第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.11 二阶常系数非齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 1 主要内容型的解法 )(t e qx x p x m tϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法1 2 1 主要内容型的解法 )(t e qx x p x m tϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法对应齐次方程通解结构),()()(*t x t X t x +=021=++x a x a x 设非齐次方程特解为 .)()(*te t Z t x μ=代入原方程,)()(t e t F m t ϕμ=,为常数其中μ.)(0111b t b tb t b t m m m m m ++++=-- ϕ1 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ ,)()(')(*t t e t Z e t Z t x μμμ+= tt t e t Z e t Z e t Z t x μμμμμ)()('2)(")(2*++= )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++''对应齐次方程通解结构),()()(*t x t X t x +=021=++x a x a x 设非齐次方程特解为 .)()(*te t Z t x μ=代入原方程,)()(t e t F m t ϕμ=,为常数其中μ.)(0111b t b tb t b t m m m m m ++++=-- ϕ1 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++'',不是特征方程的根即μ,0)1(212≠++a a μμ()(),0111B t B t B t B t Z t Z m m m m m ++++==-- .)()(*i t m B t e t Z t x 的同次幂，定出代入原方程比较两端μ=设 将是特征方程的单根，μ,0)2(212=++a a μμ,022≠+a μ),()()(01B t B t B t t Z t t Z m m m +++== 可设.)()(*tm e t Z t t x μ=则 是特征方程的重根，μ,0)3(212=++a a μμ,021=+a μ),()(2t Z t t Z m =可设.)()(2*tm e t Z t t x μ=设非齐次方程特解为 .)()(t e t Z t x μ=*代入原方程 )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++''是特征方程的单根，μ,0)2(212=++a a μμ,022≠+a μ),()()(01B t B t B t t Z t t Z m m m +++== 可设.)()(*tm e t Z t t x μ=则 是特征方程的重根，μ,0)3(212=++a a μμ,021=+a μ),()(2t Z t t Z m =可设.)()(2*t m e t Z t t x μ=,)()(*t Z e t t x m tk μ=特解⎪⎩⎪⎨⎧=重特征根是是单特征根不是特征根2,2,1,0μμμk 综上, 可推广到n 阶方程（k 是重根次数）.,)()(t e t F m t ϕμ=.)(次多项式是待确定的m t Z m.652的通解求方程t te x x x =+- 解 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的特征方程为 ,0652=+-λλ.3,221==λλ.3221tt e C e C X +=,2*t e x =代入得 例1 设特解为 t )(B At +,)()(t e t F m ϕ=非齐次的特解 t t e Bt At e B At x 222)(2)2(+++=* te B t B A At 22))(22(+++=t t eB A At e B t B A At x 222))(24())(22(2++++++=* t e B A t B A At 22)42)48(4(++++=t B B A t B B A B A =-++++-+542)6)(1048(,)()(*t Z e t t x m t k μ=特解⎪⎩⎨=重特征根是是单特征根2,2,1μμk.652的通解求方程t te x x x =+- 解 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的特征方程为 ,0652=+-λλ.3,221==λλ.3221tt e C e C X +=代入得 例1 非齐次的特解 t B B A t B B A B A =-++++-+542)6)(1048(t B A At =-+-22,1,21-=-=⇒B A .1212*t e t t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=原方程通解为 .21223221t t t e t t e C e C x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=,0212⎩⎨⎧=-=-⇒B A A ,)()(*t Z e t t x m t k μ=特解⎪⎩⎨=重特征根是是单特征根2,2,1μμk ,)()(t e t F m ϕ=,2*t e x =设特解为 t )(B At +1 2 1 主要内容 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法t υt e t F t υt e t F t μt sin )()(cos )()(ϕϕμ==或可证明:是方程若)()()(t ix t x t x I R ±=)()(2121t f i t f x a x a x ±=++的解, 则 121()(),R x t x a x a x f t ++=是方程的解122()().I x t x a x a x f t ++=是方程的解构造辅助方程υtt ie υt t e x a x a x t t sin )(cos )(21ϕϕμμ+=++ 然后分出其实部和虚部， 2型的解法 t v t e t v t e qx x p x tt sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ ()()i υt e t μϕ+=),(21t F x a x a x =++ 利用1的方法，求出它的特解， 得到所求微分方程的特解.解 齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y +=)2sin 2(cos x i x x y y +=+'',2不是特征根i =μ(),)(ˆ2*ix e B Ax x y+=故令代入辅助方程,得 ,03413⎩⎨⎧=-=-B Ai A .9431i B A -=-=⇒，对应齐次方程的特征方程为 ,012=+λ.,21i i -==λλ作辅助方程 ,)(2)('ˆ22*ix ix e B Ax i Ae x y ++=,)(44)("ˆ222*ixix e B Ax i iAe x y ++=非齐次的特解 4-,2ix xe =解 齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y +=,2不是特征根i =μ(),)(ˆ2*ix e B Ax x y+=故令代入辅助方程,得 ,03413⎩⎨⎧=-=-B Ai A .9431i B A -=-=⇒，对应齐次方程的特征方程为 ,012=+λ.,21i i -==λλ作辅助方程 非齐次的特解 ix e i x x y 2*)9431()(ˆ--=∴)2sin 2)(cos 9431(x i x i x +--=.)2sin 312cos 94(2sin 942cos 31i x x x x x x +-+-=原方程通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=（取实部） )2sin 2(cos x i x x y y +=+'',2ix xe =),(21t F x a x a x =++ ,sin )()(cos )()(t υt e t F υt t e t F t μt μϕϕ==或若的特解 ,)()()(*t iv μk et Z t t x ±=.)()(),(21同次的实系数多项式是与其中t t Z t Z ϕ求 υt t ie υt t e x a x a x t t sin )(cos )(21ϕϕμμ+=++.为特征值的重数是其中iv k ±μ同次数的复值多项式得与)(t ϕ).()()(t I i t R t Z ±=)sin (cos ))()(()(*vt i vt e t I i t R t t x tμk ++=则{}]sin )(cos )([]sin )(cos )([vt t R vt t I i vt t I vt t R e t t μk ++-=其实部与虚部分别是υt t e x a x a x t cos )(21ϕμ=++.sin )(21的特解与υt t e x a x a x t ϕμ=++ 可直接设其特解为 ()υt t Z υt t Z e t t x t μk sin )(cos )()(21*+=实数域内的待定系数法()()i υt e t μϕ+=.2sin 52的一个特解求方程t e x x x t=+-解 ,21是特征方程的单根i υi +=+μ ().2sin 2cos )(t B t A e t t x t +=*设方程的特解为例3 特征方程 ,0522=+-λλ.21,2121i i -=+=λλ则 )(t x *=()()()()t B t A te t B t A e t B t A e t x t x t x t x tt t 2sin 42cos 42cos 22sin 22cos 22sin 2)()()()(--++-++-+-+=**** ()t B t A e t x t x t x t 2cos 42sin 4)(5)(2)(+-+-=*** 即 ()t e t B t A e tt 2sin 2cos 42sin 4=+-整理得 .0,41=-=∴B A .t e t t x t 2cos 41)(-=*方程的特解为)(t x* ()t B t A e t 2sin 2cos ++()t B t A te t 2cos 22sin 2+-+.12)4()5()6(的通解求方程-=-+x y y y 解 ,40重根是特征方程的=μ ()().ˆ454Bx Ax B Ax x x y+=+=∴设方程的特解为例4 特征方程 ,02456=-+λλλ().2,1,40321-===λλλ重则 方程的通解为 代入原方程,得 .961,2401=-=∴B A 对应齐次方程的通解为().652433221C x C x C x C e C e C x Y x x +++++=-,45)(ˆ34Bx Ax x y+=',1220)(ˆ23Bx Ax x y +='',2460)(ˆ2Bx Ax x y +=''',24120)(ˆ)4(B Ax x y +=,120)(ˆ)5(A x y =.0)(ˆ)6(=x y ,148240120-=--x B Ax A ().9624045652433221x x C x C x C x C e C e C x y x x +-+++++=-。

二阶常数系数非齐次方程解法二阶常数系数非齐次方程是大学数学课程中的一个重要内容。

在解决实际问题中，常常需要求解这类方程的通解。

本文将着重讲解二阶常数系数非齐次方程的解法。

二阶常数系数非齐次方程的一般形式为$$y''+ay'+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。

要解决这个方程，我们需要先求解对应的齐次方程$$y''+ay'+by=0$$齐次方程的解为$$y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$其中$r_1$和$r_2$是齐次方程的特征根，$c_1$和$c_2$是待定系数。

特征根的求法为解方程$$r^2+ar+b=0$$解得$$r_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2},\quad r_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$$接下来，我们需要利用待定系数法求得非齐次方程的特解。

特解的形式根据$f(x)$的形式而定。

当$f(x)$为多项式时，特解的形式为对应的多项式；当$f(x)$为三角函数时，特解的形式为对应的三角函数；当$f(x)$为指数函数或幂函数时，特解的形式为对应的指数函数或幂函数。

例如，当$f(x)=e^{mx}$时，特解的形式为$y_p=Ae^{mx}$，其中$A$是待定系数。

将特解代入非齐次方程，解出待定系数$A$。

如果特解的形式和齐次方程的解重复，则需要乘上$x$的幂次，直到与齐次方程的解不同为止。

最终的通解为$y=y_c+y_p$。

对于特殊情况，如$f(x)$是多项式乘以指数函数的形式，可以尝试通过变形将其化为多项式或者指数函数加上一个乘积的形式再进行求解。

总之，二阶常数系数非齐次方程的解法需要求解齐次方程和非齐次方程的特解。

通过待定系数法可以求得正确的特解，并得到最终的通解。

在实际问题中，需要仔细分析方程的形式和已知函数的性质，选择合适的解法求解。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。

它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。

接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。

首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。

为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。

对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。

通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。

当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。

第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。

求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。

常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。

如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。

理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。

首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。

其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。

对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。

特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。

2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。

3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。

接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。

根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。

常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。

若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。

若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。

若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。

2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。

二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+py'+qy=F(x)的微分方程，其中p和q是常数，F(x)是已知的函数，y是未知函数。

这类微分方程的解法包括通解和特解。

首先考虑非齐次微分方程的通解。

通解一般分为两部分，即其对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。

对于齐次微分方程y''+py'+qy=0，它的特征方程为r^2+pr+q=0，其中r是未知常数。

根据特征方程的根的情况分为三种情况：1. 当特征根为实数时，即r1≠r2，则齐次微分方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。

其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。

2. 当特征根为复数时，即r1=r2=α+iβ，实部为α，虚部为β，则齐次微分方程的通解为y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)。

其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。

3. 当特征根为重根时，即r1=r2=r，则齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)e^(rx)，其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。

对于非齐次微分方程y''+py'+qy=F(x)，我们可以采用常数变易法求出它的特解：设非齐次微分方程的特解为y1(x)，则y1''+py1'+qy1=F(x)令y1=A(x)e^(mx)，其中A(x)是待定函数，m是未知常数将y1代入上式得到A(x)和m的关系式：A''e^(mx)+2Am'e^(mx)+Am^2e^(mx)+pA'e^(mx)+pAm'e^(mx )+qAe^(mx)=(F(x))/e^(mx)整理得到A''+2mA'+(m^2+p)A=(F(x))/e^(mx)此时我们可以令(A(x))'=0，使得A(x)是一个常数，从而得到一个特解y1=C(e^(mx))，其中C是未知常数。