泛函分析复习提要
一、填空
1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中
稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。
2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。
3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*T x Tx =，
则T 为 算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则
T 为 算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。)
5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果
存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n =，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。
7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间
8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T =
9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。
10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。
11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。
12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ⊂→的线性算子，当T 满足 时，
则T 是闭算子。
二、叙述下列定义及定理
1. 里斯（Riesz ）定理；
2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
3. 一致有界性定理（共鸣定理）；
4. 逆算子定理；
5. 闭图像定理
6. Banach 压缩映象原理
7. 内积空间
8. 赋范线性空间
三、判断题
1. 距离空间中的收敛点列必是柯西点列.
2. 距离空间中两个不相交的闭集的距离一定大于零.
3. 柯西点列是有界点列.
4.赋范线性空间上的范数一定可以由内积导出.
5.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子,若T 的零空间是闭集,则T 一定有界.
6.赋范线性空间的共轭空间是Banach 空间.
7.Hilbert 空间中任一非空子集的正交补必是闭线性子空间.
8.在赋范线性空间中，弱收敛的点列必定强收敛.
9.任一非零Hilbert 空间都有完全规范正交系.
10. 疏朗集没有内点.
11.赋范线性空间上的连续线性泛函一定有界.
12. Hilbert 空间上的自伴算子必为正常算子.
13. 度量空间中的单点集是疏朗集.
四、证明题
1. Hilbert 空间X 中的正交投影算子为有界线性算子。
2．设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，,,n n x y x y →，
即内积关于两变元连续。
3.证明[,]C a b 完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
4．证明[,]
||||max ()t a b x x t ∈=为[,]C a b 上范数，并论述证明范数的一般步骤
5．若(,)X ρ是度量空间，则1d ρ
ρ=+也使X 成为度量空间。
6.设X 是赋范线性空间，证明当Y 是Banach 空间，(,)B X Y 也是Banach 空间。
7.设X 是Banach 空间，{}n A ，{}n B 是X 上的两列有界线性算子，设{}n A 和{}n B 分别强收敛于A 和B ，求证{}n n A B 强收敛于AB 。
8.若H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间，则： 1）M M ⊥
⊥=；
2）()M M ⊥⊥=
9.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为T 是X 上的连续算子。
10. 求证：P 是Hilbert 空间X 上的投影算子的充要条件是2P P =且*P P =。
11.设T 为定义在复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若存在常数00α>使0,,Tx x x x α<>≥<>，证明此算子必有有界逆算子1T -且101T α-≤。
12.设A 与B 是定义在Hilbert 空间H 上的两个线性算子, 如果对任意,x y H ∈ 有 ,,,Ax y x By <>=<> 则A 为有界算子且*B A =.
