2004考研数学二真题及答案解析

2004 年考研数学（三）真题<br>一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）<br>(1)<br>若<br>lim<br>x0<br>sin ex<br>x a<br>(cos x<br>b)<br>5 ，则 a =______，b =______.<br>2f<br>(2) 设函数f(u, v)由关系式f[xg(y) ,y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0，则 u v<br>.<br>xex 2 , 1 x 1<br>(3) 设 f (x)<br>2 1 ,x 1<br>2<br>2 ，则 2 f(x 1)dx 1 2<br>.<br>(4) 二次型 f (x , x , x ) (x x )2 (x x )2 (x x )2 的秩为 .<br>123<br>1<br>2<br>2<br>3<br>3<br>1<br>(5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{ X<br>DX } _______.<br>(6) 设总体 X 服从正态分布 N (μ ,σ2 ), 总体Y 服从正态分布 N (μ ,σ 2 ), X , X , X<br>Y ,Y , Y<br>1<br>2<br>12<br>n1 和 1 2<br>n2<br>分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则<br>n1 (X<br>2<br>X)<br>n2 (Y<br>2<br>Y)<br>i<br>j<br>E i1<br>j1<br>nn2<br>.<br>12<br>二、选择题（本题共 6 小题，每小题4 分，满分24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内）<br>(7) 函数 f (x)<br>| x | sin(x x(x 1)(x<br>2) 2)2 在下列哪个区间内有界.<br>(A) ( 1, 0).<br>(B) (0 , 1).<br>(C) (1 , 2).<br>(D) (2 , 3).<br>[]<br>(8) 设f(x)在( ,+ )内有定义，且 lim f(x) a ， g(x)<br>f(1 ),x x<br>0<br>，则<br>x<br>0, 0<br>x<br>(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.<br>(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.<br>(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.<br>(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关.<br>[]<br>(9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则<br>(A) x = 0 是f(x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f(x)的拐点.<br>(B) x = 0 不是f(x)的极值点，但(0 ,0)是曲线 y = f(x)的拐点.<br>(C) x = 0 是f(x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f(x)的拐点.<br>(D) x = 0 不是f(x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f(x)的拐点.<br>[]<br>(10) 设有下列命题：<br>(1) 若 (u2n 1<br>n1<br>u 2n) 收敛，则<br>n<br>1u n 收敛.<br><br>

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 设2(1)()lim 1

n n x

f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.

(2) 设函数()y x 由参数方程 33

31

31

x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围

为.

(3)

1

2

1

dx x x +∞

=

-⎰.

(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z

x y

∂∂+=∂∂.

(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足1

6

5

x y

==的特解为.

(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *

为A 的伴随矩阵, E

是单位矩阵, 则B =.

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +

→时的无穷小量2

cos x

t dt α=

⎰, 20

tan x t dt β=⎰

, 30

sin x t dt γ=⎰

排列起来,

使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )

(A),,.αβγ (B),,.αγβ

(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )

(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在0x =处连续，则（） (A)12

ab =

(B)1

2

ab =-

(C)0ab = (D)2ab =

【答案】A

【解析】001112lim lim ,()2x x x

f x ax ax a

++

→→-==在0x =处连续11

.22

b ab a ∴

=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（） 【答案】B

【解析】

()f x 为偶函数时满足题设条件，此时0

1

1

()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.

取2

()21f x x =-满足条件，则()1

1

21

1

2

()2103

f x dx x dx --=-=-

<⎰⎰

，选B. （3）设数列{}n x 收敛，则（）

()A 当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=()B

当lim(0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=

()C 当2lim()0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

【答案】D

【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为.

(2)已知 f (e x) xe x,且f(1) 0,则f(x)=.

(3)设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy 2ydx的值为.

(4)欧拉方程x2嗅4xdy 2y 0(x 0)的通解为^

dx2dx -------------

2 1 0

(5)设矩阵A 1 2 0,矩阵B满足ABA* 2BA* E ,其中A*为A的伴随矩阵，E 0 0 1

是单位矩阵，则|B =.

(6)设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{ X JDX} =.

二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

x o x2- ■ x

(7)把x 0时的无力小重cost出，tandtdt, sin t dt ,使排在后面的

0 0 0

是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A),,

(C),,

(8)设函数f (x)连续，且f⑼0,则存在

(A)他)在(0,)内单调增加

(C)对任意的x (0,)有f(x) f(0) (B),,

(D),,

0,使得

(B)“刈在(，0)内单调减少

(D)对任意的x ( ,0)有f(x) f(0)

(9)设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是 n 1 (A)若 lim

na n =0, 则级数 a n 收敛

n

d

n 1

(B)若存在非零常数，使得lim na n

一、填空题

(1)【答案】 y =x −1

【详解】方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k 1 − =1，所以与其垂直的直线的斜率k 2 满足

121k k =-，所以21k -=-，即21k =，

曲线l n y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即

11

)(ln ==

'='x

x y ，得1x =，把1x =代入l n y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即1

-=x y 方法2：本题也可先设切点为)l n ,(00x x ，曲线l n y x =过此切点的导数为11

==

'

=x y x x ，得10=x ，所以切点为()00(,ln )1,0x x =，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y .

