1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3

1．(2013· 大纲全国卷)(x＋2)8 的展开式中 x6 的系数是 ( A．28 B．56 C．112 D．224
－
)
8 r r 【解析】 该二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 2 ＝2rCr 8x 8 6 6 6 x8－r，令 r＝2，得 T3＝22C2 x ＝ 112 x ，所以 x 的系数是 112. 8
●教学流程
演示结束
1.会证明二项式定理． 课标解读 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
二项式定理
【问题导思】 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的 乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4 的展开式？上述两个等式的右侧有 何特点？你能用组合的观点说明(a＋b)4 是如何展开的吗？ 【提示】 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋ 4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. (a＋b)3 的展开式有 4 项 ，每项的次数是 3；(a＋b)4 的 展开式有 5 项，每一项的次数为 4.
求展开式中的特定项
3 3 x
已知在( x－ 项． (1)求 n；
3
)n 的展开式中，第 6 项为常数
(2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路探究】
写出通项 Tr＋1→令 r＝5，x 的指数为零
→(1)求出 n 值→修正通项公式→(2)求 x2 项的系数 →考察 x 指数为整数→分析求出 k 值 →(3)写出有理项
【自主解答】 通项公式为：
(1)∵第 6 项为常数项， n－2r ∴r＝5 时，有 3 ＝0，即 n＝10. n－2r 1 (2)令 3 ＝2，得 r＝2(n－6)＝2，
2 ∴所求的系数为 C2 10(－3) ＝405.
10－2r∈Z， 3 (3)由题意得， 0≤r≤10， r∈Z. 3 则 10－2r＝3k，即 r＝5－2k. ∵r∈Z，∴k 应为偶数． k＝2,0，－2 即 r＝2,5,8，
1.3 1.3.1
二项式定理 二项式定理
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 理解并掌握二项式定理，会证明二项式定理． 2．过程与方法 通过观察、归纳(a＋b)2，(a＋b)3 的展开式猜想得出二项式 定理的过程，体验归纳、猜想、证明的逻辑推理的思维方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生的观察、分析、概括能力．
【解】 (1)由通项
Tr＋1＝Cr (2 6·
x)
6－r
1r · (－ ) x
知第四项的二项式系数为 C3 6＝20，
3 3 第四项的系数为 C3 · ( － 1) · 2 ＝－160. 6
(2)设展开式中第 r＋1 项为含 x5 的项，则 1r r 9 －r 9－2r Tr＋1＝C9· x · (－ ) ＝(－1)r· Cr · x ， 9 x ∴9－2r＝5， ∴r＝2. 即展开式中的第 3 项含 x5， 且系数为 C2 9＝36.
2
4 1 4 3x＋1 法二：(3 x＋ ) ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2.
2 0 4 2 3 (2)原式＝C5 (x－1)5＋C1 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ 5 5 2 4 5 0 C3 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) －1 5 5 5
14 求(1＋ ) 的展开式． x
14 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 【解】 (1＋x ) ＝1＋C4(x )＋C4(x) ＋C4(x) ＋C4(x) 4 6 4 1 ＝1＋x＋x2＋x3＋x4.
二项式系数与项的系数问题
16 (1)求二项式(2 x－x) 的展开式中第 6 项的二项 式系数和第 6 项的系数； 19 (2)求(x－x ) 的展开式中 x3 的系数．
4－k k 则 Tk＋1＝Ck x ( － 2) ，..........................................10 分 4
由 4－k＝2，得 k＝2，即(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为
2 2 2 T3＝C2 4x (－ 2) ＝12x ...............................................12 分
【答案】 C
2 5 2 2．(2013· 江西高考)x －x3 展开式中的常数项为(
)
A．80 B．－80 C．40 D．－40
【解析】 设展开式的第 r＋1 项为
r 10 ＝Cr · x 5
－ 2r
2 r 2 5－r － 3 Tr＋1＝C5· (x ) ·



x
· (－2)r· x
10－2r 令 3 ＝k(k∈Z)，
所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，－61 236,295 245x－2.
