广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试理数试题Word版含答案

2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．86．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．312．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是．+n三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：复数==+为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．故选：A．3．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log22＜log23＜log24=2⇒a∈（1，2），b=（x+）dx=（+lnx）|=ln2+，故选：D4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin =第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选B5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）；由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z的最大值是2+2×2=6．故选：C．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴+=≥2+=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：A10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3【解答】解：函数y=|2x﹣1|的图象如图：∵x1＜x2，∴=1﹣k，=1+k，又∵x3＜x4，∴=1﹣，=1+，∴，=．则==﹣3+．又k∈[，1），∴﹣3+∈[3，+∞）．∴x4+x2﹣（x3+x1）=x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），即x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为log23．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx===，（tanα=）．由T==π，得ω=1．∴f（x）=．由f（θ）=，得sin（2θ﹣α）﹣2=，∴sin（2θ﹣α）=1；∴f（θ+）=sin[2（θ+）﹣α]﹣2=sin（2θ+π﹣α）﹣2=﹣sin（2θ﹣α）﹣2=﹣×1﹣2=﹣；f（θ﹣）=﹣2=﹣2=﹣2．∴f（θ+）+f（θ﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵，∴（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴可解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为6．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为•6=，篮球运动员人数为•12=，足球运动员人数为•18=，∵n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n只能取6．即样本容量n=6．故答案为：616．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是有a m+n．=a m•a n，【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n令m=1，得到a n=a1•a n，所以=a1=，+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==（1﹣）＜，因为S n＜t对任意n∈N*恒成立，所以t≥，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，∴a1=﹣1，d=3．∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣4．（Ⅱ）由（I）可知，，a n+4=3n；则原不等式等价于对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，恒成立；当n为偶数时，恒成立．又∵，当且仅当n=3时取等号，所以当n为奇数时，的最小值为7，当n为偶数且n=4时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范是{k|}．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴4=，∴a=2∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：学员编号补测编号项数（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为=；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为1×1×1××=．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为=．故学员能通过“科二”考试的概率为1﹣=．②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，而P（X=150）=+×=，故X的分布列为：X150450P故E（X）=150×+450×=126+72=198（元）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；…（4分）（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，，…（8分）设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（10分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，∵，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a ，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣a＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=﹣lna，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．。

广东省中山市2017-2018学年高三上学期周考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合{}1,0,1A =-，{}0B x R x =∈＞，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}1 【答案】D 【解析】试题分析：{}1A B ⋂=,故选D. 考点：集合的运算.2．复数z 满足()11z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i 【答案】C考点:复数的代数运算.3．若m ，n 满足210m n +-=，则直线30mx y n ++=过定点（ ）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：210,21m n m n +-=∴+= ，30,()30mx y n mx n y ++=∴++= ,当12x =时,1122m n +=， 113,26y y ∴=-∴=-,故直线过定点11(,)26-.故选B.考点：直线的方程.4．若向量()cos ,sin a θθ=，)1b =- ，则2a b -的最大值为（ ）A ．4 B．．2 D【答案】A考点：向量的模；向量的坐标运算.5．设()()1232,2,log 1, 2.x e x f x x x -⎧⎪=⎨-⎪⎩＜≥则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：2113(2)log (21)1,((2))(1)22f f f f e -=-=∴===,故选C. 考点：分段函数.6．设a 、b 、c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直 【答案】A 【解析】试题分析：sin (sin )2(sin sin sin sin )0b A a B R A B A B +-=-= ,所以两直线垂直, 故选A. 考点：两直线的位置关系.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若a β∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥ C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，m n ∥，n β∥，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：m α⊥ ，,,m n n α∴⊥ ∥,n βαβ∴⊥∥,故选D.考点：点线面的位置关系.8．直线：:l y x b =+与曲线:c y =b 的取值范围是（ ）A．b．1b ≤．1b ≤．1b ＜【答案】C考点：直线与圆的位置关系.9．过椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A．12 D ．13【答案】B 【解析】试题分析：在12Rt PF F ∆中,0121212122,60,,,2F F c F PF PF PF PF PF a =∠=∴==+=，2,333c c a a ∴+=∴=.选B. 考点：椭圆的简单几何性. 10．定义12nnp p p +++ 为n 个正数1p ，2p ，…，n p 的“均倒数”．若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++= （ ）A ．111 B ．112 C ．1011 D ．1112【答案】C考点：n a 与n S 的关系；裂项相消数列求和.【易错点睛】本题主要考查了,n n a S 的关系；裂项相消数列求和等知识.用裂项相消法求和应注意的问题:利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．本题难度中等.11．过椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．．12 D ．13【答案】B 【解析】试题分析：设001212121212,2(),90,60,,F F c PF PF a a c PF F F PF PF =+=>∠=∠=∴=2,2,c PF a e a =+=∴=∴=故选B. 考点：椭圆的简单几何性质.【易错点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质.椭圆离心率的求解方法:离心率是圆锥曲线的重要几何性质，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x ＜时，()()()()0f x g x f x g x ''+＞，且()30g -=，则不等式()()0f x g x ＜的解集是（ ）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-⋃C ．()(),33,-∞-⋃+∞D ．()(),30,3-∞-⋃ 【答案】D考点：函数的单调性；函数的奇偶性.【易错点睛】本题主要考查了函数的单调性；函数的奇偶性.由已知函数的奇偶性构造新函数的奇偶性是解题的关键.利用函数的单调性与导数的关系,可判断新函数的单调性,利用()30g -=可得0x ＜时不等式的解集;再利用函数的奇偶性可解0x >时不等式的解集,由此可解得本题.函数的单调性,奇偶性是函数的重要性质,也是考试的重点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知角()0απα-＜＜的终边与单位圆交点的横坐标是13，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】3【解析】试题分析：由题意得1cos ,0,sin cos()sin 3323παπαααα=-<<∴=-∴+=-=. 考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.14．设命题:431p x -≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】102a ≤≤ 【解析】试题分析：21:431,1;:(21)(1)0,12p x x q x a x a a a x a -≤∴≤≤-+++≤∴≤≤+.因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，q ∴是p 的必要不充分条件,11,02211a a a ⎧≤⎪∴∴≤≤⎨⎪+≥⎩. 考点：不等式的解法；充分条件,必要条件.15．点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．【答案】考点：导数的几何意义；点到直线的距离公式.【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；点到直线的距离公式.在切点处的导数值就是切线的斜率就是切线方程最重要的条件.首先要注意所用的点是不是切点.其次要注意切点即在曲线上也在切线上.理解导数的意义是考纲的要求,也是导数知识的重要内容.本题考点明显,知识点集中.难度中等,属于常见题型,基础题.16．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如上如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12．6（立方寸），则图中的x 为 ．【答案】1.6 【解析】试题分析：该几何体如图所示.左侧是底面直径为1,高为x 的圆柱,右侧为邻边长为3,1,5.4x -.由题意可得21()31(5.4)12.6, 1.62x x x π⨯⨯+⨯⨯-=∴=.考点：几何体的体积.【易错点睛】以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象还原几何体的形状构成,并从三视图发现几何中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.在求几何体的体积时,若给定的几何体是规则柱体,锥体或台体,可直接利用公式求解.若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出,常用转换法,分割法,补形法等求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．【答案】（1）2sin 2sin 0,33S ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=时，S 最大，且最大值为2．【解析】试题分析： （1）四边形的面积可以看成是POC ∆和QOC ∆的面积之和．因为COP θ∠=，则3QOC πθ∠=-，根据三角形的面积公式即可得出2sin 2sin 0,33S ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：2sin 3S πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得6πθ=时，S 最大，且最大值为2．考点：三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质. 18．（本小题满分12分）对于数列{}n a 、{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()11n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132n n b b +=+，n N ∈︒．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令()()21n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =，1231n n b -=⋅-；（2）11525443n n n T -+=-⋅． 【解析】试题分析：(1)由()11n n n S n S a n +-+=++可得121n n a a n +=++,由递推公式累加法可得{}n a 的通项公式，由132n n b b +=+可得{}1n b +为等比数列,可得其通项公式,进而可得{}n b 的通项公式；(2)由题意可得()21121233n n n n n n c n --+-==⋅,则n T 符合错位相减法求和公式,可得n T 的值.（2）()21121233n n n n n n c n --+-==⋅，所以01221234133333n n n n Tn --+=+++++ ，① 则3300132234133333n n n n n T --⋅+=+++++ ②122111111111115253261613333322313n n n n n n n n n T ------+++⎛⎫=+++++-=+-=- ⎪⋅⎝⎭- 所以11525443n n n T -+=-⋅． 考点：递推公式；等比数列的通项公式；数列求和.【易错点睛】本题主要考查了递推公式；等比数列的通项公式；数列求和.用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于题目类型,特别是等比数列的公比为负数情形.(2)在写出n S 与n qS 表达时应特别注意将两式错位对齐,以便下一步准确写出n S n qS -.若等比数列的公比为参数时,要分两种情况来注解.本题难度中等.19．（本小题满分12分）已知圆()()221:4220C x y -+-=与y 轴交于0，A 两点，圆2C 过0，A 两点，且直线20C 与圆1C 相切；（1）求圆2C 的方程；（2）若圆2C 上一动点M ，直线0M 与圆1C 的另一交点为N ，在平面内是否存在定点P 使得PM PN =始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）22240x y x y ++-=；（2）存在，且为()3,4P ．（2）存在，设MN 直线方程为y kx =，分别与1C 、圆2C 联立22240y kx x y x y =⎧⎨++-=⎩与22840y kx x y x y =⎧⎨+--=⎩求额的2224242,11k k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 2224848,11k k k N k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭，中点2224343,11k k k H k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭，中垂线方程为：2224314311k k k y x k k k ++⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，化简为：()134y x k=--+恒过定点()3,4即为所求点P ． 考点：直线与圆的位置关系；圆的一般方程. 20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ．（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积比． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）1:1．【解析】试题分析：（I ）易证得1DC ⊥平面BDC ,再由面面垂直的判定定理即可证得平面1BDC ⊥平面BDC ；(II)设棱锥1B DACC -的体积为1,1V AC =,易求得112V =，三棱术111ABC A B C -的体积为1V =,于是得1():1:1V V V -=,从而可得答案.（II ）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得V 1=××1×1=，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=1，∴（V ﹣V 1）：V 1=1：1，∴平面BDC 1分此棱柱两部分体积的比为1：1．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；几何体的体积.【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱,棱锥,棱台的体积.着重考查直线与平面垂直的判定定理的应用与棱柱,棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.证明垂直问题时一定严格按照定理成立的条件规范书写过程,另注意问题的转化:线线垂直--线面垂直--线线垂直.本题难度中等.21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞，一个顶点为()2,0A ，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆时，求k 的值．【答案】（1）22142x y +=；（2）2k =±． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件2a =，c a =b =；（2）三角形面积可根据点到直线距离公式求高d =，根据弦长公式求底，列直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得MN ，从而AMN ∆的面积为12S MN d =k 的值．又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-的距离d =，所以AMN ∆的面积为12S MN d ===2k =± 考点：直线与椭圆的位置关系.22．（本小题满分10分） 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ＜＜），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．【答案】（1）24y x =；（2）4．（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=， 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，1224sin AB t t α∴=-== 当2πα=时，AB 的最小值为4． 考点：参数方程化成普通方程.。

