人教B数学必修三课时分层作业8 中国古代数学中的算法案例 含解析

数学人教B必修3第一章1.3 中国古代数学中的算法案例1．理解中国古代三个问题(求最大公约数、割圆术、求多项式函数值)的算法．2．注意体会“更相减损之术”与“辗转相除法”的差异，以及秦九韶算法在求多项式函数值上的优越性．1．求两个正整数的最大公约数的算法(1)等值算法在我国古代也称为____________，它是用来求____________________的方法，其基本过程是：对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数______为止，则所得数就是所求的__________．(2)__________(即欧几里得算法)，是用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数______，这个较小的数就是最大公约数．(1)用等值算法求两数的最大公约数时，是当大数减去小数的差恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数．(2)求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得．【做一做1】用辗转相除法求168与72的最大公约数，要做n次除法运算，那么n为()．A．2 B．3 C．4 D．52．割圆术是我国魏晋时期的数学家______在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算______的一种方法．他的思想后来又得到________的推进和发展，计算出的圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位．3．秦九韶算法(1)秦九韶算法是我国宋代数学家秦九韶在他的代表作《数学九章》中提出的一种用于计算________的值的方法．直到今天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法．(2)秦九韶算法适用一般的多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的求值问题．用秦九韶算法可把n次多项式的求值问题转化成求________________的值的问题，即求v0＝a nv1＝a n x＋a n－1v2＝v1x＋a n－2v3＝v2x＋a n－3……v n＝v n－1x＋a0(3)直接求和所用乘法的次数为__________，加法的次数为____次；逐项求和法所用的乘法次数为______，加法次数为____；秦九韶算法所用的乘法次数为____，加法次数为____．①秦九韶算法很多文献称之为霍纳算法．②用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算【做一做2－1】用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1当x ＝3时的值，先算的是( )．A ．3×3＝9B ．0.5×35＝121.5C ．0.5×3＋4＝5.5D ．(0.5×3＋4)×3＝16.5【做一做2－2】根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )．A ．a n x ＋a n －1B ．(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C ．(a n x ＋a n －1)xD ．a n x ＋a n －1x1．辗转相除法与更相减损之术的异同剖析：相同点：①都是求最大公约数的方法．②更相减损之术的理论依据为：由m －n ＝r ，得m ＝n ＋r ，可以看出，m ，n 与n ，r 有相同的公约数；辗转相除法的理论依据是：由m ＝nq ＋r 可以看出，m ，n 和n ，r 有相同的公约数，即二者的“算理”相似．不同点：①更相减损之术进行的是减法运算，辗转相除法进行的是除法运算，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少．②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损之术则以减数与差相等而得到．2．秦九韶算法是多项式求值最先进的方法剖析：(1)秦九韶算法把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，即把求f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值转化为求递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2, …，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上来实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．3．教材中的“探索与研究”古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法)：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．以求288和123的最大公约数为例，操作如下：(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)．想一想这种算法的道理．试着编写程序在计算机上实现．剖析：欧几里得辗转相除法求正整数a ，b (a ＞b )的最大公约数的步骤是：计算出a ÷b 的余数r ，若r ＝0，则b 为a ，b 的最大公约数；若r ≠0，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为零，此时的除数即为a ，b 的最大公约从其算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数(用a表示)除以较小的数(用b表示)，得到除式：a＝nb＋r(0≤r＜b)．由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数r是否等于0决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以来实现其算法．程序略．题型一求两个正整数的最大公约数【例1】分别用辗转相除法和更相减损之术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.分析：使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，反复执行，直到r＝0为止；用更相减损之术就是根据m－n＝r，反复执行，直到n＝r为止．反思：对于第二个问题，用更相减损之术求解时，最后的结论有的同学可能会写成51，而没有乘以2，从而得出与用辗转相除法不一样的答案，51是它们的公约数，2也是它们的公约数，所以最大公约数就为51×2＝102.题型二求两个正整数的最小公倍数【例2】求375,85两数的最小公倍数．分析：两数的最小公倍数就是两数之积与此两数最大公约数的商．反思：先求最大公约数，因为两数的最小公倍数就是两数之积与两数最大公约数的商，所以这种方法也可以推广到n(n≥3)个数的情况．题型三用秦九韶算法求多项式的值【例3】用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x ＝2时的值．分析：用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算求得．反思：有的同学习惯于常规解法，可能会直接代入求解，但这种算法计算机在执行时要进行20次乘法和6次加法运算，而利用秦九韶算法只需进行6次乘法、6次加法运算即可，要知道，让计算机进行一次乘法运算要比加法用的时间多很多，所以要减少乘法运算的次数，这也就是秦九韶算法的优势所在了．1 840和1 764的最大公约数是()．A．84 B．12 C．168 D．2522秦九韶算法能解决下列问题中的()．A．求两个正整数的最大公约数B．多项式求值C．进位制的转化计算D．排序问题3我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为()．A．运算速度快B．能计算出π的精确值C．“内外夹逼”D ．无限次地分割4利用秦九韶算法求当x ＝23时，多项式7x 3＋3x 2－5x ＋11的值．①S1：x ＝23；S2：y ＝7x 3＋3x 2－5x ＋11；S3：输出y .②S1：x ＝23；S2：y ＝((7x ＋3)x －5)x ＋11；S3：输出y .③算6次乘法3次加法．④算3次乘法3次加法．以上正确的描述为________．5已知f (x )＝5x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法求当x ＝5时f (x )的值． 答案：基础知识·梳理1．(1)更相减损之术 两个正整数的最大公约数 相等 最大公约数(2)辗转相除法 除尽【做一做1】 A2．刘徽 圆周率π 祖冲之3．(1)多项式(2)n 个一次多项式(3)n (n ＋1)2n 2n －1 n n n 【做一做2－1】 C 把多项式表示成如下形式：f (x )＝((((0.5x ＋4)x ＋0)x －3)x ＋1)x －1，按递推方法，由内往外，先算0.5x ＋4的值，故选C.【做一做2－2】 B 根据秦九韶算法知，v 2＝v 1x ＋a n －2，v 1＝a n x ＋a n －1，故应选B. 典型例题·领悟【例1】 解：(1)辗转相除法：319÷261＝1(余58)261÷58＝4(余29)58÷29＝2(余0)∴319与261的最大公约数是29.更相减损之术：(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)． ∴319与261的最大公约数是29.(2)辗转相除法：1 734÷816＝2(余102)，816÷102＝8(余0)，∴1 734与816的最大公约数是102.更相减损之术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数．(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)．∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.【例2】 解：先求最大公约数，375＝85×4＋35,85＝35×2＋15,35＝15×2＋5,15＝5×3＋0，∴375与85的最大公约数是5，∴375与85的最小公倍数是375×85÷5＝6 375.【例3】 解：先将多项式f (x )进行改写：f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.然后由内向外计算得v0＝1，v1＝v0x＋a5＝1×2－12＝－10，v2＝v1x＋a4＝－10×2＋60＝40，v3＝v2x＋a3＝40×2－160＝－80，v4＝v3x＋a2＝－80×2＋240＝80，v5＝v4x＋a1＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时多项式f(x)的值为f(2)＝0.随堂练习·巩固1．A2．B3．C4．②④5．解：根据秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x＋(－2.6))x＋1.7)x－0.8按从内向外的顺序依次计算一次多项式x＝5时的值．v0＝5v1＝5×5＋2＝27v2＝27×5＋3.5＝138.5v3＝138.5×5－2.6＝689.9v4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2v5＝3 451.2×5－0.8＝17 255.2所以当x＝5时，f(x)的值为17 255.2.。

．有关辗转相除法下列说法正确的是( )
．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
．基本步骤是用较大的数除以较小的数得到除式＝＋，直至<为止．基本步骤是用较大的数除以较小的数得到除式＝＋(≤<)反复进行，直到＝为止
．以上说法皆错
解析：辗转相除法是求两个整数的最大公约数的一种方法，它是用较大的数除以较小的
数，直到余数是为止．
答案：
．的最大公约数为( )
．．
．．
解析：＝×＋，
＝×＋＝×，
∴与的最大公约数为.
答案：．用更相减损之术求和的最大公约数时，需要做减法的次数是( )
．．
．．
解析：()→()→()→()→()．
答案：．秦九韶的算法中有几个一次式，若令＝，我们可以得到(\\(＝＝－＋－))
(＝，…，)．
我们可以利用语句来实现．
答案：循环．用“秦九韶算法”计算多项式()＝＋＋＋＋＋，当＝时的值的过程中，要经过次乘
法运算和次加法运算．
解析：共经过了次乘法次加法．
答案：
．求三个数的最大公约数．
解：＝×＋＝×＋，
则与的最大公约数为.
又＝×＋＝×＋，
则的最大公约数为.。

中国古代算法案例（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；（2）用三种方法熟练的表示一个算法（3）让学生感受算法的意义和价值．教学重点、难点:不定方程解法的算法．教学过程一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：韩信是秦末汉初的著名军事家。

据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。

在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。

众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。

同学们，你知道吗？背景说明:1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”2．孙子算经的作者及确切的年代均不可考，不过根据考证，确切的年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。

在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。

所得结果就是某数的最小正整数值。

用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70+3×21+2×15=233，233－105×2=23，即所求物品最少是23件。

§1.3中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．自学导引1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0令v k＝________________________________，则递推公式为其中k＝1,2，…，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数．知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可．3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想.课时作业一、选择题1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋3在x ＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,55．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数二、填空题6．228与1 995的最大公约数是________．7．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6，x ＝－4时，v 3的值为________．8．已知多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0 (k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1 (k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题9．求2 007与180的最大公约数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 4－2x 2－5x ＋10在x ＝10的值．§1.3 中国古代数学中的算法案例自学导引1．(1)差 较小的数 一对相等的数 (2)while a ＝a －b b ＝b －a end2．正多边形面积逐渐逼近圆面积3．(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a n －(k －1))x ＋a n －k v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k对点讲练例1 解 (1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)， ∴319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数． (867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)，∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.变式迁移1 解 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减． (63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2 解 根据秦九韶算法多项式可改写为f (x )＝((((2x －5)x －4)x ＋3)x －6)x －1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v 0＝2，v 1＝2×3－5＝1，v 2＝1×3－4＝－1，v 3＝(－1)×3＋3＝0，v 4＝0×3－6＝－6，v 5＝(－6)×3－1＝－19.故当x ＝3时，多项式的值为－19.变式迁移2 解 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ，所以v 0＝7；v 1＝7×3＋6＝27；v 2＝27×3＋5＝86；v 3＝86×3＋4＝262；v 4＝262×3＋3＝789；v 5＝789×3＋2＝2 369；v 6＝2 369×3＋1＝7 108；v 7＝7 108×3＝21 324，故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.课时作业1．A [利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.]2．A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12， ∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972] 3．D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.]4．C5．B6．57 7．－578.12n(n＋3)2n9．解 2 007－180＝1 827 1 827－180＝1 6471 647－180＝1 467 1 467－180＝1 2871 287－180＝1 107 1 107－180＝927927－180＝747 747－180＝567567－180＝387 387－180＝207207－180＝27 180－27＝153153－27＝126 126－27＝9999－27＝72 72－27＝4545－27＝18 27－18＝918－9＝9所以2 007与180的最大公约数为9.10．解把多项式改写成以下形式：f(x)＝2x4＋0·x3－2x2－5x＋10＝(((2x＋0)x－2)x－5)x＋10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x＝10的值．a4＝2v0＝a4＝2a3＝0 v1＝v0x＋a3＝20a2＝－2 v2＝v1x＋a2＝198a1＝－5 v3＝v2x＋a1＝1 975a0＝10 v4＝v3x＋a0＝19 760故f(10)＝19 760.。

学业分层测评(八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题.以下是利用更相减损之术求和的最大公约数的操作步骤：()→()→()→()→()→()→()→()→()，那么和的最大公约数为( )【解析】由条件知最大公约数为.【答案】.自然数和的最大公约数为( )【解析】利用更相减损之术可得它们的最大公约数为.【答案】.用秦九韶算法计算多项式()＝＋＋＋＋＋＋当＝时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )【解析】秦九韶算法中需用加法和乘法的次数，由多项式的次数可知，∴选.【答案】.五次多项式()＝＋＋－－－，用秦九韶算法求(－)等于( )【导学号：】.－.－【解析】∵()＝((((＋)＋)－)－)－，∴(－)＝((((×(－)＋)×(－)＋)×(－)－)×(－)－)×(－)－＝－.【答案】.已知()＝＋＋＋＋，应用秦九韶算法计算＝时的值时，的值为( )【解析】将函数式化成如下形式，()＝((((＋)＋)＋)＋)＋，由内向外依次计算：＝，＝×＋＝，＝×＋＝，＝×＋＝，＝×＋＝，＝×＋＝.【答案】二、填空题.用更相减损之术求和的最大公约数，第一步应为.【解析】第一步为较大的数减去较小的数.【答案】－＝.用秦九韶算法求多项式()＝＋＋＋＋＋当＝－时值的算法：①第一步，＝－.第二步，()＝＋＋＋＋＋.第三步，输出().②第一步，＝－.第二步，()＝((((＋)＋)＋)＋)＋.第三步，输出().③需要计算次乘法，次加法.④需要计算次乘法，次加法.以上说法中正确的是(填序号).【解析】①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错.对于一元最高次数是的多项式，应用秦九韶算法需要运用次乘法和次加法，故③正确.【解析】②③.用秦九韶算法求多项式()＝＋＋＋＋＋在＝－的值时，的值为.【解析】()＝＋＋＋＋＋＝＋，。

1.3 中国古代数学中的算法案例第二课时割圆术一、教学内容的本质、地位、作用分析“割圆术”是出自人教B版教科书数学必修三第一章第三节第二课时的内容，是对本章所学知识的具体应用。

“割圆术”是中国古代的数学家刘徽提出的，是当时计算圆周率的比较先进的算法，至今仍有一定的实际应用价值。

它体现了“以直代曲”、“无限逼近”、“两面夹”的数学思想，这些思想是人们在解决数学问题时最基本、最朴素的思想，在其他领域也有广泛的应用。

“割圆术”这个算法本身很有趣，操作性强，“算理”明确，能被翻译成计算机程序上机运行，体现了中国古代数学的算法特征。

同时，围绕圆周率的计算这个问题有很多有趣的故事，从而激发了学生的民族自豪感和爱国精神，培养了学生追求科学真理，为科学而献身的精神。

二、教学目标分析（一）知识与技能目标1．了解中国古代数学中“割圆术”的算法，理解推导“割圆术”的操作步骤；2．通过对“割圆术”的学习，理解“割圆术”中蕴含的数学思想；3．会编写“割圆术”算法的程序框图，用Scilab语言编写求π的不足近似值的程序。

