9个求积公式

微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。

可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。

可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。

2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。

可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。

它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。

4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。

可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。

5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。

6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。

求和公式和求积公式求和公式：1.等差数列求和公式：等差数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的差都是相等的。

例如，1，3，5，7，9是一个等差数列，差为2、等差数列求和公式可以表示为：S=(n/2)×(a+l)，其中S是等差数列的和，n是等差数列中的数字个数，a是等差数列的首项，l是等差数列的末项。

2.等比数列求和公式：等比数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的比例都是相等的。

例如，1，2，4，8，16是一个等比数列，比例为2、等比数列求和公式可以表示为：S=(a×(1-r^n))/(1-r)，其中S是等比数列的和，a是等比数列的首项，r是等比数列的公比，n是等比数列的项数。

3.平方和公式：平方和公式是指连续整数平方的和。

平方和公式可以表示为：S=(n×(n+1)×(2n+1))/6，其中S是连续整数平方的和，n是最后一个整数。

4.立方和公式：立方和公式是指连续整数立方的和。

立方和公式可以表示为：S=(n^2×(n+1)^2)/4，其中S是连续整数立方的和，n是最后一个整数。

求积公式：1.阶乘公式：阶乘是指从1到一些正整数的所有整数的乘积。

阶乘的公式表示为：n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1，其中n是正整数。

2.乘方公式：乘方是指将一个数自乘若干次。

乘方的公式表示为：a^n=a×a×a×...×a，其中a是底数，n是指数。

3.组合公式：组合是指从n个物品中取出r个物品的方式数，不考虑顺序。

组合的公式表示为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C是组合数，n是总物品数，r是取出的物品数。

4.乘法原理：乘法原理用于计算多个事件同时发生的总次数。

乘法原理的公式表示为：总次数=事件1发生的次数×事件2发生的次数×...×事件n发生的次数。

16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的极限、导数和积分等概念及其应用。

下面将介绍16个微积分公式，包括导数和积分的基本公式以及一些常用的微积分技巧。

一、导数的基本公式1. 常数函数的导数公式：常数函数的导数为0。

这是因为常数函数在任意点的斜率都是0。

2. 幂函数的导数公式：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。

3. 指数函数的导数公式：指数函数的导数等于该函数自身乘以底数的自然对数。

4. 对数函数的导数公式：对数函数的导数等于该函数自身除以自变量。

5. 三角函数的导数公式：三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系推导得出。

二、积分的基本公式1. 定积分的基本公式：定积分可以看作是函数在给定区间上的面积。

计算定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即求导和积分的逆运算。

2. 不定积分的基本公式：不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。

计算不定积分可以使用导数和积分的基本公式。

三、微积分的常用技巧1. 函数的导数与原函数的关系：函数的导数可以用来求函数的原函数，而函数的原函数可以用来求函数的积分。

2. 导数的链式法则：如果一个函数是两个函数的复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来计算。

3. 积分的换元法：积分的换元法是一种常用的求积法则，可以通过变量代换来简化积分的计算。

4. 积分的分部积分法：分部积分法是积分的一种常用技巧，可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。

5. 积分的化简技巧：有时候，积分的式子可以通过一些化简技巧来简化，如分子分母的拆分、积分区间的变换等。

6. 导数的极值问题：导数可以用来求函数的极值点，通过判断导数的正负可以确定函数的增减性。

7. 积分的应用：积分在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求曲线的长度、求物体的质心等。

8. 微分方程的解法：微分方程是微积分的一个重要应用，可以用来描述物理系统的变化规律。

求解微分方程可以通过积分的方法来得到解析解。

9. 隐函数的求导：隐函数是指用一个方程来表示的函数，它的导数可以通过求偏导数来计算。

1.y=c（c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^（n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y’=e^x4。

y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6。

y=cosx y'=—sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=—1/sin^2x9.y=arcsinx y’=1/√1—x^2 10。

y=arccosx y’=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^212。

y=arccotx y'=—1/1+x^2（1)（2)（3)(4）(5）（6）(7）（8)(9)(10）(11）对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分,等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与。

当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4)、（5）为指数函数的积分,积分后仍是指数函数，因为，故（，)式右边的是在分母，不在分子，应记清。

当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量。

要加以区别，不要混淆。

它们的不定积分所采用的公式不同。

公式（6）、（7）、（8)、(9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式。

公式(10)是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分。

分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式。

解:（为任意常数）例2 求不定积分。

分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于,所以（为任意常数）例3 求不定积分。

常用微积分公式基本枳分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响枳分的能力，应熟记一些常用的积分公式.因为求不左积分是求导数的逆运算，所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。

严;Y=C（C为常数）|'产必=_1_疋+1 十£ (Q M _1)J Q十10仏二丄护十f (o >0,dl)J Inasin xdx = 一cos x^c(9)---- ax= arc sm x ■+• c(10)」Jl - F=-arccos x + cA dx--- T = arcigx十c(11) J1 十x=-arcctgx + c对这些公式应正确熟记•可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数J公式（2）、（3）为幕函数卩=於的积分，应分为。

工一1与O = T.当0工一1时，J Q十1 ,积分后的函数仍是泵函数，而且幕次升髙一次.特别当"0时，有严宀严毎宀当0 = —1 时，J ]x 1 1公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为3）'=小加化故必冷十& （Q>0, 2 H1）式右边的加Q是在分母，不在分子，应记淸.y = QV是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数；指数函数是底为常数，幕为变量•要加以区别，不要混淆•它们的不立积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的枳分arcsin x +e = -arccosx + cT dx = arctgx + c = -arcctgx 十 c 1 十/ " "下而结合恒等变化及不立积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求 不泄积分.例1求不酬分严一徭分析：该不左积分应利用幕函数的积分公式.解:2 2 |=X5 （ °为任意常数）例2求不左积分打十x分析：先利用恒等变换'”加一减一S 将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.丄,一 W 十丄解：由于1十/ 1十X 1十X ,所以訂宀“去冲叮念 W 占心=—一卄 arcigx + 亡3 （ °为任意常数）2 2例3求不泄积分W 存畑dx17P =『2曲-卩％2 2分析：将 仏按三次方公式展开，再利用幕函数求积公式.解：畑=问4 22 4-3门存+3/存-，)么（C 为任意常数） fees 2 —dx例4求不上枳分」 2分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.A 2 A , *1 + COS X ,I cos —ax = --------- d x解：J 2 J 2（c 为任意常数） 例5求不定积分阿妙分析：基本积分公式表中只有代T …纠七2但我们知道有三角恒等式：sec x=^ " + 1竿 pg 2 xdx = J(sec 2 x - =pec 2 =zg X -x + c=/怦一护j 存必十3" 十 3 T -5 X 2 -3 a 9 - 7 十 5 -3 X 4 -3 Q 9 - 5百度文库•让每个人平等地捉升口我（。

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）下面是解立体几何一些简单的公式定例：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

（1）判定直线在平面内的依据（2）判定点在平面内的方法公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。

（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

等差求积公式等差求积公式，这可是数学里一个挺有意思的玩意儿！咱先来说说啥是等差。

比如说，1、3、5、7、9 这样一组数，相邻两个数的差值都一样，这就是等差数列。

那等差求积公式呢，就是用来解决和等差数列相关的乘积问题的。

记得我当年读书的时候，有一次数学考试就考到了等差求积。

那时候，我可是信心满满，觉得自己肯定能拿下这道题。

题目是这样的：求2、4、6、8、10 这几个数的乘积。

我一开始就想，这要是一个个乘，那多麻烦呀！然后突然就想到了老师讲过的等差求积公式。

当时我的脑子就像一台高速运转的机器，回忆着公式的每一个细节。

那个公式好像是……哎呀，一下子还真想不起来了。

我着急得直冒汗，心里不停地念叨：“别慌别慌，一定能想起来。

”就在我快要放弃的时候，突然灵光一闪，终于想起来啦！我按照公式一步一步地计算，最后得出了正确答案。

那次考试因为这道题，我考了个不错的分数，心里那叫一个美！那等差求积公式到底怎么用呢？咱们来举个例子。

比如说有一组等差数列 3、6、9、12、15，要求它们的乘积。

首先，我们要找出这组数的公差，也就是相邻两个数的差值，这里很明显是 3 。

然后，我们假设这组数一共有 n 个数，第一个数是 a1 ，最后一个数是 an 。

那么等差求积公式就是：[a1×an] ^ (n/2) 。

在这个例子里，a1 是 3 ，an 是 15 ，n 是 5 。

所以乘积就等于 [3×15] ^ (5/2) 。

咱们再深入一点，假如这组数变成了 10、15、20、25、30 ，还是用等差求积公式。

先算出公差是 5 ，n 还是 5 ，a1 是 10 ，an 是 30 ，那乘积就是 [10×30] ^ (5/2) 。

等差求积公式在解决一些复杂的数学问题时，真的能帮上大忙。

比如说在几何图形的面积计算中，如果边长构成等差数列，就可以用这个公式来快速求出面积。

还有啊，在实际生活中也能用到等差求积呢！比如说，你要在一排等距离的树上挂彩灯，树之间的距离是等差数列，你想知道一共需要多少彩灯，这时候等差求积公式就能派上用场啦。

奇数连乘的求积公式奇数连乘的求积公式，这可是数学世界里一个有趣的小角落。

咱们先来说说啥是奇数。

奇数啊，就是像 1、3、5、7、9 这样不能被 2 整除的整数。

那奇数连乘呢，就是把一串奇数一个接一个地乘起来。

比如说 1×3×5，或者 3×5×7 等等。

那奇数连乘有没有啥公式呢？答案是有的。

咱们来假设一个奇数序列，从 1 开始，每次加 2 ，一直到 2n - 1 。

这里的 n 是一个正整数。

那这个奇数连乘的结果可以用公式表示为：(2n)! / (n!×2^n) 。

是不是看着有点晕？别急，咱们来举个例子。

比如说，当n = 3 时，也就是求 1×3×5 的结果。

按照公式，先算 (2×3)! ，也就是 6! ，6×5×4×3×2×1 = 720 。

再算 3! ，也就是 3×2×1 = 6 。

然后 2^3 = 8 。

最后用 720 除以（6×8），得到结果 15 ，正好就是 1×3×5 的乘积。

记得我当年上中学的时候，有一次数学考试就出了一道关于奇数连乘的题目。

当时班里好多同学都被这道题难住了，抓耳挠腮的。

我一开始也有点懵，但是静下心来，仔细回忆了老师讲过的奇数连乘的公式和解题方法。

我先把题目中的数字对应到公式里的变量，然后一步步计算，最后算出了正确答案。

那次考试我因为这道题拿了高分，心里可美了。

从那以后，我对奇数连乘的公式就记得更牢了，也明白了只要认真听讲，多做练习，再难的数学问题也能解决。

在实际生活中，奇数连乘的公式虽然不常直接用到，但它锻炼了咱们的逻辑思维和数学能力。

就像搭积木一样，每一块积木都是一个知识点，奇数连乘的公式就是其中一块独特的积木，它让咱们搭出的知识大厦更加牢固、更加精彩。

所以啊，同学们，别觉得奇数连乘的公式难，只要多琢磨，多练习，一定能掌握它。

表格乘积公式常用函数在表格中计算乘积时，我们可以使用许多常用函数来简化计算和提高效率。

这些函数的使用可以帮助我们在大数据集中进行快速计算，而不需要手动逐个元素进行相乘。

1.PRODUCT（乘积函数）PRODUCT函数可以计算一个或多个数值的乘积。

对于特定的数值范围，该函数将会返回这些数值的乘积。

例如，我们有一个表格的A列是一组数字，我们想对这些数字求乘积，就可以使用以下公式：=PRODUCT(A1:A10)2.SUMPRODUCT（求和乘积函数）SUMPRODUCT函数可以计算多个数组的乘积，并返回乘积的和。

这个函数经常和其他函数结合使用，以实现更复杂的计算。

例如，在一个表格的A列和B列中有一组对应的数值，我们想计算这些数值相乘的和，可以使用以下公式：=SUMPRODUCT(A1:A10,B1:B10)3.MMULT（矩阵乘积函数）MMULT函数用于计算两个矩阵的乘积。

它接受两个矩阵作为参数，并返回它们的乘积矩阵。

例如，我们有两个矩阵A和B分别是3x2和2x3的矩阵，我们可以使用以下公式计算它们的乘积：=MMULT(A1:C3,D1:E2)4.POWER（次方函数）POWER函数用于计算一个数值的指定次幂。

它接受两个参数，第一个参数是底数，第二个参数是指数。

例如，如果我们想计算2的3次方，可以使用以下公式：=POWER(2,3)5.SQRT（平方根函数）SQRT函数用于计算一个数值的平方根。

它接受一个参数，即待计算的数值。

例如，如果我们想计算9的平方根，可以使用以下公式：=SQRT(9)6.LOG（对数函数）LOG函数用于计算一个数值的对数。

它接受两个参数，第一个参数是待计算的数值，第二个参数是对数的基数。

例如，如果我们想计算以10为底的100的对数，可以使用以下公式：=LOG(100,10)7.LN（自然对数函数）LN函数用于计算一个数值的自然对数（以e为底）。

它只接受一个参数，即待计算的数值。

插值型求积公式及其之间的⽐较摘要在实际应⽤中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分⽅法.⽜顿-柯特斯与⾼斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是⾮等距节点下的积分公式.⽜顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的⽅法,⽽⾼斯型求积公式是计算⾼阶积分的⽅法.梯形求积公式,⾟普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的⽜顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其⼏何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.⽽⾼斯型求积公式中主要介绍常⽤的⾼斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致⾼斯点和⾼斯系数的不同,从⽽形成不同的公式,其中重点讲解了⾼斯-勒让德求积公式.关键词余项;梯形求积公式;⾟普森求积公式;流程图;代数精度⽬录引⾔ (1)第⼀章⽜顿-柯特斯公式 (2)§1.1 ⽜顿-柯特斯公式的相关概念 (2)§1.2 N-C公式 (4)§1.2.1 公式的导出 (4)§1.2.2 梯形求积公式 (5)§1.2.3 ⾟普森求积公式 (5)§1.2.4 柯特斯求积公式 (7)第⼆章⾼斯型求积公式 (10)§2.1 ⾼斯型求积公式的有关定义 (10)§2.2 利⽤正交多项式构造⾼斯求积公式 (12)§2.3 ⾼斯-勒让德公式的详细总结 (13)§2.4 插值型求积公式之间的⽐较 (11)参考⽂献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (19)引⾔在⼯程上的实际计算中想利⽤求原函数的⽅法来求定积分常会遇到困难.这是因为⼯程上的被积函数)f有时⽐较复杂,求原函数⼗分困难或者根本找不到可⽤初(x等函数表⽰的原函数,有时我们甚⾄还⽆法知道被积函数)f的解析表达式,⽽只知(x道⼀组对应的离散数据.因此就要利⽤计算机进⾏数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分.插值型求积公式分为两类,⼀类是等距节点下的求积公式;另⼀类是⾮等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括⾼斯型求积公式.插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之⼀.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成⽴的;⾟普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成⽴的;柯特斯求积公式对所有次数不超过 5 多项式是准确成⽴的.此⽜顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,⽜顿-柯特斯求积公式不⼀定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使⽤低阶的⽜顿-柯特斯求积公式.⽽⾼斯型求积公式是最⾼代数精度的插值型求积公式.使⽤⾼斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随⾼斯点的增加误差的变化.本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下⽜顿-柯特斯公式与⾮等距节点下的⾼斯型求积公式的⽐较,包括余项,代数精度的⽐较,收敛性与稳定性的对⽐.第⼀章介绍⽜顿-柯特斯的相关知识,⽽第⼆章介绍⾼斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与⾮等距公式的⽐较.第⼀章⽜顿-柯特斯公式借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.⼀般选⽤不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式,即低阶N C -公式.低阶N C -公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出,余项的计算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识.§1.1 ⽜顿-柯特斯公式的相关概念定义1.1 依据积分中值定理,()()()ba f x dxb a f ξ=-?,就是说,低为b a -⽽⾼为ξ的矩形⾯积恰恰等于所求曲边梯形的⾯积.取[,]a b 内若⼲个节点k x 处的⾼度()k f x ,通过加权平均的⽅法射年⼯程平均⾼度()f ξ,这类求积公式称机械求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑?式中k x 称为求积节点,k A 称为求积系数.定义1.2 由插值理论可知,任意函数()f x 给定⼀组节点01n a x x x b =<<<= 后,可⽤⼀n 次多项式()n P x 对其插值,即()()()n n f x P x R x =+,因此()()()bb bn n aaaf x dx P x dx R x dx =+?.当()n P x 为拉格朗⽇插值多项式时,即0()()()nn k k k P x l x f x ==∑,则()()()()()(1)!(())()[]()[]n nbb bkkaaak nb k k n ak nk k n k f f x dx l x f x dx x dxn l x dx f x R f A f x R f ξω+====++=+=+∑?∑?∑其中011011()()()()()()()()()bb k k n k k a ak k k k k k n x x x x x x x x A l x dx dxx x x x x x x x -+-+----==----??(1)()[]()(1)!n bn af R f x dx n ξω+=+?通常称为插值型求积公式.定义 1.3 如果求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确成⽴.但对于1m +的多项式不能准确成⽴,则称该公式具有m 次代数精度i i A b a ==-∑.)b 若机械求积公式的代数精度为m ,即当()1,,,m f x x x = 时有()()nbi i ai f x dx A f x ==∑?则对任意次数不超过m 的k 次多项式(),k P x k m ≤有()()nbk i k i ai P x dx A P x ==∑?)c 代数精度的⾼低,从⼀侧⾯反应求积公式的精度⾼低.定义1.4 在求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑?中,若00lim ()()nbk k an k h A f x f x dx →∞=→=∑?其中11max()i i i nh x x -≤≤=-,则称求积公式是收敛的.定义1.5对任给0ξ>,若0,δ?>只要|()|(0,1,,),k k f x f k n δ-≤=就有|()|nnk k k k k k A f x A f ξ==-≤∑∑则称求积公式是稳定的.注：由于计算()k f x 可能有误差,实际得到k f ,即.()k k k f x f δ=+§1.2 N-C 公式§1.2.1 公式的导出设区间[,]a b n 等分,步长b ah n,取等分点k x 够造出的插值型求积公式（其中,0,1,,k x a kh k n =+= ）()0()()nn n k k k I b a C f x ==-∑称作n 阶⽜顿-柯特斯公式. 其中()n k C 为柯特斯系数()00(1)()*!()!i kn kn n n ki Ct i dt n k n k ≠-=-=--∏? ()011011000()()()()()()()()()()((1))((1))()((1))((1))()()(1)()*!()!i kbn k k abk k n ak k k k k k n x a thnn k nni b a C l x dxx x x x x x x x dxx x x x x x x x t t k t k t n b adt k k k k k k n nb a t i dtn k n k ≠-+-+=+-=-=----=-------+--=---+---=--∏?表1-1 柯特斯公式的系数n ()n k C2 12 2 16 23 16 3183838 184 790 1645 215 1645 790 5 19288 2596 25144 25144 2596 19288 6 41840 945 9280 34105 9280 935 41840 7 75117280 357717280 132317280 298917280 298917280 132317280 357717280 75117280 898928350 588828350 92828350- 1049628350 454028350- 1049628350 92828350- 588828350 98928350§1.2.2 梯形求积公式当1n =时,由表1-1柯特斯系数表第⼀⾏知11(1)(1)010011(1),22C t dt C tdt =--===??故得梯形公式()[()()]2b a b a T f x dx f a f b -==+?.梯形公式的余项3''()()()12b a R f f η-=-梯形公式的⼏何意义是⽤⼀条过两点的直线近似代替被积函数的曲线,从⽽⽤⼀个梯形的⾯积来近似代替⼀个曲边梯形的⾯积. xy0A B y=P(x)y=f(x)f 0f 1x 0=a图1.1 梯形公式的⼏何意义梯形求积公式分类及其截断误差见表1-1 流程图如下所⽰：图1.2 梯形公式流程图表1-2 梯形求积公式分类及其截断误差名称公式余项代数精度左矩形 2()()()()()2b ab a f x dx b a f a f η-'=-+? 2()()2f R b a η'=- 代数精度为 0 右矩形 2()()()()()2b a b a f x dx b a f b f η-'=-+? 2()()2f R b a η'=-代数精度0 中矩形3()()()()()224b a b a b a f x dx b a f f η--''=-+?3()()24f R b a η''=- 代数精度 1 §1.2.3⾟普森求积公式当2n =时,由表1-1柯特斯系数表第⼆⾏知(2)(2)(2)02114,.66C C C ===故得⾟普森公式输⼊a 和b计算步长h=b-aT=（h/2）[f(a)+f(b)]输出T定义函数f(x)[()4()()]62b a a bS f a f f b -+=++. ⾟普森求积公式的⼏何意义是⽤⼀条过三点的抛物线近似代替被积函数的曲线,从⽽⽤⼀个⼆次抛物线所围成的容易计算的曲边梯形⾯积来近似代替原来的曲边梯形的⾯积.xyx 1y=P (x )y=f (x )图1.3 ⾟普森求积公式的⼏何意义⾟普森求积公式余项及其代数精度见表1-2 流程图如下：图1.4 ⾟普森求积公式流程图表1-3 ⾟普森求积公式余项及其代数精度名称公式余项代数精度输⼊a 和b计算步长h=b-aS=（h/6）[F(a)+4f(a+h/2)+f(b)]输出结果S定义函数f(x)⾟普森求积公式[()4()()]62b a a b S f a f f b -+=++ 5(4)()()2880S b a R f η-=- 代数精度是3 §1.2.4柯特斯求积公式当3n =时,由表1-1柯特斯系数表第三⾏知(4)(4)(4)(4)(4)0413273212,,.909090C C C C C =====故得柯特斯求积公式33[7()32()12()32()7()]90424b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++柯特斯求积公式余项及其代数精度见表1-3 流程图如下所⽰：图1.5 柯特斯求积公式的流程图表1-4 柯特斯求积公式余项及其代数精度名称公式余项代数精度柯特斯求积公式3[7()32()12()9042332()7()]b a a b a b C f a f f a b f f b -++=+++++ 6(6)()()1935360C b a R f η-=- 代数精度是5 例1.1 分别⽤梯形求积公式,⾟普森求积公式,柯特斯求积公式计算积分12041dx x +?输⼊a 和b计算步长h=b-aC=（h/90）[7f(a)+32f(a+h/4)+12f(a+h/2)+32f(a+3h/4)+7f(b)]输出结果C定义函数f(x)由：1()[()()](42)322ba b a T f x dx f a f b -==+=+=?.1[()4()()](412.82) 3.13333626b a a b S f a f f b -+=++=++=.33[7()32()12()32()7()]904241(28120.47058938.481.9214)90282.790589903.1421176555b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++=++++==在例1-1中,我们根据梯形求积公式,⾟普森求积公式,柯特斯求积公式和它们的流程图编写出它的程序,见附录A,B,C.将程序输⼊到C++⾥进⾏测试,经过反复的修正和改错,得到了便于计算且实⽤的程序.上机实现的运⾏结果见附录A,B,C.程序运⾏结果：梯形求积公式结果是：3.000000 ⾟普森求积公式结果是：3.13333 柯特斯求积公式结果是：3.142118上机计算的结果为,与例题1-1中的算数结果是⼀致的.说明这个梯形求积公式的程序是正确⽆误的,可以应⽤到复杂的数值计算中.第⼆章⾼斯型求积公式⽜顿-柯特斯型求积公式是封闭的（区间[,]a b 的两端点,a b 均是求积节点）⽽且要求求积节点是等距的,受此限制,⽜顿-柯特斯求积公式的代数精度只能是n （n 为奇数）或1n +（n 为偶数）.⽽如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅k A ⽽且k x 也加以选取,这就可以增加⾃由度,从⽽可提⾼求积公式的代数精度.§2.1 ⾼斯型求积公式的有关定义()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑?含有22n +待定参数,(0,1,),k k x A k n = 适当选择这些参数使其具有21n +次代数精度.这类求积公式称为⾼斯型求积公式.Guass 求积公式的节点(0,1)k x k n = 是⾼斯点,系数k A 称为Guass 系数.对于任意次数不超过21n +的多项式均能准确成⽴()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑?（2-1）称其为带权的⾼斯公式.定义2.2 若求积公式0()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑?对⼀切不⾼于m 次的多项式()p x 都等号成⽴,即()0R p =;⽽对于某个1m +次多项式等号不成⽴,则称次求积公式的代数精度为m .因为Guass 求积公式也是插值型求积公式,故有结论：1n +个节点的插值型求积公式的代数精度d 满⾜：21n d n ≤≤+.定理2.1 插值型求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑?其节点(0,1,)k x k n = 是⾼斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式0()()nk k x x x ω==-∏与任意次数不超过n 的多项式()P x 均正交：()()0baP x x dx ω=?定理2.2 设()[,],f x C a b ∈则⾼斯求积公式是收敛的.即n k A f x f x x dx ρ→∞==∑?定理2.3 ⾼斯求积公式总是稳定的,即0,0,1,.k A k n >= 定理2.4 设节点01,,,[,],n x x x a b ∈则求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑?的代数精度最⾼为21n +次.⾼斯公式的分类及其余项见表2-1表2-1常⽤的⾼斯求积公式名称⾼斯-勒让德⾼斯-切⽐雪夫⾼斯-拉盖尔⾼斯-埃尔⽶特积分区间 [1,1]-[1,1]-[0,]+∞[,]-∞+∞权函数 ()1x ρ=21()1x xρ=-()x x e ρ-=2()x x e ρ-=公式11()()nkk k f x dx Af x -=≈121()1()nkkk f x dx x A f x -=≈-?∑00()()xnkk k e f x Af x +∞-=≈∑2()()x nkk k ef x Af x +∞--∞=≈∑余项 23432[(1)!]*(23)[(22)!]()n n n R n n f η+++=++2(2)2*2(2)!()n n R n f πη= 2(22)[(1)!]*[2(1)!]()n n R n f ξ++=+1(22)(1)!*2(22)!()n n n R n f πξ+++=+零点 01,,n x x x 21cos(),220,1,,k k x n k n π+=+= 01,,n x x x 01,,n x x x求积系数见表2-21k A n π=+221[(1)!][()]k k n k n x A L x ++=1212(1)!*[()]n k nk A n H x π++=+'图2.1 ⾼斯型求积公式流程图§2.2利⽤正交多项式构造⾼斯求积公式设(),0,1,2,,n P x n = 为正交多项式序列,()n P x 具有如下性质： 1.对每⼀个,()n n P x 是n 次多项式.0,1,n =求解⾼斯型求积公式若求积公式代数精度为n ，则分别将21,,,n x x x 准确代⼊积分公式中，从⽽得到⽅程组.以1n +次正交多项式的零点01,,n x x x 作为⾼斯点构造⾼斯点解⽅程组求得⾼斯点k x求得⾼斯点k x利⽤正交多项式待定系数法求得⾼斯系数()()bk k aA x l x dx ρ=?2.（正交性）()()()0,()bi j ax P x P x dx i j ρ=≠?3.对任意⼀个次数1n ≤-的多项式()P x ,有()()()0,1bn ax P x P x dx n ρ=≥?4.()n P x 在(,)a b 内有n 个互异零点.利⽤正交多项式构造⾼斯求积公式的步骤：Step 1 以1n +次正交多项式的零点01,,,n x x x 作为积分点（⾼斯点）。

折叠题型公式总结折叠题型是考试和评估中常见的一种题型，它可以有效地测试学生的能力和理解水平。

在这篇文档中，我们将对折叠题型的一些常见公式进行总结。

1. 折叠求和公式折叠求和公式用于计算一系列连续数字的和。

假设我们要计算从1到100的所有整数的和，可以使用以下公式：(1 + 100) * (100 / 2)其中，1表示起始数字，100表示结束数字，2表示每两个数字之间的差距（即公差）。

这个公式基于等差数列的性质，可以将求和问题简化为一次乘法和一次除法运算。

2. 折叠求积公式折叠求积公式用于计算一系列连续数字的积。

假设我们要计算从1到10的所有整数的积，可以使用以下公式：1 *2 *3 *4 *5 *6 *7 *8 *9 * 10这个公式简单地将所有数字相乘得到最终结果。

3. 折叠幂次方公式折叠幂次方公式用于计算某个数的幂次方。

假设我们要计算2的10次幂，可以使用以下公式：2 ^ 10这个公式表示将2连乘10次，得到最终结果。

4. 折叠递推关系公式折叠递推关系公式用于计算从前一项到后一项之间存在递推关系的数列。

假设我们要计算斐波那契数列的第10项，可以使用以下公式：F(10) = F(9) + F(8)其中，F表示斐波那契数列的项。

5. 折叠变量替换公式折叠变量替换公式用于将一个复杂的表达式转化为更简单的形式。

假设我们要计算以下表达式的值：(3 + 4) * (5 - 2)我们可以使用变量替换来简化计算：a = 3 + 4b = 5 - 2a * b这样，我们只需要进行两次简单的加法和一次乘法操作即可得到最终结果。

以上是折叠题型常见公式的总结。

通过灵活运用这些公式，我们可以简化计算过程，提高效率，帮助学生更好地理解和解决问题。

当然，在实际应用中，我们还需要关注问题的具体要求，选择合适的公式来解决问题。

希望这篇文档对大家有所帮助！。