沪教版(五四制)六年级数学上册 期末复习讲义(无答案)

量率对应基础在前两讲中，分数是作为一个量出现的，但是分数不仅仅只表示量，还可以表示率（分率），例如：13的25是215，此中13、25和215都是分数，但表示的意义却不相同，13是量，代表的是总量，215也是量，但表示的是分量，而25表示的是率（分率），代表的是分量（215）占总量（13）的25（对应比率）。

总结下来就是公式：单位“1”的量=对应分量对应分率在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：1).如何求一个数的几分之几？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就可以得到。

例如：求5的25是多少？解答：25=25⨯。

2).如何求一个数是另一个数的几分之几？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就可以得到。

例如：求23是34的几分之几？解答：2324834339÷=⨯=。

3).已知一个数的几分之几，如何求这个数？要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几就可以得到。

例如：一个数的23等于18，那么这个数等于多少？解答：2318182732÷=⨯=。

第三讲 量率对应初步【例题1】【基础、提高】（1）一根绳子对折3次，每一小段是这根绳子的______（2）六（1）班有15名学生参加科技组，参加美术组的学生人数是参加科技组人数的45，参加合唱组的学生人数是参加美术组人数的23，参加合唱组的有_____名学生。

【尖子】公园内有一个湖泊，其余为绿地、建筑物和道路，已知公园面积是2 1 5平方千米，绿地面积为公园的23，建筑物和道路的占地总面积为公园面积的118，问湖泊的面积是______平方米【例题2】【基础、提高】（1）一堆煤重1202吨，21天烧完，每天烧______吨，每天烧这堆煤的______（填几分之几）。

（2）一商品原价500元，降价100元出售，则实际上是按照原价的______折出售的。

【尖子】（3）某班男生人数的12是女生人数的23，那么男生人数是全班人数的_____（填最简分数）【例题3】【基础、提高】（1）2004年雅典奥运会，中国共获得金牌32枚，占金牌总数的32301，那么雅典奥运会金牌总数是______枚。

分数的意义和性质综合本讲主要是将分数与除法运算进行对比，介绍分数的意义和其基本性质，要求在整数的运算基础上，将数的范畴进一步扩大。

另外，分数的性质对后面分数的运算及比例运算都有着非常重要的意义，它是我们学习比例性质的基础。

同时它是学生系统学习分数的开始，是学生对数的概念的一次重要的扩展，分数的概念比较重要，又比较抽象，这部分知识，是本单元的重要内容之一。

学生学好这部分内容，将会对以后学习真分数、假分数等概念以及学习分数基本性质、分数四则运算、分数应用题等内容奠定坚实的基础。

知识梳理1. 分数的意义1. 把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数,叫分数.【注】(1) 必须是平分;(2) 单位“1”与自然数1的区别自然数的单位是1，任何自然数都是由1组成的。

在自然数中，1表示一个物体；单位“1”表示一个整体。

2. 正整数p 、q 相除,可以用分数q p 表示,即p ÷q =qp ,其中p 为分子,q 为分母. 知识梳理2. 分数基本性质1.分数的基本性质：()0,0a a k a k b k b b k b k⨯÷==≠≠⨯÷ 2.分子和分母互素的分数，叫做最简分数；3.把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分.利用分数的基本性质进行约分，将分数化为最简分数的方法：一般情况下，如果某个运算的结果是分数，那么这个分数要表达为最简分数形式，也就是说要使分数的分子、分母是互素关系，我们可以利用分数的基本性质，通过约分的手段达到这样的要求.要进行正确的约分，一般需要找出分子、分母的最大公因数.我们可以逐步约分，约去分子、分母的公因数，也可以利用小学学过的短除法先找到分子、分母的最大公因数，再进行一次性约分.4.关键字：“……是……的（几分之几）”“……占……的（几分之几）”5. 把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数(式)的过程，叫做通分。

知识梳理3.分数比较大小分数比比大小的方法（1）分母相同比分子，分子越大，分数值越大（2）分子相同比分母，分母越小，分数的值越大分子、分母都不同，化成同分母或同分子再比较。

