例说用余弦定理妙解平面几何问题
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龙升云
例 2 如图 2, 已知 CD 是 ∃ O 的直径 , 与弦 A B 斜 交于 P . 求证 : ( 1) 若A C > BC, 则 PA > P B. ( 2) 若 P A > PB , 则 A C > BC. ( 此题系笔者所命) 证明 ( 1) 连结 OA , OB, A C > BC # A OP > # BOP co s # A OP < cos # BOP PA = OA + OP - 2OA OP cos # A OP
3 S ∀ A OD = 2 S S
A BCD A BCD
= 4S ∀ A OD = 6( cm ) 2 . ( 责审 余炯沛 )
答: 略 .
网址 : zxs s. chin ajou rnal . net . cn
5
电子邮箱 : zx ss@ chinajournal. net . cn
2
2 A E AF 5 A F sin A A E A F = 10
1 AE 2
学 好 基 础 知 识
S ∀ A EF = 3
图3Biblioteka 3 5 2 EF 最小值 = 4 sin A = EF > 0 EF 最小值 = 2. 四、 用余弦定理妙解多边形的面积命题 例 5 如图 5, 已知 A BCD 中, A B = 4, A D = 2, 对角线 A C 、 BD 交 于 O, 且 # COD = 135). 求 : S A BCD . 解
2 2 2
S ∀ A BC = 1 A C 2
2 2 2
BC
2
S ∀ A BC = 6 .
又设线段 EF 把 ∀ A BC 分为两个等积形 , EF = A E + A F - 2A E
2
AF
cosA
A E + A F %2A E A F EF 2 最小值 = 2A E A F( 1- cos A ) cos A = 4 5 EF 最小值 = S ∀ A EF =
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4
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中学生数学
2010 年 5 月上
第 393 期 ( 高中 )
( 上接第 4 页) ( 2) PA2 = OA 2 + OP2 - 2OA OP cos #A OP 2 2 2 PB = OB + OP - 2OB OP cos #BOP PA > PB OA= OB cos # A OP < cos # BOP # A OP > # B OP A C > BC. 二、 用余弦定理妙解平几中的定值命题 例3 如图 3, 已知 P 是正 ∀ A BC 外接圆的 BC 劣弧上 一点. 求证 : PA 2 + PB 2 + P C2 为定值 . 证 明 ∃O 是 正 ∀ A BC 的 外 接 圆 # CPB = 120 ), ∃ O 是四边形 A B PC 的外接圆 PA B C= A B P C + A C P B A B = BC = A C PA = P B + PC 2 2 2 PA = PB + P C + 2P B PC ∗ 在 ∀ PBC 中有 : B C2 = P B 2 + PC 2 - 2P B P C cos120) B C2 = P B 2 + PC 2 + PB P C 2 BC 2 = 2 PB 2 + 2 PC 2 + 2 PB P C + 2 2 2 2 + - ∗ 2 BC = P A + P B + PC B C 是常量 PA 2 + PB 2 + P C2 为定值 . 三、 用余弦定理妙解最值命题 例 4 如图 4, 已知 ∀ A BC 中的三边分别为 3cm 、 4cm 、 5cm . 求证 : 把 三角形 分为 两个 等积形 的最短线段是 2cm . BC = 3 证明 A C= 4 A B= 5 Rt ∀ A BC 3 sin A = , 5 cos A = 4 , 5 A B = A C + BC
余弦定理平面几何余弦定理公式三角形余弦定理余弦定理的证明正弦定理和余弦定理正余弦定理余弦定理证明正玄定理余弦定理正余弦定理习题
中学生数学
2010 年 5 月上
第 393 期 ( 高中 )
学 好 基 础 知 识
例说用余弦定理妙解平面几何问题
重庆市大足县城西中学 ( 402360) 众所周知, 余弦定理是解斜三角形的一个 公式 . 它不仅能解斜三角形 , 也能解答很多平 面几何 难题! . 如平面 几何中的不等 量命题、 定值命题、 最值命题, 多边形的面积命题等. 由 此可见 , 余弦定理在平面几何中的应用是相当 广泛的 . 在此略举数例, 供同学们参考. 一、 用余弦定理妙证 不等量命题 例 1 如图 1 , 已知 ∀ A BC 中 , A B > A C, D 是 B C 的中点 , 且 BE = CF . 求证 : DF > DE. 证明 DE2 = BD 2 + BE 2 - 2BD BE cosB 2 2 2 DF = DC + CF - 2DC CF cosC BD= DC BE = CF A B > A C # B < # C cosB > cosC D F 2 > DE 2 D F> 0 D E> 0 ( 上接第 3 页) Read x 2 If x %0 T hen y & x 2 Else y & - x End If Print y 这个算法 输入与输出的 数值之间 有什么 关系? 怎样用函数表示这一关系? 4 . ( 2007 年上海高考题 ) 直角坐标系 x Oy 中, i、 j 分别是与 x 、 y 轴正方向同向的单位向 量. 在直角三角形 A BC 中 , 若 A B = 2i + j , A C = 3i+ kj , 则 k 的可能值个数是 ( ). ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 5 . 设集合 A = { x | x + 1> 0} , B = { x | ax + 3=
2 2
图5
# COD = 135)
2 2
# A OD = 45),
设两条对角线的一半分别为 x 、 y. A B = x + y - 2x y cos135 ) A D = x + y - 2 x y co s45) A B = 4, A D = 2
2 2
4x y co s45)= 12
图4
1 3 x y cos45 )= 2 2 1 S ∀ A CD = x y sin45) 2
2 2 2
图2
图1
PB 2 = OB 2 + OP 2 - 2OB OP cos # BOP OA = OB PA 2 > PB 2 PA > 0 PB > 0 PA > P B. ( 下转第 5 页 )
DF > DE .
0} . 若 B 是 A 的真子集, 求实数 a 的取值范围. 6. ( 2007 年四川高考题) 用数字 0, 1, 2, 3 , 4, 5 可以组成没有重复数 字, 并且比 20000 大 的五位偶数共有 ( ). ( A ) 288 个 ( B) 240 个 ( C ) 144 个 ( D ) 126 个 7. ( 2007 年江苏高考题 ) 某校开设 9 门课 程供学生选修, 其中 A 、 B、 C 三 门由于上课时 间相同, 至多选一门. 学校规定, 每位同学选修 4 门 , 共有 种不同的选修方案. 2 2 x 8. 若方程 + 2y = 1 表示焦距为 2 5 a a- 7 的双曲线 , 则实数 a= . ( 责审 连四清 )
龙升云
例 2 如图 2, 已知 CD 是 ∃ O 的直径 , 与弦 A B 斜 交于 P . 求证 : ( 1) 若A C > BC, 则 PA > P B. ( 2) 若 P A > PB , 则 A C > BC. ( 此题系笔者所命) 证明 ( 1) 连结 OA , OB, A C > BC # A OP > # BOP co s # A OP < cos # BOP PA = OA + OP - 2OA OP cos # A OP
3 S ∀ A OD = 2 S S
A BCD A BCD
= 4S ∀ A OD = 6( cm ) 2 . ( 责审 余炯沛 )
答: 略 .
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2 A E AF 5 A F sin A A E A F = 10
1 AE 2
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S ∀ A EF = 3
图3Biblioteka 3 5 2 EF 最小值 = 4 sin A = EF > 0 EF 最小值 = 2. 四、 用余弦定理妙解多边形的面积命题 例 5 如图 5, 已知 A BCD 中, A B = 4, A D = 2, 对角线 A C 、 BD 交 于 O, 且 # COD = 135). 求 : S A BCD . 解
2 2 2
S ∀ A BC = 1 A C 2
2 2 2
BC
2
S ∀ A BC = 6 .
