祝君金榜题名
2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 设集合 A 1, 2, 3,, 99
, B
2x x
A
, C
x 2x A
，则 B
C 的元
素个数为
．
答案：24 ．
1
3
99
解：由条件知，
B C
，
2, 4, 6, , 198
,1, , 2, ,
2, 4, 6, , 48
2
2
2
故 B C 的元素个数为 24 ．
2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于30
且不大于60
，则这样的点Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
OP
3
解：设点 P 在平面
上的射影为O ．由条件知，
tan OQP
, 3 ， OQ
3
即OQ
[1, 3]，故所求的区域面积为
．
3
1
8
2
2
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的 概率为
．
答案：
9 10
．
解：先考虑abc + def 为奇数的情况，此时abc , def 一奇一偶，若abc 为奇数，
2018年全国高中数学竞赛试题
一、选择题（每题4分，共24分）
函数f(x)=4−x2的定义域是（）.
A. [−2,2]
B. (−2,2)
C. [0,2]
D. (0,2)
下列命题中，正确的是（）.
A. 若α⊂β，则α∩β=α
B. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行
C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直
D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β
若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
已知tanα=21，则sin2α=（）.
A. 51
B. 52
C. 54
D. 53
设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.
A. 2
B. −2
C. 21
D. −21
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.
A. 815
B. 16315
C. 23
D. 415
二、填空题（每题5分，共20分）
函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.
若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.
A. 必有一个是直角
B. 必有一个是锐角
C. 必有一个是钝角
D. 都是直角
已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.
|
T
,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T，第一行是1,2,,n.例如：=⎢894⎥.题号一
2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30）
二
总分
9101112
得分
评卷人
复核人
注意：1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3.书写不要超过装订线；
4.不得使用计算器.
一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）
1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线，且z|=5，则z=.
2.设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n=.
3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.
4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上，则|PQ|的最小值=
2
.
5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=.
6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC相切，则小球
11111半径的最大值=.
7.设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=.
⎡123⎤8.把1,2,
n3⎢⎥
⎢⎣765⎥⎦
设2018在T
100
的第i行第j列，则(i,j)=.
二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）
9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于
线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D H
{}{}{}
{}
∈⎢,3⎥，即OQ∈
[1,3]，
6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为72
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为
◆答案：24
★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于
300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为
◆答案：8π
★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤
OQ⎣3⎦
所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为
◆答案：9 10
★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有
119
=，故所求为1-=
6!101010
2018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2
+
a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，
12
椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为
12
★解析：由对称性，不妨设点 P x , y
2018年全国高联数学试题
高中联赛（高联）是中国举办的一项全国性高中生学科竞赛活动，旨在提高高中生的学科水平、促进学科交流和合作。其中，数学竞赛一直是高联中最受关注的科目之一。2018年的全国高联数学试题是一份具有挑战性和思维性的试卷，下面将从试题的各个方面进行解析。
首先，试题的命题思路和难度水平。高联数学试题在命题思路上注重考查学生的数学思维、解决实际问题的能力和数学应用的广度。试题难度较高，要求学生具备扎实的数学基础和良好的数学解题能力。通过分析试题的命题思路和难度水平，可以帮助学生更好地了解数学学科的要求，有针对性地提高自己的数学水平。
其次，试题的题型和内容。2018年高联数学试题涵盖了数学的各个分支，如代数、几何、数论、概率等。试题的题型丰富多样，有选择题、填空题、计算题、证明题等，涵盖了数学学科的不同方面。学生在解答试题时，需要熟悉各种题型的解题方法和技巧，能够灵活运用数学知识解决问题。
第三，试题的解题思路和解题技巧。对于每一道试题，学生需要运用所学的数学知识和解题技巧进行解答。在解题过程中，需要分析题目的要求，提炼出问题的关键点，选择合适的解题方法和策略。同时，还需要注意解题的思路和步骤，确保解答的准确性和完整性。掌握解题思路和技巧，能够更快、更准确地解答试题，提高解题效率。
最后，试题的答案和解析。解答试题不仅要得出正确的答案，还要给出解题的过程和方法。答案和解析的内容应当清晰、详细，能够帮助学生理解和掌握解题的思路和方法。对于解答不出的题目，还可以分析解题思路和技巧，帮助学生提升解题的能力。
2018年全国高中数学联合竞赛试卷（一试）（B 卷）
一、单空题（本大题共8小题，共64.0分）
1. 设集合A ={2,0,1,8}，B ={2a|a ∈A}，则A ∪B 的所有元素之和是______．
2. 已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1，在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ
与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为______． 3. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc +def 是奇数
的概率为______．
4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，n
⃗ =(3,1)是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点(a n+1,a n )均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．
5. 设α，β满足tan(α+π
3)=−3，tan(β−π
6)=5，则tan(α−β)的值为______． 6. 设抛物线C ：y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B(−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切
于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M ，N ，则△KMN 的面积为______． 7. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f(π)=
1，f(2π)=0，则不等式组{0≤x ≤10≤f(x)≤1
的解集为______．
8. 已知复数z 1，z 2，z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实
2018年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1. 设集合{1,2,3,...,99},{2|},{|2},A B x x A C x x A ==∈=∈ 则B C 的元素个数为
__________.
2. 设点P 到平面α
点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为__________.
3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为________.
4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、， 椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为_________.
5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上严格递增，且满足
()1,(2)2f f ππ== ，则不等式组121()2
x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为________. 6. 设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2
220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和 为__________.
7. 设O 为ABC 的外心，若2,AO AB AC =+ 则sin BAC ∠的值为__________.
8. 设正整数数列1210,,...a a a 满足1012853,+2,a a a a a ==且 1{1,2},1,2,...,9i i i a a a i +∈++=， 则这样的数列的个数为__________.
2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛数学试题（含答案解析）
高考真题高考模拟
高中联考期中试卷
期末考试月考试卷
学业水平同步练习
2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛数学试题
（含答案解析）
1 若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为．
【答案解析】 4
2 设数列{an}满足：，，则．
【答案解析】
3 设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，若对任意的，都有
，则不等式的解集为．
【答案解析】
4 已知点P在离心率为的双曲线上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径r与外接圆半径R之比为．
【答案解析】
5 设G为△ABC的重心，若，，则AB+AC的最大值为．
【答案解析】
6 一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为．
【答案解析】
7 设正实数x，y满足，则的最小值为．
【答案解析】 6
8 设数列{an}的通项公式为，，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列{bn}，则被7除所得的余数为．
【答案解析】 4
9 已知O为坐标原点，，M为直线上的动点，的平分线与直线MN 交于点P，记点P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线l，若直线l与曲线E恰好有一个公共点，求k的取值范围.
【答案解析】（1）设，，易知.
因为平分，所以，所以
①
②
由①，②可得，代入①得，化简即得曲线的方程为
.
（2）记，，则，.
直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得
.
当直线与抛物线相切于点时，，解得.
当时，，切点在曲线上；
当时，，切点不在曲线上.
若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为.
2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛试题及答案
一、专题系列
1. 第1期平面向量中的奔驰定理
2. 第2期平面向量中的奔驰定理的证明
3. 第3期三角形中布洛卡点及其性质（1）
4. 第4期布洛卡点及其性质（2）
5. 第5期函数的极值点偏移解决策略（一）对数平均不等式
6. 第6期函数中的极值点偏移解决策略（二）构造对称函数
7. 第7期函数中的极值点偏移解决策略（三）换元法.
8. 第8期函数中的极值点偏移解决策略（四）隐零点放缩法
9. 第9期阿基米德三角形及其性质
10. 第10期伯努利—欧拉关于装错信封的问题(错排问题)
第18期参数法在递推数列中的应用
第21期平面向量基本定理与等和线
第22期一元三次方程的解法
第28期2007-2017年数学文化考察内容
第29期道是无圆却有圆（阿波罗尼斯圆）概念篇
第30期道是无圆却有圆阿波罗尼斯圆（基础篇）
第31期道是无圆却有圆阿波罗尼斯圆（提高篇）
第32期圆锥曲线的切线性质
第33期圆锥曲线的光学性质与蒙日圆
第34期费马点及其推广和应用
第35期米勒问题及其推广和应用
第36期托勒密定理及其推广和应用
第37期张角定理及其应用
初高中数学衔接韦达定理基础篇
第38期韦达定理及其推广和应用
第39期蝴蝶定理及其推广和应用
第40期圆锥曲线中的四点共圆
第41期圆锥曲线中的斜率之和（积）为定值（基础篇）第42期圆锥曲线中的斜率之和（积）为定值（提高篇）第43期极点与极线的几何意义及应用
第44期向量模长中的三剑客及其应用
第45期拉格朗日乘数法及其应用
第46期权方和不等式及其推广和应用
2018年湖南省高中数学联赛（A ）卷试题
参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分70分，每小题7分)
1.已知},,{321a a a B A = ，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数有____________个．
解:由集合B A ,都是B A 的子集，B A ≠且},,{321a a a B A = ．当φ=A 时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法；当A 为二元集时，B 有4种取法；当A 为三元集时，B 有7种取法．
故不同的),(B A 对有26743231=+⨯+⨯+(个)．2.
3
2
ax >+
的解集是(4，b )，则实数a =，b =．
解：方法一：设
2,则,且t x t t ==∈，则不等式23
02
at t -+
<
的解集为（，
所以2
，是方程2
302at t -+=
的两根，即12,32,
2a a ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
解得1
8
a =
，b =36．
方法二：设1232y y ax =
=+
，
由不等式3
2
ax >+的解集是(4，b )
，可得两函数123
2
y y ax ==+
在同一坐标系中的图象．设两函数图象的交点为A ，B
，则(4,2),(A B b ，所以3242a =+
32
ab =+．解得1
8
a =
，b =36．3.从-3，-2，-1，0，1，2，3，4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)
的系数，若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个?
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元
素个数为 ．
答案：24．
解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C
，
故B C 的元素个数为24．
2. 设点P 到平面
的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成
角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．
答案：8 ．
解：设点P 在平面 上的射影为O ．
由条件知，tan OP OQP OQ ，
即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．
3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．
答案：9
10
．
解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，
则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶
