数学必修五第一单元检测 解三角形

必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

《解三角形》测评 JIESANJIAOXINGCEPING(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →的值为( ) A ．1 B.34C.32 D ．－323在△ABC 中，tan A ·sin 2B ＝tan B ·sin 2A ，那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4如图，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是( )A ．202米B ．203米C ．206米D ．402米5在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则∠B 为( ) A.π3 B.π6C.π3或2π3D.π6或5π66在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则最小角为…( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π127△ABC 中，A ，B 的对边分别为a ，b ，且A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定8如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 39钝角△ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为( ) A ．1,2,3 B ．2,3,4 C ．3,4,5 D ．4,5,610在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.12在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，∠C ＝120°，则sin A ＝___________.13三角形两条边长分别为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．14△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则∠C 的大小为________．15△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝52b ，∠A ＝2∠B ，则cos B 的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分9分)已知在△ABC 中，a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及面积S △ABC . 17(本小题满分10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求∠A 和tan B 的值．18(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，a ＋b ＝9，求c .19(本小题满分11分)(2009浙江省09届高三期末试题，文21)如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．参考答案1解析：这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一角的问题，可使用正弦定理，但注意解的情况．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝43sin30°4＝32.又b >a ，∴B >A ，因此角B 有两解，即B ＝60°或120°.答案：D2解析：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 〈AB →，AC →〉，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos 〈AB →，AC →〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋22－(10)22×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.答案：C3解析：判断三角形的形状，可从边考虑，也可从角思考．本题条件可化为sin B cos A ＝sin Acos B， 即sin2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝90°.本题也可化为边，由sin B cos A ＝sin Acos B ，得sin A sin B ＝cos B cos A ＝ab ，即a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ， 所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 答案：D4解析：先在△ADC 中，利用正弦定理，可求出AD ＝20(3＋1)， 又DB ＝DC ＝40，∠ADB ＝60°，在△ADB 中，由余弦定理，得AB ＝20 6. 答案：C5解析：由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入等式3a ＝2b sin A ，整理得sin B ＝32，∴∠B ＝π3或2π3. 答案：C6解析：由于c <b <a ，所以最小角为C ，根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6. 答案：B7解析：根据正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝4sin60°6＝2>1，所以无解．答案：C8解析：由正弦定理，得sin A ＝k ·sin60°12＝3k24.若△ABC 恰有一个，则BC ＝k <AC ＝12且sin A ＝3k 24<1，或sin A ＝3k24＝1. 解得0<k ≤12或k ＝8 3. 答案：D9解析：根据三角形任意两边和大于第三边，可排除答案A.又显然C 的结论构成的是直角三角形，所以C 不成立．因42>22＋32，而62<42＋52，故B 正确．答案：B10解析：把a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，于是sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .同理可得B ＝C ，C ＝A . 答案：B11解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，则根据正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.答案：10212解析：由余弦定理，得c 2＝52＋32－2×5×3cos120°＝49，∴c ＝7. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin C c ＝5·sin120°7＝57×32＝5314.答案：531413解析：由5x 2－7x －6＝0，得x 1＝－35，x 2＝2(舍去)．∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．答案：6 cm 214解析：由p ∥q 得，(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0. ∴a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .又∵0<∠C <π，∴∠C ＝π3.答案：π315解析：∵a ＝52b ，∠A ＝2∠B ，∴a sin A ＝b sin B ，52b sin2B ＝b sin B ，即52b 2sin B ·cos B ＝bsin B .∴cos B＝54. 答案：5416分析：本题已知三角形的两边和它们的夹角，所以可使用余弦定理，求出第三边b . 解：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2·33·2·(－32)＝49. ∴b ＝7，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×2×12＝323.17分析：要求∠A 的大小，由条件b 2＋c 2－bc ＝a 2知，可用余弦定理，而要求tan B 的值，利用条件c b ＝12＋3用正弦定理求解．解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因此∠A ＝60°，在△ABC 中，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝120°－∠B ，由正弦定理，得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin (120°－B )sin B ＝sin120°cos B －cos120°sin B sin B ＝32cot B ＋12，即32cot B ＝3，cot B ＝2，tan B＝12. 18分析：根据tan C ＝37，可以很容易求出cos C 的值，注意角范围的判断；根据CB →·CA →＝52及第(1)小题结论，可以利用向量的数量积，求出乘积ab 的值，再结合条件a ＋b ＝9，利用余弦定理，可以解得边c 的值．解：(1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C ＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab cos C ＝52.∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81.∴a 2＋b 2＝41. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36. ∴c ＝6.19分析：结合图示，搞清已知量与所求量，利用正、余弦定理先在△ABC 中求出∠ACB ，而所求角θ＝∠ACB ＋30°，这一点一定要搞清楚．解：如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°＝402＋202－2×40×20×(－12)＝2 800.∴BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝40×32207＝217.由∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，∴cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝202＋(207)2－4022×20×207＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB ·cos30°－sin ∠ACB ·sin30°＝277×32－217×12＝2114.。

