离散型随机变量的方差2

离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、 期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。

它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。

E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P2、 方差、标准差定义：D ξ=(x 1-E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。

D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。

若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。

二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ）A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。

B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。

C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。

D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。

解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。

（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。

解：含红球个数ξ的E ξ=0×101+1×106+2×103=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。

2.3.2离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念(重点).2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点).3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差(重点).知识点1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p nn 则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1 (x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差.【预习评价】(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(2)离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.知识点2离散型随机变量方差的性质1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).2.D(c)＝0(其中c为常数).【预习评价】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A.2B.3C.4D.5知识点3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差1.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率).2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ). 【预习评价】同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.158B.154C.52D.5题型一 求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数X 的均值和方差.规律方法 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下： a.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). b.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.(4)对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.题型二两点分布与二项分布的方差【例2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差D（ξ）为6 2.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以下的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率.规律方法方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).(2)若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p).(3)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).【训练2】已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E(ξ)，D(ξ)，D（ξ）；(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).题型三均值与方差的综合应用【例3】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.【训练3】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值.课堂达标1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15C.16D.322.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为( ) A.2912B.31144C.179144D.17123.已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X ，则D (X )＝________.4.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.5.某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.课堂小结1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).基础过关1.已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.82.若离散型随机变量X的分布列如下，则X的均值E(X)等于()X 0 1A.2B.2或12C.12D.13.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( ) A.6B.9C.3D.44.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.5.已知某随机变量X 的分布列如下，其中x >0，y >0，随机变量X 的方差D (X )＝12，则x ＋y ＝________.6.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，求随机变量ξ的标准差.7.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，求D (ξ)的值.能力提升8.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( ) A.5B.8C.10D.169.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.x ，s 2＋1002 B.x ＋100，s 2＋1002 C.x ，s 2D.x ＋100，s 210.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________.11.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝3，则D(X)＝________.X 123 4P n 0.20.3m12.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X).13.(选做题)A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：X1＝x i5%10%P(X1＝x i)0.80.2X2＝x i2%8%12%(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B 所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2).(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.。

2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法例1 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX .温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX =（-1）×21+0×(1-2q )+1×q 2=q 2-21； DX =［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q )+［1-(q 2-21)］2×q 2.这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差例2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1.三、方差的应用例3 海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2（单位：s），其分布列如下：根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.温馨提示随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X与其均值的偏差较大，反之，则表明X与其均值的偏差较小.各个击破类题演练1 若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.变式提升1 某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.类题演练2 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值.变式提升2 证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.类题演练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为：计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.变式提升3 现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：甲乙根据以上条件，选派谁去合适？参考答案课堂导学例1 解：由于离散型随机变量的分布列满足(1)p i ≥0，i =1，2，3，...； (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故221(12)1,20121,1.q q q q ⎧+-+=⎪⎪≤-≤⎨⎪≤⎪⎩解得q =1-22. 故X 的分布列为∴EX =(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-) =-2321++（-2）=1-2； DX =［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1.例2 解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ）， 那么σX =)1(100p p DX -=，因为DX =100p (1-p )=100p -100p 2（0≤p ≤1）. 把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p =21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p =21时，成功次数的标准差的最大值为5. 例3 解：∵EX 1=0，EX 2=0， ∴EX 1=EX 2，∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5， DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2， ∴DX 1＜DX 2，由上可知，A 面大钟的质量较好. 各个击破类题演练1 解：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a )+1×2a =2a ∴Dξ=(0-2a )2(1-2a )+(1-2a )22a =(1-2a )2a (2a +1-2a ) =2a (1-2a )=-4［a -41］2+41， 由分布列的性质得0≤1-2a ≤1， 且0≤2a ≤1，∴0≤a ≤21， ∴当a =41时，Dξ最大值为41； 当a =0或21时Dξ的最小值为0.变式提升1 解：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为P （ξ=1）=0.8， ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16； ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中， 故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中， 故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中， 故P （ξ=5）=（1-0.8）4=0.001 6，因此，它的分布列为Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.006 4+5×0.001 6=1.25.Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.006 4+(5-1.25)2×0.001 6=0.31. 类题演练2 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p )+1×p =p ，Dξ=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p -21)2+41， ∵0＜p ＜1，∴当p =21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--， ∵0＜p ＜1，∴2p +p1≥22. 当且仅当2p =p 1，即p =22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.变式提升2 证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p ，P (ξ=1)=p ，Eξ=0×(1-p )+1×p =p ，Dξ=(1-p )·(0-p )2+p (1-p )2= p (1-p )≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41.类题演练3 解：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.Dξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5. Dη=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24. 所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 变式提升3 解：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41；Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。

离散型随机变量的均值与方差介绍在概率论中，随机变量是描述随机实验结果的数学对象。

离散型随机变量是一种取有限或可数个值的随机变量。

本文将探讨离散型随机变量的均值与方差，以及它们在概率论和统计学中的重要性。

一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指其可能取值为有限或可数个的随机变量。

如投掷一枚骰子的结果可以表示为一个离散型随机变量，可能取值为1到6。

离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）进行描述。

二、离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值，也称为期望值，是对随机变量取值的加权平均。

它可以通过对随机变量的每个可能取值乘以相应的概率，然后求和得到。

2.1 期望值的计算公式设离散型随机变量X的取值为x1,x2,...,x n，对应的概率为p1,p2,...,p n，则随机变量X的期望值（均值）为：E(X) = x_1 * p_1 + x_2 * p_2 + ... + x_n * p_n期望值可以理解为随机变量在大量重复试验中的长期平均。

2.2 期望值的性质期望值具有以下性质： - 期望值是线性的，即对于常数a和随机变量X、Y，有E(aX + Y) = aE(X) + E(Y) - 如果X和Y相互独立，那么E(XY) = E(X)E(Y)三、离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差度量了随机变量取值的离散程度，是对随机变量的离散性的一种度量。

3.1 方差的计算公式设随机变量X的期望值为μ，它的方差可以通过以下公式计算：Var(X) = E((X - μ)^2) = (x_1 - μ)^2 * p_1 + (x_2 - μ)^2 * p_2 + ... + (x_n - μ)^2 * p_n方差的计算可以理解为对每个取值与期望值的差的平方再乘以相应的概率，然后进行加权求和。

3.2 方差的性质方差具有以下性质： - 方差是非负的，即Var(X) >= 0 - 方差的平方根称为标准差，标准差是对随机变量取值波动程度的一种度量 - 如果X和Y相互独立，那么Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)四、均值和方差的应用离散型随机变量的均值和方差在概率论和统计学中具有重要的应用。

离散型随机变量方差两个公式
第一个公式是离散型随机变量方差的定义式，即Var(X)=E((X-E(X))^2)，其中
E表示求期望，X表示随机变量，E(X)表示X的期望。

这个公式表示了随机变量每个值与其期望之差的平方的加权平均数，其中权重为每个值对应的概率。

第二个公式是离散型随机变量方差的计算式，即Var(X)=∑(x_i-E(X))^2 p(x_i)，其中∑表示求和，x_i表示随机变量取值，p(x_i)表示随机变量取值为x_i的概率，
E(X)表示随机变量X的期望。

这个公式表示了随机变量每个值与其期望之差的平
方的加权平均数，其中权重为每个值对应的概率。

这个公式的计算相对简单，只需要计算每个值与期望的差的平方乘以概率的加权和即可。

这两个公式都是用来计算离散型随机变量的方差的。

方差是衡量随机变量的分散程度的一个指标，越大表示分散程度越大，越小表示分散程度越小。

方差的计算对于很多统计学应用都是至关重要的，例如回归分析、假设检验等等。

因此这两
个公式是统计学领域中很重要的内容。

离散型随机变量的方差课前预习学案一、预习目标了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差二、预习内容1、 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是1x ，2x ，…，nx ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p，…，那么, _________________称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 E 是随机变量ξ的期望．2、标准差: _________________叫做随机变量ξ的标准差，记作_________________． 注：方差与标准差都是反映_________________它们的值越小，则_________________小，即越集中于均值。