（二）过程与方法目标1．通过了解“割圆术”的算法步骤，使学生理解由特殊到一般的归纳推理思维；2．让学生自主探究利用计算机计算圆周率的过程中，培养学生的逻辑思维能力。

（三）情感态度与价值观目标1．了解求解圆周率的历史，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀；2．体会算法知识与计算机科学结合带来的影响，激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的创新精神。

三、教学重难点分析教学重点：“割圆术”蕴含的数学思想。

教学难点：用Scilab语言编写求π的不足近似值的程序。

四、学情分析理解“割圆术”的算法步骤对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总结归纳的能力。

但写出这一算法所对应的程序框图，尤其是循环结构的程序框图对学生来说难度较大。

因此这一部分的教学由教师引导、小组交流相结合突破难点。

五、教学策略分析根据《普通高中数学课程标准》的要求，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究学习，让学生体验数学发现和创造的历程。

中国古代数学中的算法案例.了解割圆术中无限通近的数学思想..理解更相减损之术的含义，了解其执行过程.(难点).掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.(难点)[基础·初探]教材整理更相减损之术(等值算法)阅读教材～“探索与研究”以上部分，完成下列问题.求两个正整数最大公约数的算法()更相减损之术(等值算法)：用两数中较大的数减去较小的数，再用差数和较小数构成新的一对数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数.()用“等值算法”求最大公约数的程序：用“等值算法”可求得与的最大公约数为.【解析】()→()→()→()→()→()→()→()→()，∴最大公约数为.【答案】教材整理割圆术阅读教材～，完成下列问题.用圆内接正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法是计算圆周率的近似值.我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( ) .准确值.近似值.循环小数.有理数【答案】教材整理秦九韶算法阅读教材～，完成下列问题..把一元次多项式()＝＋－－＋…＋＋改写为()＝＋－－＋…＋＋＝(－＋－－＋…＋)＋＝((－＋－－＋…＋)＋)＋＝(…((＋－)＋－)＋…＋)＋.令＝(…(＋－)＋…＋－(－))＋－，则递推公式为：(\\(＝，＝－＋－，))其中＝，…，..计算()的方法：先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项.用秦九韶算法求多项式()＝－＋－当＝时的值时，应把()变形为( )－(＋)－.(－)＋(－).(－)(－)－.((－)＋)－【解析】()＝－＋－＝(－＋)－。

1.3　中国古代数学中的算法案例学习目标　1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法．知识点一　更相减损之术更相减损之术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．知识点二　割圆术1．割圆术的算法S1　假设圆的半径为1，面积为S ，圆内接正n 边形面积为S n ，边长为x n ，边心距为h n ，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n ＝6，则正六边形的面积S 6＝6×；34S2　利用公式S 2n ＝S n ＋n ··x n (1－h n )重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面12积．因为圆的半径为1，所以随着n 的增大，S 2n 的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．2．割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”知识点三　秦九韶算法思考　衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？答案　从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算．梳理　秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．1．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．(　√　)2．求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．(　×　)3．编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．(　√　)题型一　更相减损之术例1　试用更相减损之术求612,396的最大公约数．解　方法一　612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.所以612,396的最大公约数为9×22＝36.方法二　612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612,396的最大公约数．反思与感悟　用更相减损之术的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步，d＝m－n.第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2k d(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数．跟踪训练1　用更相减损之术求261和319的最大公约数．解　∵319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319与261的最大公约数为29.题型二　秦九韶算法的基本思想例2　已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．解　将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；v2＝22×5＋3.5＝113.5；v3＝113.5×5－2.6＝564.9；v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.∴当x＝5时，多项式的值为14 130.2.反思与感悟　秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．跟踪训练2　用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＝21 324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A．10 B．9 C．12 D．8解析　f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.2．已知f(x)＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值．解　f(x)＝2x3＋x－3＝2x3＋0·x2＋x－3＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.3．用更相减损之术求1 734和816的最大公约数．解　因为1 734和816都是偶数，所以分别除以2得867和408.867－408＝459,459－408＝51,408－51＝357，357－51＝306,306－51＝255,255－51＝204，204－51＝153,153－51＝102,102－51＝51.所以867和408的最大公约数是51，故1 734和816的最大公约数是51×2＝102.1．更相减损之术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数．2．用秦九韶算法求多项式f(x)当x＝x0的值的思路为(1)改写；(2)计算Error!(3)结论f(x0)＝v n.1．1 037和425的最大公约数是( )A．51 B．17 C．9 D．3答案　B2．利用秦九韶算法求当x＝2时，f(x)＝1＋2x＋3x2＋4x3＋5x4＋6x5的值，下列说法正确的是( )A．先求1＋2×2B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4C．用f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解D．以上都不正确答案　B3．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是( )A．5,150 B．15,450C．450,15 D．15,150答案　B4．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )A．5,4 B．5,5 C．4,4 D．4,5答案　D解析　n次多项式，当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法(或减法)，缺一项就减少一次加法(或减法)运算，而这个5次多项式的5次项系数不为1，缺常数项，因而乘法次数为5，加法(或减法)次数为5－1＝4.故选D.5．下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损之术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于( )A．0 B．2 C．4 D．14答案　B解析　开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是( ) A．－4 B．－1 C．5 D．6答案　D解析　此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式Error!得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6，故选D.7．三个数4 557,1 953,5 115的最大公约数是( )A．31 B．93 C．217 D．651答案　B8．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时的值时，v3的值为( )A．27 B．11 C．109 D．36答案　D解析　将函数式化成如下形式，f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1.由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.二、填空题9．自然数8 251和6 105的最大公约数为________．答案　37解析　利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.10．用秦九韶算法求多项式6x3＋5x2＋4x＋3的值时，应先将此多项式变形为________．答案　((6x＋5)x＋4)x＋3解析　6x3＋5x2＋4x＋3＝(6x2＋5x＋4)x＋3＝((6x＋5)x＋4)x＋3.11．用更相减损之术求459和357的最大公约数，需进行减法的次数为________．答案　5解析　利用更相减损之术，有459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，共进行了5次减法．12．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3.66x3＋6x4－5.2x5＋x6在x＝－1.3时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0时，v3的值为________．答案　－22.445三、解答题13．求三个数72,120,168的最大公约数．解　(更相减损之术)：先求120,168的最大公约数．168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24,48－24＝24，所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数．72－24＝48,48－24＝24，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.14．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5＋3x4＋5x3＋x2＋x当x＝2时的值．解　因为f(x)＝((((4x＋3)x＋5)x＋1)x＋1)x，所以v0＝4，v1＝4×2＋3＝11，v2＝11×2＋5＝27，v3＝27×2＋1＝55，v4＝55×2＋1＝111，v5＝111×2＝222.所以当x＝2时，多项式f(x)＝4x5＋3x4＋5x3＋x2＋x的值为222.四、探究与拓展15．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案　B解析　初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1　跳出循环，输出v＝18，故选B.16．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解　将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0＝1，v1＝1×0.3＋0＝0.3，v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例课时作业 新人教B 版必修3一、选择题1．在秦九韶算法中用到的一种方法是( ) A ．消元 B ．递推 C ．回代 D ．迭代[答案] B[解析] 秦九韶算法中用到的是递推法．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] C[解析] (84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法． 3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11的值时，应把f (x )变形为( ) A ．x 3－(3x ＋2)x －11 B ．(x －3)x 2＋(2x －11) C ．(x －1)(x －2)x －11 D ．((x －3)x ＋2)x －11 [答案] D[解析] f (x )＝x 3－3x 2＋2x －11＝((x －3)x ＋2)x －11，故选D. 4．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是( ) A ．15 B ．17 C ．51 D ．85[答案] B[解析] 204－85＝119,119－85＝34,85－34＝51,51－34＝17,34－17＝17， ∴204和85的最大公约数是17，故选B.5．根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a nv k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )A ．v 2＝a n x ＋a n －1B ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C．v2＝(a n x＋a n－1)xD．v2＝a n x＋a n－1x[答案] B[解析]根据秦九韶算法知，v2＝v1x＋a n－2，v1＝a n x＋a n－1，故选B.6．(2015·河北行唐启明中学高一月考)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6在x＝3时，v3的值为( )A．－486 B．－351C．－115 D．－339[答案] C[解析]f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.二、填空题7．117与182的最大公约数等于________．[答案]13[解析](117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.8．245与75两数的最小公倍数为________．[答案] 3 675[解析]先求245与75的最大公约数．(245,75)→(170,75)→(95,75)→(20,75)→(55,20)→(35,20)→(15,20)→(5,15)→(10,5)→(5,5)．故245与75的最大公约数为5，∴245与75的最小公倍数为245×75÷5＝3 675.三、解答题9．利用更相减损之术求319和261的最大公约数．[解析]319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29.即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)．故319与261的最大公约数是29.10.用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[解析] f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， 所以v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＝21 324.故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.一、选择题1．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4的值时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．3 392[答案] B[解析] 由秦九韶算法，得v 0＝3，v 1＝3×(－4)＋5＝－7， v 2＝－7×(－4)＋6＝34， v 3＝34×(－4)＋79＝－57， v 4＝－57×(－4)－8＝220.2．三个数390、455、546的最大公约数是( ) A ．65 B ．91 C ．26 D ．13[答案] D[解析] 对于三个数求最大公约数时，先求其中两个数的最大公约数，再用此公约数与第三个数求出最大公约数，此时就是三个数的最大公约数.3．已知f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( )A ．－1972B ．1972C.1832 D ．－1832[答案] A[解析] ∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12，∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972. 4．(2015·新课标Ⅱ理，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 程序在执行过程中，a 、b 的值依次为a ＝14，b ＝18；b ＝4；a ＝10；a ＝6；a ＝2；b ＝2，此时a ＝b ＝2程序结束，输出a 的值为2，故选B.二、填空题5．4 830与3 289的最大公约数为________． [答案] 23[解析] (4 830,3 289)→(1 541,3 289)→(1 541，1 748)→(1 541,207)→(1 334,207)→(1127,207)→(920,207)→(713,207)→(506,207)→(299,207)→(92,207)→(92,115)→(92,23)→(69,23)→(46,23)→(23,23)．6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1当x ＝－2时的值的算法： ①第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1. 第三步，输出f (x )． ②第一步，x ＝－2.第二步：f (x )＝((((7x ＋5)x ＋10)x ＋10)x ＋5)x ＋1. 第三步，输出f (x )．③需要计算5次乘法、5次加法．④需要计算9次乘法、5次加法．以上说法中正确的是________(填序号)．[答案]②③[解析]①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错．对于一元n次多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确．三、解答题7．求1 356和2 400的最小公倍数．[解析](1 356,2 400)→(1 356,1 044)→(312， 1 044)→(312,732)→(312,420)→(312，108)→(204,108)→(96,108)→(96,12)→…→(12,12)．∴1 356和2 400的最大公约数为12.∴1 356和2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6在x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v t＝v5x＋a0，求v3的值．[解析]f(x)＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2，v0＝1，v1＝v0x－5＝－6，v2＝v1x＋6＝－6×(－1)＋6＝12，v3＝v2x－3＝－15.9.有甲、乙、丙三种溶液，质量分别为147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每个小瓶最多装多少溶液？[解析]每个小瓶内溶液的质量应是147,343,133三种溶液质量的公约数，最大质量即是其最大公约数.先求147和343的最大公约数．343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，所以147和343的最大公约数是49.再求49和133的最大公约数．133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14，35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以49和133的最大公约数是7.所以147、343、133的最大公约数是7，即每个小瓶最多装7 g溶液．。

课时跟踪检测（八） 中国古代数学中的算法案例1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．2．用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1, 当x ＝3时的值时，先算的是( )A ．3×3B ．0.5×35C ．0.5×3＋4D ．(0.5×3＋4)×3解析：选C 把多项式表示成如下形式：f (x )＝((((0.5x ＋4)x ＋0)x －3)x ＋1)x －1, 按递推方法，由内往外，先算0.5x ＋4的值．3．4 830与3 289的最大公约数为( )A ．23B ．35C ．11D ．13解析：选A 4 830＝1×3 289＋1 541；3 289＝2×1 541＋207；1 541＝7×207＋92；207＝2×92＋23；92＝4×23；∴23是4 830与3 289的最大公约数．4．根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )A ．v 2＝a n x ＋a n －1B ．v 2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C ．v 2＝(a n x ＋a n －1)xD ．v 2＝a n x ＋a n －1x解析：选B 根据秦九韶算法知v 0＝a n ，v 1＝a n x ＋a n －1，v 2＝v 1x ＋a n －2＝(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2.5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________． 解析：先求128－48的值，即128－48＝80.答案：128－48＝806．117与182的最大公约数等于________．解析：(117,182)→(117,65)→(52,65)→(52,13)→(39,13)→(26,13)→(13,13)，所以其最大公约数为13.答案：137．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．解析：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.f1＝a n；k＝1，f2＝f1x0＋a n－1；k＝2，f3＝f2x0＋a n－2；…；归纳得第k次f k＋1＝f k x0＋a n－k.故A处应填a n－k.答案：a n－k8．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？解：为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：(5.6,2.4)→(3.2,2.4)→(0.8,2.4)→(0.8,1.6)→(0.8,0.8)．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．。

