考研数学一-88
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考研数学一-88
(总分:100.00,做题时间:90分钟)
一、解答题(总题数:45,分数:100.00)
1.设f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]
2.设f(x)满足方程a,b,c为常数,且|a|≠|b|,求解f(x)并证明它是奇函数.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]
令则原式
即
由上述联立的方程组,得
又因为所以f(x)为奇函数.
3.设f(x)满足关系式
其中φ(x)当x≠1时是有定义的已知函数,求f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]
令则
即
解由上述等式联立的方程组,得
4.设f(x)在x=0附近有界,且满足方程f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]
将以上诸式相加,得
因为当n→∞时,又f(x)在x=0附近有界,
所以
5.设f(x)为多项式,且f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]由可知应设f(x)=2x 3 +x 2 +bx+c.
又由可知
可得c=0.
于是
故f(x)=2x 3 +x 2 +3x.
6.已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,f(x)>0,且满足f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解
7.已知f(x)在(-∞,+∞)上有定义,f"(0)存在,且对任意的x,y∈(-∞,+∞),恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,求f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]由于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,①
令y=0,则f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0.由①可得
对y→0时,对上式取极限,于是有
即f"(x)=f"(0)+2x.
积分得f(x)=f"(0)x+x 2 +C.
将f(0)=0代入上式C=0,故f(x)=f"(0)x+x 2.
8.求满足下列方程
的可微函数f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]因为
所以原方程
两边对x求导,得
再对x求导,得f"(x)=f(x),积分得f(x)=Ce x.
又由②可得,f(0)=1,代入上式C=1,于是所求函数为f(x)=e x.
9.已知f"(x)存在,求解f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]因为所以原方程
两边对x求导,得
故
10.设对于在x>0上可微的函数f(x)及其反函数g(x),满足方程
求解f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]方程两边对x求导,得即
当x>0时,有积分得
又当f(x)=0时,x=4,即f(4)=0,C=-2,所以
11.设f(x)在(-∞,+∞)内具有连续导数,且满足
求f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]显然f(0)=0,因为f(t)为偶函数,因此只需求出t>0时f(t)的表达式.
当t≥0时,
f"(t)=4πt 3 f(t)+4t 3.
解出满足初值条件f(0)=0的一阶线性方程,得
故在(-∞,+∞)内,
12.已知f(x)是连续函数且满足方程
求f(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]
13.设f(u)在(-∞<u<+∞)内可导,且f(0)=0,
又求f(x)在(-∞,+∞)上的表达式.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]令lnx=t,则x=e t,
当t≤0时,f(t)=t+C 1,当t>0时,
由原函数的连续性有
又f(0)=0,所以C 1 =0=2+C 2 C 1 =0,C 2 =-2,
故
14.设函数y=f(x)由确定,其中ψ(t)具有二阶导数,且ψ(t).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]由题设可得
于是
又所以
即即两边积分得
两边再次积分得
将ψ"(1)=6代入上两式得C 1 =0,C 2 =0,于是
[解析] 根据参数方程的求导公式和已知条件联立建立微分方程,然后求解即得.
15.设f二阶可导,且f(x)(其中a>0,b>0).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]
因为所以
令则
再令即
解联立方程组①,②得
故
16.设具有连续的二阶偏导数,且满足u的表达式.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]令则u=u(r).
同理
于是
原方程
特征方程为λ2 +1=0,λ=±i,
非齐次方程的一个特解
故,方程①的通解为
17.设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分∫ L 2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并对任意t恒有
求Q(x,y).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]由曲线积分与路径无关的条件有
Q(x,y)=x 2 +C(y),其中C(y)为待定函数.
又
由题设条件有
两边对t求导,得
2t=1+C(t),C(t)=2t-1,从而C(y)=2y-1,
故Q(x,y)=x 2 +2y-1.
18.设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f"(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x 2 y]dy=0为一个全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]方程为全微分方程的充要条件
即x 2 +2xy-f(x)=f"(x)+2xy f"(x)+f(x)=x 2,
特征方程为λ2 +1=0,λ=±i,非齐次方程的一个特解为
故f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2.
将f(0)=0,f"(0)=1代入求出C 1 =2,C 2 =1,
于是f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2.
原方程[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0,利用分项组合法
19.求具有连续二阶导数的函数f(x),使
其中L为xOy平面上第一象限内任一光滑闭曲线,且f(1)=f"(1)=0.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]因为L为xOy平面上第一象限内的任一光滑闭曲线,又
于是,该曲线积分与路径无关,因而
即
于是,令x=e t,t=lnx,有
[D(D-1)+D]f=te t,
D 2 f=te t。
特征方程为λ2 =0,λ1,2 =0.
设f *为非齐次方程的一个特解,则
故,欧拉方程的通解为f=C 1 +C 2 t+(t-2)e t,
于是f(x)=C 1 +C 2 lnx+(lnx-2)x,
将f(1)=f"(1)=0代入,得C 1 =2,C 2 =1,故
f(x)=2+lnx+(lnx-2)x.
20.设f(x)在[a,b]上具有连续导数,f(a)=f(b)=0,且证明
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]引入参数t,考查f"(x)+txf(x).
由题设知,上式在[a,b]上对任何实数t都不能恒为“0”,事实上,若不然,假设有实数t,
使得
f"(x)+txf(x)≡0,
于是求得方程的通解为
由f(a)=f(b)=0 f(x)≡0,因此,
与假设矛盾,故[f"(x)+txf(x) 2 ]>0,
于是
即
因为t 2的系数所以关于t的二次三项式的判别式必小于零.即
亦即
21.设函数f(x),g(x)在[a,b]内可积,且|f(x)|<1,|g(x)|<1,试证
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[解]因为|f(x)|<1,|g(x)|<1,
所以可令f(x)=sinu,g(x)=sinv,于是
故
22.设不恒为常数的函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),证明在(a,b)内至少存在一个ξ,使f"(ξ)>0.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]因为f(a)=f(b)且f(x)不恒为常数,
所以至少存在一点c∈(a,b)使得f(c)≠f(a)=f(b).
不妨设f(c)>f(a)=f(b),显然f(x)在[a,c]上满足拉格朗日定理条件,于是至少存在一个ξ∈(a,c) (a,b)使
同理可证f(c)<f(a)=f(b)的情形.
23.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,a<c<b,则至少存在一个ξ∈(a,b),使f"(ξ)<0.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]因为f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理条件,可知存在一个η1∈(a,c)使得
又因为f(c)>0,f(a)=0,c-a>0,所以f"(η1 )>0,η1∈(a,c),
同理有
因为f(c)>0,f(b)=0,b-c>0,所以f"(η2 )<0,η2∈(c,b)
又因为f"(x)在[η1,η2 ]上连续,在(η1,η2 )可导,再由拉格朗日定理知存在一个ξ∈(η1,η2 ) (a,b),使
因为f"(η2 )-f"(η1 )<0,η2 -η1>0,所以f"(ξ)<0.
24.证明:当x>0时,证明:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令f(x)=lnt,当x>0时,显然它在[1,1+x]满足拉格朗日中值定理的条件,于是ξ∈(1,1+x)使
1<ξ<1+x,
因为ln(1+x)-ln1=ln(1+x),
所以即[解析] 因为x>0,所以因此可用拉格朗日中值定理证.
25.设a>e, a y -a x>(cosx-cosy)a x lna.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令f(t)=a t,g(t)=cost,由题设条件可知,f(t),g(t)在[x,y](0<x<y)上满足柯西中值定理条件,于是有
即故
[解析] 原不等式等价于
由不等式左端的形式可知,用柯西中值定理证明命题可能会成功.
26.设f(x)=a 1 sinx+a 2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤|sinx|,a 1,a 2,…,a n为实常数,试证:|a 1 +2a 2+…+na n|≤1.
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]f(x)=a 1 sinx+a 2sin2x+…+a n sinnx,f(0)=0,
f"(x)=a 1 cosx+2a 2cos2x+…+na n cosnx.