课内探究学案一、学习目标1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差学习重难点：离散型随机变量的方差、标准差；比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题二、学习过程例1: 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．例2. 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．例3. 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？课堂练习1.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.3.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23.此人得分的数学期望与方差分别为________．4.随机变量ξ的分布列如下：其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝________.5.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.6.设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝p令随机变量1AXA⎧=⎨⎩，出现，不出现，则X的方差D(X)等于________．7.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差．8.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：试求E(ξ)、D(ξ)．9.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．10.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．答案例1.【解析】抛掷骰子所得点数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P161616161616从而E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D (X )＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，D X ≈1.71.例2.【解析】(1)随机变量X 的分布列为因为X 服从两点分布，故E (X )＝p ＝0.8，D (X )＝p (1－p )＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (10,0.8)，∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8，D (Y )＝np (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6.例3. 【解析】根据月工资的分布列，利用计算器可算得 E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1 ＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1 ＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 课堂练习1.【解析】由题意知1112106113a b c a c a c ⎧++=⎪⎪⎪-++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解得5121414a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.【解析】由题意知，－p 1＋p 3＝0.1，1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89. 又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.3.【解析】记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分， 则η～B 2(3,)3，ξ＝10η，∴E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20，D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 4.【解析】由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.5.【解析】每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B 1(,8)2，故D(X)＝8×12×12＝2. 6.【解析】X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )． 7.【解析】(1)P ＝13×23＋23×34＝1318. (2)P(ξ＝0)＝13×13＝19；P(ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P(ξ＝2)＝23×34＝12. 故ξ的分布列为E(ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518， D(ξ)＝225(0)18-×19＋225(1)18-×718＋225(2)18-×12＝149324，∴()D ξ＝14918. 8.【解析】由于离散型随机变量的分布列满足： (1)p i ≥0(i ＝1，2，...)；(2)p 1＋p 2＋ (1)故221(12)1201211q q q q ⎧+-+=⎪⎪≤-≤⎨⎪≤⎪⎩解之得212q =-. 故ξ的分布列为：∴E (ξ)＝(－1)×12＋0×(21)-＋1×3(2)2-＝1－2， D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋(12)-2×(21)-＋[1－(1－2)]2×3(2)2-＝2－1.9.解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为ξ 6 9 12 P715715115∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.10.【解析】(1)X 服从两点分布X 0 1 P1212.∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14. (2)由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫10，12. ∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝npq ＝10×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝52.。

