2012北京市西城区一模试题及答案

北京市西城区2012年高三一模试卷参考答案及评分标准英语2012.4 第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）1. C2. B3. A4.C5. A第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）6. B7. C8. A9. A 10. C 11. C 12. B 13. B 14. B 15. A第三节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）每小题1.5分。

如出现拼写错误不计分；出现大小写、单复数错误扣0.5分；如每小题超过一个词不计分。

16. Gorden 17. 075294426 18. double 19. extra 20. August第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）21. B 22. A 23. D 24. D 25. B 26. A 27. A 28. C 29. D 30. C 31. B 32. C 33. D 34. B 35. A第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）36. C 37. D 38. B 39. A 40. D 41. A 42. B 43. C 44. A 45. D 46. C 47. C 48. A 49. B 50. B 51. D 52. A 53. D 54. B 55. C第三部分：阅读理解（共两节，40分）第一节（共15小题；每小题2分，共30分）56. A 57. C 58. B 59. D 60. B 61. A 62. D 63. C 64. A 65. B 66. C 67. C 68. D 69. B 70. D第二节（共5小题；每小题2分，共10分）71. D 72. G 73. E 74. A 75. F第四部分：书面表达（共两节，35分）第一节情景作文（20分）一、评分原则：1. 本题总分为20分，按5个档次给分。

2. 评分时，先根据文章的内容和语言质量初步确定其档次，然后以该档次的要求来衡量，确定或调整档次，最后给分。

2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合A ={x|1x ≥1}，则∁U A( )A (0, 1)B (0, 1]C (−∞, 0]∪(1, +∞)D (−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x =2，则输出y 的值为（ ）A 2B 5C 11D 233. 若实数x ，y 满足条件{x +y ≥0x −y +3≥00≤x ≤3，则z =2x −y 的最大值为（ ）A 9B 3C 0D −34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A 4√3cm 2B 2√3cm 2C 8cm 2D 4cm 25. 已知函数f(x)＝sin 4ωx −cos 4ωx 的最小正周期是π，那么正数ω＝（ ）A 2B 1C 12D 14 6. 若a =log 23，b =log 32，c =log 46，则下列结论正确的是（ ）A b <a <cB a <b <cC c <b <aD b <c <a7. 设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n ．若对∀n ∈N ∗，有S 2n <3S n ，则q 的取值范围是（ ）A (0, 1]B (0, 2)C [1, 2)D (0,√2)8. 已知集合A ＝{x|x ＝a 0+a 1×3+a 2×32+a 3×33}，其中a k ∈{0, 1, 2}(k ＝0, 1, 2, 3)，且a 3≠0．则A 中所有元素之和等于（ ）A 3240B 3120C 2997D 2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．10. (x −2)6的展开式中x 3的系数是________．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M ．若OC =√3，OM =1，则MN =________． 12. 在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．13. 已知函数f(x)={x 12,0≤x ≤c x 2+x,−2≤x <0其中c >0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c 的取值范围是________．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 在△ABC 中，已知sin(A +B)=sinB +sin(A −B)．（1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．16. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．18. 已知函数f(x)=e ax⋅(ax+a+1)，其中a≥−1．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20. 对于数列A n:a1，a2，…，a n(a i∈N, i=1, 2,…,n)，定义“T变换”：T将数列A n变换成数列B n:b1，b2，…，b n，其中b i=|a i−a i+1|(i=1, 2,…,n−1)，且b n=|a n−a1|，这种“T 变换”记作B n=T(A n)．继续对数列B n进行“T变换”，得到数列C n，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A3:4，2，8和A4:1，4，2，9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A3:a1，a2，a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A4:a1，a2，a3，a4一定能经过有限次“T变换”后结束．2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. A5. B6. D7. A8. D9. 5410. −16011. 112. √213. −1和0,0<c≤414. √32,2(1+√2)15. 解：（1）原式可化为：sinB=sin(A+B)−sin(A−B)=sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，…∵ B∈(0, π)，∴ sinB>0，∴ cosA=12，…又A∈(0, π)，∴ A=π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cosA ，…∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cosA =20，∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．…16. 解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． … （2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，… 所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． … 比赛局数的分布列为： 84161617. (1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ，所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B ,所以 平面FBC // 平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)．所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{√3x +√3z =0√3x +y =0， 取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得|cos <n →，v →>|=|n →⋅v →|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 18. 解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0．(2)f ′(x)=ae ax (x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 19. 解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 b a =23．… 依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．…设P(a, 0)，则有 y 1x 1−a +y 2x 2−a =0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0， 所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．…由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…20. （1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． … 数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．…若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”．当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。

北京市西城区一模试卷2012．4高三语文注意事项：1．本试卷分两部分，共150分，考试时间为150分钟；2．将学校、班级、姓名填在弥封线内；3．将答案全部写在答题纸上；4．考试结束，将试卷与答题纸一并交回。

第一部分（选择题，共27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。

1．下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确的一项是A.化妆品寥若辰星标识．（shí）心广体胖．（pán）B.孰不知相辅相成着．（zhāo）急发生口角．（jué）C.荧光屏贸然行事揩．（kāi）油犯罪未遂．（suì）D.流水账鞭辟入理结束．（shù）量．体裁衣（liáng）2．下列句子中，加点的成语使用正确的一项是A.李实哲是个胸无城府．．．．的天才棋手，围棋下得出神入化，在出席新闻发布会时却常常出言无忌，因为自己的直率他付出过不少代价。