通项公式的主要作用是用来求展开式中的特定项，求二
r 1 n 项展开式的特定项常见题型有： ①求第 r 项， Tr＝Cn a
－ －1 －r＋1
br
；②求含 xr 的项(或 xpyq 的项)；③求常数项；④求有理项．
求特定项或特定项的系数，可以先写出二项式的通项， 根据通项的特点，求出相应的 k 的值，再代入通项求特定项 或其系数．
n－k k 1．要熟记 Tk＋1＝Ck a b 是第 k＋1 项，而不是第 k 项． n n k k 2．通项公式 Tk＋1＝Ck b 主要用于求二项展开式的指 na
－
定项或项的系数． 3．要注意区分某项的系数与二项式系数.
【思路点拨】 利用两项系数之比求出 n，根据通项求 出含 x2 的项．
【规范解答】 为
(x－ 2)n 展开式的第二项与第四项分别
n－1 T2＝C1 · (－ 2)＝－ 2· nxn－1，............................2 分 nx n－3 3 3 n－3 T4＝C3 x · ( － 2) ＝－ 2 2C ............................4 分 n nx
1 4 【自主解答】 (1)法一：(3 x＋ ) x ＝C0 4 (3 x)
4
＋C1 4 (3
1 1 2 2 2 x ) · ＋ C 4 (3 x ) · ( ) ＋C3 4 x x
3
1 3 4 1 4 (3 x)· ( ) ＋C4· ( ) x x 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2.
●重点、难点 重点：利用通项公式求特定项或其系数． 难点：二项式定理的证明． 教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平 和所需知识特点入手，引导学生展开(a＋b)2 利用分步乘法计 数原理得到项，不断观察、比较、分析，采取从特殊到一般 的推理的方法发现(a＋b)n 展开式的特点，从而突出重点，化 解难点．
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1．第(2)小题属公式的“逆用”，首先转化为展开式的 形式，适当地进行配凑项处理． 2．对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷； 要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数 的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的 求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各 项的系数．
●教学建议 本节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二 项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的 一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布作准备．因 此，在教学时它采用启发探究式教学，让学生在探究中提出 如何利用两个计数原理得出(a＋b)2，(a＋b)3 的展开式问题， 在获得二项式定理后，应引导学生对二项式进行细致分析， 从而使学生更加理解二项式定理．
【思路探究】 利用二项式定理求展开式中的某一项， 可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
【尝试解答】 由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1 ＝Cr 6(2 x)
6 －r
1r · (－x)
∴第 6 项的二项式系数为 C5 6＝6， 第 6 项的系数为 C5 (－1)· 2＝－12. 6·
(2)设展开式中的第 r＋1 项为含 x3 的项，则 1r r 9 －r Tr＋1＝C9x · (－ ) ＝(－1)r· Cr x9－2r， 9· x ∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3，其系数 为(－1)3· C3 9＝－84.
－ 3r
r 10 ＝Cr · ( － 2) · x 5
－ 5r
.若第 r ＋1 项为常数
2 项，则 10－5r＝0，得 r＝2，即常数项 T3＝C5 (－2)2＝40.
【答案】 C
a 3．已知( x － ________.
【解析】 令 得x
r－9 3
x 9 9 3 2 ) 的展开式中 x 的系数为 4，则 a＝
1．本题的易错点是混淆二项式系数与项的系数． 2．求某项的二项式系数、系数或展开式中含 xr 的项的 系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项 二项式系数与系数两者的区别．
本例条件不变，问题(1)改为“求第四项的二项式系数和 第四项的系数”． 问题(2)改为“求展开式中 x5 的系数”，该如何求解．
16 (x＋ ) 展开式中的常数项为________． x
【解析】
r 6－r 1 r 6－2r Tr＋1＝C6x ( ) ＝Cr . 6x
x
令 6－2r＝0，∴r＝3，∴常数项为 T3＋1＝C3 6＝20.
【答案】 20
(12 分)(x－ 2)n 展开式中，第二项与第四项的 系数之比为 1∶2，求含 x2 的项．
二项式定理及其相关概念
二项式定理的正用与逆用
1 4 (1)求(3 x＋ ) 的展开式； x (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋ 5(x－1)．