归纳猜想高考题纔

专题一归纳猜想问题一．考点扫描：专题概述：归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．考查学生的归纳、概括、类比能力．有利于培养学生思维的深刻性和创造性.思路分析：解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.二．典例精析：考点一：数式归纳猜想题：【例1】．（2013•淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是﹣2．﹣4 a b c 6 b ﹣2 …考点：规律型：数字的变化类．分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是﹣2可得b=﹣2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2013除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．解答：解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴﹣4+a+b=a+b+c，解得c=﹣4，a+b+c=b+c+6，解得a=6，所以，数据从左到右依次为﹣4、6、b、﹣4、6、b，第9个数与第三个数相同，即b=﹣2，所以，每3个数“﹣4、6、﹣2”为一个循环组依次循环，∵2013÷3=671，∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为﹣2．故答案为：﹣2．考点二：图形归纳猜想题：【例2】. （2012宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由。

考点三：数形结合归纳猜想题：【例3】．（2012益阳）观察图形，解答问题：考点四：类比归纳猜想题：【例4】．（2013江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 ①②③④ （填序号即可） ①AF =AG =21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB =∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置yx关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．三．专题精练：1．（2013东营）如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为 .2．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计） 3．（2012•珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32，6030A CB D A B34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×= ×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．解：（1）①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×369=693×36；故答案为：①275，572；②63，36．（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a）右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），左边=右边，所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。

2023年高考数学终极押题猜想押题猜想一三视图 1押题猜想二函数的图像 7押题猜想三三角函数单调性求参数范围 11押题猜想四圆锥曲线 17押题猜想五数列 22押题猜想六函数切线求参问题 27押题猜想七二项式 30押题猜想八解三角形 33押题猜想九立体几何异面直线成角 38押题猜想十球 44押题猜想一三视图已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为( )A.25+22+5B.25+22+2C.83D.4【答案】B 【解析】：由三视图知该几何体是底面是边长为2的正方形，高为2的四棱锥，如图所示：S △PAD =12⋅AD ⋅PQ =12×2×2=2,S △PAB =S △PCD =12⋅AB ⋅PA =12⋅2⋅22+12=5,S△PCB=12⋅BC⋅PE=12⋅2⋅22+22=22,所以侧面积为S=25+22+2．故选：B.【押题解读】高中数学三视图主要考察学生们空间想象能力，如何通过三视图中关键点能够想象出空间图是高考常用的考查形式。

【考前秘笈】由三视图恢复空间图核心技巧“三线交汇得定点”(三线法)具体操作步骤：第一步：根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原像所在的线段，第二步：侧视图有三个顶点，画出他们的原像所在的线段，第三步：俯视图有三个顶点，画出他们的原像所在的线段，第四步：由一二三步画出的线段找三线交点，交点即为空间图顶点。

注意：(三线交点的个数确定后，仍不满足空间图顶点个数，则寻找二线交点进行验证)1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.323B.8C.32D.162【答案】C【详解】由几何体的三视图可知几何体的直观图如下：图形为底面是矩形的斜棱柱，底面矩形长为4宽为2，棱柱的高为4，所以几何体的体积为V=Sh=2×4×4=32．故选：C2我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为()A.2B.5C.6D.2【答案】C【详解】解：由三视图得该几何体如图所示：2=2，2+AB=2,PB=PA=1,AB=1,ADPC2=2，2+AD2+AC=PA2=6,PD=PA故选：C3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱的长度为()A.3B.23C.6D.26【答案】C【详解】由三视图，几何体如下图示，AB=BD=3,BC=CD=1且AB⊥面BCD，所以AC=2,AD=6，显然AD=6为最长棱.故选：C4某几何体的三视图如图所示，记该几何体的体积为V 1，其外接球的体积为V 2，则V 1V 2=．【答案】827π【详解】由题可知该几何体为四棱锥S -ABCD ，如图所示：且SB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =2,SB =2,BC =1，所以V 1=V S -ABCD =13×2×1×2=43，由该几何体可知它可以补全为一个长方体，如图：且SD 为该长方体的体对角线，所以四棱锥S -ABCD 外接球即为补全后长方体的外接球，半径为R =1222+12+22=32，所以V 2=43πR 3=43π×32 3=92π，所以V 1V 2=827π，故答案为：827π.5已知某几何体的三视图如图所示，若E 是AB 的中点，F 是BC 的四等分点(靠近点B )，则下列说法正确的是．(请填写所有正确答案的序号)①B 1D ⊥CD ；②EF ⎳平面B 1CD ；③sin ∠CDC 1=13；④三棱锥C 1-B 1CD 的体积为643．【答案】①②④【详解】根据三视图可知该几何体的直观图为：其中BA ，BB 1，BC 两两垂直，BC =4，BA =4，BB 1=8，AD =4，以B 为原点，以BA ,BB 1,BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系：则D (4,4,0)，B 1(0,8,0)，C 1(0,8,4)，C (0,0,4)，E (2,0,0)，F (0,0,1)，所以DB 1 =(-4,4,0)，CD =(4,4,-4)，所以DB 1 ⋅CD =-16+16=0，即B 1D ⊥CD ，故①正确；设平面B 1DC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，由n ⋅CD =4x +4y -4z =0n ⋅DB 1 =-4x +4y =0 ，取y =1，得x =1，z =2，得n =(1,1,2)，又EF =(-2,0,1)，所以EF ⋅n =-2+2=0，又EF ⊄平面B 1DC ，所以EF ⎳平面B 1DC ，故②正确；在△CDC 1中，CD =C 1D =42+42+42=43，CC 1=8，所以由余弦定理得cos ∠CDC 1=CD 2+C 1D 2-CC 212⋅CD ⋅C 1D =48+48-642×43×43=13，所以sin ∠CDC 1=1-13 2=223，故③错误；三棱锥C 1-B 1DC 的体积V C 1-B 1DC =V D -B 1C 1C =V A -B 1C 1C =13×12×8×4×4=643，故④正确.综上所述：说法正确的是①②④.故答案为：①②④押题猜想二函数的图像6函数f x =x22x-2-x的部分图像大致为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】因为f-x=-x22-x-2x=-f x ，又函数的定义域为x x≠0，故f x 为奇函数，排除AC；根据指数函数的性质，y=2x在R上单调递增，当x>0时，x>-x，故2x>2-x，则f x >0，排除D.故选：B【押题解读】高中数学已知函数表达式确定函数图形主要考察学生们灵活应变能力，如何能够找见图像中的差异点是破解此类题的关键，是高考的高频考点。

