椭圆双曲线抛物线的参数方程课件

例3.如图O是直角坐标原点, A, B是抛物线 y 2 px( p 0)上异于顶点的两动点,且
2
OA OB, OM AB并于AB相交于点M， 求点M的轨迹方程。
y o
A M
x
B
解 : 根据条件, 设点M , A, B的坐标分别为( x , y ),
2 (2 pt12 , 2 pt1 ),(2 pt 2 , 2 pt 2 )( t1 t 2 , 且t1 t 2 0) 2 则 OM ( x , y ), OA (2 pt12 , 2 pt1 ), OB (2 pt 2 , 2 pt 2 )
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
2 2 px( t 2 t12 ) 2 py( t 2 t1 ) 0




所以x( t1 t 2 ) y 0, y 即t1 t 2 ( x 0)................................(9) x 因为 AM ( x 2 pt12 , y 2 pt1 ),
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
AB (2 p( t t ), 2 p( t 2 t1 ))
2 2 2 1

因为 OA OB , 所以 OA OB 0, 即 (2 pt1t 2 )2 (2 p)2 t1t 2 0, 所以t1t 2 1...........(8)




因为 OM AB, 所以 OM OB 0, 即
说明：设出参数能大大 简化运算。
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
2 MB (2 pt 2 x , 2 pt 2 y )且A, M , B三点共线，
2 所以( x 2 pt12 )(2 pt 2 y ) (2 pt 2 x )( y 2 pt1 )
化简，得y( t1 t 2 ) 2 pt1 t 2 x 0...............(10) 将(8),(9)代入(10), 得到 y y( ) 2 p x 0 x 2 2 即x y 2 px 0( x 0) 这就是点M的轨迹方程
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2

y 100
2
1
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： 设P( 8 8y 2 , y),
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
| 2 2 cos sin 4 | 2
2 sin( ) 4
所以当 =

4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
Hale Waihona Puke Baidu
抛物线的参数方程
y
M(x,y)

o
(
x

, ) 2 2
设抛物线的普通方程为 y 2 2 px ...........(5) 因为点M 在的终边上，根据三角函数的 y 定义可得 tan ..................................(6) x 2p x tan 2 由(5),(6)解出x , y，得到 ( 为参数） y 2p tan 这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
(

, ) 2 2
1 如果令t , t ( , 0) (0, ), 则有 tan x 2 pt 2 ( t为参数 ) y 2 pt 当t 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线 的顶点(0, 0)因此当t ( , )时，参数方程就表 示抛物线。参数t 表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) S ABC 面积一定, 需求 S ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 x 1 (2) (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2


把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
• 圆的参数方程 x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos y r sin
x a r cos y b r sin
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d
P
l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析 3：平移直线 小结： 借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。