浙江省温州市高三第三次适应性测试数学文试题(含答案)

浙江省温州市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(),A A Ax y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．5【答案】C 【解析】 【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3B y πα=+，2A B y y +=33sin cos 2αα+，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，22cos(),sin()33B B x y ππαα=+=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3πα+= 132sin sin cos 22ααα-+=33sin cos 3sin()3226πααα+=+≤，当3πα=时，取得等号.故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题. 2．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C 【解析】 【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即21V 122222ππ=••-•••=-，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积. 3．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ． 【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．4．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r+=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为2c ，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，可得：=，可得b c =，ba =C 的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 6．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.7．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =I ( ) A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x -+=-+>，故B R =，所以A B =I {}2,1,0,1,2--. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.8．52mx⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r rrr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =，则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 9．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 【解析】 【分析】由题意{|2020}A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|2020}A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 10．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32 D ．34【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积. 【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×3＝3，故答案为A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．311【答案】C 【解析】 【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937. 故选：C 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 12．设1,0(){2,0xx x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 考点：复合函数求值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

温州市2024届普通高中高三第三次适应性考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A ．12B．2CD ．12．平面向量()(),2,2,4a m b ==-，若()a ab - ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,A B 为同一试验中的两个随机事件，则“()()1P A P B +=”是“事件,A B 互为对立事件”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知*m ∈N ，()21mx +和()211m x ++的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ，则（）A ．a b <B ．a b=C ．a b>D ．,a b 的大小关系与m 有关5．已知5πsin 4⎛⎫β+=-⎪⎝⎭()()sin 2cos cos 2sin αβαβαα---=（）A ．2425-B ．2425C ．35-D ．356．已知函数()223,02,0xx x x f x x ⎧-+>=⎨≤⎩，则关于x 方程()2f x ax =+的根个数不可能是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，C 上两点,A B 满足：222AF F B = ，14cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是（）A ．34BC ．23D8．数列{}n a 的前n 项和为()*1,n n n n S S a n a +=∈N ，则5622111i i i i a a -==-∑∑可以是（）A ．18B ．12C ．9D ．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2020年6月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟 参考公式如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()1-)(0,1,2,,)k kn kn nP k C p p k n -==（台体的体积公式121()3V S S h =其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积,h 表示棱台的高； 柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高；锥体的体积公式V=Sh其中S 表示锥体的底面积,h 为表示锥体的高；球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{2,1,2,3},{|1)2},M N x x x =-=+>（则M∩N= A. ∞ B.{2} .{2,3}C .{2,1,2,3}D -2.若复数1i 1iz a =+- (i 为虚数单位,R a ∈)的实部与虚部互为相反数,则a= A.-2B.-1C.0D.13.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的焦距为10,虚轴长为4,则该双曲线的渐近线方程为.340A x y ±=.430B x y ±=20C y ±=.20D x ±=4.已知直线:0,l ax by +=圆C:2220,x y x +-=则“a=0”是“直线l 与圆C 相切”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其俯视图是两个同心圆,且小圆的内接四边形是正方形,则该几何体的体积等于 cm 3112112.8.1633A B ππ-- 28.83C π- 28.163D π-6.已知随机变量ζ的分布列如下:其中23120.x x x x --=>若E(ζ)>x 2,则12.A p p >23.B P P < 23.C p p > 13.D p p <用数学归纳法证明不等式()*1114,21225n n n N n n +++++∈时,可将其转化为证明()*11141.,2122521A n n n N n n n +++++++∈ ()*14.,2122115211B n n n N n n n +++-+++∈()*1114.,2112252C n n n n n n N +++∈+++ ()*11141.,212252D n n n n n nN +++∈-++8.定义在R 上的函数f(x)的导函数为(),f x '且()()0,xf f x x '+=则()f x 的图象可能是9.设R,a ∈若1x 对0x ≥恒成立,则a 的最大值为 A.-2 B. -32 C.-1 D.-1210.如图,二面角l αβ--的平面角的大小为60°,A,B 是l 上的两个定点,且2,AB C =∈α,,D β∈满足AB 与平面BCD 所成的角为30,且点A 在平面BCD上的射影H 在BCD ∆的内部(包括边界),则点H 的轨迹的长度等于A.B. π3C.D. 2π3 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分 11.若实数a,b 满足2log 2log 1,3a b ==则a= ▲ ,3b = ▲ .12.二项式722x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,所有二项式系数的和是 ▲ ,含x 的项的系数是 ▲ .13.已知实数x,y 满足约束条件()||1y x y x k ⎧+⎪≤⎪⎨⎩,若可行域表示的平面区域为三角形,则实数k 的取值范围为 ▲ ,当12k =时,2z x y =+的最大值为 ▲ 14.已知函数()()()sin 0,0x x f ϕωϕπω=+>是偶函数,且在[0,π2]上是减函数,则φ= ▲ ,ω的最大值是 ▲ .15.有10个相同的小球,现全部分给甲、乙、丙3人,若甲至少得1球,乙至少得2球,丙至少得3球,则他们所得的球数的不同情况有 ▲ 种。

2021年浙江省温州市高考数学适应性试卷（三模）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U为实数集R，集合A={x∈R|x>√3}，集合B={0,1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {0}B. {0,1}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2.已知z=−12+√32i，i为虚数单位，则z2+z=()A. 1B. −1C. √3iD. −√3i3.若实数x，y满足约束条件{x≥0x−y−3≥0x+2y≤0，则z=x−2y()A. 有最小值4B. 有最小值6C. 有最大值4D. 有最大值64.已知x，y为实数，则“x>0，y>0”是“x+y2≤√x2+y22”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若轴截面为正方形的圆柱内接于半径为1的球，则该圆柱的体积为()A. √2πB. √2π2C. √2π4D. √2π66.已知随机变量ξ，η满足ξ～B(2,p)，η+2ξ=1，且P(ξ≤1)=34，则D(η)的值为()A. 0B. 1C. 2D. 37.函数f(x)=e x+e−xax2+bx+c的图象如图所示，则()A. a<0，b=0，c<0B. a<0，b<0，c=0C. a>0，b=0，c>0D. a>0，b=0，c<08.如图，等腰直角三角形ABC在平面α上方，∠BAC=90°，若△ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能的是()A. B. C. D.9.如图，点A，B，C在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点F在AB上，AC与x轴交于点D，|AF|=|AD|，AB⊥BC，则|FD|=()A. 3√2B. 4C. 2√3D. 310.已知向量a⃗,b⃗ 夹角为π3，向量c⃗满足|b⃗ −c⃗|=1且a⃗ +b⃗|b⃗|=a⃗ +c⃗|c⃗ |，则下列说法正确的是()A. |b⃗ |+|c⃗|<2B. |a⃗|+|b⃗ |>2C. |b⃗ |<1D. |a⃗|>1二、单空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设a=log23，b=log92，则4a=______ ，ab=______ ．12.已知圆C经过点A(1,0)、B(4,0)、D(0,2)，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为______ ，直线l的方程为______ ．13.已知(1+x)4(1−mx2)=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，若a4=−11，则m=______ ，a1+a3+a5=______ ．14.已知S n为数列{a n}的前n项和，2S n=3a n−1，且a m=4log3a k+3，则a n=______ ，m+k的最小值为______ ．15.已知A，F是离心率为2的双曲线x2a2−y2b2=1的右顶点和右焦点，记A，F到直线bx−ay=0的距离分别为d1，d2，则d1d2=______ ．16.如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，cosB=−35，a=5，b=4√5，若点D在线段AC上，且BD⊥BC，则BD=______ ．17.已知关于x的方程|x−a|+|x−b|=|x−c|+|x−d|有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数a，b，c，d∈{1,2，3，4，5，6}，且|a−b|=|c−d|，则a，b，c，d的可能取值共有______ 种.(请用数字作答)三、解答题（本大题共5小题，共68.0分）)]．18.已知函数f(x)=cosx⋅[sinx−sin(x+π3(1)求y=f(x)图象的对称轴；]时，求y=f(x)的值域．(2)当x∈[0,π2AD= 19.如图，四棱台ABCD−EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH=DH=12 1．(1)求证：AE//平面BDG；(2)若平面BDG∩平面ADH=m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．20. 已知正项数列满足a 1=1，a 2=2，且对任意的正整数n ，1+a n+12是a n 2和a n+22的等差中项．(1)证明：{a n+12−a n 2}是等差数列，并求{a n}的通项公式； (2)设b n =√a n 2n−1(n ∈N ∗)，S n 为{b n }前n 项和，证明：S n <2√2−4b n+2(n ∈N ∗)．21. 如图，A ，B 是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右顶点，点P 是椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =m 于M ，N 两点.直线AP ，BP 的斜率分别记为k 1，k 2．(1)求k 1⋅k 2的值；(2)若线段PB 的中点Q 恰好在以MN 为直径的圆上，求m 的取值范围．−1,g(x)=ax3+2xcosx．22.已知函数f(x)=2+x2e x(1)当x∈[t,+∞)时，f(x)≥−x恒成立，求实数t的取值范围；2,+∞)时，对任意的x∈R，[2f(x)+x][2g(x)+x]≥0恒成立，求整(2)当a∈(nπ6数n的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】解：∵A ={x ∈R|x >√3}，∴∁R A ={x|x ≤√3}， 由图象可知阴影部分对应的集合为B ∩(∁R A)， ∴B ∩(∁R A)={0,1}． 故选：B ．由图象可知阴影部分对应的集合为B ∩(∁R A)，然后根据集合的基本运算即可． 本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z =−12+√32i ，∴z 2=(−12+√32i)2=14−√32i −34=−12−√32i ，则z 2+z =−12−√32i −12+√32i =−1．故选：B ．由已知求得z 2，再由复数代数形式的加法运算得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y −3=0x +2y =0，解得A(2,−1)，由z =x −2y ，得y =x 2−z 2，由图可知，当直线y =x 2−z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：①当x >0，y >0时，∵x 2+y 2≥2xy ，∴2(x 2+y 2)≥(x +y)2，∴x+y 2≤√x 2+y 22，∴充分性成立，②当x =−6，y =−8时，√x2+y 22=5√2，x+y 2=−7，满足x+y 2≤√x2+y 22，∴必要性不成立，∴x >0，y >0是x+y 2≤√x2+y 22的充分不必要条件，故选：A ．根据基本不等式的性质和举实例，再结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．5.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、球的表面积和体积 【解析】解：作轴截面如图，由已知可得AC =2，则AB =BC =√2， 可得圆柱的底面半径为√22，高为√2，∴该圆柱的体积为V =π×(√22)2×√2=√2π2．故选：B ．由题意画出轴截面图，由球的半径可得圆柱的底面半径及高，再由圆柱的体积公式求解． 本题考查球的内接圆柱体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【知识点】n 次独立重复试验与二项分布【解析】解：因为随机变量ξ～B(2,p)，且P(ξ≤1)=34，所以P(ξ=2)=1−P(ξ≤1)=C 22⋅p 2=p 2=14，解得p =12， 计算D(ξ)=2×12×(1−12)=12． 由η+2ξ=1，所以η=−2ξ+1， 所以D(η)=(−2)2×D(ξ)=4×12=2． 故选：C ．根据随机变量ξ～B(2,p)且P(ξ≤1)=34求出p 的值，计算D(ξ)的值，再根据η+2ξ=1求出D(η)的值．本题考查了随机变量的概率与方差计算问题，是基础题．7.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：函数图象关于y 轴对称，是偶函数， 则b =0，此时f(x)=e x +e −x ax +c，f(0)=2c <0，得c <0，由ax 2+c ≠0，得ax 2≠−c ，得x 2≠−ca >0， 得a >0， 故选：D ．根据函数图象关于y 轴对称，得到函数是偶函数，以及利用函数值进行判断判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和应用，利用函数的对称性，结合偶函数的性质是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】解：若BC⊥α，则形成的旋转体在平面α内的投影如选项D所示；若BC//α，则形成的旋转体在平面α内的投影为正方体；若BC与α所成的角的取值范围是(0,π2)时，则形成的旋转体在平面α内的投影如选项A，B所示；投影不会出现选项C的形状．故选：C．对直线BC与平面α的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得到答案．本题考查了旋状体的投影问题，解题的关键是对直线BC与α的位置关系进行分类讨论，考查了空间想象能力，属于基础题．9.【答案】B【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：点A，B，C在抛物线y2=4x上，故设B(t02,2t0),A(t12,2t1),C(t22,2t2)，则k AC=2t1+t2，故直线AC的方程为2x−(t1+t2)+2t1t2=0，令y=0，解得D(−t1t2,0)，由于直线AB的方程为2x−(t1+t0)y+2t1t0=0，且过点F(1,0)，所以t1t0=−1，因为AB⊥BC，所以k AB⋅k BC=2t0+t1⋅2t0+t2=−1，又|AF|=|AD|，则k AB+k AC=2t0+t1+1t1+t2=0，所以t02+(t1+t2)t0+t1t2=−4且t0+2t1+t2=0，又t1t0=−1，结合t0+2t1+t2=0，可得−1+2t12+t1t2=0，即2t12=1−t1t2，由t02+(t1+t2)t0+t1t2=−4，可得1−t1(t1+t2)+t13t2=−4t12，所以t12+t13t2=−4t12，解得t1t2=−5，则点D(5,0)，故|FD|=4．故选：B．设点A，B，C的坐标，然后求出直线AC，AB的方程，将|AF|=|AD|和AB⊥BC转化为斜率表示，得到两个关系式，结合直线AB 过点F ，进行化简整理，求出D 的坐标，从而求出|DF|．本题考查了直线与抛物线位置关系的运用，两条直线垂直的充要条件的运用，两点间斜率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．10.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：根据题意，将等式a⃗ +b ⃗ |b ⃗|=a ⃗ +c ⃗|c ⃗ |两边同时平方可得，a⃗ 2+2a ⃗ ⋅b⃗ +b ⃗ 2|b⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗2|c ⃗ |2，交叉相乘可得，a ⃗ 2b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ 2⋅c ⃗ +b ⃗ 2c ⃗ 2=a ⃗ 2c ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ 2+b ⃗ 2c ⃗ 2， 移项化简可得，a ⃗ 2(b ⃗ 2−c ⃗ 2)+2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0， 即得a ⃗ 2(b ⃗ +c ⃗ )(b ⃗ −c ⃗ )+2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，∴a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )⋅[a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )+2b ⃗ ⋅c ⃗ ]=0， 根据题意可知，a ⃗ ≠0⃗ ， ∴b ⃗ =c ⃗ 或a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ =0∴a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +2a ⃗ ⋅c ⃗ ≥a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ )≥2a ⃗ ⋅(b⃗ 2+c ⃗ 2+2b ⃗ ⋅c ⃗ )=a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )2，又因为|b ⃗ −c ⃗ |=1，所以|b ⃗ |+|c ⃗ |<2，故A 正确． 故选：A ．通过观察选项可知，所求为向量模的结果，因此可以将原等式两边平方，从而得到关于模的运算结果，进而判定最后结论．本题主要考查了平面向量数量积的运算性质的应用，平面向量模的运算，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．11.【答案】9 12【知识点】对数与对数运算 【解析】解：∵a =log 23， ∴2a =3，4a =9， ∵b =log 92=12log 23，∴ab =12．故答案为：9,12．根据对数的定义可得出2a =3，从而得出4a =9；根据对数的换底公式可得出b =12log 23，然后即可求出ab 的值．本题考查了对数的运算性质，对数的定义，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】(x −52)2+(y −2)2=254 x =0【知识点】圆的标准方程【解析】解：设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， ∵圆C 经过点A(1,0)、B(4,0)、D(0,2)，∴{1+D +F =016+4D +F =04+2E +F =0，得D =−5，E =−4，F =4， 即x 2+y 2−5x −4y +4=0，标准方程为(x −52)2+(y −2)2=254，圆心C(52,2)，∵直线l 与圆C 相切于点B ，∴直线方程为x =0， 故答案为：(x −52)2+(y −2)2=254，x =0．设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，建立方程组进行求解即可．本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相切的应用，利用待定系数法是解决本题的关键，是基础题．13.【答案】2 −8【知识点】二项式定理【解析】解：∵(1+x)4(1−mx 2)=(1+4x +6x 2+6x 2+4x 3+x 4)⋅(1−mx 2) =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6， ∵a 4=−6m +1=−11，则m =2．令x =1，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=−16， 令x =−1，可得a 0−a 1+a 2−⋯+a 6=0， 两式相减除以2，可得a 1+a 3+a 5=−8， 故答案为：2；−8．把(1+x)4展开，根据a 4=−11，求得m ；再分别令x =±1，求出a 1+a 3+a 5的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．14.【答案】3n−1 3【知识点】数列的递推关系【解析】解：∵S n为数列{a n}的前n项和，2S n=3a n−1，故a1=1，∴当n≥2时，有2S n−1=3a n−1−1，∴2a n=3a n−3a n−1⇒a n=3a n−1，∴数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n−1，∵a m=4log3a k+3，∴3m−1=4(k−1)+3=4k−1，∴m=log3(4k−1)+1，∴m+k=log3(4k−1)+1+k，在k≥1时单调递增，∴当k=1时，m+k取最小值：3．故答案为：3n−1，3．根据S n为数列{a n}的前n项和，2S n=3a n−1，求得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，进而求解通项公式，再求解结论即可．本题主要考查数列通项公式和前n项和之间关系式的应用，以及通项公式的求解，属于中档题．15.【答案】12【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：A(a,0)，F(c,0)，则d1=22=abc，d2=22=bcc=b，则d1d2=abcb=ac=1e=12，故答案为：12．求出A，F的坐标，利用点到直线的距离公式进行计算即可．本题主要考查点到直线的距离的计算，求出点的坐标，利用距离公式是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】52【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用 【解析】解：因为cosB =−35，a =5，b =4√5， 所以sinB =√1−cos 2B =45，可得tanB =−43， 由正弦定理asinA =bsinB ，可得sinA =5×454√5=√55，cosA =2√55，tanA =12， 所以tanC =tan(π−A −B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =−12+(−43)1−12×(−43)=12，因为点D 在线段AC 上，且BD ⊥BC ， 所以tanC =12=BD BC=BD 5，解得BD =52．故答案为：52．由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan B 的值，由正弦定理可得sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求tan A ，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切公式可求tanC =12，进而即可求解BD 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】56【知识点】函数的零点与方程根的关系 【解析】解：由题意可得，a ，b 与c ，d 表示的线段不重合，且a 与b 和c 与d 间隔相等，若a ，b 和c ，d 间隔均为1，则有2×(3+2+1)=12种，若a ，b 和c ，d 间隔均为2，则有2×1=2种，又a ，b 可互换，c ，d 也可互换，所以总数为(12+2)×2×2=56种，即a ，b ，c ，d 的可能取值共有56种． 故答案为：56．易知，a，b与c，d表示的线段不重合，且a与b和c与d间隔相等，作出图象，分a，b和c，d间隔均为1以及a，b和c，d间隔均为2两种情况讨论，再结合a，b可互换，c，d也可互换，即可得出答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)f(x)=cosx⋅[sinx−sin(x+π3)]=cosx(sinx−12sinx−√32cosx)=12sinxcosx−√32cos2x=14sin2x−√34cos2x−√34=12sin(2x−π3)−√34，令2x−π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=5π12+ kπ2，k∈Z，∴函数f(x)的图象的对称轴是直线x=5π12+ kπ2，k∈Z．(2)由x∈[0,π2]，可得2x−π3∈[−π3,2π3]，∴sin(2x−π3)∈[−√32,1]，∴f(x)∈[−√32,2−√34]，∴f(x)的值域为[−√32,2−√34].【知识点】两角和与差的三角函数公式、三角恒等变换【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为f(x)=12sin(2x−π3)−√34，进而根据正弦函数的性质可求出f(x)的对称轴；(2)根据x的范围可求出2x−π3的范围，结合正弦函数的图象即可求出sin(2x−π3)的范围，进而求出f(x)的范围，即f(x)的值域．本题考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：连接AC交BD于点M，连接GM，EM，由已知得AMGE为平行四边形，∴AE//MG，又AE⊄平面ADH，MG⊂平面BDG，∴AE//平面BDG．(2)由(1)知AE//平面BDG ，又AE ⊂平面ADH ，∴由线面平行的性质定理得AE//m ， ∴MG//m ，故直线m 与平面BCG 所成角即为直线MG 与平面BCG 所成角， 设直线m 与平面BCG 所成角为θ，M 到平面BCG 的距离为h ， ∵EH =DH =12AD =1，∴GC =√2， 又BC ⊥CG ，∴S △BCG =12×BC ×CG =√2，又S △MBC =1，∴由V G−MBC =V M−BCG ，得13×S △MBC ×HD =13×S △BCG ×ℎ， 解得ℎ=√22，又MG =AE =√2，∴sinθ=ℎMG =12， ∴直线m 与平面BCG 所成角的正弦值为12．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面平行的判定【解析】(1)连接AC 交BD 于点M ，连接GM ，EM ，推导出AMGE 为平行四边形，AE//MG ，由此能证明AE//平面BDG ．(2)由AE//平面BDG ，利用线面平行的性质定理得AE//m ，从而MG//m ，故直线m 与平面BCG 所成角即为直线MG 与平面BCG 所成角，利用等体积法能求出直线m 与平面BCG 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：正项数列满足a 1=1，a 2=2，对任意的正整数n ，1+a n+12是a n 2和a n+22的等差中项， 可得2(1+a n+12)=a n 2+a n+22， 化为(a n+22−a n+12)−(a n+12−a n 2)=2，所以{a n+12−a n 2}是首项为a 22−a 12=3，公差为2的等差数列， 则a n+12−a n 2=3+2(n −1)=2n +1，则a n2=a 12+(a 22−a 12)+...+(a n 2−a n−12)=1+3+5+...+(2n −1)=12n(1+2n −1)=n 2，由于a n >0，可得a n =n ；(2)证明：由√n +1−√n =√n+1+√n >√n+1+√n+2==√n +2−√n +1，所以2√n +1>√n +√n +2，2√n+12n−1>√n+√n+22n−1， 所以√n 2<√n+12−√n+22， 又b n =√n2n−1， S n =√121−1+√222−1+...+√n2n−1<√221−2−√321−1+√320−√42+...+√n+12n−2−√n+22n−1=2√2−√n+22n−1． =2√2−4√a n+22n−1=2√2−4b n+2．即有S n <2√2−4b n+2(n ∈N ∗)．【知识点】数列求和方法【解析】(1)由等差数列的中项性质和数列的恒等式，运用等差数列的定义，可得证明，由等差数列的通项公式可得a n ； (2)先推得√n 2n−1<√n+12n−2−√n+22n−1，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 本题考查等差数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和和不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设点P 的坐标为P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1(−2<x 0<2)，由已知可得A(−2,0)，B(2,0)， 所以k 1k 2=y 0x 0+2⋅y 0x 0−2=y 02x 02−4=1−x 024x 02−4=−14．(2)由题意可知直线AP 的方程为：y =k 1(x +2)， 则M(m,k 1(m +2))，由{y =k 1(x +2)x 24+y 2=1，得(1+4k 12)x 2+16k 12x +16k 12−4=0， 所以−2⋅x P =16k 12−41+4k 12，所以x P =2−8k 121+4k 12，y P=4k11+4k 12， 所以PB 的中点Q(21+4k 12,2k 11+4k 12)，当直线QM 的斜率存在时，由题意知k OM ⋅k 2=−1， 又k 1k 2=−14，所以k OM =4k 1， 所以k 1(m+2)−2k 11+4k 12m−21+4k 12=4k 1，化简得m =21+4k 12+23，所以m ∈(23,83)，当直线QM 的斜率不存在时，m =21+4k 12∈(0,2)，综上所述，m 的取值范围为(0,2)．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义 【解析】(1)设点P 的坐标为P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1(−2<x 0<2)，再计算k 1k 2即可得出答案．(2)由题意可知直线AP 的方程为：y =k 1(x +2)，则M(m,k 1(m +2))，联立直线AP 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x P ，进而可得y P ，即可得出Q 点坐标，分两种情况：当直线QM 的斜率存在时，当直线QM 的斜率不存在时，m 的取值范围．本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)依题意，2+x 2e x −1≥−x2对任意x ∈[t,+∞)均成立，即(x −2)e x +x +2≥0对任意x ∈[t,+∞)均成立，令ℎ(x)=(x −2)e x +x +2，则ℎ′(x)=(x −1)e x +1，ℎ′′(x)=xe x ， 易知当x <0时，ℎ′′(x)<0，当x >0时，ℎ′′(x)>0， ∴ℎ′(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增， ∴ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， ∴ℎ(x)在R 上单调递增， 又ℎ(0)=0，∴当x ≥0时，ℎ(x)≥0恒成立，即f(x)≥−x2恒成立， ∴t ≥0，即实数t 的取值范围为[0,+∞)；(2)由(1)知，当x ∈[0,+∞)时，f(x)≥−x2恒成立，即2f(x)+x ≥0恒成立，当x ∈(−∞,0]时，2f(x)+x ≤0恒成立，而2g(x)+x =2ax 3+4xcosx +x 为R 上的奇函数，所以要使当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈R，[2f(x)+x][2g(x)+x]≥0恒成立，只需当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈[0,+∞)，2g(x)+x=2ax3+4xcosx+x≥0恒成立即可，即当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈[0,+∞)，m(x)=2ax2+4cosx+1≥0恒成立即可，若n≤0，则a可取1π2，此时始终有m(π)=2×1π2×π2−4+1=−1<0，不合题意，故n>0，若当n=1时满足题意，即对a∈(π6,+∞ ),x∈[0,+∞)，都有m(x)=2ax2+4cosx+1≥0成立，①当x∈[0,π2]时，m(x)>0显然成立；②当x∈(π2,3π4]时，m(x)>2×π6×(π2)2+4×(−√22)+1>0，符合题意；③当x∈(3π4,+∞)时，m(x)>2×π6×(3π4)2−4+1>0，符合题意．综上，整数n的最小值为1．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(1)依题意，(x−2)e x+x+2≥0对任意x∈[t,+∞)均成立，令ℎ(x)=(x−2)e x+x+2，对ℎ(x)求导可知当x≥0时，ℎ(x)≥0恒成立，由此可得t的范围；(2)由于2f(x)+x≥0在[0,+∞)上恒成立，2f(x)+x≤0在(−∞,0]上恒成立，而2g(x)+x=2ax3+4xcosx+x为R上的奇函数，故问题转化为当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈[0,+∞)，m(x)=2ax2+4cosx+1≥0恒成立即可，首先判断当n≤0时，不合题意，再验证当n=1时符合题意，即可求得满足条件的n的最小整数值．本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及转化思想，考查推理能力及运算求解能力，属于难题．。

温州市普通高中2024届高三第三次适应性考试数学试题卷全解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则sin A +C =()A.12B.22C.32D.1【答案】C 【解析】易知B =π3,则sin A +C =sin B =32.故选择:C2.平面向量a =m ,2 ,b =-2,4 ,若a ⎳a -b,则m =()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】a -b =m +2,-2 ,因为a ⎳a -b,所以m +m +2=0,所以m =-1.故选择:A3.设A ,B 为同一试验中的两个随机事件,则“P A +P B =1”是“事件A ,B 互为对立事件”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】摸1-6的球各1个,设A =“摸出质数”,B =“摸出偶数”,则P A +P B =1,但不是对立事件,反之一定成立.故选择:B4.已知m ∈N *,1+x 2m 和1+x 2m +1的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ,则()A.a <bB.a =bC.a >bD.a ,b 的大小关系与m 有关【答案】A 【解析】a =C m 2m =2m !m ! m !,b =C m2m +1=2m +1 !m !m +1 !,所以a b =2m !m ! m ! ⋅m ! m +1 ! 2m +1 !=m +12m +1<1,故a <b .故选择:A 5.已知sin β+5π4 =-210,则sin α-2β cos α-cos 2β-α sin α=()A.-2425B.2425C.-35D.35【答案】B【解析】sin β+54π =-sin β+π4 =-22sin β+cos β =-210,所以sin β+cos β=15,平方得1+sin2β=125,所以sin2β=-2425,所以所求原式=sin α-2β cos α-cos α-2β sin α=sin α-2β -α =sin -2β =-sin2β=2425.故选择:B6.已知函数f x =x 2-2x +3,x >0,2x ,x ≤0, 则关于x 的方程f x =ax +2的根个数不可能是()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C由图可得方程的根个数不可能是2个.故选择:C7.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点,C 上两点A ,B 满足:AF 2 =2F 2B,cos ∠AF 1B =45,则椭圆C 的离心率是()A.34B.74C.23D.53【答案】D 【解析】设AF 2=2m ,则BF 2=m ,AF 1=2a -2m ,BF 1=2a -m ,所以45=cos ∠AF 1B =2a -m 2+2a -2m 2-3m 222a -m 2a -2m,解得m =13a ,所以AF 1=43a ,AB =a ,BF 1=53a ,所以∠A =90°,所以AF21+AF22=F1F22,即169a2+49a2=4c2,所以e=53.故选择:D8.数列a n的前n项和为S n,a n+1=S na n n∈N*,则5i=1a2i-6i=1a2i-1可以是()A.18B.12C.9D.6【答案】C【解析一】列表如下,不妨设a1=m,则n a n S n1m m21m+13m+12m+2422m+45m+23m+6633m+97m+34m+12844m+169m+45m+201055m+2511m+56m+30所以3i=1a2i-6i=1a2i-1=-6m,需注意a n≠0,所以a1≠-1,-2,-3,所以只可能是-6m=9.故选择:C 【解析二】由题a n+1≠0,a2=S1a1=1,由a n+1⋅a n=S na n+2⋅a n+1=S n+1⇒a n+2-a na n+1=a n+1,所以an+2-a n=1, 5i=1a2i=a2+a4+⋯+a10=5a2+0+1+⋯+4=15,6i=1a2i-1=a1+a3+⋯+a11=6a1+0+1+⋯+5=15+6a1,所以5i=1a2i-6i=1a2i-1=-6a1,又a2=1,则a2n=n≠0,又a2n-1=a1+i-1≠0,所以-a1∈N,所以-6a1≠18,12,6,所以-6a1=9.故选择:C二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知空间两条异面直线a ,b 所成的角等于60°,过点P 与a ,b 所成的角均为θ的直线有且只有一条,则θ的值可以等于()A.30°B.45°C.75°D.90°【答案】AD【解析】在θ=π2或θ=α2=30° 时只有一条.故选择:AD10.已知z 1,z 2是关于x 的方程x 2+px +q =0p ,q ∈R 的两个根,其中z 1=1+i ,则()A.z 1=z 2B.z 21=z 22 C.p =-2 D.q =2【解析】z 2=1+i=1-i,A 项:z 1=z 2 ,正确:B 项:z 21=2i ,z 22=-2i ,错误;C 项:p =-z 1+z 2 =-2,正确;D 项:q =z 1⋅z 2=2,正确.故选择:ACD11.已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 ,x ∈π2,π的值域是[a ,b ],则下列命题正确的是()A.若b -a =2,φ=π6,则ω不存在最大值 B.若b -a =2,φ=π6,则ω的最小值是73C.若b -a =3,则ω的最小值是43D.若b -a =32,则ω的最小值是43【答案】ABC 【解析一】当b -a =2,φ=π6时,a =-1,b =1,f x =sin ωx +π6,当ω足够大时,π2,π包含完整周期,故A 正确;为使ω更小,π2,π只包含一个最大值点.所以π2ω+π6≤2k π-π2πω+π6≥2k π+π2⇒ω≤4k -23ω≥2k +13 ,所以k =1时,ω≥73,验证成立,故B 正确:对于C 、D 选项,注意到sin α-sin β=2cos α+β2sin α-β2,C 项:当b -a =3时,sin α+β2≤32,当α+β=0时取等,所以sin α+β2≤32,α-β≤2π3,所以π2,π至少占13个周期,则13⋅2πω≤π2,得ω≥43,故C 正确:D 项:当b -a =32时,sin α-β2≤34,当α+β=0时取等,所以sin α=34,故D 错误.故选择:ABC 【解析二】对于A :f x =sin ωx +π6 ,即f x 在π2,π 上取到最大值1和最小值-1,即ωx +π6=π2+k π,k ∈Z在π2,π 上至少有两解,π2≤π3+k πω<π3+k +1πω≤π⇒k +43≤ω≤23+2k ⇒k ≥23,k ∈N *,故ω有最小值73,无最大值,故A 正确:B 正确:对于C :若b -a =3,ω取最小值时,f x 周期最大,且f π2 ,f π =-32,32 ,即π2=T3⇒T =3π2,ω=2πT =43,故C 正确:对于D :若b -a =32,ω取最小值时,f x 周期最大,且f π2 ,f π =-34,34 ,即π2<T 3⇒T >3π2,此时ωmin <43,故D 错误.故选择:ABC三、填空题:本大题共3小题,每题5分,共15分.答案填在题中的横线上.12.随机变量ξ服从正态分布N 2,1 ,若P ξ>a +1 =P ξ<a ,则a =【答案】32【解析】由题易知a +1与a 关于x =2对称,所以a +a +1=4,则a =32.故答案为:32.13.定义在0,+∞ 上的函数f x 满足:f xy =f x +f y -1,f 4 =2,则f 12=【答案】12【解析】令x =y =1,f 1 =1;令x =y =2,f 2 =12;令x =2,y =12,f 12 =12.故答案为:12.14.过抛物线y 2=2px 0<p <2 焦点F 的直线I 交抛物线于A ,B 两点,点M 1,0 ,沿x 轴将坐标系翻折成直二面角,当三棱雉A -FMB 体积最大时,p =【答案】43【解析】设AB :x =my +p2,则联立可得y 2-2pmy -p 2=0,所以y A ⋅y B =-p 2,所以V A -FMB =13⋅S ABFM ⋅y A =13⋅12⋅MF ⋅-y B ⋅y A =16p 21-p 2 =124p 24-2p ≤124p +p +4-2p 33,当p =4-2p ,即p =43时,三棱雉A -FMB 体积最大.故答案为:43.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱雉D 1-A 1DC 1后得到如图所示的几何体,四边形ABCD 是菱形,AC =4,BD =2,O 为AC 与BD 的交点,B 1O ⊥平面ABCD (1)求证:B 1O ⎳平面A 1DC 1;(2)若B 1O =23,求平面A 1DC 1与平面BCC 1B 1夹角的大小.【解析】以O 为原点,OA 为x 轴正向,OD为y 轴正向,建立空间直角坐标系,则A 2,0,0 ,B 0,-1,0 ,C -2,0,0 ,D 0,1,0 ,设B 10,0,m ,则A 12,1,m ,C 1-2,1,m ,D 10,2,m ,(1)B i O =0,0,-m ,取A i C 1中点M 0,1,m ,则DM =0,0,m ,所以B i O ⎳DM ,所以B 1O ⎳DM ,DM ⊂平面A 1DC 1,B 1O ⊄平面A 1DC 1,所以B 1O ⎳平面A 1DC 1.(2)A 1D =-2,0,-23 ,A 1C 1=-4,0,0 ,设m =a ,b ,c 是面A 1DC 1的一个法向量,则2a +23c =04a =0,取m =0,1,0 ,BC =-2,1,0 ,BB 1 =0,1,23 ,设n =x ,y ,z 是面BB 1C 的一个法向量,则-2x +y =0y +23z =0,取n=3,23,-1 ,所以cos <m ,n >=231⋅3+1+12=32,所以平面A 1DC 1与平面BB 1C 的夹角为π6.16.(本小题满分15分)设函数f x =x ln x -16x 3的导函数为g x .(1)求函数g x 的单调区间和极值;(2)证明:函数f x 存在唯一的极大值点x 0,且x 0>32.(参考数据:ln2≈0.6931)【解析】(1)g x =ln x +1-12x 2, gx =1x -x =1-x 2xx >0 ,所以g x 在0,1 上单调递增,在1,+∞ 上单调递减,故极大值为g 1 =ln1+1-12=12,无极小值.(2)由(1)可知,f x max =g 1 =12>0且f 1e =-12e 2<0, fe =4-e 22<0,所以根据零点定理,∃x 1∈1e,1 使f x 1 =0,∃x 2∈1,e 使f x 2 =0,即x ∈0,x 1 ∪x 2,+∞ 时,f x <0,x ∈x 1,x 2 时,f x >0,所以f x 存在唯一极大值点x 2,即x 0=x 2∈1,e ,又因为f 32 =ln 32+1-1232 2=ln3-ln2+1-98=ln3-ln2+18≈ln3-0.8181>ln3-ln e ,所以x 2∈32,e,即x 0>32,得证!17.(本小题满分15分)已知直线l :y =kx +t 与双曲线C :x 22-y 2=1相切于点Q .(1)试在集合12,22,32,1 中选择一个数作为k 的值,使得相应的t 的值存在,并求出相应的t 的值;(2)过点Q 与l 垂直的直线l '分别交x ,y 轴于A ,B 两点,P 是线段AB 的中点,求点P 的轨迹方程.【解析】(1)联立可得:2k 2-1 x 2+4ktx +2t 2+2=0,所以Δ=-16k 2+8t 2+8=0,所以2k 2=t 2+1,当k =32时,t =±22;当k =1时,t =±1;当k =22时,t =0.(2)设Q m ,n ,则m 2=2n 2+2,对C 求导可得:x -2y ⋅y =0,所以y =x2y,所以k r =-2y x =-2n m ,所以l :y -n =-2n mx -m ,令y =0,得x =32m ,所以A 32m ,0 ;令x =0,得y =3n ,所以B 0,3n ,所以p 34m ,32n ,即x P =34m ,y P =32n ,则m =43x P ,n =23y P ,所以169x 2P =89y 2P +2⇒x 2P =y 2P 2+98,即P 的轨迹方程是x 2-12y 2=98x ≠±324.18.(本小题满分17分)现有n 张形状相同的卡片,上面分别写有数字m +1,m +2,⋯,m +n m ∈N ,n ∈N * ,将这n 张卡片充分混合后,每次随机抽取一张卡片,记录卡片上的数字后放回,现在甲同学随机抽取4次.(1)若n =8,求抽到的4个数字互不相同的概率;(2)统计学中,我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义E X k 为随机变量X 的k 阶矩,其中1阶矩就是X 的期望E X ,利用k 阶矩进行估计的方法称为矩估计,(i )记每次抽到的数字为随机变量X ,计算随机变量X 的1阶矩E X 和2阶矩E X 2 .(参考公式:12+22+⋯+n 2=n n +1 2n +16)(ii )已知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3,8,9,12,试利用这组样本并结合(i )中的结果来计算n 的估计值n .(n 的计算结果通过四舍五入取整数)【解析】(1)P =88⋅78⋅68⋅1058=105256.(2)(i )E X =1n m +1 +m +2 +⋯+m +n =1n nm +12n n +1 =m +12n +1 ,E X 2 =1nm +1 2+m +2 2+⋯+m +n 2=1n n ⋅m 2+2m +2m +⋯+nm +12+22+⋯+n 2 =1n n ⋅m 2+n n +1 ⋅m +16n n +1 2n +1 =m 2+m n +1 +16n +1 2n +1(ii )易知该组样本的E X =8=m +12n +1E X 2 =74.5=m 2+m n +1 +16n +1 2n +1 ,解得n 2≈127,所以n =11.19.(本小题满分17分)对于给定的一个n 位自然数x =a 1a 2⋯a n(其中a i ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},i =1,2,⋯,n },称集合M x 为自然数x 的子列集合,定义如下:M x =b 1b 2⋯b m ∣∃i 1,i 2,⋯i m ∈N *且i 1<i 2<⋯<i m ≤n ,使得b k =a i kk =1,2,⋯m ,比如:当x =001 时,M x =0 ,1 ,00 ,01 ,001.(1)当x =0012时,写出集合M x ;(2)有限集合A 的元素个数称为集合A 的基数,一般用符号A 来表示.(i )已知x =00111 ,y =11100 ,z =10101,试比较M x ,M y ,M z 大小关系.(ii )记函数τx =a 1a 2⋯a n(其中a 1 ,a 2 ,⋯,a n 为a 1,a 2,⋯,a n 这n 个数的一种顺序变换),并将能使M τx 取到最小值的τx 记为τ*x .当x =202420242024 时,求M τx 的最小值,并写出所有满足条件的τ*x 【解析】(1)M x =0 ,1 ,2 ,00 ,01 ,02 ,12 ,00 1 ,002 ,012 ,0012;(2)(i )M x =0 ,1 ,00 ,01 ,Π ,00 ,011 ,111 ,0011,0111 ,00111 , M x =11,M y =I ,0 ,Π ,10 ,00 ,Π 1 ,100 ,100 ,1110 ,1100 ,Π 100 , M y =11,M z =1 ,0 ,11 ,10 ,00 ,01 ,00 ,01 ,00 ,101 ,100 ,101 ,1010,101 ,1010 ,010 ,101 ,1101 ,0101 ,1001 ,10101 , M z =19,所以M z >M x =M y .(ii )加强命题如下:若有a i 个数字b i 构成题中的自然数x (其中a i ∈N ,b i 是一位整数,本题即a 1=3,b 1=0,a 2=6,b 2=2,a 3=3,b 3=4的情形),则所求的M τx min =ni =1a i +1 -1,等号成立条件是当x 中相同数字排列在一起的情形.(1)当n =1时,M τx min =a 1显然成立;(2)设当n =k 时,命题成立,即M τx min/n =k =ki =1a i +1 -1,则当n =k +1时,相当于在原来字符串的基础上增加了a k +1个b k +1.注意到此时对于n =k 时的每一种排列,此时匹配上0到a k +1个排列,都能至少构成n =k +1时的一种排列,再结合不含有n =k 时的任何元素的a k +1个排列,则我们有M τx min/n =k +1≥ki =1a i +1 -1⋅a k +1+1 +a k +1=k +1i =1a i +1 -1,而当x 中相同数字排列在一起时,M r x manifo -le -i =ki =1a i +1 -1成立,则当n =k +1时命题也成立,由数学归纳法可知该命题对于的n 均成立.特别的,当a 1=3,b 1=0,a 2=6,b 2=2,a 3=3,b 3=4时,M τx min =4⋅7⋅4-1=111.。

2015年温州市高三第三次适应性测试数学（文科）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}{2R |1M x x =∈=，}{2R |230N x x x =∈--=，则=N M Y ( ▲ ) A ．}1{-B ．}3,1,1{-C ．}3,1{D ．}3,1{-2．已知命题2000:,210p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为( ▲ )A ．012,0200>++∈∃x x R xB ．012,2≤++∈∀x x R x C ．012,2≥++∈∀x x R xD ．012,2>++∈∀x x R x3．已知b a ,是实数，则“0>>b a ”是“22b a >”的( ▲ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ▲ ) A ．若n m //，α//n ，则α//mB ．若α//m ，β//m ，则βα//C ．若n m ⊥，α⊥n ，则α⊥mD ．若α⊥m ，β⊥m ，则βα//5．要得到函数)32sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=图象上的所有点( ▲ )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度6．已知向量1||||||=-==，则=-|2|( ▲ )俯视图侧视图正视图225543第10题图A ．2B ．3C ．3D ．237．已知双曲线1C :22221-=x y a b（0,0>>b a ）的右焦点F 也是抛物线2C :22=y px （0>p ）的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若⊥PF x 轴，则双曲线1C 的离心率为( ▲ ) A ．21+ B ．22 C ．221- D ．31+8．如图，正三棱柱111-ABC A B C （底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点．M 、N 分别是1BB 、1CC 上的动点（含端点），且满足N C BM 1=．当M,N 运动时，下列结论中不正确．．．的是( ▲ ) A ．平面⊥DMN 平面11BCC B B ．三棱锥1-A DMN 的体积为定值 C ．∆DMN 可能为直角三角形D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分。

温州市普通高中2024届高三第三次适应性考试数学试题卷（答案在最后）本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A.12B.2 C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】由条件可知2A+C =B ，结合πA B C ++=求得A C +，从而代入得解.【详解】因为,,A B C 成等差数列，所以2A+C =B ；又πA B C ++=，所以3πB =，即π3B =，所以2π23A CB +==，所以()2sin sin π32A C +==.故选：C .2.平面向量()(),2,2,4a m b ==-，若()a ab - ∥，则m =（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】A【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.【详解】()2,2a b m -=+-，由于()a ab - ∥，所以()222m m -=+，解得1m =-，故选：A3.设,A B 为同一试验中的两个随机事件，则“()()1P A P B +=”是“事件,A B 互为对立事件”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的.【详解】若,A B 互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到()()1P A P B +=，故条件是必要的；若试验基本事件含3种及以上，其中,A B 表示概率为12的两个不同事件，则,A B 不互为对立事件，此时()()11122P A P B +=+=，故条件不是充分的.故选：B.4.已知*m ∈N ，()21mx +和()211m x ++的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ，则（）A.a b <B.a b=C.a b > D.,a b 的大小关系与m 有关【答案】A 【解析】【分析】根据二项式系数的性质知2C mm a =，21C mm b +=，再用组合数的定义验证a b <.【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项.即2C mm a =，12121C C mm m m b +++==，所以()()()212221!2!2121C C C !1!1!!1m mm m m m m m m m b a m m m m m m ++++===⋅=>=+++，从而a b <.故选：A.5.已知5πsin 410⎛⎫β+=- ⎪⎝⎭，则()()sin 2cos cos 2sin αβαβαα---=（）A.2425-B.2425C.35-D.35【解析】【分析】先由两角和正弦和已知条件解得1sin cos 5ββ+=，进而得24sin 225β=-，再利用两角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.【详解】因为5π2sin 410β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故由两角和正弦公式得1sin cos 5ββ+=，故两边平方得112sin cos 1sin 225+ββ=+β=，即24sin 225β=-，故()()()()sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin αβαβαααβααβα---=---()()24sin 2=sin 2β=25αβα=---.故选：B.6.已知函数()223,02,0x x x x f x x ⎧-+>=⎨≤⎩，则关于x 方程()2f x ax =+的根个数不可能是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】将原问题转化为直线2y ax =+与函数()y f x =的图象交点的个数，作出()y f x =的图象，分0a >、0a =、a<0三种情况，结合图象求解即可．【详解】作出函数()y f x =的图象，如图所示：将原问题转化为直线2y ax =+（过定点()0,2）与函数()y f x =的图象交点的个数，由图可知，当0a =时，直线2y =与函数()y f x =的图象只有一个交点；当a<0时，直线2y ax =+与函数()y f x =的图象没有交点；当0a >时，直线2y ax =+与函数()y f x =的图象有三个交点；所以直线2y ax =+与函数()y f x =的图象不可能有两个交点．故选：C ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，C 上两点,A B 满足：222AF F B = ，14cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是（）A.34B.4C.23D.53【答案】D 【解析】【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.【详解】由222AF F B =可知222AF F B = ，设2F B x = ，则22AF x = ，1122,2AF a x BF a x =-=-,3AB x =,则由余弦定理可得()()()()()2224322222225x a x a x a x a x =-+----⨯化简可得()()2223903230a ax x a x a x --=⇒-+=，故3a x =，23a x =-（舍去），又2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=,所以()()()222222242242022222x c a x x c a x x cx c+--+--+=⋅⋅⋅⋅，化简可得22222234303430953a c ax a c aa c a +-=⇒+-=⇒=，故33c e =⇒=，故选：D8.数列{}n a 的前n 项和为()*1,n n n n S S a n a +=∈N ，则5622111i i i i a a -==-∑∑可以是（）A.18 B.12 C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】易通过11n n n a S S ++=-，可得21n na a +-=，也可求得21a =，但此数列存在不确定的首项，所以在求和后发现结果为16a -，与选项中的四个数进行对比分析，发现1a 一定不能为负整数，所以只能选C.【详解】由()*1nn nS a n a +=∈N 可得：1n n n S a a +=⋅且0n a ≠，由上式又有：1211S a a ==，还有121n n n S a a +++=⋅，两式相减得：1211n n n n n a a a a a ++++=⋅-⋅，两边同时除以11(0)n n a a ++≠得：21n na a +-=，由上式可知数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差为1，所以()()56221246810135791111ii i i a aa a a a a a a a a a a -==-=++++-+++++∑∑()()111111112345123456a a a a a a a =++++-++++++++++=-，由此数列的奇数项公式为211(1)n a a n -=+-，又由0n a ≠，所以可以判断1a 一定不能为负整数，即只能有169a -=，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间两条异面直线,a b 所成的角等于60°，过点P 与,a b 所成的角均为θ的直线有且只有一条，则θ的值可以等于（）A.30°B.45°C.75°D.90°【答案】AD 【解析】【分析】过点P 作//,//a a b b ''，求得直线l 与,a b ''所成角的范围为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎣⎦或ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合选项，即可求解.【详解】过点P 作//,//a a b b ''，从两对角的角平分线开始，直线l 与,a b ''所成角的范围为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而均为θ的直线有且仅有一条，根据对称性，可得30θ= 或90θ= .故选：AD.10.已知12,z z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的两个根，其中11i z =+，则（）A.12z z =B.2212z z = C.2p =- D.2q =【答案】ACD 【解析】【分析】根据虚根成对原理得到21i z =-，即可判断A ，再根据复数代数形式的乘法运算判断B ，利用韦达定理判断C 、D.【详解】因为12,z z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的两个根且11i z =+，所以21i z =-，即12z z =，故A 正确；()2211i 2i z =+=，()2221i 2i z =-=-，所以2212z z ≠，故B 错误；因为()()121i 1i 2z z p +=++-==-，所以2p =-，故C 正确；又()()22121i 1i 1i 2z z q =+-=-==，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()()πsin (0),2f x x x ωϕω⎡⎤=+>∈⎢⎥⎣⎦的值域是[],a b ，则下列命题正确的是（）A.若π2,6b a ϕ-==，则ω不存在最大值 B.若π2,6b a ϕ-==，则ω的最小值是73C.若b a -=，则ω的最小值是43D.若32b a -=，则ω的最小值是43【答案】ABC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的最值取得条件，周期性及单调性检验各选项即可判断.【详解】当π2,6b a ϕ-==时，1a =-，1b =，π()sin()6f x x ω=+，当ω足够大时，π[,π]2包含完整周期，故A 正确；为使ω更小，π[,π]2只包含一个最大、最小值点，所以πππ2π262πππ2π62k k ωω⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得122433k k ω+≤≤-，Z k ∈，所以1k =时，73ω≥，验证成立，故B 正确；C 项：若b a -=，当ω取最小值时，周期最大，且()π,π,222f f ⎧⎧⎫⎪⎛⎫=-⎨⎬⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎩⎭，故π3π232T T ⇒==，故2π43T ω==，故C 正确；D 项：若32b a -=，ω取最小值时，周期最大，()π33,π,244f f ⎧⎫⎛⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，当π2π3π232T T ω⇒=，此时min 43ω<，D 错误．故选：ABC ．非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.设随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，若(1)()P a P a ξξ>+=<，则=a ____________.【答案】32【解析】【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.【详解】因为()2,1N ξ 且(1)()P a P a ξξ>+=<，所以122a a ++=⨯，解得32a =.故答案为：3213.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：()()()()1,42f xy f x f y f =+-=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.【答案】12##0.5【解析】【分析】依次赋值2x y ==，得()322f =；赋值2,1x y ==，得()11f =；最后赋值11,2x y ==即可求解.【详解】由题赋值2x y ==，得()()()22221f f f ⨯=+-，所以由()42f =，得()322f =；赋值2,1x y ==，得()()()21211f f f ⨯=+-，所以()11f =；赋值12,2x y ==，得()1122122f f f ⎛⎫⎛⎫⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭.故答案为：12.14.过抛物线22(02)y px p =<<焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，点()1,0M ，沿x 轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥A FMB -体积最大时，p =____________.【答案】43##113【解析】【分析】设直线AB 的方程为2px my =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三棱锥的体积公式求解．【详解】由于直线AB 过焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与抛物线交于两个不同的点，故设其方程为2p x my =+，联立方程222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得，2220y pmy p --=，所以2A B y y p ⋅=-，所以()()32242111111181423326622424381A FMBBFM A B A B A p p p p V S y MF y y MF y y p p p -⎡⎤++-⎛⎫=⋅⋅=⨯⋅-⋅=⋅-⋅=-=-≤=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ，当42p p =-，即43p =时，三棱锥A FMB -体积最大．故答案为：43．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111D ADC -后得到如图所示的几何体，四边形ABCD 是菱形，4,2,AC BD O ==为AC 与BD 的交点，1B O ⊥平面ABCD .（1）求证：1//B O 平面11A DC ；（2）若1B O =11A DC 与平面11BCC B 夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）取11A C 中点1O ，连接111,B O O D ，由已知条件证明出11//B O O D ，即可得证1//B O 平面11A DC .（2）先求平面11A DC 与平面11BCC B 的法向量()111,,m x y z = 和()222,,n x y z = ，再由·cos ,m n m n m n=，结合二面角夹角范围和图形即可求解.【小问1详解】如图，取11A C 中点1O ，连接111,B O O D ，1OO ，则由题意111////B B AA OO 且111B B AA OO ==，故四边形11B BOO 是平行四边形，所以11//B O BO 且11B O BO =，故11//B O OD 且11B O OD =，所以四边形11B O DO 是平行四边形，故11//B O O D ，又1B O ⊄平面11A DC ，1O D ⊂平面11A DC ，所以1//B O 平面11A DC .【小问2详解】由题意可知1,,AC BD OB 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则由题意()()()()(10,2,0,1,0,0,0,2,0,1,0,0,0,0,A D C B B --，又(1111,0,AA CC BB ===，所以()((1110,2,01,0,1,2,OC OC CC OC BB =+=+=+=，()((1110,2,01,0,1,2,OA OA AA OA BB =+=+=-+=-，即((111,2,,1,2,A C -，所以()111,2,0B C =，(11,0,CC =，(10,2,DA =-，(10,2,DC = ，设平面11A DC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则111m B C m CC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以111111120m B C x y m CC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，则()1m =-，设平面11BCC B 的一个法向量为()222,,n x y z = ，则11n DO n DA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以12122·0·20n DO n DA y ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，取21x =，则()1,0,0n = ，所以·cos ,412m nm n m n ===⨯，设平面11A DC 与平面11BCC B 夹角为θ，则cos ,2cos m n θ==，所以平面11A DC 与平面11BCC B 夹角的大小为π6θ=.16.设函数()31ln 6f x x x x =-的导函数为()g x .（1）求函数()g x 的单调区间和极值；（2）证明：函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且032x >.（参考数据：ln20.6931≈）【答案】（1）()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，极大值()112g =，无极小值.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数()g x 的单调区间和极值；（2）利用导数求函数()f x 的极大值点0x ，由单调性证明032x >.【小问1详解】函数()31ln 6f x x x x =-，定义域为()0,∞+，()()21ln 12g x f x x x '==+-，()()2110xg x x x x x-'=-=>，()0g x '>解得01x <<，()0g x '<解得1x >，所以()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故极大值为()111ln1122g =+-=，无极小值.【小问2详解】由（1）可知，()()11102f g '==>且2110e 2e f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()24ee 02f -'=<，所以根据零点定理，11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()10fx '=，()21,e x ∃∈使()20f x '=，即()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0f x '<，()f x 为减函数；()12,x x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 存在唯一极大值点2x ，即()021,e x x =∈，又因为()20331391ln 1ln 3ln 21ln 3ln 2ln 30.81810222288f g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=-+-=-+≈->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以23,e 2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即032x >，得证!17.已知直线:l y kx t =+与双曲线22:12x C y -=相切于点Q .（1）试在集合123,,,1222⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭中选择一个数作为k 的值，使得相应的t 的值存在，并求出相应的t 的值；（2）过点Q 与l 垂直的直线l '分别交,x y 轴于,A B 两点，P 是线段AB 的中点，求点P 的轨迹方程.【答案】（1）当2k =时，0=t；当k =2t =±；当1k =时，1t =±.（2）229.284y x x ⎛⎫-=≠± ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直线方程和双曲线方程联立，由Δ0=求得k 与t 的函数关系，再由k 的值求出相应的t 的值；（2）设(,)Q m n ，利用导数求直线l 的斜率，得直线l '的斜率和方程，求出,A B 两点的坐标，表示出分点P 的坐标，由(,)Q m n 在双曲线上，得点P 的轨迹方程.【小问1详解】由2212x y y kx t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222214220k x ktx t -+++=，由22=16880k t ∆-++=，得2221k t =+，当12k =时，t 不存在；当22k =时，0t ≠；当k =22t =±；当1k =时，1t =±.【小问2详解】设(,)Q m n ，则0n ≠，2222m n =+，对C 求导可得20x y y '-⋅=，则2xy y'=，有22l y n k x m '=-=-，所以()2:nl y n x m m-=--'，令0y =，得32x m =，所以3,02A m ⎛⎫⎪⎝⎭；令0x =，得3y n =，所以()0,3B n ，所以33,42P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，即33,42p p x m y n ==，则,4233p p m x n y ==，所以22168299p p x y =+，得22928p p y x =+，0p y ≠，即P 的轨迹方程是229.284y x x ⎛⎫-=≠± ⎪ ⎪⎝⎭18.现有n 张形状相同的卡片，上而分别写有数字()*1,2,,,m m m n m n +++∈∈N N ，将这n 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.（1）若8n =，求抽到的4个数字互不相同的概率；（2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义()kE X 为随机变量X 的k 阶矩，其中1阶矩就是X 的期望()E X ，利用k 阶矩进行估计的方法称为矩估计.（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量X ，计算随机变量X 的1阶矩()E X 和2阶矩()2E X；（参考公式：()()222121126n n n n +++++=）（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算n 的估计值 n.（ n 的计算结果通过四舍五入取整数）【答案】（1）105256（2）（ⅰ）1()(1)2E X m n =++，()221(1)(1)(21)6E X m m n n n =+++++；（ⅱ）11【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）（ⅰ）根据k 阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的1阶矩及2阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可.【小问1详解】依题意可得抽到的4个数字互不相同的概率87651058888256P =⨯⨯⨯=；【小问2详解】（ⅰ）依题意X 的可能取值为1m +，2m +，L ，*(N,N )m n m n +∈∈，且()1P X m i n=+=（1i n ≤≤且*N i ∈），所以1()[(1)(2)()]E X m m m n n=++++++ 111(1)(1)22nm n n m n n ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦，依题意2X 的可能取值为()21m +，()22m +，L ，()2*(N,N )m n m n +∈∈且()()221P X m i n=+=（1i n ≤≤且*N i ∈），所以22221()[(1)(2)()]E X m m m n n=++++⋅⋅⋅++()222212(2)12n m m m nm n n⎡⎤=⋅++++++++⎣⎦ 211(1)(1)(21)6n m n n m n n n n ⎡⎤=⋅++⋅+++⎢⎥⎣⎦21(1)(1)(21)6m m n n n =+++++；（ⅱ）依题意样本数据3，8，9，12为期望（平均数）为()13891284+++=，则9，64，81，144为期望（平均数）为()19648114474.54+++=，所以()221()(1)821(1)(1)(21)74.56E X m n E X m m n n n ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=+++++=⎪⎩，消去m 得()()21118181(1)(1)(21)74.5226n n n n n ⎡⎤⎡⎤-++-+++++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得2127n =，解得n =，又211121=，212144=，所以 11n≈.19.对于给定的一个n 位自然数12n x a a a = （其中{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9i a ∈，1,2,,i n = ），称集合xM为自然数x 的子列集合，定义如下：x M ={*1212,,m m b b b i i i ∃∈N 且12m i i i n <<<≤ ，使得()1,2,k k i b a k m == }，比如：当001x =时，{}0,1,00,01,001x M =.（1）当0012x =时，写出集合x M ；（2）有限集合A 的元素个数称为集合A 的基数，一般用符号A 来表示.（ⅰ）已知00111,11100,10101x y z ===，试比较,,x y z M M M 大小关系；（ⅱ）记函数()12n x a a a τ'''= （其中()12,,,n a a a ''' 为()12,,,n a a a 这n 个数的一种顺序变换），并将能使()x M τ取到最小值的()x τ记为()*x τ.当202420242024x =时，求()x M τ的最小值，并写出所有满足条件的()*x τ.【答案】（1）{0,1,2,00,01,02,12,001,002,012,0012}xM =（2）（i ）z x y M M M >=；（ii ）答案见解析【解析】【分析】（1）由自然数x 的子列集合，即可求解；（2）（i ）由00111,11100,10101x y z ===，根据子列集合的定义，进行列举，分别求得11x M =，11y M =和19z M =，即可求解；（ii ）根据题意，得到加强命题转化为()1minΠ(1)1n r x i i M a ==+-，等号成立的条件是，当x 中相同数字排列在一起的情形，结合数学归纳法，作出证明即可.【小问1详解】解：由自然数x 的子列集合，可得：自然数0012x =，可得{0,1,2,00,01,02,12,001,002,012,0012}x M =.【小问2详解】解：（i ）由00111,11100,10101x y z ===，可得{0,1,00,01,11,001,011,111,0011,0111,00111}xM =，即11x M =，{1,0,11,10,00,111,110,100,1110,11000,11100}y M =，即11y M =，{1,0,11,10,00,01,001,010,011,100,101,110,111,1010,1011,1101,0101,1001,10101}z M =，即19z M =，所以z x y M M M >=.（ii ）加强命题如下：若由i a 个数字i b 构成题中的自然数x （其中N i a ∈，i b 一位整数，本题即为1122333,0,6,2,3,4a b a b a b ======的情形），则所求()1minΠ(1)1n r x i i M a ==+-，等号成立的条件是，当x 中相同数字排列在一起的情形，证明：①当1n =时，()1minr x M a =，显然成立；②设当n k =时，命题成立，即()1minΠ(1)1n r x i i M a ==+-，当1n k =+时，相当于在原来字符串的基础上增加了1k a +个1k b +，注意到此时n k =时的每一种排列，此时匹配上0到1k a +个排列，都能构成1n k =+时的一种排列，再结合不含有n k =时的任何元素1k a +个排列，则我们有()1()11111min|[Π(1)1](1)Π(1)1n k r x n k i i k k i i M a a a a +=+=++==+-⋅++=+-，而当x 中相同数字排列在一起时，()1()11min|Π(1)1k r x n k i i M a +=+==+-成立，则当1n k =+时，命题也成立，由①②知，()1minΠ(1)1n r x i i M a ==+-成立.记()()()123000222222444,000444222222,222222000444r x r x r x ===()()()456000222222444,444000222222,444222222000r x r x r x ===，显然123456()()()()()()(31)(61)(31)111r x r x r x r x r x r x M M M M M M ======+⨯+⨯+=，下面证明：1()r x M 是所有()x M τ中最小的，从而()()*i x x ττ=（其中1,2,3,4,5,6i =）设()123n y x c c c c τ== （其中123n c c c c 为202420242024的一种顺序变换）即只需证1()r x M 取得最小值时，当且仅当y 里所有相同的数字必相等，根据对称性，以()1000222222444r x =为例，即只需证明()()*1x x ττ=即可，记()11y x τ=，证明y n M M ≥，构造集合y M 到集合i y M 的一种对应关系:i y y f M M →，使得p p M ∀∈，其中p 中含有0p 个0，2p 个2，4p 个4，根据n M 的定义，存在唯一的0022,44n q M =∈ 对应，即()f p q =，反过来，1y r M ∀∈，设0022,44r = （其中024t r r r =++，0r 个0，2r 个2，4r 个4），设1212y c c c = 中0的角标分别为123i i i ,,，取前0r 个01,,r i i ，设1212y c c c = 中2的角标分别为123456,,,,,j j j j j j ，取前2r 个21,,r j j ，设1212y c c c = 中4的角标分别为123,,k k k ，取前4r 个41,,r k j ，将01,,r i i ，21,,r j j ，41,,r k j ，从小到大排列得到新的角标12,,,t l l l ，则取12t l l l s c c c = ，根据子列集合的定义，可知y s M ∈，因为s 里含有0r 个0，2r 个2，4r 个4（但是相同的数字不一定相邻）这个s 在f 的作用下，柯达伊与r 对应，即()f s r =.综上所述，对于集合y M 中的任意一个元素，在集合i y M 中都有唯一的元素与之对应，反之，任取集合i y M 中的一个元素，在集合y M 中都能找到一个元素与之对应，由此可知y n M M ≥，所以()r x M 的最小值为111，满足条件的()*x τ有：()()()123000222222444,000444222222,222222000444r x r x r x ===()()()456000222222444,444000222222,444222222000r x r x r x ===，【点睛】知识方法点拨：与集合的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.。

2023年浙江省温州市高三第三次适应性考试（三模）数学试题及答案解析2023.5一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{|5}U x x N =∈≤，集合{1,2,3}{2,3,4}A B ==，，则()U A B = ð（）A.{1,5}B.{0,5}C.{1,2,3,4}D.{0,1,4,5}2.已知直线12:0:10l x y l ax by +=++=，，若12l l ⊥，则a b +=（）A.-1B.0C.1D.23.某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.经测算，若在距离车站10km 处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元.要使两项费用之和最小，仓库和车站的距离为（）A.4kmB.5kmC.6kmD.7km4.“2>πα”是“sin 12->-παα”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21112n n n n n n a b b a a b +++=+=，，则（）A.{}n b 是等差数列B.{}n b 是等比数列C.{}n b 是等差数列D.{}nb 是等比数列6.四面体OABC 满足90AOB BOC COA ∠=∠=∠= ，123OA OB OC ===，，，点D 在棱OC 上，且3OC OD =，点G 为ABC △的重心，则点G 到直线AD 的距离为（）A.22B.12C.33D.137.如图，A B ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，P是圆222a y x O =+：上不同于A B ，的动点，线段PA 与椭圆C 交于点Q ，若tan 3tan PBA QBA ∠=∠，则椭圆的离心率为（）A.13B.23C.33D.638.已知函数()x xx xe ef x a e e ---=-+，存在实数12 n x x x ，，，，使得121()()()()n n f x f x f x f x -+++= 成立，若正整数n 的最大值为6，则实数a 的取值范围为（）A.35,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.37,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.C.7337,,5225⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D.3553,,2332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知复数12,z z ，下列命题正确的是（）A.1212z z z z =B.若12z z =，则12z z =C.2111z z z = D.若2211z z =，则1z 为实数10.近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组:[)[)[]50,60,60,70,,90,100 ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X (单位:分)近似地服从正态分布()2,N μσ，且()0.6826P X μσμσ-<<+≈,()22P X μσμσ-<<+0.9544≈，()330.9974P x μσμσ-<<+≈，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s ，并已求得12s =.则（）A.由直方图可估计样本的平均数约为74.5B.由直方图可估计样本的中位数约为75C.由正态分布可估计全县98.5X ≥的人数约为2.3万人D.由正态分布可估计全县62.598.5X ≤<的人数约为40.9万人11.已知函数()()3104f x x ax a =++<，其中(),0,1,2,3i i i A x y i =，是其图象上四个不重合的点，直线03A A 为函数()f x 在点0A 处的切线，则（）A.函数()f x 的图象关于10,4⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.函数()f x 的极大值有可能小于零C.对任意的100x x >>,直线03A A 的斜率恒大于直线01A A 的斜率D.若123,,A A A 三点共线，则1202x x x +=12.如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，,F H 为圆柱底面圆弧BC 的两个三等分点，EF ,GH 为圆柱的母线，点,P Q 分别为线段,AB GH 上的动点，经过点,,D P Q 的平面α与线段EF 交于点R ，以下结论正确的是（）A ．//QR PDB ．若点R 与点F 重合，则直线PQ 过定点C ．若平面α与平面BCF 所成角为θ，则tan θ233D ．若,P Q 分别为线段,AB GH 的中点，则平面α与圆柱侧面的公共点到平面BCF 距离的最小值为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.在平行四边形ABCD 中，若(1,3),(2,4)AB AC == ，则AB AD ⋅=.14.434log 2log 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为．（用最简分数表示）15.已知ABC ∆内有一点P ，满足030PAB PBC ∠=∠=，2AB =，3sin 5ABC ∠=，则PB =.16.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件i A =“第i 次命中目标”，（1,2,3i =），()18i P A =，()()1|2i i i P A A P A +=，()()11|1,28i i P A A i +==，则()3P A =.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知函数()sin 4ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x 在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，其中ω为正整数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位得到函数()g x 的图象，求函数()()()=g x F x f x 的单调区间．18.（本小题满分12分）如图，已知四棱台1111-ABCD A B C D 的体积为7316，且满足//DC AB ，⊥BC BA ，11111=====AA A B BB BC CD ，2=AB ，E 为棱AB 上的一点且1//C E 平面11ADD A ．（1）设该棱台的高为h ，求证：1=h A E ；（2）求直线1C E 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）某校开展网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为34，第二组每道题答对的概率均为12，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.（1）记甲同学在一轮比赛答对的题目数为X ，请写出X 的分布列，并求()E X ；（2）若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.20.（本小题满分12分）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数q ，21,11,32,24,27,5056a a a a a >==-=，，，.（1）设,n n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设1,12,1,1n n S a a a =+++ ，是否存在实数λ，使,1n n a S λ<恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知抛物线21:44C y x =-与双曲线22222:1(12)4x y C a a a -=<<-相交于两点A B F ，，是2C 的右焦点，直线AF 分别交12C C ，于C D ，（不同于A B ，点），直线BC BD ，分别交x 轴于P Q ，两点.（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，求证：12y y 是定值；（2）求||||FQ FP 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数2cos ()(0,)x xf x x x -=∈+∞，.（1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点;（2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值;（3）设(),1,2i i g x k x b i =+=，若对任意的12,()()()2x g x f x g x π⎡⎫∈+∞≤≤⎪⎢⎣⎭，恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值.答案解析一、单选题12345678BBBCCADC1.解析：{|5}U x x N =∈≤{}5,4,3,2,1,0=且{}4,3,2,1=⋃B A ，则()U A B = ð{}5,0.2.解析：∵12l l ⊥，∴011=⋅+⋅b a ，∴0=+b a 3.解析：不妨设仓库到车站的距离为x ，每月土地费用为1y ，每月货物的运输费用为2y ，两项总费用为21y y y +=，由题意可知，当10=x 时，21=y ,82=y ,则2010211=⇒=k k ，8.010822=⇒=k k .则854202542021=⋅≥+=+=x x x x y y y 当且仅当x x 5420=时，等式成立，即5=x 时，8min =y .4.解析：构造R x x x y ∈-=，sin ，则0cos 1≥-='x y ，y 在R 上单调递增，则2πα>，∴12sin ->-παα，同理，反之也成立.5.解析：∵0>n a ，12+=b n n b b a ，∴1+=n n n b b a ，∵0211>+=++n n n a a b ，∴0>n b ，又112++=+n n n b a a ，∴12112++++=+n n n n n b b b b b ，∴122++=+n n n b b b ，∴{nb 是等差数列.6.解析：如图建系，则⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32,31G ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-=13232，，AG ，()1,0,1-=AD 故222359172=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==d 7.解析：∵QBA PBA ∠=∠tan 3tan ，∴BQ BP k k 3=，又1-=AP BP k k ，∴22ab k k BQAQ -=.可得3122=a b ，∴321222=-=ab e ，故36=e .8.解析：令()1,11212-∈+-=+-=--xx xx x e e e e e t ，要使提议成立，则1>a 当1-<a 时，()()()min max min 65x f x f x f ≤<，即()()a a a --≤-<--16115，得5723-≤<-a ；当1>a 时，()()()min max min 65x f x f x f ≤<，同理可得2357≤<a 综上可得答案选C.二、多选题9.解析：设()R y x yi x z ∈+=,1，()R b a bi a z ∈+=,2，则()()i bx ay by ax z z ++-=21，则()()222222222221x b y a y b x a bx ay by ax z z +++=++-=，()()=++=222221b a y xz z 2122222222z z x b y a y b x a =+++，故A 正确；若21z z =，例如i z +=11，i z -=12，显然21z z ≠，故B 错误；()()212211z y x yi x yi x z z =+=-+=，故C 正确；若2121z z =，()()22yi x yi x -=+，则xyi xyi 22-=，即0=xy ，当0=x ，0≠y 时，1z 为纯虚数，故D 错误.10.解析：()5.7410010.095025.085030.075020.065015.055=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X 故A 正确；设中位数为x ，则()5.010030.0107010020.0015.0=⨯⨯-+⨯+x ，75=x ，故B 正确；σμ25.98+=，()()()0228.022215.025.98=+<<--=+≥=≥σμσμσμX P X P X P ,14.10228.050=⨯万人，故C 错误；σμσμ25.985.62+=<≤=-X ，()()()σμσμσμσμ2225.985.62+<≤-=+<≤-=<≤X P X P X P ()()222σμσμσμσμ+<<--+<<--X P X P 9101112ACABDADABD()()222σμσμσμσμ+<<--+<<-=X P X P 8185.0=，925.408185.050=⨯，故D 正确.11.解析：设()()00,x f x A ，则()()02003030341x x a x ax x y A A -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-：，∵3A 在30A A 上，则()()032003033334141x x a x ax x ax x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即()()()02030303=-+-x x x x x x ，∵03x x ≠，故0203=+x x .ax x y +=3为奇函数，故()x f 的图象关于⎪⎭⎫⎝⎛410，中心对称，A 正确；∵0<a ，()0>'x f 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-∈,33,aa x ；()0<'x f 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛---∈3,3a a x ，故()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-,33,a a ，单调递增；在⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3,3a a 单调递减，故()0413323>+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a f x f 极大值，故B 错误；a x k A A +=20330，a x x x x x x ax x ax x k A A +++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=20012101030131414110，∵001>>x x ，1030A A A A k k <，故C 错误；321,,A A A 三点共线，a x x x x k a x x x x k A A A A +++==+++=2331212*********，故0321=++x x x ，03212x x x x =-=+，故D 正确.12.解析：A 选项，平面ABCD ∥平面EFHG ，平面DPQ ∩平面ABCD DP =，平面DPQ ∩平面EFHG QR =,∴PD QR ∥，A 正确；B 选项，此时PRQD 为梯形，DP QF ∥，∵HQF APD ∆∆∽，相似比为2=FHAD，故2=FQPD，此时PQ 必过DF 上靠近F 额三等分点，B 正确；C 选项，当P 与B 重合，Q 与H 重合，22=BD ,3=BH ,5=DH ,BH DH ⊥，此时DHC ∠为二面角，3322tan >==CH DC θ,C 错误；D 选项，R 为β到面BCF 距离最小值21，D 正确.三、填空题13.4；14.23；15.35；16.204830113.解析：()11，=-==AB AC BC AD ，431=+=⋅AD AB .14.解析：()()()r r r r rrrr x C x x CT 243444344412log 3log 2log 3log ---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=令024=-r 可得2=r ，该项为()()()232log 62log 3log 24232424=⨯=C .15.解析：设θ=∠PBA ,则()5330sin sin =︒+=∠θABC ，由正弦定理：APB AB P AB PB ∠=∠sin sin 得()︒+=︒30sin 30sin θABPB ，即35=PB .16.解析：()()412112==A P A A P ,()()2232A P A A P =，则()8112=A A P ,()8123=A A P ,()8123=A A P 由全概率公式得：()()()()()6498181141811211212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=+=A A P A P A A P A P A P 得：()()3292223==A P A A P ，即()()()()()20483018164913296492322323=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=+=A A P A P A A P A P A P .四、解答题17.解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，∴⎦⎤⎢⎣⎡--∈-423,44ππωππωx ，又∵函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πωx x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230π，上恰有3个零点，∴πππωπ34232<-≤，解得61323<≤ω，且ω为正整数，得2=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin πx x f ；（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=442sin ππx x g 得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx x g ，∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==42tan 42cos 42sin 24sin 42sin 42sin 42sin πππππππx x x x x x x x f x g x F ，由2422πππππ+<+<-k x k ，解得82832ππππ+<<-k x k ，Z k ∈，∴函数()()()x f x g x F =的单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+-82832ππππk k ，，Z k ∈.18.解：（1）四棱台1111D C B A ABCD -中有BCC B CD D C AB B A 11111121===，∵1=CD ,1=BC ,可得2111=D C ,2111=C B ,∴()832112121211111111111=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⋅+=C B B AD C S D C B A ,()()231212121=⨯+⨯=⋅+=BC AB CD S ABCD ,()163731111111111111=+⋅+=-h S S S S V ABCD ABCD D C B A D C B A D C B A ABCD ，得23=h ，∵∥E C 1平面11A ADD ，∴A D E C 11∥，又AB B A D C ∥∥1111,即AE D C ∥11，∴四边形AE D C 11是平行四边形，∴2111==D C AE ，∵四边形BA B A 11是等腰梯形，且11111===BB AA B A ,2=AB ,可得AB E A ⊥1,EA A Rt 1∆中，2321122211=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=AE A A E A ，∴E A h 1=.（2）过点E 作B B EH 1⊥于H ，由（1）知E A 1⊥平面ABCD ，E AB E A AB BC BC E A =⋂⊥⊥11，，,∴BC ⊥平面B AE 1，⊂EH 平面B AE 1，∴EH BC ⊥，B BB BC =⋂1,∴EH ⊥平面11B BCC ，∴H EC 1∠为直线E C 1与平面11B BCC 所成的角，∵EH B B E A EB S EB B ⋅=⋅=∆1121211，可得343=EH ，22112322221121121211211=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=+=B C B A E A C A E A E C ,∴6832343sin 11===∠E C EH H EC ,∴直线E C 1与平面11B BCC 所成角的正弦值为683.19.解：（1）X 的可能值为4,3,2,1,0，且()16141410=⨯==X P ，()83414343411=⨯+⨯==X P ，()6492143432202=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C X P ，()3292143433212=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C X P ，()6492143434222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C X P .∴X 的分布列为∴()16336494329364928311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .（2）甲同学在一轮比赛中获得纪念章的概率为6427649329=+=P ,设甲同学进行10轮比赛获得纪念章枚数为Y ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛642710~，B Y ,()kkk C k Y P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==101064376427，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-----kk k k k k kk k k k k C C C C 911101010111110101064376427643764276437642764376427，N k ∈，解得4=k ，即甲同学进行了10轮答题获得4枚纪念章的概率最大.X 01234P1618364932964920.解：（1）设t a =1,1，第一行公差为d ，则由523,1=+=d t a ，()()62,12,2-=+=+=q d t q d a a ，()()()66265,1232,15,722,44q d t q d t q a q a a a +=+⇒=⇒=，联立三式，解得2=d 或10（当10=d 时，01,1<a ，不符题意，舍去），1=t ，2-=q ，∴()[]()()111,11,1,2121----⋅-=-+==n n n n n n n q d n a qa a ，即()()1212--⋅-=n n n b .（2）()111,11,2---==n n n a a ，()()()3212121nnn S --=----=，()()321211,nn n n S a --⋅<-⇔<-λλ，当n 为奇数时，等价于n n n 21232321223+-=+⋅>λ恒成立，得23≥λ；当n 为偶数时，等价于12232312223-+=-⋅<n n n λ恒成立，得23≤λ.综上23=λ，即存在23=λ，使得n n S a λ<1,恒成立.21.解：（1）由()11,y x A ，()22,y x C 是直线AF 与抛物线4421-=x y C ：的两个交点，故设直线AF 的方程为2+=my x ，代入4421-=x y C ：，消去x ，整理得0442=--my y ，∴421-=y y 为定值；（2）由()11,y x B -，则()121212124224y y my my m x x y y k BC -=+-+=-+=，故BC 的直线方程为()11214x x y y y y --=+.令0=y 得()0444442121121=+=++-=y y y y y y x P .设()33,y x D ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=1422222a y a x my x 消去x 可得()()()0444422222222=---+--a y a m yaa m m ，()()22222231222223144444m a a m a y y m a a m a m y y -+-=-+-=+，.∴直线BD 的直线方程为()113131x x x x y y y y --+=+，令0=y 得()()22422113131113131+-=+++-=++-=a my y y y y my x y y x x y x Q ∴44222a x FPFQ Q -=-=，∵()2,1∈a ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈430，FP FQ .22.解：（1）令()0=x f 得0cos =-x x ，令()x x x g -=cos ，即证()x x x g -=cos 在()∞+，0有唯一零点.()01sin <--='x x g ，故()x g 在()∞+，0上单调递减，066cos 6>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，022cos 2<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，∴026<⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππg g ，根据零点存在定理得证.（2）()()3cos 2sin 1x x x x x f --='，注意到02=⎪⎭⎫⎝⎛'πf ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2x 时，显然()0sin 1>-x x ，0cos 2>-x ，故()0>'x f ；当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，令()()x x x x h cos 2sin 1--=，02=⎪⎭⎫⎝⎛πh ，那么()1cos sin 1>-+='x x x x h ，利用x x x cos sin >，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 放缩，故当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，()x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π递增，故()02=⎪⎭⎫ ⎝⎛<πh x h ，∴()0<'x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，则()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2上单调递增，则()ππ22min -=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f .（3）由（1）函数()x f 在()∞+，0上有且只有一个零点；由（2）知()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递增，且当+∞→x ，()0→x f ，考虑到()b x k x f +≥1，则01≤k ，则π2-≥b .当b 变大，则2k 减小.考虑到21k k +最大，则01=k ，则π2-=b ，那么等号取到π22-x k 与()x f 相切，设切点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-20000cos ,x x x x ，则()0203000022cos cos 2sin x x x x x x x x x x f k π+-=--='=20000002cos cos 2sin x x x x x x x π+-=--⇒0sin 22cos 3002000=++-⇒x x x x x π230π=⇒x （证明唯一性即可）故229823ππ=⎪⎭⎫⎝⎛'=f k ，∴21k k +的最大值为298π.。

浙江省温州市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x∈R|x2=1}，N={x∈R|x2﹣2x﹣3=0}，则M∪N=( )A．{﹣1} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{﹣1，3}2．已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为( )A．∃x0∈R，x02+2x0+1＞0 B．∀x∈R，x2+2x+1≤0C．∀x∈R，x2+2x+1≥0 D．∀x∈R，x2+2x+1＞03．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( ) A．若m⊂α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β5．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知向量||=||=|﹣|=1，则|2﹣|=( )A．2 B．C．3 D．27．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为( )A．+1 B．2C．2﹣1 D．+18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是( )A．平面DMN⊥平面BCC1B1B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值C．△DMN可能为直角三角形D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S3=12，则数列{a n}的首项a1=__________，通项a n=__________．10．如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积为__________cm3，表面积为__________cm2．11．已知sinα﹣cosα=（0＜α＜），则sin2α=__________，sin（2α﹣）=__________．12．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=﹣log2x，则f（﹣）=__________；使f（x）＜0的x的取值范围是__________．13．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y﹣1的最大值为__________．14．若直线ax+by﹣1=0（a•b＞0）平分圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则+的最小值为__________．15．若对任意x∈[1，2]，不等式4x﹣a•2x+1+a2﹣1＞0恒成立，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n+3=3a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（n+1）log a n，记T n=++…+，求证：2T n＜1．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．19．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若k=1，O为坐标原点，求△OAB的面积．20．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，（ⅰ）当x1＜1＜x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，求实数b的取值范围．浙江省温州市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x∈R|x2=1}，N={x∈R|x2﹣2x﹣3=0}，则M∪N=( )A．{﹣1} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{﹣1，3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．解答：解：M={x∈R|x2=1}={1，﹣1}，N={x∈R|x2﹣2x﹣3=0}={3，﹣1}，则M∪N={﹣1，1，3}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为( )A．∃x0∈R，x02+2x0+1＞0 B．∀x∈R，x2+2x+1≤0C．∀x∈R，x2+2x+1≥0D．∀x∈R，x2+2x+1＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为：∀x∈R，x2+2x+1＞0．故选：D．点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，基本知识的考查．3．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．解答：解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( ) A．若m⊂α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：A选项可用线面平行的性质进行判断；B选项可用面面平行的条件进行判断；C选项可用线面平行的条件进行判断；D选项可用面面平等的条件进行判断．解答：解：A不正确，因为n∥α，可得出n与α内的直线位置关系是平行或异面；B不正确，因为m∥α，m∥β中的平行关系不具有传递性，平行于同一直线的两个平面可能相交；C不正确，m⊥α，m⊥n，可得出n∥α或n⊂α；D正确，m⊥α，m⊥β，可根据垂直于同一直线的两个平面平行得出α∥β．故选D．点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，空间想像能力，主要涉及到了面面平行、线面平行的判定．5．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象( ) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：y=sin（2x+）=sin2（x+），根据平移规律：左加右减可得答案．解答：解：y=sin（2x+）=sin2（x+），故要得到y=2sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．点评：本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象，属于基本知识的考查．6．已知向量||=||=|﹣|=1，则|2﹣|=( )A．2 B．C．3 D．2考点：平面向量数量积的运算．分析：由已知两边平方可得，=2=1，则|2﹣|==，代入可求．解答：解：∵||=||=|﹣|=1，∴=，∴=2=1，则|2﹣|===．故选B点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础试题．7．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为( ) A．+1 B．2C．2﹣1 D．+1考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程算出其焦点为F（，0），得到|PF|=p．设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF′|=p，△TFF′中利用勾股定理算出|MF′|=p，再由双曲线的定义算出2a=（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．解答：解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，双曲线﹣=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，即c=，可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p，由于△MFF′为直角三角形，则|MF′|==p，根据双曲线的定义，得2a=|MF′|﹣|MF|=p﹣p，可得a=（）p．因此，该双曲线的离心率e===．故选：A．点评：本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．8．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D 为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是( )A．平面DMN⊥平面BCC1B1B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值C．△DMN可能为直角三角形D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC 所成的锐二面角最大．解答：解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，B正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，C错误；当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，D正确．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=10，S3=12，则数列{a n}的首项a1=1，通项a n=3n ﹣2．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=10，S3=12，得，解得．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．故答案为：1，3n﹣2．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．10．如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积为4cm3，表面积为14+2cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，面积为=6，有一侧棱垂直于底面，高为2，即可得出结论．解答：解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，面积为=6，有一侧棱垂直于底面，高为2，∴其体积：=4，表面积为6+++=14+2，故答案为：4；14+2．点评：本题考查了三棱锥的三视图的运用，仔细阅读数据判断恢复直观图，关键是利用好仔细平面的位置关系求解，属于中档题．11．已知sinα﹣cosα=（0＜α＜），则sin2α=，sin（2α﹣）=．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：把所给的等式平方求得sin2α 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα 和cosα的值，可得cos2α 的值，从而利用两角差的正弦公式求得sin（2α﹣）的值．解答：解：∵sinα﹣cosα=（0＜α＜），平方可得，1﹣2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=．由以上可得sinα=，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=×+=，故答案为：；．点评：本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．12．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=﹣log2x，则f（﹣）=﹣2；使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用奇函数的性质可得则f（﹣）=﹣f（），计算可得结果．再根据f（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，且f（﹣1）=﹣f（1）=0，可得f（x）＜0的x的取值范围．解答：解：对于定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=﹣log2x，则f（﹣）=﹣f（）=﹣（﹣log2）=log2=﹣2．由于奇函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，故f（x）在（﹣∞，0）上也是减函数．再由f（﹣1）=﹣f（1）=0，可得f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：﹣2；（﹣1，0）∪（1，+∞）．点评：本题主要考查奇函数的性质，函数的单调性的应用，属于基础题．13．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y﹣1的最大值为0．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：由z=x﹣2y﹣1得y=+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=+，由图象可知当直线y=+过点A时，直线y=+的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（1，0），代入目标函数z=x﹣2y﹣1，得z=1﹣1=0∴目标函数z=x﹣2y﹣1的最大值是0．故答案为：0点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．若直线ax+by﹣1=0（a•b＞0）平分圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则+的最小值为3+2．考点：直线和圆的方程的应用．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：求出圆心坐标代入直线方程得到a，b的关系a+2b=1；将+乘以a+2b展开，利用基本不等式，检验等号能否取得，求出函数的最小值．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0的圆心坐标为（1，2）因为直线平分圆，所以直线过圆心（1，2），∴a+2b=1，∴+=（a+2b）（+）=3++≥3+2=3+2，当且仅当a=b=﹣1取等号．故答案为：3+2．点评：本题考查直线平分圆时直线过圆心、考查利用基本不等式求函数的最值需注意：一正、二定、三相等．15．若对任意x∈[1，2]，不等式4x﹣a•2x+1+a2﹣1＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（5，+∞）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：巧换元，设令2x=t，得到不等式（t﹣a）2＞1恒成立，解得t＞a+1或t＜a﹣1，即可得到a的取值范围．解答：解：令2x=t，∵x∈[1，2]，∴t∈[2，4]，∴t2﹣2at+a2﹣1＞0，t∈[2，4]恒成立，即有（t﹣a）2＞1，解得t＞a+1或t＜a﹣1，由t∈[2，4]，则a+1＜2，即a＜1，a﹣1＞4即a＞5．则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（5，+∞）．点评：考查学生理解掌握不等式恒成立的条件，注意化简转化为求函数的最值问题，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）利用两边之和大于第三边，求得b+c的一个范围，进而利用a2=3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc利用基本不等式求得b+c的最大值，综合可得答案．解答：解：（I）由已知得：bc=b2+c2﹣a2，故cosA==．∴A=．（II）解：一方面b+c＞a=，另一方面：a2=3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，∴（b+c）2≤12，b+c≤2，当且仅当b=c=时取到等号．综上：＜b+c≤2．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题过程中利用了运用基本不等式的知识解决范围问题．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n+3=3a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（n+1）log a n，记T n=++…+，求证：2T n＜1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）通过令n=1可得首项a1=3，当n≥2时，利用2S n+3=3a n与2S n﹣1+3=3a n﹣1的差可得公比，进而可得结论；（II）通过b n=2n（n+1），分离分母可得=（﹣），并项相加即得结论．解答：（I）解：当n=1时，2S1+3=2a1+3=3a1，得a1=3，当n≥2时，2S n+3=3a n …①2S n﹣1+3=3a n﹣1 …②①﹣②，得：2a n=3a n﹣3a n﹣1，即a n=3a n﹣1，∴数列{a n}为公比为3，首项为3的等比数列，∴a n=3•3n﹣1=3n（n∈N*）；（II）证明：∵b n=（n+1）log3n=2n（n+1），∴==（﹣），∴T n=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，∴2T n＜1．点评：本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）由PD⊥平面ABCD即可得到BD⊥PD，再由BD⊥AD，根据线面垂直的判定定理即可得到BD⊥平面PAD，从而得出PA⊥BD；（Ⅱ）首先以DA，DB，DP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设PD=AD=1，从而可确定图形上各点的坐标，设平面PCD的法向量为，由即可求得法向量，设直线PB与平面PCD所成角为θ，则根据sinθ=即可求得sinθ．解答：解：（I）PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD；∴PD⊥BD，即BD⊥PD；又BD⊥AD，AD∩PD=D；∴BD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD；∴PA⊥BD；（II）分别以DA，DB，DP三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PD=AD=1，则：D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）；∴，，；设平面PCD的法向量为，则：，取y=1，∴；记直线PB与平面PCD所成角为θ，sinθ==；∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．点评：考查线面垂直的性质及判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，平面法向量的概念及求法，以及线面角和直线方向向量和平面法向量的夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．19．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若k=1，O为坐标原点，求△OAB的面积．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为y=k（x﹣），代入抛物线，消x，利用y1y2=﹣4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）S△OAB=×1×|y1﹣y2|，求△OAB的面积．解答：解：（Ⅰ）F（，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣），…代入抛物线，消x，得：ky2﹣2py﹣kp2=0，…∴y1y2=﹣p2=﹣4，从而p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．…（Ⅱ）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y=x﹣1，代入抛物线，消x，得：y2﹣4y﹣4=0，∴S△OAB=×1×|y1﹣y2|==2…点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．20．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，（ⅰ）当x1＜1＜x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，求实数b的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣2x+1，构造方程f（x）=x，解得答案；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，则x1，x2是方程f （x）=x的两相异根，（ⅰ）当x1＜1＜x2时，m=﹣，结合韦达定理，可得m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，由韦达定理构造关于b的不等式，解得实数b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，解得或1，即f（x）的不动点为和1；…（Ⅱ）（ⅰ）由f （x）表达式得m=﹣，∵g（x）=f（x）﹣x=a x2+（b﹣1）x+1，a＞0，由x1，x2是方程f （x）=x的两相异根，且x1＜1＜x2，∴g（1）＜0⇒a+b＜0⇒﹣＞1⇒﹣＞，即 m＞．…（ⅱ）△=（b﹣1）2﹣4a＞0⇒（b﹣1）2＞4a，x1+x2=，x1x2=，∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=22，…∴（b﹣1）2=4a+4a2（*）又|x1﹣x2|=2，∴x1、x2到 g（x）对称轴 x=的距离都为1，要使g（x）=0 有一根属于（﹣2，2），则 g（x）对称轴 x=∈（﹣3，3），…∴﹣3＜＜3⇒a＞|b﹣1|，把代入（*）得：（b﹣1）2＞|b﹣1|+（b﹣1）2，解得：b＜或 b＞，∴b 的取值范围是：（﹣∞，）∪（，+∞）．…点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，韦达定理，是二次方程与二次函数，二次不等式的综合应用，难度较大．。

一、单选题1. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（ ）A ．6B ．2C．D．2. 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（）A．B．C．D．3. 函数在上的图象大致为（ ）A．B．C．D．4. 如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm ）.则该机械插件中间部分的体积约为（）（）A．B．C．D．5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，且，则（ ）A．B．C．D．7. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（ ）浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题二、多选题A．B．C ．4D ．28. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．9.如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点)，则下列结论中正确的是（）A ．平面B ．存在点使得C ．存在点使得异面直线与所成的角为60°D ．三棱锥的体积为定值10. 已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（ ）A ．当时，B ．V 存在最大值C ．当r 在区间内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间内变化时，V 先增大后减小11.已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（ ）A．B．C．D．12. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：三、填空题四、解答题品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B 表示买到的是优质品，则（ ）A．B．C．D．13. 我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.14. 共享单车已经成为方便人们出行的交通工具，某公司决定从年月开始向某地投放共享单车，记第个月共享单车的投放量和损失量分别为和(单位：千辆)，其中，．从第个月到年月，共享单车的每月投放量比上个月增加千辆，从年月开始，共享单车的每月投放量比上个月减少千辆；根据预测，从年月开始，共享单车的每月损失量比上个月增加辆.设第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差，则该地区第个月底的共享单车的估计保有量为___________千辆；当为___________时，该地区第个月底的共享单车估计保有量达到最大.15. 已知，，当取得最小值时，__________．16. 已知椭圆：的离心率，直线经过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过右焦点的直线：与椭圆相交于，两点，且与圆：相切，试探究的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.17. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，求：①至少有1人面试合格的概率；②签约人数ξ的分布列和数学期望．18. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，且．(1)求角B 的大小；(2)若D 是AC 边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积．19. 如图，在三棱锥中，，二面角为直二面角．(1)若，证明：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)若，，二面角的余弦值为．求CD 的长．20. 已知函数．(1)当时，讨论函数在区间上的单调性；(2)当时，证明：．21. 如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，．（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．。

一、单选题二、多选题1. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A．B．C．D．2. 已知cos α=，tan α=1，则sin α=（ ）A．B．C．D．3. 已知向量.若,则向量与向量的夹角的余弦值是A．B．C．D．4. 若，，则（ ）A．B．C．D．5. 设实数、满足，且.则的最小值是（ ）A．B．C．D．6. 已知为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．7. 自然数的位数为（参考数据：）（ ）A ．607B ．608C ．609D ．6108. 设集合，，则下列结论正确的是A．B．C．D．9. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．B ．f （x ）的最小正周期为2C ．将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数的图像D ．若f （x ）在区间[2，t ]上的值域为[－1，]，则t 的取值范围为[，]10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题(2)浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题(2)三、填空题四、解答题A．函数的最小正周期为πB ．点是曲线的对称中心C ．函数在区间内单调递增D ．函数在区间内有两个最值点11. 已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知圆，恒过点的直线与圆交于两点．下列说法正确的是（ ）A．的最小值为B．C．的最大值为D ．过点作直线的垂线，垂足为点，则点的运动轨迹在某个定圆上13. 已知，则______.14.已知幂函数在上是减函数，则n 的值为________．15. 如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为________．16. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求实数a 的取值范围．17. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面互相垂直，且，(1)求证：平面；(2)若是边上的点，且，求证：.18. 已知函数．（1）求的单调性；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．19.已知函数(1)讨论的零点个数;(2)当时，| 求a的取值范围.20. 某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．21. 若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.(1)证明：为“切合函数”；(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.（ⅰ）求证：；（ⅱ）求证：.。

一、单选题二、多选题1. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（）A．B．C．D．2.已知直线与圆相交于两点，且（其中为原点），那么的值是A．B．C．D．3. 以，两点为直径的圆的半径是（ ）A．B．C ．2D ．1 4. 的值为A ．61B ．62C ．63D ．645. 已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D． 6. “”是“，成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知向量，，若，则的最小值为（ ）A．B．C．D．8.已知等比数列满足，，则A．B．C ．1D ．29. 在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）A．B．C．D．10. 下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B互斥，B ．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11C ．若随机变量，，则D ．已知y 关于x 的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.211. 关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题 (2)浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题 (2)三、填空题四、解答题A ．是以为最小正周期的周期函数B．的表达式可改写为C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称12. 已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）A ．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为B．圆锥的高与母线长之比为C．圆锥的侧面积与底面积之比为3D ．球的体积与圆锥的体积之比为13.同时投掷枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是 ___________14. 函数的部分图像如图所示，则将的图像向右平移个单位后得到，得到的函数图像对称轴为________，函数解析式为_______．15.已知向量，若，，则___________.16. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且直线与圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)已知斜率大于0的直线与椭圆有唯一的公共点，过点作直线的平行线交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程.17. 设、分别是椭圆的左、右焦点，、两点分别是椭圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上异于、的动点，直线、与直线分别相交于、两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.18. （1）求方程组的解集；（2）求不等式的解集．19.如图，且且且平面．（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求直线到平面的距离．20. 2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为.(1)求的值;(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．21. 已知动圆过点(2，0)，被轴截得的弦长为4.（1）求圆心的轨迹方程；（2）若的顶点在的轨迹上，且，关于轴对称，直线经过点，求证：直线恒过定点.。

一、单选题二、多选题1. 《周髀算经》规定“一衡之间万九千八百三十三里三分里之一”，就是相邻两衡间距离（半径差）为里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（）A ．396666里200步B ．357000里000步C ．317333里100步D ．277666里200步2. 设集合，则A．B．C．D．3. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 长方体中，，，，则异面直线与成角余弦值为（ ）A．B．C．D．5. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知向量，，若与共线，则（ ）A．B．C．D ．57.等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为（ ）A ．4或5B ．3或4C ．4D ．38.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是A．B．C．D．9. 已知，则（ ）A．展开式中所有项的二项式系数和为B．展开式中所有奇次项系数和为C．展开式中所有偶次项系数和为D．10. 如图所示，圆锥PO 中，PO 为高，AB 为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C 为母线PA 的中点，点M 为底面上浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题(1)浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题(1)三、填空题四、解答题的动点，且，点O 在直线PM 上的射影为H ．当点M 运动时，下列结论正确的是（）A．三棱锥体积的最大值为B ．线段PB 长度是线段CM 长度的两倍C ．直线CH 一定与直线PA 垂直D ．H点的轨迹长度为11. 已知，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．展开式中系数最大的为12.已知菱形中，，，与相交于点，将沿折起来，使顶点移至点的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（）A．存在某个位置使得B．当为等边三角形时，C ．当二面角为时，三棱锥外接球表面积为D ．设为线段的中点，则三棱锥体积的最大值为13. 已知角的终边过点，则的值为 ．14. 已知复数满足，其中为虚数单位，则_______，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第_______象限．15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____16.在等差数列中，为的前n 项和，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n 项和．17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18. 已知有两个不同的零点.(1)求实数a的取值范围；(2)若，且恒成立，求实数的范围.19. 2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20. 已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)若，求的最大值.21. 如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠CAD=60°，∠SBA=45°，SB=SC=SD.（1）求证：SA⊥BD；（2）设E是线段SB的中点，求二面角S-AC-E的余弦值.。

一、单选题二、多选题1. 在矩形ABCD 中，，，沿矩形对角线BD 将折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当时，；②四面体ABCD的体积的最大值为；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为；④四面体ABCD 的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④2. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（）（注：一丈=10尺=100寸，）A ．300立方寸B ．305.6立方寸C ．310立方寸D ．316.6立方寸3. 设全集，集合，则（ ）A．B．C．D．4. 已知二次函数存在零点，且经过点，其中a ，b ，c均为正实数且，则实数a 的最小值为（ ）A．B．C．D．5.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）A．B．C．D．6. 在函数，，，中，奇函数是（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，则（　）A．B．C．D．8. 已知函数，则（ ）．A．的图象关于直线对称B ．的图象关于点对称C ．在上单调递增D ．在上单调递减9. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ）浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题(高频考点版)浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试(三模)数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长B ．2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元C ．逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大D ．2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合10.将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）A．B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D ．在内是增函数11.如图所示，已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有（）A ．点的轨迹为一条线段B．三棱锥的体积为定值C．的取值范围是D ．直线与所成角的余弦值的最小值为12. 朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（ ）A ．将这1864人派谴完需要16天B ．第十天派往筑堤的人数为134C ．官府前6天共发放1467升大米D ．官府前6天比后6天少发放1260升大米13.设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．14.设，______．15. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________．16. 甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.(i)求的取值范围；(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.17. 在中，角的对边分别为、、，若，且．(1)求证：成等比数列；(2)若的面积是1，求边的长．18. 已知等腰直角，，点，分别为边，的中点，沿将折起，得到四棱锥，平面平面.（Ⅰ）过点的平面平面，平面与棱锥的面相交，在图中画出交线；设平面与棱交于点，写出的值（不必说出画法和求值理由）；（Ⅱ）求证：平面平面.19. 某驾校对最近一年考驾照通过的情况进行了分析，在随机抽取的200名拿到驾照的学员中，包括女学员80名，没有补考经历的女学员有60名，男学员有补考经历的占.(1)根据条件填写下列列联表，并分析能否有的把握认为是否有补考经历与性别有关？没有补考经历有补考经历合计男学员（单位：人）女学员（单位：人）合计200 (2)在通过考试的学员中，随机抽查了20名学员，其科目三补考次数如下（最多只能补考4次）：补考次数01234人数105131求这20名学员补考次数的平均数与方差.参考公式：，.参考数据：0.500.400.250.150.100.050.4550.780 1.323 2.072 2.706 3.84120. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①，；②，．（2）给定，，点集．（）求集合中与点相关的点的个数；（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．21. 已知,其中为自然对数的底数．(1)若在处的切线的斜率为，求；(2)若有两个零点，求的取值范围．。