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

押题猜想一函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用.........................................................1押题猜想二导数中的零点问题................................................................................................................................5押题猜想三三角恒等变换求值问题.....................................................................................................................15押题猜想四解三角形中的范围与最值问题.........................................................................................................19押题猜想五外接球、内切球、棱切球.................................................................................................................25押题猜想六立体几何中的不规则图形.................................................................................................................31押题猜想七条件概率背景下概率与实际生活密切联系.....................................................................................41押题猜想八圆锥曲线的离心率..............................................................................................................................51押题猜想九圆锥曲线中的面积问题.....................................................................................................................56押题猜想十数列新定义2024年高考数学终极押题猜想 (67)用已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x ，y 满足()()()()21f x y f x y f x f y ++-=+，且()02f =，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 是周期函数D ．()110512f =【答案】C【解析】令0x y ==，得()()()20201f f f =，因为()02f =，所以()11f =，A 正确;令0x =，则()()()()()212f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，则()f x 为偶函数，B 正确；令0y =，得()()()()221041f x f x f f x =+=+，即()()112f x f x +=，所以()f x 不是周期函数，C 错误；当x 取正整数n 时，()()()11111222n n f n f n f ⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()911102512f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 正确.故选： C.押题解读从近五年的高考情况来看，本部分多以选择题的压轴题呈现，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想、数形结合思想和通过合理的赋值解决，抽象函数问题是今年高考的热点之一.1．已知函数()2112ππe e sin 124x x f x x --⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，则不等式()()2122f x f x ++-≥的解集为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]22-,D ．[)2,-+∞【答案】D【解析】因为()2112ππe e sin 124x x f x x --⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，所以()()()()2111211221ππππ1e e sin 11e e sin 12424x x x x f x x x ------⎡⎤⎛⎫-=-+--+=---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()()12f x f x -+=，即()f x 的图像关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称．()2112πππ2e 2e cos 224x x f x x --⎛⎫=++- ⎝'⎪⎭ππππππcos 4cos 224224x x ⎛⎫⎛⎫≥-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12x =时等号成立）．因为ππ1cos 124x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()π402f x ≥->'，所以()f x 在R 上单调递增．由()()12f x f x -+=，得()()212f x f x -+-+=．由()()2122f x f x ++-≥可得()()()()21221f x f x f x f x ++-≥-+-+，即()()211f x f x +≥-+，所以211x x +≥-+，解得2x ≥-．故选：D ．2．（多选题）已知函数()1y xf x =+为偶函数，且()()13f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．()f x 的最小正周期为2D ．()()()12301f f f ++⋅⋅⋅+=-【答案】ABD【解析】对A ：因为()1y xf x =+为偶函数，则()()11xf x xf x +=--+，即()()11f x f x +=--+，所以()1y f x =+是奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故A 正确；对B ：因为()()13f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对C ：因为()()13f x f x -=+，()()11f x f x +=--+，则()()31f x f x +=-+，则()()()531f x f x f x +=-+=+，所以()f x 的最小正周期为4，故C 错误；对D ：因为当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，所以()01f =，()10f =，因为()f x 的图象既关于点()1,0对称，又关于直线2x =对称，所以()()201f f =-=-，()()310f f ==，因为()f x 的最小正周期为4，所以()()401f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()()()()()12307123412f f f f f f f f f ⎡⎤++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦()70011=⨯++-=-，故D 正确．故选：ABD ．3．（多选题）已知定义城为R 的函数()f x ．满足()()()()()11f x y f x f y f x f y +=---，且()00f ≠，()10f -=，则（）A ．()10f =B ．()f x 是偶函数C ．()()2211f x f x ++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()20241i f i =-∑【答案】ABC 【解析】对于A 项，由()()()()()11f x y f x f y f x f y +=---，令12x y ==，则()22111022f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故A 项正确；对于B 项，令0x y ==，则()()()()2220010f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因()00f ≠，故()01f =，令1y =，则()()()()()()11101f x f x f f x f f x +=--=--①，所以函数()f x 关于点()1,0成中心对称，令1x y ==，则()()()222101f f f ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，令2y =，则()()()()()()2211f x f x f f x f f x +=---=-②，由①可得：()()2f x f x +=--③，由②③可知：()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为R ，则函数()f x 是偶函数，故B 项正确；对于C 项，令y x =-，则()()()()()011f f x f x f x f x =---+，因为()01f =，()()f x f x -=，()()11f x f x +=--，代入上式中得，故得：()()2211f x f x ⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦，故C 项正确；对于D 项，由上可知：()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，故函数()f x 的一个周期为4，故()()401f f ==，令2,1x y ==，则()()()()()321100f f f f f =--=，所以()()()()()123401010f f f f +++=+-++=，则20241()25400i f i ==⨯=∑，故D 项错误．故选：ABC ．4．（多选题）已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数分别为()(),f x g x ''，且()()4f x f x =-，()()()()14,10f x g x f x g x ''+-=++=，则（）A ．()g x 关于直线1x =对称B ．()31g '=C ．()f x '的周期为4D ．()()()0f n g n n ''⋅=∈Z 【答案】ACD 【解析】由()(4)f x f x =-，得(1)(3)f x f x +=-①，(1)()4f x g x +-=②，得(3)(2)4f x g x ---=③，由①②③，得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 图象关于直线1x =对称，故A 正确；由()(2)g x g x =-，得()(2)g x g x ''=--，令1x =，得(1)0g '=；由(1)()4f x g x +-=，得(1)()0f x g x ''+-=，令1x =，得(2)(1)0f g ''==，∴(2)(1)0f x g x ''+-+=④，又()(1)0f x g x ''++=⑤，令2x =，得(2)(3)0f g ''==，故B 错误；④⑤两式相加，得(2)()0f x f x ''++=，得(4)(2)0f x f x ''+++=，所以()(4)f x f x ''=+，即函数()f x '的周期为4，故C 正确；由(2)()0f x f x ''++=，令2x =，得(4)(2)0f f ''+=，所以(4)0f '=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()()0()f g f g f g f g f n g n n ====''''''''=''=∈Z ，故D 正确.故选：ACD5．（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有(3)(1)0f x f x -++--=，3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(5)2f -=-，7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[1,0]x ∈-时，()f x =2ax bx +，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点(2,0)-对称B ．(1)2f =C ．(2023)(2024)(2025)2f f f ++=D ．函数()f x 与函数|ln |||y x =的图象有8个不同的公共点【答案】ABD【解析】由(3)(1)0f x f x -++--=得函数()f x 关于()2,0-对称，A 正确；由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数()f x 关于=1x -对称，所以(4)()0f x f x -++-=，()()2f x f x -+=-，所以(4)(2)0f x f x -+-=，即()(2)0f x f x ++=，所以()()()24f x f x f x =-+=+，故函数()f x 的周期为4，由(5)2f -=-知(1)2f -=-，713224f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又[1,0]x ∈-时，2()f x ax bx =+，所以2113424a b a b -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以[1,0]x ∈-时，2()f x x x =-+，所以()()112f f =--=，B 正确；()()()(2023)(2024)(2025)1010f f f f f f ++=-++=，C 错误；画出函数()f x 和函数|ln |||y x =的图象，如图：()ln 7||ln 727f -=<=-，观察图象可得函数()f x 与函数|ln |||y x =的图像有8个不同的公共点，D 正确.故选：ABD.押题猜想二导数中的零点问题已知函数()ln f x x x =，()32a g x x x =+．(1)若()f x 与()g x 的图象有且仅有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；(2)若()()()()h x x f x g x =-，()h x '是()h x 的导函数，方程()h x m '=有两个不相等的实数解1x ，2x ，求证：122x x +>．【解析】（1）法一：由已知()f x 与()g x 的图象有且仅有两个不同的交点，则方程3ln 2a x x x x=+，即223ln 2x x x a -=有且仅有两个不同的实数解，令()223ln 2p x x x x =-，则原问题可转化为函数()p x 的图象与直线y a =有两个不同的交点.()()2ln 32ln 1p x x x x x x x =+-=-'，令()0p x '>，得e x >，令()0p x '<，得0e x <<，故()p x 在()e,∞+上单调递增，在()0,e 上单调递减，且当x 趋近于0时，()p x 趋近于0，当x 趋近于+∞时，()p x 趋近于+∞，()2e e 2p =-，作出()p x 与y a =的大致图象如图所示，数形结合可得2e 02a -<<，即实数a 的取值范围为2e ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法二：若()f x 与()g x 的图象有且仅有两个不同的交点，则方程3ln 2a x x x x=+，即223ln 2x x x a -=有且仅有两个不同的实数解，令()223ln 2p x x x x a =--，则原问题可转化为函数()p x 有两个不同的零点．()()2ln 32ln 1p x x x x x x x =+-=-'，令()0p x '>，得e x >，令()0p x '<，得0e x <<，故()p x 在()e,∞+上单调递增，在()0,e 上单调递减，且当x 趋近于0时，()p x 趋近于a -，当x 趋近于+∞时，()p x 趋近于+∞()2e e 2p a =--，作出()p x 的大致图象如图所示，数形结合可得20e 02a a ->⎧⎪⎨--<⎪⎩，得2e 02a -<<，即实数a 的取值范围为2e ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()223ln 2h x x x x a =--，则()()2ln 1h x x x '=-，令()()2ln 1x x x ϕ=-，则()()2ln 122ln x x x ϕ=-+='，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且()e 0ϕ=，当x 趋近于0时，()x ϕ趋近于0，当x 趋近于+∞时，()x ϕ趋近于(),12∞ϕ+=-，作出()x ϕ的大致图象如图所示．不妨令12x x <，则由()()12h x h x =''，得1201e x x <<<<，令()()()2F x x x ϕϕ=--，01x <<，则()()(2)2ln 2ln(2)F x x x x x ϕϕ=+-=+'-''222ln(2)2ln (1)1x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦当01x <<时，()()2110,1x --+∈，所以()0F x '<，()F x 单调递减，所以()()()()11210F x F ϕϕ>=--=，所以()()2x x ϕϕ>-，01x <<．因为101x <<，所以()()112x x ϕϕ>-，又()()21x x ϕϕ=，故()()212x x ϕϕ>-，又21e x <<，121x ->，且()x ϕ在()1,∞+上单调递增，故212x x >-，即122x x +>．押题解读本部分多以解答题呈现，导数压轴题以零点问题为主，重点关注由函数的零点生成的各类问题（结合不等式、双变量问题、恒成立与有解问题、极值点偏移问题等）的求解思路，本质是如何构造函数以及变形函数求解难题，导数中的零点问题与不等式结合是今年高考的热点之一1．已知0b >，函数()()()ln f x x a x b =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程为ln 2ln 20x y --=.(1)求a ，b 的值;(2)若方程()1e f x =（e 为自然对数的底数）有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21111e eln2x x -<++【解析】（1）因为()()ln x a f x x b x b +=+++'，所以()()11ln 1ln21a f b b+=++=+'，由题意知()10f =，所以()()()11ln 10f a b =++=，联立方程组()()()1ln 101ln 1ln21a b a b b⎧++=⎪⎨+++=⎪+⎩，解得1,1a b =-=.（2）由（1）可知()()()1ln 1,1f x x x x =-+>-，()()00,10f f ==，()()21ln 11f x x x =-+++'，设()()f x u x '=，()()221011u x x x '=+>++，所以()u x 即()f x '在()1,-+∞上单调递增.又()()010,1ln 20f f ''=-<=>，所以存在()00,1x ∈，使得()00f x '=，故()f x 在()01,x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，设()()1ln 2h x x =-⋅，令()()()()()()1ln 11ln 2F x f x h x x x x =-=-+--⋅，则()()()12ln 1ln2ln 11ln211x F x x x x x -=++'-=+-+-++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增.又()10F '=，所以当11x -<<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>.所以()F x 在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增.故()()10F x F ≥=，即()()()1ln 11ln 2x x x -+≥-⋅，当且仅当1x =时，等号成立.因为方程()1ef x =有两个实数根12,x x ，且12x x <，也就是()()()()211100ef x f x f f ==>==，且注意到()f x 在()1,+∞上单调递增，所以10201x x x <<<<，所以()()()2221ln 11ln2x x x -+>-，即()()22f x h x >.设()1e h x =的根为：2x '，则211eln2x ='+，又()h x 在()1,-+∞上单调递增，所以()()()222h x f x h x '=>，故22x x '>①.易知()f x 的图象在坐标原点处的切线方程为()g x x =-，令()()()()()1ln 1T x f x g x x x x =-=-++，则()()()22ln 12ln 111x T x x x x x ='++=-++++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()T x '在()1,-+∞上单调递增.又()00T '=，所以当10x -<<时，()0T x '<，当0x >时，()0T x '>，所以()T x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.所以()()00T x T ≥=，()()1ln 1x x x -+≥-，当且仅当0x =时，等号成立.因为10x <，所以()()1211ln 1x x x -+>-，即()()11f x g x >.设()1e g x =的根为1x '，则11ex '=-，又()g x 在()1,-+∞上单调递减，所以()()()111g x f x g x '=>，所以11x x '<，从而11x x '->-②.由①②可知：2121111eln2e x x x x ''-<-=++.2．已知函数1()e ax f x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．【解析】（1）当0a =时，1()1f x x =+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax ax g x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a-<<，所以函数()g x 在()2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a >-，令()0g x '<，则20x a<<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241e a -；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x=-，当0x >时，1e ,00ax x >-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e ax x =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x -=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x-=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．3．已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.【解析】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e e x x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.4．已知函数()e 2cos xf x x x =--.(1)讨论函数()()cos g x f x x =+的单调性；(2)求函数()f x 在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数.【解析】（1）∵()()cos e 2x g x f x x x =+=-，故()()e 2xg x x ='-∈R ，令()0ln 2,()0ln 2g x x g x x ''<⇒<>⇒>，所以()g x 在(,ln2)-∞上单调递减，在(ln2,)+∞上单调递增；（2）因为()e 2cos x f x x x =--，π,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，则()e sin 2x f x x '=+-．①当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，因为()()()e 1sin 10xf x x =+-'-<，所以()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．所以()()00f x f >=．所以()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无零点．②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x '单调递增，且()010f '=-<，π2π'e 102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=．当[)00,x x ∈时，()0f x '<；当0π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>．所以()f x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且()00f =．所以()00f x <．设()e 2xh x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知()h x 在()0,ln 2上单调递减，在πln 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()()min ln 222ln 20h x h ==->．所以π2πe 02h π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π2πe π02f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭．所以()0π02f x f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭．所以()f x 在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点．所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个零点．③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()π2'e sin 2e 30x f x x =+->->，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．因为π02f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点．综上所述，()f x 在π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上的零点个数为2．5．已知函数()3ln f x x ax =-．(1)讨论()f x 的单调性．(2)已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）()()30axf x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增．②当0a >时，令()0f x '>得30x a <<，即()f x 在30,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；同理，令()0f x '<得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()11ln 1h t t t λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭'，令'1()()(1)ln (1)l t h t λt λt ==-+-，()()21t l t t λλ-'+=令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在()1,∞+上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0l t '<，即()h t '在()1,∞+上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在()1,∞+上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．押题猜想三三角恒等变换求值问题己知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 22tan sin sin βαββ=+，则πcos 23αβ⎛⎫++= ⎝⎭（）A．2B．C ．12D ．12-【答案】B【解析】因为2sin 22tan sin sin βαββ=+，所以22sin 2sin cos 2cos cos sin sin 1sin αβββαβββ==++，所以sin sin sin cos cos ααβαβ+=，所以()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ=-=+，所以()πcos cos 2ααβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()ππ0,,0,π22ααβ⎛⎫-∈+∈ ⎪⎝⎭，所以π2ααβ-=+，所以π22αβ+=，所以π5πcos 2cos 36αβ⎛⎫++== ⎪⎝⎭故选： B.押题解读在近几年的高考中，本部分多以选择题或者填空题形式呈现，三角恒等变换是三角函数部分考查频率最高的一个知识点，考查题目灵活多变。

专题（一）归纳猜想题1.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为()*a b a a b =-，根据这个规则，方程(2)50*x +=的解为 ．2. 用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。

例如7☆4=42＋1=17，那么5☆3= ；当m 为实数时，m ☆(m ☆2)= 。

3. 观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 ．4.有一列数3,7,11,15,…，那么第8个数是 ．5.按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第９个数是 ．6.一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x x y y y y-- （0≠xy ）， 其中第6个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．当输入数据是时，则输出的数据是 ；当输入数据是n 时，则输出的数据是8．一组按规律排列的式子：2b a -，25a b ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．9．小说《达.芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：112358，，，，，，…，则这列数的第8个数是 ．10．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ， 第n 个数是 （n 为正整数）．11．观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20092的个位数字是 ．12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，－6，3，－23，15，－32，…… 那么第10个数据是 ；第n 个数据是 . 13．已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若 21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律，则a b +的值为 .14．填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.7532053110975图1 图2 图3 图415．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.可求得c=_______，第2009个格子中的数为_________16．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <c d e =+，例如 ．请你在0到2017．自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是 .1 2 3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 … … … … …. …. ….. ……….第1个 第2个 第3个 … 18. 已知一列数：1,-2,3,-4,5,-6,7…将这列数排成下列形式： 第1行 1第2行 -2 3第3行 -4 5 -6第4行 7 -8 9 -10第5行 11 -12 13 -14 15 … …按照上述规律排列下去，那么第10行从左边数第5个数等于( ) A ．50 B ．-50 C ．60 D ．-6019．将正奇数按下表排成5列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25根据上面规律，2007应在( )A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列20. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：请问第n 个图案中有白色纸片的张数为( )A ．43n +B ．31n +C ．nD ．22n +21．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★．22. 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第5个图形中共有 个正六边形．23.如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想：①当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖有____块；②当白色瓷砖为n 2（n 为正整数）块时，黑色瓷砖有____块．(1)(2) (3)24.下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒 根．25.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个①②③第1个 第2个 第4个第3个26.下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第6个图案中小正方形的个数为 .27. 下图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是（ ）（Ａ）25 （Ｂ）66 （Ｃ） 91 （Ｄ）12026. 如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使 ︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ． 27. 如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走了3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2点，再向正西方走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东方向走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6，离O 点的距离是_____米.28.已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .D 1第1个第2个第3个(1)(2)(3)第20题图329.正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B n 的坐标是______________．(00)A ，，B ，(01)C ，在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 ．31.如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的代数式表示为 ． 32．如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是 ．… 图①图②图③ 图④。

