考研2000—2010年历年上海大学数学分析.doc

上海市考研数学复习资料数学分析重点解析数学分析是考研数学科目中的一大难点，也是考生们普遍感到困惑的一门课程。

为了帮助广大考生高效备考，本文将对上海市考研数学复习资料中的数学分析重点进行深入解析。

在文章中，将对数学分析的基础概念、重点知识点以及解题技巧进行详细剖析，以期帮助考生们更加全面地掌握数学分析的内容。

一、基础概念解析在数学分析的学习过程中，理解和运用基础概念是非常重要的。

本节将重点解析一些基础概念，包括极限、连续性和导数等。

1. 极限极限是数学分析中的基础概念，也是数学思维的核心。

在学习和理解极限概念时，有一些重要的定理和性质需要掌握。

例如夹逼准则、无穷小与无穷大的关系以及函数极限的运算法则等。

2. 连续性连续性是数学分析中的另一个重要概念。

通过理解连续函数的定义和性质，可以帮助考生更好地解决与连续性相关的问题。

例如连续函数在闭区间上的性质、连续函数的中值定理等。

3. 导数导数是微积分学中的重要概念，也是数学分析中的重点内容。

理解导数的定义和性质，能够帮助考生解决与导数相关的应用问题。

例如函数的导数定义、连续函数可导的条件、导数的四则运算法则等。

二、重点知识点解析在上海市考研数学复习资料中，数学分析中的一些重点知识点需要重点关注。

本节将对这些重点知识点进行解析，并给出相应的例题。

1. 函数极值和最值掌握函数极值和最值的求解方法，对于解决与函数的极值和最值相关的问题具有重要意义。

需要熟悉区间的开闭性质以及极值和最值存在的条件。

同时，还要注意极大极小值和最大最小值的区别。

2. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法，通过掌握泰勒展开的定义和应用，能够解决与函数逼近相关的问题。

重点掌握泰勒展开的公式和使用方法，以及误差估计。

3. 积分计算积分是数学分析中的难点之一，熟练掌握积分的计算方法对于解决与面积、曲线长度、体积等相关问题非常重要。

需要重点掌握不定积分和定积分的计算方法，以及常见的积分公式与性质。

2000—2010年历年上海大学数学分析真题上海大学2000年度研究生入学考试试题数学分析1、 设122(1)n n x x nx y n n +++=+，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2n n ay →∞=； （2）当a =+∞时，lim n n y →∞=+∞.2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]0,1min ()1f x =-证明：[]0,1max ()8f x ''≥3、 证明：黎曼函数[]1, x= (0,,)()0,10,p q p q qq R x ⎧>⎪=⎨⎪⎩当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：12210()lim (0),t tf x dx f t x π+-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续.5、 设()1ln 11n n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，讨论级数2n n a +∞=∑的收敛性.6、 设()f x dx +∞⎰收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：001lim ()()h n h f nh f x dx ++∞+∞→==∑⎰.7、 计算曲面2222x y z a ++=包含在曲面22221(0)x y b a a b+=<≤内的那部分的面积.8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数1sin k kk +∞=∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题数学分析1、 计算下列极限、导数和积分:(1) 计算极限1lim();xx x +→ (2) 计算2()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ',其中()f x 2,(1).1,(1)t t t t ≤⎧=⎨+>⎩(3)已知)211sin x x'⎤=⎥+⎦,求积分2011sin I dx x π=+⎰. (4) 计算()()22222()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达式).2、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，若()()0f a f b >且()02a bf +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=. 3、 令(),1y F x y y xe =+-(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤<∈->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)、证明:对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭中存在唯一的解()y x .(3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性(1)、函数2()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对210ε-=,试确定0δ>,使得当1201x x ≤<≤,且12x x δ-<时有3321210x x --<.(2)、设[]2231(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x+=∈=+证明:()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的,但不是一致收敛的.5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydxI x y π-=+⎰其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.(2)设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若<a>()(),,0,0p qx y y x∂∂=≠∂∂ <b>()0,L pdy qdx c +=≠⎰其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x tt y tπ=⎧≤≤⎨=⎩ 证明：存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠，使得()()2222,,,22F c y F c xp x y q x y x x y y x yππ∂∂=+=-∂+∂+. 上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、 求α和β使得当x →+∞等价于无穷小量x βα.2、 求椭圆2221Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中20,0,,,A AC B A B C >->均为常数.3、 试给出三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2x ,并说明理论依据。

2000上海大学 高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和.(三) B A ,分别为m n ⨯和m n ⨯矩阵, n I 表示n n ⨯单位矩阵.证明: m n ⨯阶矩阵n A I X B ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)V A V A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r A a A a A a ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f gg ==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g g f f ==. （2）f 与g 有相同的核⇔,fg f g f g ==.2001上海大学 高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X =的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()A A a A A =，求证'm A A a E =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n nAA-≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A a A a Aa Aa Aa a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a A a a ≠<⇔A 的所有特征值都小于0. （七）设A a B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'10a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A 为A 的行列式）.2002 上海大学 高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a a ax a aA B aa x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭. （二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）计算kB （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2BC C E =+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p pp n p p A p n p p p n pppp--------=--------，A 是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i a a a + ，若1211210r i i rika k a k a ++++= ，则121,r k k k +或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B A B tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V a a V A a a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A E a A E a A E a +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学 高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a aA a a x a aaax=（A 为n 阶矩阵），2AA B AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若A B E A =- （1）求证：1A =±，（2）若200120232B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A . （四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求A X β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为ka -（k 为正整数）（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GA G E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.（1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X =的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A .（2）求正交变换X P Y =，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥ （十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,A a a B a V βββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学 高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ij A a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑ ，其中i j A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ij a 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A . （二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =. （1）求行列式'E A A λ-.（2）求'0A A X =的解（X 是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E A B =-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B =. （2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a A a a a λ≥. (六) 设123,,λλλ为3阶方阵A 的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求nA .(七) V 是n 维欧氏空间, σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a - 是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证： （1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。

上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明上海市考研数学复习资料数学分析重点定理的证明一、极限与连续极限和连续是数学分析中非常重要的概念，它们是数学分析基础理论的支撑。

下面将介绍一些数学分析中的重点定理，并给出证明。

1. 极限的重要定理之泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一项重要定理，它对于研究函数的性质和计算函数的值都有很大的帮助。

下面给出定理的证明：定理：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是拉格朗日余项，满足| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M为常数。

证明：我们可以利用泰勒公式对函数f(x)在点x=a处进行展开。

首先，我们对函数f(x)在点x=a处进行n阶的泰勒展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项。

由于函数f(x)在点x=a处n阶可导，因此可以得到f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)的具体值。

我们将Rn(x)的具体表达式进行展开，并根据泰勒公式的表达式得到其表示形式。

经过简化后，我们可以得到：| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!其中M为常数。

因此，函数f(x)在点x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)定理得证。

2. 连续函数的重要定理之介值定理介值定理是连续函数的一个重要性质，它可以帮助我们研究函数在某个区间上的性质。

上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。

()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。

证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。

2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。

（1） 求J 的特征多项式与最小多项式；（2） 设()x f 为复数域上多项式。

证明()J f 必相似于对角阵。

3．（10分）（1） 设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。

（2） 设A 为复数域上n 阶方阵。

若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。

此处E 为n 阶单位阵。

4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。

5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。

证明： （1） AB=0的充要条件是0=AB A T； （2） 矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。

8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。

证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。

上海大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题招生专业：通信与信息系统电路与系统考试科目：信号与系统信号与信息处理生物医学工程数字媒体技术及应用考生须知：考生只能在考场另发的答题纸上作答，写在试题纸上或草稿纸上一律无效一、已知某线性时不变系统的初始状态为()，()，当激励信号为()()，系统响应为()()()，试求该系统的零状态响应( )、零输入响应( )和单位冲激响应 ( )。

（16分）二、求如图所示信号ƒ()的频谱函数()。

（18分）ƒ()三、已知某线性时不变系统的单位阶跃响应()和激励信号()如下图所示：试用卷积积分法求该系统的零状态响应()。

（18分）()( )四、某反馈系统如图所示：（1） 试写出系统函数 ( ) ( )( ) ；（2） K 满足什么条件系统稳定？（3） 求临界稳定条件下系统的单位冲激响应 ( ) 。

（16分） 五、 如图所示系统框图：（1） 求该系统的状态方程和输出方程； （2） 求该身体输入输出微分方程。

（16分） 六、 如图所示电路：（1） 写出该系统的系统函数 ( ) ( )( )，并在S 平面中画出 ( ) 零极点分布；（2） 若激励为 ( ) ( ) ，求系统响应 ( ) ，并自由响应、强迫响应，暂态响应和稳态响应。

