一轮复习----三角函数的图象与性质课件2

2
故 D 错误.
6.(多选题)(人教A版必修第一册5.4.1节练习第4题)函数y=1+cos

x,x∈(3
,2π)
的图象与直线y=t(t为常数)的交点可能有(ABC)
A.0个
B.1个
解析 画出函数y=1+cos
C.2个

x(x∈( 3
点可能为0个或1个或2个.
D.3个
,2π))的图象,由图象可知,其与直线y=t的交
(2)函数 f(x)=sin x+√3cos
2
解析
因为
3

1
x-4(x∈[0,2 ])的最大值是__________.
3
1
√3 2
2
依题意,f(x)=sin x+√3cos x- =-cos x+√3cos x+ =-(cos x- ) +1,
4
4
2
π
√3
x∈[0,2],所以 cos x∈[0,1],因此当 cos x= 2 时,f(x)max=1.
考向 1 三角函数的定义域

例 1(1)(2024·福建泉州模拟)函数 y=2tan(3x+6 )的定义域是( D )


A.{x|x≠2 +kπ,k∈Z} B.{x|x≠12 +kπ,k∈Z}

k

k
C.{x|x≠6 + 3 ,k∈Z} D.{x|x≠ 9 + 3 ,k∈Z|
π
3x+6
π
≠kπ+2,解得

f(x)=sin(ωx-6 )(1<ω<2),若存在 x1,x2∈R,

三角函数的单调性与周期性
例 2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tan x|.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减 区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期：T＝π.
探究提高
(1)求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) (其中 A≠0，ω>0) 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等 式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与 y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
三角函数的图像和性质
考纲下载 理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像；会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋ φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义． 了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单 三角函数的周期，了解三角函数的奇偶性、单调性、对 称性，并会运用这些性质解决问题
三角函数的对称性与奇偶性
例 3 (1)已知 f(x)＝sin x＋ 3cos x(x∈R)，函数 y＝f(x＋φ) |φ|≤π2的图象关于直线 x＝0 对称，则 φ 的值为________． (2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点43π，0中心对称， 那么|φ|的最小值为________．
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y＝sinx在[0, 2π]上的图象形状时,

思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y πx π ＝2sin 6 －3 (0≤x≤9)的最大 值与最小值之和为 A．2－ 3 C．－1 B．0 D． －1－ 3 ( A )
题型分类
思想方法
练出高基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×
解析
C
B
B
π π {x|－3≤x<－2或 0<x<2}
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 求三角函数的定义域和最值
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1】 (1)(2012· 山东)函数 y πx π ＝2sin 6 －3 (0≤x≤9)的最大 值与最小值之和为 A．2－ 3 C．－1 B．0 D． －1－ 3 ( )
(1) 利用三角函数的性质先 求出函数的最值．
∵0≤x≤9， π π π 7π ∴－3≤6x－3≤ 6 ，
奇函数 奇函数 kπ ( ，0)(k∈Z) 2
时，ymin＝－1 奇偶性 对称 中心
(kπ，0)(k∈Z)
π (2＋kπ，0) (k∈Z)
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
对称轴 方程 周期
π x＝ ＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 2
2π
2π
π
基础知识
k∈Z} ． ______

标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12

由于 f(x)＝tan 2x－π4的最小正周期为π2，故排除 D.故选 C.
答案：C
2.(考向 2)若函数 f(x)＝sin ωx＋4π(ω>0)在π2，π上单调递增， 则 ω 的取值范围是( )
A.12，54
B.12，34
C.0，
1 4
D.(0，2]
解析：∵函数 f(x)＝sin ωx＋π4(ω>0)在π2，π上单调递增， 则 ω·π2＋π4≥－π2＋2kπ，且 ω·π＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 求得 4k－32≤ω≤2k＋14，取 k＝0，得－32≤ω≤14. ∵ω>0，∴可得 ω 的取值范围为0，41.故选 C. 答案：C
考点一 三角函数的定义域
1.(2023 年金牛区校级月考)函数 y＝tan2x－π4的定义域为
()
A.xx≠kπ＋π2，
k∈Z
B.xx≠k2π＋ 83π，k∈Z
C.xx≠2kπ＋π2，
k∈Z
D.xx≠2kπ＋38π，
k∈Z
解析：由题意，得 2x－π4≠kπ＋π2，k∈Z，解得 x≠k2π＋83π，k∈Z， 故定义域为xx≠k2π＋ 83π，k∈Z.故选 B.
正数；若 A<0，借助导公式 sin α＝－sin (α±π)或 cos α＝－cos (α±π)
将 A 化为正数. (2)根据 y＝sin x 和 y＝cos x 的单调区间列不等式求解.
[例 3]函数 f(x)＝3sin 23π－2x的一个单调递减区间是(
)
A.71π2，1132π
B.1π2，71π2
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x

,所以 ≤


4π
3
4π
C.
3


≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤


[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以


+ ≤ ,

−

+ ≥ ,

解得

+<

,且函数

≤≤

,即



在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π



−


D.4π


中, = ,∴ =


=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2



[解析] 因为 = + − = + = − ,




令 − ≤ ≤ + , ∈




,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,

[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式

三角函数图象的 综合应用
【例3】 2 的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线 的斜率为－2. 如图，函数y＝2cos( x＋ )( x R,0

)
1 求 和的值； 2 已知点A(

2 ，，点P是该函数图象上一点， 0)
3 点Q ( x0，y0 )是线段PA的中点．当y0＝ ， 2 x0 [ ， ]时，求x0的值． 2
3.若动直线x＝a与函数f x ＝sinx和g x ＝ cosx的图象分别交于M 、N 两点，则 MN
2 的最大值为______________
【解析】因为 MN ＝ | sina－cosa | ＝ | 2sin(a－ ) | ， 4 所以 MN 的最大值为 2.

4.把函数f x 2cos( x )的图象向左平移 6 6 个单位，再把所得图象上每一点的纵坐标不 1 变，横坐标变为原来的 ，那么所得到的图象 2 的函数解析式是 y 2cos2x

本题利用点在函数的图象 上，求出θ的值，然后利用图象
的几何意义，求出x0的值．
【变式练习3】 设函数f x ＝sin(2x＋ )(－ 0)， y＝f x 的图象的一条对称轴是直线x＝ . 8 1 求的值；

2 求函数y＝f x 的单调递增区间； 3 证明：直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f x


【解析】将函数y＝sin x 0 的图象沿x轴向左 平移 个单位长度得到y＝sin ( x＋ )， 6 6 即y＝sin( x＋



6
)的图象．
将点( ， 代入y＝sin( x＋ 0) )，得sin( ＋ ) 3 6 3 6 ＝0，所以 ＝2k＋ ( k Z)，＝4k＋2( k Z)． 2 2 由图知T ,即 ，所以 6. 3 3 又 0，所以＝2.故y＝sin(2x＋ ). 3

题型与方法
变式训练 1 已知点
Psin
第一讲
3π 3π 落在角 θ 的终边上，且 ，cos 4 4 ( D ) 5π C. 4 7π D. 4
θ∈[0,2π)，则 θ 的值为 π 3π A. B. 4 4 本
讲 3π π 2 栏 目 解析 ∵sin 4 ＝sin 4＝ 2 ， 开 2 3π π 2 关
答案 A
考点与考题
第一讲
3.(2012· 浙江)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 然后向左平移 1 个单位长度， 再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是
本 讲 栏 目 开 关
(
)
考点与考题
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
解析 利用三角函数的图象与变换求解. 横坐标伸长2倍 y＝cos 2x＋1―――――――→ 纵坐标不变 向左平移1个单位长度 y＝cos x＋1――――――――――→ 向下平移1个单位长度 y＝cos(x＋1)＋1――――――――――→
∴ω＝6n(n∈N*)，
∴当 n＝1 时，ω 取得最小值 6.
考点与考题
第一讲
2.(2011· 天津)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0， π －π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π，且当 x＝ 时，f(x)取 2
本 讲 栏 目 开 关
得最大值，则 A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
2π 由点 M 3 ，－2在函数 f(x)的图象上得， 2π 4π 2× ＋φ＝－2，即 sin ＋φ＝－1. 2sin 3 3

(2)y＝3tanπ6－4x＝－3tan4x－π6， 由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2， 解得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)． ∴函数的单调递减区间为 4kπ－34π，4kπ＋83π(k∈Z)．无增区间．
(3)画图知单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．
2．(2023·洛阳模拟)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－π2，23π上是增函数， 则 ω 的取值范围是_____0_，__34_ ___.
[解析] 依题意可知 f(x)＝cos2 x－sin2x＝cos 2x，对于 A 选项，因为 x ∈－π2，－6π，所以 2x∈－π，－π3，函数 f(x)＝cos 2x 在－π2，－6π上单 调递增,所以 A 选项不正确；对于 B 选项，因为 x∈－π4，1π2，所以 2x∈ －π2，π6,函数 f(x)＝cos 2x 在－π4，1π2上不单调,所以 B 选项不正确；对于 C 选项,因为 x∈0，π3，所以 2x∈0，23π,函数 f(x)＝cos 2x 在0，π3上单 调递减，所以 C 选项正确；对于 D 选项，因为 x∈π4，71π2，所以 2x∈π2，76π， 函数 f(x)＝cos 2x 在π4，71π2上不单调,所以 D 选项不正确,故选 C．
y＝tan x ___R___
单调性
在____－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_ _， 在_[_(_2_k－__1_)_π_，__2_k_π_]_，
k∈Z 上递增；
k∈Z 上递增；
在____π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_ __，
在_[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_]_， k∈Z 上递减

]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解 ：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+

π
A. 2
B.π
(2)函数 f(x)=cos x+2cos
A.π
B.2π
C.4π
1
x
2
D.2π
的一个周期为(
C.3π
)
)
D.4π
(3)(2023新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅
有3个零点,则ω的取值范围是
.
答案 (1)D
(2)D
2
(3)[2,3)
2
π
5π
A.[ +4kπ, +4kπ](k∈Z)
3
3
1
5
B.[3+4k,3+4k](k∈Z)
π
5π
C.[6+4kπ, 6 +4kπ](k∈Z)
1
5
D.[6+4k,6+4k](k∈Z)
)
(2)函数y=tan(
π
4
-2x)的定义域是
答案 (1)B (2) ≠
解析
π
3π
+ ,
2
8
.
∈
π
(1)由题意得,2sin x-1≥0,所以
,则(
A.函数f(x)的周期为π
B.函数f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最大值为2
D.函数 f(x)在区间
答案 AC
π
0,
2
上单调递增
)
解析由三角函数周期得函数 f(x)的周期为
f(0)=2sin
π
3
2π
T= 2 =π,A
正确;
=-√3≠0,B 错误;
由正弦函数性质知 f(x)max=2,C 正确;

思考4：观察函数y=sinx在[0，2π ]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？
思考 5 ：在函数 y=sinx ，x∈[0 ， 2π ] 的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y 1 O -1
3p 2
p 2
π
2π x
思 考 6 ： 当 x∈[2π ， 如何？
y 1
O -1
2
π
2
2π
x
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
2
2
2 2
1 2
O -1
y
2
2
2
2
2
2
x
2
理论迁移
例 1 用“五点法”画出下列函数的 简图： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π ]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π ] .
1.4三角函数的图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
问题提出
p
1 5730 2
t
1.在单位圆中，角α 的正弦线、余弦线 分别是什么？
y
sinα =MP cosα =OM
O M
P （x ，y ）
x
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？

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21
• 第(2)问中平移图象使这个函数为偶函数 是本题考查的重心，试题设计的使解题方
向有选择的余地，一是借助于直观的函数 图象，根据偶函数图象关于y轴对称解决， 二是根据偶函数的定义通过g(x)＝g(－x) 对任意x恒成立，在得到的恒等式中不含x 的部分必须为0，求出m值．试题设计步 步深入，是一道考查三角函数图象与性质 的优秀试题.
(2)先求出 ωx＋φ 在[－2π，0]上的范围，然后根据单调性 求解．
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16
变式迁移 1 用五点作图法画出函数 y＝ 3sin2x＋cos2x的图象．
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17
【例 2】 (1)已知函数 y＝－sin2x＋ 3sinx＋54，求其取得 最大值和最小值时的 x，并说出最大值和最小值是什么；
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12
4．函数 y＝cos(x＋π3)，x∈(0，3π]的值域是________．
解析：∵0<x≤π3，∴π3<x＋π3≤23π， 又 y＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos23π≤cos(x＋π3)<cos3π， 即－12≤y<12.
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13
探 究 热 点
(2)若 x∈[－π3，π4]，求函数 f(x)＝co1s2x＋2tanx＋1 的最值及 相应的 x 值．
• 思路分析： • (1)式可以看做关于 sinx 的二次函数，故可以用配方法解决，需
要注意 sinx 的有界性； • (2)式切化弦后不好处理，结合式子特点，可把 1 换成 sin2x＋
cos2x，统一为关于 tanx 的二次函数求最值，这里要注意 x 有范 围限制，可由其确定 tanx 的取值范围．

＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin2x＋3π，所以 T＝π.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
解：(1)因为 y＝2sin23x＋1， 所以周期 T＝22π＝3π，
3 即 y＝2sin23x＋1的周期为 3π. (2)因为 y＝|cos x|
＝c－oscoxs，x，x∈x∈2kπ2－kππ＋2，π22，kπ2＋kπ2＋π3k2π∈Zk∈；Z，
• 所以作出y＝|cos x|的图象如图，
• 从图中可以看出y＝|cos x|的周期为π.
k∈Z.
所以 2kπ≤x＜2kπ＋2π(k∈Z)． 所以函数 y＝ cos x＋ tan x的定义域是
x2kπ≤x＜2kπ＋π2，
k∈Z.
2sin x－1＞0， (2)由函数式有意义得－tan x－1≥0，
cos2x＋π8≠0，
sin
x＞12，
所以tan x≤－1，
2x＋π8≠kπ＋2π，k∈Z，
解得ab＝＝1122－36－32，3.
②当 a<0 时，fxmax＝2a×－ 23＋b＝1， fxmin＝2a×1＋b＝－5，

D．2sin
2x－π 3
＋1
2、将函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2≤φ＜π2) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，再向右平移π个单位长度可得 6
π
2
y＝sin x 的图象，则 f 6 ＝________． 2
方法总结
在利用图象求三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关 参数时，注意从图中观察振幅、周期，即可求出 A、 ω，然后根据图象过某一特殊点来求 φ，若是利用零 点值来求，则要注意是 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在 单调区间上的关系来确定一个 k 的值，此时要利用数 形结合，否则易步入命题人所设置的陷阱．
三角函数的图像与性质
高考预测
1．高考对三角函数图象的考查主要包括三个方 面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已 知图象求解析式或求解析式中的参数的值，以选 择题或填空题的形式考查．
2．高考对三角函数性质的考查是重点，以解答 题为主，考查y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、单调性 、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结 合进行综合考查，试题难度属中低档．
由 2kπ－π≤2x＋π≤2kπ＋π，k∈Z，
26
2
得 kπ－π≤x≤kπ＋π，k∈Z.
3
6
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－π3，kπ＋π6 ，k∈Z.
(2)因为
x∈
0，π 2
，所以
2x＋π6∈
π，7π 66
，
则－12≤sin
2x＋π 6
≤1.
所以 f(x)在 0，π2 上的取值范围是 －12，1 .
63
[探究 2] 若函数 f(x)的图象向左平移 θ(θ>0)个单

结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
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解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
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题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),

对称中心
对称轴方程
(kπ,0)
______
点睛(1)正、余弦函数的单调性只能说函数在某个区间上具有单调性,而不能说
函数在第几象限上具有单调性;
(2)y=tan x无单调递减区间且y=tan x在整个定义域内不单调;
(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时要注意A和ω的符号,避免出现增减区间的
再结合三角函数的性质求最值.
(2)形如或可化为 f(x)=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数值域问题,可以通过换元转化为二次函
数最值问题.
()+
(3)形如或可化为 y=
()+
,其中 f(x),g(x)为正、
余弦函数,常将已知条件式变形后,利用正、
余弦函数的有界性求解;
(4)形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x±cos x,化为关于 t 的二次
π
π
4
2
因为 f (x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,所以
ω
2kπ
ω
1
5
2kπ 5π
+ ≤x≤
+
π
4ω
5π
ω
+ ,k∈Z,
4ω
1
π
≤ ,
2
+ 4ω ≥ π,
15
解得
因为 k∈Z,ω>0,所以 k=0,所以2≤ω≤4,即 ω 的取值范围为[2,4].
ω ≥ 4k + 2 ,
5
ω ≤ 2k + 4 .
π
【解析】由 1+tan x≠0 知 x≠kπ- .