《解三角形》测试题一、选择题：1．(2014·二中期中)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin B cos C ＋c sin B ·cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6[答案] A[解析] 因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，所以sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin(A ＋C )＝12，a >b ，所以A ＋C ＝5π6，B ＝π6，故选A ．2．(文)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．1C ． 3D ．2 [答案] C[解析] 据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝12×2×23×sin30°＝ 3.3．(文)(2013·二检)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 [答案] A[解析] 依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A ．4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3－1D ． 3[答案] B[解析] 解法1：由正弦定理a sin A＝b sin B得，3sinπ3＝1sin B ， ∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b 得A >B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2，选B ． 解法2：由余弦定理知，3＝c 2＋1－2c cos π3， 即c 2－c －2＝0，∴c ＝2或－1(舍去)．5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1[解析] 由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. [答案] B6．△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，∠B ＝π6，∠C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1[解析] ∠A ＝π－(∠B ＋∠C )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝7π12，由正弦定理得a sin A＝b sin B，则a ＝b sin Asin B ＝2sin7π12sinπ6＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×22＝3＋1.答案：B7．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [解析] 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，所以∠A 为锐角，又因为a ＞b ＞c ，所以∠A 为最大角，所以角A 的取值围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.[答案] C8．(文)(2013·东北三省四市二联)若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[答案] C[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A＝AB sin C＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C ．解法二：由条件知，BC sin π3<3<BC ，∴3<BC <2.9．(2014·市调研)△ABC 各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足ba ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的取值围是( )A ．(0，π3] B ．(0，π6] C ．[π3，π) D ．[π6，π) [答案] A [解析] 由ba ＋c ＋ca ＋b≥1得：b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得：b 2＋c 2－a 2≥bc ，同除以2bc 得，b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12，因为0<A <π，所以0<A ≤π3，故选A ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 3D ．3[解析] 由c sin A ＝3a cos C ，所以sin C sin A ＝3sin A cos C ，即sin C ＝3cos C ， 所以tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B ，所以sin A ＋sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C.[答案] C二、填空题11．(文)(2014·名校联考)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．[答案]43[解析] ∵(a ＋b )2－c 2＝4，∴a 2＋b 2－c 2＝4－2ab ＝2ab cos60°，∴ab ＝43.12．(文)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则ab ＋c ＋bc ＋a＝________.[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＝1.13.(理)(2014·九校联合体联考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________. [答案]11[解析] 由条件12×3×43＝12AC ·BC ·sin60°，∴AC ·BC ＝83，由余弦定理知AC 2＋BC 2－3＝2AC ·BC ·cos60°， ∴AC 2＋BC 2＝3＋AC ·BC ，∴(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝3＋3AC ·BC ＝11，∴AC ＋BC ＝11. 14．设△ABC 的角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b ，∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b 2＝－12.∴∠C ＝23π.[答案]23π 三、解答题15． (2014·理)设△ABC 的角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ． (1)求a 的值；(2)求sin(A ＋π4)的值．[解析] (1)因为A ＝2B ， 所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，因为b ＝3，c ＝1， 所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13，由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223， 故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋(－13)×22＝4－26. 16.(理)(2014·理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B ．(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．[解析] (1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得． 12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ， 即sin(－π6＋2A )＝sin(－π6＋2B )，∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π3， ∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3. (2)由(1)知sin C ＝32，cos C ＝12， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋410由正弦定理得：sin A ＝sin C，又∵c＝3，sin A＝45.∴a＝85.∴S△ABC＝12ac sin B＝18＋8325.17.如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的3倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？[解析] 设到C点甲船遇上乙船，则AC＝3BC，B＝120°，由正弦定理，知BCsin∠CAB＝ACsin B，即1sin∠CAB＝3sin120°，sin∠CAB＝12.又∠CAB为锐角，∴∠CAB＝30°.又C＝60°－30°＝30°，∴BC＝AB＝10，又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos120°，∴AC＝103(海里)，103海里．18．已知a＝(2cos x＋23sin x,1)，b＝(y，cos x)，且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)＝3，BA→·BC→＝92，且a＋c＝3＋3，求边长b.解：(1)由a∥b得2cos2x＋23sin x cos x－y＝0，即y＝2cos2x＋23sin x cos x＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1，所以f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1，又T＝2πω＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由f(B)＝3得2sin(2B＋π6)＋1＝3，解得B＝π6.又由BA→·BC→＝92知ac cos B＝92，所以ac＝3 3.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝(3＋3)2－2×33－2×33×32＝3，所以b＝ 3.。

第一章 解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、 选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（ ）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、 填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小； （2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。

（时间：120分钟，满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上） 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________． 解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形． 答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°. 答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin Bb ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A.又B ＝2A ，∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ，∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6〈A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S ）满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3. 答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x ，将其代入上式，得S △ABC ＝x 1－（4－x 24x ）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ， 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝ 22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0， 故a 2＋c 2≥2ac ，即（1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为（1， 2 ． 答案：1， 2 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1）求bc的值；(2）若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1）在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6， 又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37. 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1）求cos A 的值； (2）求c 的值．解：(1）因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2）由（1）知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2）由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3）法一：由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4）由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. （本小题满分16分）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1）因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， 所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．（本小题满分16分） 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1）求sin ∠ADB ； (2）求BC 的长．解：(1）不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ），∴7sin(120°－x )＝5sin x ， 整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2）在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°， ∴BC ＝239×cos ∠ADBsin 135°＝239×392622＝3 2.20．（本小题满分16分）在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B.又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. ∴cos(75°－A )∈(cos 75°，1．又（2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上，a ＋b ∈2＋6，8＋43．。

高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＋C ＝2B ，a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32D ．2 答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3， 解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C ，一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，显然成立；④中由正弦定理得sin B ＝2sin A sin C ，未必成立． 3．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定 答案 C解析 ∵B ＝120°，∴cos B ＝－12＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案 A解析 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B ，得5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 答案 A解析 由AB →·BC →＝1可得2BC cos(180°－B )＝1，即2BC cos B ＝－1， 又由余弦定理可得32＝BC 2＋22－2×2BC cos B ， 把2BC cos B ＝－1代入，得9＝BC 2＋4＋2， 解得BC ＝ 3.6．在△ABC 中，若tan A sin 2B ＝tan B sin 2A 成立，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 答案 D解析 ∵tan A sin 2B ＝tan B sin 2A ， ∴sin A cos A sin 2B ＝sin Bcos B·sin 2A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，即sin 2A ＝sin 2B .又∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．7．在△ABC 中，A ＝π3，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．不确定 答案 A解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin Aa ＝4·326＝2>1，∴B 不存在．8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 答案 A解析 如图，AB 为水柱，高度设为h ，D 在A 的正西方向，C 在D 的北偏东30°方向．且CD ＝100 m ，∠ACB ＝30°，∠ADB ＝45°. 在△ABD 中，AD ＝h ， 在△ABC 中，AC ＝3h . 在△ACD 中，∠ADC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝1002＋h 2－（3h ）22·100·h ＝12，∴h ＝50或－100(舍)．9．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[0，2] C ．(0，2] D ．(2，3) 答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧0＜π－3A ＜π2，0＜2A ＜π2⇒π6＜A ＜π4，由正弦定理AC sin B ＝BCsin A 得AC ＝2cos A .∵A ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．10．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，对任意实数x ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，有( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )>0 C ．f (x )≤0 D ．f (x )<0 答案 B解析 ∵Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2)2－(2bc )2 ＝[(b ＋c )2－a 2]·[(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )， b ＋c ＋a >0，b ＋c －a >0，b －c ＋a >0，b －c －a <0， ∴Δ<0，又b 2>0，∴f (x )>0. 二、填空题11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________． 答案2解析 在△ABC 中，利用正弦定理得AC sin 45°＝BC sin 60°⇒AC sin 45°＝3sin 60°⇒AC ＝3·sin 45 °sin 60°＝ 2.12．在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝________． 答案 －16解析 方法一 AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →)＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16. 方法二 特例法，假设△ABC 是以AB ，AC 为腰的等腰三角形，如图所示，AM ＝3，BC ＝10，则AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB |·|AC →|·cos ∠BAC ＝－16.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________．答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，又∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.14．在△ABC 中，已知BC ＝3，AB ＝10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积为________． 答案1523 解析 如图，设△ABC 中AB 边上的中线为CD . 则△BCD 中，BC ＝3，BD ＝5，CD ＝7， ∴cos B ＝32＋52－722·3·5＝－12，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°， ∴sin B ＝32， ∴S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝12·3·5·32＝1543，∴S △ABC ＝2S △BCD ＝1523.15．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为________． 答案3解析 由⎩⎨⎧3sin A ＋cos A ＝1，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝32，cos A ＝－12.∴A ＝120°，由正弦定理得2sin C ＝23sin A ，∴sin C ＝12.∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴S ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×2×23×sin 30°＝ 3.三、解答题16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .解 由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C ，因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，又因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝135°.17.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间． 解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，且我艇在C 处追上走私船，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，AB ＝12， 根据余弦定理得(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2小时(t ＝－34舍去)．所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且sin 2A 2＝c －b2c .(1)试判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值． 解 (1)△ABC 为直角三角形．证明如下： 方法一 由已知可得，1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc.化简得c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 方法二 由方法一知b ＝c cos A . 由正弦定理得sin B ＝sin C cos A . 由sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0. 因为sin A ≠0，所以cos C ＝0，C ∈(0，π)， 即C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由(1)知c 为Rt △ABC 的斜边．当c ＝1时，两直角边长分别为sin A ，cos A ，则△ABC 的周长l ＝1＋sin A ＋cos A ＝1＋2sin(A ＋π4)．而0<A <π2，当sin(A ＋π4)＝1，即A ＝π4时，周长l 取得最大值为1＋ 2.19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以，A ＝2B .(2)解 由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2·cos B －sin(A －B )sin B＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，π2<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理有a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)． 又∵cos B ＝cosπ4＝22， 故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.21．已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2， 最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．219C．27 D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π37．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >CB ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________.14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D 的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc答案 D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°答案 B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sin C，得sin C＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于() A．76 B．219C．27 D．27答案 B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于() A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案 D解析由正弦定理，得asin A＝bsin B.所以sin B＝ba sin A＝434sin30°＝32.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案 B解析a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－(a2＋b2＋ab)2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π3答案 B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2b cos C，那么△ABC的内角B、C之间的关系是() A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案 B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案 B9．在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,8 答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A .由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c， 将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8.12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6 答案 C解析 由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2.在△AOB 中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案4 2解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sin Asin B b＝sin30°sin45°×8＝4 2.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3解析在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CB sin C，则12＝12×5×8sin C.所以sin C＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案203403 3解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.。

解三角形第一章一、选择题，＝120°A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC1．已知．则A，C两地的距离为()735kmkm C．1010km A．10 kmB．D10．bac )＝．＝，则△ABC是(2．在△ABC中，若BCAcoscoscos222 B．等边三角形A．等腰三角形D C．直角三角形．等腰直角三角形边的对角c＋b－c)＝3ab，则，3．三角形三边长为a，bc，且满足关系式(a＋b＋c)(a ．等于()D．120°60°A．15°B．45°C．∶＝1∶b∶c，∠ABC中，三个内角∠A，∠BC所对的边分别为a，b，c，且a4．在△3 )．2，则sin A∶sin B∶sin C＝(∶33332D．1∶C．1∶2∶∶A ．∶2∶1 B．2 ∶1 ∶的三个内角的正弦值，则BCABC的三个内角的余弦值分别等于△A5．如果△211212．)(都是锐角三角形和△ABCA．△ABC221211 BAC都是钝角三角形B．△ABC和△221121 C是锐角三角形AABC是钝角三角形，△B．△C212121是钝角三角形是锐角三角形，△CABCD．△AB21212132，∠B＝45°，则∠A为( a＝2＝，b )．中，．在△6ABC2 30°．D120°或60°．C60°．B 150°或30°．A．22有两个不等的实＝0)sin Cxsin )A＋2xsin B＋(1－x7．在△ABC中，关于x的方程(1＋)．根，则A为(D．不存在．锐角A B．直角C．钝角13 )．＝4，AC＝，则边AC上的高为(8．在△ABC中，AB＝3，BC332333 ．． B ． C D．A3222333cba－＋32．)＝·sin B，则△ABC一定是(c9．在△ABC中，＝，sin A c＋ab－4 ．等腰三角形BA．等边三角形．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D那b＝9．B＝60°，a＝10，b10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，＝7；②∠)．么，下面判断正确的是(B．①有两解，②也有两解．A．①只有一解，②也只有一解．D ．①只有一解，②有两解．．①有两解，②只有一解．C二、填空题3，则＝30°1a所对的边，若，∠＝B，b＝a11．在△ABC中，，b分别是∠A和∠B ．∠A的值是A2 C＝cos__________三角形．，则此三角形是．在△12ABC中，已知sin Bsin 2 ，aABC的面积．若＝4中∠A，∠B，∠C的对边，S是△b13．已知a，，c是△ABC3 ．，求cb ＝5，S＝的长度52周长的ABC＝0的一个根，求△－3x－2C中，14．△ABCa＋b＝10，而cos 是方程2x ．最小值C∶sin A∶sin Bb，∠C的对边分别为a，，c，且满足sin A15．在△ABC中，∠，∠B339，则△ABC的周长为．若△ABC ________________的面积为．∶＝2∶56416．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．三、解答题3b＝a＝4，解，，ab分别为∠A，∠B的对边，且＝．在△17ABC中，已知∠A30°3此三角形．对于山坡的18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C为CD，建筑物的高，又从点，向山顶前进斜度为15°100米后到达点BB测得斜度为45°? 50．米．求此山对于地平面的倾斜角)(第题18，cos Bc(2a－)bCB，∠的对边分别为a，b，c，若cos C＝A19．在△ABC中，∠，∠的大小；求∠B(Ⅰ)7，a＋c＝4若Ⅱ)b，求△＝ABC的面积．(22)?B(sinAba?20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝．2csinC参考答案一、选择题D．1222ABCBCcosBC∠－2AB解析：ACAB＝·＋22 10×＋2020cos 120°－2＝10×＝700．7 10．AC＝B ．2bacCsinsinABsin＝及正弦定理，得解析：由，由＝2倍角＝＝CBACABcoscoscoscoscoscos222222CBA ＝∠B＝∠C．的正弦公式得＝＝，∠Asinsinsin222C3．ab，c)＝3)(解析：由(a＋b＋ca＋b－222．＝c得a＋bab－222c?b?a1 ＝．cos C＝∴ab22 60°．故C＝D4．3∶2∶．sin B∶C＝1 解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin5．D解析：△ABC的三个内角的余弦值均大于0，则△ABC是锐角三角形．111111ππ??sinA＝cosA ＝sin(－A)A＝－A??1211222??ππ??sinB＝cosB＝sin(－B)B＝－B，，得BAC 不是钝角三角形，由若△??2221121222??ππ??－＝C－C)C＝sinCcosC＝sin(11212??22??π3π－(A ＋B＋C)＝，与A＋B＋C＝π矛盾．＝C＋＋A那么，B22121222122所以△ABC是钝角三角形．222C．6．2?23Babasin3 2 ＝＝＝解析：由，A＝，得sin 2bsinsinBA22 ，b＜a而．A＝120°∴有两解，即∠A＝60°或∠A．72＝0．sin B＋sin A＋(sin A－sin C)xC＋2xsin 解析：由方程可得∵方程有两个不等的实根，222＞0－sin．∴4sinC B－4(sin) Acab222＞a由正弦定理0＋c＝＝，代入不等式中得b，－CBsinsinAsin2220－a．cos 再由余弦定理，有2acA＝b＞＋c 90°．∴0＜∠A＜B8．3331＝．ACA＝边上的高BD，从而sin A＝，则解析：由余弦定理得cos 222A 9．333cba－＋23232333(a＋b解析：由＝ca)＋bc－c＝(a＋b－c)0a＝＋b－c???c－＋ba222)＝0c．＋b －aba(＋b)(a－∵a＋b＞0，222－ab＝0．a＋b －c (1) ∴由余弦定理(1)式可化为2222－2abcos C)－(－aab＋b＝0a，＋b1，∠C＝60°．得cos C＝2?60bbasin60?sinac BA＝，sin ＝，由正弦定理＝＝，得sinAsincBsinc?sin602)?sin60ab(3∴sin A·sin B＝＝，24cab22222＝0，a＝b)－(0abb式得，1cab＝，＝∴1abc．将＝代入()a＋－2＝，即ab．2c 是等边三角形．ABC△．D10．35Basin．分析后可知①，①中sin A＝1，②中解析：由正弦定理得sin A＝sin A＝9b ；②有两解，∠有一解，∠A＝90°A可为锐角或钝角．二、填空题11．60°或120°．ba3 ＝，∠A60°或120°＝解析：由正弦定理计算可得sin A．＝BAsinsin2 ．等腰．12 C)，(1解析：由已知得2sin Bsin C＝＋cos A＝1－cosB＋Ccos 2sin 即Bsin C＝1－(BcosC－sin Bsin )，∴cos(B，C1＝，得∠B＝∠－C)此三角形是等腰三角形．∴61 13．．或2131 ＝120°．，于是∠＝C＝60°或∠C解：∵S＝Csin abC，∴sin 22222 2abcos 又ca＝C＋b，－222＝c，＝ac＋b；－ab时，当∠C＝60°2122261 ．a＝＋bab＋，c当∠C＝120°时，c＝61 的长度为．或∴c213．510＋14．222－2abcos a＝C＋b，然后运用函数思想加以处理．解析：由余弦定理可得c2－3x－2x＝0，∵21．＝－，x＝2x∴2122－3x－2＝C是方程2x0的一个根，又cos 1．C＝－∴cos 212222－2abbc由余弦定理可得，)＋()＝ab－ab ＝a＋·(－2．22－5)a，＋75a(10－a)＝则c(＝100－375 ＝c，＝5当a＝5时，c最小，且33 ＋c＝5＋5＋5510＝＋，此时a＋b3 5．∴△ABC周长的最小值为10＋．15．13，于是可5∶65∶6，可得a∶b∶c＝2∶C解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin ＝2∶kkkk＝5＝，c6)(，由余弦定理可得＞设a＝20，b222222k－4k25＋36k c＋ab－5 ，cos B＝＝＝)k2(2k)(6ab28392B1cos－＝B＝．∴sin 81 BS＝，得ac sin 由面积公式ABC△2393391kk，2·)·(6)＝·(842kkkkk．＋6＝＝13∴，△＝1ABC的周长为213＋5393k13kk1313k13＝得，(海伦公式)本题也可由三角形面积－－－))(k2k)(6(5k422223933932kk即1．＝，∴＝44k＝13．b＋c＝13a ∴＋16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．sin2CaAasin＝＝＝2cos C，即cos C＝，由正弦定理得csinC2csinC2222b ＋－c)＋(ac)(a＋ba－c由余弦定理cos C＝＝．2ab2ab∵a＋c＝2b，a＋ca＋c2?(a－c)＋)a2b(－c＋b22＝cos C＝∴，2ab2aa＋c＋)ca2(－a 2 ．＝∴a2c2．22 0c．＝整理得2aac－5＋33 ca＝．解得a＝c或23＝a＝c不成立，，∴c ∵∠A＝2∠C a23c?c5a?c2＝，∴b＝＝c24253 ∶4．c∶∶c＝6∶∴a∶b∶c＝5c24 4．∶故此三角形三边之比为65∶三、解答题33 ．＝120°＝4，∠C＝30°，∠＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝B4，17．b＝c4c，3344ba3 ＝．4解：由正弦定理知sin B＝＝＝，b??Asin2Bsin?sinsin30B30°＝120°或∠CB＝60°或∠B ＝c∠C＝90°c＝8或＝4．∠???中利用正弦定理求出＝ABC，这样可在△18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD????角．；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出BC100米，＝15°，AB＝解：在△ABC中，∠BAC 30°．45°－15°＝ACB∠＝BC100 根据正弦定理有，＝?15sin30?sin?sin15100)题(第18．∴BC＝?sin30?15100sin??＋，＝＝45°＝中，∵CD50，BC＝，∠CDB90°，∠CBDBCD又在△?30sin?15100sin50?sin30 ．根据正弦定理有＝?)＋(90?sin?45sin????3≈42.94°．＝－1?解得cos，∴∴山对于地平面的倾斜角约为42.94°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，)．(＝sinB＋C＝sin Bcos C＋cos Bsin C2sin ∴Acos B 0，)＝sin A≠又在三角形ABC中，sin(B ＋Cπ1．，B＝，即Acos B＝sin Acos B＝∴2sin 3222222，＋c－－2accos B，∴7＝a＋cac)(Ⅱ∵ba＝7＝1222＋2ac，∴ac＝3，∴S＝，ac又 (a＋c)16＝＝asin ＋cB ABC△21333·＝3．S即＝·ABC△24220．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理．222222－2accos ＋cB；－2bccos Ab得＝解：由余弦定理aa＝b＋c2222－2bccos A＋2＝bac－acos Ba，－b22)＝－2bccos A＋b2accos B，∴2(a －22b－a－bcosA＋acosB＝．2cc由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，22b－a－bcosA＋acosB∴＝2ccsinAcosB－sinBcosA＝sinCsin(A－B)．＝sinC故命题成立．。

