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北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题 共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=u u u r u u u r u u u rB ．12AB BC DA =+u u u ru u ur u u u rC ．AD DC AC -=u u u r u u u r u u u rD ．2CD BA CA +=u u u r u u ru u r5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正 视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正 方形，那么该几何体的表面积是 A ．16 B ．20 C ．1242+D ．1642+开始 是输出S 否 n =1，S = 0 n <5 S = S +2 n n = n +1结束ODCBA6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一 组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18． 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若 成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则 该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB =BC =3，210CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r，()121,0i i A A i +=-u u u u ur()1,2,,,i n =L L ， ()11,2,,,i i i A B A i n +∆=L L 是等边三角形，且点12,,,,n B B B L L 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =L L 的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1. （I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为X 012 3 P940abc（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率； （III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)参考答案（理科）一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15． 解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ） 因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)42x π+=， 所以()f x 取得最大值3； 当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分 （Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P .∴()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r.∴cos ,3PC AB PC AB PC AB ===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u r u u u r ∴异面直线PC 与AB…………………………8分 （Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23， 设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =u u u r ，()1,0,DE m =-u u u r. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =r，∴0n DC =u u r u u u r g ，0n DE =u u r u u u rg ，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r .又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =u u u r，∴2cos ,3n AP =u u r u u u r，即42.3n AP n AP==⋅r u u u rg r u u u r 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17． 解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分 所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分 （Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+==………………………… 10分 （Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-==所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=， 令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分 所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分 （II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>， 所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞）， 所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F，离心率为2所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222kx x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分 所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤2= ………………………… 12分 当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k=时，PAB ∆ ………………………… 13分20． 解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =， 所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分 （Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++L . ①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠， 所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分 （ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分 （Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++L ()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥， 所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x x y =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C. π2是函数()f x 的一个周期D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2xf x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种11主视图左视图俯视图8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-， 函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=则=BCPB． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；P（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+； （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=； -------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）∵Aax b sin sin =， ∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，)0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ， ()0, 0D .所以() 0, 0AC =-u u u r ，()0, 0BD =-u u u r.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a a =-u u u r . 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n .易知()0, 0BD =-u u u r是平面SAC 的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02a BD a ⋅=⋅-=-u u u r n ，所以BD ⊥u u u rn ，所以平面BDE ⊥平面SAC .-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =u u u r是平面SAC 的一个法向量.由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 452OS 〈〉=︒=u u u r n ，2=，解得1a =.[ 所以点E 是SC 的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,222824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===, ξ的分布列为-------------------------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ-----------------------13分18．（本小题满分13分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）Θx x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f -----------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）Θ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+------------------------------------------------8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ② 当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.---------------------13分 19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ---------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ----------------------------6分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ----------------------------------------9分（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ． 解得67=k ，此时（*）方程0>∆， ∴存在67=k ，满足题设条件．------------------------------------------------------14分 20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． 解：（Ⅰ） 由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20.综上，数列{}n a 是T 数列.------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）因为11331350(1)50502222n n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当1350022n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭----------------------------------------9分（Ⅲ）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤，即当615p <≤时符合122++≤+n n nc c c 条件. 若2n ≥，则1≤n p ,此时1n pc n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n =-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； ②当23p <≤时， 取1n =则：1231,1,1,23p pc p c c =-=-=- 由0322231>-=-+pc c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列 ③当3p >时， 取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206pc c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列 -----------------------------------------------------------------------------13分。
北京市海淀区高三二模数学（理科）2017.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B =A. {2}-B. {1}C. {2,1}-D. {2,0,1}-2.二项式62)x x-（的展开式的第二项是A.46xB.46x -C.412xD. 412x -3.已知实数,x y 满足10,30,3,x y x y y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最小值为A. 11B.5C.4D. 24.圆2220x y y +-=与曲线=1y x -的公共点个数为 A ．4 B ．3C ．2D.05.已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是 A. 32a a > B. 12+0a a > C.2{}n a 是递增数列 D. n S 存在最小值6.已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x +=”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A. ①B.①②C.②③D.①②③8.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分1图 2图3图别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90︒，记(1,2,3,4)i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市2017届高三综合练习数学（理）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分）和非选择题(共110分）两部分第一部分（选择题 共40分)注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M y y x x ==∈R ,{|2, }N y y x x ==+∈R ，则MN 等于(A ）[)0,+∞ （B)(,)-∞+∞ （C ）∅ (D ）｛(2, 4)，(1, 1)-｝ 2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6（C ）9，7（D ）12,43．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+= （B ）224xy +=（C)22(2)4xy +-= （D)22(1)(1)4x y -+-=4．已知{}na 是由正数组成的等比数列，nS 表示{}na 的前n 项的和．若13a =,24144a a =,则10S 的值是（A ）511 （B ） 1023 (C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos2π+=x y 的单调增区间是(A ）π(π, π)2k k +k ∈Z（B ）π(π, ππ)2k k ++k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z6．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 (A(B（C（7．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点,直线AB 与FC 相交于点D 。
