高等数学 定积分

第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。

高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

教学过程教学思路、主要环节、主要内容我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。

现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。

因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。

显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。

为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<x n-1<x n=b 把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[x n-1,x n], 在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(x i-1≤ξi≤x i),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△x i并作出和，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。

即：定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

高数定积分公式大全在高等数学中，定积分是通过积分来求解某一特定函数的不定积分的一种特殊方法，是计算物理量变化，寻找函数极值点以及在区间内求定积分的有效工具。

定积分的定义如下：如果函数f(x)在给定区间[a,b]上可导，那么定积分的定义为：∫a^bf(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的某个不定积分，解析法求解定积分的步骤为：首先将函数f(x)分解为常数、x、x^2、x^n多项式，其次对于每一项分别求解其不定积分，最后再将每一项求得的不定积分相加，即可得出整体定积分的解析解。

定积分中常见的公式有：一、定积分中的基本公式1. 不定积分的基本公式：∫x^ndx = 1/n+1*x^n+1 + C2. 二次方程不定积分的公式：∫x^2dx = 1/3*x^3 + C3.用的其他不定积分的公式：(1)∫sinx dx = -cosx + C(2)∫cosx dx = sinx + C(3)∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C(4)∫lnx dx = xlnx - x + C二、高阶定积分的公式1. 一阶定积分：∫ax+b dx = 1/a*(ax+b) + C2. 二阶定积分：∫ax^2 + bx + c dx = 1/3a*x^3 + 1/2b*x^2 + cx + C3.用的其他高阶定积分的公式：(1)∫sinax dx = -1/a*cosax + C(2)∫e^x dx = e^x + C(3)∫lnax dx = xlnax - x + C三、复合定积分的公式定积分可以复合求解，以求解复合定积分为例，复合定积分公式为：∫a^b f(x)dx =a^x f(x)dx +x^b f(x)dx其中f(x)为一个标量函数，[a,b]为被积函数的定积区间，求解步骤如下：1.根据f(x)的表达式求出该函数的不定积分F1(x)；2.复合定积分拆分成两部分，先求∫a^x f(x)dx，即F1(x)的定积分，再求∫x^b f(x)dx，即F2(x)的定积分；3.后将两部分求得的结果相加，即可得出复合定积分的解析解，解析解为F1(b) - F1(a) + F2(b) - F2(a)。

定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。

一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。

二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。

比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。

2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。

这个方法被称为分段积分。

3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。

反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。

无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。

间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。

三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。

例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。

2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。

3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。

第5章 定积分及其应用定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.§5.1 定积分的概念与性质一、引例 1. 曲边梯形的面积在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。

但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。

现考虑求由连续曲线()(()0)y f x f x =≥以及直线0===y b x a x 、、所围成图形（图 5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()y f x =叫做曲边梯形的曲边。

怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。

简言之，就图5.3图5.1图5.2是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。

我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A ： （1）分割 用1n +个分点01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<= ，把区间],[b a 分成n 个小区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,,,,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=- ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，第i 个小曲边梯形的面积记为(1,2,,)i A i n ∆= ，则所求曲边梯形的面积可表示为121nn i i A A A A A ==∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑。