考研数学一-88

考研数学一-88
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、解答题(总题数：45，分数：100.00)
1.设f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]
2.设f(x)满足方程a，b，c为常数，且|a|≠|b|，求解f(x)并证明它是奇函数．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]
令则原式
即
由上述联立的方程组，得
又因为所以f(x)为奇函数．
3.设f(x)满足关系式
其中φ(x)当x≠1时是有定义的已知函数，求f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]
令则
即
解由上述等式联立的方程组，得
4.设f(x)在x=0附近有界，且满足方程f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]
将以上诸式相加，得
因为当n→∞时，又f(x)在x=0附近有界，
所以
5.设f(x)为多项式，且f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]由可知应设f(x)=2x 3 +x 2 +bx+c．
又由可知
可得c=0．
于是
故f(x)=2x 3 +x 2 +3x．
6.已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，且满足f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解
7.已知f(x)在(-∞，+∞)上有定义，f"(0)存在，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，求f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]由于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，①
令y=0，则f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0．由①可得
对y→0时，对上式取极限，于是有
即f"(x)=f"(0)+2x．
积分得f(x)=f"(0)x+x 2 +C．
将f(0)=0代入上式C=0，故f(x)=f"(0)x+x 2．
8.求满足下列方程
的可微函数f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]因为
所以原方程
两边对x求导，得
再对x求导，得f"(x)=f(x)，积分得f(x)=Ce x．
又由②可得，f(0)=1，代入上式C=1，于是所求函数为f(x)=e x．
9.已知f"(x)存在，求解f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]因为所以原方程
两边对x求导，得
故
10.设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
求解f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]方程两边对x求导，得即
当x＞0时，有积分得
又当f(x)=0时，x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
11.设f(x)在(-∞，+∞)内具有连续导数，且满足
求f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]显然f(0)=0，因为f(t)为偶函数，因此只需求出t＞0时f(t)的表达式．
当t≥0时，
f"(t)=4πt 3 f(t)+4t 3．
解出满足初值条件f(0)=0的一阶线性方程，得
故在(-∞，+∞)内，
12.已知f(x)是连续函数且满足方程
求f(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]
13.设f(u)在(-∞＜u＜+∞)内可导，且f(0)=0，
又求f(x)在(-∞，+∞)上的表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]令lnx=t，则x=e t，
当t≤0时，f(t)=t+C 1，当t＞0时，
由原函数的连续性有
又f(0)=0，所以C 1 =0=2+C 2 C 1 =0，C 2 =-2，
故
14.设函数y=f(x)由确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且ψ(t)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]由题设可得
于是
又所以
即即两边积分得
两边再次积分得
将ψ"(1)=6代入上两式得C 1 =0，C 2 =0，于是
[解析] 根据参数方程的求导公式和已知条件联立建立微分方程，然后求解即得．
15.设f二阶可导，且f(x)(其中a＞0，b＞0)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]
因为所以
令则
再令即
解联立方程组①，②得
故
16.设具有连续的二阶偏导数，且满足u的表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]令则u=u(r)．
同理
于是
原方程