(2)【答案】

2)(ln 2

1

x 【详解】先求出)(x f '的表达式，再积分即可.方法1：令t e x

=，则t x l n =，1x

e

t -=，于是有t t t f ln )(='，即.ln )(x

x x f ='两边积分得2ln 1()ln ln (ln )2

x

f x dx xd x x C x ===+⎰⎰.利用初始条件(1)0f =,代入上式：2

1(1)(ln1)02

f C C =+==，即0C =，故所

求函数为()f x =2)(ln 2

1

x .方法2：由l n x

x e =，所以x

x x e

e f -=')(l n ln x

x x

x e e e

e

-=⋅=，所以.ln )(x x x f ='下同.(3)【答案】

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为.

(2)已知 f (e x) xe x,且f(1) 0,则f(x)=.

(3)设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy 2ydx的值为.

(4)欧拉方程x2嗅4xdy 2y 0(x 0)的通解为^

dx2dx -------------

2 1 0

(5)设矩阵A 1 2 0,矩阵B满足ABA* 2BA* E ,其中A*为A的伴随矩阵，E 0 0 1

是单位矩阵，则|B =.

(6)设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{ X JDX} =.

二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

x o x2- ■ x

(7)把x 0时的无力小重cost出，tandtdt, sin t dt ,使排在后面的

0 0 0

是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A),,

(C),,

(8)设函数f (x)连续，且f⑼0,则存在

(A)他)在(0,)内单调增加

(C)对任意的x (0,)有f(x) f(0) (B),,

(D),,

0,使得

(B)“刈在(，0)内单调减少

(D)对任意的x ( ,0)有f(x) f(0)

(9)设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是 n 1 (A)若 lim

na n =0, 则级数 a n 收敛

n

d

n 1

(B)若存在非零常数，使得lim na n

2004 年考研数学（三）真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(1)若limx0sin exx a(cos xb)5 ，则 a =______，b =______.2f(2) 设函数f(u, v)由关系式f[xg(y) ,y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0，则 u v.xex 2 , 1 x 1(3) 设 f (x)2 1 ,x 122 ，则 2 f(x 1)dx 1 2.(4) 二次型 f (x , x , x ) (x x )2 (x x )2 (x x )2 的秩为 .123122331(5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{ XDX } _______.(6) 设总体 X 服从正态分布 N (μ ,σ2 ), 总体Y 服从正态分布 N (μ ,σ 2 ), X , X , XY ,Y , Y1212n1 和 1 2n2分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则n1 (X2X)n2 (Y2Y)ijE i1j1nn2.12二、选择题（本题共 6 小题，每小题4 分，满分24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 f (x)| x | sin(x x(x 1)(x2) 2)2 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1, 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[](8) 设f(x)在( ,+ )内有定义，且 lim f(x) a ， g(x)f(1 ),x x0，则x0, 0x(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关.[](9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是f(x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f(x)的拐点.(B) x = 0 不是f(x)的极值点，但(0 ,0)是曲线 y = f(x)的拐点.(C) x = 0 是f(x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f(x)的拐点.(D) x = 0 不是f(x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f(x)的拐点.[](10) 设有下列命题：(1) 若 (u2n 1n1u 2n) 收敛，则n1u n 收敛.

2004年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则a =______，b =______.

(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ? 0，则2f

u v ∂=

∂∂.

(3) 设⎪⎩

⎪⎨⎧≥

-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.

(4) 二次型2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .

(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.

(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2

2σμN ,1,,21n X X X 和 2

,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则

12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤

-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑∑.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2

)

2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (?1 , 0).

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .

(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.

(4)欧拉方程)0(0242

22

>=++x y dx dy

x dx

y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .

(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

⎰⎰⎰===03002

sin ,tan ,cos 2

γβα,使排在后面的

是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >

2004年全国硕士研究生入学考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .

(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.

(4)欧拉方程)0(0242

22

>=++x y dx dy

x dx

y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .

(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

⎰⎰⎰===03002

sin ,tan ,cos 2

γβα,使排在后面的

是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .

(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.

(4)欧拉方程)0(0242

22

>=++x y dx dy

x dx

y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .

(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

⎰⎰⎰===03002

sin ,tan ,cos 2

γβα,使排在后面的

是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >

2004年数学（四）试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x ，则a =_______，b =________.

(2) 设1ln arctan 22+-=x x

x

e e e y ，则==1x dx dy

.

(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21

2(1)f x dx -=⎰.

(4) 设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=10000

1010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则 =-220042A B ___________．

(5) 设()33⨯=ij a A 是实正交矩阵，且111=a ，T

b )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是 ___________． (6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _________

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

(7) 函数2

)2)(1()

2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).

(C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，

⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .

(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.

(4)欧拉方程)0(0242

22

>=++x y dx dy

x dx

y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .

(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

⎰⎰⎰===03002

sin ,tan ,cos 2

γβα,使排在后面的

是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >