平面几何五种模型
欧阳家百（2021.03.07）
等积，鸟头，蝶形，相似，共边
1、等积模型
等底等高的2个三角形面积相等
2个三角形高相等，面积比=底之比
2个三角形底相等，面积比=高之比
夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）
等积模型是基本应用应是烂熟于心的
都是利用面积公式得到的推定比例
如下：
1等底等高的2个平行四边形面积相等
2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半
3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比
2、鸟头模型（共角定理）
鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边）
鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。
A B C D
E
如图，浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公用A 角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边最好记，这里等于
鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。
经由媒介的∆ABE ，联系了∆ADE 和大三角形∆ABC
BE 辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得） 第二种的证明方式将对顶角压回来∆ABC 内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新∆跟∆ADE 是全等∆，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理
互补角的鸟头定理证明
S△ADE=S△AD'E,因为同底等高AD=AD',高相等，所以面积相等D'A B C D E 写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特别重要！
3蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶
①
或者 ②
【上下比】
=== 【上上比】 = == 由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如
面积交叉相乘的乘积相等
= = 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）
①
→上：下= ②
→上：下：左：右=
③的对应份数为→a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑
4 相似三角形
形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改
变，他们都相似。
1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且=它们的相似比
2 相似三角形的面积比=相似比的平方
3连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！ 出题几率：多产生于2条平行线造成的相似三角形
金字塔模型沙漏模型
S∆ADE ：S∆ABC=AF2：AG2
特别注意！相似三角形的面积比是等于相似比的平方
5 共边定理
燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理
共边定理说明
如图一想知道∆PAB 和∆QAB 的面积比？我们就如图二做个高，因为同底（就是共用一个边）所以面积比=髙之比，再想办法偷懒，延长PQ 、AB 的线相交于M ，那么刚学的相似三角形可以派上用
场，因为∆PDM ∆QEM 如图三 E D 图三
Q
P
A B M
所以=
共边定理：若直线AB和PQ相交于点M（4种情况）则有
=
图一
M
P
Q
A
B
图二
Q
M
P
A B
图三
燕尾定理
（共边定理图3）
M
Q
P
A B
图四
M Q P
A B
最常应用到的其实是图一，无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比出线段比。（图形不重叠） 图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比~
图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。
图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：延长线段QM(切记，唯一对比线段不在图形内的哈)
共边定理的证明
=
1，M 点是PQ 和AB 延长后的交点
2，取N ，使得MN 长度=AB
3、==
∆PNM 和∆QNM 是等高∆，
塞瓦定理（燕尾定理模型补充）三边比例互乘为1
在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于E 、F 、D ，则得出
×× = 1
特殊题：参考共边定理2图（重叠）可得
三角形一边上之点到三边线交点O的长度：同边线全长的比值，3边比值相加=1
+ + =1