2017-2018学年数学试题（一）（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.设集合}{}{{}20,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B ⋃A.｛0,1,2,3,｝B.｛5｝C.｛1,2,4｝D. {0,4,5}2. 若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =3.各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为A BC D 4.右边程序框图中，若输入4m =，10n =，则输出,a i 的值分别是A.12,4B.16,5C.20,5D.24,6 5．平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a bA B ． C ．4 D ．12 6.给出下列四个, 其中错误．．的有（ ）个. （1） 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,02cos 2sin πx x x y 在上的单调递增 区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π; (2)设随机变量 2(1,)XN σ~，若(01)0.4P X <<=，则(02)0.8P X <<=；(3)设函数()sin(2)3f x x π=+，()f x 的图象向左平移12π个单位， 得到一个偶函数的图象;(4) “直线错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

互相垂直”的充分条件是“错误！未找到引用源。

”A ．0B ．1C ． 2D ． 37．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8.由曲线1xy =,直线,3y x x ==及x 轴所围成的曲边四边形的面积为A ．116B ．92C ．1ln 32+ D ．4ln 3-9.曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是1-B. 1-C. 1-D.210.几何体的三视图如右图所示，若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的表面积是（注：包括外表面积和内表面积） A.133π B.100π C.66π D.166π11.已知12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 A.(]1,3B. (C.⎤⎦D.[)3,+∞12.对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式tan ()()x f x f x '⋅<恒成立，则下列不等式错误的是A.()()34f ππ>B. ()2cos1(1)3f f π>⋅C. 2cos1(1)()4f π⋅>D.()()46ππ<（二）（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

中山市高三级2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+>则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A ．21B ．41 C ．42 D ． 22 6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”； ③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ .（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥错误！未找到引用源。

中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（理科）参考答案及评分标准13. 725-14. 15. 6 16. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.解：（Ⅰ）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，． ∴{}n a 的通项公式为34n a n =-． …………3分（Ⅱ）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；则原不等式等价于()911nk n n-<++对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； 当n 为偶数时，91k n n <++恒成立…6分又∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号， 所以当n 为奇数时，91n n++的最小值为7， 当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范是2974k -<<…………10分18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin 3B =． ………………2分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，sin 3B =．∴83AD =． ………………5分（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又ADC S ∆=ABC S ∆= ………………7分∵1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅，∴6BC =， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠．∴AC = ………………9分 ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 且2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD AC CAD AB∠=⋅=∠ ………………12分19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+， 100<<x ……3分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．………5分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， …………………………7分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………9分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当x ＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………12分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)20． 解：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部，故所求概率为610＝35． ………………6分(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1×910×23＝35．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为42()5＝16625．故学员能通过“科二”考试的概率为1－16625＝609625． ………………9分②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X ＝150，其他情况时均有X ＝450，而P (X ＝150)＝35＋25×35＝2125，故X 的分布列为故E (X )＝150×2125＋450×425＝126＋72＝198(元)． ………………12分21． 解：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ， ∴//AB 面PCD ，又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴//AB EF ； ………………4分 （2）取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥， ………………5分 在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，∴AD GB ⊥， ………………6分 如图，建立空间直角坐标系G xyz -，由2PA PD AD ===，得(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，B (C -，(1,0,0)D -，P ，又∵//AB EF ，点E 是棱PC 中点， ∴点F 是棱PD 中点，∴(1,22E-，1(,0,)22F -，3(2AF =-uu u r ,1(,2EF =uu u r ，设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r ，∴z y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE的一个法向量为n =r， …………9分∵BG ⊥平面PAD ，∴GB =uu u r是平面PAF 的一个法向量，……10分∵cos ,n GB <n GB >n GB⋅===⋅r uu u rr uu u r r uuu r ， ………………11分 ∴平面PAF 与平面AFE ．………………12分 22．解：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．………………3分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． ………………8分方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． ………………8分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥， 所以21212()()1x x x x +++≥，因此12x x + ………………12分。