显然f(x)在[0,x]或[x,0]上满足拉格朗日定理的条件,于是有f(x)-f(0)=f"(ξ)x,ξ在0与x之间.因此,|f(x)|=|x||f"(ξ)|
=|x||a 1 cosξ+2a 2 cos2ξ+…+na n cosnξ|,
即
两边取x→0的极限,因为ξ在0与x之间,所以当x→0时,ξ→0,故
27.设f"(x)<0,f(0)=0,证明:对任何x 1>0,x 2>0有
f(x 1 +x 2 )<f(x 1 )+f(x 2 ).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]由拉格朗日中值定理有
f(x 1 )=f(x 1 )-f(0)=x 1 f"(ξ1 ),0<ξ1<x 1,
f(x 1 +x 2 )-f(x 2 )=x 1 f"(ξ2 ),x 2<ξ2<x 1 +x 2,
不妨设x 1≤x 2,从而ξ1<ξ2,因为f"(x)<0,所以f"(x)“↘”,又因为f"(ξ2 )<f"(ξ1 ),故f(x 1 +x 2 )-f(x 2 )<x 1 f"(ξ1 )=f(x 1 ),
即f(x 1 +x 2 )<f(x 1 )+f(x 2 ). [解析] 因为f(x)可导,又f(0)=0,可知一定可用拉格朗日中值定理证明.
28.证明:当时,
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]只证显然令
因为(因为tanx>x)
所以f(x)“↘”,又
故,当时,
即于是
29.已知α∈(-1,+∞),t在0与α之间,求证:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令
因为所以f(t)“↘”.且f(0)=0,f(α)=-α,
所以或
即或故
30.设f(x),g(x)二阶可导,当x>0时,f"(x)>g"(x)且f(0)=g(0),f"(0)=g"(0),证明:当x>0时,f(x)>g(x).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令
F(x)=f(x)-g(x),
F"(x)=f"(x)-g"(x),
F"(x)=f"(x)-g"(x).
因为当x>0时,f"(x)>g"(x),所以当x>0时,F"(x)>0,即F"(x)单调递增.
又f"(0)=g"(0),即F"(0)=0.所以F"(x)>F"(0)=0,因之F(x)单调递增.
又因为f(0)=g(0),即F(0)=0,故F(x)>F(0)=0.
即f(x)-g(x)>0,亦即f(x)>g(x).
31.证明:当x>0时,
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令因为所以f(x)单调递减.
又因为
所以当x>0时,即
32.设b>a>0,证明:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a),(x≥a)
因为
所以f"(x)“↗”.又f"(a)=0,于是f"(x)≥0,(x≥a).
因而f(x)“↗”,又f(a)=0,故当b>a>0时,有f(b)>f(a)=0.
即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)>0,
亦即[解析] 当b>a>0时,令b=x.
33.设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令b=x,作辅助函数于是
所以F(x)单调增加,于是,
当b≥a时,有F(b)≥F(a)=0,即
34.设0≤x≤1,p>1,证明不等式:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令F(x)=x p +(1-x) p,
F"(x)=px p-1 +p(1-x) p-1 (-1)=p[x p-1 -(1-x) p-1 ],
F"(x)=p(p-1)x p-2 +p(p-1)(1-x) p-2.
令F"(x)=0,得
故,F(x)在处取极小值.
因为F(1)=F(0)=1,
所以F(x)在[0,1]上最大值为1,最小值为
故
35.试证:若m>0,n>0,则
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令F(x)=x m (a-x) n,
F"(x)=mx m-1 (a-x) n -nx m (a-x) n-1,
F"(x)=m(m-1)x m-2 (a-x) n -2mnx m-1 (a-x) n-1 +n(n-1)x m (a-x) n-2.
令F"(x)=0,得
因为
所以是F(x)在(-∞,+∞)上的极大值,因为F(x)在(-∞,+∞)上只有唯一的一个极大值,所以
最大.