教师姓名 学生姓名年 级 六年级上课时间学 科数学课题名称 六年级上学期内容复习教学目标1、 掌握数的整除的概念以及应用2、 掌握分数的计算以及应用3、 掌握比和比例的概念、计算及应用4、 掌握圆与扇形的周长及面积的计算教学重难点 学会运用所学知识解决实际生活中的问题六年级上学期内容复习一、 课前检测1．把60分解素因数，60 = ．2．134的倒数是 ．3．如果数225A =⨯⨯，233B =⨯⨯，那么A 和B 的最小公倍数是 ． 4．在分数764、18、14、532中，介于332和316之间的分数是 ． 5．已知：:5:3a b =，:2:3b c =，那么::a b c = ． 6．如果4是x 和8的比例中项，那么x = ．7．某校六（1）班共有45名学生，一次体格检查后，老师宣布全班29的同学体重超标，那么这个班体重没有超标的学生有 名．8．已知扇形的半径是3厘米，弧长是6.28厘米，那么这个扇形的面积是 平方厘米．9．小丽家钟的分针长为5cm ，时针的长度是分针长度的45，从下午1点到下午5点，时针针尖走过 cm ． 10．如图，一个边长是1厘米的等边三角形ABC ，将它沿直线l 作顺时针方向的翻动，到达图中最右边三角形的位置，那么顶点B 所经过的路程是 厘米．二、 本节内容 知识点回顾：1.1 整数和整除的意义1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数 3. 零和正整数统称为自然数4．正整数、负整数和零统称为整数5．整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

1.2 因数和倍数1．如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 倍数，b 就叫做a 的因数 2．倍数和因数是相互依存的CABl3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除6. 0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3. 1既不是素数也不是合数4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

2.3 分数的大小比较【知识要点】1、 求几个分数的公分母一般有三种方法① 如果一个较大分母是其他分数分母倍数，那么这个较大分母是这些分母的公分母 ② 如果若干个分数的分母都互质，那么它们的积就是这些分数的公分母③ 一般地，用短除法求若干个分数分母的最小公倍数，并以此为公分母2、通分：将异分母的分数分别化成与原分数相等的同分母的分数，这个过程叫做通分3、掌握分数大小的比较方法，特别能用通分的方法比较两个异分母分数的大小比较异分母分数大小的问题，可通过通分将它们化成同分母且与原分数值相等的分数，其依据是分数的基本性质；其方法是先求出这些分数分母的最小公倍数，然后把原来的各分数化成用这个公倍数作分母的分母(A 卷)姓名 班级 学号 成绩一、填空题 (3分×10 = 30分)1、52 = ÷ （用除法表示） 7 ÷3 = (用分数表示) 2、85中有 个81，4个81是 3、15)(53= )(1248= 4、15平方厘米 = 平方米 20分钟 = 小时5、比较大小：75 76 65 75 6、若75253x =，则 x = 7、一个最简分数的分子与分母的积是21，这个分数是 8、在分数76，2825，3530，3635中，最大的分数是9、95的分子加上15，要使分数的值不变，分母应 10、写出大于43，小于87且分母是48的最简分数 二、选择题 (3分×6 = 18分)1、一个分数的分子和分母都加上1，所得分数一定 ( )A 、与原分数相等B 、比原分数大C 、比原分数小D 、不能确定2、在72和76之间，最简分数有 ( ) 个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、无数个3、分母是12，且分子小于分母的最简分数有 ( ) 个A 、3B 、4、C 、5D 、64、若ab 的分子加上3b ，要使分数大小不变，分母应该是 ( ) A 、a + 3b B 、3ab C 、4a D 、ab5、下列说法中错误的是 ( )A 、分子与分母是互质数的分数是最简分数B 、把异分母分数化成与它相等的同分母分数叫做通分C 、分数的分子和分母都乘以或除以相同的数，分数大小不变D 、同分母的两个分数，分子大的就大6、若2479187>>x 成立，则x 可取的自然数是 ( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6三、解答题 (6分×6 + 8分×2 = 52分)1、通分： (1)71和125 (2) 41，87和1252、比较两个分数的大小 ：87和783、将分数32，41，127按从小到大的顺序排列4、做同一个零件，甲用了6023小时，乙用了154小时，甲、乙两人谁做的快？5、小杰、小丽两人练习打字，小杰用2秒钟打7个，小丽用3秒钟打10个字，问谁的打字速度快？6、写出比61大，比51小的3个分数7、写出介于分数52与74之间的分母为 35的最简分数8、大于31而小于21的分数有无数个，请用学过的知识填空。

素数、合数的定义【知识定位】本讲主要介绍素数和合数的概念，使学生知道判断一个数是素数还是合数，区分和奇数偶数概念的区别，同时也介绍了分解素因数的方法，并通过典型例题使学生掌握一些变式应用。

【知识梳理】知识梳理1：素数的概念（1）素数与合数的定义：我们把像2,3,5这样因数只有1和他们本身两个因数的数叫素数（也叫质数）；把像4和6这样除了1和他们本身外还有别的因数的数叫合数.根据定义，今后判断一个数是素数还是合数的方法是看他因数的个数，显然1既不是素数也不是合数.（2）素数的判定：知道了素数的定义，那么如何快速的判断一个数是不是素数呢？有两种方法：①查素数表； ②试除法，就是用比他小的素数，按从小到大的顺序去除这个数，如果能被某个数整除，他就是合数如果除得得商比除数小且仍不能整除，就是素数 知识梳理2：分解素因数素因数和分解分解素因数的概念以及分解素因数的方法素因数：一个数的因数是素数就叫他的素因数.任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式，如224⨯=；326⨯=；32212⨯⨯=；等等。

其中2是4的素因数，2和3是6的素因数，2和3是12的素因数.分解素因数：将一个合数改写成几个素数相乘就叫分解素因数.如将6分解为326⨯=. 注意分解素因数一定要分解到所有的因数都是素数为止.①那么如何分解素因数呢？初中主要有两种办法：逐步分解法和短除法 24逐步分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数 4 ´ 6（从小到大的顺序）相乘的形式. 2 ´ 2 2 ´ 3用逐步分解法一般是可以直接看出是那两个数相乘的数。

例：3⨯⨯24⨯⨯=，树形图如右图.=24262短除法:用一个能整除这个合数的素数（一般从最小的）去除，得出的商如果是合数则在用同样的方法来除，直到得到的商为素数为止，最后写为连乘的形式.例题精讲：一、素数的概念（1）素数与合数的定义：我们把像2,3,5这样因数只有1和他们本身两个因数的数叫素数（也叫质数）；把像4和6这样除了1和他们本身外还有别的因数的数叫合数.根据定义，今后判断一个数是素数还是合数的方法是看他因数的个数，显然1既不是素数也不是合数. （2）素数的判定：知道了素数的定义，那么如何快速的判断一个数是不是素数呢？有两种方法：①查素数表；②试除法，就是用比他小的素数，按从小到大的顺序去除这个数，如果能被某个数整除，他就是合数如果除得得商比除数小且仍不能整除，就是素数【试题来源】【题目】判断下列各数是素数还是合数：25，1，51，2，31，57【试题来源】【题目】1、一个自然数，如果不是素数，就一定是合数（）2、两个素数的和一定是合数（）.3、1既不是素数，也不是合数（）4、素数一定是奇数，偶数都是合数（）5、两个素数的积一定是合数（）【试题来源】【题目】判断667和233是不是素数？【试题来源】【题目】最小的素数:（），最小的合数（），既不是素数也不是合数的数是（）【试题来源】【题目】判断题1、一个自然数，如果不是素数，就一定是合数（）2、两个素数的和一定是合数（）3、大于2的素数都是奇数（ ）4、一个大于1的自然数，如果有小于本身的因数，那么这个数一定是合数（ ）二、分解素因数素因数和分解分解素因数的概念以及分解素因数的方法素因数：一个数的因数是素数就叫他的素因数.任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式，如224⨯=；326⨯=；32212⨯⨯=；等等。

圆与扇形周长和面积的计算一、圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫圆心，定长叫圆的半径。

二、与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

半圆：圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，围绕圆心旋转任何一个角度，都能和它原来的图形重合。

四、与圆有关的计算 1、 圆的周长与弧长公式圆的周长：2C r π=弧长：180nl r π=（n 为圆心角度数） 圆的周长÷直径=圆周率（圆周率是个无限不循环小数，近似等于3.14，即 3.14π≈）。

2、 圆面积公式与扇形面积公式圆的面积：2S r π=214d π=.第五讲 圆与扇形扇形面积：213602n S r lr π==扇形（扇形的半径为r ，圆心角为n ，弧长为l ）.【前铺1】 请说出日常生活中你所知道的圆或扇形的物体。

（至少说出5种）【前铺2】 一头驴被栓在磨盘旁边一直走，它走的线路是一个什么图形?温馨提醒：本讲除题目中有特殊说明外，π取3.14【例题1】 （1）一张圆桌面的直径是0.95米，这张圆桌面的周长是多少米?（得数保留两位小数）（2）一辆自行车车轮的半径是0.33米，车轮滚动一周自行车前进多少米？（得数保留两位小数）（3）一块长方形木板，长6分米，宽4分米，截出一个最大的圆，那么这个圆的周长为 分米；（4）已知小圆的半径是大圆半径的13，大圆的周长是12π，则小圆的周长是____【例题2】 （1）一个圆的周长为6.28厘米，则该圆的面积为多少平方厘米？（2）把一根长25.13厘米的铁丝围成一个圆（接头处共0.01厘米），这个圆的面积是多少？（3）一个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，则该花池的底面积是______平方米（4）圆的半径从6厘米减少到4厘米，面积减少 平方厘米；【例题3】 （1）将一根长10厘米的绳子绕一根吸管10圈，还余下0.58厘米，这根吸管的外直径是 毫米；（2）大圆半径是小圆的1.5倍，大圆面积比小圆面积大10平方厘米，大圆面积是 平方厘米；（3）一张三角形铁片与一张半径是50毫米的圆形铁片的面积相等，已知三角形铁片的底边长250毫米，则这个三角形在这条底边上的高是毫米；（4）有相同周长的长方形、正方形和圆，它们的面积从大到小是。

数的整除一、整除当两个整数a 和(0)b b ≠，a 被b 除的余数为0时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫作b 的倍数，b 叫作a 的因数（约数）；如果a 被b 除所得的余数不为0，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a ．二、数的整除特征：①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；⑤部分特殊数的分解：111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.22009741=⨯，2011是质数第一讲数的整除【例 1】 用10以内的奇数组成一个能同时被3、5整除的最大三位数、最小四位数，分别是多少？（每个数的数字不重复）【例 2】 1、求满足下面各小题条件的字母：（相同字母代表相同数字）1）312a a 2）512b b 3）910c c2、求满足下面各小题条件的整数字母：（1）81234a a a a a （2）91234b b b b b【例 3】 1、一个六位数2008A B 既能被8整除又能被9整除，那么A 的值为多少？2、六位数8712能够被72整除，请写出所有满足条件的六位数．3、已知一个五位数691A B 能被55整除，那么符合题意的五位数是几？【拓展1】已知八位数34216a b c是27的倍数，请算出a b c++的值。

数的整除一、基础过关1. 一个两位数加上2是2的倍数，加上5是5的倍数，加上7是7的倍数，这个数是（ ）。

2. 在一个减法算式里，被减数，减数和差相加的和是50，已知差是减数的35 ，这个减法算式是（ ）3. 一个最简真分数的分子，分母的积是50，这个分数是（ ）或（ ）4. 一次数学竞赛，结果参加学生中17 获得一等奖，13 获得二等奖，12 获得三等奖，其余获得纪念奖，参加竞赛的至少有( )名同学。

5. 甜甜用24张相同的正方形拼图纸拼成一个长方形，可以拼出（ ）种不同的长方形（长a ，宽b 和长b ，宽a 算一种）6. 四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是（ ），（ ），（ ），（ ）。

7. 一个长方体的长，宽，高是三个两两互质且均大于1的自然数，已知这个长方体的体积是5525立方厘米，那么它的表面积是（ ）平方厘米。

8. 用三个不同质数组成一个三位数，使这个三位数能被它的每个数字整除，这个三位数是（ ） 9. 若30030的所有不同质因数，按从大到小的顺序排列为a ，b ，c ，d ，e ，…则（a-b ）×（b-c ）× （c-d ）×（d-e ）…的结果是（ ）10. 两个数的乘积是432，最小公倍数是144，这两个数是（ ）和（ ）或（ ）和（ ）。

11. 123321 的分子分母减去同一个数，得到的新分数约分后是35134 ，减去的数是（ ）。

二、基础过关一、填空（每题2分，共30分）二、选择（每题2分，共10分）三、简答题（每题5分，第23题10分，共20分）21.100以内9的倍数有那些？22.把45,102,231分解素因数。

23.求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

①24和36 ②42,84和210四、解答题（每小题8分，共40分）24.三个连续奇数的和是15，求这三个奇数的最小公倍数是多少？25.有两根长分别是30分米和80分米的木条，现要把他们锯成同样长的小段（每段的长度都为整数），而且不能有剩余，那么每段是多长？每段最长为多少？26.用长32厘米、宽28厘米的长方形木片拼成一个正方形（木片不能折断），至少需要多少块这样的长方形木片？27.某班学生到图书馆借书，若借40本，平均分发给每个学生还差2本；若借65本，平均分发给每个学生后还剩2本；若借83本，平均分发给每个学生还差1本。

数的整除综合本讲主要是对数做进一步的认识，要求在小学对整数的运算基础上，进一步了解素数、合数、整除、分解素因数等基本概念。

另外，需要我们主要能被2,3,5整除的各个数的特征，这在今后的学习中都会得到非常重要的运用。

还有分解素因数除了在找几个数的最大公因数和最小公倍数得4也是到运用意外，在处理不能整除的余数相同问题时，优势也是非常明显的。

这些结题技巧和想法，对启迪我们今后的学习，意义重大。

知识梳理1.整数和整除定义1.零和整数统称为自然数.正整数、零、负数，统称为整数.2.整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.【注】整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零.知识梳理2.因数、倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a因数.【注】因数和倍数是相互依存的.知识梳理3.特殊的整除1.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.奇数：1,3,5,7,9，11,13…偶数：2,4,6,8,10,12,14…2.个位上时0或者5的整数都能被5整除3.补充：能被3 整除的数：各个数位的和是3的倍数.知识梳理4.素数、合数的定义、分解素因数素数、合数1、素数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）。

2、合数：一个数除了1和它本身，还有别的数，这个数叫做合数。

3、按照一个数的因数的个数分类，正整数可以分三类：分解素因数1、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数2、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

3、分解素因数的方法：（1）数枝分解法（2）用短除法分解素因数．用短除法分解素因数的步骤：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始．．．．．．）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序．．．．．．．．写成连乘的形式；4．最后别忘了检验一下每个因数．．．。

分数应用【知识定位】分数应用题是小学数学教学中的重点和难点。

它大体可以分成两种：（1）基本数量关系与整数应用题基本相同，只是把整数应用题中的已知数换成分数，解答方法与整数应用题基本相同。

（2）根据分数乘除法的意义而产生的具有独特解法的分数应用题，这就是我们通常说的分数应用题。

分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：（1）分率：表示一个数是另一个数的几分之几，这几分之几通常称为分率。

（2）标准量：解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“1”的那个数，称为标准量。

（3）比较量：解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那个数，称为比较量。

【知识梳理】知识梳理1：求一个数的几分之几是多少。

这类问题特点是已知一个看作单位“1”的数，求它的几分之几是多少，解这类应用题用乘法。

即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基本的数量关系是：整体量×分率=分率的对应的部分量；或已知一个看作单位“1”的数，另一个数占它的几分之几，求另一个数，即反映的是甲乙两数之间关系的应用题，基本的数量关系是：标准量×分率=分率的对应的比较量。

知识梳理2：求一个数是另一个数的几分之几。

这类问题特点是已知两个数量，比较它们之间的倍数关系，解这类应用题用除法。

基本的数量关系是：比较量÷标准量=分率。

（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）。

（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）。

（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）。

知识梳理3：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

这类问题特点是已知一个数的几分之几是多少的数量，求单位“1”的量，解这类应用题用除法。

基本的数量关系是：分率对应的比较量÷分率=标准量。

例题精讲：【试题来源】【题目】学校买来100千克白菜，吃了45，吃了多少千克？（反映整体与部分之间的关系。

【热身】 写出100以内的所有的素数：□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □分解素因数一、1、分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

2、分解素因数的方法：短除法、树杈法、机算法3、短除法：（如30）：（3步）① 找一个能整除30的素数（从最小．．的开始）去除30， ② 得到的商如果是合数，按上面的方法继续除下去，直到得到的商是素数为止，③ 把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘形式【例 1】 【基础】用短除法，将下列各数分解素因数（1）102 （2）144第二讲最大公因数和最小公倍数（3）275 （4）462【提高】按下列要求填表：【尖子】36和54相同的素因数有_____________________【例2】【基础】若A=2×3×5 ，则A共有个因数，个素因数【提高】若A=5×72×92，则A共有个因数，个素因数【尖子】若正整数A=3×B（B是素数），则A的因数有个，素因数有个【例3】【基础】两个连续的正整数的积是210，求这两个数【提高】三个连续的正偶数的乘积是960，求这三个偶数【尖子】请将六个数：2，3、14、15、30、42分成两组，使得两组数组内各数所乘的积相等.最大公因数二、1、因数和倍数：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的因数．2、最大公因数：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自 然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．3、互素：如果两个正整数只有公因数1，这两个数互素.（★）求最大公因数的方法：①分解素因数法：先分解素因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；．【例 4】 用短除法求下列各组数的最大公因数:（1）24和26 （2）30和48 （3）9和54（4）24和35 （5）18、12和20 （6）12、16和20【提高、尖子】 要使得两位数1____和6互素，横线上的数字可以填哪几个？【例 5】 根据短除法计算并填空：345152B A421457A 和B 分别是________； 这两个数的最大公因数是__________； A 和B 的最大公因数是________【例 6】 【基础】若数A=2×3×3，B=3×3×5，则A 和B 的最大公因数是_________【提高】已知甲数=2×3×3×a，乙数=2×3×7×a，甲乙两数的最大公因数是30；则正整数a是________【尖子】若数A=2×2×3×5，B=2×3×5×7，问A和B的公因数有哪几个？最大公因数是哪一个？【例7】【基础】有24个梨、36个苹果和42个桔子，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的数目也相同，最多可以分给几个小组？【提高、尖子】三种级别的茶叶，已知一级茶叶144克，二级茶叶180克、三级茶叶240克的价格都是60元，现需要把三种茶叶分别按整数克装袋，要求每袋价格都相等，那么每袋价格最低是多少元？最小公倍数三、1、最小公倍数：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：2、两个整数中，一个是另一个的倍数，那么小数是它们的最大公因数，大数是它们的最小公倍数.(★)3、互素的两个整数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积. (★)【例 8】 用短除法求下列各组数的最小公倍数:（1）18和30 （2）45和210 （3）19和57（4）7和15 （5）8、9和10 （6）24、40和72【例 9】 【基础】4和7的最大公因数是_____，最小公倍数是_______.29和78的最大公因数是_______，最小公倍数是_____。

分数、小数及四则运算【知识定位】分数、小数四则运算是小学数学中的一项重要内容，它对于培养同学们的计算能力起着十分重要的作用，要想掌握好分数、小数的四则混合运算，一要牢记分数、小数的基本运算法则，二要掌握分数与小数的互化。

【知识梳理】知识梳理1：分数与小数的互化1、分数化小数（1）一个最简分数，分母如果除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数中小数部分的位数等于分母中质因数2、5中较多的一个数的个数。

（2）一个最简分数，分母如果只含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环节的最少位数，等于9，99，999，…这些数中能被分母整除的最小那个数里9的个数。

（3）一个最简分数，分母如果既含有2、5这样的质因数，又含有2、5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，它的不循环部分里的数字的个数，等于分母的质因数2、5中较多的一个数的个数。

循环节的最少位数等于9，99，999，…这些数中能被分母中2、5以外的质因数（或除2、5以外的所有质因数的乘积）整除的那个数里9的个数。

当然，我们也可以用分子除以分母，直接把分数化成小数后来进行判断。

2、小数化分数（1）有限小数化分数：可以先把它改成十进制分数，然后约分化为最简分数。

（2）循环小数化分数：①纯循环小数化分数的方法：这个分数的分子是第一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数等于循环节的位数。