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必修5第一章解三角形测试题命题人：常志国一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1．在△ABC中，若a 2＝b2＋c2－bc,则角A为(）A.错误! B。

错误!C。

错误! D.错误!或错误!2。

已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16错误!，则三角形的面积为(）A. 22B。

8 错误!C。

错误!D。

错误!3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(）A. 错误!B.错误!C。

错误! D.错误!4.已知△ABC中，b＝2,c＝错误!，三角形面积S＝错误!,则角A等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°6。

满足A＝45°,c＝错误!，a＝2的△ABC的个数记为m，则a m的值为()A.4B.2C.1D.不确定7．△ABC中，下列结论：①a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形;②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A为60°;③a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3，其中正确的个数为（)A．1B．2 C．3D．48.在△ABC 中，a ，b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos 22A b c c+=，则△ABC 是 ( ) A 。

直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形 D 。

等腰直角三角形9．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =， 则A 等于（ ）A.030B.060 C 。

高一数学必修五第一章解三角形测试题参考答案1.答案：A .解析：设o 60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o 6sin 45sin 60x =，解得36x =. 2.答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C =，得sin 2sin 2c A C a ==，则o 45C =或o 135C =.故当o 45C =时，o 105B =；当o 135C =时，o 15B =.3.答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅=||AB ⋅||cos(BC π)B -= 1975()1935⨯⨯-=-. 4.答案：A . 解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得s i n 2a A R =，sin 2b B R =，由s i n A <sin B ，得<22a b R R，故<a b . 5.答案：B .解析：设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0)，中间角为 α 由cos α k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 α 60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．6.答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o <sin 60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.7.答案：A解析：b ·cos C ＋c ·cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a . 8.答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A是ABC ∆的内角可得15sin 8A =，故1242S =⨯⨯151582⨯=. 9.答案:B 解析:由22tan tan b a B A =可得：22sin cos .cos sin b a B B A A =；又由正弦定理有：BA b a 2222sin sin =；所以：B B A A BA AB cos sin cos sin sin sin cos cos ==即 B A 2sin 2sin =∴，有：π=+=2B 2A 22或B A ；所以三角形为等腰三角形或直角三角形10.答案：C .解析：由已知，得tan tan 3(1tan tan )A B A B +=--⋅，即tan()3A B+=-，又A 、B 是ABC∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-o c o s 60，解得72c =，故32b =，故113333s i n 422222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 11.答案：6.解析：由3cos 3B =，得2236sin 1cos 1()33B B =-=-=，由s i n s i n a b A B =，得b = 61sin 361sin 3a B A ⨯==.12.答案：2.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o6222cos120a a =+-，即224a a +-0=，解得2a =(舍去负值).13.答案：o 30.解析：由题意得2221sin 243a b c ab C +-=，即3sin cos C C =，故3tan 3C =，故o 30C =14.答案：1063. 解析：由题意作出示意图如图所示，则ABC ∠=o o o 18010575-=，BCA ∠=o o o 18013545-=，10BC =，故o o o 1807545A =--=o 60，由正弦定理得o o 10sin 45sin 60x =，解得1063x =(cm ). 15.解：由正弦定理，得sin 623sin 222c A C a ==⨯=，故o 60C ∠=或o 120. 当o 60C ∠=时，o o 180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+- o 46226cos75423=+-⨯⨯=+，则31b =+. 当o 120C ∠=时，o o 180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+- o 46226cos15423=+-⨯⨯=-，则31b =-. 故31b =+，o 60C ∠=，o 75B ∠=或31b =-，o 120C ∠=，o 15B ∠=.16.解：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BAC BCA BC⋅∠∠= o 10sin602256==，因>BC AB ，故>C AB BC A ∠∠，故o 45BCA ∠=，故o 75B =，由正弦定理，得o o10sin 755(31)sin 45AC ==+，在ACD ∆中，因o o 9030CAD BAC ∠=-∠=，由正弦定理，得o o sin 305(62)sin1352AC CD +==. 答：CD 的长为5(62)2+.17.解：由11sin 45sin 5322S ab C C ==⋅⋅⋅=，得3sin 2C =，则1cos 2C =或1cos 2C =-. （1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故21c =； （2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故61c =. 综上可知c 为21或61.18.解：（1）由sin sin cos B A C =根据正弦定理和余弦定理，得2222a b c b a ab +-=⋅，得222b c a +=，故ABC ∆是直角三角形.（2）由（1）知12a =，设最小角为α，则1s i n 3α=，故22cos 3α=（舍去负值），故ABC S ∆= 111122sin cos 121216222233bc a a αα=⋅=⋅⋅⋅⋅=. 19.解：由题意画出示意图，如图所示.（1）ABD ∆中，由题意得o 60ADB ∠=，o 45B ∠=，由正弦定理得o o sin 45sin 60AB AD =24= (海里).（2）在ABD ∆中，由余弦定理，得2222CD AD AC AD AC =+-⋅o cos302224(83)=+- 3224832⨯⨯⨯，故83CD =(海里). 答：A 处与D 处之间的距离为24海里，灯塔C 与D 处之间的距离为83海里.20.解：（1）由题意，得3sin()2A B +=，因ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o 60C =； （2）由a 、b 是方程22320x x -+=的两根，得23a b +=，2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故6c =.（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==1332222⨯⨯=.。