又设线段 EF 把 ∀ A BC 分为两个等积形 , EF = A E + A F - 2A E
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AF
cosA
A E + A F %2A E A F EF 2 最小值 = 2A E A F( 1- cos A ) cos A = 4 5 EF 最小值 = S ∀ A EF =
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2010 年 5 月上
第 393 期 ( 高中 )
( 上接第 4 页) ( 2) PA2 = OA 2 + OP2 - 2OA OP cos #A OP 2 2 2 PB = OB + OP - 2OB OP cos #BOP PA > PB OA= OB cos # A OP < cos # BOP # A OP > # B OP A C > BC. 二、 用余弦定理妙解平几中的定值命题 例3 如图 3, 已知 P 是正 ∀ A BC 外接圆的 BC 劣弧上 一点. 求证 : PA 2 + PB 2 + P C2 为定值 . 证 明 ∃O 是 正 ∀ A BC 的 外 接 圆 # CPB = 120 ), ∃ O 是四边形 A B PC 的外接圆 PA B C= A B P C + A C P B A B = BC = A C PA = P B + PC 2 2 2 PA = PB + P C + 2P B PC ∗ 在 ∀ PBC 中有 : B C2 = P B 2 + PC 2 - 2P B P C cos120) B C2 = P B 2 + PC 2 + PB P C 2 BC 2 = 2 PB 2 + 2 PC 2 + 2 PB P C + 2 2 2 2 + - ∗ 2 BC = P A + P B + PC B C 是常量 PA 2 + PB 2 + P C2 为定值 . 三、 用余弦定理妙解最值命题 例 4 如图 4, 已知 ∀ A BC 中的三边分别为 3cm 、 4cm 、 5cm . 求证 : 把 三角形 分为 两个 等积形 的最短线段是 2cm . BC = 3 证明 A C= 4 A B= 5 Rt ∀ A BC 3 sin A = , 5 cos A = 4 , 5 A B = A C + BC
余弦定理平面几何余弦定理公式三角形余弦定理余弦定理的证明正弦定理和余弦定理正余弦定理余弦定理证明正玄定理余弦定理正余弦定理习题
中学生数学
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例说用余弦定理妙解平面几何问题
重庆市大足县城西中学 ( 402360) 众所周知, 余弦定理是解斜三角形的一个 公式 . 它不仅能解斜三角形 , 也能解答很多平 面几何 难题! . 如平面 几何中的不等 量命题、 定值命题、 最值命题, 多边形的面积命题等. 由 此可见 , 余弦定理在平面几何中的应用是相当 广泛的 . 在此略举数例, 供同学们参考. 一、 用余弦定理妙证 不等量命题 例 1 如图 1 , 已知 ∀ A BC 中 , A B > A C, D 是 B C 的中点 , 且 BE = CF . 求证 : DF > DE. 证明 DE2 = BD 2 + BE 2 - 2BD BE cosB 2 2 2 DF = DC + CF - 2DC CF cosC BD= DC BE = CF A B > A C # B < # C cosB > cosC D F 2 > DE 2 D F> 0 D E> 0 ( 上接第 3 页) Read x 2 If x %0 T hen y & x 2 Else y & - x End If Print y 这个算法 输入与输出的 数值之间 有什么 关系? 怎样用函数表示这一关系? 4 . ( 2007 年上海高考题 ) 直角坐标系 x Oy 中, i、 j 分别是与 x 、 y 轴正方向同向的单位向 量. 在直角三角形 A BC 中 , 若 A B = 2i + j , A C = 3i+ kj , 则 k 的可能值个数是 ( ). ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 5 . 设集合 A = { x | x + 1> 0} , B = { x | ax + 3=
2 2
图5
# COD = 135)
2 2
# A OD = 45),
设两条对角线的一半分别为 x 、 y. A B = x + y - 2x y cos135 ) A D = x + y - 2 x y co s45) A B = 4, A D = 2
2 2
4x y co s45)= 12
图4
1 3 x y cos45 )= 2 2 1 S ∀ A CD = x y sin45) 2
2 2 2
图2
图1
PB 2 = OB 2 + OP 2 - 2OB OP cos # BOP OA = OB PA 2 > PB 2 PA > 0 PB > 0 PA > P B. ( 下转第 5 页 )
DF > DE .
0} . 若 B 是 A 的真子集, 求实数 a 的取值范围. 6. ( 2007 年四川高考题) 用数字 0, 1, 2, 3 , 4, 5 可以组成没有重复数 字, 并且比 20000 大 的五位偶数共有 ( ). ( A ) 288 个 ( B) 240 个 ( C ) 144 个 ( D ) 126 个 7. ( 2007 年江苏高考题 ) 某校开设 9 门课 程供学生选修, 其中 A 、 B、 C 三 门由于上课时 间相同, 至多选一门. 学校规定, 每位同学选修 4 门 , 共有 种不同的选修方案. 2 2 x 8. 若方程 + 2y = 1 表示焦距为 2 5 a a- 7 的双曲线 , 则实数 a= . ( 责审 连四清 )