高数典型例题解析

第一章函数及其图形

例1：（）.

A. {x | x>3}

B. {x | x<-2}

C. {x |-2< x ≤1}

D. {x | x≤1}

注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。

例2：函数的定义域为（）.

解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。

例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）

解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。

B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。

C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。

D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得

又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有

。

5：

例

f(2)没有定义。

注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。

例6：函数是（）。

A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数

解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。

由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。

事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有

。

因此，所给函数是有界的，即应选择B。

例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。

例 8：函数的反函数是（）。

A．B．

C．D．

解：

于是，是所给函数的反函数，即应选C。

例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。

A．B．

C．D．

解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。

例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成：

解：，三个简单函数复合而成。

第二章极限与连续

例1：下列数列中，收敛的数列是（）

A. B. C. D.

解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。

由于，故（B）中数列发散。

由于正弦函数是一个周期为的周期函数，当时，并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C ）中数列也发散。

由于，故（D）中数列收敛。

例2：设，则a=( )

A.0

B.1

C.3

D.1/3

解：假设=0，则所给极限为，其分子趋于∞，而分母趋于有限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。

当≠0时，所给极限为，故应选C。

一般地，如果有理函数，其中、分别为n的k 次、l次多项式，那么，当时，

当k=l 时，f (n)的极限为、的最高次项的系数之比；

当k

当k>l时，f (n)的极限为∞。

对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数的极限，也有类似的结果。

例3.

A. 0

B. 1

C. π

D. n

解利用重要极限

，故应选C。

注：第一重要极限的本质是，这里的可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。

类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。

例4.求

解法 1

解法 2

解法 3

例5.

A. 0

B. 1

C. 1/2

D. 1/4

解：由于,故应选D 。

例6.

解

:

注意本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。

例7. 当x→0时，的（）。

A. 同阶无穷小量

B. 高阶无穷小量

C. 低价无穷小量

D. 较低阶的无穷小量

解：由于

可知是x的同阶无穷小量，所以应选A。

例8. 当等价的无穷小量是( )

A. B. C. D.

解：由于

可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。

例9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( )

A. B.

C. D.

解：由于

所以应选A.