（16分）∑k( )3( ) ( )∑∑1/s1/s−4−3ΩΩ1F1F( )( )上海大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题招生专业：通信与信息系统电路与系统考试科目：信号与系统信号与信息处理生物医学工程数字媒体技术及应用考生须知：考生只能在考场另发的答题纸上作答，写在试题纸上或草稿纸上一律无效一、已知信号ƒ[()]的波形如图:ƒ[()]3正弦规律变化试计算ƒ( )信号的频谱函数()。

（16分）二、已知一系统如图（a）所示，若()如图（b）所示:( )( ) ( )(a)(b)试用卷积积分法求零状态响应 ( ) 。

（17分） 三、 如图所示电路：， ， ， ， ( ) 3 （秒） 试问在 ( ) 中不包含哪些频率分量。

华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。

试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。

（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。

（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。

上海大学2000年度研究生入学考试试题数学分析1、 设122(1)n n x x nx y n n +++=+，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2n n ay →∞=；（2）当a =+∞时，lim n n y →∞=+∞.2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]0,1min ()1f x =-证明：[]0,1max ()8f x ''≥3、 证明：黎曼函数[]1, x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ⎧>⎪=⎨⎪⎩当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：12210()lim (0),t tf x dx f t x π+-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续.5、 设()1ln 11n n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，讨论级数2n n a +∞=∑的收敛性.6、 设()f x dx +∞⎰收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：01lim ()()h n h f nh f x dx ++∞+∞→==∑⎰.7、 计算曲面2222x y z a ++=包含在曲面22221(0)x y b a a b+=<≤内的那部分的面积.8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数1sin k kk +∞=∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题数学分析1、 计算下列极限、导数和积分:(1) 计算极限1lim();xx x +→ (2) 计算2()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ',其中()f x 2,(1).1,(1)t t t t ≤⎧=⎨+>⎩ (3) 已知)211sin x x '⎤=⎥+⎦,求积分2011sin I dx x π=+⎰. (4) 计算()()22222()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达式).2、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，若()()0f a f b >且()02a bf +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=. 3、 令(),1y F x y y xe =+-(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤<∈->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)、证明:对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭中存在唯一的解()y x . (3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性(1)、函数2()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对210ε-=,试确定0δ>,使得当1201x x ≤<≤,且12x x δ-<时有3321210x x --<.(2)、设[]2231(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x+=∈=+证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的,但不是一致收敛的.5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydxI x y π-=+⎰其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.(2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若<a>()(),,0,0p q x y y x∂∂=≠∂∂ <b>()0,L pdy qdx c +=≠⎰其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x tt y tπ=⎧≤≤⎨=⎩ 证明：存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠，使得()()2222,,,22F c y F c xp x y q x y x x y y x yππ∂∂=+=-∂+∂+. 上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、 求α和β使得当x →+∞等价于无穷小量x βα.2、 求椭圆2221Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中20,0,,,A AC B A B C >->均为常数.3、 试给出三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2x ,并说明理论依据。

版）2013年上海大学836模拟与数字电路考研试题
回忆版
（回忆
模拟与数字电路考研试题（
通信专硕
今年专硕模电跟去年考的完全不一样，虽然我没有去年的真题，但是大致知道去年的卷子结构和考的知识点。

今年模电的卷子结构式8道类似简答的题，每题5分，合计40分，6道类似计算题，每题10分，合计60分，最后还有三个大计算题（其实就是分数高点），前两题每题15分，最后一题20分，合计50分。

基本上每道题都是2~4小问，所以每一问的分值并不高，因此卷子整体的难度就降下来了，即使个别问不会，也不太影响全局，再加上今年考的知识点基本都在大纲要求内，而且难度不是太大（与去年比较），所以今年的模电难度降了不少。

下面是部分内容（按照我回忆的顺序，非考卷上的顺序）
1、两个三极管和两个场效应管的工作状态（5分)
2、一个电路图，两个二极管，画输出波形（5分）
3、A类B类功率放大器，输出功率增大时，供电功率如何变化？当管耗功率最大时（记不清了，也可能是输出功率最大时），A类B类功率放大器的输出电压分别是多少？（好像是这么问的）（5分）
4、稳压管一道题（好像也是5分的）
5、三个对数放大器和一个反对数放大器组合的电路，求输出（好像是10分）。

上海大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题招生专业：通信与信息系统电路与系统考试科目：信号与系统信号与信息处理生物医学工程数字媒体技术及应用考生须知：考生只能在考场另发的答题纸上作答，写在试题纸上或草稿纸上一律无效一、已知某线性时不变系统的初始状态为()，()，当激励信号为()()，系统响应为()()()，试求该系统的零状态响应( )、零输入响应( )和单位冲激响应 ( )。

（16分）二、求如图所示信号ƒ()的频谱函数()。

（18分）ƒ()三、已知某线性时不变系统的单位阶跃响应()和激励信号()如下图所示：试用卷积积分法求该系统的零状态响应()。

（18分）()( )四、某反馈系统如图所示：（1） 试写出系统函数 ( ) ( )( ) ；（2） K 满足什么条件系统稳定？（3） 求临界稳定条件下系统的单位冲激响应 ( ) 。

（16分） 五、 如图所示系统框图：（1） 求该系统的状态方程和输出方程； （2） 求该身体输入输出微分方程。

（16分） 六、 如图所示电路：（1） 写出该系统的系统函数 ( ) ( )( )，并在S 平面中画出 ( ) 零极点分布；（2） 若激励为 ( ) ( ) ，求系统响应 ( ) ，并自由响应、强迫响应，暂态响应和稳态响应。

（16分）∑k( )3( ) ( )∑∑1/s1/s−4−3ΩΩ1F1F( )( )上海大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题招生专业：通信与信息系统电路与系统考试科目：信号与系统信号与信息处理生物医学工程数字媒体技术及应用考生须知：考生只能在考场另发的答题纸上作答，写在试题纸上或草稿纸上一律无效一、已知信号ƒ[()]的波形如图:ƒ[()]3正弦规律变化试计算ƒ( )信号的频谱函数()。

（16分）二、已知一系统如图（a）所示，若()如图（b）所示:( )( ) ( )(a)(b)试用卷积积分法求零状态响应 ( ) 。

（17分） 三、 如图所示电路：， ， ， ， ( ) 3 （秒） 试问在 ( ) 中不包含哪些频率分量。

根据以上资料制定一个运费最少的方案某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从普阿松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需65分钟：（24分）1、修理店空闲时间概率2、店内有3个顾客的概率3、店内至少有一个顾客的概率4、在店内顾客平均数四、（。

五、1）请简述影子价格的定义。

（2）在使用单纯型表求解型线性规划时，资源的影子价格在单纯型表的什么位置上？（3）写出影子价格的数学表达式并用其定义加以验证（4）试述运输问题中检验数的经济意义六、某公司近期向市场推出了一种新产品，多功能复印打印机。

该产品的多功能很受顾客欢迎，但一旦需停下来维修则要同时耽误多项工作，因此，顾客要求尽量缩短维修等待时间。

为此，公司的技术服务部在每个销售区域设置了一位技术服务代表专门负责该产品维修服务。

假设顾客要求维修的电话是完全随机到达，平均每天到达3个。

而技术服务代表连续工作时，平均每天完成4项维修任务。

(1) 该服务系统能否看作一个MM／1排队系统？为什么？(2) 假设该系统可看作一个标准的MM／1排队系统，求出系统的服务强度（技术服务代表的繁忙率）和顾客的平均等待（不包括维修）时间。

(3) 现公司希望将顾客的平均等待时间降为不超过0.25天。

为此需将每个技术服务代表的服务区域缩小为达到率不超过多少？这时每个技术服务代表的服务强度降为多少？七、线性规划问题12 12121212max23 221228416412,0z x x x xx xxxx x⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≤+≤≤≤≥已知其最优解x1，x2 >0，而第1，4两种资源（相应于第1，4两约束）均有余量，应用互补松弛定理求出原问题和对偶问题的最优解第1页（共3页）第2页（共3页）（4）或者选择项目5，或者选择项目6和7；问应当如何选择设计任务，可使总的设计报酬最大。