B. 足坛反赌扫黑接近尾声，对于涉嫌行贿的俱乐部是否会受处罚，足协一位官员的表态似．是而非．．．：“一切要等审判结束后才有结果。

”C. 上海的婚宴普遍在晚上举行，一般选择在吉时6：08开宴，可是总有些接到请柬的不速．．之客．．姗姗来迟，这让婚宴主办者颇为尴尬。

D. 部分司机认为高速公路宽阔，只要车少就可天马行空．．．．地自由驰骋，其实这种想法十分危险，因为人在大意时反应速度会大大降低。

3．下列句子中，没有．．语病的一句是A. 近日，美国宇航局的探测器有史以来第一次直接探测到的来自太阳系之外的粒子，这一发现首次让我们有机会一窥所谓的“恒星际介质”。

B. 今年，北京将新增20万亩林地，主要种植在受污染物影响较大的地方，如高速路或主干道的路边，对尾气削减和扬尘会有很好的作用。

C. “1·28”中国公民被劫持事件发生后，苏丹政府全力解救，并表态将采取切实措施确保所有在苏中资企业的安全，避免类似事件不再发生。

D. 进城务工人员子女在流入地学习多年后回乡参加高考，很难适应家乡的考试要求，据悉，我国将出台允许这类考生在流入地参加高考的政策。

第1页共12页图4 A B C D
北京市西城区2012年初三一模试卷
物
理2012.5一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。

共24分，每小题2分）1．下列物理量中，以科学家安培的名字作为单位的物理量是
A ．电阻
B ．电功
C ．电压
D ．电流2．图1所示的四种现象中，属于光的反射现象的是
3．下列各组物品中，通常情况下属于绝缘体的是
A ．陶瓷盘、玻璃杯
B ．人体、塑料尺
C ．橡胶垫、浓盐水
D ．铁钉、食用油
4．图2所示的四个实例中，目的是为了减小摩擦的是
5．下列物态变化的实例中，属于液化的是A ．洗过的湿毛巾被晾干
B ．冰箱中取出的冰棍结上“白霜”
C ．衣柜中的樟脑球变小
D ．冰天雪地里人说话时口中冒“白气”
6．如图3所示的四种家用电器中，主要将电能转化为机械能的是
7．在图4所示的四种剪刀中，正常使用时属于费力杠杆的是
8．关于电流、电压和电阻的关系，下列说法正确的是
A ．导体的电阻与电压成正比，与电流成反比
B ．导体的电阻越大，这段导体两端的电压就越高
C ．通过导体的电流越大，这段导体的电阻就越小
图2 A
防滑砖表面有凹凸花纹 B 钳子手柄上套有橡胶套 D 拖鞋的底部压有花纹C 电暖气下装有滚轮
图1 C
酒A
钢 D
B 平面镜中形成小狗的像景物逆光形成“剪影”露珠下叶脉看起来变粗筷子好像在水面“折断”
图3 A ．电饭锅B ．电熨斗C ．电风扇D ．电水壶。