高二数学算法案例一、目标认知学习目标：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；3.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质；4.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.重点：1.理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法；2.秦九韶算法的特点；3.各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换.难点：1.把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言；2.秦九韶算法的先进性理解；3.除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计.二、知识要点梳理知识点一：辗转相除法也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0=0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r1=0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至rn=0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数.用辗转相除法求最大公约数的程序框图为：程序：INPUT “m=”;mINPUT “n=”;nIF m<n THENx=mm=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r<>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT nEND要点诠释：辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变量m表示，把较小的数用变量n表示，这样式子就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实现算法.知识点二：更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.翻译出来为：第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数.理论依据：由，得与有相同的公约数更相减损术一般算法：第一步，输入两个正整数；第二步，如果，则执行，否则转到；第三步，将的值赋予；第四步，若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行；第五步，输出最大公约数.程序:INPUT “a=”，aINPUT “b=”，bWHILE a<>bIF a>=ba=a-b;ELSEb=b-aWENDENDPRINT b或者INPUT “请输入两个不相等的正整数”；a，bi=0WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIF b<a THENt=aa=bb=tEND IFc=a－ba=bb=cLOOP UNTIL a=bPRINT a^iEND要点诠释：用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单.知识点三：秦九韶计算多项式的方法令，则有，其中.这样，我们便可由依次求出；要点诠释：显然，用秦九韶算法求n次多项式的值时只需要做n次乘法和n次加法运算知识点四：进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.1.k进制转换为十进制的方法：，把k进制数a 转化为十进制数b的算法程序为：INPUT “ a,k,n=”;a,k,ni=1b=0WHILE i<=nt=GET a[i]b=b+t*k^(i-1)i=i+1WENDPRINT bEND2.十进制转化为k进制数b的步骤为：第一步，将给定的十进制整数除以基数k，余数便是等值的k进制的最低位；第二步，将上一步的商再除以基数k，余数便是等值的k进制数的次低位；第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k取余法.要点诠释：1、在k进制中，具有k个数字符号.如二进制有0，1两个数字.2、在k进制中，由低位向高位是按“逢k进一”的规则进行计数.3、非k进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进制的数，有的也可以相互转化.三、规律方法指导辗转相除法是西方古代数学中的一个典型算法．更相减损术和秦九韶算法都是我国古代数学中的著名算法，而进位制算法是计算机科学中普遍使用的算法．这些算法案例不仅蕴涵着深刻的算法思想，而且也更能体现出算法的重要性和有效性．因此，要切实理解算法案例的内容及具体算法的关键步骤．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.3中国古代数学中的算法案例建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题10分，共20分）1. 在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（）A. 4B.12C. 16D. 82.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）A.16和12的最大公约数是4B.78和36的最大公约数是6C.85和367的最大公约数是34D.105和315的最大公约数是105二、填空题(每小题10分，共30分)3.我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称为，又称为 .4.运算速度快是计算机一个很重要的特点，而算法好坏的一个重要标志是 .5.算法：Ｓ１输入ｘ，ｙＳ２ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}Ｓ３ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}Ｓ４若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分）则输出ｎ，否则执行Ｓ５Ｓ５ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎＳ６ｍ＝ｎＳ７ｎ＝ｒＳ８执行Ｓ４Ｓ９输出ｎ上述算法的含义是.三、解答题（共50分）6.（15分）用当型和直到型语句，写出求两正整数的最大公约数的算法程序.7.（15分）求两个整数ｘ（ｘ≥０）和ｙ（ｙ＞０）的整数商和余数（规定只能用加法和减法运算）.8.（20分）试用更相减损术求80和36的最大公约数.1.3中国古代数学中的算法案例答题纸得分：一、选择题题号 1 2答案二、填空题3． 4． 5.三、解答题6.7.8.1.3中国古代数学中的算法案例答案一、选择题1.A 解析：由整个操作：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），我们易得12和16的最大公约数是4．故选A.2.C 解析：由辗转相除法，得357=4×85+27，85=27×3+4，27=4×6+3，4=3×1+1，故85和357的最大公约数是1.故选C.二、填空题3.更相减损之术等值算法解析：由算法案例中，关于更相减损术和辗转相除法的定义，我们易得我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法，被称为更相减损术（等值算法）.4.运算次数解析：根据算法的特点，我们判断一个算法好坏通常需要考虑如下几个方面：简单，快速，高效，节省资源，可广泛应用，高兼容性．为了提高计算机的运算速度快的特点，算法的好坏主要体现在单位时间里运算的次数．5.求ｘ，ｙ的最大公约数解析：逐步分析算法的各个步骤：S1→S2→S3的功能是输入两个数x，y，判断其大小后，分别赋给变量m，n（其中m为较大数，n为较小数），S4判断m能否被n整除，并根据判断结果决定程序的流向：若满足则输出n，否则执行S5⇒S8.S5→S6→S7→S8利用辗转相除法，交换相关变量的值．S9输出n.综上，可知本算法的功能是：求x，y的最大公约数.三、解答题6.解：INPUT ｍ，ｎ（当型）ｒ＝ｍ／ｎ的余数ＷＨＩＬＥｒ≠０ｍ＝ｎｎ＝ｒｒ＝ｍ／ｎ的余数ＷＥＮＤＰＲＩＮＴｎＥＮＤ（直到型）INPUT ｍ，ｎＤＯｒ＝ｍ／ｎ的余数ｍ＝ｎｎ＝ｒＬＯＯＰＵＮＴＩＬｒ＝０ＰＲＩＮＴｍＥＮＤ7.解：算法：Ｓ１使ｑ＝０，ｒ＝xＳ２当ｒ≥ｙ时，重复下面操作Ｓ３ｒ＝ｒ－ｙＳ４ｑ＝ｑ＋１Ｓ５输出r,q程序框图INPUT ｑ＝０ｒ＝ｘｙ＝ｙＤＯｒ＝ｒ－ｙｑ＝ｑ＋１ＬＯＯＰＵＮＴＩＬｒ≥ｙPＲＩＮＴｒ,qＥＮＤ8.解：80-36=44，44-36=8，36-8=28，28-8=20，20-8=12，12-8=4，8-4=4.因此80和36的最大公约数是4.。

