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第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程

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二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解

二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]

二阶常系数非齐次线性方程.

二阶常系数非齐次线性方程.
第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 形如 y py qy f ( x) (1)
称
称为二阶非齐次线性微分方程。 y py qy 0 （2）
为 (1) 的相应的齐次方程。
*
在上一节，我们讨论了方程（2）的解的结构和他的解法 本节将讨论方程（1）的解的结构和解法 我们在讨论一阶线性微分方程时，先讨论一阶线性齐次微分 方程 得
f ( x) 0 f ( x)
所以 y Y ( x) y* ( x)是方程（）的通解。 1
定理4.4、设 Yi ( x) (i 1, 2)分别为方程 y py qy fi ( x)的解， 则 Y1 ( x) Y2 ( x) 是方程 y py qy f1 ( x) f 2 ( x) 的解。
1:求 由于 0 不是特征根, 则设 y ax b 将 y 代入方程得:


y ' a
a 1 1 b 3
y '' 0
3ax 2a 3b 3x 1
3a 3 2a 3b 1

1 则一个特解为 y x 3 3x 所以，原方程的通解为 y c1e
y Qn ( x)e x
(2).当 是特征单根时: 2 p q 0, 2 p 0, 因此 Q( x) 是 n 次多项式, Q ( x) 是n+1次多项式, 则设
y xQn ( x)e x
(3).当 是特征重根时: 2 p q 0, 2 p 0,
4b0 1
*
4(b1 b0 ) 0
1 2 2x 1 1 y x e x 2 4 4 1 2 2x 1 1 2x 综上 原方程的通解为 y (C1 C2 x)e x e x 2 4 4

高等数学第十二章第七讲 二阶常系数非齐次线性微分方程

高等数学第十二章第七讲 二阶常系数非齐次线性微分方程
方法：待定系数法.
x
Pm ( x )e x cos x ,
难点：如何求特解？
第十二章
一、
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设非齐方程特解为 y Q( x )e x 代入原方程
().Q( x ) ( 2 p )Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x )
代入方程得 A 1 2j 1 1 1 jx y xe x sin x j x cos x 2j 2 2 1 * 取实部得 y2 x sin x 2 1 x * * * 原方程的特解 y y1 y2 (e x sin x ) 2 1 x 所求通解为 y c1 cos x c2 sin x 2 (e x sin x )
( j ) x
Qm ( x )是m次复系数多项式
记Qm ( x ) Q1 ( x ) jQ2 ( x )
Q1 ( x ), Q2 ( x )均是m次实系数多项式
第十二章
y x k [Q1 ( x ) jQ2 ( x )]e x (cosx j sinx )
x k e x [(Q1 ( x ) cos x Q2 ( x ) sinx ) j (Q1 ( x ) sinx Q2 ( x ) cos x )]
对应齐方程通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
解
用常数变易法求非齐方程通解
设 y c1 ( x ) cos x c2 ( x ) sin x,
w( x ) 1,
c1 ( x ) sin x ln sec x tan x C1 , c2 ( x ) cos x C 2
第十二章

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。

二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.11 二阶常系数非齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 1 主要内容型的解法 )(t e qx x p x m tϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法1 2 1 主要内容型的解法 )(t e qx x p x m tϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法对应齐次方程通解结构),()()(*t x t X t x +=021=++x a x a x 设非齐次方程特解为 .)()(*te t Z t x μ=代入原方程,)()(t e t F m t ϕμ=,为常数其中μ.)(0111b t b tb t b t m m m m m ++++=-- ϕ1 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ ,)()(')(*t t e t Z e t Z t x μμμ+= tt t e t Z e t Z e t Z t x μμμμμ)()('2)(")(2*++= )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++''对应齐次方程通解结构),()()(*t x t X t x +=021=++x a x a x 设非齐次方程特解为 .)()(*te t Z t x μ=代入原方程,)()(t e t F m t ϕμ=,为常数其中μ.)(0111b t b tb t b t m m m m m ++++=-- ϕ1 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++'',不是特征方程的根即μ,0)1(212≠++a a μμ()(),0111B t B t B t B t Z t Z m m m m m ++++==-- .)()(*i t m B t e t Z t x 的同次幂，定出代入原方程比较两端μ=设 将是特征方程的单根，μ,0)2(212=++a a μμ,022≠+a μ),()()(01B t B t B t t Z t t Z m m m +++== 可设.)()(*tm e t Z t t x μ=则 是特征方程的重根，μ,0)3(212=++a a μμ,021=+a μ),()(2t Z t t Z m =可设.)()(2*tm e t Z t t x μ=设非齐次方程特解为 .)()(t e t Z t x μ=*代入原方程 )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++''是特征方程的单根，μ,0)2(212=++a a μμ,022≠+a μ),()()(01B t B t B t t Z t t Z m m m +++== 可设.)()(*tm e t Z t t x μ=则 是特征方程的重根，μ,0)3(212=++a a μμ,021=+a μ),()(2t Z t t Z m =可设.)()(2*t m e t Z t t x μ=,)()(*t Z e t t x m tk μ=特解⎪⎩⎪⎨⎧=重特征根是是单特征根不是特征根2,2,1,0μμμk 综上, 可推广到n 阶方程（k 是重根次数）.,)()(t e t F m t ϕμ=.)(次多项式是待确定的m t Z m.652的通解求方程t te x x x =+- 解 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的特征方程为 ,0652=+-λλ.3,221==λλ.3221tt e C e C X +=,2*t e x =代入得 例1 设特解为 t )(B At +,)()(t e t F m ϕ=非齐次的特解 t t e Bt At e B At x 222)(2)2(+++=* te B t B A At 22))(22(+++=t t eB A At e B t B A At x 222))(24())(22(2++++++=* t e B A t B A At 22)42)48(4(++++=t B B A t B B A B A =-++++-+542)6)(1048(,)()(*t Z e t t x m t k μ=特解⎪⎩⎨=重特征根是是单特征根2,2,1μμk.652的通解求方程t te x x x =+- 解 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的特征方程为 ,0652=+-λλ.3,221==λλ.3221tt e C e C X +=代入得 例1 非齐次的特解 t B B A t B B A B A =-++++-+542)6)(1048(t B A At =-+-22,1,21-=-=⇒B A .1212*t e t t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=原方程通解为 .21223221t t t e t t e C e C x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=,0212⎩⎨⎧=-=-⇒B A A ,)()(*t Z e t t x m t k μ=特解⎪⎩⎨=重特征根是是单特征根2,2,1μμk ,)()(t e t F m ϕ=,2*t e x =设特解为 t )(B At +1 2 1 主要内容 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法t υt e t F t υt e t F t μt sin )()(cos )()(ϕϕμ==或可证明:是方程若)()()(t ix t x t x I R ±=)()(2121t f i t f x a x a x ±=++的解, 则 121()(),R x t x a x a x f t ++=是方程的解122()().I x t x a x a x f t ++=是方程的解构造辅助方程υtt ie υt t e x a x a x t t sin )(cos )(21ϕϕμμ+=++ 然后分出其实部和虚部， 2型的解法 t v t e t v t e qx x p x tt sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ ()()i υt e t μϕ+=),(21t F x a x a x =++ 利用1的方法，求出它的特解， 得到所求微分方程的特解.解 齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y +=)2sin 2(cos x i x x y y +=+'',2不是特征根i =μ(),)(ˆ2*ix e B Ax x y+=故令代入辅助方程,得 ,03413⎩⎨⎧=-=-B Ai A .9431i B A -=-=⇒，对应齐次方程的特征方程为 ,012=+λ.,21i i -==λλ作辅助方程 ,)(2)('ˆ22*ix ix e B Ax i Ae x y ++=,)(44)("ˆ222*ixix e B Ax i iAe x y ++=非齐次的特解 4-,2ix xe =解 齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y +=,2不是特征根i =μ(),)(ˆ2*ix e B Ax x y+=故令代入辅助方程,得 ,03413⎩⎨⎧=-=-B Ai A .9431i B A -=-=⇒，对应齐次方程的特征方程为 ,012=+λ.,21i i -==λλ作辅助方程 非齐次的特解 ix e i x x y 2*)9431()(ˆ--=∴)2sin 2)(cos 9431(x i x i x +--=.)2sin 312cos 94(2sin 942cos 31i x x x x x x +-+-=原方程通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=（取实部） )2sin 2(cos x i x x y y +=+'',2ix xe =),(21t F x a x a x =++ ,sin )()(cos )()(t υt e t F υt t e t F t μt μϕϕ==或若的特解 ,)()()(*t iv μk et Z t t x ±=.)()(),(21同次的实系数多项式是与其中t t Z t Z ϕ求 υt t ie υt t e x a x a x t t sin )(cos )(21ϕϕμμ+=++.为特征值的重数是其中iv k ±μ同次数的复值多项式得与)(t ϕ).()()(t I i t R t Z ±=)sin (cos ))()(()(*vt i vt e t I i t R t t x tμk ++=则{}]sin )(cos )([]sin )(cos )([vt t R vt t I i vt t I vt t R e t t μk ++-=其实部与虚部分别是υt t e x a x a x t cos )(21ϕμ=++.sin )(21的特解与υt t e x a x a x t ϕμ=++ 可直接设其特解为 ()υt t Z υt t Z e t t x t μk sin )(cos )()(21*+=实数域内的待定系数法()()i υt e t μϕ+=.2sin 52的一个特解求方程t e x x x t=+-解 ,21是特征方程的单根i υi +=+μ ().2sin 2cos )(t B t A e t t x t +=*设方程的特解为例3 特征方程 ,0522=+-λλ.21,2121i i -=+=λλ则 )(t x *=()()()()t B t A te t B t A e t B t A e t x t x t x t x tt t 2sin 42cos 42cos 22sin 22cos 22sin 2)()()()(--++-++-+-+=**** ()t B t A e t x t x t x t 2cos 42sin 4)(5)(2)(+-+-=*** 即 ()t e t B t A e tt 2sin 2cos 42sin 4=+-整理得 .0,41=-=∴B A .t e t t x t 2cos 41)(-=*方程的特解为)(t x* ()t B t A e t 2sin 2cos ++()t B t A te t 2cos 22sin 2+-+.12)4()5()6(的通解求方程-=-+x y y y 解 ,40重根是特征方程的=μ ()().ˆ454Bx Ax B Ax x x y+=+=∴设方程的特解为例4 特征方程 ,02456=-+λλλ().2,1,40321-===λλλ重则 方程的通解为 代入原方程,得 .961,2401=-=∴B A 对应齐次方程的通解为().652433221C x C x C x C e C e C x Y x x +++++=-,45)(ˆ34Bx Ax x y+=',1220)(ˆ23Bx Ax x y +='',2460)(ˆ2Bx Ax x y +=''',24120)(ˆ)4(B Ax x y +=,120)(ˆ)5(A x y =.0)(ˆ)6(=x y ,148240120-=--x B Ax A ().9624045652433221x x C x C x C x C e C e C x y x x +-+++++=-。

二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

则上述方程的一个特解为 取其实部就是题设方程的一个特解
小结
自由项为 及
的二阶常系数非齐次线性方程特解的求解.
练习题
P360 习题8-7 1,2
二阶常系数非齐次线性微分方程 的一般形式：
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程的通解 非齐次方程的特解
求非齐次方程特解的方法 — 待定系数法：
根据 f ( x) 的特殊形式 ,确定特解 的待 定形式,代入原方程比较两端表达式，以确定 待定系数 .
一、
为实数,
设特解为
为 m 次多项式.
其中 为待定多项式,
例1 求方程
的一个特解.
解 题设方程的自由项为 其中
型，
特征方程为
不是特征方程的根 .
设特解为
代入方程 :
比较系数, 得Biblioteka 于是，所求特解为例2
解 本题 其根为
特征方程为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为
代入方程，得
比较系数, 得
因此，特解为 所求通解为
的通解.
二、
求形如 或
的方程的特解。
由欧拉公式知， 分别是 的实部和虚部。
代入原方程，可得
(1)若 不是特征方程的根,
则
为 m 次多项式
从而得到特解
(2)若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 ,即
是 m 次多项式, 故特解形式为
小结：
对于自由项
的方程，
当 是特征方程的 k 重根时, 可设特解的
形式为
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
（1） （2）
分析思路:

高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解


强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。

7-7.二阶常系数非齐次线性微分方程

难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法
P (x)表示m次多项式 m
f ( x) = eλx P ( x) 型 m •一、
* λx 设非齐方程特解为 y = Q(x)e 代入原方程
y′′ + py′ + qy = f (x)
y = Q(x)e
*
(2)
猜想
λx
y*′ = eλ x λQ ( x ) + Q′ ( x )
y = xQm (x)e ;
*
λx
特解
Q′( X ) 是 次 项 m 多 式
(3) 若λ是特征方程的重根， Q′′( X ) 是m次多项式 是特征方程的重根，
λ + pλ + q = 0,
2
2λ + p = 0,
可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ),
综上讨论
y = x Qm (x)e .
1 x 通解ϕ ( x) = C1 cos x + C2 sin x + e 2
1 x 特解ϕ ( x) = ( cos x + sin x + e ) . 2
布置作业
P347 习题 7-8
1. (8)；2.(3). ；
P304------习题 习题7-2 习题
7.小船从河边 出发驶向对岸 小船从河边0出发驶向对岸 小船从河边 出发驶向对岸……. 解：设小船的航行路线C： 设小船的航行路线 ： y h v 水流 0 x
dy cos x ( 3) + y cot x = 5e , y dx
x=
π
1 3 2 −x y = x − x + 2x + c1 + c2e 3

第七节二阶常系数非齐次线性微分方程



C2
原方程通解为
y

(C1 x

C2 )e2 x

x2(1 6
x

1 )e2x 2
.
例3 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子
上，运动开始时，链条的一边下垂８米，另一边
下垂１０米，试问整个链条滑过钉子需多少时间．
解 设链条的线密度为 ,
经过时间t,链条下滑了 x 米,
8m
则由牛顿第二定律得
18 d 2 x (10 x)g (8 x)g,
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0 比较系数得 2 a c
1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式

e x [ Pl
e ix
eix 2

Pn
e ix
eix ]
2i
( Pl Pn )e( i ) x ( Pl Pn )e( i ) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i )x P ( x)e(i )x ,
对应齐次方程通解 Y C1 cos x C2 sin x,
i 是单根, 故 y* x( Acos x B sin x),
代入原方程,得 A 2, B 0 所求非齐次方程特解为 y 2x cos x,
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.