2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x 2<4}，那么A ∩B =( ) A.(−2, 2) B.(−1, 2)C.(1, 2)D.(1, 4)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x =3，则输出y 的值为（ ）A.5B.7C.15D.313. 若a =log 23，b =log 32，c =log 413，则下列结论正确的是（ ） A.a <c <b B.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a4. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z1z 2对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A.4√3cm 2B.2√3cm 2C.8cm 2D.4cm 26. 若实数x ，y 满足条件{x +y ≥0x −y +1≥00≤x ≤1则|x −3y|的最大值为（ ）A.6B.5C.4D.37. 设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8. 已知集合A ={x|x =a 0+a 1×2+a 2×22+a 3×23}，其中a k ∈{0, 1}(k ＝0, 1, 2, 3)，且a 3≠0．则A 中所有元素之和是（ ）A.120B.112C.92D.84二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.已知向量a →=(1, 2)，b →=(λ, −2)．若<a →−b →，a →>=90∘，则实数λ=________．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．函数y =sin 2x +3cos 2x 的最小正周期为________．圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心到直线x −√3y =0的距离是________．已知函数f(x)={x 12，0≤x ≤9x 2+x ，−2≤x <0.则f(x)的零点是________；f(x)的值域是________．如图，已知抛物线y2=x及两点A1(0, y1)和A2(0, y2)，其中y1>y2>0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3(0, y3)，此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n(0, y n)，n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N∗，y n>0；③若y1=4，y2=3，则y5=23．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC中，已知2sin B cos A=sin(A+C)．(1)求角A；(2)若BC=2，△ABC的面积是√3，求AB．某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（1）求研究性学习小组的人数；（2）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F分别在线段BC和AD上，EF // AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．(Ⅰ)求证：NC // 平面MFD；(Ⅱ)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，一个焦点为F(2√2,0)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l:y=kx−52交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M(0, 3)为圆心的圆上，求k的值．如图，抛物线y=−x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD // AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式；（2）若|CD||AB|≤k，其中k为常数，且0<k<1，求S的最大值．对于数列A:a1，a2，a3(a i∈N, i=1, 2, 3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1，b2，b3，其中b i= |a i−a i+1|(i=1, 2)，且b3=|a3−a1|．这种“T变换”记作B=T(A)．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C:c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A:2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）设A:a1，a2，a3，B=T(A)．若B:b，2，a(a≥b)，且B的各项之和为2012．(I)求a，b；(II)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|1<x<2}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】根据所给数值先执行一次运算，然后判定是否满足判断框中的条件，不满足执行循环语句，满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：∵输入的x值为3，y=2×3+1=7；判断框内|x−y|=|3−7|=4<8，执行x=7，y=2×7+1=15；判断框内|x−y|=|7−15|=8≤8，执行x=15，y=2×15+1=31；判断框内|x−y|=|15−31|=16>8，输出y的值为31，算法结束．故选D．3.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系．【解答】解：∵a=log23>log22=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log413<log41=0，∴c<b<a 故选D．4. 【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】由题意可知z1＝−2−i，z2＝i．∴z1z2=−2−ii=(−2−i)ii⋅i=−1+2i，复数z1z2对应的点位于第二象限．5.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．6.【答案】B【考点】求线性目标函数的最值【解析】先确定平面区域，再求√10的最大值，进而可求|x−3y|的最大值．【解答】解：不等式表示的平面区域，如图所示先求|x−3y|√10的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．由{x =1x −y +1=0，可得x =1，y =2 由图可知，(1, 2)到直线x −3y =0的距离最大为√10=√10∴ |x −3y|的最大值为5 故选B ． 7. 【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】分公比q ＝1和q ≠1两种情况，分别由a 1>0推出S 3>S 2成立，再由S 3>S 2也分q ＝1和q ≠1两种情况推出a 1>0，从而得出结论． 【解答】当公比q ＝1时，由a 1>0可得 s 3＝3a 1>2a 1＝s 2，即S 3>S 2成立． 当q ≠1时，由于 1−q 31−q =q 2+q +1>1+q =1−q 21−q，再由a 1>0可得 a 1(1−q 3)1−q>a 1(1−q 2)1−q，即 S 3>S 2成立．故“a 1>0”是“S 3>S 2”的充分条件．当公比q ＝1时，由S 3>S 2成立，可得 a 1>0． 当q ≠1时，由 S 3>S 2成立可得a 1(1−q 3)1−q>a 1(1−q 2)1−q，再由1−q 31−q >1−q 21−q，可得 a 1>0． 故“a 1>0”是“S 3>S 2”的必要条件．综上可得，“a 1>0”是“S 3>S 2”的充要条件， 8.【答案】 C【考点】 数列的求和 【解析】由题意可知a 0，a 1，a 2，各有2种取法（均可取0，1），a 3有1种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．【解答】由题意可知，a 0，a 1，a 2各有2种取法（均可取0，1），a 3有1种取法， 由分步计数原理可得共有2×2×2×1＝8种方法，∴ 当a 0取0，1时，a 1，a 2各有2种取法，a 3有1种取法，共有2×2×1＝4种方法， 即集合A 中含有a 0项的所有数的和为(0+1)×4＝4；同理可得集合A 中含有a 1项的所有数的和为(2×0+2×1)×4＝8； 集合A 中含有a 2项的所有数的和为(22×0+22×1)×4＝16； 集合A 中含有a 3项的所有数的和为(23×1+23×0)×8＝64； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和： S ＝4+8+16+64＝92二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 9【考点】平面向量数量积 【解析】根据向量a →、b →的坐标，得到向量a →−b →的坐标，再根据a →−b →与a →的夹角为90∘，得到它们的数量积为0，列式并解之可得实数λ的值． 【解答】解：∵ a →=(1, 2)，b →=(λ, −2)． ∴ a →−b →=(1−λ, 4) 又∵ <a −b ，a >=90∘，∴ (a →−b →)a →=0，即1×(1−λ)+2×4=0，解之得λ=9 故答案为：9 【答案】 54【考点】分布和频率分布表 频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数． 【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1， ∴ 最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920， 由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人） 【答案】 π【考点】三角函数中的恒等变换应用 三角函数的周期性及其求法【解析】利用二倍角的余弦公式将函数表达式进行降次处理，得y =2+cos 2x ．再由三角函数周期性的结论，可得函数的最小正周期． 【解答】解：∵ sin 2x =12(1−cos 2x)，cos 2x =12(1+cos 2x)∴ 函数y =sin 2x +3cos 2x =12(1−cos 2x)+32(1+cos 2x)=2+cos 2x ． 由此可得函数的最小正周期T =2π2=π故答案为：π 【答案】 1【考点】直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】先确定圆心坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心坐标为(2, 0)，则由点到直线的距离公式可得d =√1+3=1∴ 圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心到直线x −√3y =0的距离1． 故答案为：1 【答案】−1和0,[−14，3]【考点】 函数的零点函数的值域及其求法 【解析】令f(x)=0，结合x 的范围，求出x 的值，即为所求的f(x)的零点．由函数的解析式可得当x =−12时，函数有最小值为−14，当x =9时，函数有最大值为3，从而求得f(x)的值域． 【解答】解：∵ 函数f(x)={x 12，0≤x ≤9x 2+x ，−2≤x <0.，由{0≤x ≤9x 12=0 解得x =0．由{−2≤x <0x 2+x =0 解得x =−1．综上可得f(x)的零点为−1和0．由函数f(x)的解析式可得，当x =−12时，函数有最小值为−14，当x =9时，函数有最大值为3，故答案为−1和0，[−14，3]．【答案】 ①②③ 【考点】数列与解析几何的综合 【解析】先确定直线B n−1B n−2的方程，求得y n =y n−2y n−1y n−2+y n−1，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n−1(y n−12,y n−1)，B n−2(y n−22,y n−2)，则直线B n−1B n−2的方程为y −y n−1=1yn−2+y n−1(x −y n−12)令x =0，则y −y n−1=1y n−2+y n−1×(−y n−12)，∴ y =y n−2y n−1y n−2+y n−1∴ y n =y n−2yn−1y n−2+yn−1∴1y n=1y n−1+1y n−2∵ y 1>y 2>0，∴ y n >0，故②正确；1y n−1y n−1=1y n−2>0，∴ y n <y n−1，故①正确；若y 1=4，y 2=3，则y 3=127，y 4=1211，y 5=23，故③正确． 故答案为：①②③．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：(1)∵ A +B +C =π，∴ sin (A +C)=sin (π−B)=sin B ， ∴ 2sin B cos A =sin B .∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12. ∵ A ∈(0, π)，∴ A =π3.(2)S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin π3=√3，即AB ⋅AC =4①.由余弦定理得：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos A =AB 2+AC 2−AB ⋅AC ，∴ AB 2+AC 2=BC 2+AB ⋅AC =4+4=8，∴ (AB +AC)2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC =8+8=16， 即AB +AC =4②，联立①②解得：AB =AC =2， 则AB =2．【考点】诱导公式余弦定理正弦定理三角函数值的符号【解析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin(A+C)=sin B，代入已知的等式，根据sin B不为0，可得出cos A的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由A的度数求出cos A的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sin A的值代入求出AB⋅AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos A，求出将cos A，BC 及AB⋅AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB⋅AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．【解答】解：(1)∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sin(π−B)=sin B，∴2sin B cos A=sin B.∵B∈(0, π)，∴sin B>0，∴cos A=12.∵A∈(0, π)，∴A=π3.(2)S△ABC=12AB⋅AC⋅sinπ3=√3，即AB⋅AC=4①.由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos A=AB2+AC2−AB⋅AC，∴AB2+AC2=BC2+AB⋅AC=4+4=8，∴(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB⋅AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．【答案】（1）解：设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得m18=327，所以m=2，研究性学习小组的人数为m+3=5．…（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a1, a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, a1)，(a2, a2)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b2, b1)，(b2, b2)，(b2, b3)，(b3, a1)，(b3, a2)，(b3, b1)，(b3, b2)，(b3, b3)，共25种．…2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b3, a1)，(b3, a2)，共12种．…所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=1225．…【考点】古典概型及其概率计算公式分层抽样方法【解析】（1）设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，可得m18=327，所以m=2，由此求得研究性学习小组的人数．（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件一一列举共25个，满足条件的有12个，由此求得2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．【解答】（1）解：设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得m18=327，所以m=2，研究性学习小组的人数为m+3=5．…（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a1, a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, a1)，(a2, a2)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b2, b1)，(b2, b2)，(b2, b3)，(b3, a1)，(b3, a2)，(b3, b1)，(b3, b2)，(b3, b3)，共25种．…2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b3, a1)，(b3, a2)，共12种．…所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=1225．…【答案】（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN // EF // CD，MN＝EF＝CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC // MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC // 平面MFD．（2）证明：连接ED，设ED∩FC＝O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．(Ⅲ)设NE＝x，则EC＝4−x，其中0<x<(4)由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为V NFEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)．所以V NFEC≤12[x+(4−x)2]2=2．当且仅当x＝4−x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面平行【解析】(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC // 平面MFD；(Ⅱ)连接ED，设ED∩FC＝O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；(Ⅲ)先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．【解答】（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN // EF // CD，MN＝EF＝CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC // MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC // 平面MFD．（2）证明：连接ED，设ED∩FC＝O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．(Ⅲ)设NE＝x，则EC＝4−x，其中0<x<(4)由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为V NFEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)．所以V NFEC≤12[x+(4−x)2]2=2．当且仅当x＝4−x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．【答案】（1）设椭圆的半焦距为c，则c=2√2．由e=ca=√63，得a=2√3，从而b2＝a2−c2＝4．所以，椭圆C的方程为x212+y24=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4(1+3k2)x2−60kx+27＝0．由△＝3600k2−16(1+3k2)×27>0，得k2>316，且x1+x2=15k1+3k2．设线段AB的中点为D，则x D=15k2+6k2，y D=kx D−52=−52+6k2．由点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，即3+52+6k2−15k2+6k2⋅k=−1，解得k2=29，符合题意．所以k=±√23．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)利用离心率为√63，一个焦点为F(2√2,0)，可求a，c的值，从而可求椭圆C的方程；(Ⅱ)设将直线l的方程代入椭圆C的方程，确定线段AB的中点为D，利用点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，由此可求k的值．【解答】（1）设椭圆的半焦距为c，则c=2√2．由e=ca=√63，得a=2√3，从而b2＝a2−c2＝4．所以，椭圆C的方程为x212+y24=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4(1+3k2)x2−60kx+27＝0．由△＝3600k2−16(1+3k2)×27>0，得k2>316，且x1+x2=15k1+3k2．设线段AB的中点为D，则x D=15k2+6k2，y D=kx D−52=−52+6k2．由点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，即3+52+6k 2−15k 2+6k 2⋅k =−1，解得 k 2=29，符合题意．所以 k =±√23．【答案】 解：（1）依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y C =−x 2+9．…点B 的横坐标x B 满足方程−x B 2+9=0，解得x B =3，舍去x B =−3． … 所以S =12(|CD|+|AB|)⋅y C =12(2x +2×3)(−x 2+9)=(x +3)(−x 2+9)．… 由点C 在第一象限，得0<x <3．所以S 关于x 的函数式为 S =(x +3)(−x 2+9)，0<x <3．…（2）由 {0<x <3x 3≤k 及0<k <1，得0<x ≤3k ． …记f(x)=(x +3)(−x 2+9)，0<x ≤3k ，则f ′(x)=−3x 2−6x +9=−3(x −1)(x +3)． … 令f ′(x)=0，得x =1． …①若1<3k ，即13<k <1时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下：f(1)=32．… ②若1≥3k ，即0<k ≤13时，f ′(x)>0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1−k 2)． …综上，13≤k <1时，S 的最大值为32；0<k <13时，S 的最大值为27(1+k)(1−k 2)．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】（1）依题意，确定点C 的纵坐标、点B 的横坐标，从而利用梯形的面积公式，即可求得S 关于x 的函数式； （2）先确定函数关系式，再求导数，利用分类讨论的数学思想，确定函数的单调性，从而可求S 的最大值． 【解答】 解：（1）依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y C =−x 2+9．…点B 的横坐标x B 满足方程−x B 2+9=0，解得x B =3，舍去x B =−3． … 所以S =12(|CD|+|AB|)⋅y C =12(2x +2×3)(−x 2+9)=(x +3)(−x 2+9)．… 由点C 在第一象限，得0<x <3．所以S 关于x 的函数式为 S =(x +3)(−x 2+9)，0<x <3．…（2）由 {0<x <3x 3≤k 及0<k <1，得0<x ≤3k ． …记f(x)=(x +3)(−x 2+9)，0<x ≤3k ，则f ′(x)=−3x 2−6x +9=−3(x −1)(x +3)． …令f ′(x)=0，得x =1． …①若1<3k ，即13<k <1时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下：f(1)=32．… ②若1≥3k ，即0<k ≤13时，f ′(x)>0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1−k 2)． …综上，13≤k <1时，S 的最大值为32；0<k <13时，S 的最大值为27(1+k)(1−k 2)．【答案】（1）解：数列A:2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． …（2）解：(I)因为B 的各项之和为2012，且a ≥b ，所以a 为B 的最大项， 所以|a 1−a 3|最大，即a 1≥a 2≥a 3，或a 3≥a 2≥a 1．… 当a 1≥a 2≥a 3时，可得{b =a 1−a 22=a 2−a 3a =a 1−a 3.由a +b +2=2012，得2(a 1−a 3)=2012，即a =1006，故b =1004．… 当a 3≥a 2≥a 1时，同理可得 a =1006，b =1004．…(II)方法一：由B:b ，2，b +2，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：b −2，b ，2；2，b −2，b −4；b −4，2，b −6；b −6，b −8，2；2，b −10，b −8；b −12，2，b −10．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b ，2，b +2”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B 经过6×83=498次“T 变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502．…方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结构相同”．若数列B 的三项为x +2，x ，2(x ≥2)，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为x ，x −2，2（不考虑顺序）．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4． 因此，数列B:1004，2，1006经过502次“T 变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502．… 【考点】递归数列及其性质 数列的函数特性数列的求和【解析】（1）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（2）中(I)的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．(II)的解答要抓住B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．【解答】（1）解：数列A:2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（2）解：(I)因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1−a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…当a1≥a2≥a3时，可得{b=a1−a2 2=a2−a3 a=a1−a3.由a+b+2=2012，得2(a1−a3)=2012，即a=1006，故b=1004．…当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…(II)方法一：由B:b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b−2，b，2；2，b−2，b−4；b−4，2，b−6；b−6，b−8，2；2，b−10，b−8；b−12，2，b−10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2(x≥2)，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x−2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B:1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…。

北京市西城区2012年高三一模试卷理科综合能力测试2012年4月选择题（共20题 每小题6分 共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下图为某种植物根尖细胞分裂过程中染色质与染色体规律性变化的模式图。

下列相关判断正确的是A ．①✂②过程是有丝分裂间期，此时细胞内核膜解体、核仁消失B ．低温处理导致④✂⑤过程中染色单体不分开使染色体数目加倍C ．⑤✂⑥过程处于有丝分裂后期，细胞中的染色体组数增加一倍D ．⑥✂⑦过程中DNA 解旋酶可使染色体解旋变为细丝状的染色质2．人被狗咬伤后，需要立即到医院处理伤口，注射狂犬疫苗并在伤口周围注射抗血清。

下列有关叙述不正确．．．的是 A ．注射抗血清可使体内迅速产生抗原—抗体反应 B ．注射疫苗的作用是刺激体内记忆细胞增殖分化 C ．病毒的清除需非特异性免疫与特异性免疫配合 D ．免疫记忆的形成依赖抗原刺激和淋巴因子作用3．基因转录出的初始RNA ，经不同方式的剪切可被加工成翻译不同蛋白质的mRNA 。

某些剪切过程不需要蛋白质性质的酶参与。

大多数真核细胞mRNA 只在个体发育的某一阶段合成，不同的mRNA 合成后以不同的速度被降解。

下列判断不正确．．．的是 A ．某些初始RNA 的剪切加工可由RNA 催化完成 B ．一个基因可能参与控制生物体的多种性状 C ．mRNA 的产生与降解与个体发育阶段有关 D ．初始RNA 的剪切、加工在核糖体内完成4．组氨酸缺陷型沙门氏菌是由野生菌种突变形成的，自身不能合成组氨酸。

将其接种在缺乏组氨酸的平板培养基上进行培养，有极少量菌落形成。

2-氨基芴是一种致突变剂，将沾有2-氨基芴的滤纸片放到上述平板培养基中，再接种组氨酸缺陷型沙门氏菌进行培① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦养，会有较多菌落出现。

以下叙述不正确．．．的是 A ．在接种前，2-氨基芴和滤纸片须进行灭菌处理 B ．若用划线法接种可以根据菌落数计算活菌数量 C ．基因突变的可逆性与是否存在致突变剂无关 D ．此方法可以用于检测环境中的化学致突变剂5．草甘膦是一种广泛应用的除草剂，能不加选择地杀死各种杂草和农作物。

北京市西城区2012年高三一模试卷文科综合能力测试 2012.4本试卷共13页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共140分）本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

图1是黄山著名旅游景观“猴子观海”照片。

读图，回答第1题。

1．该景观A．表现出褶皱山脉的特点 B．风化作用较为显著C．阴雨天气观赏效果最佳 D．形成受滑坡的影响2011年12月2日北京时间05时07分，第10颗北斗导航卫星成功升空，其服务区大致在84°E~160°E、55°N~55°S之间。

回答第2题。

2．该卫星A. 发射时纽约（74°W）时间为18时07分B. 能实时调控城市交通流量变化C. 可用于环青海湖自行车赛定位服务D. 服务区范围覆盖帕米尔高原图2为鄱阳湖水域面积遥感监测影像图。

读图，回答第3、4题。

3．鄱阳湖A．流域面积缩小 B．水量变化与大气环流有关C．流域污染加重 D．湖面缩小由南水北调所致4．鄱阳湖平原A．水土流失日趋严重 B．土地利用类型以林地为主 C．农业机械化程度高 D．地表径流参与海陆间循环图3为某月海平面平均气压分布图。

读图，回答第5~7题。

5．此时A．甲群岛受低压控制B．乙岛屿盛行西南风C．正值南半球的冬季D．北极圈内有极夜现象6．图中A．①地与③地的自然带相同 B．②地附近海域有著名渔场 C．从②地出发向北可达④地 D．④地位于环太平洋灾害带7．图中农业A．①地的限制因素是水源 B．②地农产品商品率较低 C．③地不断扩大耕地面积 D．④地农业生产规模较小图4中序号表示石家庄、武汉、成都、乌鲁木齐。

读图，回答第8、9题。

8．中国省区地理环境各具特色，其中A．①所在省区铁路网密集 B．②所在省区水资源丰富C．③所在省区位于江南丘陵 D．④所在省区受冻害影响小9．拉萨A．地转偏向力小于① B．正午太阳高度小于②C．七月均温比③高 D．日出时间比④早图5为中国人口普查数据统计图。

北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 10 1112 x ≥-2()223b a -13 13+-或（各2分）4，4（各2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分=323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分 ∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22bb a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--.∵ a 不为0，∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴ 1212m ⋅⋅=.解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，)0(>=k xky 图2捐款户数分组统计图1∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴ (31)33322CD BE DF BC ⋅+⋅+===． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 332AB DF +==． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos303BF OB =⋅︒=，∴ 33x =， EF=33． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒，∵ tan 3OFOED EF∠==，图3FEADBC 图4FE DAOCB∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒．∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．图6图5y 2y 1FE N M又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠． ∵ 45BDE ∠=∠+∠，图7图8∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EP EA ==． ∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --.图9xyO 1DCBA（3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ 2QA QB -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图10xy O 1FP 2EP 1DCBA图11xyO QMA'DB AN。

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ ）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。

8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。

北京市西城区2012年初三一模试卷可能用到的相对原子质量H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Fe 56 Cu 64 Zn 65第Ⅰ卷（选择题共25分）一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，共25个小题，每小题1分，共25分。

）1．空气成分中，体积分数约占78%的是A．氮气B．氧气C．二氧化碳D．稀有气体2．下列金属中，金属活动性最强的是A．Zn B．Fe C．Cu D．Mg3．地壳中含量最多的元素是A．铝B．铁C．氧D．硅4．下列物质中，属于纯净物的是A．调和油B．沙拉酱C．蒸馏水D．食用醋5．下列物质的俗称与化学式相符的是A．熟石灰CaO B．小苏打Na2CO3C．纯碱NaHCO3D．烧碱NaOH 6．保持氢气化学性质的微粒是A．H2B．H2O C．H+ D．2H7．施用钾肥能增强农作物的抗倒伏能力。

下列物质可用作钾肥的是A．NH4HCO3B．K2CO3C．CO(NH2)2 D．Ca(H2PO4)2 8．吸烟时，烟气中能与血红蛋白结合引起中毒的物质是A．氧气B．氮气C．一氧化碳D．二氧化碳9．粗盐提纯实验的部分操作如下图所示，其中不正确．．．的是A．取一定量粗盐B．溶解C．过滤D．蒸发10．生活中的垃圾要分类处理。

下列生活垃圾：①废报纸②塑料瓶③易拉罐，其中可回收的是A．①②B．①③C．②③D．①②③11．下列化学用语中，对“3”的含义表述不正确．．．的是 A ．3H ——表示3个氢原子 B ．3H 2O ——表示3个水分子C ．Al 3+——表示铝元素的化合价为+3D ．SO 3——表示1个三氧化硫分子中含有3个氧原子 12．氟元素的相关信息如右图所示。

下列说法中，不正确．．．的是 A ．原子序数是9 B ．氟是非金属元素C ．核外电子数是10D ．相对原子质量是19.00 13．下列对一些事实的解释中，不合理．．．的是 选项 事 实解 释A 氢气可用向下排空气法收集相同条件下氢气的密度比空气小BCO 2和N 2都能使燃着的木条熄灭 CO 2和N 2一般都不支持燃烧 C 将墨汁滴入一杯清水中，清水很快变黑 分子在不断运动 D25 m 3的氧气可以装入0.024 m 3的钢瓶中 氧分子的体积变小14．臭氧发生器可将氧气转化为臭氧（O 3）。

北京市西城区2012年初三一模试卷一、选择。

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．符合题意，选出答案后在答题纸上用铅笔把对应题目的选项字母涂黑涂满。

（共12分。

每小题2分）1．下列词语中加点字的读音完全正确的一项是A．哺．育（fǔ）笨拙．（zhuō）惩．恶扬善（chénɡ）B．狭隘．（yì）粗犷．（ɡuǎnɡ）茅塞．顿开（sè）C．游弋．（yì）淡薄．（bó）自给．自足（jǐ）D．绮．丽（qǐ）蓓蕾．（léi）忍俊不禁．（jīn）2．对下列各组词语中加点字的解说正确的一项是A．安．排——安．适解说：两个“安”字意思相同，都有“安置”的意思。

B．求索．——探索．解说：两个“索”字意思相同，都有“寻求”的意思。

C．濒临．——身临．其境解说：两个“临”字意思相同，都有“靠近”的意思。

D．任．性——任．劳任．怨解说：两个“任”字意思相同，都有“任凭”的意思。

3．结合语境，在下列句子中的横线处填写词语正确的一项是①就要到达泰山山顶了，可原本拥有雄心壮志的同学们都累得纷纷停了下来，没有了动力。

张老师大声说道：“同学们，_________，大家要一鼓作气啊！”②一踏进学校大门，就能看见学校的校训——_________，它要求学生具有奋发图强、勇往直前的精神，具有自觉向上、永不松懈的态度。

A．①句填“行百里者半九十”②句填“自强不息”B．①句填“行百里者半九十”②句填“不屈不挠”C．①句填“世上无难事，只怕有心人”②句填“自强不息”D．①句填“世上无难事，只怕有心人”②句填“不屈不挠”4．下列句子的标点符号使用正确的一项是A．西城区在全市率先推出“保护和促进老字号发展若干意见”。

这是西城区保护和促进区域百家老字号发展的根本性文件。

B．目前网络上流行电子版古籍，很多研究者在思考国学网站上的电子版古籍是使用简体字好，还是使用繁体字好？C．燕子去了，有再来的时候；杨柳枯了，有再青的时候；桃花谢了，有再开的时候。

北京市西城区2012年初三一模试卷 数 学 2012. 5考生须知1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的相反数是A ．6B ．6-C ．16-D ．162．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为A ．2.58×103B ．25.8×104C ．2.58×105D ．258×103 3．正五边形各内角的度数为 A ．72° B ．108° C ．120° D ．144° 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是A ．21B ．31C ．41D ．515．如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的 延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为 A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的 体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图 所示的折线统计图，下列说法中错误．．的是 A ．众数是9 B ．中位数是9 C ．平均数是9D ．锻炼时间不低于9小时的有14人7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是A ．16B ．18C ．19D ．208．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6-C ．2，6D ．2-，6二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：2212123b ab a +-= ．11．如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 是DC 边上一点，DE =1，将线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上，落点记为F ， 则FC 的长为 .12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：12)21(30tan 3201+-+︒--．14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ；(2) 若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数. 16．已知20a b +=，其中a 不为0，求22222b a ab a bab a --÷+的值.⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，17. 平面直角坐标系xOy 中，反比例函数 的图象经过点),2(m A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.(1) 求m 和k 的值；(2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ，且∠ACO =45°，直接写出点C 的坐标.18. 列方程（组）解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ，本次调查样本的容量是 ；(2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？)0(>=k xky 捐款户数分组统计表组别 捐款额（x ）元 户数A 1≤x <100 aB 100≤x <200 10C 200≤x <300D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1 捐款户数分组统计图220．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90∠=︒，BC=2，A∠=︒，60∠=︒．CABD15(1) 求∠BDC的度数；(2) 求AB的长．21．如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．(1) 求点O到BD的距离及∠OBD的度数；(2) 若DE=2BE，求cos OED∠的值和CD的长．22. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，P A=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A （如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中∠BPC的度数为；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=132，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2．(1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ．(1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =； (3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图1 图225．平面直角坐标系xOy中，抛物线244=-++与x轴交于点A、点B，y ax ax a c与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若2-QBQA，求点Q的坐标和此时△QAA'的面积．=数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案A CBC BD B C 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9 10 11 12 x ≥-2 ()223b a - 13 13+-或（各2分） 4，4（各2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- =323+．… 5分 14．解：由①得2->x ． 由②得x ≤37． ∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………… 5分15.（1）证明：如图1. ∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点， ∴ ∠A BE=∠CBD=90º . 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB ∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º， ∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º， ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分 ∵ △ABE ≌△CBD ， ∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a a b a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分∵ 2a+b=0， ∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--. ∵ a 不为0， ∴ 原式=41. . 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ， ∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1， ∴ 1212m ⋅⋅=.解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分①② )0(>=k x k y 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-2115)1(3x x x ，≥2x-4，（2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分[来源:学科网ZXXK] ∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分（2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分 补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=， ∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．[来源:学科网] ……………………………… 5分 20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒， ∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒．在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3） 在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分∵ BC DF CD BE ⋅=⋅，∴(31)33322CD BE DF BC ⋅+⋅+===． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴332AB DF +==．…… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°， ∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB=OD ， ∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分 ∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4，∴ OB= OD= 2． 在Rt △BOF 中，∵∠OFB=90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. … 3分 （2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ．∵ cos303BF OB =⋅︒=， ∴33x =， EF=33． 图3 F EA DBC图4FE DAOCB图2捐款户数分组统计图1在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒， ∵tan 3OFOED EF ∠==，∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒． ∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分 （2）120°；………………………………………………………………………… 3分 27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分（2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0， ∴ 无论p 取任何实数，都有2(4)40p ++>． ∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q=++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q=++与抛物线221y x px q =+++ 的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q=++沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF=MN=1． ∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6． ∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ， CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ， ∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA=∠A ，∠EDA=∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN. ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点， ∴ HN ∥BF ．由（1）得BF ∥AC ，∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC=90°，图6图5y 2y 1F EN MAC 边的中点为M ，∴ 12HM AC AM==．∴ ∠A ＝∠3．∴ ∠EDA=∠3．∴ NE ∥HM ． ∴ 四边形ENHM 是平行四边形．………… 3分 ∴ HN=EM ． ∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF 的中点为N ，∴ 12HN DF=，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分（3）当AB=BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8） ∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ， ∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ， ∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA=∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE=DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5．∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠．∵ 45BDE ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③ 由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．……5分 ∴ BE= CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ．由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ．∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ BE=EF ．… 7分 ∴BE=EF=CE ． （阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF 或BE=CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c=-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =． ∵ 抛物线244y ax ax a c=-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)， ∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB=OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC=3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角，∴ ACB B AP∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足AC B APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上． ∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分图9xyO 1DCBA图8∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EPEA ==． ∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P+．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P--． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P+、2(2,25)P --. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°．[来源:学科网] ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．∵ 2QA QB -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos 451BN BA '=⋅︒=．∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<．∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--． 解得114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内． ∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分 此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图10x y O 1FP 2EP 1D CB A图11xy O Q MA'D B A N。

北京市西城区2012年高三一模试卷物 理 试 题 2012.413．下列实验或者事实，揭示了原子具有核式结构的是A ．电子的发现B ．光电效应实验C ．α粒子散射实验D ．天然放射现象14．不同的物理量可以有相同的单位。

下列各组物理量中有相同单位的是A ．速度和角速度B ．电压和电动势C ．电势和电势能D ．磁通量和磁感应强度15．如图所示，理想变压器原、副线圈的匝数比为2:1，电阻Ω=55R ，原线圈两端接一正弦式交变电流，该交变电流电压的有效值为220V 。

电路中交流电压表和电流表的示数分别为A ．110V 、2.0AB ．440V 、8.0AC ．156V 、1.4AD ．55V 、0.5A 16．如图1所示，一个物体放在粗糙的水平地面上。

在t =0时刻，物体在水平力F 作用下由静止开始做直线运动。

在0到t 0时间内物体的加速度a 随时间t 的变化规律如图2所示。

已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等。

则 A ．t 0时刻，力F 等于0B ．在0到t 0时间内，力F 大小恒定C ．在0到t 0时间内，物体的速度逐渐变大D ．在0到t 0时间内，物体的速度逐渐变小17．如图所示为一列沿着x 轴正方向传播的简谐横波在t =0时刻的波形图。

已知这列波的波速v =5.0m/s 。

则A ．这列波的频率f =1.0HzB ．经过一个周期，x =0.5m 处的质点沿着x 轴正向运动的距离为1.0mC ．x =0.5m 和x =1m 处的质点可以同时到达波峰位置D ．在t =0.5s 时刻，x =0.5m 处的质点正在沿着y 轴负方向运动18．如图所示，两物体A 、B 分别与一竖直放置的轻质弹簧的两端相连接，B 物体在水平地面上，A 、B 均处于静止状态。

从A 物体正上方与A 相距H 处由静止释放一小物体C 。

C 与A 相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开。

弹簧始终处于弹性限度内。

用ΔE 表示C 与A 碰撞过程中损失的机械能，用F 表示C 与A 一起下落过程中地面对B 的最大支持力。

北京市西城区2012年高三一模试卷物理试题参考答案 2012.413．C 14．B 15．A 16．C 17．D 18．A 19．D 20．B 21．（18分）（1）①B D ②αβsin sin ③小于（2）①0.516 （0.515～0.519） ②3Ω ③A C E ④b IlUD 4π2⑤镍铬合金评分说明：本题共18分。

第（1）问中每空2分，共6分；第（2）问中，第①、③小 问每空1分，其他题目每空2分。

第（1）问中的第①小问，漏选得1分；不选、多选、 错选不得分。

22．（16分）（1）小木块在弧形轨道末端时，满足R m v m g F 2=-解得：25N =F （2）根据动能定理 02120f -=-mv W mgR解得：J 5.1f =W（3）根据动量守恒定律 vM m mv )(0+=解得：m/s0.1=v 评分说明：本题共16分。

第（1）问5分；第（2）问5分；第（3）问6分 23．（18分）（1）带电离子在平行板a 、b 间运动时，根据动能定理 02120-=mv qU① 解得：mqU v 02=，即02kU v = 带电离子在平行板a 、b 间的加速度dm qU a 01=，即dkU a 01= 所以，带电离子在平行板a 、b 间的运动时间0112kU kU d a v t ==带电离子在平行板M 、N 间的运动时间022kU L v L t ==所以，带电离子的全部飞行时间02122kU Ld t t t +=+=（2）正离子在平行板M 、N 间水平方向运动位移为x 时，在竖直方向运动的位移为y 。

水平方向满足 vt x = ②竖直方向满足 2221t a y =③加速度 L kU a 12=④由上述②、③、④式得：0214LU x U y =⑤⑤式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关。

所以，不同正离子的轨迹是重合的。

（3）当M 、N 间磁感应强度大小为B 时，离子做圆周运动，满足R mv Bvq 2=⑥ 由上述①、⑥两式，解得：带电离子的轨道半径qB m U R 202=⑦ 上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出。