中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则的值为（）A. 2B. -1C. -1或2D. 2或【答案】A解：由题意可知：，则满足题意时， .本题选择C选项.2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. 2B.C.D. -2【答案】A由题意，令，则，则解得，故选A3. 已知实数，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D因为，所以，..所以.故选D.4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A. 0B.C.D.【答案】B执行循环得，结束循环，输出，选B. ：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若满足，若，则的最大值是（）A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C作可行域如图，则直线过点A(2,2)时取最大值6，选C.6. 李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A. 10步，50步B. 20步，60步C. 30步，70步D. 40步，80步【答案】B设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B试题：令，可求得；令，可求得；所以，令，所以，故应选.考点：1.二项式定理；2、函数的最值；视频8. 已知函数与的图像如图所示，则函数的递减区间为（）A. B. C. D.试题：，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D.考点：利用导数研究函数的单调性.9. 已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A. 48种B. 72种C. 78种D. 84种【答案】A试题：先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A.考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.视频10. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D轨迹为线段MN,其中M，N分别为中点，所以与平面所成角的正切值范围为 ,选D.11. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A. 1B.C.D. 3试题：由题意知：，，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴的最小值为.考点：函数零点.12. 已知函数，其周期为，，则（）A. B. C. D.【答案】D其中，所以，因为，所以，选D.：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】14. 已知，，则__________．【答案】【答案】6n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n为6的倍数，因此因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此.....................【答案】因为，所以实数的取值范围是：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得．(2)先化简不等式：，再分奇偶讨论：当为奇数时，；当为偶数时，，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数的取值范围.试题：（Ⅰ）设公差为，则，∴．∴的通项公式为．（Ⅱ），，；则原不等式等价于对所有的正整数都成立．∴当为奇数时，；当为偶数时，恒成立又∵，当且仅当时取等号，所以当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是18. 如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值．试题：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) ，(2)见试题：（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为，因此可得函数式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题：（1）扇环的圆心角为，则，∴， 3分（2）由（1）可得花坛的面积为，6分装饰总费用为， 8分∴花坛的面积与装饰总费用的， 10分令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率.（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.①求该学员能通过“科二”考试的概率；②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.【答案】(1) (2)见试题：（1）共有5名学员恰有两项不合格，从中任意抽出2人，列出所有可能，共10种，其中有6种情况补测项数不超过3 ，最后根据古典概型概率公式求概率(2) ①先计算顺利完成每1轮测试(或补测)的概率，再根据独立重复试验得能通过“科二”考试的概率为4次实验中至少成功一次②先确定随机变量取法，再依次计算对应概率，最后根据数学期望公式求期望试题：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1××①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为故学员能通过“科二”考试的概率为1-②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450而P(X=150)=×，故X的分布列为故E(X)=150×450×126+72=198(元)：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见（2）．试题：（1）推导出，从而平面，由此能证明．（2）取中点，连接，，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．试题：（1）证明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面，∵四点共面，且面面，∴.（2）解：取中点，连接，，∵，∴，∵平面平面，平面平面，∴面，∴，在菱形中，∵，，是中点，∴，如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，由得，，，，，，.又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，，设平面的法向量为，则有，，取，则.∵平面，∴是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为，∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.22. 已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若，正实数满足，证明：.【答案】（1）（2）2（3）见试题：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．试题：（1）因为，所以，此时，，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，令，只要，因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，因为，，所以，此时，即，所以，即整数的最小值为2．（3）当时，，由，即，从而，令，则由，得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因此成立．考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值．【方法】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数；(3)由(或)，解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题．。

中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

参考公式：锥体体积公式Sh V 31=椎体；第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{12345,6}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B =（ ）.A {3,6} .B {4,5} .C {3,4,5,6} .D {1245,6}，，，2.给出函数①3cos y x x =②2sin y x =③2y x x=-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是 （ ）.A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④ 3.执行如图所示的程序框图,若输入的n 值为7,则输出的 的s 值为（ ）A ．11B ．15C ．16D ．22 4.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）.A 0.B 1.C 2 .D 45.已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b = （ ）.A 5.B 4 .C 3 .D 16.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积（ ）AB俯视图C D ．7.下列四种说法中， ①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知数据12,,,n x x x L 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据1221,21,,21n x x x +++L 的平均数和方差分别为11和16④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25.⑤()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b=0或a+b=7 说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ８.定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．()(),03,-∞+∞UB ．()0,+∞C ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)９．复数()212i i-的模为____________10．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区200名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图：根据上图可得这200名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是_____________.11.若等比数列{}n a 的首项811=a ，且2412a xdx =⎰，则数列{}n a 的公比是______12．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 .13.若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________ 14.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③对任意0x >，不等式()k f x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ④函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）已知40,sin 25παα<<=（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； （2）求5tan()4πα-的值。

2017-2018学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．32．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）3．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x04．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．127．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题11．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]12．设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．16．已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g （x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2015春•定州市期末）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．【点评】本题容易忽略B=∅的情况．2．（2016秋•广东校级月考）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（2016秋•广东校级月考）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3 C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x0【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4．（2015春•温州校级期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．（2014•兴安盟二模）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．6．（2015•新课标II）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．（2012•东莞二模）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．8．（2015•山东）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】不等式比较大小．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．9．（2016•株洲一模）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．10．（2014•南昌模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．11．（2016秋•广东校级月考）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．12．（2013•广东模拟）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k 为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义．【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．【解答】解：有定义可知满足（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．故选C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f （x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f （﹣）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（2015春•潍坊期末）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．16．（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】创新题型；开放型；函数的性质及应用．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013秋•浏阳市校级期中）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，则，解得：a＞1．∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，则，解得：0＜a≤1．∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．18．（12分）（2014春•泉州校级期末）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，∴a≤1；∵命题q：“”，∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．19．（12分）（2009•湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（12分）（2015秋•肇庆期末）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）（2009•湖北校级模拟）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f （x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015春•武汉校级期末）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】（1）由于PA与圆O相切于点A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA，进而得到∠PAC=∠PCA，即可证明PA=PC．（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得，即可得出PC=4．进而得到OC=OP﹣CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC2=OB2+OC2即可．【解答】（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．∴∠PAC=∠OCB，又∵∠OCB=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．（2）解：在Rt△OAP中，=4．∴PC=4．∴OC=OP﹣CP=1．在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=32+12=10．∴．【点评】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等边的性质等基础知识，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015春•武汉校级期末）已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•商洛模拟）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

上学期高一数学 月考试题05时间120分钟，满分150分.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项选出来涂在答题卡相应的位置．1．设全集I ＝｛0，1，2，3｝，集合A ＝｛0，1，2｝，集合B ＝｛2，3｝，则C I A ∪C I B 等于A ．｛0｝B ．｛0，1｝C ．｛0，1，3｝D ．｛0，1，2，3｝2．下列所给出的函数中，是幂函数的是A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y3．如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数()y f x =图象,该函数的单调增区间为A ．[-2,1]B ．[3,5]C ．[-5,1]和[1,3]D ．[-2,1]和[3,5]4．下列四组函数，表示同一函数的是A ．2)(x x f =,x x g =)( B ．x x f =)(，x x x g 2)(= C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x a a x f log )(=a (＞0)1,≠a ,33)(x x g =5．若函数)(x f y =的图象与函数13)(+=x x g 的图象关于x 轴对称，则函数)(x f 的表达式为A ．13)(--=x x fB ．13)(-=x x fC ．13)(+-=-x x f D ．13)(+=-x x f 6．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是A ．x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21B ．3y x =C ．()x y -=52logD ．23810y x x =+-7．设集合{}25, l o g(3)A a =+，集合{, 2}B a =，若{2}A B =, 则A B 等于 A ．{}1,2,5 B ．{}1,2,5- C ．{}2,5,7 D ．{}7,2,5-8．已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有A ．lo g a （xy ）＜0B ．0＜lo g a （xy ）＜1C ．1＜lo g a （xy ）＜2D ．lo g a （xy ）＞29．设I 是全集，集合P 、Q 满足P Q ，则下面的结论中错误的是A ．P ∪C I Q =∅B ．P ∪Q = QC ．P ∩C I Q =∅D ．P ∩Q =P10．函数f （x ）= a x （a >0，且a ≠1）对于任意的实数x 、y 都有A ．f （xy ）=f （x ）·f （y ）B ． f （x +y ）=f （x ）·f （y ）C ．f （xy ）=f （x ）+f （y ）D ．f （x +y ）=f （x ）+f （y ）11．定义运算：,,*,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩如1*2=1，则函数()2*2x x f x -=的值域为 A ．R B ． (0,)+∞ C ．](0,1 D ． )1,+∞⎡⎣12．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温．图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而不变第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．设g(x)=⎩⎨⎧>≤,0,ln ,0,x x x e x 则1(())2g g =__________． 14．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过第 象限．15．若函数a x f x --=121)(是奇函数，则a = . 16．下列命题中，①幂函数在第一象限都是增函数；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．正确命题的序号是 ．三、解答题（本大题共5个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17．（本小题满分14分）计算：（1）2lg 5lg2lg50+⋅； （2）()302423333⨯-18．（本小题满分14分）已知函数)(x f 是定义在(2,2)-上的奇函数且是减函数，若0)21()1(≥-+-m f m f ，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．20．（本小题满分16分）已知f(x)=5)(,53333--+=-x x x g x x . （1）求证：()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值，由此概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.21．（本小题满分16分）是否存在实数a ，使函数2()log ()a f x ax x =-在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：CBDDA DADAB CC二、填空题：13．12 14．一 15．－1216．④ 三、解答题：17． 解：（1）原式＝22lg 5lg2(1lg5)lg 5lg2lg5lg2lg5(lg5lg2)lg2lg5lg21+⋅+=++=++=+=…………………………………………7分（2）原式＝1+3+6633-=4.…………………………………………………………14分18．解：⎩⎨⎧<-<-<-<-2212212m m 得2321<<-m 。

中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1. 已知集合.. 丁匚…：-卜、：，：’「I . ■，若I-，则.的值为（）A. 2B. -1C. -1 或2D. 2 或【答案】A【解析】解：由题意可知：.二，则满足题意时，⑴二.本题选择C选项•1 +疝2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）2-111A. 2B.C.D. -222【答案】A【解析】由题意，令」「“-•「：，则解得，故选A3. 一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（）A.甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】由题意可以看出乙、丁两人的观点是一致的，•••乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，显然这两个结论是相互矛盾的，•••乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯•选 B.4•阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）开始■ H itr/■出§/1 —X*即了Ln = n^lD.【答案】B【解析】执行循环得=呼％5 2 22 £=3 声=岳口= 4；J3 J3 不亠人丽■，结束循环，输出；一，选B.2 2点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项■ x + y < 45.若凡y满足』一2x^2三0 ，若z = x十2y,则z的最大值是(y >0A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线^一：：十住过点A(2,2)时取最大值6，选C.6.李冶(1192-1279 ),真实栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年 在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、 正方形的边长等•其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘 与方田四边之间的面积为 13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直 径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)()A. 10 步，50 步B. 20 步，60 步C. 30 步，70 步D. 40 步，80 步【答案】B【解析】设圆池的半径为.步，则方田的边长为步，由题意，得 解得r 】：；或r:: ' (舍)，所以圆池的直径为 20步，方田的边长为 60步，故选B .点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：(1)理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义;(2)联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题;知识求解，并回答求解的问题C. ■■ -■■■ :: %D. I ：:A、'【答案】B【解析】••••="“=""= " ■■■'■>.'3 2 6 6ln2 ln5 51n2-21n5 In32-ln25 又;一.. 25 10 10t ：'、，即..：■ L .选 B .点睛：比较大小的常用方法(1) 构造函数，判断出函数的单调性，让所要比较大小的数在同一单调区间内，然后利用单 调性进行比较. (2)作差与零比较，即 a _b >> b,a-b = 0«EI = b,.a-b < < b .‘:"lJI(3) 作商与1比较，即'.DbDf(x)8.已知函数 与的图像如图所示，则函数的递减区间为()(3)利用数学7.已知实数ln2 ln3 ,i-23兰，贝U的大小关系是(10由图可得xe （P ：l ）U （4?+x ），故函数单调减区间为（61（4,十8）,故选D.考点：利用导数研究函数的单调性知函数是偶函数，其图象关于愿点对称，故排除 A ; 当x 从大于零变到零的过程中，函数值 y r 十「」，故排除B;当时， ，排除C ;故选D. 考点：函数的图象.10.在正方体■ " ' ' "■ 'T ' 1 'i 中，是棱 的中点，F 是侧面 内的动点，且 平面【解析】试题分析:................ ，令「即9. 2嗚區斗6x ）函数的图像大致为（【答案】DB.【答案】DD.【解析】试题分析：由函数得：4X-1"■.AT ,则 与平面三二所成角的正切值 构成的集合是(【答案】D【解析】F 轨迹为线段MN 其中M, N 分别为三三.三中点，所以 与平面所成角的正A]B[ A]B]切值范围为■-,选D.也厂MM11.已知，函数i ：厂I •的零点分别为'■■■I j ，函数的零3一Jc — 1点分别为则:+ ...的最小值为(C . <-| ■ <D .2迪兀吒 $5 5 5 13 、+ r亠 T r f(0 - -) = —sin(20-(p)-2一一 os(29-q>)-2 = -一sin2l<兀一2--ccs2k7t -2 - ，选 D.2 4 22222点睛：三角函数求值的三种类型⑴ 给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数⑵给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 ① 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ② 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的(3) 给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)31 413. 已知 cos(a 1 -) = J U si 心□ = ________________ .【答案】257t TL兀 T 7T 16 7【解析】■ 11■■- :■- -餐：.：—］：'=■.■.■■■■ - ' = =4 2 4 4 2, _i >14. 已知玄=(1厂2),3十氏=(0”2)，^U 币| = ______________ .A. 1B. '咅C.D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知:X X KK2】 = M ，护= 1*，=2乔厂_ 1 I k ^x 4-x 3 _ 3k + 1・・•• = ， --------------------------k-F I区厂s p + 也-兀])3k -i 14I1-k4-:-+厲-：*：的最小值为 I 代，:.考点：函数零点•,1 7C K12.已知函数 K. = r.m ••：•'：：：•：'••:：“]；，其周期为，儿’：，则儿’：匚“.：=2 2 4A.—— 迅9B.2 1]13C.D.【答案】【解析】 f(x) = 3sim>x.cos®x - 4cos^)x2兀35 4「11. :- ■■■■ -. --Il . .■:ri-- ■ .■: 其中 m.=2_iM1 .；:: I ，因为 h '：.，所以■- . ■- ■-八.- ："；：.=■'.：■【答案】【解析】'■ = ■ ' ■ I I ! - ■- '■15. 某班运动队由足球队员倨人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项)「现从这些运动员中抽取一个容量为门的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法•,贝帰环用剔除个体；当样本容量为n十1时,若采用系统抽柿去T则需要剔除1个个体「那么样本容量n为 __________ .【答案】6【解析】n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2: 1,所以n为6的倍数，因此6,12.18,2430,36因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此16. 数列的前项和，已知，且对任意正整数..，都有，若对任意，玄口恒成立，则实数L的取值范围是 __________________ .【答案】才,T氐|【解析】因为斗［+］=斗玄］=叫・"・» = ----- - < —，所以实数L的取值范围是才,4 gI —5点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立？，恒成立？三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前..项和，且£.：［, +「二.（1）求的通项公式；（2）若不等式心：九：九:，对所有的正整数..都成立，求实数.的取值范围【答案】（1）' ■；（2）:兰【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得-L「■-. （2）先化简不等式：；】:"：“'，再分奇偶讨论：当门为奇数n时，. |丨；当为偶数时，.…：.：■,最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数.的取值范围.试题解析：（I）设公差为，则、. .、：］!、. .1 、，一：X ,f| = - L「'■•••的通项公式为=■3n（n - 1）,（n）,「，「：】_.• 匕”八-■则原不等式等价于| I 对所有的正整数I】都成立.nf a 9•••当••为奇数时，• | I ;当••为偶数时，卜J 恒成立9又•••，当且仅当：时取等号，n所以当门为奇数时，的最小值为7,n9 29当为偶数时，时，：「斗丨--的最小值为，n 4, 29•••不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是：心「丁118. 如图，在汀.：二.中，—-二，，点在线段上.(2)若匕l；・的面积为一二，求'L J的值.3sinZCxADQ【答案】(1) ; (2)3【解析】试题分析：(I)首先利用同角三角函数间的基本关系求得定理即可求得的长；(n)首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式AB AD在字三二中，由正弦定理得，SinZADB sinBz 8又'.A. ............ 5 分4 3 3(II )・m m -：；；n•，一一一 ,] 1•/，.: .“1 上一泊二•’"一在Id中，由余弦定理得■- .-p.2-考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系.19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛(如图所示) ，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为(弧度)••ii：l■的值，然后利用正弦结合余弦定理即可求得sinZ-CAD试题解析：(I )在三角形中,sin^BADsinZ-CADAC，12分的值.1sm^BADsinZCAD（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，求关于的函数关系式，并求，；（2）当％"时，花坛的面积与装饰总费用的比最大【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长-米为等量关系可以建立- 满足的关系式,10+2x再由此关系式进一步得到函数解析式： —.，即可解得—；（2）10+x11 T*F根据题意及（1） 可得花坛的面积为，装饰总A费用为•，而要求的17Q+ 10x10(17 亠 x)4元/米，弧线部出为何值时,取得最大值?【答案】（1） '：讣|…、.J ：） .＜：■17；| ■ l ：i.v ，因此可得函数解析式 =（1）求关于的函数关系式;□「,+ 卄亠-X - + 5x - 50 x'-5x-50最大值，即求函数的最大值，17Q+ IQx10（17+ x ）39 132 斗从而-，再利用基本不等式，即可求得"io t I 324 3324，当且仅当,|I ；；时取等号，此39 1 -- 2 -10 10时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 可以考虑采用换元法令 ，「的最大值:12- ，因此当匚-11试题解析：（1 ）扇环的圆心角为U.,•••（2）由（1）可得花坛的面积为-10+2 工_： ..，3 分装饰总费用为 .…-― / /, 8 分•花坛的面积与装饰总费用的一2 + 弘+§0 J ? -5x^50” ■ 170+lOx 一 10(17+ X)10分io i 7J41 i ^241令则 —「.--,当且仅当_ _,-” 10 10 t10 10 V z 10 t12 时取等号，此时 ，•一 「，12分11答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20.某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示） ，并计算从恰有2 项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过线 的前提下，将汽车驶入指定的停车位，根据经验，学员甲转向 后可使车尾边缘完全落 在线段‘工、上,且位于〔匸内各处的机会相等, 若2A —三二一工沐，心一工认.汽车宽度为 .， 求学员甲能按教练要求完成任务的概率3 I【答案】（1） ；（ 2）【解析】试题分析：（1）一共有五个人两项不合格，任取两人,63补测项数不超过 ',由古典概型可知，所求概率为 ；（2）在线段上取两点，使试题解析:学员编①②③®⑤(1) :T TT(2)TT T（3） TTT T ⑷T TT(5)T TTT⑹TTT(7)TT T T ⑻T T T T T P(9)T TT(10)TTT \ TT注匕"r 农示合格*喘C 衣示不件格，在汽车边缘不压射线•与射种可能的情况中，有种情况•八 I 「〕: ■■,据几何概型所求概率AB r 2.4-L.8 2.4 + 2 xO.3-1.80.6 1 1223（；）项的概率（2）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向(1)由题意，学员(1) , (2) , (4) , (6) , (9)恰有两项不合格,从中任意抽出•人，所有情 况如下：由表可知，全部 种可能的情况中，有种情况补测项数不超过 ',由古典概型可知，所求概率为10(2)在线段工上取两点亠.二，使二—二—•：」，记汽车尾部左端点为，则当：位于线段上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点 ：等可能地出现在线段上，据几何考点：古典概型、几何概型.21.如图所示的几何体:为一简单组合体，在底面 y 】中，：「，•,(2)求该组合体=■的体积.【答案】(1)见解析；(2)丄匸【解析】试题分析：(1)要证面面垂直只需证线面垂直，容易证 面 ，：面.，所以平面齐平面.)面小“将几何体分成四棱锥 二口和三棱锥；：：-三匚叮:两部分， 分别计算这两部分的体积即可 •(1)求证：平面齐F 平面.；概型，所求概率AB r2,4-1.8 2.4+ 2^0.3-1.80.6 1 122试题解析：(i)证明：因为工；i.平面占兰二m；；】，所以)I.平面仝兰.又因为I：：厂平面f二;，所以丨/丄心、，又因为//? • B：J,且「门字一二、所以-：j ..平面於三，又因为〕:：厂平面匚：工，所以平面齐.F 平面字二.......................... (6分)(2)面：二E■将几何体分成四棱锥三W门和三棱锥二-汎二俩部分，过作二一二》二因为I.平面上m；, m 平面乩玩,所以a三二，又因为上:*匸「-总所以.?0.|平面了二匚；，即H「为四棱锥疋一门的高，并且：〉：I . ；,、■ LI，.'，所以*•.一.-,因为〔门I.平面且已知. ，左E二二为顶角等于的等腰三角形，H；-二，,1 2&所以^ ,所以组合体—汀•的体积为：「. ........................ ( 12分)9 9考点：1、面面垂直的判定定理；2、多面体的体积•1 722. 已知函数：2(1)若，求函数的单调递减区间；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值【答案】(1) ; (2) 2【解析】试题分析：(1)由KI) = 0可求得甘=2，求导后令山刻< °解不等式可得单调递减区间*(刃构造函数1 Ti ... . . g(x) = f(x) - (ax -1) = Inx - 2ax + (1 - a)x + 1 3则问题等价于ca(x) < 0在(0・ + <»)上恒成立.当a < 0时,求导可得Q(X)在(0. + e)上单调递增.又g⑴=-|a +2 > 0・故不滞足题意•当a > 0时’可得Q(X)的最大值为g® = ^ - Ina P因为h⑻=/ -1“单调递减T且h(l) = ； > 0 , h⑵=^ - In2 < 0 ?所以当a > 2时?h(a) < 0 ,从而可得整数自的最小值为2 ■试题解析:⑴因为 ，所以 的单调减区间为 •(2)令i! ：1 ..■< n Ip< ■ ■/■：-, 由题意可得■■■■■■ ;■在V. + 3上恒成立.f , 1 -ax + (1 - a)x + 1又 ①当 '二.；：时，则 ：！： 所以 在V.十":;上单调递增，I ,3 又因为汀一；| .；i /■■所以关于的不等式不能恒成立.I43a(x - -)(x 4-1)②当■: J > _时， ，g 仪)二 ------------------ 二 -- -------------所以当： 时，，函数 单调递增;a1 ,当―• r 时，，函数 单调递减.I】 1 1 g(3 = In- - -aa a 21令卜i ： ■. ,—cl则 在=.十3上单调递减, 因为 h ； I ， . I ,卜I-： ：, ii'i.'：:'所以当乳r 时，h ；：i ：, 所以整数的最小值为2.故当时, 函数 取得极大值，也为最大值，且最大值为1= -. 2a。

广东省中山市2017-2018学年高三12月月考数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.设集合{}|0M x x =≤，{}|1N x lnx =≤ ，则下列结论正确的是（ ） A.N ≠⊂M .?B M N =.? R C M N R ⋃=ð .R D M N M ⋂=ð002.02p x R sinx q x x sinx π∃∈=∀∈已知命题：，使：（，），＞，则下列判断正确的是（ ）.? .? ?.? .A p B q C p q D p q ∧∨为真￢为假为真为假3.已知12cos()413πα-=04πα∈（，）， 则cos 2sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A .1013B.-513C.513D.12134.函数y=log 2（1+x ）+ 8−2x 的定义域为（ ） A.（-1，3） B.（0，3] C.（0，3） D.（-1，3]5.函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（w ＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f （0）+f （17π12）的值为（ ） A.2- 3 B.2+ 3C.1- 32D.1+ 326.函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A.x =−π2B.x =−π4C.x =π8D.x =π47.设f （x ）=ax 2+bx+2是定义在[1+a ，1]上的偶函数，则f （x ）＞0的解集为（ ） A.（-2，2） B.∅ C.（-∞，-1）∪（1，+∞） D.（-1，1）8.已知函数f （x ）=-x 2+2ax+1-a 在区间[0，1]上的最大值为2，则a 的值为（ ） A.2 B.-1或-3C.2或-3D.-1或2 9.已知函数221f x x f lnx x f =+'-'=（）（）（），则（）（ ）A.1B.2C.3D.410.设函数f （x ）= 2x +a ，x ＞2log 12(94−x )+a 2，x ≤2，若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A.（-∞，-1]∪[2，+∞）B.[-1，2]C.（-∞，-2]∪[1，+∞）D.[-2，1]11.设函数f （x ）=-|x|，g （x ）=lg （ax 2-4x+1），若对任意x 1∈R，都存在x 2∈R，使f （x 1）=g （x 2），则实数a 的取值范围为（ ） A.（-∞，4] B.（0，4] C.（-4，0] D.[4，+∞）12.y kx m y f x F x f x kx =+==-如图，已知直线与曲线（）相切于两点，则（）（）有（ ）A.2个零点B.3个极值点C.2个极大值点D.3个极大值点二、填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知条件P：x2-3x+2＞0；条件q：x＜m，若￢p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ______ ．14.曲线f（x）=e x+5sinx在（0，1）处的切线方程为 ______ ．15.若cos(α+π5)=45，则sin(2α+9π10)= ______ ．16.已知函数f（x）=|x2-4x+3|，若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ______ ．三、解答题(本大题共7小题，第17-21题每题12分，第22题10分，共70分)17.求下列各式的值．（1）log327+lg25+lg4+7 lo g72+（-9.8）0（2）（tan5°-1tan5°）•cos70°1+sin70°．18.已知函数f（x）=sin（ωx-π4）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（π6）．（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[-π2，π2]上的图象，并根据图象写出其在（-π2，π2）上的单调递减区间．19.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（ab∈R）（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求b的值；（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的取值范围．20.已知函数f（x）=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=23，求sin（56π-4α）的值．21.设f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．22.选做题：在以下两题中选择一题进行作答。

中山市高二级2017-2018学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设c b a ,,是实数，则“b a >”是“22bc ac >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足ba cC B A B +=--sin sin sin sin ，则=A （ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．3π或32π3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知9,105123=+=a a a S ，则=1a （ ） A ．31 B ．31- C ．91 D ．91- 4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为 45，沿A 向北偏东 30方向前进m 100后到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度试（ ） A ．m 50 B ．m 100 C. m 120 D ．m 1505.已知等差数列}{n a 的前n 项和为130,210,40,44===-n n n S S S S ，则=n （ ） A ．12 B ．14 C. 16 D ．186.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，则132+++x y x 取值范围是（ ）A ．]5,1[B ．]6,2[ C. ]10,3[ D ．]11,3[7.直线b x y +=21与曲线x x y ln 21+-=相切，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1- C. 21- D ．18.已知函数)(,cos 41)(2x f x x x f '+=是函数)(x f 的导函数，则)(x f '的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．9.双曲线116922=-y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为N ,7是1MF 的中点，则=||ON （ ） A ．213 B ．4 C. 213或4 D ．213或21 10.空间四点)2,0,2(),01,0(),2,3,4(),6,3,2(D C B A 的位置关系式（ ） A ．共线 B ．共面 C.不共面 D ．无法确定11.已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上的一点，21,F F 为双曲线的左、右焦点，使0)(22=⋅+→→→P F OF OP （O 为坐标原点）且||3||21→→=PF PF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．216+ B ．16+ C. 213+ D ．13+ 12.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S .在同一坐标系中，)(n f a n =及)(n g S n =的部分图象如图所示，则（ ）A ．当4=n 时，n S 取得最大值B ．当3=n 时，n S 取得最大值C. 当4=n 时，n S 取得最小值 D ．当3=n 时，n S 取得最小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28x y =的准线方程为 ．14.已知02>++c bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为 ． 15. )2,0(πα∈，则ααα22cos 4sin 2sin +的最大值为 ． 16.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若对任意的实数x ，有)()(x f x f '>，且2017)(+x f 为奇函数，则不等式02017)(<+x e x f 的解集是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且0sin 3cos =--+c b C a C a . （1）求A ；（2）若AD 为BC 边上的中线，2129,71cos ==AD B ，求ABC ∆的面积.18. 设数列}{n a 的前n 项积为n T ，且n n a T 22-=. （1）求证：数列}1{nT 是等差数列； （2）设1112++=n n n T T b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=c x c x x P ,321,61（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如1.0=P 表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？20. 如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，60,22,//=∠==DAB AD AB CD AB ，四边形CDEF 为正方形，平面⊥CDEF 平面ABCD .（1）若点G 是棱AB 的中点，求证：//EG 平面BDF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值.21. 设函数)(ln 1)(R a x a xx x f ∈--=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,()),(,(2211x f x B x f x A 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点与上顶点分别为B A ,，椭圆的离心率为23，且过点)23,1(. （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于Q P ,两点，直线AP BQ ,的斜率互为相反数. ①求证：直线l 的斜率为定值；②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为21,S S ，求21S S 的最大值.试卷答案一、选择题1-5:BBCAB 6-10:DBAAC 11、12：DA二、填空题13. 321-=y 14. 21|{<x x 或}1>x 15. 2116. ),0(+∞三、解答题17.解：（1）0sin 3cos =--+c b C a C a ，由正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+，即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=+，化简得：21)30sin(,1cos sin 3=-∴=- A A A ， 在ABC ∆中，3030,1800=-∴<<A A ，得 60=A .（2）在 60=A 中，71cos =B ，得734sin =B则1435734217123)sin(sin =⨯+⨯=+=B A C 由正弦定理得57sin sin ==C A c a 设x c x a 5,7==，在ABD ∆中，由余弦定理得：B BD AB BD AB AD cos 2222⋅-+=，则7172152494125412922⨯⨯⨯⨯-⨯+=x x x x ，解得1=x ， 即5,7==c a 故310sin 21==∆B ac S ABC . 18.解：（1）因为n n a T -=2，所以1122T T -=，即321=T ，所以2311=T又)2(221≥-=-n T T T n nn ，所以)2(2211≥-=--n T T T T n n n n ， 即)2(21111≥=--n T T n n ， 所以数列}1{n T 是以23为首项，以21为公差的等差数列. （2）由（1）知2221)1(231+=⨯-+=n n T n ， 所以)23(232223222+-+=+++=+++=n n n n n n b n所以)33(2)23(2)45(2)34(2-+=+-+++-+-=n n n S n .19.解：（1）当c x >时，0132231,32=⋅-⋅=∴=x x T P ， 当c x ≤≤1时，xP -=61， xx x x x x x T --=⋅⋅--⋅⋅--=∴6291)61(2)611(2综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=c x c x xx x T ,01,6292（2）由（1）知，当c x >时，每天的盈利额为0当c x ≤≤1时，31215]69)6[(2156292=-≤-+--=--=xx x x x T 当且仅当3=x 时取等号所以（i ）当63<≤c 时，3max =T ，此时3=x（ii ）当31<≤c 时，由222)6()9)(3(2)6(54242x x x x x x T ---=-+-='知函数x x x T --=6292在]3,1[上递增，cc c T --=∴6292max ，此时c x =综上，若63<≤c ，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若31<≤c ，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 20.证明：由已知得CD EF //，且CD EF =. 因为ABCD 为等腰梯形，所以有CD BG //. 因为G 是棱AB 的中点，所以CD BG =. 所以BG EF //，且BG EF =， 故四边形EFBG 为平行四边形， 所以FB EG //.因为⊂FB 平面⊄EG BDF ,平面BDF ， 所以//EG 平面BDF .解：（2）因为CDEF 为正方形，所以DC ED ⊥.因为平面⊥CDEF 平面ABCD ， 平面⋂CDEF 平面DC ABCD =，⊂DE 平面CDEF ，所以⊥ED 平面ABCD .在ABD ∆中，因为 60=∠DAB ，22==AD AB ， 所以由余弦定理，得3=BD ，所以BD AD ⊥.在等腰梯形ABCD 中，可得1==CB DC .如图，以D 为原点，以DE DB DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间坐标系，则)1,23,21(),0,3,0(),1,0,0(),0,0,1(),0,0,0(-F B E A D ， 所以)0,3,0(),1,23,21(),1,0,1(=-=-=→→→DB DF AE . 设平面BDF 的法向量为),,(z y x n =→，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00DF n DB n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0232103z y x y ，取1=z ，则0,2==y x ，得)1,0,2(=→n .设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则1010|||||||,cos |sin =⋅⋅=><=→→→→→→n AE n AE n AE θ 所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1010.21.解：（1）)(x f 的定义域为222111)(),,0(x ax x x a x x f +-=-+='+∞，令1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a①当2||≤a 时，0)(,0≥'≤∆x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增，②当2-<a 时，0)(,0=>∆x g 的两根都小于0，在),0(+∞上，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增，③当2>a 时，0)(,0=>∆x g 的两根为24,242221-+=--=a a x a a x ，当10x x <<时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ， 故)(x f 分别在),(),,0(21+∞x x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减. （2）由（1）知，2>a ， 因为)ln (ln )()()(2121212121x x a x x x x x x x f x f ---+-=-， 所以2121212121ln ln 11)()(x x x x a x x x x x f x f k --⋅-+=--=，又由（1）知，121=x x .于是2121ln ln 2x x x x a k --⋅-=若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2121=--x x x x .即2121ln ln x x x x -=-，亦即)1(0ln 212222>=--x x x x （*） 再由（1）知，函数t tt t h ln 21)(--=在),0(+∞上单调递增，而12>x ， 所以01ln 2111ln 21222=-->--x x x .这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得a k -=2. 22.（1）由题意，离心率23==a c e ，所以a c 32=，所以224b a =，故椭圆的方程为22244b y x =+，将点)23,1(代入，求得12=b ， 所以椭圆的标准方程为1422=+y x ； （2）①设直线BQ 的方程为1+=kx y ，则由题意直线AP 的方程为)2(--=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得08)41(22=++kx x k ， 所以点Q 的坐标为)4141,418(222kk k k +-+-， 同理可求得点P 的坐标为)414,4128(222k k k k ++-. 所以直线l 的斜率为212884414128418414414122222222=+----=+--+-+-+-k k k k k k k k k k k k . ②设Q P ,两点到直线AB 的距离分别为21,d d ，因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以21>k ，且点Q P 、分别在直线022:=-+y x AB 的上、下两侧， 所以022,022<-+>-+Q Q P P y x y x ， 从而5241841285222221-+++-=-+=k k k k y x d P P ， 5241824185222222++--+=-+=k k k k y x d Q Q ， 所以k k k k k k k k k k k k k k k k k d d S S 2412)41(2)82(8)41(28282418241824184128222222222222121+-=++--+-+-=++--+-+++-==， 令)0(12>=-t t k ，则2233221321231)1(241222221-=+≤++=++=+++=+-=tt t t t t t t k k k S S ， 当且仅当t t 2=，即2=t ，即212+=k 时，21S S 有最大值为223-.绝密★启用前广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末（理）考卷 考试范围：必修五、常用逻辑用语、立体几何、解析几何、导数.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷涵盖了高中数学的必修五、常用逻辑用语、立体几何、解析几何、导数等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查，如解三角形、数列、立体几何、解析几何、导数等.一、单选题1．设错误！未找到引用源。

广东省中山市2017-2018学年高三高考模拟考试数学1．设集合错误！未找到引用源。

,集合错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

2．复数的共轭复数是A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

3．某小区有1000户,各户每月的用电量近似服从正态分布错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,则用电量在320度以上的户数估计约为[参考数据:若随机变量错误！未找到引用源。

服从正态分布错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

]A.17B.23C.34D.464．以下判断正确的是A.函数错误！未找到引用源。

为R上可导函数,则错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

为函数错误！未找到引用源。

极值点的充要条件;B.“存在错误！未找到引用源。

”的否定是“任意错误！未找到引用源。

”;C.“在锐角错误！未找到引用源。

中,有错误！未找到引用源。

”为真;D.“错误！未找到引用源。

”是“函数错误！未找到引用源。

是偶函数”的充分不必要条件.5．函数错误！未找到引用源。

的部分图象如图所示,则错误！未找到引用源。

的值分别是A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

6．两个等差数列的前错误！未找到引用源。

项和之比为,则它们的第7项之比为A.2B.3C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

7．已知实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

,若直线经过该可行域,则实数错误！未找到引用源。

的最大值是A.1B.错误！未找到引用源。

C.2D.38．阅读如右所示的程序框图,若运行相应的程序,则输出的错误！未找到引用源。

的值是A.39B.21C.81D.1029．某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示:若数学成绩90分(含90分)以上为优秀,物理成绩85(含85分)以上为优秀.有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系A.错误！未找到引用源。

中山一中2018学年高三第五次统测理科数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题，20小题. 满分150分.考试时间为120分钟.第一部分 选择题(共40分)一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1. 已知1，x ，9三数成等比数列，则x 的值为（ ）.A ．3B ．5C ．3或－3D ．－32. 设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|3,1N x x x =≥<或都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）. A. {}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤ C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <3． 已知向量a 与b 均为非零向量，则|a +b |=|a b -|是a ⊥b 的（ ）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.1()x x e dx --⎰= （ ）.A. 312e -+B. –1C. 11e --D. 32-5. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个 正方体的后面是（ ）.A. 0B. 7C. 快D. 乐6．有10本不同的语文书，2本不同的数学书，现从中任意取出2本，能取到数学书的概率为（ ）. A. 15 B. 511 C. 13D.7227. 函数1)y x =>-图象上最低点的坐标为（ ）. A. （3，4） B （0，5） C.（3，2） D. （8，133）)0,5(1-F ，(2F 120PF PF ⋅=， 12||||2PF PF ⋅=，则该双曲线的方程是（ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分)． 9. 不等式||(12)0x x ->的解集是 ．10．以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是11. 某街头小摊, 在不下雨的日子可赚到100元, 在下雨天则要损失10元. 若该地区每年下雨的日子约为73天, 则此小摊每天获利的期望值是__________ (每年按365天计算).12. 在 ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠A =60︒，b =1，c =4，则sin sin sin a b cA B C++++的值等于 .13.右边的框图运行后，输入60，输出的结果是 ．14. 把实数a ，b ，c ，d 排成如a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(x ，y )在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(ax +by ，cx +dy )，若曲线x 2+4xy +2y 2=1在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线x 2－2y 2=1，则a +b 的值为姓,90BC DE a EAB ABC DEA ==∠=∠=∠=.（1）求证：PA ⊥平面ABCDE ； （2）求二面角A PD E --的正弦值;（3）求点C 到平面PDE 的距离.18．(13分)某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．19．(14分)已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行．（1）求f (x )的解析式； （2）求函数g (x )=f (x 2)，x ∈[-1,2]的值域； （3）探求 “曲线()x f e 上任意两点的连线的斜率恒大于1a a”的一个充要条件.）设直线l过轨迹E的焦点OF是OA 的等比中项；CD的中点中山一中2018学年高三第五次统测理科数学试题答案一、选择题 CACA BDAC二、填空题 9。

广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试文数试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|40A x x =-<，{}|1x 5B x =-<≤，则()R A B = ð（ ） A ．()20-， B ．()21--， C ．(]21--， D ．()22-， 2.已知复数21aibi i-=+，其中a b R ∈，，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）A ．13i --BC ．10D 3.2014cos 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12 B ．12- D ．4.已知点()01A ，，()32B ，，向量()43AC =--，，则向量BC = （ ）A ．()74--，B ．()74， C.()14-， D ．()14， 5.曲线():sin 2xC f x x e =++在0x =处的切线方程为（ ） A ．23y x =-+ B ．132y x =- C.23y x =+ D ．32y x =- 6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，533a a =，则9S =（ ） A ．72- B ．54- C.54 D ．72 7.已知32a n n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，4cos 5a =-，则tan 4a π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．7B ．17 C.17- D ．7- 8.若三次函数()3f x mx x =-在()-∞+∞，上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．()0-∞，B ．()1-∞， C.(]0-∞， D ．(]1-∞，9.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =（ ）A ．5B C.2 D ．1 10.下列函数中，可以是奇函数的为（ ）A ．()()f x x a x a R =-∈，B ．()21f x x ax a R =++∈， C.()()2log 1f x ax a R =-∈， D ．()cos f x ax x a R =+∈，11.设等国三角形ABC 边长为6，若3BC BE = ，AD DC =，则BD AE ⋅ 等于（ ）A．- B．18- D ．1812.函数()331f x x x =--，若对于区间(]32-，上的任意1x ，2x ，都 有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值是（ ）A ．20B ．18 C.3 D ．0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.函数()()sin 2sin f x x ϕ=+-，cos x ϕ的最大值为 ． 14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和2580a a +=，则52S S = ． 15.已知()12a = ，，()11b =，，则与2a b + 方向相同的单位向量e = ． 16.给出下列命题：①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题： ②命题“[]12x ∀∈，，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真命题．期中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S18.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()22xx b f x a-+是奇函数．⑴求a b ，的值； ⑵若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()21sin 22f x x x =⑴求()f x 的最小正周期和最小值；⑵将函数()f x 的图象上每一点横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()g x 的值域．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a c >，已知2BA BC ⋅= ，1cos 3B =，3b =．求： ⑴ a 和c 的值；⑵()cos BC -的值．21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()112n n S a n N ++=∈⑴求数列{}n a 的通项公式n a ； ⑵ ()()113log 1n n b S n N ++=-∈，令12231111a n n T b b b b b b +=+++ ，求a T ．22.（本小题满分12分）设()ln f x x =，()()()'g x f x f x =+ （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；（Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()1g a g x a-<对任意0x >成立．广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试文数试题答案一、选择题1-5:CBCAC 6-10:BBABA 11、12：CA 二、填空题13.1 14.11- 15.3455⎛⎫⎪⎝⎭， 16.三、解答题17.解：⑴设等差数列{}n a 的公差是d ． 由已知()()382726a a a a d +-+==- ∴3d =-∴2712723a a a d +=+=-，得11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+⑵由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴1n n n a b q -+= ∴1132n n n n b q a n q --=-=-+∴()()21147321n n S n q q q-=++++-+++++⎡⎤⎣⎦ ∴当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=，当1q ≠时，()31121n n n n q S q--=+-18.解析：⑴∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()1001b f a -==+，∴1b =． ∴()122x x f x a -=+，()()1122212212x x x x x xf x f x a a a ------===-=+⋅++，∴212x x a +=+， 即()2121x x a -=-对一切实数x 都成立． ∴1a =，∴1a b ==．⑵不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-． 又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-．∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立，∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，．19.解⑴())2111sin 2sin 21cos2sin 2sin22223f x x x x x x x x π⎛⎫==-+=-=--⎪⎝⎭， 因此()f x 的最小正周期为π，最小值为． ⑵由条件可知，()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，有2363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，那么sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦，故()g x 在区间2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上值域是⎣⎦． 20.解⑴由2BA BC ⋅= 得cos 2c B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =、由余弦定理，得2222a c b acsosB +=+，又3b =，所以2292213a c +=+⨯=． 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，，得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩，因a c >，所以3a =，2c =．()1723cos cos cosC sin sin 3927B C B B C -=+=⨯+=．21.解：⑴由()112n n S a n N ++=∈，得112n n S a =-∴1n =时，11112S a =-，得123a =2n ≥时，1111111112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113n n a a -=∴{}n a 是等比数列，且公比为13，首项123a =，∴123nn a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭⑵由⑴及112n n S a +=得，11111123n n n S a +++⎛⎫-== ⎪⎝⎭∴()113log 11n n b S n +=-=+∴()()111111212n n b b n n n n +==-++++ ∴1111111112334122224a T n n n n =-++-++-=-=++++ 22.解（Ⅰ）由题设知()ln f x x =、()1ln g x x x =+，∴()21'x g x x-=，令()'0g x =，得1x = 当()01x ∈，时，()g'0x <，故()01，是()g x 的单调减区间．当()1x ∈+∞，时，()'0g x >，故()1+∞，是()g x 的单调递增区间，因此，1x = 是()g x 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为()1g l =．（Ⅱ）1ln g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭设()()112ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则()()221'x h x x -=-，当1x =时，()0h l =即()1g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()()011x ∈⋃+∞，，，时()'0h l =，因此在()0+∞，内单调递减，当01x <<时，()()0h x h l >=即()1g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．当1x >时，()()0h x h l <=即()1g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭（Ⅲ）由（Ⅰ）知()g x 的最小值为1，所以，()()1g a g x a -<，对任意0x >，成立()11g a a⇔-<，即l n1a <，从而得0a e <<．。

中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则的值为（）A. 2B. -1C. -1或2D. 2或【答案】A【解析】解：由题意可知：，则满足题意时， .本题选择C选项.2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. 2B.C.D. -2【答案】A【解析】由题意，令，则，则解得，故选A3. 已知实数，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，..所以.故选D.4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】执行循环得，结束循环，输出，选B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若满足，若，则的最大值是（）A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线过点A(2,2)时取最大值6，选C.6. 李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A. 10步，50步B. 20步，60步C. 30步，70步D. 40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：令，可求得；令，可求得；所以，令，所以，故应选.考点：1.二项式定理；2、函数的最值；视频8. 已知函数与的图像如图所示，则函数的递减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D. 考点：利用导数研究函数的单调性.9. 已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A. 48种B. 72种C. 78种D. 84种【答案】A【解析】试题分析：先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A.考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.视频10. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】轨迹为线段MN,其中M，N分别为中点，所以与平面所成角的正切值范围为 ,选D.11. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知：，，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴的最小值为.考点：函数零点.12. 已知函数，其周期为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】其中，所以，因为，所以，选D.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】【解析】14. 已知，，则__________．【答案】【解析】【答案】6【解析】n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n为6的倍数，因此因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此.....................【答案】【解析】因为，所以实数的取值范围是点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得．(2)先化简不等式：，再分奇偶讨论：当为奇数时，；当为偶数时，，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设公差为，则，∴．∴的通项公式为．（Ⅱ），，；则原不等式等价于对所有的正整数都成立．∴当为奇数时，；当为偶数时，恒成立又∵，当且仅当时取等号，所以当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是18. 如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值．试题解析：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) ，(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为，因此可得函数解析式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题解析：（1）扇环的圆心角为，则，∴， 3分（2）由（1）可得花坛的面积为，6分装饰总费用为， 8分∴花坛的面积与装饰总费用的， 10分令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率.（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.①求该学员能通过“科二”考试的概率；②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）共有5名学员恰有两项不合格，从中任意抽出2人，列出所有可能，共10种，其中有6种情况补测项数不超过3 ，最后根据古典概型概率公式求概率(2) ①先计算顺利完成每1轮测试(或补测)的概率，再根据独立重复试验得能通过“科二”考试的概率为4次实验中至少成功一次②先确定随机变量取法，再依次计算对应概率，最后根据数学期望公式求期望试题解析：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1××①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为故学员能通过“科二”考试的概率为1-②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450而P(X=150)=×，故X的分布列为故E(X)=150×450×126+72=198(元)点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）．【解析】试题分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明．（2）取中点，连接，，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面，∵四点共面，且面面，∴.（2）解：取中点，连接，，∵，∴，∵平面平面，平面平面，∴面，∴，在菱形中，∵，，是中点，∴，如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，由得，，，，，，.又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，，设平面的法向量为，则有，，取，则.∵平面，∴是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为，∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.22. 已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若，正实数满足，证明：.【答案】（1）（2）2（3）见解析【解析】试题分析：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．试题解析：（1）因为，所以，此时，，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，令，只要，因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，因为，，所以，此时，即，所以，即整数的最小值为2．（3）当时，，由，即，从而，令，则由，得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因此成立．考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值．【方法点睛】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数；(3)由(或)，解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题。

广东省中山市数学高三上学期理数第五次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·长沙月考) 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·普宁期中) 满足M⊊{a，b，c，d，e}的集合M的个数为（）A . 15B . 16C . 31D . 323. （2分）点集{（x，y）|||x|﹣1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是（）A . 14B . 16C . 18D . 204. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 执行下面的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分） (2016高一上·会宁期中) 函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A .B .C .D .6. （2分）设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6．现用直径等于2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）函数y=1+sin（x﹣）的图象（）A . 关于x轴对称B . 关于y轴对称C . 关于原点对称D . 关于直线x=对称8. （2分）已知1，x，y，z，9成等比数列，则y=（）A . ﹣3B . 3C . 5D . ±39. （2分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1,-7）的圆交y轴于M,N两点，则|MN|=（）A . 2B . 8C . 4D . 1010. （2分） (2015高三上·辽宁期中) 定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A .B .C .D . （﹣∞，﹣3）11. （2分）某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（）A . 36种B . 39种C . 60种D . 78种12. （2分）命题p:函数的图像恒过点(0,-2)；命题q：函数有两个零点. 则下列说法正确的是（）A . “p或q”是真命题B . “p且q”是真命题C . 为假命题D . 为真命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·济南期中) f（x）= ，若f（x）=10，则x=________．14. （1分）tan300°=________15. （1分）一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为________16. （1分） (2017高一下·荥经期中) 若向量、满足| |= ，| |=1， =﹣1，则向量、的夹角的大小为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2016·安徽) 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．（Ⅰ）求X=n+2的概率；（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）18. （10分） (2017高一下·黄冈期末) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， = ，且a+c=2．（1）求角B；（2）求边长b的最小值．19. （5分）如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，，求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．20. （10分） (2019高二上·大港期中) 已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且 . 求椭圆的方程.21. （10分）设f（x）=x2﹣4ax+alnx（a∈R）（1）讨论f（x）的极值点的个数（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣2．22. （10分） (2017高一下·鸡西期末) 已知圆外的有一点，过点作直线 .（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.23. （10分） (2018高二上·福州期末) 已知O为坐标原点，椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2 ，右顶点为A,上顶点为B,若|OB|,|OF2|,|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且，求的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。