１专题1归纳与猜想 姓名一、选择题1. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（ ） A ．（4n ﹣1，） B ． （2n ﹣1，） C ． （4n+1，） D ． （2n+1，）2.如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至 图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A ． 2015π B ． 3019.5π C ． 3018π D ． 3024π3.观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，… 按照上述规律，第2015个单项式是（ ）A ． 2015x 2015B ． 4029x 2014C ． 4029x 2015D ． 4031x 20154. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m =（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2015=（ ）A ． （31，50）B ． （32，47）C ． （33，46）D ． （34，42）二、填空题5.如图，在平面直角坐标系中，点A （0，）、B （﹣1，0），过点A 作AB 的垂线交x 轴于点A 1，过点A 1作AA 1的垂线交y 轴于点A 2，过点A 2作A 1A 2的垂线交x 轴于点A 3…按此规律继续作下去，直至得到点A 2015为止，则点A 2015坐标为 ．6.一列数1x ，2x ，3x ，…，其中1x =12，111n n x x -=-（n 为不小于2的整数），则2015x = ． 7.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n 次操作后，得到正方形的个数是 ． 三、应用题8. 菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF 的形状是 ； （2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N+∠BCD=180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC=4，且ΔO'EF98ABCDS S 四边形时，直接写出线段CE 的长．２四、猜想、探究题9. 如图3，弹性小球从点P (0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。

数学-2023年高考终极押题猜想（新高考专用）（解析版）引言随着新高考改革的不断推进，数学科目在高考中的重要性日益凸显。

为了帮助广大考生更好地备战2023年高考数学科目，本文将提供一份终极押题猜想，以帮助考生有针对性地进行复习。

本文将从数学的各个知识点出发，进行解析和分析，为考生提供高分答题思路和解题方法。

一、代数与函数1.1 一次函数和二次函数今年的高考数学中，一次函数和二次函数的题目出现频率较高。

根据分析，2023年高考数学中的代数与函数部分可能会继续保持相对较高的比重。

1.1.1 一次函数关于一次函数的题目，以函数的性质、图像以及解析式为主要触点进行考查。

考生在复习一次函数时，应重点掌握一次函数的性质和变化规律，能够灵活应用解析式求解相关问题。

1.1.2 二次函数二次函数是一种重要的函数类型，其在数学中的应用广泛。

考生在复习二次函数时，应重点关注二次函数的图像与性质，能够根据图像特点确定函数的相关信息。

此外，应重点掌握二次函数的顶点坐标、轴对称与零点等重要概念，以及利用配方法、因式分解和求导等方法解题的技巧。

1.2 幂函数和对数函数幂函数和对数函数也是高考中的常见考点，这两种函数之间存在一定的对应关系。

考生在复习这部分内容时，应熟悉幂函数和对数函数的性质，能够掌握幂函数和对数函数图像的基本形状和特点，理解它们之间的对应关系。

1.3 组合与复合函数组合与复合函数是数学中的重要概念，几乎每年都会在高考中出现相关题目。

考生在复习这部分内容时，应掌握组合与复合函数的定义和性质，能够理解并运用组合与复合函数的概念解决相关问题。

二、数与空间2.1 数列数列是高考中常见的考点，涉及到数列的性质、通项公式、极限及求和等知识点。

考生在复习数列时，应掌握数列的定义和常见的数列类型，能够利用通项公式、递推关系式和求和公式解决相关问题。

此外，考生还要重点关注等差数列与等比数列的性质和特点。

2.2 空间几何空间几何是数与空间模块中的重要部分，主要考察空间图形的性质、直线与平面的关系以及立体图形的计算等。

归纳猜想型专题第1题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形． 按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积与分割次数 有何关系？（S 用含a 和n 的代数式表示，不需要写出推理过程）．答案：解：（1）如图：（3）4nS =． 第2题. ：观察下列等式：22(12)4114+-⨯=+ 22(22)4224+-⨯=+ 22(32)4334+-⨯=+…则第n 个等式可以表示为 ． 答案：22(2)44n n n +-=+第3题.：观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形．第5题：按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．答案：150第4题.：如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…．已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23nS S S，，，（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S=．答案：128)第7题：如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆根火柴棒．答案：6039063第5题：观察由等腰梯形组成的下图和所给表中数据的规律后回答问题：当等腰梯形个数为2006时，图形的周长为（）Ａ．2007Ｂ．8026Ｃ．6017Ｄ．6020答案：Ｄ第9题. ：如图，已知1(10)A，，2(11)A，，3(11)A-，，4(11)A--，，5(21)A-，，，则点2007A的坐标为______________．答案：(502502)-，2 21 1第6题. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张； （2）第n 个图案中有白色纸片 张． 答案：（1）13；（2）31n +．第15题：如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面．．．涂色的小立方体共有 ．答案：84n -或4(21)n -第7题.：用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需____________根火柴棒．答案：()66n +第8题.：如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律是 ． 答案：2(1)(1)22n n n n n -++=或212(1)12n n n +++-++++=…… 第9题：2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强．本次足球赛的小组赛共进行 场比赛． 答案：48第10题.：1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段第1个 第2个 第3个 … （第一个图形） （第二个图形） （第三个图形）时，余下的所有线段的长度之和为 ．答案：823⎛⎫⎪⎝⎭（或0.039）第11题.：观察下列顺序排列的等式：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…．试猜想第n 个等式（n 为正整数）：n a = ． 答案：112n n -+ 第12题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形． 按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积与分割次数 有何关系？（S 用含a 和n 的代数式表示，不需要写出推理过程）．答案：解：（1）如图：（3）4n a S =． 第13题. ：下列是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为 ．答案：410C H第14题.：用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．答案：10，31n +第15题. ：如右图，已知ABC △的周长为1，连结ABC △三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形， ，依此类推，则第10个三角形的周长为（ ）Ａ．19Ｂ．110Ｃ．912⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：Ｃ第16题. ：仔细观察著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，则它的第12个数应该是 ． 答案：144第17题. ：用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律，拼成若干地板图案，则第10个图案中白色的地板砖有__________块．答案：42第18题.：观察算式：211=；21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==；……用代数式表示这个规律（n 为正整数）：13579(21)n ++++++-= ． 答案：2n第19题.：探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ） 答案：Ａ第20题. ：碳氢化合物的化学式为：4CH ，26C H ，38C H ，410C H ，…，观察其化学式的变化规律，则第（1） （2） （3）A BC第1个 第2个 第3个1 2 3 0 4 7 8 5 6 9 10 …… A ． B ． C ． D ．n个碳氢化合物的化学式为．答案：22C Hn n+第21题.：用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色．下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是___________________．答案：()341n+-或41n-或()()()1412n n n++---或()()121n n n+++-知识点：归纳猜想型专题试题类型：填空题试题难度：0.0 考查目标：基础知识录入时间：2006-8-8当输入数据是时，输出的数是（）Ａ．861Ｂ．865Ｃ．867Ｄ．869答案：Ｂ知识点：归纳猜想型专题试题类型：选择题试题难度：0.0 考查目标：基础知识录入时间：2006-8-8第23题. ：请你认真观察和分析图中数字变化的规律，由此得到图中所缺的数字应为（）Ａ．32 Ｂ．29Ｃ．25 Ｄ．23答案：Ｂ第24题. ：用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片张；（2）第n个图案中有白色纸片张．答案：（1）13；（2）31n+第25题. ：科学家发现：植物的花瓣，萼片，果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合一个奇待的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是．答案：89第26题. （2006湘潭课改）1n=2n=3n=第1个第2个第3个………上面是用棋子摆成的“Ｈ”字．（1）摆成第一个“Ｈ”字需要 个棋子，第二个“Ｈ”字需要棋子 个； （2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“Ｈ”字需要多少个棋子？第n 个呢？ 答案：解：（1）7，12（2）第10个时，棋子个数为510252⨯+=（个） 第n 个时，棋子个数为()52n +个第27题. ：观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20062的个位数字是 ．答案：4第28题.：老师在黑板上写出三个算式：225382-=⨯，229784-=⨯，22153827-=⨯， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯，…… （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性． 答案：解：（1）写出两个正确的算式．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数． （3）证明：设m n ，为整数，两个奇数可表示为21m +和21n +， 则22(21)(21)4()(1)m n m n m n +-+=-++．当m n ，同是奇数或偶数时，m n -一定为偶数，所以4()m n -一定是8的倍数． 当m n ，一奇一偶时，则1m n ++一定为偶数，所以4(1)m n ++一定是8的倍数．所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．第29题. ：数字解密：第一个数是321=+，第二个数是532=+，第三个数是954=+，第四个数是1798=+，……，观察并猜想第六个数是 ． 答案：65第30题. ：观察下列各式：21321⨯=- 22431⨯=- 23541⨯=- 24651⨯=-…………请你根据发现的规律，写出第n 个等式： ． 答案：2(2)(1)1n n n +=+-第31题.：按下列规律排列的一列数对：(21)，，(54)，，(87)，， ，则第5个数对中的两个数之和是． 答案：27第32题.：下列图形中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：C第33题.：如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼” ，则搭n 条“金鱼”需要火柴 根．答案：62n +第34题.：如图，用三个边长为a 的等边三角形拼成如图（1）所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形（图中的1，2，3，4部分）．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去……．求第n 次截得的一个等腰梯形的周长和面积．答案：解：周长：05C a =，152C a =，2252C a =，3352C a =， ，52n n C a =面积：204S =，2124S =，2234S =，2344S =，，214n n S += 第35题. ：如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖块数为_________．1条 2条 3条 图（1） 1 2 3 4 第1个图案 第2个图案 第3个图案答案：32n + 第36题. ：如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点12P P ，，342006P P P ，，，…的位置，则2006P 的横坐标2006x = ．答案：2006第37题.根据提供的数据得出第n 排有 个座位．答案：416n +第53题. ：如图，按英语字母表A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ， 的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“G ”出现的个数为_______． 答案：13 第38题.：树木生长过程中，新枝生长及树枝数目变化规律如图所示，据此生长规律，可推知第八年有树枝_________枝．答案：34第39题.：如图，依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个．．．正方形边长为１，则第．n 个．正方形的面积是_________________．答案：112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭第40题.：在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是 （填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．答案：无名指第41题：用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n 个图案中有白色地面砖块．xA B B C C CDDDB C C DD DD……第1个 第2个 第3个……答案：①18，②42n +． 第42题. ：已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若299a ab b+=⨯（a b ，为正整数），则ab = ．答案：720第43题. （2006 深圳课改）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1，2，3，5，8，13，21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有 种不同方法． 答案：55第44题. ：有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：12345678----，，，，，，，，… （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？答案：解：（1）它的每一项可用式子1(1)n n +-（n 是正整数）来表示．（2）它的第100个数是100-．（3）2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数．（或正数全是奇数．） 注：它的每一项也可表示为(1)n n --（n 是正整数）．表示如下照样给分：当n 为奇数时，表示为n ．当n 为偶数时，表示为n -．第45题. ：找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有 个．答案：21n -第46题. ：观察一列有规律的数：12，16，112，120，它的第n 个数是___________． 答案：1(1)n n +1 2 3 n … …。