二阶常系数非齐次线性微分方程


二、线性微分方程的解的结构
1.二阶非齐次方程解的结构: 1.二阶非齐次方程解的结构: 二阶非齐次方程解的结构
y′′ + py′ + qy = f ( x) (1)
y′′ + py′ + qy = 0
(2)
是方程(1)的解， (1)的解 定理 1 如果函数 y*( x)是方程(1)的解，Y( x)是方 的解. 程(2)的解，那末 y = Y( x) + y*( x)仍是(1)的解. (2)的解， 的解 （ c1 ,c2是任意常数） 是任意常数）
这里 f ( x )仅 取两 种形 式 ： 1. f ( x ) = Pm ( x )e λ x 2. f ( x ) = e λ x ( A cos ω x + B sin ω x )
设非齐方程特解为 y* = Q( x)eλ x
1、f ( x ) = Pm ( x )e λ x 型
代入原方程
′′( x ) + ( 2λ + p)Q′( x ) + (λ2 + pλ + q )Q ( x ) = Pm ( x ) Q
练 习 题
求下列微分方程的通解: 一、求下列微分方程的通解: 1、 y ′′ + a 2 y = e x ； 2、 y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 3 xe − x ； 3、 y ′′ + 4 y = x cos x ； 4、 y ′′ − y = sin 2 x . 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: 1、 y ′′ − 4 y ′ = 5 , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 0 ； 2、 y ′′ − 2 y ′ + y = xe x − e x , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 1；
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故原方程的通解为
1 1 y = C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x + x + x sin 2 x . 8 8
小结
λx
(待定系数法 待定系数法) 待定系数法
(1) f ( x ) = e Pm ( x ), (λ可以是复数） 可以是复数）
y = xk eλxQm (x);
( 2) f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ],
∵ λ = 2i 不是特征方程的根 ,
设 y* = ( Ax + B )e 2 ix ,
代入辅助方程
1 4 4 Ai − 3 B = 0 ∴ A = − ，B = − i , 3 9 − 3A = 1 1 4 2 ix * ∴ y = ( − x − i )e , 3 9
1 4 = ( − x − i )(cos 2 x + i sin 2 x ) 3 9 1 4 4 1 = − x cos 2 x + sin 2 x − ( cos 2 x + x sin 2 x )i , 3 9 9 3
( y )′′ = (4d − 4cx ) cos 2 x − (4c + 4dx ) sin 2 x ,
* 2
1 代入 y′′ + 4 y = cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x − 4c sin 2 x = cos 2 x , 2 1 c = 0， 4d = ， 1 2 * 由 ∴ y2 = x sin 2 x; 即 1 8 d= ， − 4c = 0， 8
∵ λ = 2 是重根， 设 y∗ = x 2 ( Ax + B)e 2 x = Q( x)e 2 x , 是重根， 代入方程, 代入方程 得 Q′′( x ) = Pm ( x ), 6 Ax + 2 B = x + 1
1 1 A = , B = . 于是 y∗ = x2 ( 1 x + 1)e2 x 6 2 6 2
第七节 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程
y′′ + py′ + qy = f (x) ( p, q 为常数)
根据解的结构定理 , 其通解为 ①
y =Y+ y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 的待定形式
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
(λ +iω ) x
( λ − iω ) x
,
k ( λ + iω ) x
设 y′′ + py′ + qy = P( x)e
, y = x Qm ( x )e
∗ 1
,
设 y′′ + py′ + qy = P( x)e
(λ −iω ) x
, y = x Qm ( x )e
k
∗ 2
( λ − iω ) x
2
o x
解此方程得
1 −1 x ( t ) = (e 3 2
gt
+e
1 gt 3
) − 1,
整个链条滑过钉子 ,即 x = 8,
代入上式得
3 t= ln( 9 + 80 ). (秒) g
Ⅱ. f ( x) = e [Pl ( x) cosωx + Pn ( x) sinωx] 型
λx
f ( x ) = e [ Pl cos ωx + Pn sin ωx ] 利用欧拉公式
1 4 所求非齐方程特解为 y = − x cos 2 x + sin 2 x , 3 9
（取实部） 取实部）
1 4 y = C1 cos x + C 2 sin x − x cos 2 x + sin 2 x . 原方程通解为 3 9
注意 Aeλx cosωx, Aeλx sinωx
分别是 Ae(λ+iω ) x 的实部和虚部.
λx
y = x e [R ( x)cosωx + R ( x)sinωx];
k
λx
(1) m
( 2) m
只含上式一项解法：作辅助方程 求特解 求特解, 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 特解的实部或虚部 得原非齐方程特解
补充题: 补充题
y′′ − 4 y′ + 4 y = 6 x 2 + 8e 2 x 1. 写出微分方程
例3
一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子
上，运动开始时，链条的一边下垂８米，另一边 运动开始时， 的一边下垂８ 下垂１０米 下垂１０米，试问整个链条滑过钉子需多少时间． １０
解
设链条的线密度为 µ ,
8m 10m
经过时间 t , 链条下滑了 x 米,
则由牛顿第二定律得
d x 18 µ 2 = (10 + x ) µg − ( 8 − x ) µg , dt g g x ( 0 ) = 0, x ′ ( 0 ) = 0. 即 x′′ − x = , 9 9
,
∴ y ∗ = x k e λx [Q m e iωx + Q m e − iωx ]
( ( = x k e λx [ Rm1) ( x ) cos ωx + Rm2 ) ( x ) sin ωx ], ( ( 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m 次多项式， m = max{l , n} 次多项式，
Q′′ (x)
+ (λ + p λ + q ) Q(x) = P (x) m
2
(2) 若λ 是特征方程的单根 , 即
y* = xQm ( x) eλ x 次多项式, 为m 次多项式 故特解形式为
(3) 若 λ 是特征方程的重根 , 即
则Q′′(x)是 m 次多项式 故特解形式为 y* = x2Qm ( x) eλ x 次多项式,故特解形式为
0 λ ± iω不是根 k= , 1 λ ± iω是单根
注意 上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方 程.
例4 求方程 y′′ + y = 4sin x 的通解. 解 特征方程 2 + 1 = 0, 特征根 1,2 = ±i r r 对应齐次方程通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,
* ∴ y1 = Ax 2 + Bx + C
Hale Waihona Puke * y2 = Dx 2e 2 x （重根） 重根）
* * y * = y1 + y2 = Ax 2 + Bx + C + Dx 2 e 2 x .
2. 写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) +y′′ = x + ex + 3sin x
代入原方程 , 得 (1) 若 λ 不是特征方程的根 不是特征方程的根, 则取
y′′ + py′ + qy = f (x) Q (x)x 为 m 次待定系数多项式 λ 2 从而得到特解 e [ Q′′ (x) + ( 2λ + p ) Q′ (x) + (λ + p λ + q ) Q(x) ] 形式为 y* x eλ x Qm (x) . λ= = e P (x) m
1 1 2x 原方程通解为 y = (C1 + C2 x)e + x ( x + )e . 6 2
2x 2
1 1 2x 原方程通解为 y = (C1 x + C2 )e + x ( x + )e . 6 2
2x 2
′′ − 4 y′ + 4 y = ( x + 1)e2x , y 法二 2x ( y′ − 2 y)′ − 2( y′ − 2 y) = ( x + 1)e , e−2 x ( y′ − 2 y)′ − 2e−2 x ( y′ − 2 y) = x + 1, −2 x [e ( y′ − 2 y)]′ = x + 1, 1 2 −2 x e ( y′ − 2 y) = x + x + C1 , 2 1 2 −2 x (e y)′ = x + x + C1 , 2 1 3 1 2 −2 x e y = x + x + C1 x + C2 6 2
∵ λ = i 是单根 ,
故 y = x( A cos x + B sin x ),
*
代入原方程,得 代入原方程 得
∴ A = − 2, B = 0
y ∗ = −2 x cos x , 所求非齐次方程特解为
原方程通解为 y = C1 cos x + C 2 sin x − 2 x cos x .
法二 对应齐次方程通解 作辅助方程
I.
f (x) = eλ x P (x) 型 m
λ 为实数 , P (x) 为 m 次多项式 . m 设特解为 y* = eλ x Q(x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , ′ = eλ x[ λ Q(x) + Q′ (x) ] y*
y*′′ = eλ x[ λ2 Q(x) + 2λ Q′ (x) + Q′′ (x) ]
λx
e iωx + e − iωx e iω x − e − iω x λx ] = e [ Pl + Pn 2 2i Pl Pn ( λ + iω ) x Pl Pn ( λ − iω ) x = ( + )e + ( − )e 2 2i 2 2i
= P ( x )e