特征方程为λ2 +1=0，λ=±i，
非齐次方程的一个特解
故，方程①的通解为
17.设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫ L 2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并对任意t恒有
求Q(x，y)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]由曲线积分与路径无关的条件有
Q(x，y)=x 2 +C(y)，其中C(y)为待定函数．
又
由题设条件有
两边对t求导，得
2t=1+C(t)，C(t)=2t-1，从而C(y)=2y-1，
故Q(x，y)=x 2 +2y-1．
18.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x 2 y]dy=0为一个全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]方程为全微分方程的充要条件
即x 2 +2xy-f(x)=f"(x)+2xy f"(x)+f(x)=x 2，
特征方程为λ2 +1=0，λ=±i，非齐次方程的一个特解为
故f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2．
将f(0)=0，f"(0)=1代入求出C 1 =2，C 2 =1，
于是f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
原方程[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，利用分项组合法
19.求具有连续二阶导数的函数f(x)，使
其中L为xOy平面上第一象限内任一光滑闭曲线，且f(1)=f"(1)=0．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]因为L为xOy平面上第一象限内的任一光滑闭曲线，又
于是，该曲线积分与路径无关，因而
即
于是，令x=e t，t=lnx，有
[D(D-1)+D]f=te t，
D 2 f=te t。

特征方程为λ2 =0，λ1，2 =0．
设f *为非齐次方程的一个特解，则
故，欧拉方程的通解为f=C 1 +C 2 t+(t-2)e t，
于是f(x)=C 1 +C 2 lnx+(lnx-2)x，
将f(1)=f"(1)=0代入，得C 1 =2，C 2 =1，故
f(x)=2+lnx+(lnx-2)x．
20.设f(x)在[a，b]上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且证明
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]引入参数t，考查f"(x)+txf(x)．
由题设知，上式在[a，b]上对任何实数t都不能恒为“0”，事实上，若不然，假设有实数t，
使得
f"(x)+txf(x)≡0，
于是求得方程的通解为
由f(a)=f(b)=0 f(x)≡0，因此，
与假设矛盾，故[f"(x)+txf(x) 2 ]＞0，
于是
即
因为t 2的系数所以关于t的二次三项式的判别式必小于零．即
亦即
21.设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[解]因为|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是
故
22.设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在(a，b)内至少存在一个ξ，使f"(ξ)＞0．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]因为f(a)=f(b)且f(x)不恒为常数，
所以至少存在一点c∈(a，b)使得f(c)≠f(a)=f(b)．
不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，显然f(x)在[a，c]上满足拉格朗日定理条件，于是至少存在一个ξ∈(a，c) (a，b)使
同理可证f(c)＜f(a)=f(b)的情形．
23.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f(c)＞0，a＜c＜b，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＜0．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，可知存在一个η1∈(a，c)使得
又因为f(c)＞0，f(a)=0，c-a＞0，所以f"(η1 )＞0，η1∈(a，c)，
同理有
因为f(c)＞0，f(b)=0，b-c＞0，所以f"(η2 )＜0，η2∈(c，b)
又因为f"(x)在[η1，η2 ]上连续，在(η1，η2 )可导，再由拉格朗日定理知存在一个ξ∈(η1，η2 ) (a，b)，使
因为f"(η2 )-f"(η1 )＜0，η2 -η1＞0，所以f"(ξ)＜0．
24.证明：当x＞0时，证明：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令f(x)=lnt，当x＞0时，显然它在[1，1+x]满足拉格朗日中值定理的条件，于是ξ∈(1，1+x)使
1＜ξ＜1+x，
因为ln(1+x)-ln1=ln(1+x)，
所以即[解析] 因为x＞0，所以因此可用拉格朗日中值定理证．
25.设a＞e， a y -a x＞(cosx-cosy)a x lna．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令f(t)=a t，g(t)=cost，由题设条件可知，f(t)，g(t)在[x，y](0＜x＜y)上满足柯西中值定理条件，于是有
即故
[解析] 原不等式等价于
由不等式左端的形式可知，用柯西中值定理证明命题可能会成功．
26.设f(x)=a 1 sinx+a 2sin2x+…+a n sinnx，且|f(x)|≤|sinx|，a 1，a 2，…，a n为实常数，试证：|a 1 +2a 2+…+na n|≤1．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]f(x)=a 1 sinx+a 2sin2x+…+a n sinnx，f(0)=0，
f"(x)=a 1 cosx+2a 2cos2x+…+na n cosnx．
显然f(x)在[0，x]或[x，0]上满足拉格朗日定理的条件，于是有f(x)-f(0)=f"(ξ)x，ξ在0与x之间．因此，|f(x)|=|x||f"(ξ)|
=|x||a 1 cosξ+2a 2 cos2ξ+…+na n cosnξ|，
即
两边取x→0的极限，因为ξ在0与x之间，所以当x→0时，ξ→0，故
27.设f"(x)＜0，f(0)=0，证明：对任何x 1＞0，x 2＞0有
f(x 1 +x 2 )＜f(x 1 )+f(x 2 )．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]由拉格朗日中值定理有
f(x 1 )=f(x 1 )-f(0)=x 1 f"(ξ1 )，0＜ξ1＜x 1，
f(x 1 +x 2 )-f(x 2 )=x 1 f"(ξ2 )，x 2＜ξ2＜x 1 +x 2，
不妨设x 1≤x 2，从而ξ1＜ξ2，因为f"(x)＜0，所以f"(x)“↘”，又因为f"(ξ2 )＜f"(ξ1 )，故f(x 1 +x 2 )-f(x 2 )＜x 1 f"(ξ1 )=f(x 1 )，
即f(x 1 +x 2 )＜f(x 1 )+f(x 2 )． [解析] 因为f(x)可导，又f(0)=0，可知一定可用拉格朗日中值定理证明．
28.证明：当时，
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]只证显然令
因为(因为tanx＞x)
所以f(x)“↘”，又
故，当时，
即于是
29.已知α∈(-1，+∞)，t在0与α之间，求证：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令
因为所以f(t)“↘”．且f(0)=0，f(α)=-α，
所以或
即或故
30.设f(x)，g(x)二阶可导，当x＞0时，f"(x)＞g"(x)且f(0)=g(0)，f"(0)=g"(0)，证明：当x＞0时，f(x)＞g(x)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令
F(x)=f(x)-g(x)，
F"(x)=f"(x)-g"(x)，
F"(x)=f"(x)-g"(x)．
因为当x＞0时，f"(x)＞g"(x)，所以当x＞0时，F"(x)＞0，即F"(x)单调递增．
又f"(0)=g"(0)，即F"(0)=0．所以F"(x)＞F"(0)=0，因之F(x)单调递增．
又因为f(0)=g(0)，即F(0)=0，故F(x)＞F(0)=0．
即f(x)-g(x)＞0，亦即f(x)＞g(x)．
31.证明：当x＞0时，
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令因为所以f(x)单调递减．
又因为
所以当x＞0时，即
32.设b＞a＞0，证明：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)，(x≥a)
因为
所以f"(x)“↗”．又f"(a)=0，于是f"(x)≥0，(x≥a)．
因而f(x)“↗”，又f(a)=0，故当b＞a＞0时，有f(b)＞f(a)=0．
即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)＞0，
亦即[解析] 当b＞a＞0时，令b=x．
33.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令b=x，作辅助函数于是
所以F(x)单调增加，于是，
当b≥a时，有F(b)≥F(a)=0，即
34.设0≤x≤1，p＞1，证明不等式：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令F(x)=x p +(1-x) p，
F"(x)=px p-1 +p(1-x) p-1 (-1)=p[x p-1 -(1-x) p-1 ]，
F"(x)=p(p-1)x p-2 +p(p-1)(1-x) p-2．
令F"(x)=0，得
故，F(x)在处取极小值．
因为F(1)=F(0)=1，
所以F(x)在[0，1]上最大值为1，最小值为
故
35.试证：若m＞0，n＞0，则
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令F(x)=x m (a-x) n，
F"(x)=mx m-1 (a-x) n -nx m (a-x) n-1，
F"(x)=m(m-1)x m-2 (a-x) n -2mnx m-1 (a-x) n-1 +n(n-1)x m (a-x) n-2．
令F"(x)=0，得
因为