②混循环小数化分数的方法：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数（即是小数点右边第一个数写到第一个循环节末位的数字所组成的数），减去小数部分中不循环部分的数字所组成的数的差。

分母的头几个数字是9，9的后面的数字全是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相等，0的个数等到于不循环部分的数字个数。

知识梳理2: 分数、小数及四则运算的巧算技巧分数和小数的混合运算中注意选择整体观察式子，不要盲目同意化成分数或小数，注意集合和平凑的应用。

公因数公倍数【知识定位】本讲义主要讲解最大公因数和最小公倍数的意义和应用，并介绍了求最大公因数和最小公倍数的方法，题目稍综合，适合层次较好或者有一定基础的学生。

【知识梳理】知识梳理1：公约数和最大公约数几个数公有的约数．．．．．．．．．．．．。

．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

知识梳理2：公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

知识梳理3：最大公约数与最小公倍数的求法A．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法a×b = （a,b）×[a,b]B．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种：（1）分解质因数法（2）短除法（3）公式法a×b=（a,b）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

（4）大数翻倍法例题精讲：【试题来源】【题目】把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

至少能剪块。

【试题来源】【题目】学校在排练团体操，要求队伍分别变为12行、15行、18行、24行时，都能成为矩形，应该至少有多少人参加团体操排练？【试题来源】【题目】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【试题来源】【题目】有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。

分数的运算及应用综合分数的四则混合运算计算顺序和小数、整数四则混合运算顺序是一样的。

它是把整数四则预算的计算顺序和运算律推广到分数上的，为以后解决简单的实际问题做好准备。

学完这部分内容后，我们整数、分数、小数四则混合运算即全部学完，形成体系。

然后结合数的分解，列方程等便可解决很多综合问题，为我们进入初中的学习提供一个良好开端。

知识梳理知识梳理1.分数加减运算乘积为1的两个数叫做互为倒数。

在一个分数混合算式中，既有一级运算，又有二级运算，先做第二级运算，后做一级运算（乘、除法属于二级运算，加、减法属于一级运算）；在有括号的算式里，先做括号里边的，再做括号外边的．知识梳理2.分数乘除运算1.分数小数间的互化2.除以一个数等于乘以这个数的倒数。

3.乘法运算定律：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c知识梳理3.分数应用分数乘除法应用题的基本步骤：1、读题，了解题意。

2、找出关键句。

3、在关键句中找单位“1”。

4、再读题，判断单位“1”是已知的还是未知的。

5、确定解题方法，如果单位“1”已知，用乘法；如果单位“1”未知，用除法。

6、需要注意的是，无论乘法还是除法，都要注意具体数量和分率之间的对应关系。

还有，如果采用列方程解应用题，可以帮我们很容易列等式，再通过解方程解决问题。

【试题来源】【试题来源】【题目】计算：（1）49612.3837.621313+++ （2）34533 6.6256899-+-（3）32317(41)15553-+-【试题来源】【题目】(1)6.12＋37 ＋2.88＋47 （2）2924 －（524 －49） (3) 1811 －（711 ＋ 38 ） (4) 79 ＋310 －29 ＋1710 （5）778715121512++- （6） 13131181(917)484834-- （7）71321310610++ （8）5554.375655998+-+【试题来源】 【题目】判断.(1)分数单位相同的分数才能直接相加减。

分数的运算及应用综合知识定位分数的四则混合运算计算顺序和小数、整数四则混合运算顺序是一样的。

它是把整数四则预算的计算顺序和运算律推广到分数上的，为以后解决简单的实际问题做好准备。

学完这部分内容后，我们整数、分数、小数四则混合运算即全部学完，形成体系。

然后结合数的分解，列方程等便可解决很多综合问题，为我们进入初中的学习提供一个良好开端。

知识梳理知识梳理1.分数加减运算乘积为1的两个数叫做互为倒数。

在一个分数混合算式中，既有一级运算，又有二级运算，先做第二级运算，后做一级运算（乘、除法属于二级运算，加、减法属于一级运算）；在有括号的算式里，先做括号里边的，再做括号外边的．知识梳理2.分数乘除运算1.分数小数间的互化2.除以一个数等于乘以这个数的倒数。

3.乘法运算定律：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c知识梳理3.分数应用分数乘除法应用题的基本步骤：1、读题，了解题意。

2、找出关键句。

3、在关键句中找单位“1”。

4、再读题，判断单位“1”是已知的还是未知的。

5、确定解题方法，如果单位“1”已知，用乘法；如果单位“1”未知，用除法。

6、需要注意的是，无论乘法还是除法，都要注意具体数量和分率之间的对应关系。

还有，如果采用列方程解应用题，可以帮我们很容易列等式，再通过解方程解决问题。

例题精讲 【试题来源】【题目】0.4的倒数是 ， 的倒数是1.75。

【试题来源】【题目】计算：（1）49612.3837.621313+++ （2）34533 6.6256899-+-（3）32317(41)15553-+-【试题来源】【题目】(1)6.12＋37 ＋2.88＋47 （2）2924 －（524 －49） (3) 1811 －（711 ＋ 38 ） (4) 79 ＋310 －29 ＋1710（5）778715121512++- （6） 13131181(917)484834-- （7）71321310610++ （8）5554.375655998+-+【试题来源】 【题目】判断.(1)分数单位相同的分数才能直接相加减。

ca（4）201020091200920081 (4)31321211⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ -518；-274；-2；20092010例2、-a,-b 在数轴上的位置如图，-b -a 0 化简：.a b a b a ---++- -3a考点4 有理数的乘除、乘方 1、 有理数的乘法①两数相乘，同号得正，异号得负；②任何数与零相乘，都得零；③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。

2、有理数除法①两数相除，同号得正，异号得负②零除以任何一个不为零的数，都得零；③除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数） 3、有理数的乘方正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

当a ＞0时，a n＞0(n 是正整数)； 当a <0时，⎪⎩⎪⎨⎧<>)(0)n (0是奇数是偶数n a a n n ；当a =0时，a n=0(n 是正整数)(以上为有理数乘方运算的符号法则)a 2n =(―a )2n (n 是正整数)；12-n a =―(―a )2n-1(n 是正整数)；a 2n ≥0(a 是有理数，n 是正整数)。

注意: (1)负数的乘方,在书写时一定要把整个负数(连同符号),用小括号括起来.(2)分数的乘方,在书写的时一定要把整个分数用小括号括起来 4、有理数运算律①加法的交换律 a+b=b+a ； ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c ；①解不等式，去分母时，漏乘不含分母的项．②系数化当系数为正数时，不改变不等号的方向，当系数为负数时，要改变不等号的方向．C.⎩⎪⎨⎪⎧ x<－3x ≥2（图2）A （图7）。

数与整除【知识点梳理】一整数和自然数的概念1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4…，叫做正整数。

2．在正整数1、2、3、4…的前面添上“－”号，得到的数－1、－2、－3、－4…，叫做负整数。

3．零和正整数统称为自然数。

4. 正整数、零和负整数，统称为整数。

二偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。

如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。

奇、偶数经过运算后的变化情况三能被2、3、5整除的数的特征：能被“2”整除的数的特征：个位数字是偶数,即各位数字是0、2、4、6、8的整数能被“5”整除的数的特征：个位数字是“5”或“0”能被“2、5”整除的数的特征：个位数字是“0”能被“3”整除的数的特征：各位数字之和能被“3”整除.四素数、合数的概念：我们把只含有因数1和本身的整数叫做素数（质数），如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1、1既不是素数也不是合数；这样，正整数又可以分为1、素数、合数三类。

（依据：因数的个数）2、关于素数：（1）素数有无限多个；（2）最小的素数是2；（3）在素数中只有2是偶数，其余的素数全是奇数；（4）每一素数只有两个约数：1和它本身。

3、关于合数：（1）合数有无限多个；（2）最小的合数是4；（3）每个合数至少有三个约数：1和它本身和其他某个约数。

五：分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数；把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫分解素因数。

注意：分解素因数一定要分到都是素数为止用短除法分解素因数的步骤如下：1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除2、得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。

3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．易错点：互素的两个数不一定都是素数，如7与8 ，9与10规律：两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。