第四章共包含9个求积公式，1个余项公式。 1，机械求积公式
f x dx = A k f (x k )n
k =0b a
2，插值求积公式
Ln x dx =b a [ l k (x )dx b
a L (x k )n k =0] 3，梯形求积公式
f x dx =
b −a b a [f a +f b ] R n x =− b −a 3f ′′ ξ 4，辛普森求积公式
f x dx =
b −a b a [f a +f (a +b )+f b ] R n x =− b −a (b −a )4f (4) ξ 5，复合梯形公式 f x dx =ℎb
a [f a + f x k n−1k =1+f
b ] h=(b-a)/n
R n x =−
b −a h 2f ′′ ξ
6，复合辛普森公式
f x dx =ℎb a [f a +4 f x k +12 n−1k =0+2 f x k n−1k =1+f b ] h=(b-a)/n
R n x =−
b −a (h )4f (4) ξ
7，高斯求积公式
ρ(x )f x dx = A k f (x k )n k =0b a
其中x k 为高斯点，n+1个节点对应2n+1级代数精度。 高斯点公式：ωn+1=（x-x 0）（x-x 1）…（x-x n ）= x n+1 + a 0x n + a 1x n-1+…+a n-1x+a n ，用 ρ(x )ωn +1 x φk (x )dx b
a =0(k=0,…，n)求出待定系数a ，解方程ωn+1=0得高斯点。 重新代入 ρ(x )f x dx = A k f (x k )n k =0
b a 中求解方程组得到系数A 。
余项：
R n x =f 2n +2 ξ ρ x ωn +12b
a
(x )dx 8，高斯-勒让德公式
f x dx = A k f (x k )n
k =01−1
ρ x =1
高斯点：P n+1（x ）=0的x 值。
A k ： f x dx = A k f (x k )n k =0b a 中求解方程组 9，高斯-切比雪夫公式
1−x 2= A k f (x k )n k =01−1≈π f (x k )n k =1
高斯点；T n+1（x ）=0的x 值。x k =cos （2k +12n +2π）,k=0,1,…n 或: cos （2k−12n π）,k=1,…n
A k ：πn +1
10，求积公式的余项
R n x =Kf m+1 ξ
K 与f （x ）无关，故设f x =x m+1，
Kf m+1 ξ = x m+1dx − A k n k =0b a (x k )m+1=1m+2(b m +2−a m +2)− A k (x k )m+1n k =0 K=
1(m +1)![1m +2(b m +2−a m +2)− A k (x k )m +1]n k =0
