查了函数的导数的求解及导数的几何意义的应用，属于基础试题 5．sin（+α）=，则cos（﹣α）的值为( ) A．B．C．D． 考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：直接利用诱导公式化简求解即可． 解答：解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos=sin（+α）=． 故选：C． 点评：本题考查诱导公式的应用，注意互余关系，基本知识的考查． 6．将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）( ) A．由最大值，最大值为 B．对称轴方程是 C．是周期函数，周期 D．在区间上单调递增 考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由，求出x，即可判断B；再由正弦函数的增区间，即可得到g（x）的增区间，即可判断D． 解答：解：化简函数得， 所以将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数g（x）=2sin，即， 易得最大值是2，周期是π，故A，C均错； 由，得对称轴方程是，故B错； 由，令k=0，故D正确． 故选D． 点评：本题考查三角函数的化简和图象变换，考查三角函数的最值和周期、以及对称性和单调性，属于中档题． 7．已知函数f（x）=logax（0＜a＜1）的导函数f′（x），A=f′（a），b=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1），D=f（a+2）﹣f（a+1），则A，B，C，D中最大的数是( ) A．A B．B C．C D．D 考点：导数的运算． 专题：函数的性质及应用． 分析：设利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C，D分别为对数函数的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案． 解答：解：函数f（x）=logax（0＜a＜1）是可导函数且为单调递减函数， ∵A，C分别表示函数在点a，a+1处切线的斜率， ，， 故B，D分别表示函数图象上两点（a，f（a）），（a+1，f（a+1））和两点（a+1，f（a+1）），（a+2，f（a+2））连线的斜率， 由函数图象可知一定有A＞B＞C＞D，四个数中最大的是D， 故选A． 点评：本题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题． 8．已知a＜b，若函数f（x），g（x）满足，则称f（x），g（x）为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数： ①f（x）=2|x|，g（x）=x+1； ②f（x）=sinx，g（x）=cosx； ③； ④函数f（x），g（x）分别是定义在上的奇函数且积分值存在． 其中为区间上的“等积分”函数的组数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：微积分基本定理． 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间上的“等积分”函数的组数 解答：解：对于①，，而g（x）dx=（）=2，所以①是一组“等积分”函数； 对于②，，而，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数f（x）的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故，而g（x）dx|=，所以③是一组“等积分”函数； 对于④，由于函数f（x），g（x）分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分，所以④是一组“等积分”函数， 故选C． 点评：本题考查“等积分”函数，考查定积分的计算，有点复杂． 9．已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．∪∪ 点评：本题主要考查柯西不等式、基本不等式的应用，绝对值三角不等式，属于基础题． 10．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( ) A．B．C．D． 考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化． 分析：根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案． 解答：解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1）， 当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0． ∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=elnx﹣x+1=1， 故选D． 点评：本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系． 11．函数y=logsin（2x+）的单调减区间为( ) A．（kπ﹣，kπ]（k∈Z）B．（kπ﹣]（k∈Z） C．（kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．（kπ+，kπ+]（k∈Z） 考点：复合函数的单调性． 专题：函数的性质及应用． 分析：由题意可得，本题即求函数t=sin（2x+）在满足t＞0时，函数t的增区间，结合正弦函数的图象可得 2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，可得结论． 解答：解：函数y=logsin（2x+）的单调减区间， 即函数t=sin（2x+）在满足t＞0时，函数t的增区间， 结合正弦函数的图象可得 2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z， 解得 kπ﹣＜x≤kπ+，故在满足t＞0的条件下，函数t的增区间为（kπ﹣，kπ+]，k∈z， 故选：C． 点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的图象性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上 12．已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，则在上的投影为﹣． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：因为向量与的夹角为120°，所以在上的投影为cos120°=﹣，问题转化为求． 解答：解：∵与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2， ∴（+）?（﹣2）=0，即﹣﹣22=0， ∴4+﹣22=0，解得=， ∴在上的投影为cos120°=﹣=﹣×=﹣． 故答案为：﹣． 点评：本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用． 13．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}． 考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 专题：函数的性质及应用． 分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减， 所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在 专题：数系的扩充和复数． 分析：把z1=1﹣2i代入z2，化简可得z2=1+i，可得虚部为1 解答：解：∵z1=1﹣2i， ∴z2=====1+i， ∴复数的虚部为：1 故答案为：1 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属基础题． 15．设方程x3﹣3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是（﹣2，2）． 考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题． 解答：解：设f（x）=x3﹣3x， 对函数求导，f′（x）=3x2﹣3=0，x=﹣1，1． x＜﹣1时，f（x）单调增，﹣1＜x＜1时，单调减，x＞1时，单调增，f（﹣1）=2，f （1）=﹣2， 要有三个不等实根，则直线y=k与f（x）的图象有三个交点， ∴﹣2＜k＜2 故答案为：（﹣2，2）． 点评：学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题． 16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为﹣3． 考点：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用分段函数判断当x＞0时函数的周期性，然后利用周期性进行求值． 解答：解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）， ∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1）， ∴f（x+1）=﹣f（x﹣2）， 即f（x+3）=﹣f（x）， ∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6． ∴f=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3， 故答案为：﹣3． 点评：本题主要考查利用分段函数进行求值问题，利用函数的解析式确定当x＞0时，满足周期性是解决本题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B． （1）若a=时，求集合A∩（?UB）； （2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件． 专题：常规题型． 分析：（1）将a=带入原函数式，再求其定义域，然后进行交集、补集的运算便可． （2）根据必要条件的定义，及原函数的定义域，便可建立对于a的限定的式子． 解答：解：（1）a=时原函数变成y=lg， 解＞0得B=（，），所以?UB=（﹣∞，]∪∪∪． 点评：本题需掌握的几个知识点是：1．定义域的求法；2．交、并、补的运算；3．必要条件的概念；4．子集的概念． 18．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，向量 若|=2． （1）求角A的大小； （2）若△ABC外接圆的半径为2，b=2，求边c的长． 考点：余弦定理；向量的模；正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（1）由两向量的坐标表示出+，根据向量模的计算方法列出关系式，整理求出tanA 的值，即可确定出A的度数； （2）由三角形ABC外接圆半径，sinA的值，求出a的值，利用余弦定理求出c的值即可． 解答：解：（1）∵=（cosA，sinA），=（﹣sinA，cosA）， ∴+=（cosA﹣sinA+，cosA+sinA）， ∵|+|=2， ∴（cosA﹣sinA+）2+（cosA+sinA）2=4，化简得：sinA=cosA，即tanA=1， 则A=； （2）∵△ABC外接圆的半径为2，b=2，A=， ∴在△ABC中，由正弦定理=2R=4，即a=4sinA=2， 由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2b?c?cosA， 化简得：c2﹣2c﹣4=0， 解得：c=+（负值舍去）． 点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键． 19．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）． （1）当t=4时，求s的值； （2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 考点：函数解析式的求解及常用方法． 专题：压轴题． 分析：（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km）； （2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤20时；当20＜t≤35时； （3）根据t的值对应求S，然后解答． 解答：解：设直线l交v与t的函数图象于D点， （1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t， 当t=4时，D点坐标为（4，12）， ∴OT=4，TD=12， ∴S=×4×12=24（km）； （2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1） ∴S=?t?3t=当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2） ∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150 当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为，（35，0） ∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70 ∴D点坐标为（t，﹣2t+70） ∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3） ∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675； （3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km）， 当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675， ∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间， 由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）． ∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城． 点评：本题考查的是一次函数在实际生活中的运用，比较复杂，解答此题的关键是根据图形反映的数据进行分段计算，难度适中． 20．某地一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f （t）=24﹣4sinωt﹣4，且早上8时的温度为24°C，． （1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？ （2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28°C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？ 考点：函数模型的选择与应用． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式． （2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果． 解答：（本小题满分12分） 解：（1）依题意… 因为早上8时的温度为24°C，即f（8）=24， … ∵，故取k=1，， 所求函数解析式为．… 由，，可知， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32°C．… （2）依题意：令，可得… ∵，∴或， 即t=10或t=18，… 故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭… 点评：本题考查三角函数的化简求值，解析式的求法，考查计算能力． 21．已知函数f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x（其中a为常数） （1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间； （2）求方程f（x）﹣g（x）=0在区间上实数解的个数． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：（1）求出函数y=f（x）的导数，求出极值点，通过与y=g（x）有相同的极值点相同，求a的值，利用导数值的符号直接写出函数y=f（x）的单调区间； （2）化简方程f（x）﹣g（x）=0，构造函数，通过a的讨论，利用判别式是否为0，即可求解在区间上实数解的个数． 解答：（本小题满分13分） 解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x， 则f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），… 令f'（x）=0，得x=a或，而二次函数g（x）在处有极大值， ∴或； 综上：a=3或a=﹣1．… 当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，，满足题意， 即原方程有一解，x=a∈； … 2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3； 3°当a=﹣1时，△=0，h（x）=0的解为x=﹣1，故原方程有一解，x=﹣1； 4°当a＞3时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13﹣3a 若时，h（x）=0在上有一解，故原方程有一解； 若，h（x）=0在上有两解，故原方程有两解 若时，h（x）=0在上两解，故原方程有两解； 5°当a＜﹣1时，△＞0，由于h（﹣1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13﹣3a＞0， h（x）=0在上有一解，故原方程有一解； … 综上可得：当时，原方程在上两解；当a＜3或时，原方程在上有一解…． 点评：本题考查函数与导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间，函数的零点的判断，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力． 22．（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x﹣； （Ⅱ）若不等式对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范围； （Ⅲ）求证：． 考点：不等式的证明． 专题：证明题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，求出导数，判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递减 ，运用单调性即可得证； （Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式可化为（*）问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，构造函数，求出导数，对a讨论，当0＜a≤2时，当a＞2时，求出单调性，判断不等式是否成立，即可得到； （Ⅲ）要证，即证，由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，取可得不等式成立，变形整理即可得证． 解答：（Ⅰ）证明：令函数，定义域是{x∈R|x＞1}， 由，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减， 故当x＞1时，，即． （Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…（*） 问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立， 构造函数， 则， （1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a﹣2）≤0，则g'（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增， 则g（t）＞g（0）=0，即不等式对任意的正实数t恒成立． （2）当a＞2时，a（a﹣2）＞0 因此t∈（0，a（a﹣2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减； t∈（a（a﹣2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增， 故，由a＞2，即a﹣1＞1， 令x=a﹣1＞1，由（Ⅰ）可知，不合题意． 综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]． （Ⅲ）证明：要证，即证， 由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立， 取可得不等式成立， 综上，不等式成立． 点评：本题考查不等式的证明，考查构造法证明不等式，同时考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，以及单调性的运用，考查运算和推理的能力，属于中档题．。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高三级数学（文科）试题本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（ ） A ．{|2}x x > B ．{}02x x << C ．{} 12x x << D ．{|01}x x <<2．设复数z=2+bi (b ∈R)且z =22，则复数z 的虚部为 ( ) A. 2 B.±2i C.±2 D. ±223．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为（ ）A 、015．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）A ．102B ．39C ．81D ．216．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 （ ） A 、—3 B.—2 C.l D.－l7．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像A 、向左平移4π个长度单位 B.向右平移4π个长度单位 C.向左平移2π个长度单位 D.向右平移2π个长度单位8．下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+ ∞）上单调递减的是（ ） A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+ D ．lg ||y x = 9．已知,()()()a b f x x a x b >=--函数的图象如图，则函数()log ()a g x x b =+的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知,2log 2,)21(,252.02.1===-c b a 则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b << 11．定义在R 上的函数()f x 在（－∞，2）上是增函数，且(2)f x +的图象关于错误！未找到引用源。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高二级数学（理科）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 1、已知,,+∈R b a 且满足b a b a +,,成等差数列，2,,ab b a 成等比数列，则关于x 的不等式012≤+-bx ax 的解集为（ ）A. }1{B.]2,1[-C.RD.∅2、当(1,2)x ∈时，不等式x x x a log 212+<+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)1,0( B ．(]1,2 C ．)2,1( D ．[),2+∞3、在ABC ∆中,c b a 、、分别为三个内角C B A 、、所对的边,设向量),(),,(a c b n a c c b m +=--=，若向量n m ⊥，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π4、在ABC ∆中，若C B C B A sin sin 3sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是 （ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C ．(0,]3π D ．[,)3ππ 5．等差数列{}n a 中，10a >，310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6 B ．7 C ．6或7 D ．不存在6．已知a ,b 为非零实数，若b a >且0>ab ，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22b a > B ．b a a b > C ．b a ab 22> D ．2211ab b a < 7．下列命题中正确的是 （ ） A ．函数xx y 1+=的最小值为2. B ．函数2322++=x x y 的最小值为2.C ．函数)0(432>--=x xx y 的最小值为342-. D ．函数)0(432>--=x xx y 的最大值为342-. 8．在ABC ∆中，若2222sin sin b C c B +2cos cos bc B C =，则ABC ∆是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 9．函数f(x)＝1ax 2＋3ax ＋1的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛94,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡940，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡940，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛940， 10．设a>0，b>0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．8B ．4C ．1 D.1411．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1≠q 且),,2,1(0n i b i =>,若111111,b a b a ==，则（ ）A.66b a >B.66b a =C.66b a <D.66b a <或66b a > 12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则n S 的取值范围是（ ）.A (0,1) .B (0,)+∞ .C 1[,1)2 .D 1[,)2+∞第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 13．若不等式022>+-bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则=+b a ． 14．如果实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤++10101y y x y x ，那么目标函数y x z -=2的最小值为 ．15．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若327++=n n T S n n ，则55b a ＝ ．. 16．在等比数列{}n a 中,若,81510987=+++a a a a 8998-=⋅a a ,则=+++109871111a a a a ．三、 解答题（本大题共5小题，共48分）17、(12分) 已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边， 且2(2)cos 2cos 2B b c A a a -=-． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3=a ，求c b +的取值范围．18、(12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32a =，615S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题10分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B .（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积． 20．（本小题10分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是2a ，4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 21log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .21．（本小题12分）函数323)(+=x xx f ，数列{}n a 满足*,),(,111N n a f a a n n ∈==+ （I ）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列； （II ）令n n n n n b b b s b n a a b +⋯++==≥•=-2111,3),2(，若22003-<m S n 对一切*N n ∈成立，求最小正整数m .高二年级期中（理科）数学试题答案第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分）13． -10 14． -3 15．1216．3三、解答题（本大题共5小题，共48分）17．（本小题8分）【答案】（Ⅰ）3π（Ⅱ）(⎤⎦解：（1）BaAcbBaAcb coscos)2(),2cos21(cos)2(2-=-∴-=-由正弦定理得，()sin2sin cos sin cosB C A A B∴-=-，整理得sin cos sin cos2sin cosB A A BC A+=，即sin()2sin cosA B C A+=，又CBA sin)sin(=+1cos2A∴==3Aπ∴(2) 2sinsinsin===CcBbAa()2sin sinb c B C∴+=+又BCCB-=∴=+3232ππ又是锐角三角形ABC∆62Bππ∴<<22sin2sin2sin2sin36B C B B Bππ⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2,633Bπππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭(3b c⎤∴+∈⎦18题：（8分）解：（Ⅰ）因为数列{}na是等差数列，设其公差为d，由题设可得1122,61515,a da d+=⎧⎨+=⎩解得10,1,ad=⎧⎨=⎩所以1(1)1na a n d n=+-=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）1n a n =-，所以12n n b -=，可知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，因此1(1)1221112n n n n b q T q --===---．19．（本小题10分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B .（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积． 解：（1）∵36cos =A ，2π+=A B , ∴A 必为锐角，33sin =A ，36cos sin ==A B , 由正弦定理知：2333363sin sin =⨯==AB a b . （2）∵2π+=A B ，∴B 为锐角，33cos -=B ， ∴B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=3136363333=⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= ∴2233123321sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC . 20．（本小题10分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是2a ，4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 21log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .解：（1）设等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q .依题意，有423)2(2a a a +=+，代入28432=++a a a ，可得83=a ，2042=+a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=20831121q a q a q a ，解之得⎩⎨⎧==221a q 或⎪⎩⎪⎨⎧==32211a q ，又数列{}n a 单调递增，∴2=q ，21=a ，∴数列{}n a 的通项公式为n n a 2=.（2）∵nnnn n b 22log 221⋅-==，∴n n n S 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=- ，①=-n S 2 13222)1(2221+⨯+⨯-++⨯+⨯n n n n .②① － ②，得222221)21(222222111132-⋅-=⋅---=⋅-++++=++++n n n n n n n n n n S22)1(1--=+n n .21．（本小题12分）【解析】(I)先得到1323nn n a a a +=+,然后两边取倒数，即可证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列;——5(II)在（I ）的基础上，求出{n a }的通项公式，从而得到1n n n b a a -=,然后再采用裂项求和的方法求和即可.再利用S n 的单调性求出S n 的最大值，让其最大值小于20032m -. 解得求最小正整数m =2012——12。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015～2016学年上学期第二次检测考试高三(文科)数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设复数1i z =+（i 是虚数单位），则22z z+等于 ( ) A.1i + B.1i -+ C.i - D.1i --2、设全集U R =，{}0)2(|<-=x x x A ，{})1ln(|x y x B -==，则)(B C A U I 是（ ） A.(-2,1) B ．(1,2)C ．(-2,1]D ． [1,2)3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53C.- 2 D 3 4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若7662a a +=，则9S 的值是( )A ．27B ．36C ．45D ．54 5．若向量→a ，→b 满足|→a ＋→b |＝|→a －→b |＝2|→a |，则向量→a ＋→b 与→a 的夹角为( ) A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π6．设函数xxe x f =)(，则( )A ．1=x 为)(x f 的极大值点B ．1=x 为)(x f 的极小值点C ．1-=x 为)(x f 的极大值点D ．1-=x 为)(x f 的极小值点7、函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、已知向量(2,1),10,||||a a b a b b =⋅=+=r r r r r r则=（ ）A B C ．5D ．259、将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为 ( )A.1sin y x =-B.1sin y x =+C.1cos y x =-D.1cos y x =+ 10、设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件11、已知，，，则的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．12．若1x 满足522=+xx , 2x 满足5)1(log 222=-+x x , 21x x +＝ ( )A ．25 B ．3 C ．27D ．4 第Ⅱ卷 （共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．） 13．已知数列{n a }的通项公式n a ＝19－2n ，则n S 取得最大值时n 的值为________． 14．给出下列说法，其中说法正确的序号是________．① 小于ο90的角是第Ⅰ象限角； ②若α是第一象限角，则ααsin tan >； ③ 若x x f 2cos )(=，π=-12x x ，则)()(12x f x f =；④ 若x x f 2sin )(=，x x g 2cos )(=，21,x x 是方程)()(x g x f =的两个根，则12x x -的最小值是π.15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝21AB ，BE ＝32BC. 若→→→+=AC AB DE 21λλ(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为________．16．已知函数1)(23+++=mx x x x f 在区间)2,1(-上不是单调函数，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17、（12分）已知向量)1,cos sin 3(x x -=，)21,(cos x n =ρ，若n m x f ρρ⋅=)(．13a π=log 3b π=1)c =,,a b c b c a<<c b a<<b a c<<a b c <<(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期；(Ⅱ) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3=a ，23)122(=+πA f （A 为锐角），2sin sin C B =，求A 、c b 、的值．18、（12分）已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图象与y轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]ππ3,3-上的 单调递增区间；19、（12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,243+=a S 且1,1,321--a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，求证：).(2131*N n T n ∈<≤20、（12分）已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f (Ⅰ) 若1x =为)(x f 的极大值点，求a 的值；(Ⅱ) 若)(x f y =的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为03=-+y x ，求)(x f 在区间[]4,2-上的最大值．21、（12分）已知函数).21)(log 2(log )(42--=x x x f (Ⅰ) 当[]4,2∈x 时，求该函数的值域；(Ⅱ) 若]16,4[log )(2∈≥x x m x f 对于恒成立，求m 的取值范围.选考题：（10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22、选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径 ，AC 是弦 ，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F. (Ⅰ) 求证：DE 是⊙O 的切线；(Ⅱ) 若54=AB AC ，求DF AF的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲2方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 、2C 相交于点A 、B ．（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长．24．选修4－5：不等式选讲 设函数a x x x f +-++=21)(．（I ）当5-=a 时，求函数)(x f 的定义域；（II ）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围．B数学答案：选择题：1--5 ADCCB 6--10 DCCCA 11--12 AC 13、4114、{}13|≥-≤x x x 或 15、（-4,2） 16、6 17、答案：ππ=-=T x x f ),62sin()(1）（（2）32,33A ===b c ，π18、答案：Z k k k x x f A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++====ππππππϕω432,434-),621sin(2)(,6,21,2)1(增区间为：（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππππ3,3832,34和19、20.解：（1）.12)(22-+-='a ax x x f∵ 1=x 是()f x 的极值点，0)1(='∴f ，即022=-a a 0a ∴=或2a =.当0a =时，'()(1)(1)f x x x =-+，1x =是()f x 的极小值点，当2a =时，'()f x 243(1)(3)x x x x =-+=--，1x =是()f x 的极大值点∴a 的值为2.（2）∵))1(,1(f 在03=-+y x 上. 2)1(=∴f∵（1，2）在)(x f y =上 b a a +-+-=∴13122 2131.21,131,1121121)2(,12,2,1)1(*1<≤∴<>==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∈-===n n n n n T T n T n n T N n n a d a 时当时当又(1)1f k '==-，21211a a ∴-+-=-，2210a a ∴-+=，81,3a b == 3218().33f x x x ∴=-+ 2()2(2)f x x x x x '=-=-，由0)(='x f 得0x =和2x =，列表：x-2 (2,0)-0 （0，2） 2 （2，4）4 '()f x+ — + ()f x4-增8/3减4/3增8由上表可得()f x 在区间[－2， 4]上的最大值为8. ……12分 21、解：（1）)21)(log 2log 2()(44--=x x x f ，]1,21[]4,2[,log 4∈∈=t x x t 时，令 此时，132)21)(22(2+-=--=t t t t y ,]0,81[-∈∴y(2)即恒成立对恒成立，对]2,1[312]2,1[1322∈-+≤∴∈≥+-t tt m t mt t t ， 易知.0,0)1()(]2,1[312)(min ≤∴==∴∈-+=m g t g t tt t g 上单调递增，在 22. 解：（Ⅰ）证明：连接OD ，∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD=∠BAD ，∵OA=OD ， ∴∠BAD=∠ADO ，∴∠CAD=∠ODA ， ∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ， ∴直线DE 是⊙O 的切线．----------5分（Ⅱ）连接BC 交OD 于G ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，54=AB AC Θ∴设AC=4a ，AB=5a ，由勾股定理得：BC=3a ，∴OA=OD=OB=2.5a ，∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG ，∴四边形ECGD 是矩形，∵OG 为△ABC 中位线，∴G 为BC 中点∴DE=CG=1.5a ，∵OD ∥AE ，OA=OB ，∴CG=BG ，∴OG=21AC=2a ，∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a ，∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a ， ∵OD ∥AC ，∴△AEF ∽△DOF ，∴.59==OD AE DF AF ----------10分 23. （Ⅰ）2260x y x +-= 0x y -= ……5分（Ⅱ）32AB = ……10分24.解:（Ⅰ）由题设知：05|2||1|≥--++x x如图，在同一坐标系中作出函数21-++=x x y 和5=y 的图象（如图所示） 得定义域为][),32,(+∞⋃--∞. （Ⅱ）由题设知，当R x ∈时，恒有0|2||1|≥+-++a x x即 a x x -≥-++|2||1| 又由（Ⅰ）3|2||1|≥-++x x ∴ ⇒≤-3a 3-≥a。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高三级数学（理科）试题本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则()R C S T =（ ）A.]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞ 2.下面关于复数iz +-=12的四个命题中的真命题为（ ） 2:1=z p i z p 2:22= z p :3的共轭复数为1+i z p :4的虚部为-1A. 31,p pB. 21,p pC. 42,p pD. 43,p p 3．运行右面的程序框图相应的程序，输出的结果为（ ） A ．2- B ．12C ．1-D ． 2 4．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则a 的值是（A ．1B ．12C ．1-D ．25. 下列结论错误．．的是 （ ） A ．命题p:“x R ∃∈,使得210xx ++<”，则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥;B. “4x =”是“2340x x --=”的充分非必要条件； C ．数列2，5，11，20，x ，47，……中的32x =; D ． 已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥ 6．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图 如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ） A ．1 B.2 C ．3 D.47. 设f(x)＝()1232,(2)log 1,(2)x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩，则不等式f(x)＜2的解集为（ ） A ． B ．(－∞，1)∪[2正(主)视图侧(左)视图俯视图C ．(1,2]∪D ．(18．已知函数y ＝x 3-3x +c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝（ ） A ．-2或2 B ．-9或3 C ．-1或1 D ．-3或1 9．已知函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<其部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为 （ ）A ．2,3πωϕ== B.2,6πωϕ==C ．1,3πωϕ==D ．1,6πωϕ==10. 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是（ ） A ．8- B ．7- C ．6- D ．4-11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 C ．()f x ．()f x 既是奇函数，又是周期函数12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点)2,1(=i P i ,使得21A A P i ∆构成以12A A 为斜边的直角三角形,则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A.)+∞ B.)+∞ C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上13、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为14、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有第9题图12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为15．已知复数112z i =-，则12111z z z +=-的虚部是 . 16. 方程33x x k -=有3个不等的实根,则常数k 的取值范围是 . 17．定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),8(log )(2x x f x f x x x f ，则=)2013(f .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知()x f ⋅=，其中()x x a 2sin 3,cos 2-=，()()R x x ∈=1,cos ． （1）求()x f 的周期和单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a ()1-=A f ，7=a ，3=⋅，求边长b 和c 的值（c b >）．18．（10分）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =,且124,,S S S 成等比数列； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。

2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2} 2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．﹣D．5．（5分）某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表，可得回归直线方程中的＝﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A．B．C．4D．12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f （y）＝f（x+y），若a1＝，a n＝f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝．14．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝．15．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．（5分）已知曲线y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（共70分）17．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+1，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．20．（12分）已知椭圆C的方程是+＝1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）若椭圆的左顶点为（﹣2，0），离心率e＝，求椭圆C的方程；（2）设向量＝λ（+）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．21．（12分）对于函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y＝x﹣2的最小距离；（3）若g（x）＝8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【解答】解：M＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N＝{x|（）x≤4}＝{x|x≥﹣2}，则M∪N＝{x|x≥﹣2}，故选：A．2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：复数z＝＝＝1+i的四个命题：p1：|z|＝≠2，因此是假命题；p2：z2＝（1+i）2＝2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．3．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．4．（5分）函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．﹣D．【解答】解：∵f（x）＝关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，∴a ＝1∵g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，∴g（﹣x）＝g（x）对任意的x都成立，∴lg（10﹣x+1）﹣bx＝lg（10x+1）+bx，∴lg（）＝lg（10x+1）+2bx∴﹣x＝2bx对一切x恒成立，∴b＝﹣，∴a+b＝故选：D．5．（5分）某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表，可得回归直线方程中的＝﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个【解答】解：＝17.5，＝39∵b＝﹣4，＝bx+a∴a＝39+4×17.5＝109∴回归直线方程为＝﹣4x+109∴x＝15时，＝﹣4×15+109＝49件；故选：B．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【解答】A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x＝2且y＝1时，x+y＝3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）＝ax2+2x﹣1有一个零点时，a＝﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a＝﹣1或a＝0；∴命题错误．故选：B．7．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得＝＝＝，故有λ＝，故选：B．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4＝0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S＝＝，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S＝，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为＝，故选：D．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y＝f（x）的图象如图所示：因为f（0）＝f（3）＝2，1＜a＜2，所以函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：D．10．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由定义的行列式运算，得＝＝＝＝．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m＝．当k＝0时，m有最小值．故选：C．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A．B．C．4D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2＝2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+＝3∴p＝2∴抛物线方程为y2＝4x∵M（2，y0）∴∴|OM|＝故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f （y）＝f（x+y），若a1＝，a n＝f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即＝＝f（1）＝，∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n＝f（n）＝（）n，∴S n＝＝1﹣（）n∈[，1）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝14．【解答】解：有框图知S＝a⊗b＝∴5⊗3+2⊗4＝5×（3﹣1）+4×（2﹣1）＝14故答案为1414．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝．【解答】解：若tanθ+＝4，则sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝＝，故答案为．15．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2＝1，∴a2＝b2＝1，c2＝a2+b2＝2，可得F1F2＝2∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝8又∵P为双曲线x2﹣y2＝1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝±2a＝±2，（|PF1|﹣|PF2|）2＝4因此（|PF1|+|PF2|）2＝2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2＝12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．（5分）已知曲线y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【解答】解：因为y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'＝0有解，即y'＝在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1＝0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）＝3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴＝，解得n＝40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有＝15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P＝．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+1，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d≠0．∵S3＝a4+6，∴3a1+＝a1+3d+6．①∵a1，a4，a13成等比数列，∴．②…（2分）由①，②可得：a1＝3，d＝2．…（4分）∴a n＝2n+1．…（6分）（Ⅱ）由题意，设数列{b n}的前n项和为T n，，＝＝4，（n∈N*），∴数列{∁n}为以8为首项，以4为公比的等比数列…（9分）∴＝．…（12分）19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）解：由题意，△AB1D中，AD＝，B1D＝，AD⊥B1D，∴＝＝，设点C1到平面AB1D的距离为h，则由＝可得＝，∴h＝．20．（12分）已知椭圆C的方程是+＝1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）若椭圆的左顶点为（﹣2，0），离心率e＝，求椭圆C的方程；（2）设向量＝λ（+）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆方程为．…（3分）．（2）设直线l的方程为y＝x﹣c．由，得（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2（c2﹣b2）＝0，∴，从而．…（5分）∴，，∵点P在椭圆C上，∴…（8分）4λ2a2c2+4λ2b2c2＝（a2+b2）2，解得…（10分）∴，且0＜e＜1，∴＝又λ＞0，∴即λ的取值范围是．…（12分）21．（12分）对于函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y＝x﹣2的最小距离；（3）若g（x）＝8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，所以f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；（2）由题，知直线y＝x﹣2的斜率为k＝1，令f′（x）＝＝1，得2x2﹣x﹣1＝（2x+1）（x﹣1）＝0，解得x＝1或（舍），此时y＝1﹣ln1＝1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y＝x﹣2时，那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d＝＝；（3）令f（x）＝g（x），即x2﹣lnx＝8x﹣7lnx﹣k，得k＝﹣x2+8x﹣6lnx，记G（x）＝﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）＝＝＝0，解得，x1＝1，x2＝3，不难判断x1＝1是极小点，x2＝3是极大点，故G min（x）＝G（1）＝﹣1+8＝7，G max（x）＝G（3）＝﹣9+24﹣6ln3＝15﹣6ln3，又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→﹣∞，故要使f（x）与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15﹣6ln3．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．【解答】（1）证明：连结OP，OM，∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠OP A+∠OMA＝180°，∵圆心O在∠P AC的内部，∴四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆…（5分）（2）解：由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM，由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠P AC的内部，∴∠OPM+∠APM＝90°，∴∠OAM+∠APM＝90°…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y的最小值．【解答】解：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程为：x﹣y+2﹣＝0，由公式ρ2＝x2+y2得曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1；（2）曲线C经过伸缩变换变为，将其代入直角坐标方程得到曲线C′的方程为，即，记z＝x+y，联立方程组，消去x，得，显然，解得z＝，故x+y得最小值为．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|＝a+≥2＝2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 M={ x | x 2+3x+2<0} , 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则 M ∪N= （ ）A ．{ x | x ≥-2}B ．{ x | x>-1}C ．{ x | x<-1}D ．{ x | x ≤ -2}2．下面是关于复数21z i=- 的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．下列推断错误的是( )A. 命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B. 命题p ：存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非p ：任意x ∈R ，都有210x x ++≥C. 若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. “1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.函数9()3x xa f x -=的图像关于原点对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则=+b a A.1 B. 1- C. 21-D. 21 5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个6.下列说法正确．．的是 A ．命题“x ∀∈R ，0x e >”的否定是“x ∃∈R ，0x e >”B ．命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立”D ．命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题7．在ABC V 中,已知2AD DB =,且13CD CA CB λ=+,则λ=( ) A.23 B.13 C.13- D.23-8. 已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）9. 已知函数()f x 的定义域为[1,4]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期第一次月考高二文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知命题p ：∀x ∈R ，x>sinx ，则p 的否定形式为( )A.∃x ∈R ，x<sinxB.∀ x ∈R ，x ≤sinxC.∃x ∈R ，x ≤sinx D ．∀x ∈R ，x<sinx【答案】C【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，否定时将结论加以否定，x>sinx 的否定是x ≤sinx ，因此命题 ∀x ∈R ，x>sinx 的否定是∃x ∈R ，x ≤sinx考点：全称命题与特称命题2.到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为8的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.线段C.圆D.直线【答案】B【解析】试题分析：点P 满足12128PF PF F F +==,所以动点P 的轨迹是线段12F F考点：动点的轨迹3.下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a<b ”的逆命题是真命题B ．已知x R ∈，则“x 2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件C ．命题 “p ∨q ”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件【答案】B【解析】试题分析：A 中当0m =时，逆命题是假命题；B 中由x=3可得到x 2-2x-3=0成立，因此“x 2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件；C 中“p ∨q ”为真命题，则命题p ，命题q 至少有一个是真命题；D 中“x>1”是“x>2” 必要不充分条件考点：1.四种命题；2.充分条件与必要条件4.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－32πB ．24－3πC ．24－πD ．24－2π 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是棱柱，棱柱的高为3，底面为长4宽2的矩形去掉半径为1的半圆，因此底面积为21241822s ππ=⨯-⨯=-，所以体积为3242V sh π==- 考点：三视图与棱柱体积5.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】试题分析：B （4，－3，7），C （0，5，1）的中点为D （2，1，4）,则BC 边上的中线长为3= 考点：空间两点间距离 6.已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P(3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【答案】A【解析】试题分析：圆的圆心为()2,0，半径2r =，点P(3,0)在圆内，所以过点P(3,0)的直线l 与C 相交 考点：直线与圆的位置关系7.下列各数中最小的数是( )A ．111 111(2)B ．210(6)C ．1 000(4)D ．110(8)【答案】A【解析】试题分析：()543210211111122222263=+++++=，()216210261678=⨯+⨯=，()3410001464=⨯=， ()218110181872=⨯+⨯=考点：进制转化8.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )【答案】C【解析】试题分析：650.1750.3850.4950.282⨯+⨯+⨯+⨯=，平均分为82考点：频率分布表与平均数9.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．B ．D ．1【答案】B【解析】试题分析：圆中圆心()0,0，半径2r =，圆心到直线的距离515d -==，所以弦长l 满足2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：直线与圆相交的位置关系10.执行右边的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.8【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下： 1.2, 1.20,0.2,0.20,0.8,0.81a a a =--<=--<=≥不成立，输出0.8； 1.2,1.20,1.21,0.2,0.21a a =<≥=≥不成立，输出0.2考点：程序框图11.已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．0.85 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.5【答案】D【解析】试题分析：01233 5.5715.51.5,444m m x y +++++++==== ，中心点代入回归方程 y ＝2.1x ＋0.85得15.5 2.1 1.50.850.54m m +=⨯+∴= 考点：回归方程12.在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则 （ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A【解析】考点：1.空间中直线与平面之间的位置关系；2.平面与平面之间的位置关系；3.二面角的平面角及求法第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13.已知ABC ∆中，()1,1-A ，()2,2B ，()0,3C ，则AB 边上的高线所在直线方程为__________．【答案】033=-+y x【解析】试题分析：AB 直线斜率12312k --==-，所以高线斜率为13-，高线方程为()1023303y x x y -=--∴+-= 考点：直线垂直的位置关系及直线方程14.已知圆C ：22240x y x y m ++-+=与直线:2l y x =+相切，且圆D 与圆C 关于直线l 对称，则圆D 的方程是___________。

绝密★启用前2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高二上学期期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：160分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在区间和上分别任取一个数，记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）. . .2、我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（ ） A ．B ．C ．D ．3、设有算法如图所示：如果输入，则输出的结果是（ ）A ．90B ．45C ．2D ．04、直线与圆交于E 、F 两点，则EOF （O 是原点）的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5、运行右图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（ ）．A ．B ．C ．D ．6、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线的焦点距离为3，则（ ）A ．B ．C ．3D ． 47、设，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8、双曲线的焦距为（ ） A ．B ．C ．D ．9、椭圆的焦点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．10、抛物线的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11、设命题，则为（ ）12、“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是 .14、命题“恒成立”则实数的取值范围为;15、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从右向左的第3个数为16、是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为三、解答题（题型注释）17、已知函数，其中.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围.18、已知抛物线与直线 相交于两点．（1）求证：；（2）当的面积等于时，求的值．19、已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值.20、为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表: 已知在全部30人中随机抽取1人, 抽到肥胖的学生的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整（2）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理. 求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率. 参考数据：（参考公式：）21、如图，四棱锥中，平面平面，侧面是等腰直角三角形，，底面是直角梯形，且∥，，，（1）求证：⊥； （2）求三棱锥的体积； （3）若点是线段上一点，当// 平面时，求的长.22、哈尔滨市投资修建冰雪大世界，为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本，组委会成立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费指数（单位：百元）进行调查，在调查的1000位游客中有100位哈尔滨本地游客，把哈尔滨本地游客记为A 组，内外地游客记为B 组，按分层抽样从这1000人中抽取A,B 组人数如下表：A 组:B 组:（1）确定的值，再分别在答题纸上完成A 组与B 组的频率分布直方图；（2）分别估计A,B 两组游客消费指数的平均数，并估计被调查的1000名游客消费指数的平均数.参考答案1、B2、A3、B4、D5、B6、C7、B8、D9、C10、B11、B12、A13、14、15、16、17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；18、（1）证明见解析；（2）；19、（1）；（2），为单调增区间，为单调减区.20、（1）列联表略；（2）有；（3）；21、（1）证明略；（2）；（3）；22、（1）；（2）A组3.45，B组5.6，5.285【解析】1、试题分析：椭圆离心率，因此，即，因此所求事件的概率为考点：几何概型；2、试题分析：在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，而边长为的正三角形的高为，因此类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为正四面体的高，棱长为的正四面体的高为；考点：类比推理；3、试题分析：输入，第一次执行完循环体得到：；第二次执行完循环体得到：；第三次执行完循环体得到：；此时输出；考点：程序框图；4、试题分析：圆心到直线的距离，，原点到直线的距离，因此EOF的面积为；考点：直线与圆的位置关系；5、试题分析：第一次执行完循环体得到：；第二次执行完循环体得到：；第三次执行完循环体得到：；第四次执行完循环体得到：；第五次执行完循环体得到：；第六次执行完循环体得到：；输出结果为，因此判断框中应该填的条件是；考点：程序框图；6、试题分析：根据题意，可设抛物线的标准方程为，由于点到该抛物线的焦点距离为3，故，解得，抛物线标准方程为，将点代入抛物线方程可得，因此；考点：抛物线的焦半径；7、试题分析：函数的导函数为，，则，解得，故选B；考点：函数的导数；8、试题分析：在双曲线中，，因此，故双曲线的焦距；考点：双曲线的焦距；9、试题分析：在椭圆中，，因此，而椭圆的焦点在轴上，因此焦点坐标为；考点：椭圆的焦点坐标；10、试题分析：化抛物线方程为标准方程，因此抛物线的准线方程为；故选B；考点：抛物线的准线方程；11、试题分析：含有全称量词的命题的否定是特称命题，命题，则为，故选B；考点：含有量词的命题的否定；12、试题分析：若成立，则一定成立；反之若成立，则不一定成立；因此“”是“”的充分而不必要条件；考点：充分必要条件;13、试题分析：构造函数，则是上的偶函数，，且当时，，函数单调递增，因此当时，，当时，，而，故的解集是；考点：导数的应用；14、试题分析：当时，不等式恒成立；当，不等式恒成立，则，解得；因此实数的取值范围为考点：恒成立问题；15、试题分析：按照三角阵的排列规律，第行（）从右向左的第3个数为考点：归纳推理；16、试题分析：复平面内对应的坐标分别为，设的坐标为，由于，因此有，解得，故点对应的复数为考点：17、试题分析：（Ⅰ）先求出时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即；（Ⅱ）先求出导函数，再针对与进行分类讨论，分别求出的取值范围，再取并集即可；试题解析：（Ⅰ）当时，，；，所以曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ），令，解得或，以下分两种情况讨论：（1）若，则，当变化时，的变化情况如下表：当时，等价于，即，解不等式组得，因此；（2）若，则，当变化时，的变化情况如下表：当时，等价于，即，解不等式组得或，因此；综合（1）和（2），可知的取值范围为考点：导数的综合应用；不等式恒成立；18、试题分析：（1）要证，即证，联立直线与抛物线方程消去，得ky2＋y－k＝0，利用韦达定理可以证得；（2）设直线l与x轴的交点为N，求出点N的坐标为（－1,0），则，把（1）中的韦达定理代入可得的值；试题解析：（1）证明：联立，消去，得ky2＋y－k＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，.因为，所以，所以，所以，即，所以.（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），所以，解得，所以考点：直线与抛物线位置关系；19、试题分析：（1）先求出函数的导数，得到；（2）分别令和，求解得到函数的单调增减区间，再根据函数的单调性得到函数的极大和极小值；试题解析：（Ⅰ），所以.（Ⅱ），解，得或.解，得.所以，为函数的单调增区间，为函数的单调减区.考点：函数的导数及其应用；20、试题分析：（1）先根据在全部30人中随机抽取1人, 抽到肥胖的学生的概率为，求出常喝碳酸饮料肥胖的学生有6人，进而完成列联表；（2）根据（1）中的列联表，求出，因此有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；（3）设其他工作人员为丙和丁，列举出4人分组的所有情况，根据古典概型求出概率即可；试题解析：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，（2）由已知数据可求得：因此有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高二年数学（文科）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 1．不等式111-≥-x 的解集为（ ） A ．(-∞,0]∪(1,+∞) B ．[0,+∞)C ．[0,1)∪(1,+∞)D ．(-∞,0]∪[1,+∞)2． “m ＜”是“方程x 2+x +m =0有实数解”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3．在等差数列{a n }中，a 1+a 5=8，a 4=7，则a 5等于（ ）A. 3B. 7C. 10D. 114．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3， 0），离心率等于，则C 的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=（a ﹣b ）2+6，C=，则△ABC的面积是（ ） A ．B ．C ．D ．36．设m 、n 为实数，若m +n =2，则3a +3b 的最小值为（ ） A ．18 B ．6 C ．2 D ．9 7．下列命题中正确的是 （ ） A.函数xx y 1+=的最小值为2. B.函数2322++=x x y 的最小值为2.C.函数)0(432>--=x xx y 的最小值为342-.D.函数)0(432>--=x xx y 的最大值为342-. 8.在ABC ∆中，若2222sin sin b C c B +2cos cos bc B C =，则ABC ∆是 （ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形9．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则θcos 等于（ ）A ．721 B ．1421 C ．14213 D ．282110．已知点O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ ∠cos 取最小值时的POQ ∠的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ）A ．23 B ．22C ．21 D ．21- 12．已知2)1()(=-+x f x f ，)1()1()1()0(f nn f n f f a n +-+++= *)(N n ∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．1-=n a nB ．n a n =C ．1+=n a nD ．2n a n =第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 13．对∀x ∈R ，kx 2﹣kx ﹣1＜0是真命题，则k 的取值范围是_________． 14．若关于x 的不等式2x 2﹣3x +a ＜0的解集为{m ，1}，则实数m =_________．15．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是_________． 16．设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是_________．三、 解答题（本大题共5小题，共48分）17．（本小题8分）解关于x 的不等式0)1(2>--+a a x x ，)(R a ∈．18．（本小题8分）（1）若0>x ，0>y ，1=+y x ，求证：411≥+yx .（3分） （2）设x ，y 为实数，若122=++xy y x ，求y x +的最大值.（5分）19．（本小题10分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B .（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积．20．（本小题10分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是2a ，4a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 21log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .21．已知数列{}n a 满足21=a ，1124+++=n n n a a ()*∈N n .（1，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求满足240≥n a 的最小正整数n .高二期中数学（文科）答案第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分） 13. (-4,0] 14. 15.+=1 16. 1三、 解答题（本大题共5小题，共48分） 17．（本小题8分）解：∵关于x 的不等式0)1(2>--+a a x x ，∴0)1)((>-++a x a x ，当1->-a a ，即21<a 时， 1-<a x 或a x ->， 当a a ->-1，即21>a 时，a x -<或1->a x ，当a a -=-1，即21=a 时，21≠x ，∴当21<a 时，原不等式的解集为：1|{-<a x x 或}a x ->，当21>a 时，原不等式的解集为：a x x -<|{或}1->a x ，当21=a 时，原不等式的解集为：},21|{R x x x ∈≠．18．（本小题8分）（1）证明：∵1=+y x ，0>x ，0>y∴0>xy，0>y x ，∴yy x x y x y x +++=+11 4222=⋅+≥++=yxx y y x x y .当且仅当21==y x 时，等号成立. （2）解：∵122=++xy y x ，∴1)(2=-+xy y x ，即22211)(⎪⎭⎫⎝⎛++≤+=+y x xy y x （当且仅当y x =时，等号成立）.∴1)(432≤+y x . 即332332≤+≤-y x ∴y x +的最大值为332（当33==y x 时，等号成立）. 19．（本小题10分）解：（1）∵36cos =A ，2π+=A B , ∴A 必为锐角，33sin =A ，36cos sin ==A B , 由正弦定理知：2333363sin sin =⨯==AB a b . （2）∵2π+=A B ，∴B 为锐角，33cos -=B ， ∴B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=3136363333=⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯= ∴2233123321sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC . 20．（本小题10分）解：（1）设等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q .依题意，有423)2(2a a a +=+，代入28432=++a a a ，可得83=a ，2042=+a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=20831121q a q a q a ，解之得⎩⎨⎧==221a q 或⎪⎩⎪⎨⎧==32211a q ，又数列{}n a 单调递增，∴2=q ，21=a ，∴数列{}n a 的通项公式为nn a 2=.（2）∵nn n n n b 22log 221⋅-==，∴nn n S 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=- ，①=-n S 2 13222)1(2221+⨯+⨯-++⨯+⨯n n n n .②① － ②，得222221)21(222222111132-⋅-=⋅---=⋅-++++=++++n n n n n n n n n n S22)1(1--=+n n .21．（本小题12分）解：（1）1124+++=n n n a a即n n b b 21=+，∴数列{}n b 是以2为首项以2为公比的等比数列； -------4分 （2）由（1）得n n b 2=，∴n n n a 24-=； ----------8分（3）由24024≥-=n n n a ，得162≥n （152-≤n舍），解得4≥n ，∴满足240≥n a 的最小正整数n 为4.。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015～2016学年上学期第二次检测考试高三数学（理）试卷第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={ -1，1 }，B={ x ∈R| x 2-x-2=0 },则A ∩B= （ ）A ．{1} B.∅ C.{-1,1} D.{-1} 2.函数f(x)=(4)ln(2)3x x x ---的零点有 （ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.函数f(x)=log 2(3x-1)的定义域为 （ ）A.（0，+∞）B.［0，+∞）C.（1，+∞）D.［1，+∞） 4. 已知α为第四象限的角，则tan2α（ ）A ．一定是正数 B.一定是负数C.正数、负数都有可能 D.有可能是零5.已知向量(2,1),10,||52,||a a b a bb =⋅=+=则= （ ）A B C ．5D ．256.设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对于任意t R Î，都有()(2)f t f t =-，且(]0,1x Î时，2()4x f x x =-+，则(3)f 的值等于 （ ） Ａ．55- B 55 Ｃ 3- Ｄ 3 7在ABC D 中，AB 边的高为CD ，若C B a =，CA b =，0a b ?，1,2a b ==，则AD =A.4455a b - B 3355a b - C 2233a b - D 1133a b - 8.设α为锐角，若4cos sin 6512ππαα⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ( )A 10B 10-C 5D 5-9.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A. 1y x =-B. 33y x =-C. 22y x =+D. 1log ey x = 10.已知函数()cos(2),3f x x p=+则下列说法正确的是 （ ） A.函数()cos(2)3f x x p =+的图像向右平移3p个单位长度可得到sin 2y x =的图像。

2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．“2＜x＜3”是“x＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤03．抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2 C．D．y=﹣24．椭圆+=1的焦点坐标是（）A．（±5，0）B．（0，±5）C．（0，±12）D．（±12，0）5．双曲线=1的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．46．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln27．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（x0，1），若点M到该抛物线的焦点距离为3，则|OM|=（）A． B．3 C． D．48．运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（）A．k＞5 B．k＞6 C．k＞7 D．k＞89．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C． D．10．设有算法如图所示：如果输入A=225，B=135，则输出的结果是（）A．90 B．45 C．2 D．011．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a12．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．在复平面内．平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i，﹣i，2+i，则点D对应的复数为．14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从右向左的第3个数为．15．若命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．哈尔滨市投资修建冰雪大世界，为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本，组委会成立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费指数（单位：百元）进行调查，在调查的1000位游客中有100位哈尔滨本地游客，把哈尔滨本地游客记为A组，内外地游客记为B组，按分层抽样从这1000人中抽取A，B组人数如下表：（2）分别估计A，B两组游客消费指数的平均数，并估计被调查的1000名游客消费指数的平均数．18．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面ABE⊥平面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，EA⊥EB，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，（1）求证：AB⊥DE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积；（3）若点F是线段EA上一点，当EC∥平面FBD时，求EF的长．19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．（参考公式：）20．已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．21．已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．22．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．“2＜x＜3”是“x＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“2＜x＜3”⇒“x＞0”，反之不成立，例如取x=5．即可判断出结论．【解答】解：由“2＜x＜3”⇒“x＞0”，反之不成立，例如取x=5．因此“2＜x＜3”是“x＞0”的充分而不必要条件．故选：A．2．设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0【考点】命题的否定．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选B．3．抛物线y=﹣x2的准线方程是（）A．B．y=2 C．D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=﹣8y，然后再求其准线方程．【解答】解：∵，∴x2=﹣8y，∴其准线方程是y=2．故选B．4．椭圆+=1的焦点坐标是（）A．（±5，0）B．（0，±5）C．（0，±12）D．（±12，0）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．【解答】解：椭圆的方程+=1中a2=169，b2=25，∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：（0，±12）．故选：C．5．双曲线=1的焦距为（）A．2 B．4 C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12，∴c=2，2c=4．双曲线=1的焦距为：4．故选：D．6．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln2【考点】导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．7．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（x0，1），若点M到该抛物线的焦点距离为3，则|OM|=（）A． B．3 C． D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据点M（x0，1）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为x2=2py（p＞0）∵点M（x0，1）到该抛物线焦点的距离为3，∴1+=3∴p=4，∴抛物线方程为x2=8y，∵M（x0，1），∴x02=8∴|OM|==3．故选B．8．运行图所示的程度框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（）A．k＞5 B．k＞6 C．k＞7 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】本题根据当型循环结构输出的结果求判断框中的条件，由框图知算法执行的是求1+的和，列项求和后，求出对应的k值．【解答】解：由分析知，算法是求1+的和，由数列中的拆项求和得，1+=1+1﹣=2﹣，由2﹣=，得k=6，从判断框下面的执行框看，k=6还是要执行的，k＞6时结束循环，输出s．故选B．9．直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（）A．B．C． D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==弦长|EF|=原点到直线的距离d=∴△EOF的面积为故选D．10．设有算法如图所示：如果输入A=225，B=135，则输出的结果是（）A．90 B．45 C．2 D．0【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图，是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：A=225，B=135，满足条件B不等于零，C=90，A=135，B=90，满足条件B不等于零，C=45，A=90，B=45，满足条件B不等于零，C=0，A=45，B=0，不满足条件B不等于零，退出循环；输出A的值为45．故选：B．11．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A．B．C．D．a【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=a，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选：A．12．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，故选B．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．在复平面内．平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i，﹣i，2+i，则点D对应的复数为3+5i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设D的坐标（x，y），由于，可得（x﹣1，y﹣3）=（2，2），求出x，y 的值，即可得到点D对应的复数．【解答】解：复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，﹣1），（2，1），设D的坐标（x，y），由于，∴（x﹣1，y﹣3）=（2，2），∴x﹣1=2，y﹣3=2，∴x=3，y=5．故D（3，5），则点D对应的复数为 3+5i，故答案为：3+5i．14．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从右向左的第3个数为．【考点】归纳推理．【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数，即为前n项数据的个数，即可得出结论．【解答】解：前n行共有正整数1+2+…+n个，即个，因此第n行（n≥3）从右向左的第3个数为第﹣2=个，故答案为：．15．若命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是[0，12）．【考点】函数恒成立问题．【分析】由命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”是真命题得到对任意x∈R不等式3mx2+mx+1＞0恒成立．然后分m=0和m≠0求解m的范围，当m≠0时，需，求解不等式组后与m=0取并集得答案．【解答】解：命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”是真命题，即对任意x∈R不等式3mx2+mx+1＞0恒成立．当m=0时，原不等式显然成立；当m≠0时，需，解得：0＜m＜12．综上，实数m的取值范围是[0，12）．故答案为：[0，12）．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据[]′=＞0判断函数的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f （x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案．【解答】解：[]′=＞0，即x＞0时是增函数，当x＞1时，＞f（1）=0，f（x）＞0．0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0，x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0，则不等式x2f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．哈尔滨市投资修建冰雪大世界，为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本，组委会成立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费指数（单位：百元）进行调查，在调查的1000位游客中有100位哈尔滨本地游客，把哈尔滨本地游客记为A组，内外地游客记为B组，按分层抽样从这1000人中抽取A，B组人数如下表：（2）分别估计A，B两组游客消费指数的平均数，并估计被调查的1000名游客消费指数的平均数．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）求出A、B两组应抽取的人数是多少，再求a的值；计算A、B组中各小组对应的频率，画出对应的频率分布直方图；（2）计算A、B组游客的平均消费指数，再求出这1000名游客消费的平均数．【解答】解：（1）∵A组抽取的人数是3+4+6+5+2=20，∴B组应抽取的人数是9+36+a+54+9=20×9，解得a=72；计算A组中各小组对应的频率是[1，2）0.15，[2，3）0.2，[3，4）0.3，[4，5）0.25，[5，6）0.1；B组中各小组对应的频率是[3，4）0.05，[4，5）0.2，[5，6）0.4，[6，7）0.3，[7，8]0.05；画出A组与B组的频率分布直方图，如图所示：（2）A组游客的平均消费指数为：，B组游客的平均消费指数为：；则这1000名游客消费的平均数为3.45×0.1+5.6×0.9=5.285．18．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面ABE⊥平面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，EA⊥EB，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，（1）求证：AB⊥DE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积；（3）若点F是线段EA上一点，当EC∥平面FBD时，求EF的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AB中点O，连结EO，DO．推出EO⊥AB．AB⊥BC，证明AB⊥平面EOD．即可证明AB⊥ED．（2）利用体积转化V C﹣BDE=V E﹣CBD求解即可．（3）连接AC、BD交于点，推出EC∥FM．通过△DMC与△BMA相似，然后求解EF即可．【解答】解：（1）证明：取AB中点O，连结EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．所以AB⊥平面EOD．所以 AB⊥ED．（2）由EO⊥AB，面ABE⊥面ABCD，易得EO⊥ABCD，所以，．（3）解：连接AC、BD交于点M，面ACE∩面FBD=FM．因为EC∥平面FBD，所以EC∥FM．在梯形ABCD中，有△DMC∽△BMA，可得MA=2MC，∴AF=2FE，所以，．19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．（参考公式：）【考点】独立性检验．【分析】（1）全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为，求出肥胖的人数，这样用总人数减去肥胖的人数，剩下的是不肥胖的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙（2）由已知数据可求得：因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是．20．已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，将x=2代入导函数求出即可；（Ⅱ）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3，所以f′（2）=9；（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1．∴（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间；∴f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（﹣1）=2．21．已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用．【分析】（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证k OA•k OB=﹣1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB=|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|ON|•|y1﹣y2|．【解答】解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）消去x后，整理得ky2+y﹣k=0．设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1．∵A、B在抛物线y2=﹣x上，∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12•y22=x1x2．∵k OA•k OB=•===﹣1，∴OA⊥OB．（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1﹣y2|，∴S△OAB=•1•=．∵S△OAB=，∴=．解得k=±．22．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

甘肃省天水市2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，1] D．[1，2）2．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题3．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）4．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．45．（5分）已知非零向量，满足，且||=||，（2+）•=0，则，的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°6．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]8．（5分）将函数f（x）=2sin（2x﹣θ）﹣3的图象F按向量=，平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是（）A．B．C．D．9．（5分）若实数x，y满足，则y是x的函数的图象大致是（）A．B．C． D．10．（5分）若函数，又f（α）=f（β）=2，且|α﹣β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（）A．B．C．D．11．（5分）若实数a∈（1，2），则使得函数单调递减的一个区间是（）A．（1，+∞）B．（0，a﹣1）C．（0，1）D．（a﹣1，1）12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=．14．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．15．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC， DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1．（1）求a，b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间．18．（12分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[﹣，]上的最小值和最大值．19．（12分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．20．（12分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．21．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数f（x）=xe﹣2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线对称．求证：当x＞时，f（x）＞h（x）．（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞1．甘肃省天水市2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2）C．[﹣1，1] D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题考点：特称命题；命题的否定．分析：利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；解答：解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．点评：本题考查命题的真假的判断充要条件的应用，基本知识的考查．3．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在f（x）上是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数在y轴左侧是余弦函数，右侧是二次函数的部分可知函数不具有周期性和单调性，函数不是偶函数，然后求解其值域得答案．解答：解：由解析式可知，当x≤0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，是二次函数的一部分，∴函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x≤0时，值域为[﹣1，1]，当x＞0时，值域为（1，+∞），∴函数的值域为[﹣1，+∞）．故选：D．点评：本题考查了函数奇偶性、单调性和周期性的性质，考查了函数值域的求法，是基础题．4．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．4考点：定积分．专题：函数的性质及应用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．点评：考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知非零向量，满足，且||=||，（2+）•=0，则，的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算再由夹角的范围，即可得到．解答：解：由于||=||，且（2+）•=0，则2+=0，即有2||•||•cos＜＞+||2=0即有cos＜＞=﹣，则由0°≤＜＞≤180°，则＜＞=120°．故选C．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．解答：解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选B．点评：本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．7．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．解答：解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．8．（5分）将函数f（x）=2sin（2x﹣θ）﹣3的图象F按向量=，平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：按照“左加右减上加下减”的原则，求出图象F′的解析式，在对称轴x=处函数取得最值，可求θ．解答：解：图象F′是由图象F先向右平移个单位，再向上平移3个单位而得到．所以，图象F′的函数解析式是y=2sin[2（x﹣）﹣θ]=2sin（2x﹣﹣θ）∵F′的一条对称轴是直线，∴x=时函数取最值，∴2×﹣﹣θ=kπ+，k∈Z当k=0时，θ=故选B点评：本题考查图象平移变化、三角函数的性质，易错点在于，左右平移是针对于x而言，而非整个相位．9．（5分）若实数x，y满足，则y是x的函数的图象大致是（）A．B．C． D．考点：函数的图象．专题：计算题．分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．解答：解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故在[1，+∞）上为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选B．点评：本题主要考查指数函数的图象问题，考查分类讨论的数学思想和识图能力，属于基础题．10．（5分）若函数，又f（α）=f（β）=2，且|α﹣β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意可知，f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为3π，由周期公式T=即可求得ω的值．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），∴f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为T=；又f（α）=f（β）=2，且|α﹣β|的最小值等于3π∴f（x）=sinωx+cosωx的最小正周期为3π，∴=3π，∴ω=．故选B．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查辅助角公式的应用及周期的求法，属于中档题．11．（5分）若实数a∈（1，2），则使得函数单调递减的一个区间是（）A．（1，+∞）B．（0，a﹣1）C．（0，1）D．（a﹣1，1）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先求出函数的导数，令导数小于0，求出单调区间，再比对四个选项得出正确答案．解答：解：=由函数的解析式知，x＞0，令f'（x）＜0得[x﹣（a﹣1）]（x﹣1）＜0又∵a∈（1，2），∴a﹣1∈（0，1）∴a﹣1＜x＜1故选D点评：本题考查利用层数研究函数的单调性，求解本题关键是正确得出函数的导函数，以及根据函数的定义域将所得的不等式转化如x＞0，令f'（x）＜0得[x﹣（a﹣1）]（x﹣1）＜0，12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=﹣5．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件可得函数是周期为4的周期函数，然后利用函数的周期性即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=，∴f（x）≠0，且f（x+4）=f（x+2+2）=，即函数的周期为4．∵f（1）=﹣5，∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5．故答案为：﹣5；点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数周期性的应用．14．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．15．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．考点：二次函数的性质．专题：计算题；数形结合．分析：根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解解答：解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1．（1）求a，b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）已知函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1，即f（1）=﹣1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．解答：解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx﹣a，函数f（x）=x3+bx2﹣ax在x=1处有极小值﹣1，∴f（1）=﹣1，f′（1）=0∴1+b﹣a=﹣1，3+2b﹣a=0解得a=1，b=﹣1∴f（x）=x3﹣x2﹣x（2）∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1）．点评：本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[﹣，]上的最小值和最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简得f（x）=，从而可求f（x）的最小正周期；（2）由，所以可求f（x）在[﹣，]上的最小值和最大值．解答：解：（1）∵====；∴f（x）的最小正周期为．（2）当，即时，f（x）取最小值；当2x﹣=，即有x=时，f（x）取最大值．点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的周期性及其求法，属于中档题．19．（12分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x＞0时，f（x）=log x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由已知可以设x＜0，然后利用函数的奇偶性转化到﹣x＞0，利用已知求出x ＜0时的解析式即可．用﹣x代换x，然后写出整个定义域上的函数的解析式．（Ⅱ）根据f（x）=在（﹣∞，0]上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上为减函数，将f（a﹣1）＜﹣1=f（1）转化成绝对值不等式|a﹣1|＞1，解之即得．解答：解：（Ⅰ）∵当x＞0时，f（x）=log x，当x＜0时，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=，∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．∴f（x）=，x＜0又f（0）=0，∴f（x）=．（Ⅱ）∵f（4）=，函数f（x）是偶函数，∴不等式转化为f（|x2﹣1|）＞f（4）又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴|x2﹣1|＜4，解得：．∴不等式的解集为（）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的奇偶性，函数的解析式的求法，分段函数的概念，奇偶性与单调性的综合应用．本题要做出整体代换，20．（12分）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．解答：解：（Ⅰ）∵•=0，∴AD⊥AC，∴，∵sin∠BAC=，∴…．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 …．（6分）由于AB＞AD，∴AD=3…..（7分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由，可知，∴=，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，∴．…（12分）点评：本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．21．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得 m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=xe﹣2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线对称．求证：当x＞时，f（x）＞h（x）．（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），证明函数F（x）在（，+∞）上是增函数，即可证得结论；（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数在（﹣∞，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，f（x1）=f（x2），不妨设x1＜，x2＞，由（Ⅱ）可得f（x2）＞h（x2）=f（1﹣x2），利用f（x）（﹣∞，）上是增函数，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：求导函数，f′（x）=（1﹣2x）e﹣2x，令f′（x）=0，解得x=由f′（x）＞0，可得x＜；由f′（x）＜0，可得x＞，∴函数在（﹣∞，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数∴函数在x=时取得极大值f（）=；（Ⅱ）证明：由题意，h（x）=f（1﹣x）=（1﹣x）e2x﹣2，令F（x）=f（x）﹣h（x），即F（x）=xe﹣2x﹣（1﹣x）e2x﹣2，∴F′（x）=（2x﹣1）（e4x﹣2﹣1）e﹣2x，当x＞时，2x﹣1＞0，∴e4x﹣2﹣1＞0，∵e﹣x＞0，∴F′（x）＞0，∴函数F（x）在（，+∞）上是增函数∵F（）=0，∴x＞时，F（x）＞F（）=0∴当x＞时，f（x）＞h（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知函数在（﹣∞，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，f（x1）=f（x2），∴不妨设x1＜，x2＞，由（Ⅱ）可得f（x2）＞h（x2）=f（1﹣x2），∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（1﹣x2），∵x1＜，1﹣x2＜，f（x）（﹣∞，）上是增函数，∴x1＞1﹣x2，∴x1+x2＞1．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，构造函数，确定函数的单调性是关键．。

甘肃省天水市秦安二中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（5&#215;12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=( )A．{0} B．{0，﹣2} C．{﹣2，0，2} D．{0，2}2．复数z为纯虚数，若（3﹣i）•z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为( )A．﹣B．3 C．﹣3 D．3．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．4．如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )A．B．0 C．1 D．或05．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣1 D．a≤﹣36．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．47．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )A．2 B．C．4 D．8．已知函数f（x）=e x+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则( ) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是( )A． B． C．（﹣∞，0]∪∪上的值域为，则实数a的取值范围是( )A．（0，1] B．C．D．二、填空题（4&#215;5=20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．已知，则向量与向量的夹角是__________．14．若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到﹣1，则=__________．15．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（﹣1，0），则的最小值为__________．16．已知数列a n=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=__________．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知{a n}的各项均为正数的数列，其前n项和为S n，若2S n=a n2+a n（n≥1），且a1、a3、a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n+4=2b．18．现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P 处，期间所花费的时间记为X．（1）求X≤30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE=OF1+，且△EF1F2的周长为2（+1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．21．设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，CF是△ABC边AB上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC．（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；（2）若CQ=4，AQ=1，PF=，求CB的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|2x﹣2|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）设g（x）=x﹣a，对任意x∈2．复数z为纯虚数，若（3﹣i）•z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为( ) A．﹣B．3 C．﹣3 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a的值．解答：解：∵（3﹣i）•z=a+i，∴，又z为纯虚数，∴，解得：a=．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的渐近线方程即可得到，所以两边平方得到，再根据c2=a2+b2即可求出，也就求出该双曲线的离心率为．解答：解：由已知条件知：；∴；∴；∴．故选C．点评：考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程的表示，以及c2=a2+b2及离心率的概念与求法．4．如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为( )A．B．0 C．1 D．或0考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的是什么．解答：解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=0，x＞1？，否；x＜1？，是；y=x=0，输出y=0，结束．故选：B．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．5．已知条件p：|x+1|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( ) A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可．解答：解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，若p是q的充分不必要条件，则a≥1，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，代入求出即可．解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )A．2 B．C．4 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率．解答：解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．8．已知函数f（x）=e x+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则( ) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：分别由f（x）=0，g（x）=0，h（x）=0，利用图象得到零点a，b，c的取值范围，然后判断大小即可．解答：解：由f（x）=0得e x=﹣x，由g（x）=0得lnx=﹣x．由h（x）=0得x=1，即c=1．在坐标系中，分别作出函数y=e x ，y=﹣x，y=lnx的图象，由图象可知a＜0，0＜b＜1，所以a＜b＜c．故选：B．点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是( )A． B． C．（﹣∞，0]∪∪上的值域为，则实数a的取值范围是( )A．（0，1] B．C．D．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：算法的功能是求f（x）=的值，分类求解f（x）在上的值域为时，实数a满足的条件，从而可得a的取值范围．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，当a＜0时，y=log2（1﹣x）+1在上为减函数， f（﹣1）=2，f（a）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；当a≥0时，f′（x）=3x2﹣3＞⇒x＞1或x＜﹣1，∴函数在上单调递减，又f（1）=0，∴a≥1；又函数在上单调递增，∴f（a）=a3﹣3a+2≤2⇒a≤．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．二、填空题（4&#215;5=20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．已知，则向量与向量的夹角是．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；压轴题．分析：据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．解答：解：设的夹角为θ则∵即∵，∴∴=∵θ∈∴故答案为：点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．14．若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到﹣1，则=．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：由题意可得，函数的周期为2×（﹣）=π，求出ω=2．再由sin（2•+φ）=1，可得φ=，从而得到函数的解析式，从而求得的值．解答：解：由题意可得，函数的周期为2×（﹣）=π，即=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．再由sin（2•+φ）=1，可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴=sin（+）=cos=，故答案为．点评：本题主要考查由y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．15．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（﹣1，0），则的最小值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．解答：解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，最小，故当PA和抛物线相切时，最小．设切点P（a，2），则PA的斜率为=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PM|=2|PA|=2sin∠PAM===，故答案为：．点评：本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题．16．已知数列a n=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=﹣5000．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n=，k∈N，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．解答：解：∵a n=n2sin，，k∈N，∴a n=，k∈N，∴a1+a2+a3+…+a100=1﹣32+52﹣72+92﹣112+972﹣992=﹣2（1+3+5+7+9+11+…+97+99）=﹣2×=﹣5000．故答案为：﹣5000．点评：本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知{a n}的各项均为正数的数列，其前n项和为S n，若2S n=a n2+a n（n≥1），且a1、a3、a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n+4=2b．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用公式a n=s n﹣s n﹣1（n≥2）两式作差求得结论；（2）由（1）数列{b n}是等比数列，由等比数列的前n项和公式求得T n，即可得证．解答：解：（Ⅰ）∵2S n=a n2+a n（n≥1），∴n≥2时，2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1，两式相减，得2a n=﹣+a n﹣a n﹣1，整理，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=1，又2s1=+a1，即﹣a1=0，解得：a1=1，∴{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．又a1、a3、a7成等比数列．∴=a1a7，即=a1（a1+6），解得a1=2，∴a n=2+（n﹣1）•1=n+1．（2）证明：由（1）得b n==2n+1，∴T n=22+23+…+2n+1==2n+2﹣4，∴T n+4=2n+2=2b n．点评：本题主要考查利用公式法求通项公式的方法及等比数列的前n项和公式，考查方程思想的运用能力及运算求解能力，属中档题．18．现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P 处，期间所花费的时间记为X．（1）求X≤30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出X≤30分钟的概率．（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX的值．解答：解：（1）X≤30分钟的概率：P（X≤30）=P（B）+P（AB）==．（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）==，P（X=50）=P（CB）==，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，∴X的分布列为：X 20 30 50 60P∴EX=20×+30×+50×+60×=40（分）．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明AE⊥平面BCD，即可证明平面ABD⊥平面BCD；（2）建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面CDG的法向量、平面FDG的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．解答：（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），平面CDG的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一个法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．点评：本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE=OF1+，且△EF1F2的周长为2（+1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知F1（﹣xc，0），设B（0，b），则E（﹣c，），，2a+2c=2+2，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点M到直线距离的取值范围．解答：（本小题满分12分）解：（1）由已知F1（﹣xc，0），设B（0，b），即=（﹣c，0），=（0，b），∴=（﹣c，），即E（﹣c，），∴，得，①…又△PF1F2的周长为2（），∴2a+2c=2+2，②…又①②得：c=1，a=，∴b=1，∴所求椭圆C的方程为：=1．…（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，消去y，得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点为N（x0，y0），则，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，∴，=，即N（），…∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴MN⊥PQ，即=﹣1，∴m=∈（0，），…设点M到直线l：kx﹣y﹣k=0距离为d，则d2==＜=，∴d∈（0，），即点M到直线距离的取值范围是（0，）．…点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．21．设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得当x≥﹣2，F（x）min≥0，即可求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ） f'（x）=ae x（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2e x（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ） f'（x）=2e x（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在单调递减，单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时，f（x）在单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，由题意当x≥﹣2，F（x）min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k﹣2≥0，∴k≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣F'（x）=2ke x（x+1）+2ke x﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x≥﹣2，由F'（x）＞0得，∴；由F'（x）＜0得∴F（x）在单调递减，在单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①当，即k＞e2时，F（x）在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，CF是△ABC边AB上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC．（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；（2）若CQ=4，AQ=1，PF=，求CB的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）证明∠QCF=∠QPF，利用同角的余角相等，可得∠A=∠CPQ，从而可得：四点A、B、P、Q共圆；（2）根据根据射影定理可得：在Rt△CFA中，CF2=CQ•CA，进而可求出CF长，利用勾股定理，解Rt△CFP，可求出CP，再在Rt△CFB中使用射影定理，可得答案．解答：证明：（1）连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，∴∠QCF=∠QPF，∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°，∴∠A=∠CPQ，∴四点A、B、P、Q共圆．…解：（2）∵CQ=4，AQ=1，PF=，根据射影定理可得：在Rt△CFA中，CF2=CQ•CA=4×（4+1）=20，在Rt△CFP中，CP==，在Rt△CFB中，CF2=CP•CB，∴CB=6…点评：本题考查的知识点是圆内接四边形的证明，射影定理，难度不大，属于基础题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）直接消掉参数t得直线l的普通方程，把ρ=4cos（θ﹣）右边展开两角差的余弦，再同时乘以ρ后结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得到圆C的直角坐标方程；（2）由圆的直角坐标方程得到圆心坐标和半径，再由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，则答案可求．解答：解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又∵，∴，∴，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d=．直线l与圆C相离．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|2x﹣2|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）设g（x）=x﹣a，对任意x∈[a，+∞）都有 g（x）≥f（x），求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论，去掉绝对值，分别求得不等式f（x）≥﹣2的解集，再取并集，即得所求．（2）作出f（x）的图象，数形结合求得满足x∈[a，+∞）时g（x）≥f（x）的a的取值范围．解答：解：（1）对于f（x）≥﹣2，当x≤﹣2时，不等式即x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，不等式即3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x＜1；当x≥1时，不等式即﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6．综上，不等式的解集为{x|﹣≤x≤6}．（2）f（x）=|x+2|﹣|2x﹣2|=，函数f（x）的图象如图所示：∵g（x）=x﹣a，表示一条斜率为1且在y轴上的截距等于﹣a的直线，当直线过（1，3）点时，﹣a=2．①当﹣a≥2，即a≤﹣2时，恒有g（x）≥f（x）成立．②当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令f（x）=g（x），即﹣x+4=x﹣a，求得x=2+，根据对任意x∈[a，+∞）都有 g（x）≥f（x），∴a≥2+，即a≥4．综上可得，a≤﹣2 或a≥4．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．。

甘肃省天水市秦安二中2015届高三上学期第二次检测数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=( )A．∅B．{ 2} C．{ 0} D．{﹣2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x+1）=0，解得：x=2或x=﹣1，即B={﹣1，2}，∵A={﹣2，0，2}，∴A∩B={2}．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知i为虚数单位，则复数在复平面上所对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可得到结论．解答：解：∵==，∴复数对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．点评：本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y=e﹣x B．y=x3C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．解答：解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质．4．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是( )A．B．C．D．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：要使函数有意义，则4+3x﹣x2＞0，即x2﹣3x﹣4＜0解得﹣1＜x＜4，设t=4+3x﹣x2，则函数在（﹣1，]上单调递增，在[，4）上单调递减．因为函数y=lnt，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[，4）．故选：D点评：本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．5．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=( )A．5 B．3 C．2 D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平方等于向量的模的平方，将已知的两个等式平方相减，解得数量积．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴|+|2=10，|﹣|2=6，展开得2+2+2•=10，2+2﹣2•=6，两式相减得4•=4，∴•=1；故选D．点评：本题考查了向量的平方等于其模的平方，这通常用来求没有坐标的向量的模．6．在△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先看由sinA能否得到：A时，根据y=sinx在上的单调性即可得到，而A时显然满足A；然后看能否得到sinA，这个可通过y=sinx在（0，π）上的图象判断出得不到sinA，并可举反例比如A=．综合这两个方面便可得到“sinA＞”是“A＞”的充分不必要条件．解答：解：△ABC中，若A∈（0，]，=sin，所以sinA得到A；若A，显然得到；即sinA能得到A；而，得不到sinA，比如，A=，；∴“sin A”是“A”的充分不必要条件．故选A．点评：考查正弦函数y=sinx在（0，π）的图象及单调性，充分条件，必要条件，以及充分不必要条件的概念．7．将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是( )A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=( ) A．B．2 C．D．1考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．解答：解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．9．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( )A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m的范围．解答：解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值f′（x）=3x2+2mx+m+6∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故选B点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反．10．直线与曲线相切，则b的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．解答：解：设切点坐标为（m，n）y′|x=m=﹣=解得 m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．11．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥kx，则k的取值范围是( ) A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：①当x≤0时，可得x2﹣2x≥kx，求得k的范围．②当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得k≤0．再把这两个k的取值范围取交集，可得答案．解答：解：由题意可得，①当x≤0时，|﹣x2+2x|≥kx恒成立，即x2﹣2x≥kx，即x2≥（k+2）x，∴x≤k+2，∴k+2≥0，k≥﹣2．②当x＞0时，ln（x+1）≥kx恒成立，∴0≥kx，求得k≤0．综上可得，k的取值为[﹣2，0]，故选：D．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．则f（f（2））的值为2．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解答：解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．14．若角α的终边在直线y=2x上，则的值为．考点：任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用角α的终边在直线y=2x上，可得tanα=2，再将弦化切，即可得出结论．解答：解：∵角α的终边在直线y=2x上，∴tanα=2，∴==．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数的关系，考查学生的计算能力，比较基础．15．设0≤x≤2则函数的最大值是．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令t=2x，则原函数可转化为关于t的二次函数，配方后即可求得其最大值．解答：解：=22x﹣1﹣3•2x+5=×22x﹣3•2x+5，令t=2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，则y=t2﹣3t+5=，当t=1时，y取得最大值，为．故答案为：．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查学生对问题的转化能力．16．设奇函数f（x）的定义域为R，且周期为5，若f（1）＜﹣1，f（4）=log2a，则实数a 的取值范围是a＞2．考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；对数的运算性质．专题：计算题．分析：关键函数是奇函数，结合f（1）＜﹣1，分析可得f（﹣1）＞1，又由f（x）周期为5，则f（﹣1）=f（4）=log2a，联立可得log2a＞1，解可得答案．解答：解：根据题意，由f（x）为奇函数，可得f（1）=﹣f（﹣1），又由f（1）＜﹣1，则﹣f（﹣1）＜﹣1，则f（﹣1）＞1，又由f（x）周期为5，则f（﹣1）=f（4）=log2a，则有log2a＞1，解可得a＞2；故答案为a＞2．点评：本题考查函数奇偶性与周期性的应用，注意分析题意，找到f（﹣1）这个中间量．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知集合；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；转化思想．分析：根据题意，分析可得集合A是函数的值域，集合B是不等式|x+m2|≥1的解集，据此可得集合A与B，又由命题p是命题q的充分条件，则有A⊆B，由子集关系可得，解可得答案．解答：解：集合A是函数的值域，由，配方得：∵，∴∴∴集合B是不等式|x+m2|≥1的解集，由|x+m2|≥1，∴x≥1﹣m2或x≤﹣1﹣m2B={x|x≥1﹣m2或x≤﹣1﹣m2}∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B∴解之得所以实数m的取值范围是或点评：本题考查充分条件的运用，解题时注意命题的充分必要条件与集合间的子集关系之间的联系，将命题间的关系转化为集合的子集关系来解题．18．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cos A=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．20．设函数f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可；（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求．解答：解：（Ⅰ）因f（x）=x3+ax2﹣9x﹣1所以f'（x）=3x2+2ax﹣9=．即当x=时，f'（x）取得最小值．因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为﹣12，所以．解得a=±3，由题设a＜0，所以a=﹣3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=﹣3，因此f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣1，f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），令f'（x）=0，解得：x1=﹣1，x2=3．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数；当x∈（﹣1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，3）上为减函数；当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）；单调递减区间为（﹣1，3）．点评：本小题主要考查导数的几何意义，及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识，属于基础题．21．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用奇函数的性质f（0）=0求b的值．（2）利用定义证明，即取值、作差、变形判断符号、下结论．（3）结合（1），（2）的性质进行化简，最终解一个关于t的不等式．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，所以b=1，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设x1＜x2，则．因为函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以，又，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在R上为减函数．（3）因为f（x）为奇函数，所以不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式得：t2﹣2t＞k﹣2t2，即对一切t∈R，有：3t2﹣2t﹣k＞0．从而△=4+12k＜0，解得k．点评：本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的定义，以及不等式的恒成立问题的处理方法，一般要转化为函数的最值求解．22．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若经过点M（2，m）可以作出曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（I）欲确定函数的表达式，先求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由函数图象过点（1，﹣2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（II）先设切点为（x0，y0），根据导数的几何是切线的斜率，列出关于（x0，的一个方程，然后根据此方程必须有三个不同的实数解，结合相应函数有三个不同的零点，最后利用函数的极值点列出不等关系即可求实数m的取值范围．解答：解：（I）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．根据题意，得即解得所以f（x）=x3﹣3x．（II）设切点为（x0，y0），则y0=x03﹣3x0，f'（x0）=3x02﹣3，切线的斜率为3x02﹣3则3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．∵过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解，∴函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点，∴g（x）的极大值为正、极小值为负则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2，列表：由，解得实数m的取值范围是﹣6＜m＜2．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、函数的零点、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．。

甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年第一学期期末考试高二数学(理科)试题（考试时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、设，，则是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2、已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为( )A． B． C． D．03、若是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4. “1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为A．2 B．7 C．3 D．56.等差数列的前项和为，若，则等于A．12 B．18 C．24 D．427. 已知点在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是A．[－2，－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2]8. 设.若是与的等比中项，则的最大值为A．8 B．4 C．1 D.1 49.抛物线中，以为中点的弦的方程是A . B． C． D．10. 等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则等于A．7 B．8 C．15 D．1611、设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则双曲线的离心率是（）A、 2B、2C、233D、14312、若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二填空题：( 本大题共4小题，每小题5分，共20分 )13.已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为．14.抛物线的准线方程为．15、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为AB的中点，则二面角B－CA1－P的大小为________．16、动点到点的距离与点到轴的距离差为，则点的轨迹方程为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知不等式的解集为．（1）求；（2）解不等式．18.已知命题：，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线．（Ⅰ）命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围．19. 在锐角中，内角所对的边分别为，已知(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，且，求的值．20.数列中，（是常数，)，且成公比不为1的等比数列.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的通项公式.21.如图：直三棱柱中，，，为中点．（Ⅰ）求证：(Ⅱ)求二面角的正切值．22、（12分）已知椭圆C的离心率为，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为，抛物线以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）已知，是椭圆上两个不同点，且⊥，判定原点到直线的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．高二数学理科试卷参考答案一．选择题1--5 AADAB 6--10 CCDAC 11--12 CB13.3 14. 15. 16.17.【答案】（1）（2）时]时，时试题解析：（1）由已知1是方程的根，则a=1，∴方程为解得（2）原不等式为时解集为，时解集为，时解集为。