第一章一、选择题(每小题分，共分)．在△中，＝，＝，则∶的值是( )．．．．解析：∵＝，∴＝＝.答案：．在△中，若∠＝°，∠＝°，＝，则＝( )．．．．解析：由正弦定理得＝，∴＝＝＝.答案：．在△中，，，分别是，，的对边，若＝＝，则△是( )．等边三角形．锐角三角形．等腰直角三角形．任意三角形解析：把已知条件中式子＝＝与正弦定理的关系式＝＝对比，可得＝，＝，所以＝＝°，＝°－(＋)＝°.故△是等腰直角三角形．答案：．下列对三角形解的情况的判断中，正确的是( )．＝，＝，＝°，有一解．＝，＝，＝°，有两解．＝，＝，＝°，有一解．＝，＝，＝°，无解解析：对于，<<，故有两解；对于，<，故有一解；对于，＝°且>，故无解；对于，<，故无解．答案：二、填空题(每小题分，共分)．在△中，由“>”推出“ > ”；由“ > ”推出“>”．(填“可以”或“不可以”)解析：在△中，必有>，由正弦定理得＝，于是，若>，则>，则>.由>，可得>；反之，若>，由>，可得>，则>，>.答案：可以可以．已知，，分别是△的三个内角所对的边，若＝，＝，＋＝，则＝.解析：∵＋＝，＋＋＝π，∴＝，∴由正弦定理，＝，＝(π)).∴＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．在△中，已知＝°，＝，＝，求.解析：在△中，由正弦定理可得＝，解得＝.∵>，∴>.∴＝°或°.．在△中，已知＝，＝°，＝°，试求及△的外接圆半径.解析：∵＋＋＝°，∴＝°－°－°＝°.由正弦定理，得＝＝，∴＝＝＝，∴＝＝＝，∴＝.☆☆☆.(分)在△中，若＝，试判断△的形状．解析：由正弦定理，设＝＝，则＝，＝，∴由＝得＝，即＝.∵∈(π)，∴＝或＝π－或－π＝π－.即＝或＋＝，∴△为等腰三角形或直角三角形．。

第一章 解三角形单元测试一 选择题：1.已知△ ABC 中， A 30o ， C105o ， b 8 ，则等于（）A 4B 4 2C 4 3D 4 52. △ABC 中，B45o， C 60 o， c1，则最短边的边长等于（）6613A 3B 2C 2 D23.长为 5、 7、 8 的三角形的最大角与最小角之和为()A 90°B 120° C135° D 150°a bc4. △ ABC 中， cos Acos BcosC ，则△ ABC 必定是（）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5. △ABC 中，B60 o， b2ac，则△ ABC 必定是（） A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D等边三角形6.△ ABC 中，∠ A=60 ° , a= 6 , b=4, 那么知足条件的△ ABC ()A 有一个解B 有两个解C 无解D 不可以确立7. △ ABC 中，b8 ，c 83 ，SVABC163，则A 等于（）A 30oB 60oC 30o 或 150oD 60o 或 120oa bc8.△ ABC 中，若A60o ， a3 ，则 sin A sin B sin C 等于（）13 A 2B2C3 D29. △ABC 中，A : B1: 2 ，C 的均分线 CD 把三角形面积分红 3: 2 两部分，则 cosA （）1B1C3DA24310.假如把直角三角形的三边都增添相同的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增添的长度决定 11 在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°，则塔高为（ ? ? ）A.400 米B. 4003 米C.200 3米D. 200 米3312 海上有 A 、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B 、 C 间的距离是 (??? ) 海里 ? ?海里???C.56 海里 ????3 海里二、填空题：13.在△ ABC 中，假如 sin A :sin B :sin C2:3:4 ，那么 cosC 等于。