（建立数学模型，不需要求解）第3页（共3页）max 0Z CX s t AX b X =⎧⎪⋅=⎨⎪≥⎩,求得最优解，但最优解不满足整数解的要求。

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)1202x x dx -⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1n n u ∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示 (B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价(D)矩阵1(,,)m =A αα 与矩阵1(,,)m =B ββ 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y = (B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z x y ∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+⎰ ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e0,xSxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且0()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,xy a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C)(D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h →-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h →-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立. (2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα 为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ 也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yxdx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x = 1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为X 0 1 2 3 P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x 01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示,则 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五 、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y xLLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰. (2)sin sin 2ee 2.yx Lx dy y dx π--≥⎰六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七 、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.(2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x . (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e xxf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,,(C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值. (20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________. (3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有 (A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222y u x u ∂∂=∂∂(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂(D)222xuy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为X Y0 1 0 0.4a 1b0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b ==(B)0.4,0.1a b ==(C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则 (A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 1001,02x y x<<<<其它 求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .(2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =.(2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面22z x y =+(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = . (6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)22120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B)22120(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)22120(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(C)22120(,)y dy f x y dx -⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 (A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A =(D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分)设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数. (18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰ .(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是 (A)1ex-(B)1ln1xx+-(C)11x +-(D)1cosx -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n == 则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰ (B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则zx∂∂=______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中 ∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧. (19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+ (2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

上海大学2009～2010学年冬季学期试卷B
课程名：模拟电子技术 课程号： 07275003学分： 5 应试人声明：
我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。

应试人 应试人学号 应试人所在院系 成
绩
上海大学2010～2011学年冬季学期试卷B
课程名：模拟电子技术 课程号：07275003学分： 5 应试人声明：
我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》
，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。

应试人
应试人学号 应试人所在院系 题号
一 二 三 四 五 六 七 得分
成
绩。

2000 上海大学高等代数a b b bc a b b(一 ) 计算行列式 : c c a bc c c a(二 )把二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2x2 x3x3 x4x1 x4用非退化线性替换化成平方和 .(三 )A, B 分别为n m 和 m n 矩阵,I n表示 n n 单位矩阵.证明: m n阶矩阵 X A In可逆当且仅当 BA 可逆，可逆时求出 X 的逆.0B(四 )设 e1 , e2e n是 n 维线性空间 V n的一组基，对任意 n 个向量a1, a2a n V n，证明：存在唯一的线性变换A，使得A(e i )a i i , 1 ,n2(五 )设 A 是n维线性空间 V 的线性变换，求证：V AV A 1(0)当且仅当若 a1 , a2 a r为AV的一组基则 Aa1 , Aa2Aa r是 A2 (V ) 的一组基.(六 )设 A为2级实方阵，适合A210，求证： A 相似于1 .0110 (七 )已知 f , g 均为线性空间 V 上线性变换，满足f2 f , g2g 试证：（ 1）f与g有相同的值域fg g, gf f .（ 2）f与g有相同的核fg f , gf g.2001 上海大学高等代数x a2a3a na1x a2a n（一）计算行列式： a1a2x a na1a2a3x（二）设 A 为 3阶非零方阵，且 A20 .a1（1）求证：存在a1, a2,a3，b1,b2,b3， A a2b1 b2 b3a3（2）求方程组AX0 的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行f (x1, x2 , x3 )x123x222x324x1x3 4x2 x3为标准形（四）设 A 为n m 阶实矩阵，且r ( A)m(n m) .若( AA')2aAA'，求证AA'aE m.（五）设A是（为奇数）维线性空间V n 1n上线性变换，若 A0,A 0 n n求证：存在 a V ，使a Aa Aa, Aa 2,A , an 2n 1n1为V 的一组A a A a, a基，并求 A 在此组基下的矩阵.（六）设 A 是欧式空间 V 上的对称变换.求证：对任意 a0 ，都有a0 Aa, a0 A 的所有特征值都小于0.（七）设 B A a，其中 A 为n阶负定矩阵，a为n维列实向量，a为实数 .求证B正定的充分必要条件为a' A 1a0 .（八）若 A 是正交阵，且 A 特征值为1的重数是 S ，求证：A ( 1)s（ A 为A的行列式）.2002 上海大学 高等代数x 1 a a aax 2 a aA B . （一）计算行列式：若 A 2B aa x 3a ，求 AB Aa a ax n（二）设 A 是 n 阶可逆方阵， BA A .0 A（ 1）计算 B k （ K 是整数），（ 2）假设（ 三 ）设1 0 0A 1 1 0 ， C 为 6 阶方阵，而且 BC2C E ，求C .1 1 1p p p( n 1) pp p( n 1) ppA， A 是 n 阶矩 阵p( n 1) pp p ( n 1) pppp（ p 0 ），求 AX 0 的基础解系 .（四）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为 1，1，-1.并且对 应的特征值有特征向量 ， (2, 2,1).(1,1,1)（五）设向量组 A ： a 1, a 2 ,a 3 a n 的秩为 r （ r n ），则 A 中任意 r 个向量 线性无 关的充 分必要 条件 为：对 任意向量 a i, a i , a i ， 若12r1k 1 a ik 2a i kr 1a i 0 ，则 k 1 , k 2k r 1 或全为 0 或全不为 0.12r1（六）设 A 为 n 阶正定矩阵， B nm为秩为 m 的实矩阵，求证 B ' AB tE（ t 0 ， E 为单位矩阵）为正定矩阵 .（七）设 A 为欧式空间 V 上的线性变换，且 A 2E .（ 1）求证： A 是 V 上的正交变换的充分必要条件为 A 是 V 上的对称变换 .（ 2）设V1 a a V , Aa a ，求证：V V1 V2是直和.（八）设 A 为n阶实正交矩阵， a1 , a2 , a3a n为 n 维列向量，且线性无关，若 A Ea1, A Ea2 A Ea n线性无关，则 A 1 .2003 上海大学高等代数x a a aa x a a（一）计算行列式： A（ A 为n阶矩阵），a a x aa a a xA 2ABA A（1）求A（2）求B（二）设 A 为 n 2k 1 阶反对称矩阵，求 A .（三）设 A, B 为n阶整数方阵（A, B 中元素为整数），若 AB E A （ 1）求证：A1，2 00（ 2）若B1 2 0，求 A .232（四）设A(a1 , a2a n )为 n 阶方阵，r ( A)n 1 ，且a n a1a2a n 1的解 .a1a2a n 1an，求AX（五）设 A 是n阶可逆方阵，且 A 每行元素之和为 a ，求证： A k的每行元素之和为 a k（ k 为正整数）（六）设 A 为n阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵 G 使E r.G 1AGE s（七）设 A2 A ，且 A 为n阶方阵， R( A)r .（ 1）求证：E A 2r（）求证： R( A)R( A E) n （）若 r1，23求 AX 0的解.（八）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量 (1,1,1).（九）设二次型f ( X ) x12x22x32x422x1 x22x1 x32x1 x42x2 x32x2 x42x3 x4（ 1）求f ( X )对应的实对称矩阵A.（ 2）求正交变换X PY ，将 f ( X ) 化为标准型.（十）设 A 是n维线性空间 V 上的线性变换，a1, a2a k是对应的不同特征值 1 ,2k 的特征向量.若a1a2a k W ，而W是A的不变子空间，则有维（ W ）k（十一）设 B 为欧式空间 V 上的变换， A 为欧式空间 V 上的线性变换且有：( Aa, ) (a, B ), a,V .证明：（ 1）B为欧式空间V上的线性变换 .（ 2）A1(0)B(V)2004上海大学高等代数（一）设 n 阶可逆方阵 A(a ij ) 中每一行元素之和为a(a0) ，证明：n（ 1）A ij a 1 A (i1,2n) ，其中 A ij为 a ij的代数余子式.j1（ 2）如果a ij都是整数(i1,2n) ，则a整除A.（二）设 A2 n a1a2an 1an为实矩阵，且 r ( A) 2 .b1b2bn 1b n（ 1）求行列式E A'A .（ 2）求A'AX0 的解（ X 是n维列向量）.（三）设 A, B 为n阶整数方阵，若B2E AB .21.（ 1）求证：A B100（2）若B 110，求 (A 2B) 1.231（四）若 A 为非零的半正定矩阵， B 为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵T，使T'T B .（2）A E 1.（3）A B B.（五）设为A的特征值的最小者.求证 : 对任意的n维列向量a ,有a' Aa a' a .(六)设1, 2 ,3为3阶方阵A的特征值, 且1 11,0 1 1,00 1 分别为其对应的特征向量,求A n.(七 ) a1, a 2, a 3V 是n维欧氏空间,是n维空间V上的线性变换a n 1是V中n 1 个线性无关的向量,且(),,如果分别与a1, a2 , a3a n 1正交(不为0).求证 :为的特征向量.3 0 3(八)设 A 3 2B 2 3 0 6 0 ，求证：3 0 3（1） r ( A) r (B) 2（2）题型与钱吉林书习题类示。