高考数学归纳法的常考题型文/谭著名一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型 例1 已知数列已知数列{}n x 满足：*1111,21n nx x n N x Î+＋’＝＝.(1)(1)猜想数列猜想数列{}2n x 的单调性的单调性,,并证明你的结论并证明你的结论. . (2)(2)证明：证明：1112|()65nn n xx -+-|≤. (1)(1)解：解：由211=x 和nn x x +=+111，得2113,85,32642===x x x .由246x x x >>，猜想：数列{}2n x 是递减数列是递减数列. .下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明. .①当n=1时，命题成立时，命题成立. . ②假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +>，易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x xx x x x ++++++++--=-=++++=22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++，即2(1)2(1)2k k x x +++>，也就是说，当n=k+1时命题也成立题也成立. .结合①②，可知命题成立结合①②，可知命题成立. .(2)(2)证明：①当证明：①当n=1时，12116n nxxxx+-=-=，结论成立，结论成立.. ②假设当k n =时命题成立，则有115261-+÷øöçèæ×£-k k k x x .当2n ³时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<\+<=>+.()()521111£++\-k k x x .当1+=k n 时，111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----\++=++=+³+()()kk kk k k kk k k x x x x x x x x ÷øöçèæ×=×÷øöçèæ×÷øöçèæ£++-=+-+=--++++526152526111111111112.也就是说，当1+=k n 时命题成立时命题成立. .结合①②，可知命题成立结合①②，可知命题成立. .小结 本题中明确说明“先猜想再证明”本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式，证明是解决这类探索型问题的思维方式，其关键在于进行正确、其关键在于进行正确、合理的归纳猜想，否则接下来的证明只能是背道而驰了.二、与正整数n 有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2 等比数列等比数列等比数列{{n a }的前n 项和为nS ，已知对于任意的*ÎN n ，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ¹均为常数均为常数))的图像上的图像上. .(1)(1)求求r 的值的值. .(2)(2)当当2=b 时，记()()*Î+=N n a b n n 1log 22，证明：对于任意的*ÎN n ，不等式nn b b b b b b 1112211+··+·+ 1+>n 成立成立.. (1)(1)解：解：因为对于任意的*ÎN n ，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ¹均为常数)的图像上，所以有nn S b r =+.当1n =时，11a S b r ==+.当2n ³时，1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-.又数列又数列{{n a }是等比数列，所以1r =-，公比为b ，1(1)n n a b b-=-.(2)证明：当2=b 时，11(1)2nnn a b b --=-=， 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=，则1212n nb n b n++=，所以121211135721 (2462)n n b b b n b b b n ++++=×× . 下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462n n b b b n n b b b n++++=××>+ 成立.①当1n =时，左边时，左边==32，右边，右边==2.由于322>，所以不等式成立，所以不等式成立. . ②假设当n k =时不等式成立，即121211135721 (1)2462k k b b b k k b b b k++++=××>+成立，则当1n k =+时，左边左边==11212111113572123 (246222)k k kk b b b b k k b b b b k k ++++++++=×××××+2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+×===+++>++++++.所以当1n k =+时，不等式也成立时，不等式也成立. .综合①②，可知不等式恒成立综合①②，可知不等式恒成立. .小结 数学归纳法是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难时，我们通常会考虑用数学归纳法用数学归纳法证明不等式时，我们应分析()x f 与()1+x f 相关的两个不等式，找出证明的目标式子和关键点，适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论.三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3 已知数列已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+(n 为正整数为正整数).).). (1)(1)令令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式的通项公式..(2)(2)令令1n n n c a n +=，n n cc c T +++= 21，试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明的大小，并予以证明. . (1)(1)证明：在证明：在11()22n n n S a -=--+中，令n=1n=1，可得，可得1112n S a a =--+=，即112a =.当2n ³时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+\=-=-++，.11n 1112a (),212n n n n n a a a ----\=+=+n 即2. 112,1,n 21n nn n n n b a b b b--=\=+³-= n 即当时，时，b b . 又1121,b a ==\数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是有1(1)12,2n n n n n nb n n a a =+-×==\=.(2)(2)解：由解：由解：由(1)(1)(1)可得可得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以，所以()nnn T ÷øöçèæ+++÷øöçèæ´+÷øöçèæ´+´=21121421321232 ， ①① ()143221121431321221+÷øöçèæ+++÷øöçèæ´+÷øöçèæ´+÷øöçèæ´=n n n T . . ②②①-②，得()132211212121121+÷øöçèæ+-÷øöçèæ++÷øöçèæ+÷øöçèæ+=n nn n T11111[1()]133421(1)()122212332n n n n nn n n T -++-+=+-+=--+\=-535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++.于是确定521nn T n +与的大小关系等价于比较221n n +与的大小的大小. .由,;1522;1422;1322;1222;11225432+´>+´>+´>+´<+´<可猜想当322 1.n n n ³>+时，证明如下：证明如下：(i)(i)当当n=3时，由上验算可知不等式显然成立时，由上验算可知不等式显然成立. .(ii)假设当()3³=k k n 时，122+>k k 成立.则当1n k =+时，()()()()11212112241222221++>-+++=+=+>·=+k k k k k k k .所以当1n k =+时猜想也成立时猜想也成立. .综合综合(i)(ii)(i)(ii)(i)(ii)，可知对于一切，可知对于一切3n ³的正整数，都有22 1.nn >+所以当2,1=n 时，125+<n n T n ；当3³n 时，125+>n n T n . 小结 两个式子的大小关系随n 取值的不同而不同.像这种情况学生要注意不要由2,1=n 时的大小关系，得出125+<n nT n ，应向后多试验几个n 值后，再确定所下结论的准确性，以免走弯路.四、用数学归纳法求范围的题型例4 首项为正数的数列首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n aa n N ++=+Î(1)(1)证明：若证明：若1a 为奇数，则对于一切2,n n a ³都是奇数都是奇数. . (2)(2)若对于一切若对于一切n N +Î，都有1n n a a +>，求1a 的取值范围的取值范围. .(1)(1)证明：已知证明：已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系可得213(1)14k k a am m++==-+是奇数是奇数..根据数学归纳法，可知n N +"Î，n a 都是奇数都是奇数. . (2)解：由21213,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >.22111133()(),444n n nn n n n n a a a a a a a a ---++++--=-= 由于21130,,4n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0.0.所以所以1n n a a +-与1n n a a --同号根据数学归纳法，可知n N +"Î，1n n a a +-与21a a -同号同号. .因此，对于一切n N +Î，都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >.小结 解答本题是从特殊值()1=n 切入，找到所求的结论(1a 的范围)，再用数学归纳法证明结论的一般性，即将n n aa>+1退至具体的12a a >开始观察，以寻求1a 的范围，然后证明其正确性.。

归纳、猜想、证明常见题型分类解析能根据所给出的数列的递推关系，写出数列的前几项，猜想出结论，并能用数学归纳法证明其正确性，这是解答数列问题的一条有效的途径.有关归纳、猜想、证明常见题型分类解析如下(限于篇幅，数学归纳法证明的第一步略去).一、数列的通项公式型例1 已知数列{a n }满足S n =2n-a n (n ∈N)，求前四项，作出猜想，求出a n ，再证明之.分析：S 1=a 1=2·1- a 1 ，∴a 1=1，S 1=a 1+a 2=2·2-a 2，∴a 2=32，依次得 a 3=74 ，a 4=158 .猜想：a n =2n -12 n -1=2- 12n -1.下面用数学归纳法加以证明：假设n=k(k ∈N)时，命题成立，即a k =2- 12k -1 ,那么n=k+1时，S k+1= S k + a k+1=2(k+1)- a k+1, ∴2k -a k + a k+1=2(k+1)- a k+1,∴2a k+1= a k +2=2-12 k -1+2=4﹣12 k -1, ∴a k+1=2- 12(k+1)-1 , 即n=k+1时，命题成立.例5 设a n =1 + 12 + 13 + …+ 1n (n ∈N)，是否存在n 的整式q(n)使得等式a 1+ a 2 + a 3 + …+a n -1=q(n)(a n -1)，对于大于1的一切自然数都成立？证明你的结论.分析：假设q(n)存在，去探索q(n)，当n=2时，由a 1= q(2)(a 2-1)，即 1= q(2)(1 + 12 -1)，解得：q(2)=2；当n=3时，由a 1+ a 2= q(3)(a 3-1)，即 1+(1 + 12)= q(3)(1 + 12 + 13 -1)，解得：q(3)=3；当n=4时，由a 1+ a 2+ a 3= q(4)(a 4-1)，即 1+(1 + 12)+(1 + 12 + 13)= q(4)(1 + 12 + 13 + 14 -1)，解得：q(4)=4；由此猜想 当n ≥2，n ∈N 时，q(n)=n.下面用数学归纳法加以证明： 当n ≥2，n ∈N 时，等式a 1+ a 2+ a 3 + …+a n -1= n(a n -1)成立.假设n=k(k ≥2)时，结论成立，即 a 1+a 2 + a 3 +…+a k -1= k(a k -1)，那么n=k+1时，a 1+ a 2+ a 3 +…+a k -1+ a k = k(a k -1)+a k =(k+1)a k -k=(k+1)a k -(k+1)+1=(k+1)(a k +1k+1-1)= (k+1)(a k+1-1)，故n=k+1时，结论成立. 二、数列的前n 项和公式型例2已知数列{a n }：1a(a+1),1(a+1)(a+2),1(a+2)(a+3),…, 1(a+n-1)(a+n),其中a 是大于零的常数，记{a n }的前项和为S n ,计算S 1，S 2， S 3，由此猜想S n 的公式，并用数学归纳法证明. 分析：S 1=a 1=1a(a+1)，S 2=S 1+1(a+1)(a+2)=1a(a+1)+1(a+1)(a+2)=2a(a+2),S 3= S 2+1(a+2)(a+3)=2a(a+2)+1(a+2)(a+3)=3a(a+3) ,由此猜想 S n =na(a+n).下面用数学归纳法证明：假设n=k(k ∈N)时，命题成立，即S k =ka(a+k),那么n=k+1时，S k+1=S k +a k+1=k a(a+k)+1(a+k)(a+k+1)=(a+k)(k+1)a(a+k)(a+k+1)=(k+1)a(a+k+1).故n=k+1时，猜想成立， 三、数列与不等式结合型例3试比较(n+1)2与3n (n ∈N)的大小.分析：当n=1时，左=(1+1)2=4，右=31=3，∴左>右；当n=2时，左=(2+1)2=9，右=32=9，∴左=右； 当n=3时，左=(3+1)2=16，右=33=27，∴左<右；当n=4时，左=(4+1)2=25，右=34=81，∴左<右； 由此猜想 当n ≥3 ，n ∈N 时，(n+1)2<3n .下面用数学归纳法加以证明： 假设n=k(k ≥3)时，命题成立，即(k+1)2<3k ，那么n=k+1时，3k+1=3·3k >3(k+1) 2，下面只需证：3(k+1)2>(k+2)2，即证：3k 2+6k+3>k 2+4k+4，即证：2k 2+2k>1，∵k ≥3，不等式2k 2+2k>1显然成立，∴n=k+1时，猜想成立， 由(1)(2)知(n+1)2<3n 对于n ≥3，n ∈N 均成立.综上所述：当n=1时，(n+1)2>3n ；当n=2时，(n+1)2=3n ；当n ≥3时，(n+1)2<3n .例9若a i >0,(i =1，2，… n),考察(1)a 1· 1a 1≥1；(2)(a 1 + a 2)( 1a 1 + 1a 2)≥4；(3) (a 1+a 2+ a 3)( 1a 1+ 1a 2 + 1a 3)≥9后，归纳出对也成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明. 分析：猜想：(a 1+a 2+…+a n )( 1a 1 + 1a 2 +…+ 1a n)≥n 2(n ∈N ).证明：假设n=k(k ∈N )时，(a 1+a 2+…+a k )( 1a 1 + 1a 2 +…+ 1a k )≥k 2成立，那么n=k+1时，(a 1+a 2+…+a k +a k+1)( 1a 1 + 1a 2 +…+ 1a k + 1a k+1)=(a 1+a 2+…+a k )(1a 1+ 1a 2 +…+ 1a k )+ 1a k+1( a 1+a 2+…+a k )+ a k+1(1a 1 + 1a 2 +…+ 1a k)+1=(a 1+a 2+…+a k )(1a 1+ 1a 2 +…+ 1a k )+(a 1a k+1+a k+1a 1)+(a 2a k+1+a k+1a 2)+…+(a k a k+1+a k+1a k)+1≥k 2+2k+1=(k+1)2，故n=k+1时，不等式成立.由(1)(2)知不等式(a 1+a 2+…+a n )( 1a 1 + 1a 2 +…+ 1a n )≥n 2对一切n ∈N 都成立.四、数列与解析几何结合型例6 已知a 、b 为正整数，设两直线l 1：y=b -b a x 与l 2：y=ba x 的交点为p 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0,b)、(x n -1,0)连线与直线y=ba x 交于点p n (x n ，y n )，求p 1 、p 1的坐标，并猜想p n 的坐标公式，并用数学归纳法加以证明.分析：解方程{y=b -b a xy=b ax 得交点(a 2，b 2)，过两点(0,b)、(a 2,0)的直线方程为：2x a +y b =1，与y=b a x 联立解得，p 2(a 3，b3).由此猜想：p n 的坐标为(a n+1，b n+1)，下面用数学归纳法证明之：假设n=k(k ∈N )时，p k 的坐标为(a k+1，b k+1)，那么n=k+1时，通过(0，b)、(a k+1，0)的直线方程为k+1a x +yb =1，与y=b a x 联立解得，p k+1(a k+2，b k+2)，故n=k+1时，p k+1的坐标为(a k+2，b k+2).五、数列与整除性结合型例7 已知f(n)=(2n+7)·3n +9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N ，都有m 整除f(n)，如果存在，求出最小值m ,并证明你的结论；若不存在，说明理由.分析：由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360,f(4)=1224, 由此猜想：f(n) =(2n+7)·3n +9能被36整除.下面用数学归纳法证明之： 假设n=k(k ∈N )时，即f(k) =(2k+7)·3k +9能被36整除，那么n=k+1时， f(k+1) =[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7) ·3k +9]+18(3k-1-1), 根据归纳假设3[(2k+7) ·3k +9]能被36整除，而3k-1-1是偶数，∴18(3k-1-1)能被36整除， ∴f(k+1)能被36整除.故n=k+1时，猜想成立. 六、数列与函数结合型例8设f n (x)= f{f[f …f(x)]} ___ ___ n 个f，f(x)=x1-x 2,(1)计算f 2(x)、f 3(x)，(2)猜想f n (x)，并用数学归纳法加以证明.分析：(1) f 2(x) =f[f(x)]=x1-x 21-x 21- x 2=x 1-2x2；f 3(x) =f[f 2(x)]= x1-2x 21-x 21- 2x 2=x 1-3x 2.由此猜想：f n (x) =x1-nx 2. 下面用数学归纳法证明之： 假设n=k(k ∈N )时，即f k (x) =x 1-kx2，那么n=k+1时,k+1(x) = f[f k (x)]= x1-kx 21-x 21- kx 2=x1-(k+1)x 2.故n=k+1时，猜想成立.。

2024学年福建省三明市永安市第一中学高考终极猜想：英语试题最后一卷名师猜题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．The film Mei Lanfang, Li Ming plays the starring role,has again dra wn the world’s attention to our traditional Chinese art.A．what B．that C．which D．where2．I need help now! I have to fix a leaking pipe in my bathroom but I’m not sure ______to begin.A．what B．whichC．where D．when3．Nowadays, more and more Chinese homes have the technology and equipment ______ to do online shopping. A．needed B．needingC．need D．to need4．—Do you ________ ready for the spring outing?—No,I still have to buy some fruit.A．everything B．anything C．something D．nothing5．If you can do what yo u’re weakest ______, you can handle any challenge.A．for B．atC．with D．to6．— He made an apology be blamed what he had done.— It's really wise of him.A．so as to not; of B．in order to not; forC．so as not to; for D．in order not to; of7．We really emphasize the importance of putting______safeguards to prevent children’s identities from falling in wrong people’s hands.A．in place B．in vainC．in question D．in earnest8．Some experts fear that too-early ________ to computer s will have harmful consequences for children’s development. A．exposure B．extensionC．exhibition D．expansion9．Young couples will be happy to see their babies _______ with good health and intelligence when they are born. A．to bless B．blessingC．blessed D．being blessed10．—Could you check my list to see I have forgotten anything?—No problem.A．whether B．whichC．that D．what11．—What a mess! You’re always throwing things about.—Don’t be ____, Mum. I will tidy it up now.A．hot under the collar B．on cloud nineC．off the top of your head D．down in the dumps12．. Jenny was sad over the loss of the photos she shot in Canada, _________ this was a memory she especially treasured.A．if B．when C．as D．where13．He ______ a chance to try it again just now.A．gave B．will give C．is given D．was given14．Without our team’s great effort, the art exhibition last week ______ such a great success.A．wouldn’t be B．won’t be C．wouldn’t have been D．won’t have been15．The man ________ the fake news that 18 firefighters lost their lives in the explosion was arrested.A．having circulating B．to circulateC．circulating D．to have circulated16．I admire my English teacher. I can remember very few occasions _____ she stoppedworking because of ill health.A．that B．whenC．where D．which17．Due to large investment in housing, many cities can ________ the flow of new arrivals, improving the quality of their life.A．give rise to B．make way for C．take part in D．keep pace with18．He is such an unselfish man. You cannot help but ________ him.A．respect B．to respect C．neglect D．to neglect19．Someone who lacks staying power and perseverance is unlikely to ______ a good researcher.A．make B．turnC．get D．grow20．There are lots of examples of English idioms ________ animals are used.A．which B．whenC．whose D．where第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

归纳猜测高考题例析“观察———归纳———猜测———证明〞例１ 设数列{}n a 满足211n n n a a na +=-+，123n =，，，．当12a =时，求234a a a ，，，由此猜测出n a 的一个通项公式，并给出证明．分析：由12a =及递推关系式得234a a a ，，的值，猜测n a 并用数学归纳法证明． 解：由12a =，得221113a a a =-+=； 由23a =，得2322214a a a =-+=； 由34a =，得2433315a a a =-+=． 由此猜测n a 的一个通项公式：1n a n =+．下面用数学归纳法证明．〔1〕当1n =时，左边12a ==，右边112=+=，猜测成立． 〔2〕假设当n k =时，猜测成立，即1k a k =+．那么2211(1)(1)1(1)[(1)]1(1)1k k k a a ka k k k k k k k +=-+=+-++=++-+=++， 所以，当1n k =+时，猜测成立．根据〔1〕和〔2〕，可知猜测对任何n *∈N 都成立．例2 数列222222818281335(21)(21)n n S n n ⨯⨯⨯⨯-+，，，，，为其前n 项的和，计算得189S =，22425S =，34849S =，48081S =．观察上述结果，推测出n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 分析：观察分母得2222357(21)n +，，，，，分子为分母减1，用数学归纳法证明时要利用递推关系11k k k S S a ++=+． 解：由推测22(21)1(21)n n S n +-=+．用数学归纳法证明如下：（1） 当1n =时，左边89=，右边2222(211)1318(211)39⨯+--===⨯+，推测成立． （2） 假设当n k =时推测成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+，那么211222(21)18(1)(21)(21)(23)k k k k k S S a k k k +++-+=+=++++ 2222[(21)1](23)8(1)(21)(23)k k k k k +-+++=++22222(21)(23)(23)8(1)(21)(23)k k k k k k ++-+++=++22222(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k ++-+=++22(23)1(23)k k +-=+ 22[2(1)1]1[2(1)1]k k ++-=++． 即当1n k =+时，推测也成立．根据〔1〕和〔2〕可知，推测对任何n *∈N 都成立． 例3 点的序列(0)n n A x n *∈N ，，，其中120(0)x x a a ==>，，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，，n A 是线段21n n A A --的中点〔1〕写出n x 与1n x -，2n x -之间的关系式(3)n ≥；〔2〕设1n n n a x x +=-，计算123a a a ，，，由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明． 分析：利用递推公式及归纳假设是解题的关键． 解：〔1〕当3n ≥时，122n n n x x x --+=． 〔2〕121a x x a =-=； 2123222111()222x x a x x x x x a -=-=-=--=-； 3234333211()224x x a x x x x x a +=-=-=--=， 由此推测11()2n n a a n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ．下面用数学归纳法证明：① 当1n =时，012112a x x a a ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，推测成立．②假设当n k =时，推测成立，即112k k a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．那么，当1n k =+时， 11121111111()22222k k k k k k k k k k x x a x x x x x a a -+++++++⎛⎫=-=-=--=-=-- ⎪⎝⎭·(1)112k a +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即当1n k =+时，推测也成立．根据①和②可知，推测对任何n *∈N 都成立．。

