2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

证明：
(1)连接 BD，B1D1，在△ABD 中，因为 E，F
1 分别为 AB，AD 的中点，所以 EF 綊 BD. 2 1 同理，E1F1 綊 B1D1. 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 綊 DD1， 所以四边形 BB1D1D 为平行四边形， 所以 BD 綊 B1D1， 1 1 又 EF 綊 BD，E1F1 綊 B1D1，所以 EF 綊 E1F1. 2 2
[问题1] 在同一平面内，两直线有怎样的位置 关系？ [提示] 平行或相交． [问题2] 若把立交桥抽象成一直线，它们是否 在同一平面内？有何特征？ [提示] 不共面，既不相交也不平行． [问题3] 观察一下，教室内日光灯管所在直线 与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类 似特征？ [提示] 是．
[规范解答]
取 AC 的中点 F，连接
EF，BF，在△ACD 中，E、F 分别是 AD、AC 的中点，所以 EF∥CD.所以 ∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角或其补角.3 分 1 1 在 Rt△EAB 中，AB＝1，AE＝ AD＝ ， 2 2 5 所以 BE＝ .5 分 2
1 1 1 在 Rt△AEF 中，AF＝ AC＝ ，AE＝ ， 2 2 2 2 所以 EF＝ . 2 1 5 在 Rt△ABF 中，AB＝1，AF＝ ，所以 BF＝ .9 分 2 2 1 2 EF 2 4 所以△BEF 为等腰三角形，cos∠FEB＝ BE ＝ ＝ 5 2 10 ，10 分 10 10 ∴异面直线 BE 和 CD 所成角的余弦值为 .12 分 10
平行公理与等角定理 三、平行公理(公理 4)与等角定理 1．平行公理 (1) 文 字 表 述 ： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线
平行公理 平行 ______．这一性质叫做空间___________．
a∥b ⇒______. a∥c (2)符号表述： b∥c
2．等角定理 平行 空间中如果两个角的两边分别______，那么这两个 相等 互补 角______或______． 四、异面一 锐角 点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______ 直角 (或______)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (0°，90°] 2．范围：___________． 90° a⊥b 3．当θ＝______时，a与b互相垂直，记作______.
2．1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
空间两直线的位置关系 立交桥是伴随高速公路应运而生 的．城市的立交桥不仅大大方便了交 通， 而且成为城市建设的美丽风景． 为 了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928 年，美国 首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿 叶形公路交叉桥.1930 年，芝加哥建起了一座立体交叉 桥.1931 年至 1935 年， 瑞典陆续在一些城市修建起立体 交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．
4．如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四 边形 ADEF 是正方形， ED⊥CD， CD＝1， AD＝2 2，求异面直线 CE 与 AF 所成角 的余弦值．
解析： 因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA∥ED. 因为 ED⊥CD，故∠CED 为锐角，即为异面直线 CE 与 AF 所成的角． 在 Rt△CDE 中，CD＝1，ED＝AD＝2 2，CE＝ CD2＋ED2＝3， ED 2 2 故 cos∠CED＝ CE ＝ . 3 2 2 所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 . 3
平行公理及等角定理 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 棱 CD、AD 的中点． (1)求证：四边形 MNA1C1 是梯形； (2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
[思路点拨] (1)通过公理4转化为证明平面内 两直线平行且不等；(2)可用等角定理证明．
[边听边记]
求异面直线所成的角需注意的问题： (1)a与b所成角的大小与点O无关，为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上，例如取在直线b 上，然后过点O作直线a′∥a，a′与b所成的角即为 异面直线a与b所成的角． (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交 直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化． (3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面 垂直．
(2)取 A1B1 的中点 M，连接 F1M，BM，则 MF1 綊 B1C1， 又 B1C1 綊 BC，所以 MF1 綊 BC， 所以四边形 BMF1C 为平行四边形，所以 BM∥ CF1.
求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4， 即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行， 这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如 有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面 内，这两条直线无公共点． 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等 或相似.
答案：
D
2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法 正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析： 对于A，空间中直线的垂直有异面垂直和 相交垂直两种，当l1，l2，l3共面时，结论成立；当 l1，l2，l3不共面时，l1与l3不一定平行，故不正确； 对于B，两条平行直线中的一条垂直于第三条直线 ，则另一条也垂直于第三条直线，故正确； 对于C，互相平行的三条直线不一定共面，如三棱 柱的三条侧棱，故不正确； 对于D，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的 三条侧棱，故不正确． 答案： B
[思路点拨] 题目条件中给出了直线a，b，c所 满足的位置关系，要判断直线a与b或a与c的位 置关系，解答本题可应用平面几何知识，异面 直线的定义或公理4等．
解析： 对于①，由平行公理知 ①正确；对于②，如图在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，令 AB 所 在直线为 b，AA1 所在直线为 a， 若 BC 所在直线为 c， 则 a 与 c 异面． 若 AD 所在直线为 c，则 a 与 c 相交， 若 BB1 所在直线为 c，则 a∥c，故②不正确；
对于③，若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平 行、异面、相交，故③不正确； 对于④，a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行、相交、异 面，故④不正确； 对于⑤，当a，b与c都成90°角时，同②，a与b可 能平行、相交、异面，故⑤不正确． 答案： ①
空间两条直线位置关系的判定方法： (1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的 方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4 判断． (2)判定两条直线是异面直线的方法： ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平 面内． ②排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相 交)．
1．如果直线a和b没有公共点，那么直线a与b的 位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或异面 答案： D
2．若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a与 c的关系是( ) A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交 答案： C
4.如图， 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 1＝a， AA E，F 分别是 BC，DC 的中点．求异面直线 AD1 与 EF 所成角的大小．
证明： (1)如图， 连接 AC， 在△ACD 中，
∵M、N 分别是 CD、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线， 1 ∴MN∥AC，MN＝ AC. 2 由正方体的性质得： AC∥A1C1，AC＝A1C1. 1 ∴MN∥A1C1，且 MN＝ A1C1， 2 即 MN≠A1C1， ∴四边形 MNA1C1 是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1， ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补． 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1.
3.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E， F，E1，F1 分别是棱 AB，AD， B1C1，C1D1 的中点．求证： (1)EF 綊 E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1.
答案：
(1)平行
(2)异面
(3)相交
(4)异面
空间两直线位置关系的判定 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出的几种说法： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a、b 一定是异面直线； ⑤若 a、b 与 c 成等角，则 a∥b. 其中正确的是________．(只填序号)
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的 位置关系是( ) A．a∥c B．a和c异面 C．a和c相交 D．a和c平行、相交或异面
解析： 如图，在长方体 ABCD －A′B′C′D′中， A′D′ 令 所在直线为 a， 所在直线为 b， AB 由题意，a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线． 若令 B′C′所在直线为 c， a 和 c 平行． 则 若令 C′C 所在直线为 c，则 a 和 c 异面．若令 D′D 所在直 线为 c，则 a 和 c 相交．
一、空间中两条直线的位置关系
二、异面直线
任一 1．定义：把不同在______平面内的两条直线叫做
异面直线． 2．画法：(通常用平面衬托)
对异面直线的几点认识 (1)异面直线与平行直线都没有公共点：区别在于 平行直线可以确定一个平面，而异面直线不同在任 何一个平面内，即异面直线既不平行也不相交． (2)不能把异面直线误解为：分别在两个平面内的 直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (3)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b 与c异面，则a与c不一定是异面直线．
(1)求两异面直线所成角的一般步骤： ①作：作出或找出异面直线所成的角； ②证：用定义证明前一步的角即为所求； ③算：在三角形中计算角的大小． (2)求两异面直线所成角的技巧． ①求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起 来有如下“口诀”： 中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形柱中见，指出成角很关键； 求角构造三角形，锐角、钝角要明辨； 平行线若在外，补上原体在外边． ②如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明 两条异面直线所成的角应该是所求角的补角， 所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或 其补角”即为所求的角．
解析：
如图，连接 BC1，BD，
∵C1D1 綊 CD， 綊 AB， 1D1 綊 AB， CD ∴C 即四边形 ABC1D1 为平行四边形， ∴AD1∥BC1. ∵E，F 分别是 BC，DC 的中点，∴在△CBD 中，EF ∥BD，∴∠C1BD 或其补角为异面直线 AD1 与 EF 所 成的角． 连接 C1D，则 DB＝BC1＝C1D＝ 2a， ∴∠C1BD＝60° ， ∴异面直线 AD1 与 EF 所成的角为 60° .
异面直线所成的角 如图，等腰直角三角形 ABC 中， ∠A＝90° BC＝ 2， ， DA⊥AC， DA⊥AB，若 DA＝1，且 E 为 DA 的中点， 求异面直线 BE 和 CD 所成 角的余弦值．
[思路点拨] 找过E点的CD的平行线，在△ACD 中，E为中点，则取AC的中点F，连接EF，有 EF∥CD，则可知异面直线BE和CD所成的角为 ∠BEF或其补角．
3．如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判 断下列直线的位置关系：
(1)直线 A1B 与 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与 B1C 的位置关系是________．
1 1 因为 A1M＝ A1B1，BE＝ AB，且 A1B1 綊 AB，所 2 2 以 A1M 綊 BE， 所以四边形 BMA1E 为平行四边形， 所以 BM∥A1E， 所以 CF1∥A1E. 同理可证 A1F∥CE1. 因为∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行，且 方向都相反， 所以∠EA1F＝∠E1CF1.