正方形性质与判定专项练习
1在正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E
落在直线．．BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
2、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
3、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 .
4探究：如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是边AD 、BC 、CD 上的点，BG ⊥EF ，垂足为H ．求证：EF =BG ．
应用：如图②，将正方形ABCD 翻折，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为EF ． 若AE =2，BF =6，则C B '= ．
5在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H (点H 与点D 不重合)．通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于E ，延长EG 交CD 于F ．
【感知】如图①，当点H 与点C 重合时，可得FG FD =．
【探究】如图②，当点H 为边CD 上任意一点时，猜想FG 与FD 的数量关系，并说明
理由．（4分）
【应用】在图②中，当5AB =，3BE =时，利用探究的结论，求FG 的长．（3分）
图① 图②
A
B C
D E 图① 图②
G A D F B E C （H ） D G A
F H
C B E
6如图1：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= .可以用一句话概括：
正方形的性质和判定
一、基础知识
（一）正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形。 （二）正方形的性质
1.正方形四个角都是900
，四条边相等；
2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 （三）正方形的判定
1.一组邻边相等的矩形是正方形；
2.有一个角是直角的菱形是正方形；
3.对角线互相垂直的矩形是正方形；
4.对角线相等的菱形是正方形。
二、例题讲解
考点一：正方形的性质
例1：（2011天津，5，3分）如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为（ ）
练习1：例4．如图：正方形ABCD ，AE+CF=EF ，求证：︒=∠45EDF
A E
B F
C D
例2：如图,在等腰直角△ABC 中，BC AC =，D 、E 为底边AB 的三等分点，过D 和E 作AB 的垂线，分别
交AC 于G 、交BC 于F ．求证：四边形DEFG 为正方形．
练习1：已知：如图，△ABC 为等边三角形，且2=AB ，四边形DEFG 为正方形，且D 、G 分别在AB 、AC 上，E 、F 在BC 上，求正方形DEFG 的面积．
考点二：正方形中常见的全等
例1：如图，在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，
垂足分别为E 、F 两点．求证：△ADF ≌△BAE ．
练习1：如图：在正方形ABCD 中，CF=CE ，求证：DF BG ⊥ A
A
C
F
D
G E
B
D
A
C
E
F
M
F
E
B
D A
专题5.3 正方形的性质与判定【十大题型】
【浙教版】
【题型1 正方形的性质（求角的度数）】 (1)
【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】 (3)
【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】 (4)
【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】 (6)
【题型5 判定正方形成立的条件】 (10)
【题型6 正方形判定的证明】 (12)
【题型7 正方形的判定与性质综合】 (16)
【题型8 探究正方形中的最值问题】 (19)
【题型9 正方形在坐标系中的运用】 (20)
【题型10 正方形中的多结论问题】 (23)
【题型1 正方形的性质（求角的度数）】
【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，求：（1）∠BAE的大小
（2）∠AED的大小．
【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．
【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．
（1）求证：DE＝EF；
（2）求∠DEF的度数．
【变式1-3】（2022春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（）
第三讲正方形的性质与判定、知识要点
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
1 边的性质：对边平行，四条边都相等．
2 角的性质：四个角都是直角．
3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，? 每条对角线平分一组
对角．
4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
3．正方形的判定
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形, 正方形是一种特殊的矩形
3：四边相等, 有一个角是直角的四边形是正方形
4：一组邻边相等的矩形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
典型例题
例 1 如图12-2-14 ，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥ BC于E，作PF⊥
CD于F．试说明AP＝EF．
分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．
解：连结AC、PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴ BD垂直平分AC，
∴ AP＝CP．
∵ PE⊥BC，PF⊥CD，∠ BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴ PC＝EF，
∴ AP＝EF．
注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．
②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．
思考：由上述条件是否可以得到AP⊥ EF．
提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠ NPE＝∠ BAN．
正方形（1）
练一练：
1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠
DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62
3、下面的命题是真命题的有。
A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形；
C、正方形是一组邻边相等的矩形；
D、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练
例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD
的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF. (1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
例2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.
例3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.
用中学
1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD
= 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。
1，则其对角线长是________.
3.正方形的面积是
正方形性质与判定练习题
例1、在正方形ABCD中，以AB为边向外作等腰三角形ABE，连接CE，交BD于F，若BE=2，则CF=______.
变式：如图，正方形ABCD中，以AB为边向外作等腰三角形ABE，交CE于F，若BE=2，则.
例2、如图，ABCD为正方形，E为AB边上一点，连接CE，交BD于F，若BE=2，则CF=______.
例3、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，CE=CF.求证：AE=AF.
用中学
1、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE 为边向外作等腰三角形AEF，交CD于G，若AE=2，则
CG=______.
2、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE 为边向外作等腰三角形AEF，交CD于G，若AE=2，则.
3、如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，以AE 为边向外作等腰三角形AEF，交CD于G，若AE=2，则
△AEG的周长为______.
CD=DA。
3.已知RtABC中，CD平分∠ACB，交AB于D，DF//BC，DE//AC，∠C=90°，要证明四边形DECF为正方形。
首先，连接CE，CF。因为CD平分∠ACB，所以
∠DCF=∠ACF，又因为DF//BC，所以∠DCF=∠C，因此
∠ACF=∠C。同理可得∠XXX∠C。因为∠C=90°，所以
∠ACF+∠XXX°，即∠AEC=90°，所以四边形DECF的两条
对角线互相垂直。又因为DE//AC，CF//AB，所以∠DEC=∠A，∠XXX∠B，又因为∠A+∠B=90°，所以∠DEC+∠CFE=90°，即四边形DECF的四个内角都是直角，因此四边形DECF为
正方形第一课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。
2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。
合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义：
2、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质：边
角
对角线
对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质：
【探究三】正方形的周长与面积
边讲边练：
①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合
1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°
2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.
3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：
（1）∠E=°；(2) ∠AFC=°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶ 2.
其中正确的有（）
A．5个个个个
4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.
5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合
1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ）
° ° ° °
2. 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．
正方形专题训练（含答案)
一．选择题（共11小题）
1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，）,则点C的坐标为（）
2．）如图，点
E在正方形
ABCD的对角
线AC上，且
EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(）
A．a2B．a2C．a2D．a2
3．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF 的度数是（）
A．45°B．50°C．60°D．不确定4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C ．对角线相等D．对角线互相垂直且相等5．正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是（)
6．
（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°
7．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法，其中错误的是（）
A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（）
F
E D C
B
A
A 5
A 4
A 3A 2
A 1
正方形的性质与判定
一．知识要点：
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
二．例题讲解
1. 正方形的性质
【铺垫】正方形有 条对称轴．
【例1】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，
，则BE 的长为 【例2】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n
A A A ，
，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
【例3】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.
正
方形
菱形
矩形平行四边形E D
C B
A
F
E P D C B
A
P
D
C
B
A G C F E D B
A B D C
A E
F 【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角
一．选择题（共11小题） 1．（2014•南充）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点C 的坐标为（ ）
，，
2．（2014•山西）如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）
a 2
a 2
a 2
．
a 2
3．（2014•台州）如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，
连接BE ，FE ，则∠EBF 的度数是（ ）
4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）
46．（2014•福州）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE
相交于点F ，则∠BFC 为（ ）
7．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四
9．（2014•株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③
AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正
10．（2014•
红桥区三模）如图，在正方形ABCD 中，CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 等于（ ）
11．（2014
•四会市一模）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=5，则以AC 为边长的正方形ACEF 的面积为（ ）
正方形
正方形的性质
1)边
2）角
3）对角线
4）对称性
正方形的判定方法：（1）
（2）
（3） 性质练习：
1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62
3、下面的命题是真命题的有 。
A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
B 、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。
C 、正方形是一组邻边相等的矩形。
D 、正方形是有一个角为直角的菱形。
4、（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE ，则BM 的长为 。
（第4题） （ 第6题）
5.正方形的面积是3
1，则其对角线长是________. 6.E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.
7、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=CA,连接AE 交CD 于F ，求AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF .
(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.
判定练习： 1．不能判定四边形是正方形的是（ ）
正方形的性质与判定经典例题练习
1. 正方形的定义
正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：
- 所有边长相等
- 所有角都是90度
- 对角线相等且垂直
2. 正方形的性质
2.1. 边长和角度关系
假设正方形的边长为a，根据正方形的定义，可以得到以下关系：
- 正方形的周长为4a
- 正方形的面积为a^2
- 正方形的任意一个内角为90度
- 正方形的任意一个外角为270度
2.2. 对角线关系
对角线是指连接正方形两个非相邻顶点的线段，根据正方形的定义，可以得到以下关系：
- 正方形的对角线长度为a√2
- 正方形的两条对角线相等
- 正方形的两条对角线相交于90度角
3. 正方形的判定方法
在判定一个四边形是否为正方形时，可以使用以下方法：
3.1. 边长相等
如果一个四边形的四条边长都相等，则可以判定为正方形。
3.2. 内角为90度
如果一个四边形的任意一个内角都为90度，则可以判定为正方形。
3.3. 对角线相等且垂直
如果一个四边形的对角线相等且垂直，则可以判定为正方形。
4. 经典例题练
4.1. 例题一
已知一个四边形的边长都为5cm，可以判断它是否为正方形吗？
4.2. 例题二
已知一个四边形的内角都为90度，可以判断它是否为正方形吗？
4.3. 例题三
已知一个四边形的对角线相等且垂直，可以判断它是否为正方
形吗？
以上的例题将帮助读者巩固对正方形性质和判定方法的理解，并提供实际应用的训练。
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希望这份文档能帮助你了解正方形的性质和判定方法，并通过经典例题练习加深对该主题的理解。如果有任何问题，请随时向我提问！
正方形第一课时
一、自主学习
●目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。
2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力.
●合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义:
２、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质:边
角
对角线
对称性2、用几何语言叙述正方形的性质:
【探究三】正方形的周长与面积
边讲边练:
①正方形与等腰三角形(等边三角形）结合
１。如图，E是正方形ABＣD的对角线BＤ上一点,且BE＝BC，则∠ACＥ＝°
2。如图,四边形ABCＤ是正方形,延长CD到E,使CE=CB,则∠ＤBE＝°。3。如图，正方形ABCD中,点E在ＢＣ的延长线上,AE平分∠DＡC，则下列结论：
（1）∠Ｅ＝2２。5°；(2) ∠ＡFC＝112。５°; （3)∠ＡCE=135°；（４)ＡＣ=CＥ；（5) A
Ｄ∶CE＝1∶２。
其中正确的有( )
A．5个B。4个Ｃ。3个Ｄ.2个ﻩ4．如图，等边△EDC在正方形ABＣD内,连结EA、EB，则∠AEＢ＝°;∠ＡCE= °。
5。已知正方形ABCD,以ＣＤ为边作等边△CＤＥ，则∠AＥD的度数是°。
②正方形与旋转结合
1。如图１，四边形ABＣD是正方形,E是边ＣＤ上一点，若△ＡＦB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为()
A。90°B。６0°Ｃ。45°D。30°2。已知正方形ABCＤ中，点E在边ＤＣ上,ＤE= 2,EＣ＝1(如图2所示）把线段ＡE 绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处,则F、Ｃ两点的距离为____＿_＿_＿__。
3．如图3，在正方形ＡBCＤ中,点Ｅ，Ｆ分别为DC，ＢC边上的点,且满足∠EAF=4５°,连接EF，求证：ＤE+BF＝EF.
正方形的性质与判定综合练习题
一、判断题（每题4分，共20分）
1. 正方形的边长相等。
2. 正方形的对角线长相等。
3. 正方形的对边平行。
4. 正方形的内角都是直角。
5. 正方形的内角和等于360°。
二、选择题（每题4分，共20分）
1. 设一个正方形的边长为a，则其对角线的长度为：
A. a
B. a/2
C. a√2
D. a²
2. 若一个四边形的内角和为360°，则它一定是一个：
A. 正方形
B. 长方形
C. 钝角四边形
D. 平行四边形
3. 下列说法中正确的是：
A. 所有正方形都是长方形
B. 所有长方形都是正方形
C. 正方形和长方形没有交集
D. 正方形和长方形都是平行四边形
4. 若一个四边形的内角都是直角，且对边相等，则它一定是一个：
A. 正方形
B. 长方形
C. 菱形
D. 三角形
5. 如果一个几何图形的边长均相等，对角线长度也相等，且相邻边垂直，则它一定是一个：
A. 正方形
B. 长方形
C. 菱形
D. 梯形
三、计算题（每题10分，共30分）
1. 已知一个正方形的对角线长为10cm，求其边长。
2. 一个正方形的内角和为240°，求其边长。
3. 一个四边形的内角分别是120°、90°、90°和x°，求x的值。
四、解答题（每题20分，共30分）
1. 证明：正方形的对边平行。
2. 解答：一个四边形的内角分别是90°、60°、90°和90°，它是什么类型的四边形？
3. 解答：一个几何图形的边长均为6cm，它的对角线长度为6√2 cm，它是什么类型的图形？
以上是关于正方形的性质与判定的综合练习题，请同学们认真思考并回答。