1全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 π(1)【答案】4【详解】 I =⎰= ⎰解法 1：用换元积分法：设 x -1 = sin t ，当 x = 0 时，s in t = -1，所以下限取 -π；当 x = 12时， s in t = 0 ，所以上限取0 .x -1=sin t 0所以I =⎰-πcost cos tdt2πππ由于在区间[-, 0]，函数c os t 非负，则I = ⎰ πcos 2 tdt = ⎰ 2 cos 2 t = - 20 4解法 2：由于曲线 y ==是以点 (1, 0) 为圆心，以 1 为半径的上半圆周，它与直线 x = 1和 y = 0所围图形的面积为圆面积的 1，故答案是π44(2)【答案】x -1 = y + 2 = z - 2. 1 -4 6【详解】曲面方程 F (x , y , z ) = 0 在点(x 0 , y 0 , z 0 ) 的法矢量为：n = {F x (x 0 , y 0 , z 0 ), F y (x 0 , y 0 , z 0 ), F z (x 0 , y 0 , z 0 )}令 F (x , y , z ) = x 2+ 2 y 2 + 3z 2 - 21, 则有F x ' (1, -2, 2) = 2x |(1, -2, 2) = 2, F y ' (1, -2, 2) = 4 y |(1, -2, 2) = -8, F z ' (1, -2, 2) = 6z |(1, -2, 2) = 12.所以曲面在点(1, -2, 2) 处的法线方程为：x -1 = y + 2 = z - 2. 即 x - 1 = y + 2 = z - 2 .(3)【答案】 y =C 1+ C x22 2 -8 12 1 -4 6【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于 y " = f (x , y ')型的微分方程. 【详解】令 p = y ' ，有 y " =dp.原方程化为： xdp+ 3p = 0 ， ⇒ dp + 3 p = 0 dxdx dxx2⎰ ⎰分离变量：两端积分：dp = -3 dx p xdp = -3 dx⇒ lnp xp = -3ln x + C 1从而p = e-3ln x +C 1= e C 1 e-3ln x= eC 1x -3= e C 1 1x3因记C 2 = e C 1> 0 是大于零的任意常数，上式可写成 p = ± C 2； x3记C = ±C ， p = C 3 ，便得方程的通解 p = C x -3，3 2x 33 即 dy = C x -3 ⇒ dy = C x -3dx ，其中C 是任意常数dx 33 3对上式再积分，得：y = C x -3dx = -C 3x -2 + C=C 5 +⎛= -C 3 ⎫⎰324x2C 4 , C 52 ⎪ ⎝⎭所以原方程的通解为：y = C 1 + Cx22(4)【答案】 -1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有⎡1 2 1 1⎤ ⎡1 21 1 ⎤ ⎢23 a + 2 3⎥ → ⎢0 -1 a 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 a -2 0⎥⎦ ⎢⎣0 a - 2 -3 -1⎦⎥ ⎡1 21 1 ⎤ → ⎢0 -1 a 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 (a - 3)(a +1) a - 3⎥⎦当a = −1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.(5)【答案】 2 3 (由 A , B 独立的定义： P (AB ) = P ( A )P (B ) ) 【详解】由题设，有 P (AB ) = 1, P ( AB ) = P ( AB )9因为 A 和 B 相互独立，所以 A 与 B ， A 与 B 也相互独立.⎨ ⎨ ⎪⎪于是由 P ( AB ) = P ( AB ), 有 P (A )P (B ) = P ( A )P (B )即有 P ( A )[1- P (B )] = [1- P ( A )] P (B ) , 可得 P ( A ) = P (B ) ， P (A ) = P (B )从而P (AB ) = P ( A )P (B ) = ⎡P ( A )⎤ 2 = [1- P ( A )]2 = 1 ,⎣ ⎦ 9解得P (A ) = 2.3二、选择题 (1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知f '(x )g (x ) - f (x )g '(x ) < 0,想到设函数为相除的形式 f (x ). g (x )【详解】设 F (x ) =f (x ) ，则(F (x ))' = f '(x )g (x ) - f (x )g '(x ) < 0,g (x )g 2 (x )则 F (x ) 在 a < x < b 时单调递减，所以对∀a < x < b ， F (a ) > F (x ) > F (b )，即f (a ) > f (x ) >f (b )g (a ) g (x ) g (b )得 f (x )g (b ) > f (b )g (x ), a < x < b ， ( A ) 为正确选项.(2)【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：性质 1：设 f (x , y , z ) 在分块光滑曲面 S 上连续， S 关于 y oz 平面对称，则⎧0 ⎰⎰ f (x , y , z )dS = ⎪2⎰⎰ f (x , y , z )dS 若f (x , y , z )关于x 为奇函数若f (x , y , z )关于x 为偶函数S其中 S 1 = S ⋂ {x ≥ 0}.⎩ S 1性质 2：设 f (x , y , z ) 在分块光滑曲面 S 上连续， S 关于 xoz 平面对称，则⎧0 ⎰⎰ f (x , y , z )dS = ⎪2⎰⎰ f (x , y , z )dS 若f (x , y , z )关于y 为奇函数若f (x , y , z )关于y 为偶函数S其中 S 1 = S ⋂ {y ≥ 0}.⎩ S 1⎨ n 性质 3：设 f (x , y , z ) 在分块光滑曲面 S 上连续， S 关于 x oy 平面对称，则⎧0 ⎰⎰f (x , y , z )dS = ⎪2⎰⎰ f (x , y , z )dS 若f (x , y , z )关于z 为奇函数若f (x , y , z )关于z 为偶函数S其中 S 1 = S ⋂ {z ≥ 0} .⎩ S 1【详解】方法 1：直接法：本题中 S 在 x oy 平面上方，关于 y oz 平面和 xoz 平面均对称，而 f (x , y , z ) = z 对 x , y均为偶函数，则⎰⎰ zdS性质1= 2 ⎰⎰zdS性质2= 4⎰⎰ zdSSS ⋂{x ≥0}S 1又因为在 S 1 上将 x 换为 y ， y 换为 z ， z 换为 x ， S 1 不变(称积分区域 S 1 关于 x , y , z 轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有4⎰⎰ zdS = 4⎰⎰ xdS = 4⎰⎰ ydS . 选项(C ) 正确.S 1S 1S 1方法 2：间接法(排除法)曲面 S 关于 y oz 平面对称，x 为 x 的奇函数，所以 ⎰⎰ x dS = 0 ，而 ⎰⎰ xdS 中 x ≥ 0 且SS 1仅在 y oz 面上 x = 0 ，从而⎰⎰ xdS > 0 ， ( A ) 不成立.S 1曲面 S 关于 zox 平面对称， y 为 y 的奇函数，所以 ⎰⎰ y dS = 0 ，而⎰⎰ xdS > 0 ，所以(B ) 不成立.SS 1曲面 S 关于 zox 平面对称，x yz 为 y 的奇函数，所以 ⎰⎰ x yzdS = 0 ，而 ⎰⎰ xyzdS > 0 ，SS 1所以(D ) 不成立.(3)设级数∑un 收敛，则必收敛的级数为( )n =1(A) ∑ n =1 (-1)n un.n(B)∑n =1 u 2.(C)∑(u2n -1- u 2n ).n =1【答案】D【详解】(D)∑(u n- u n +1).n =1∞ ∞ ∞ ∞ ∞n ∑ 1 1 1 1 ∞∞∞方法 1：直接法. 由∑un 收敛，所以∑un +1 也收敛.由收敛级数的性质(如果级数∑un 、n =1n =1n =1∑vnn =1分 别 收 敛 于 s 、 σ， 则 级 数∑(un± v n ) 也 收 敛 ， 且 其 和 为 s ±σ). 知n =1∑(un+ u n +1 ) = ∑u n + ∑u n +1 . 选项(D ) 成立.n =1n =1n =1方法 2：间接法. 找反例：( A )：取u n= (-1)n1，级数ln(1 + n )∑ n =1u n 收敛，但∑(-1) n =1n u n = ∞n n =1(-1) n 1 n ln(1+ n )是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果：∞1 ⎧收敛 当p > 1∑ (n +1) lnp(1+ n ) ⎨） 当p ≤ 1n =1(-1)n⎩发散∞∞2∞1(B) ：取u n =，级数∑un 收敛，∑u n = ∑ n 发散；(-1)n -1n =1∞un =1n =1(C) ：取u n =，级数∑n 收敛，但u - u n= 1 + 1 n =1= 4n -1 1 2 n -1 2n2n -1 2n 2n (2n -1) n由比较审敛法的极限形式知，级数∑(u2n -1- u 2n ) 发散.n =1(4)【答案】(D) 【详解】用排除法.(A)为充分但非必要条件：若向量组α1 ,⋅⋅⋅,αm 可由向量组β1 ,⋅⋅⋅, βm 线性表示，则一定 可推导β1 ,⋅⋅⋅, βm 线性无关，因为若β1 ,⋅⋅⋅, βm 线性相关，则r (α1 ,⋅⋅⋅,αm ) < m , 于是α1 ,⋅⋅⋅,αm 必线性相关，矛盾. 但反过来不成立，如当m =1时，α = (1, 0)T,β = (0,1)T均为单个非零 向量是线性相关的，但α1 并不能用β1 线性表示.(B)为既非充分又非必要条件：如当m = 1时，考虑α = (1, 0)T,β = (0,1)T均线性无关， 但并不能由α线性表示，必要性不成立；又如α = (1, 0)T,β = (0, 0)T , 可由α线性表示，1111∞ ∞ ∞ ∞∞∞ ∞ ∞x 但β1 并不线性无关，充分性也不成立.(C)为充分但非必要条件：若向量组α1 ,⋅⋅⋅,αm 与向量组β1 ,⋅⋅⋅, βm 等价，由α1 ,⋅⋅⋅,αm线性无关知， r (β1, ⋅⋅⋅, βm ) = r (α1,⋅⋅⋅,αm )= m , 因此β1 ,⋅⋅⋅, βm线性无关，充分性成立；当m= 1时，考虑α = (1, 0)T, β = (0,1)T均线性无关，但α与β并不是等价的，必要性不成立.1111(D) 剩下(D)为正确选项. 事实上，矩阵 A = (α1 ,⋅⋅⋅,αm )与矩阵B = (β1 ,⋅⋅⋅, βm )等价 ⇔r ( A )=r (B )⇔ r (β1, ⋅⋅⋅, βm ) = r (α1,⋅⋅⋅,αm ) = m , 条件. 因此是向量组β1 ,⋅⋅⋅, βm 线性无关的充要(5)【答案】B.【详解】ξ和η不相关的充分必要条件是它们的相关系数ρξη=Cov (ξ,η)= 0 ⇔ Cov (ξ,η) = 0由协方差的性质： c ov(aX + bY , Z ) = a cov( X , Z ) + b cov(Y , Z )故Cov (ξ,η) = Cov ( X + Y , X - Y )= Cov (X , X )- Cov (X ,Y )+ Cov (Y , X )- Cov (Y ,Y ) = Cov ( X , X ) - Cov (Y ,Y ) = D (X )- D (Y )可见Cov (ξ,η) = 0 ⇔ D ( X ) - D (Y ) = 0 ⇔ D ( X ) = D (Y )⇔ E ( X 2 ) - [E ( X )]2= E (Y 2 ) - [E (Y )]2(由方差定义 DX = EX 2 - (EX )2 )故正确选项为(B).1三【分析】由于极限中含有e x与 x ，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在. 【详解】⎛ 1⎫ ⎛1⎫ 2 + e x sin x ⎪2 + e x sin x ⎪ 2lim + x →0-4 = lim ⎪ x →0-4 - x = -1 = 1 ； ⎪1 ⎝ 1+ e x ⎭ ⎝ 1+ e x⎭1 24 4 ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ lim 2 + e x + sin x ⎪ = lim 2 + e x + sin x ⎪ = 0 +1 = 1； x →0++4x ⎪ x →0+x ⎪ ⎝ 1 e x ⎭ ⎝ 1+ e x ⎭左极限与右极限相等，所以⎛ 1 ⎫ lim 2 + e x +sin x ⎪ = 1. x →0x ⎪ ⎝ 1+ e x ⎭四【详解】根据复合函数的求导公式，有∂z = f'⋅ y + f '⋅ 1 + g '⋅ ⎛ - y ⎫∂x 1 2yx 2 ⎪ ⎝ ⎭∂2 z = ⎡' + ' ⎛x ⎫⎤+ '+ ⎡ ' + ' ⎛ x ⎫⎤ 1于是∂x ∂y ⎢ f 11 x f 12 ⋅ - y 2 ⎪⎥ y f 1 ⎢ f 21 x f 22 ⋅ - y 2 ⎪⎥ y⎣ ⎝ ⎭⎦ ⎣ ⎝ ⎭⎦+ f ' ⎛ 1 ⎫ + g ' ⋅ 1 ⋅ ⎛ - y ⎫ + g ' ⋅ ⎛ - 1 ⎫2 ⋅ - y 2 ⎪ x x 2 ⎪x 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭= f '- 1 f '+ xyf ' - x f ' - 1 g '- yg " 1 y 2 2 11y 3 22 x 2 x 3五【详解】方法 1：(复连通条件下的封闭曲线积分)设：(1) L 1 与 L 2 是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向，(2)在 L 1 与 L 2 所包围的有界闭区域 D 1 与 D 2 的内部除一些点外， P (x , y ) 与Q (x , y ) 连续并具有连续的一阶偏导数，且∂Q ≡ ∂P . 则 ∂x ∂y⎰LP (x , y )dx + Q (x , y )dy = ⎰L P (x , y )dx + Q (x , y )dy解：以点(1, 0)为中心， R 为半径的圆周的参数方程是： x = 1+ R cos θ, y = R sin θ，逆 时针方向一周为从t = 0 到t = 2π，代入曲线积分I = ⎰ Lxdy - ydx 4x 2 + y 2由于分母很繁，计算不方便. 由曲线封闭，可以考虑使用格林公式，但在 L 所包围的区域内部有点O (0, 0) ，该点处分母为 0，导致被积函数不连续，格林公式不能用.- 2 ⎰2⎰⎰2 2⎰ L⎰- yx ∂Py 2- 4 x 2∂Q记 P =4 x 2+ y2, Q = 4 x 2 + y 2 , 且 P (x , y ) 与Q (x , y ) 满足 ∂x (x , y ) ≠ (0, 0) . 作足够小的椭圆：⎧x = ε os t= (4 x 2 + y 2 )2= ∂yL :ε⎪2c (t ∈[0, 2π], C 取逆时针方向)， 1⎨ ⎪⎩ y = εsin t于是 L 与 L 1 及函数 P (x , y ) 与Q (x , y ) 满足“分析”中所述定理的一切条件，于是I = ⎰ xdy - ydx = 4x + y xdy - ydx 4x 2 + y 2 LL 1而后一积分可用参数法计算εε1 2I = xdy - ydx =cos t ⋅εcos t - εsin t ⋅ 2π2 2 (- s in t ) dt =2π2ε dt = π ⎰ 4x2+ y 2⎰ε21 ⎰ε2方法2：记 P =- y , Q =x, 则 ∂P - ∂Q= 0 ，(x , y ) ≠ (0, 0) . 在L 内加 L ： 4 x 2 + y 24 x 2 + y 2∂x ∂y 1椭圆4x 2+ y 2 = ε2 的顺时针方向，则I = ⎰L + Lxdy - ydx 2 2 xdy - ydx L 2 21 4x + y 1 4x + y= ⎰⎰ 0dxdy - ⎰Lxdy - ydx 2 2( D 由 L 与 L 1 所围)D14x + y= -1Lxdy - ydx =12dxdy( D : 4x 2 + y 2 ≤ ε2) ε1=2 εε D1ε2⋅π⋅ 2⋅ε= π六【详解】由题设条件，可以用高斯公式：0 = ⎰⎰ xf (x )dydz - xyf (x )dzdx - e 2xzdxdy S= ±⎰⎰⎰ ⎡⎣ xf '(x ) + f (x ) - xf (x ) - e 2x ⎤⎦dvΩ其中Ω为S 所围成的有界闭区域，当 S 的法向量指向Ω 外时，“ ± ”中取“ + ”；当 S 的法向量指向Ω 内时，“ ± ”中取“ - ”. 由S 的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数 即xf '(x ) + f (x ) - xf (x ) - e 2x = 0, (x > 0)1，⎰ ⎪ (e n ⎨ ⎰ ⎢ n变形后得f '(x ) + ⎭e 2x, (x > 0) 这是一阶线性非齐次微分方程，利用一阶线性非齐次微分方程 dy+ P (x ) y = Q (x ) 的通解公式：dx y = e - ⎰ P ( x )dx ⎛ Q (x ) ⋅ e ⎰ P ( x )dx dx + C ⎫ ⎝ ⎭其通解为(1-1)dx⎡ ⎛ 1 -1⎫dx ⎤ x x ⎰ 1 2 x ⎰ x ⎪e ⎡ 1 2 x - x ⎤ e xf (x ) = ex⎢ e ⎣x ⋅ e ⎝ ⎭ dx + C ⎥ = ⎥⎦ x ⎢⎣⎰ x e ⋅ xe dx + C ⎥⎦ = x (e + C )由于 lim ⎛ e 2x + Ce x ⎫ f (x ) = lim ⎪= 1, 故必有 l im (e 2x + Ce x)= 0, (否则不能满足极 x →0+x →0+⎝ x ⎭x →0+限值为1)，即C +1 = 0, 从而C = −1.因此f (x ) = e x xx-1).七【定义概念】幂级数∑ n =0 a x n，若 lim n n →∞ = ρ，其中 a n , a n +1是幂级数∑ n =0 a x n 的相邻两项的系数，则该幂级数的收敛半径⎧ 1⎪ρ R = ⎪+∞⎪0 ⎪ ⎪⎩ρ≠ 0 ρ= 0ρ= +∞开区间(-R , R ) 叫做幂级数的收敛区间.【详解】nn⎡1+ ( -2)n ⎤ nlim = lim ⎡⎣3 + (-2) ⎤⎦ n = lim ⎣ 3 ⎥⎦ = 1 n →∞ x →∞ ⎣⎡3n +1 + (-2)n +1 ⎦⎤ (n +1) x →∞ 3 ⎡1+ ( -2)n +1 ⎤ (n +1) 3所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为(-3, 3).当x =3时，因为⎣⎢3 ⎥⎦ 3 ⋅ 1=1 ⋅ 1 > 13n + (-2)n n⎛ -2 ⎫n n 2n1+ 3 ⎪ ⎝ ⎭∞ ∞ a n +1 a na n +1 a n⎛ 1 -1⎫ f (x ) = 1 ⎝ x ⎪ xn3 ⋅ ⋅ 0⋅ = - ⋅ = -1 - ⋅∞1且∑ 发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点x =3处发散； n =1当x = −3 时， 由于(-3)n 1 ⎛ (-3)n + 2n 2n ⎫ 1 ( )n 1 (2 )n 1 3n + (-2)nn3n + (-2)n 3n + (-2)n ⎪ n n 3n + (-2)n n ⎝ ⎭ ∞ n 1⎡ ⎛ 2 ⎫n ⎤ 分别考虑两个级数，级数∑(-1) n 是收敛的. 又因 lim ⎢1 + - 3 ⎪ ⎥ n = ∞ ，从而2n1n =1⎛ 2 ⎫n3 ⎪1 ⎛2 ⎫nn →∞ ⎢⎣ ⎝ ⎭ ⎥⎦⋅ = ⎝ ⎭ ⋅ < ⎪ 3n + (-2)nn ⎛ 2 ⎫n n ⎝ 3 ⎭∞ ⎛ 2 ⎫n1+ - ⎪ ⎝ ⎭∞ ⎛ (2)n 1 ⎫∞ ⎛ (-3)n 1 ⎫ 再由∑ ⎪ 收敛，根据比较审敛法知∑ n n ⎪ 收敛. 于是∑ n n ⎪ n =1 ⎝ 3 ⎭n =1 3 + (-2) n ⎪ n =1 3 + (-2) n ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭收敛，所以原级数在点x = −3处收敛. 所以收敛域为[-3, 3) .八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关 键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点 P 0 作为坐标原点，相应的有两种求解方法.方法1：记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为坐标原点O , 射线O P 0 为正 x 轴建立直角坐标系，则球面方程为： x 2+ y 2 + z 2 = R 2 ， 点 P 的坐标为 (R , 0, 0)， 设Ω 的重心位置为 (x , y , z ) ， 由对称性， 得 y = 0, z = 0, 设 μ为 Ω 上点 (x , y , z ) 处的密度， 按题设,⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ π ⎣ ⎦ d d 0μ= k ⎡(x - R )2+ y 2 + z 2 ⎤ ，则⎰⎰⎰ x μdV ⎰⎰⎰ x ⋅ k ⎡(x - R )2 + y 2 + z 2 ⎤ dV x = Ω= Ω⎰⎰⎰μdV Ω而⎰⎰⎰ k ⎡(x - R )2+ y 2 + z 2 ⎤ dV Ω⎰⎰⎰ k ⎡(x - R )2+ y 2 + z 2 ⎤ dV Ω= ⎰⎰⎰ k (x 2 + y 2 + z 2 + R 2 )dV - 2kR ⎰⎰⎰ zdV Ω Ω= k ⎰⎰⎰ (x 2 + y 2 + z 2 )dV + k ⎰⎰⎰ R 2 dV - 0ΩΩ(利用奇函数的对称性)π πR= 8k ⎰ 2d θ⎰ 2d ϕ⎰r 2 ⋅ r 2 sin ϕdr + 4k πR 50 0 0 3(利用奇偶函数的对称性轮换对称性+ 球体体积公式)= 8k ⋅π⎰ 2sin ϕd ϕ⎰Rr 4dr + 4kπR 52 03π π⎛ r 5 ⎫ R4k= 8k ⋅ ⎰ 2 sin ϕd ϕ⋅ ⎪+ πR 5(牛-莱公式)2 0 ⎝ 5 ⎭3 π π R 5 4k = 8k ⋅ ⎰ 2 sin ϕd ϕ⋅ + πR 52 0= 4k πR 5 -5 3 ϕ π4k 5 ( cos52+πR3(牛-莱公式)= 4k πR 5+4k πR 5 = 32k πR 5 5 3 15 ⎰⎰⎰ kx ⎡( x - R )2 + y 2 + z 2 ⎤ dV Ω= k ⎰⎰⎰ x (x 2 + y 2 + z 2 + R 2 ) - 2kR ⎰⎰⎰ x 2dVΩΩ其中第一个积分的被积函数为 z 的奇函数， Ω 对称于 x Oy 平面，所以该积分值为零， 又由于Ω 关于 x , y , z 轮换对称，所以 ⎰⎰⎰ z 2dV = ⎰⎰⎰ x 2 dV = ⎰⎰⎰ y 2 dVΩΩΩ从而⎰⎰⎰ x 2dV = 1⎰⎰⎰(x2+ y 2 + z 2 )dV =1⎰ 2π θ⎰π ϕ⎰ Rr 2⋅ r 2sin ϕdr = 4πR 5Ω3 Ω3 0o15)⎣ ⎦ππr 00 0⎰ 于是⎰⎰⎰ kx ⎡( x - R )2 + y 2 + z 2 ⎤ dV= -2kR ⋅ 4 πR 5 = - 8kπR 6 15 15 Ω故 x = - R . 4因此，球体Ω的重心位置为(- R, 0, 0)4方法2：用Ω表示所考虑的球体， O 表示球心，以点 P 0 选为原点，射线 P 0 O为正z 轴建立直角坐标系，则球面的方程为 x 2+ y 2+ z 2= 2Rz ，设Ω的重心位置为(x , y , z ) ，由对称性，得 x = 0, y = 0 ，设μ为Ω 上点(x , y , z ) 处的密度，按题设μ= k ⎣⎡x 2 + y 2 + z 2 ⎦⎤ ⎰⎰⎰ z μdV ⎰⎰⎰ kz (x 2+ y 2 + z 2 )dV所以z= Ω= Ω⎰⎰⎰μdV Ω⎰⎰⎰ k (x2+ y 2 + z 2 )dVΩ因为⎰⎰⎰(x 2+ y 2 + z 2)dV = 4⎰ 2 d θ⎰ 2 d ϕ⎰2 R cos ϕ2⋅ r 2sin ϕdr = 32πR 5Ωπ π152R cos ϕ⎰⎰⎰ z (x 2 + y 2 + z 2 )dV = 4⎰ 2 d θ⎰ 2 d ϕ⎰ r 5 sin ϕcos ϕdrΩ= 64 3ππR 6 2 cos 7ϕsin ϕd ϕ= 08πR 63故 z = 5 R . 4 因此，球体Ω的重心位置为(0, 0, 5R ).4九【证明】⎰ππππξ1π1π方法1：令 F (x ) = xf (t )dt , 0 ≤ x ≤ π，有 F (0) = 0, 由题设有 F (π) = 0 .又由题设⎰f (x ) cos xdx = 0 ，用分部积分，有ππ0 = ⎰0 f (x ) cos xdx = ⎰0 cos xdF (x )π π = F (x ) cos x π + ⎰ F (x ) sin xdx = ⎰ (0 0由积分中值定理知，存在ξ∈ (0,π) 使πF x ) sin xdx 00 = ⎰0 F (x ) sin xdx = F (ξ) sin ξ⋅ (π- 0)因为ξ∈ (0,π) ， s in ξ≠ 0 ，所以推知存在ξ∈ (0,π), 使得 F (ξ) = 0 . 再在区间[0,ξ] 与 [ξ,π] 上 对 F (x ) 用 罗 尔 定 理 ， 推 知 存 在 ξ1 ∈(0,ξ) ， ξ2 ∈(ξ,π) 使F '(ξ1 ) = 0,F '(ξ2 ) = 0 ，即 f (ξ1 ) = 0, f (ξ2 ) = 0方法2：由⎰f (x )dx = 0 及积分中值定理知，存在ξ1 ∈ (0,π) ，使 f (ξ1 ) = 0. 若在区间(0,π) 内 f (x ) 仅有一个零点ξ1 ，则在区间(0,ξ1 ) 与(ξ1 ,π) 内 f ( x ) 异号. 不妨设在(0,ξ1 ) 内π πf (x ) > 0 ，在(ξ1,π) 内 f (x ) < 0 . 于是由⎰f (x )dx = 0,⎰0f (x ) cos xdx = 0 ，有0 = f (x ) cos xdx -f (x ) cos ξdx =f (x )(cos x - cos ξ)dx⎰0⎰1⎰1=f (x )(cos x - cos ξ)dx +f (x )(cos x - cos ξ)dx⎰1⎰ξ1当 0 < x < ξ1 时 ， c os x > cos ξ1 ， f ( x )(cos x - cos ξ1 ) > 0 ；当 ξ1 < x < π时 ，c os x < cos ξ1 ，仍有 f ( x )(cos x - cos ξ1 ) > 0，得到：0 > 0. 矛盾，此矛盾证明了 f ( x ) 在(0,π) 仅有1个零点的假设不正确，故在(0,π) 内 f ( x ) 至少有2个不同的零点.十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根 据题设等式，可先右乘A ，再左乘 A *，尽量不去计算 A-1【详解】方法１：由 AA * = A *A = A E , 知 A * = An -1,因此有8 = A * = A 3 ,于是 A = 2 ，所以 A * A = 2等式 ABA -1= BA -1+ 3E 两边先右乘 A ，得ABA -1A = BA -1 A + 3EA再左乘 A *，得A * ABA -1 A = A * BA -1 A + A * 3EA⎢ ⎥ ⎢⎥ 0 ⎤ ⎥化简⇒| A | BE = A * BE + 3A * A ⇒ 2B = A *B + 3 | A | E ⇒ 2B = A * B + 6E ⇒ (2E - A * )B = 6E ,于是B = (2E - A * )-1⎡ 1 0 0 0 ⎤-1 ⎢ ⎥⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢0 1 00 ⎥ = 6 ⎢ 0 1 0 0 ⎥ ⎢⎥ 0 = 6 = ⎢-1 0 1 0 ⎥ ⎢1 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 1 ⎥⎣ 03 0 -6⎦⎢0 0 - ⎥ ⎢⎣2 6 ⎥⎦ (由初等变换法求得)方法2: A = 2 (同解1)，由 AA *= A * A = A E , 得-1 -1⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎢ 01 0 0 ⎥ ⎡2 0 0 0 ⎤⎢ 02 0 0 ⎥A = A (A * ) = 2 (A *) = 2 ⎢-10 1 0 ⎥ = ⎢-20 2 0 ⎥ ,⎢ 3 1 ⎥ ⎢3 1 ⎥⎢ 0 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢⎣(由初等变换法求得)，可见 A − E 为逆矩阵.8 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦于是，由( A - E )BA -1= 3E ,-1 有B = 3(A - E )-1A , 而⎤-1⎥ ⎥ (A - E ) = ⎢-20 10 ⎥ = ⎢2 0 10 ⎥ , ⎢ 3 3 ⎥ ⎢3 ⎥ ⎢ 0 0 - ⎥ ⎢0 1⎣⎢4 4 ⎦⎥ ⎣⎢ 因此⎡1 0 0 0 ⎢0 1 00 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤⎥ ⎢ 0 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ 0 B = 3 = ⎢2 0 1 0 ⎥ ⎢-20 2 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 1 ⎥ ⎥ ⎢0 1 0 - ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ -1⎦⎣⎢4 ⎦⎥⎣⎢ 4 4 ⎦⎥ 方法3：由题设条件 ABA -1= BA -1+ 3E ，得( A - E ) BA -1= 3E .知： A - E ， B 均是可逆矩阵，且⎛ * ⎫- 1B = 3(A - E )- 1A = 3 ⎡ A - 1 (A - E )⎤- 1= 3 (E - A-1 )- 1= 3 E - A ⎪⎣ ⎦A ⎪ ⎝ ⎭⎥ ⎡6 00 0 ⎤ ⎢ ⎢0 6 0 ⎥ ⎢60 6 0 ⎥ ⎢ ⎣0 3 0- ⎥ 1⎦⎡ 1 0 0 0 ⎢ 0 ⎢1 0 0 ⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢0 ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎥ 0 - ⎥4 ⎦⎥⎡6 00 ⎢ ⎢06 0 ⎢6 0 6 ⎢⎣0 3 0B = - * -1 ⎢ ( 1 0 1 0 0 0 6 0 0) ⎝ ⎭⎝ ⎩⎪ ⎪ 由 A *= An -1，其中n = 4 ， A *= 8，得 A = 2 故⎛ 3 E A * ⎫-1⎪ ⎛ 2E - A * ⎫-1= 3⋅ ⎪= 6 (2E - A * )-1 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 其中⎡1 0 0 0 ⎤ ⎢01 0 0 ⎥ 2E - A *= ， (2E - A ) = 1 0 10 ⎥ , -1 0 1 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ 1 1 ⎥⎣ 03 0-6⎦⎢0 0 - ⎥ ⎣⎢ 2 6 ⎥⎦⎡ 10 0 0 ⎤ ⎡60 0 0 ⎤⎢ ⎥ ⎢⎥所以B = 6 2E - A * - = 6 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢-1 0 1 0 ⎥ ⎢6 0 6 0 ⎥0 3 0 -603 0 -⎣⎦ ⎣1⎦1 2 ⎛ 1 十一【详解】(1)由题意， x + y 是非熟练工人数， x+ y ⎫ 是年终由非熟练工人 6 n n 5 6 n n ⎪ 变成的熟练工人数， 5x 是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列6 n出等式(1)，根据年终非熟练工人人数列出等式(2)得⎧x = 5 x + 2 ⎛ 1 x + y ⎫ (1) ⎧x = 5 x + 1 x + 2 y ⎪ n +1 6 n5 6 n n ⎪ ⎪ n +1 n n n ⎝ ⎭ ⎨ 3 ⎛ 1 ⎫ ⎪ 6 15 5 ⎨1 3⎩⎪ y n +1 = 5 6 x n + y n ⎪ ⎭(2) ⎪ y n +1 = 10 x n + 5 y n⎧x = 9 x+ 2 y⎛ 9 2 ⎫⎪ n +1 10 n 5 n⎛ x n +1 ⎫ 10 5 ⎪ ⎛ x n ⎫ ⇒ ⎨ 1 3 ，即 y ⎪ = 1 3 ⎪ y ⎪ ⎪ y n +1 = x n + y n ⎩ 10 5 可见⎝ n +1 ⎭ ⎪ ⎝ n ⎭ ⎝ 10 5 ⎭ ⎛ 9 2 ⎫ A = 10 5 ⎪. 1 3 ⎪ ⎝ 105 ⎭(2) 把η1 ，η2 作为列向量写成矩阵的形式(η1,η2 )，因为其行列式(η,η) =4-1= 5 ≠ 0 121 1⇒ ⎪ ⎡ 10 0 0 ⎤ ⎢ ⎢ 01 0 0 ⎥ ⎥1 1 λ ⎪ λ ⎪ ⎭= ⎝矩阵为满秩，由矩阵的秩和向量的关系可见η1,η2线性无关. 又 ⎛ 9 2 ⎫ ⎛ - 1 ⎫A η = 105 ⎪ ⎛ 4 ⎫ = ⎛ 4 ⎫ = η, A η = 2 ⎪ = 1 η,11 3 ⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ 12 1 ⎪ 2 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎝ 105 ⎭ ⎝ 2 ⎭由特征值、特征向量的定义，得η1 为A 的属于特征值λ1 = 1的特征向量，η2 为A 的属于特征 值λ = 1特征向量.22(3)因为⎛ 1 ⎫⎛ x n +1 ⎫ = A ⎛ x n ⎫ = A 2 ⎛ x n -1 ⎫ = A n ⎛ x 1 ⎫= A n 2 ⎪ y ⎪ y ⎪ y ⎪ y ⎪1 ⎪⎝ n +1 ⎭ ⎝ n ⎭ ⎝ n -1 ⎭ ⎝ 1 ⎭ ⎪⎝ 2 ⎭因此只要计算 A n即可. 令P = (η,η) =⎛ 4-1⎫ , 12⎪ ⎝ ⎭则由 P -1AP = ⎛λ1⎝⎫, 有 A = P ⎛λ1 2 ⎭ ⎝⎫ P -1 , 2 ⎭于是⎡⎛ 1 ⎫n⎛ 1 ⎫n ⎤⎛λ ⎫n⎛ 4 -1⎫ ⎡1⎤ ⎛ 4 -1⎫-1 1 ⎢4 + 2 ⎪ 4 - 2 ⎪ ⎥ A n = P 1 ⎪ P -1 = ⎪ ⎢ n ⎥ ⎢ ⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎥ ⎝ λ2 ⎭ ⎝1 1 ⎭ ⎢ ⎪ ⎥ ⎝1 1 ⎭5 ⎢ ⎛ 1 ⎫n ⎛ 1 ⎫n ⎥ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦⎢1- ⎪ 1+ 4 ⎪ ⎥其中求逆矩阵的过程为：⎣⎢ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭ ⎥⎦ ⎛ 4 -1 1 0 ⎫ → ⎛ 1 1 0 1 ⎫ 1 1 0 1 ⎪ 4 -1 1 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 1 0 1 ⎫ ⎛0 1 ⎫ ⎛ 4 4 ⎫→ ⎪ → 1 1 ⎪ → 1 0 5 5 ⎪ 0 - 1 1 1 ⎪ 0 1 - 4 1 ⎪ ⎪ 0 1 41 ⎝ 4 4 ⎭ ⎝ 5 5 ⎭ - 5 5 ⎪⎢ ⎛ 4 -1⎫-1⎡ 4 4 ⎤ ⎢ 55 ⎥1 ⎡ 4 4⎤ 所以1 1 ⎪= ⎢ 4 1 ⎥ = 5 ⎢-4 1⎥ ⎝ ⎭ ⎢-⎣ 因此⎥ ⎣ ⎦ 55 ⎥⎦⎛ 1 ⎫ ⎡ ⎛ 1 ⎫n⎤⎛ x ⎫ ⎪ 1 ⎢8 - 3 2 ⎪ ⎥ n +1 ⎪ = A n 2 ⎪ = ⎢ ⎝ ⎭ ⎥ ⎝ y n +1 ⎭ 1 ⎪ 10 ⎢⎛ 1 ⎫n ⎥⎪ ⎢2 + 3 ⎪ ⎥ ⎝ 2 ⎭ ⎢⎣ ⎝ 2 ⎭ ⎥⎦十二【分析】此分布为一典型分布——几何分布.【详解】显然 X 是一个离散型随机变量. 取值范围为 1，2，3，……现在关键在于建立 X 的分布律. 生产线上每个产品的生产可理解为一个试验. 各个产品合格与否是相互独立的，可以看成是各次试验是相互独立的.生产了个产品停机，应该理解为第 X 个产品是不合格产品，而前 X -1个产品则必为合格产品，这就不难写出分布律.记 q = 1- p , X 的概率分布为 P {X = k } = q k -1p , (k = 1, 2 ) . 由离散型随机变量的数学期望定义得， X 的数学期望为E ( X ) = ∑ kP {X = k } = ∑ kqk -1p = p ∑∞(q k)' = p ⎛ ∑∞ q k ⎫' = p ⎛ q ⎫' =1k =1k =1k =1⎪ k =1 1- q ⎪ p ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因为∞∞⎡ ⎛ ∞ ⎫' ⎤' ⎡ q ⎤' 2 - p E (X 2 ) = ∑k 2 P {X = k }= ∑k 2q k -1 p = p ⎢q ∑q k ⎪ ⎥ = p ⎢ ⎥ =k =1 k =1 ⎢ ⎝ k =1 ⎭ ⎥ ⎢⎣(1- q )2 ⎦⎥ p 2⎣ ⎦(因为幂级数在其收敛区间内可逐项求导的性质，上面求 E ( X ) 和E (X 2) 时都用到了先求导化为易求和的级数，再积分还原的过程.)故 X 的方差为D ( X ) =E ( X 2) - [E ( X )]2=2 - p - 1= 1- pp 2 p 2p 2十三【概念】最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于 构造似然函数. 似然函数的定义：设 x 1, x 2 ,..., x n 是相应于样本 X 1, X 2 ,..., X n 的一组观测值，则似然函数为：L (θ) =f (x 1 , x 2 , , x n ;θ) = ∏ f (x i ;θ) = i =1f (x 1;θ) f (x 2 ;θ) f (x n ;θ)【详解】似然函数为n ∞∞⎧ - n n L (θ) = L (x , x ,⋅⋅⋅, x ,θ) = f (x ;θ) = ⎪2ne 2∑(x i -θ) i =1, x ≥ θ(i = 1, 2, , n )1 2 n ∏ ii =1⎨ ⎪⎩0,其他当 x i ≥θ(i = 1, 2, , n )时， L (θ) > 0,所以ln L (θ) = n ln 2 - 2∑ (x i-θ).i =1(由于l n L 是单调递增函数， L 取最大与l n L 取最大取到的θ是一致的，而加对数后能把连乘转换成累加，这样求导，找极值比较方便)而d ln L (θ) = 2n > 0,d θ所以 L (θ) 单调增加. 要使得 L (θ) 值最大，θ是越大越好.又由于θ必须满足 x i ≥θ(i = 1, 2, , n )，因此当θ取 x 1 , x 2 ,⋅⋅⋅, x n 中的最小值时，x i ≥θ(i = 1, 2, , n )恒成立，且此时 L (θ) 取最大值，所以θ的最大似然估计值为θ = min(x 1, x 2 ,⋅⋅⋅, x n )n。

每年的题目基本上都是15题，每题十分，总150分。

祝你们考研成功！！！上海大学2000年度研究生入学考试试题数学分析 1、 设122(1)n n x x nx y n n +++=+，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2n n ay →∞=；（2）当a =+∞时，lim n n y →∞=+∞.2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]0,1min ()1f x =-证明：[]0,1max ()8f x ''≥3、 证明：黎曼函数[]1, x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ⎧>⎪=⎨⎪⎩当为互质整数在上可积当x 为无理数.4、 证明：12210()lim (0),t tf x dx f t x π+-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续.5、 设()1ln 11n n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，讨论级数2n n a +∞=∑的收敛性.6、 设()f x dx +∞⎰收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：01lim ()()h n h f nh f x dx ++∞+∞→==∑⎰.7、 计算曲面2222x y z a ++=包含在曲面22221(0)x y b a a b+=<≤内的那部分的面积.8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数1sin k kk +∞=∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题数学分析1、 计算下列极限、导数和积分:(1) 计算极限1lim ();xx x +→ (2) 计算2()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ',其中()f x 2,(1).1,(1)t t t t ≤⎧=⎨+>⎩(3) 已知)211sin x x'⎤=⎥+⎦,求积分2011sin I dx x π=+⎰.(4) 计算()()22222()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达式).2、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，若()()0f a f b >且()02a bf +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=. 3、 令(),1y F x y y xe =+-(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤<∈->∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2)、证明:对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭中存在唯一的解()y x . (3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性(1)、函数2()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对210ε-=,试确定0δ>,使得当1201x x ≤<≤,且12x x δ-<时有3321210x x --<.(2)、设[]2231(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x+=∈=+证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的,但不是一致收敛的.5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydxI x y π-=+⎰其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.(2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若<a>()(),,0,0p qx y y x∂∂=≠∂∂ <b>()0,L pdy qdx c +=≠⎰其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x tt y t π=⎧≤≤⎨=⎩证明：存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠，使得()()2222,,,22F c y F c xp x y q x y x x y y x y ππ∂∂=+=-∂+∂+.上海大学2002年度研究生入学考试题数学分析1、 求α和β使得当x →+∞等价于无穷小量x βα.2、 求椭圆2221Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中20,0,,,A AC B A B C >->均为常数.3、 试给出三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2x ,并说明理论依据。