北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题 文第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ）A ．{}|23x x <<B ．{}|1x x >C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC．D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ． 11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．第3个月第4个月租用a 型车 租用b 型车 租用a 型车60% 50% 租用b 型车 40% 50%若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题 9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况， 所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=， 租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=，得2sin cos sin abB B B =，所以2cos a b B =．（Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =，因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=．18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高．因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=，因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=．（Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12ce a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ，所以||||||||BQ BMAB BP =，所以||1||2BM BP =．设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==，所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±，所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：x (,ln 2)-∞ ln 2 (ln 2,)+∞ '()g x - 0 + ()g x 极小值所以()g x 的最小值为ln2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-． （Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021xe x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24xf x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+，因为(1)30g e =-<，323()402g e =->，所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
北京市2017届高三综合练习数学（理)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|4A x x=∈<N ，{}2|230B x xx =∈--<R ，则AB =（ )、A ．{}101-，，B ．{}01，C ．{}|12x x -<<D ．{}|23x x -<< 2.已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --3.一个几何体的三视图如下,其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．834.已知向量a b ，满足1a b a b ==+=，则向量a b ，夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．12- C 3D ．35.已知数列{}na 是等差数列，38a=，44a=,则前n 项和nS 中最大的是( )A ．3S B ．4S 或5S C ．5S 或6S D ．6S6.已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为( )A ．5B ．52C ．5或3D ．5或527.已知x y ，满足()2221x y x y y a x ⎧-⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．2a ≥C ．12a -<≤D ．1a <-或2a ≥8.已知函数：①()12f x x =,②()πsin 2x f x =,③()1ln 12f x x =+．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（ ）命题():1p f x +是偶函数; 命题():1q f x +在()01，上是增函数；命题():r f x 恒过定点()11，； 命题11:22s f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p第Ⅱ卷（非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分，把答案填写在题中横线上．9. 51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为 ．10.已知直线():12l y k x =++，圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩,则圆心C 的坐标是 ；若直线l 与圆C 有公共点,则实数k 的取值范围是 ．11.如图，已知PAB 是O ⊙的割线，点C 是PB 的中点,且PA AC =，PT 是O ⊙的切线，TC 交O ⊙于点D ，8TC =，7CD =,则PT 的长为 ．12.如图所示程序图运行的结果是 ．13.一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成30︒角．轮船沿航线前进1000米到达C 处,此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东15︒方向．则此时轮船到灯塔B 的距离CB 为 米．14.若()f x 是定义在R 上的奇函数,且对0x ∀≥，总存在正常数T ，使得()T f x +()Tf x =+成立,则称()f x 满足“性质P "．已知函数()g x 满足“性质P",且()g x 在[]0T ，上的解析式为()2g x x =，则常数T = ；若当[]3T 3T x ∈-，时，函数()y g x kx =-恰有9个零点，则k = ．三、解答题:本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分)已知函数()22sin cos 23sin 3444x xxf x =-⑴ 求函数()f x 的最大值,并写出相应的x 取值集合;⑵ 令π1035f a ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且()0πα∈，，求tan 2α的值．16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形,PAD △为等边三角形,平面PAD ⊥平面ABCD ,且602DAB AB ∠=︒=，,E 为AD 的中点．⑴ 求证:AD PB ⊥；⑵ 求二面角A PD C --的余弦值;⑶ 在棱PB 上是否存在点F ,使EF ∥平面PDC ?并说明理由．17.（本小题满分13分)如图，某工厂2011年生产的A B C D ，，，四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会．⑴ 问A B C D ，，，型号的产品各抽取了多少件？