课时分层作业(八)中国古代数学中的算法案例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．225与135的最大公约数是()A．5B．9C．15D．45D[∵(225,135)→(90,135)→(90,45)→(45,45)．故选D.]2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π的实际值()A．大于等于B．小于等于C．等于D．小于D[由割圆术可知：圆内接正多边形无论是否逼近圆，其边长之和总小于圆周长，所以得到的圆周率也小于π.]3．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为()A．5,4 B．5,5 C．4,4 D．4,5D[n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是()A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34D[把多项式改写为f(x)＝(((((7x＋6)x＋0)x＋0)x＋3)x＋0)x＋2，故最先计算的应为7×4＋6＝34.]5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为()A．27 B．11 C．109 D．36D[将函数式化成如下形式，f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.]二、填空题6．用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为________．36与134分别除以2，得到18与67[第一步为36与134分别除以2，得到18与67.]7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时值的算法：①第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.第三步，输出f(x)．②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x)．③需要计算5次乘法，5次加法．④需要计算9次乘法，5次加法．以上说法中正确的是________(填序号)．②③[①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错．对于一元最高次数是n 的多项式，应用秦九韶算法需要运算n次乘法和n次加法，故③正确．] 8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5在x＝－2的值时，v3的值为________．2[f(x)＝1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5＝()()((x ＋5)x ＋10)x ＋10x ＋5x ＋1，∴在x ＝－2时，v 1＝－2＋5＝3，v 2＝－2×3＋10＝4，v 3＝4×(－2)＋10＝2.]三、解答题9．用秦九韶算法求多项式f (x )＝x 6＋2x 5＋3x 4＋4x 3＋5x 2＋6x 当x ＝2时的值．[解] f (x )＝x 6＋2x 5＋3x 4＋4x 3＋5x 2＋6x＝(((((x ＋2)x ＋3)x ＋4)x ＋5)x ＋6)x ，所以有v 0＝1；v 1＝1×2＋2＝4；v 2＝4×2＋3＝11；v 3＝11×2＋4＝26；v 4＝26×2＋5＝57；v 5＝57×2＋6＝120；v 6＝120×2＝240.故当x ＝2时，多项式f (x )＝x 6＋2x 5＋3x 4＋4x 3＋5x 2＋6x 的值为240.10．求三个数168,54,264的最大公约数．[解] ∵(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12) →(6,6)，∴168和54的最大公约数为6.∵(54,264)→(210,54)→(156,54)→(102,54)→(48,54)→(48,6)→(42,6)→…→(6,6)，∴54和264的最大公约数为6.故168,54,264的最大公约数为6.[等级过关练]1．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的最大公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,325D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)→(315,35)→…→(35,35)，∴1 855与1 120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选D.]2．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64，当x ＝2时的值为( )A ．－10B ．40C ．0D ．32C [将f (x )改写为f (x )＝(((((x －12)x ＋60)x －160)x ＋240)x －192)x ＋64.由内向外依次计算一次多项式当x ＝2时的值：v 0＝1，v 1＝1×2－12＝－10，v 2＝－10×2＋60＝40，v 3＝40×2－160＝－80，v 4＝－80×2＋240＝80，v 5＝80×2－192＝－32，v 6＝－32×2＋64＝0，∴f (2)＝0，即x ＝2时，原多项式的值为0.]3用秦九韶算法求多项式f (x )＝1＋2x ＋x 2－3x 3＋2x 4，当x ＝－1时的值时，v 2的结果是________．6 [此题的n ＝4，a 4＝2，a 3＝－3，a 2＝1，a 1＝2，a 0＝1，由秦九韶算法的递推关系式⎩⎨⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k(k ＝1,2，…，n )， 得v 1＝v 0x ＋a 3＝2×(－1)－3＝－5，v 2＝v 1x ＋a 2＝－5×(－1)＋1＝6.]4．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0，当x ＝x 0时，框图中A 处应填入________．a n－k[f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式．f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.f1＝a n；k＝1，f2＝f1x0＋a n－1；k＝2，f3＝f2x0＋a n－2；…；归纳得第k次f k＝f k x0＋a n－k.故A处应填a n－k.]＋15．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？[解]每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.所以147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克．。