卜人入州八九几市潮王学校对2021年高考数学试卷中知识点的猜想1．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域的子集有〔A 〕A ．8个B ．7个C ．15个D ．16个 变式:1).设2{|,},{(,)|2}A y y x x R B x y y x ==∈==+，那么A B ⋂=〔A 〕2〕角α的终边过点(4,3)P a a -那么ααcos sin 2+的值是Ａ.52-Ｂ.52Ｃ.0Ｄ.52-或者52 3)不等式|2|1x -≤的解集是〔〕 A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]- 4)以下可以估计总体稳定性的统计量是()A.样本平均数B.样本中位数C.样本方差D.样本最大值 概率2.在四次HY 重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，那么事件A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是(A) A [0.4,1]B 〔0，〕C 〔0，〕D ，1]变式:1)设A ，B 是两个HY 事件，“A 和B 同时不发生〞的概率为19，“A 发生且B 不发生〞的概率与“B 发生且A 不发生〞的概率相等，那么事件A 发生的概率为____________2)假设消息A 发生的概率为P(A),那么消息A 所含的信息量为I(A)=21log ()P A .假设某人在一个有4排、8列的小型报告厅里听报告,那么发布的以下4条消息中信息量最大的是 A.某人在第三4排B 某人在第5列C 某人在4排5列D 某人在任意一排 图象变换 3.将函数x y 2cos =的图象沿向量a 平移得到函数1)62sin(--=πx y 的图象，那么向量a 可以是(A)〔A 〕)1,3(-π〔B 〕)1,6(π〔C 〕)1,3(--π〔D 〕)1,6(π- 变式:1)先将()y f x =的图象沿轴向右平移3π个单位.再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍,而保持它们的纵坐标不变,得到的曲线与cos y x =的图象一样,那么()y f x =是()A.cos 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2)由函数2log y x =的图象经过以下哪种平移可以得到函数2log (1)3y x =--的图象A 、向左平移1个单位，向下平移3个单位B 、向左平移1个单位，向上平移3个单位C 、向右平移1个单位，向下平移3个单位D 、向右平移1个单位，向上平移3个单位 3)(南二)假设函数12cos )(+=x x f 的图象按向量a 平移后，得到的图象关于原点对称，那么向量a可以是： 〔A 〕)0,1(〔B 〕〔)1,2-π〔C 〕)1,4(-π〔D 〕)1,4(π4〕要得到函数y ＝cot(－3x )的图象，可将y ＝tan3x 的图象(B)(A)向右平移个单位(B)向左平移个单位 (C)向右平移个单位(D)向左平移个单位 5〕6〕把函数4)42(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移后得到函数x y 4log 2=的图象，那么a ＝； 统计4.某汽车集团消费甲、乙、丙、丁四种不同品牌的汽车，其产量之比为5:3:4:2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中丁品牌有20辆，那么此样本容量n 等于.56变式：1〕200辆汽车经过某一雷达测速区，时速频率分布直方图如下所示，那么时速超过60km/h 的汽车大约有76辆.2〕某有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样取一个样本容量为n 的样本，每个学生被抽到的概率为0.2,那么n=_____3)某校有高中生1200人,初中生900人.教师120人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本;从初中生中抽取人数60人,那么n=____4)一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：〔10，20〕，2； 〔20，30〕，3；〔30，40〕，4；〔40，50〕，5；〔50，60〕，4；〔60，70〕，2，那么样本在(－∞，50]上的频率为 A.201B.41C.21 D.107 5)某地区一共有10万户居民，该地区城与农村住户之比为4:6，根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如右表所示，估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为____▲_____万户．6〕为了理解“环保型纸质饭盒〞的使用情况，某研究性学习小组对本地区2021年至2021年使用纸质饭盒的所有快餐公司进展了调查，根据以下列图表提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个．85二项式定理5.n x )21(-的展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，那么)1()21(x x n +-的展开式中2x 项的系数为.〔用数字答题〕70变式：1〕假设(1+2x))1()1()1(10221010-++-+-+=x a x a x a a 10,那么1210a a a +++=A.101035- B.105 C.103 D.1310-城 农村 有冰箱 356〔户〕 440〔户〕无冰箱44〔户〕160〔户〕年份 快餐公司〔家〕2021 30 2021 45 202190各家公司的饭盒〔万个〕 年份20012002200315.12〕在31223x x n-⎛⎝ ⎫⎭⎪的展开式中含有常数项，那么正整数n 的最小值是A.4B.5C.6D.7(连三)231(2)nx x +(n ∈N*)的展开式中含有常数项，那么n 的最小值是〔〕 Ａ．4Ｂ．5Ｃ．9Ｄ．10 3〕设数列{}n a 的项n a 是()1nx +的展开式中1n x-的系数，那么122006a a a ++的值是〔D 〕A1002•2021B1002•2005 C1003•2021D1003•2021 4)30(1)x +的展开式中，系数最大的项是第______项5)假设()3211nn x x ax bx +=+++++,且:3:1a b =,那么()1nx -的展开式中系数最大的项是______6)(南二)7)1(xx -展开式的第4项等于5，那么x 等于 〔A 〕71〔B 〕71-〔C 〕7〔D 〕7-7〕(1－2x )5的展开式的第r 项为t r ．假设t 3≤t 2＜t 1，那么x 的取值范围是D(A)(－，＋∞)(B)[－，＋∞)(C)[－，0](D)(－，0]8〕5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等，那么cos θ＝_____________．9〕二项式nx )sin 1(+的展开式中,未尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值是25,那么x 在],0[π上的值是.10〕在(1－)15的展开式中，系数最大的项是第9项．11〕假设〔xx 33-〕n的展开式的各项系数之和为－32，那么展开式中的常数项为。

归纳——猜测——证明制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。

在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。

这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳——猜测——证明〞。

例1 数列{}n a 满足()2*n n S n a n N =-∈。

〔1〕计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜测数列{}n a 的通项公式；〔2〕用数学归纳法证明〔1〕中的猜测。

分析：在用数学归纳法对〔1〕中的猜测证明时，关键是利用k a 求得1k a +，在此要注意条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的k 换做1k +，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。

解析：〔1〕11a =，232a =，374a =，4158a =， 由此可猜测1212n n n a --=。

〔2〕下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边11a ==，右边1112112--==，猜测成立。

②假设n k =时猜测成立，即1212k k k a --=， 那么据2k k S k a =-， ①()1121k k S k a ++=+-， ②由②- ①可得112k k k a a a ++=-+，∴()11111212121112222k k k k k k k k a a ++++----=+=+==，即当1n k =+时猜测也成立。

根据①②可知，猜测对任何*n N ∈都成立。

评注：高考对数学归纳法的考察时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考察，应深入理解与把握“归纳——猜测——证明〞的根本方法，注重其应用。

例 2 11123n a =+++…()1*n N n+∈，是否存在n 的整式()q n ，使得等式12a a ++…()()11n n a q n a -+=-，对于大于1的一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

语言文字运用Ⅱ2024届新高考九省猜想押题语文模拟卷1（二）语言文字运用Ⅱ（本题共3小题，13分）阅读下面的文字，完成下面小题。

【甲】在我们老家豫东平原，年年农历三月，刺槐吐蕊，槐芽初绽，是吃槐花的好时节。

北方平原上的槐树分为两种，一种叫“刺槐”， A ，我们吃的槐花来自刺槐，它是最近几百年才从西方传入中国的。

【乙】我们翻阅古人诗集，常常能读到秋天落槐花的场景。

【丙】诗人笔下那些满地萧瑟的槐花，都是国槐的槐花。

B ？根据诗文描写和历史文献的记载，古人似乎并不吃它，只用它做染料。

【丁】古人从国槐的花蕊里提取出黄色的染料，可以给布匹染色，也可以用来作画。

北方还有一种特殊的国槐——龙爪槐。

在植物学家眼里，龙爪槐本质上就是槐树，是国槐的芽变品种。

C ，指在植物茎枝萌芽阶段，芽的分生组织体细胞发生了突变。

①人工选择突变芽长成的这种枝条，把它嫁接在槐树砧木上，就变成了龙爪槐。

②换个说法，龙爪槐无法由龙爪槐的种子繁殖，只能嫁接繁殖，且需要已经发生了突变的枝条前来嫁接。

③重点是，这种芽变是突发的，充满了不确定性。

④你不知道哪个嫩芽里会长出曲虬盘结的“游龙”，因而也不知这枝“游龙”的龙爪在下一刻会弯曲着伸向哪里。

20. “山衣重叠六铢轻，淡拂槐花染不成。

”这两句古诗出现的位置，最恰当的是（）A. 甲处B. 乙处C. 丙处D. 丁处21. 请在文中横线处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过10个字。

22. 文中最后一段有两句表述不当，请指出其序号并做修改，使语言表达准确流畅，逻辑严密。

不得改变原意。

【答案】20. D 21. A.另一种叫“国槐” B.国槐的槐花能吃吗 C.所谓的芽变22. ①句，将“这种”放在“人工选择”的后面；④句，删去“因而”。

【解析】【20题详解】本题考查学生语言表达之语句复位的能力。

D.这两句古诗是描写古人用槐花做染料，符合丁处的语境。

故选D。

【21题详解】本题考查学生语言表达之情境补写的能力。