7.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列如表所示．X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n我们用X 所有可能取值x i 与E (X )的偏差的平方(x 1－E (X ))2，(x 2－E (X ))2，…，(x n －E (X ))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E (X )的偏离程度．我们称D (X )＝(x 1－E (X ))2p1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差(variance)，有时也记为Var (X )，并称D (X )为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X )．知识点二 离散型随机变量方差的性质 1．设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．D (c )＝0(其中c 为常数)．1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( × ) 2．若a 是常数，则D (a )＝0.( √ )3．离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( √ ) 4．若a ，b 为常数，则D (ax ＋b )＝a D (x ).( × )一、求离散型随机变量的方差例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又由E (η)＝aE (ξ)＋b ，得1.5a ＋b ＝1，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．反思感悟 (1)求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X 的意义，写出X 的所有取值； ②求出X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④计算E (X )； ⑤计算D (X )．(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b ，则D (η)＝a 2D (ξ)． 跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E (ξ)，D (ξ)，D (ξ)； (2)设η＝2ξ＋3，求E (η)，D (η)．解 (1)E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，D (ξ)＝53. (2)E (η)＝2E (ξ)＋3＝73，D (η)＝4D (ξ)＝209.二、方差的应用例2有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．反思感悟均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．跟踪训练2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定这两个保护区的管理水平．解甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些． 三、分布列、均值、方差的综合应用例3 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X ，求X 的分布列、均值及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝13×13＝19.P (X ＝1)＝13×23＋23×14＝718，P (X ＝2)＝23×34＝12.故X 的分布列为E (X )＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－25182×19＋⎝⎛⎭⎫1－25182×718＋⎝⎛⎭⎫2－25182×12＝149324. ∴σ(X )＝D (X )＝14918. 反思感悟 处理综合问题的方法第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立．第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率． 第三步：列分布列，并计算均值及方差．跟踪训练3 有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝xy ，求： (1)X 所取各值的分布列；(2)随机变量X 的均值与方差．解 (1)由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,4.“X ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P (X ＝0)＝1－23×23＝59，“X ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P (X ＝1)＝13×13＝19，“X ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (X ＝2)＝2×13×13＝29，“X ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (X ＝4)＝13×13＝19.则X 的分布列为X 0 1 2 4 P59192919(2)E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E (X 甲)＝E (X 乙)，方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 答案 B3．(多选)下列说法中错误的是( )A ．离散型随机变量X 的均值E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值答案 ABD解析 E (X )反映了X 取值的平均水平，D (X )反映了X 取值的离散程度．4．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 Pabc112答案512 14解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112，－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512，b ＝14，c ＝14.5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.1．知识清单：(1)离散型随机变量的方差、标准差． (2)离散型随机变量的方差的性质． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：方差公式套用错误．1．随机变量X 的方差，反映其取值的( )A ．平均水平B ．分布规律C ．波动大小D ．最大值和最小值答案 C2．(多选)已知X 的分布列为则( ) A ．E (X )＝2912B ．D (X )＝121144C ．D (X )＝179144D ．E (X )＝1712答案 AC解析 ∵E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－29122×14＋⎝⎛⎭⎫2－29122×13＋⎝⎛⎭⎫3－29122×16＋⎝⎛⎭⎫4－29122×14＝179144. 3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲、乙均可 D ．无法确定答案 A解析 ∵E (X 1)＝E (X 2)＝1.1，D (X 1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49， D (X 2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D (X 1)<D (X 2)，即甲比乙得分稳定， 故派甲运动员参加较好．4．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k (1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )，D (X )的值分别是( ) A ．0和1 B ．p 和p 2 C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p答案 D解析 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ， 故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．5．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.6．已知随机变量X 的分布列如表所示：则a ＝________，D (X )＝________. 答案 0.5 3.56解析 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a ＝1，所以a ＝0.5， E (X )＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D (X )＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.7．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5 解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－p 1＋p 3＝0.1，1.21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89，p 1＋p 2＋p 3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.8．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________，此时p ＝________.答案 14 12解析 随机变量X 的所有可能的取值是0,1，并且P (X ＝1)＝p ，P (X ＝0)＝1－p . 从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2 ＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14. ∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (X )取最大值，最大值是14.9．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. 同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)>E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣． 10．已知X 的分布列为(1)求X 2的分布列； (2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎫1＋142×14＝1116. (3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2， D (Y )＝42D (X )＝11.11．设随机试验的结果只有A 发生和A 不发生，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则X 的方差D (X )等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )答案 D解析 显然X 服从两点分布，∴D (X )＝m (1－m )． 12．(多选)已知随机变量X 的分布列是X 1 2 3 P13ab若E (X )＝116，则( )A ．a ＝12B ．b ＝16C ．D (X )＝1736D ．D (X )＝2318答案 ABC解析 由题意得a ＋b ＝23.①由E (X )＝13＋2a ＋3b ＝116，②得2a ＋3b ＝32，联立①②，得a ＝12，b ＝16.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1162×13＋⎝⎛⎭⎫2－1162×12＋⎝⎛⎭⎫3－1162×16＝1736.故选ABC. 13．已知随机变量ξ的分布列为ξ m n P13a若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．无法计算 答案 D解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝2(n －2)2，当n ＝2时，D (ξ)取得最小值，此时m ＝2，不符合题意，故D (ξ)无法取得最小值．14．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________． 答案 3解析 由已知得 ⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4，2⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫x 2－432＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2， 又x 1<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝3.15．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E (ξ)＝________，D (ξ)＝________. 答案 1 1解析 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D (ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.16．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别如下表：(1)在A ，B 两个投资项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资项目A ，(100－x )万元投资项目B ，f (x )表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B 所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取得最小值．解 (1)根据题意，知Y 1和Y 2的分布列分别如下表：从而E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2)＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝12 500(4x 2－600x ＋30 000) ＝1625(x －75)2＋3， 当x ＝75时，f (x )取得最小值3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。