⑵ 从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型 号的产品的概率；⑶ 在50件样品中，从A C ，两种型号的产品中随机抽取3件,其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．18.（本小题满分13分） 已知函数()()2121ln 12f x mxx x =-+++．⑴ 当32m =-时，求函数()f x 的极值点；⑵ 当1m ≤时，曲线():C y f x =在点()01P ，处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围．19.（本小题满分14分） 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且其右焦点与抛物线22:4C y x=的焦点F 重合．⑴ 求椭圆1C 的方程;⑵ 直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A B ，两点，与抛物线2C 相交于C D，两点．求ABCD 的最大值．20.（本小题满分13分） 已知集合{}12320112012S =，，，，，,设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中任意两个不同的元素()x y x y >，,若x y -都不能．．．整除x y +，则称集合A 是S 的“好子集"．⑴ 分别判断数集{}2468P =，，，与{}147Q =，，是否是集合S 的“好子集"，并说明理由;⑵ 求集合S 的“好子集"A 所含元素个数的最大值； ⑶ 设123mA A A A ，，，，是集合S 的m 个“好子集”,且两两互不包含,记集合iA 的元素个数为()12ik i m =，，，,求证：()1!2012!2012!miii k k =⋅-∑≤数学参考答案(理科）一、选择题二、填空题三、解答题15、（I ）()f x 的最大值为2，相应的x 取值集合为π|4π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（II）24tan 27α=-．16、（I ）略；(II)二面角A PD C --的余弦值为（III ）在棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ．17、(I)A 型号的产品10件，B 型号的产品20件，C 型号的产品5件,D 型号的产品15件；（II ）这两件产品恰好是不同类型的产品的概率为57；（III ）随机变量X 的分布列为()2E X =18、(I ）()f x 的极大值点为13x =-;（II ）m 的取值范围为(]{},01-∞．19、（I)椭圆的方程为22143x y +=；(II ）ABCD 的最大值为34．20、（I ）P 不是S 的“好子集";Q 是S 的“好子集”； (II ）A 的最大值为671； （III)略．提示：（II)考虑1,2a b -≠，作S 的模3同余类，可构造{}1,4,7,,2011A =即可． (III)12,,,mA A A 是S 的“好子集"的条件多余,可直接改为“子集”；考虑2012个数的全排列即可．。
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．3 B．2 C．3 D．35．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x－1，1()ln x g x x -=（Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题 理第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|(1)0A x x x =+≤，集合{}|0B x x =>，则A B = （ ） A ．{}|1x x ≥-B ．{}|1x x >-C ．{}|0x x ≥D ．{}|0x x >2.已知复数()z i a bi =+（a ，b R ∈），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．0a =，0b ≠D ．0a ≠，0b =3.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．84.设a ，b R ∈，若a b >，则（ ） A ．11a b< B ．22a b>C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5.已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，0c =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知曲线C：2x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列{}n a 满足245a a a =，48a =，则公比q = ，前n 项和n S = ．10.已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为 ．11.在ABC ∆中，cos c a B =．①A = ；②若1sin 3C =，则cos()B π+= ． 12.若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+= ，2||||a b =，则向量a ，b 夹角的大小为 ．13.已知函数21,0,()cos ,0.x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩若关于x 的方程()0f x a +=在(0,)+∞内有唯一实根，则实数a 的最小值是 ．14.已知实数u ，v ，x ，y 满足221u v +=，10,220,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ux vy =+的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知3π是函数2()2cos sin 21f x x a x =++的一个零点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8 10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1月2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 天津 24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26 上海 322733313031323330323030（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率； （Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）． 17.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=︒，1AB =，12BC BB ==，1C D CD ==1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC 的值，若不存在，说明理由．18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．19.已知椭圆G ：2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知含有n 个元素的正整数集{}12,,,n A a a a =…（12n a a a <<<…，3n ≥）具有性质P ：对任意不大于()S A （其中12()n S A a a a =+++…）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ． （Ⅰ）写出1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明：“1a ，2a ，…，n a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:ADBBC 6-8:CDB 二、填空题9.2，21n- 10.2213y x -= 11.90，13- 12.120 13.12- 14. 三、解答题15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f π=，即22()2cossin10333f a πππ=++=，即21()2()1032f π=++=，解得a =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 21f x x x =+cos222x x =+52sin(2)26x π=++， 函数sin y x =的递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．由5222262k x k πππππ-<+<+，k Z ∈， 得236k x k ππππ-<<-，k Z ∈， 所以，()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大． （Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨． 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，82()123P A ==． （Ⅲ）X 的数学期望8EX =．17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， 故1AC CC ⊥，由平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D 平面111ACC A CC =， 所以AC ⊥平面1CC D ，又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又90BAC ∠=︒，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得(0,0,0)A，C，1C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B，D ，所以1(2,0,0)BB =，(1BD =， 设平面1DBB 的法向量为(,,)n x y z =，由10,0,n BB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则z =0x =，于是(0,1,n =，因为M 为1DC中点，所以3(2M，所以3(2AM = ，由3((0,1,02AM n ⋅=⋅= ，可得AM n ⊥ ，所以AM 与平面1DBB 所成角为0， 即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,n =．设BP BC λ=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，(11)DP λ=---．若直线DP 与平面1DBB 成角为3π，则|||cos ,|2||||n DP n DP n DP ⋅<>===⋅， 解得[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数()f x 定义域为(1,)-+∞．4(1)'()221a f x x a x -=-++22(1)(2)1x a x a x ⎡⎤+-+-⎣⎦=+， 令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， 由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点， 所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点． （Ⅱ）已知(0)0f =，因为[]2(1)(2)'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[]0,1上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立； 当23a <<时，在区间[]0,2a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增， 所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立； 所以2a ≤时，有()0f x ≤在区间[]0,1恒成立．19.解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得110,1,x y =⎧⎨=⎩224,31.3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以AB 中点21(,)33M -， 于是直线OM 的斜率为113223=--．（Ⅱ）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以||2AM =，||||1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程， 得2222(21)42(1)0k x k x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+， 于是21212222(1)(1)222121y y x x k kk k k k ++=⋅+=⋅-+=++， 点M 的坐标为2222(,)2121k kk k -++，22(1)||21k AB k +==+. 直线CD 的方程为12y x k =-⋅，联立椭圆G 的方程，得222421k x k =+， 设00(,)C x y ，则2222200022141||(1)421k OC x y x k k +=+=+=+， 由题知，222||4||||4(||||)(||||)4(||||)AB CM DM CO OM CO OM CO OM =⋅=+-=-，即22222222228(1)41(41)4()(21)21(21)k k k k k k k +++=-+++，化简，得212k =，故2k =±，所以直线l 的方程为(1)2y x =+，1)2y x =-+. 20.解：（Ⅰ）11a =，22a =. （Ⅱ）先证必要性：因为11a =，22a =，又1a ，2a ，…，n a 成等差数列，故n a n =，所以(1)()2n n S A +=； 再证充分性：因为12n a a a <<<…，1a ，2a ，…，n a 为正整数数列，故有11a =，22a =，33a ≥ ，44a ≥，…，n a n ≥，所以12(1)()122n n n S A a a a n +=+++≥+++=……， 又(1)()2n n S A +=，故m a m =（1m =，2，…，n ），故1a ，2a ，…，n a 为等差数列． （Ⅲ）先证明12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）． 假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数．依题意3p ≥，则121p a a a -+++ (2)112221p p --≤+++=-…，，又因为12n a a a <<<…，故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即12m m a -∀≤（1m =，2，…，n ）成立． 因此112201712221n n n a a a -=+++≤+++=-……， 即22018n≥，所以11n ≥．因为2017S =，则1212017n n a a a a -+++=-…，若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ， 故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.此时可构造集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =. 因为当{}2,21k ∈+时，k 可以等于集合{}1,2中若干个元素的和；故当{}22222,21,22,23k ∈+++时，k 可以等于集合{}21,2,2中若干不同元素的和； ……故当{}88882,21,22,,2255k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2…中若干不同元素的和； 故当{}4973,4974,,497511k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497…中若干不同元素的和；故当{}1009,10091,10092,,10091008k ∈+++…时，k 可以等于集合{}81,2,,2,497,1009…中若干不同元素的和，所以集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A =满足题设，所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009．。
北京市2017届高三综合练习数学（理）第I 卷 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z=（ ） A ． i 2- B ．i 2 C ．i +1 D ．i -12.已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（ ）Ａ．{|1}x x >- Ｂ．{|1}x x < Ｃ．{|11}x x -<< Ｄ．∅3 ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB ，则C ∠=（ ）6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π4. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（ ） A.12π B ．2C．4D ．4π5.设向量→a 与→b 的夹角为θ，→a =（2，1），3→b +→a =（5，4），则θcos =（ ）A.54B ．31C ．1010 D ．10103 6. 若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．400.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距7．如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若3,2==AF BF BC 且，则此抛物线的方程为（ ） A ．x y 32= B ．x y 32= C ．x y 62=D ． x y 92=8．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且12)(,1)1(2+-≤-=-at t x f f 若函数对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（ ）A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-t C ．022=-≤≥t t t 或或 D ．02121=-≤≥t t t 或或第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.6(x 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 10. 如图，平行四边形ABCD 中，2:1:=EB AE ，若AEF ∆的面积等于1cm 2,则CDF ∆的面积等于 cm 2． 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）/月收入段应抽出 人.12．右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .AFE D CB13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______.14．给出以下几个命题： ①由曲线y=x 2与直线y=2x 围成的封闭区域的面积为34.②已知点A 是定圆C 上的一个定点，线段AB 为圆的动弦，若)(21+=， O 为坐标原点，则动点P 的轨迹为圆；③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A 54·A 41=480种. ④若直线l //平面α，直线l ⊥直线m ，直线l ⊂平面β，则β⊥α，其中，正确的命题有 . （将所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. （本题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.16（本题满分13分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD PAC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.DPAC17. （本小题满分13分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ). 18．（本小题满分14分）已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.19. (本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.其中F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.20. (本题满分14分)已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)2(na n n nb λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数学（理科）模拟答案及评分标准一.选择题(共40分)9．15 10. 9 11. 25 12. 1320 13.（0，2）； 14. ①② 三.解答题 15．解：（I ）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =+-+ 221cos 22sin cos 2x x x x =+- 1cos 22cos 222x x x =+- s i n (2)6x π=- ………………………………………… 4分2T 2ππ==周期∴.……………………………………………6分 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈.…………… 8分（II ）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- ………………………………… 9分 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1.又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取得最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[.16.（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD, ∴BD ⊥PA .∵,,AC PAC PA PAC AC PA A ⊂⊂⋂=平面平面, ∴BD PAC ⊥平面.………………………… 4分得332=d . ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系,则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P(2,2,0)BD =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r易求平面D P C 的法向量为()1,1,0=,平面PBD 的法向量为()1,1,1= …………………………………………… 7分cos ,m n <>==r r ， 二面角B PD C --的余弦值3. …………………………………………… 9分 （III ）因为Q 在DP 上，所以可设()10<<=λλ，又()2,2,0-= ,()()()λλλλλ2,22,02,2,00,2,0-=-+=+=+=∴()λλ2,22,0-∴Q ,()()λλλλ,,122,2,2--=--=∴CQ .……………………… 10分由（Ⅱ）可知平面PBD 的法向量为()1,1,1=n ， 所以设CQ 与平面PBD 所成的角为θ，则有：22131cos sin λθ+===…………………………………… 11分所以有69221312=+λ，1612=λ，10<<λ ， 41=∴λ ………12分所以存在且DP DQ 41=. ……………………………………………………………13分 17．（I ）由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3,且03312322333321(0)(1),327222(1)(1),339224(2)()(1),33928(3)(),327P C P C P C P C ξξξξ==⨯-===⨯⨯-===⨯-===⨯=所以ξ的分布列为………………………………………………… 5分ξ的数学期望为12480123 2.279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………7分 （II ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，,AB C D =⋃,C D 互斥.22342221112111110()()(1),333323323323P C C ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…………9分54(),3P D =………………………………………………………………………… 11分 4551043434()()().333243P AB P C P D =+=+== ………………………… 13分18.解：（Ⅰ）因为()'2101a f x x x =+-+………………………………………… 2分 所以()'361004a f =+-=因此16a =. ………………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()216l n 110,1,fx x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x f x x-+=+.………………………………………………………… 6分当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >;当()1,3x ∈时，()'0f x <.所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞;()f x 的单调减区间是.()1,3……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0fx =.……………………………………………… 10分所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-.……………12分 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<.因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--.……………………………………… 14分19．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．……………………………………………1分 设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=， 得123x =，1y =．………………………………………………………………… 3分 M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a bb a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，………………………5分 消去2b 并整理得 4293740a a -+=， 解得2a =（13a =不合题意，舍去）． 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………… 7分 （Ⅱ）由12MF MF MN +=知四边形12MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．……………………………………………………… 8分由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，………………………………………………………………… 9分消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．…………………………………… 10分设11()A x y ，，22()B x y ，，12169mx x +=，212849m x x -=.……………………11分因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=⋅-⋅+21(1428)09m =-=．……………… 12分所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l 的方程为y -y + …………………… 14分 20.解：（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分 （II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………14分。
北京市2017届高三综合练习数学（理）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B =U(A) {0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x << (C) {0x x <或1}x >(D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 “复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是(A) a =0，b ≠0 (B) a =0 (C) b =0 (D) a =0，b =2 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A) 223 (B)283 (C) 323(D) 343原题：如图所示，直线1y x =+与曲线321y x x x =--+与x 轴所围成的封闭图形的面积是 ． 4．函数1,0,()2cos 1,20x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π- (C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6(B)29 (C) 3(D) 23 6．平面向量a r 与b r 的夹角是3π，且1a =r ，2b =r ，如果AB a b =+u u u r r r ，3AC a b =-u u u r r r ，D 是BC 的中点，那么AD =u u u r俯视图正视图32213(A)(B) (C) 3 (D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需则每周最高产值是 (A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），且C 种产品至少生产5吨，则每周最高产值是(A) 40 (B) 42.5 (C) 45 (D) 50 说明：这两个题没有本质区别，主要差一句话（且C 种产品至少生产5吨），这句话意味着什么？考题希望交给学生遇到问题应如何思考。
2017海淀区高二〔下〕期中数学〔理科〕一．选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分．1．〔4分〕复数1﹣i的虚部为〔〕A．i B．1 C．D．﹣2．〔4分〕xdx=〔〕A．0 B．C．1 D．﹣3．〔4分〕假设复数z1，z2在复平面的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，那么z1•z2=〔〕A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．〔4分〕假设a，b，c均为正实数，那么三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数〔〕A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．〔4分〕定义在R上的函数f〔x〕和g〔x〕，其各自导函数f′〔x〕f和g′〔x〕的图象如下图，那么函数F〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕极值点的情况是〔〕A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．〔4分〕函数f〔x〕=lnx与函数g〔x〕=ax2﹣a的图象在点〔1，0〕的切线一样，那么实数a的值为〔〕A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．〔4分〕函数y=e x〔2x﹣1〕的大致图象是〔〕A．B．C．D．8．〔4分〕为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进展问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，参加了不同的三个社团：“楹联社〞、“书法社〞、“汉服社〞，还满足如下条件：〔1〕甲同学没有参加“楹联社〞；〔2〕乙同学没有参加“汉服社〞；〔3〕参加“楹联社〞的那名同学不在高二年级；〔4〕参加“汉服社〞的那名同学在高一年级；〔5〕乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是〔〕A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分．9．〔4分〕在复平面，复数对应的点的坐标为．10．〔4分〕设函数f〔x〕，g〔x〕在区间〔0，5〕导数存在，且有以下数据：x1234f〔x〕2341f′〔x〕3421g〔x〕3142g′〔x〕2413那么曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程是；函数f〔g〔x〕〕在x=2处的导数值是．11．〔4分〕如图，f〔x〕=1+sinx，那么阴影局部面积是．12．〔4分〕如图，函数f〔x〕的图象经过〔0，0〕，〔4，8〕，〔8，0〕，〔12，8〕四个点，试用“＞，=，＜〞填空：〔1〕；〔2〕f′〔6〕f′〔10〕．13．〔4分〕平面向量=〔x1，y1〕，=〔x2，y2〕，那么•=x1x2+y1y2；空间向量=〔x1，y1，z1〕，=〔x2，y2．z2〕，那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=〔a1，a2，…，a n〕，=〔b1，b2，…，b n〕，那么•=．14．〔4分〕函数f〔x〕=e x﹣alnx〔其中a∈R，e为自然常数〕①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f〔x〕的一条切线；②对∀a＜0，函数f〔x〕的导函数f′〔x〕无零点；③对∀a＜0，函数f〔x〕总存在零点；那么上述结论正确的选项是．〔写出所有正确的结论的序号〕三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔10分〕函数f〔x〕=x3﹣3x2﹣9x+2〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕在区间[﹣2，2]上的最小值．16．〔10分〕数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．〔Ⅰ〕求a2，a3，a4；〔Ⅱ〕猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．〔12分〕函数f〔x〕=x﹣〔a+1〕lnx﹣，其中a∈R．〔Ⅰ〕求证：当a=1时，函数y=f〔x〕没有极值点；〔Ⅱ〕求函数y=f〔x〕的单调增区间．18．〔12分〕设f〔x〕=e t〔x﹣1〕﹣tlnx，〔t＞0〕〔Ⅰ〕假设t=1，证明x=1是函数f〔x〕的极小值点；〔Ⅱ〕求证：f〔x〕≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．应选：D．2．【解答】xdx=x2|=，应选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣〔1+i〕〔1﹣i〕=﹣2．应选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=〔a+〕+〔b+〕+〔c+〕≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2应选：B5．【解答】F′〔x〕=f′〔x〕﹣g′〔x〕，由图象得f′〔x〕和g′〔x〕有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈〔﹣∞，a〕时，F′〔x〕＜0，F〔x〕递减，x∈〔a，b〕时，F′〔x〕＞0，F〔x〕递增，x∈〔b，c〕时，F′〔x〕＜0，F〔x〕递减，x∈〔c，+∞〕时，F′〔x〕＞0，F〔x〕递增，故函数F〔x〕有一个极大值点，两个极小值点，应选：C．6．【解答】由题意，f′〔x〕=，g′〔x〕=2ax，∵函数f〔x〕=lnx与函数g〔x〕=ax2﹣a的图象在点〔1，0〕的切线一样，∴1=2a，∴a=，应选C．7．【解答】y′=e x〔2x﹣1〕+2e x=e x〔2x+1〕，令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x〔2x﹣1〕在〔﹣∞，﹣〕上单调递减，在〔﹣，+∞〕上单调递增，当x=0时，y=e0〔0﹣1〕=﹣1，∴函数图象与y轴交于点〔0，﹣1〕；令y=e x〔2x﹣1〕=0得x=，∴f〔x〕只有1个零点x=，当x时，y=e x〔2x﹣1〕＜0，当x时，y=e x〔2x﹣1〕＞0，综上，函数图象为A．应选A．8．【解答】假设乙在高一，那么参加“汉服社〞，与〔2〕矛盾，所以乙在高二，根据〔3〕，可得乙参加“书法社〞，根据〔1〕甲同学没有参加“楹联社〞，可得丙同学所在的社团是楹联社，应选A．二．填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面对应的点的坐标〔﹣1，﹣1〕．故答案为：〔﹣1，﹣1〕．10．【解答】f′〔1〕=3，f〔1〕=2，∴曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程是y=3x﹣1，[f〔g〔x〕〕]′=f′〔g〔x〕〕g′〔x〕，x=2时，f′〔g〔2〕〕g′〔2〕=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=〔1+sinx〕dx=〔x﹣cosx〕|=π﹣cosπ﹣〔0﹣cos0〕=2+π，故答案为：π+212．【解答】〔1〕由函数图象可知=，==2，∴．〔2〕∵f〔x〕在〔4，8〕上是减函数，在〔8，12〕上是增函数，∴f′〔6〕＜0，f′〔10〕＞0，∴f′〔6〕＜f′〔10〕．故答案为〔1〕＞，〔2〕＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f〔x〕=e x﹣alnx的导数为f′〔x〕=e x﹣，设切点为〔m，f〔m〕〕，那么e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，那么∃a∈R，使得直线y=ex为函数f〔x〕的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f〔x〕的导函数f′〔x〕=e x﹣，由x＞0，可得f′〔x〕＞0，那么导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f〔x〕=e x﹣alnx，由f〔x〕=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，〔a＜0〕的图象，可得它们存在交点，故f〔x〕总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】〔Ⅰ〕f′〔x〕=3x2﹣6x﹣9=3〔x+1〕〔x﹣3〕，令f′〔x〕=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′〔x〕，f〔x〕在区间R上的变化状态如下：x〔﹣∞﹣﹣1〔﹣1，3〕3〔3，+∞〕1〕f′〔x〕+0﹣0+f〔x〕↗极大↘极小↗所以f〔x〕的单调递增区间是〔﹣∞，﹣1〕，〔3，+∞〕；单调递减区间是〔﹣1，3〕；〔Ⅱ〕因为f〔﹣2〕=0，f〔2〕=﹣20，再结合f〔x〕的单调性可知，函数f〔x〕在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】〔Ⅰ〕由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣〔Ⅱ〕猜测：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜测成立．②假设当n=k 〔k∈N*〕时，猜测成立，即a k=﹣那么由a k+a k=﹣，得a k+1=﹣，+1即当n=k+1时，猜测成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜测成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】〔Ⅰ〕证明：函数f〔x〕的定义域是〔0，+∞〕．当a=1时，f〔x〕=x﹣2lnx﹣，函数f′〔x〕=≥0，所以函数f〔x〕在定义域〔0，+∞〕上单调递增，所以当a=1时，函数y=f〔x〕没有极值点；〔Ⅱ〕f′〔x〕=1﹣+=，x∈〔0，+∞〕令f′〔x〕=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′〔x〕＞0可得x＞1，所以函数f〔x〕的增区间是〔1，+∞〕；②当0＜a＜1时，由f′〔x〕＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f〔x〕的增区间是〔0，a〕，〔1，+∞〕；③当a＞1时，由f′〔x〕＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f〔x〕的增区间是〔0，1〕，〔a，+∞〕；④当a=1时，由〔Ⅰ〕可知函数f〔x〕在定义域〔0，+∞〕上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f〔x〕的增区间是〔1，+∞〕；当0＜a＜1时，所以函数f〔x〕的增区间是〔0，a〕，〔1，+∞〕；当a=1时，函数f〔x〕在定义域〔0，+∞〕上单调递增；当a＞1时，所以函数f〔x〕的增区间是〔0，1〕，〔a，+∞〕．18．【解答】证明：〔Ⅰ〕函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，…〔1分〕假设t=1，那么f〔x〕=e x﹣1﹣lnx，．…〔2分〕因为f′〔1〕=0，…〔3分〕且0＜x＜1时，，即f′〔x〕＜0，所以f〔x〕在〔0，1〕上单调递减；…〔4分〕x＞1时，，即f′〔x〕＞0，所以f〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增；…〔5分〕所以x=1是函数f〔x〕的极小值点；…〔6分〕〔Ⅱ〕函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，t＞0.；…〔7分〕令，那么，故g〔x〕单调递增．…〔8分〕又g〔1〕=0，…〔9分〕当x＞1时，g〔x〕＞0，因而f′〔x〕＞0，f〔x〕单增，即f〔x〕的单调递增区间为〔1，+∞〕；当0＜x＜1时，g〔x〕＜0，因而f′〔x〕＜0，f〔x〕单减，即f〔x〕的单调递减区间为〔0，1〕．…〔11分〕所以x∈〔0，+∞〕时，f〔x〕≥f〔1〕=1≥0成立．…〔12分〕。