故,即
36.求证:若x,y,z为满足x 2 +y 2 +z 2 =8的正数,则
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令F(x,y,z)=x 3 +y 3 +z 3 +λ(x 2 +y 2 +z 2 -8),
解联立方程组
得由题意可知驻点为
因为d 2 F| P =F" x2 | P dx 2 +F" y2 | P dy 2 +F" z2 | P dz 2>0,
所以W=x 3 +y 3 +z 3在处取极小值,由于极小值唯一,即为最小值
故
利用函数图形的凹凸的定义,证明下列不等式:(分数:4.00)
2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令f(t)=e t,
因为f"(t)=e t>0,
所以f(t)=e t在(x,y)或(y,x)区间内是凹的,
于是即
2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令f(t)=tlnt,(t>0)
f"(t)=lnt+1,
故f(t)=tlnt在(x,y)或(y,x),x>0,y>0是凹的,于是
即
亦即
37.设φ(x)在区间(a,b)内二阶可导,且φ"(x)≥0,则
其中p 1,p 2,…,p n均为正数,x 1,x 2,…,x n∈(a,b).
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令
由于φ(x)在(a,b)内二阶可导,因此φ(x)在x=x 0处可展成一阶泰勒公式:
ξ在x与x 0之间.
因为φ"(x)≥0,x∈(a,b),所以φ"(ξ)≥0,
于是φ(x)≥φ(x 0 )+φ"(x 0 )(x-x 0 ).
分别令x为x 1,x 2,…,x n,同时分别乘以正数p 1,p 2,…,p n得
p 1φ(x 1)≥p 1φ(x 0 )+p 1φ"(x 0 )(x 1 -x 0 ),
p 2φ(x 2)≥p 2φ(x 0 )+p 2φ"(x 0 )(x 2 -x 0 ),
p nφ(x n)≥p nφ(x 0 )+p nφ"(x 0 )(x n -x 0 ).
将以上几个不等式左右分别相加得
p 1φ(x 1 )+p 2φ(x 2)+…+p nφ(x n)≥(p 1 +p 2+…+p n )φ(x 0 )+φ"(x 0 )[(p 1 x 1 +p 2 x 2+…+p
n x n )-x 0 (p 1 +p 2+…+p n )]=(p 1 +p 2+…+p n )φ(x 0 ),(因为最后一项为零).
故
38.设f"(x)>0,证明f(x)>x.(x≠0)
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]由可知f(0)=0.又
因为f(x)二阶可导,所以f(x)在x=0处可展成一阶泰勒公式
由于f"(x)>0,所以f"(ξ)>0,于是
f(x)>f(0)+f"(0)x=x,
即f(x)>x.
39.设f(x)在[0,1]上二阶导数连续,f(0)=f(1)=0,并且当x∈(0,1)时,|f"(x)|≤A,
1].
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]因为f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,所以f(x)可展成一阶泰勒公式.
ξ在x与x 0之间,
取x=0,x 0 =x,则泰勒公式为
取x=1,x 0 =x,则泰勒公式为
②-①得
又因为|f"(x)|≤A,x∈(0,1),
所以
但当0≤x≤1时,2x 2 -2x+1≤1,故
40.证明不等式:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]先证
由分部积分法有
再证
因为
又
令f(x)=xlnx,f"(x)=lnx+1>0(当x≥2时),
可知在[2,n]内,f(x)单调递增,于是有
故(等号仅当n=2时成立).综上所述命题得证.
41.设f(x)在[0,1]上连续,且求证:
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]
因为f(x)在[0,1]上连续,所以|f(x)|在[0,1]上连续,于是必存在一个c,0≤c≤1,使
因此
故|f(c)|≥4. [解析
42.设P,Q,R在L上连续,L为光滑弧段,弧长为l,证明:
|∫ L Pdx+Qdy+Rdz|≤Ml,其中
(分数:2.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:[证]令则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.
于是
其中,θ为矢量{P,Q,R}与{cosα,cosβ,cosγ}的夹角.
故
其中,
43.设f(x)在[a,b]上二阶可导,且当x∈[a,b]时,f"(x)<0,试证:
(分数:6.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:利用泰勒公式,有
两边对x积分,
所以,
44.若f"(x)在[0,2π]上连续,且f"(x)≥0,则对任意正整数n,有
(分数:6.00)
__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()
解析:利用分部积分有
因为,f"(x)≥0,所以,f(2π)≥f(0),有。