所以是F(x)在(-∞，+∞)上的极大值，因为F(x)在(-∞，+∞)上只有唯一的一个极大值，所以
最大．
故，即
36.求证：若x，y，z为满足x 2 +y 2 +z 2 =8的正数，则
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令F(x，y，z)=x 3 +y 3 +z 3 +λ(x 2 +y 2 +z 2 -8)，
解联立方程组
得由题意可知驻点为
因为d 2 F| P =F" x2 | P dx 2 +F" y2 | P dy 2 +F" z2 | P dz 2＞0，
所以W=x 3 +y 3 +z 3在处取极小值，由于极小值唯一，即为最小值
故
利用函数图形的凹凸的定义，证明下列不等式：（分数：4.00）
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令f(t)=e t，
因为f"(t)=e t＞0，
所以f(t)=e t在(x，y)或(y，x)区间内是凹的，
于是即
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令f(t)=tlnt，(t＞0)
f"(t)=lnt+1，
故f(t)=tlnt在(x，y)或(y，x)，x＞0，y＞0是凹的，于是
即
亦即
37.设φ(x)在区间(a，b)内二阶可导，且φ"(x)≥0，则
其中p 1，p 2，…，p n均为正数，x 1，x 2，…，x n∈(a，b)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x 0处可展成一阶泰勒公式：
ξ在x与x 0之间．
因为φ"(x)≥0，x∈(a，b)，所以φ"(ξ)≥0，
于是φ(x)≥φ(x 0 )+φ"(x 0 )(x-x 0 )．
分别令x为x 1，x 2，…，x n，同时分别乘以正数p 1，p 2，…，p n得
p 1φ(x 1)≥p 1φ(x 0 )+p 1φ"(x 0 )(x 1 -x 0 )，
p 2φ(x 2)≥p 2φ(x 0 )+p 2φ"(x 0 )(x 2 -x 0 )，
p nφ(x n)≥p nφ(x 0 )+p nφ"(x 0 )(x n -x 0 )．
将以上几个不等式左右分别相加得
p 1φ(x 1 )+p 2φ(x 2)+…+p nφ(x n)≥(p 1 +p 2+…+p n )φ(x 0 )+φ"(x 0 )[(p 1 x 1 +p 2 x 2+…+p
n x n )-x 0 (p 1 +p 2+…+p n )]=(p 1 +p 2+…+p n )φ(x 0 )，(因为最后一项为零)．
故
38.设f"(x)＞0，证明f(x)＞x．(x≠0)
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]由可知f(0)=0．又
因为f(x)二阶可导，所以f(x)在x=0处可展成一阶泰勒公式
由于f"(x)＞0，所以f"(ξ)＞0，于是
f(x)＞f(0)+f"(0)x=x，
即f(x)＞x．
39.设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，
1]．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]因为f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，所以f(x)可展成一阶泰勒公式．
ξ在x与x 0之间，
取x=0，x 0 =x，则泰勒公式为
取x=1，x 0 =x，则泰勒公式为
②-①得
又因为|f"(x)|≤A，x∈(0，1)，
所以
但当0≤x≤1时，2x 2 -2x+1≤1，故
40.证明不等式：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]先证
由分部积分法有
再证
因为
又
令f(x)=xlnx，f"(x)=lnx+1＞0(当x≥2时)，
可知在[2，n]内，f(x)单调递增，于是有
故(等号仅当n=2时成立)．综上所述命题得证．
41.设f(x)在[0，1]上连续，且求证：
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]
因为f(x)在[0，1]上连续，所以|f(x)|在[0，1]上连续，于是必存在一个c，0≤c≤1，使
因此
故|f(c)|≥4． [解析
42.设P，Q，R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为l，证明：
|∫ L Pdx+Qdy+Rdz|≤Ml，其中
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证]令则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1．
于是
其中，θ为矢量{P，Q，R}与{cosα，cosβ，cosγ}的夹角．
故
其中，
43.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且当x∈[a，b]时，f"(x)＜0，试证：
（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：利用泰勒公式，有
两边对x积分，
所以，
44.若f"(x)在[0，2π]上连续，且f"(x)≥0，则对任意正整数n，有
（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：利用分部积分有
因为，f"(x)≥0，所以，f(2π)≥f(0)，有。